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例1.管道包扎问题：用带子包扎管道，使带子全部包住管道，且用料最省。
例2.地面上的方桌在起伏不平的地面上能不能让桌子的四个脚同时着地？例3.赛程安排---加细五支足球队在同一场地上进行单循环比赛，共进行十场比赛。
如何安排赛程对各队来说都是公平的?例4：交通路口红绿灯十字路口绿灯亮15秒，最多可以通过多少辆汽车？1.调查一个路口有关红绿灯的数据验证模型是否正确。
10.位置,走向,车道数,时间。
绿灯时间,通过的车数(至少三次)。
数据不同的原因。
20.模型的假设与实际是否一致。
模型的参数与实际是否一致。
30.模型的计算结果与观测结果是否一致？不一致时，为什么？如何修改模型2.分析汽车开始以最高限速穿过路口的时间。
3.给出穿过路口汽车的数量随时间变化的数学模型。
4.你能继续组建行进中的汽车遇到红灯时的数学模型吗？假设司机见到红灯后的反应时间是0.35秒，刹车(非紧急刹车)后的加速度平均为-6.5米/秒。
试讨论红灯亮后第九辆车的运动状态。
5.请你根据前面的分析进一步给出通过十字路口的汽车的数量如何依赖于绿灯亮的时间的模型，能否通过分析这个模型对这个路口交通流量的优化管理提出改进建议。
例5：人员疏散建模分析意外事件发生时建筑物内的人员疏散所用的时间例6.生猪饲养一头重量是100kg的猪，在上一周每天增重约2kg。
五天前售价为7.8元/kg，但现在猪价下降到7.5元/kg，饲料每天需花费7.1元。
前期育肥的投入大约500元。
求出售猪的最佳时间。
问题1.在售猪问题中，对每天的饲养花费做灵敏性分析，分别考虑饲养花费对最佳售猪时间和相应收益的影响。
如果有新的饲养方式，每天的饲养花费为8元，会使猪按2.2公斤/天增重，那么是否值得改变饲养方式？求出使饲养方式值得改变的最小的增重率。
问题2:你能想到什么?目前市场上销售一种“雷达牌”蚊香，每盘蚊香如上图所示，图中标有a，b数值(单位：毫米)，使用时拆成两片，如右图所示．经过实验发现，该蚊香的燃烧速度约为每小时120毫米．请用近似的方法回答下列问题．(1)每一片蚊香大约可以燃烧多长时间；(2)根据市场需求请设计持续燃烧时间分别为4小时、8小时、10小时的蚊香，蚊香燃烧速度不变．分别计算出它们的a值．讨论题：研究停车场的照明设施。
大学生数学建模技能测试题考虑现实世界问题(不要求解答):在一条新公共汽车路线上，要沿路设置公共汽车站且每个车站都需要遮雨棚。
公交公司希望这种服务既要满足顾客的需求同时又不能超过公交车的要求。
请问车站设置在什么位置，才能使尽可能多的人享受到这种服务？在设计一个简单的数学模型时，您认为以下的假定哪个最不重要?A.假设仅仅能建一个遮雨棚B.假设路是平直的C.假设晴天是雨天的两倍D.假设公共汽车运行的是半小时的时间表E.假设顾客不会走很远的路去乘车2考虑现实世界问题(不要求解答):沿一条新电车路线，安置电车站。
且每个车站都需要遮雨棚。
电车公司希望这种服务既要满足顾客的需求同时又不能超过电车的要求。
请问车站设置在什么位置，才能使尽可能多的人享受到这种服务？在设计一个简单的数学模型时，您认为以下的假定哪个最不重要?A.假设顾客不会走很远的路去乘电车B.假设电车运行的是20 分钟的时间表C.假设电车线是单轨道D.假设电车司机能从电车的前后都可以驾驶E.假设电车站可以设置在任何位置。
3考虑现实世界问题(不要求解答):一个步行者要穿过一条交通繁忙的马路，假设马路是一条直的单行机动车道。
在设计一个是否需要设置人行横道的简单数学模型时，您认为以下假定哪个最不重要?A 横穿马路将由行人通过按钮来控制B 交通流量是恒定的C 车流速度是常数并且等于限制速度D. 行人以恒定的速度通过马路E. 行人不会走很远路来由此穿过马路4考虑现实世界问题(不要求解答)自行车轮子的最佳尺寸是多少?以下哪个问题最能说明骑车的稳定性？A 轮子与脚蹬间有链条相连吗?B 骑车人有多高?C 自行车传动装置吗?D 能骑上去的最高路缘是多少？E. 地形情况怎样？5考虑现实世界问题(不要求解答)婴儿车轮子的最佳尺寸是多少?下面的哪一个陈述的问题最能表明小孩坐车感到平稳?A.婴儿车有三个轮子还是四个轮子?B.前后轮子之间的距离是多少?C.座位装有软垫吗？D.孩子有多大?E.是柏油碎石路面还是混泥土路面?6考虑现实世界问题(不要求解答)您希望将您的汽车倒入已停好的一排车中间的一个空车位。
摘要本题的研究内容是：运用数学建模的方法，根据旋转体工件的光滑母线方程()y f x =，给出一个合理的加工方案，在尽可能短的时间内完成磨削，并作加工误差分析。
针对问题一：用圆柱型砂轮加工给定母线的旋转体工件给出加工方案，首先用matlab 软件中的‘cubic ’函数插值法绘制出母线曲线图，并用微分法计算曲线的斜率，由于曲线存在斜率为0的点。
则将该母线分为左右1S ,2S 两阶段进行加工，建立旋转插值模型并求解，并用面积拟合方式对旋转插值模型求解得到的数据进行误差分析，最终的加工方案为，取砂轮直径26mm 。
以夹具基准面为加工基准，把加工曲线从极大值点x =21.4286mm 分为两部分分别加工，如图（5-1）所示，先加工右半部分2S ，然后加工左半部分1S ，完成此工件的最优时间为88.4106.1min 。
一、问题重述某科研单位和工厂研制了一种大型精密内外圆曲线磨床，用来加工具有复杂母线旋转体的特殊工件，该磨床主要由机床底座，下工作台，中工作台，上工作台（简称下台、中台和上台），工件工作箱和砂轮机箱等组成，下台、中台可分别沿着设在底座和下台上的直导轨作直线运动，这两组导轨相互垂直；上台能沿中台上的圆导轨作转动。
驱动砂轮高速旋转的砂轮机箱安装在机床底座上，砂轮的旋转轴线与底座导轨方向保持平行，且与工件工作箱的旋转主轴等高（即两旋转轴线位于同一水平面）。
三个台的运动必须相互配合，使工件与砂轮相切磨削，加工出满足要求的旋转体。
本题的研究内容是：运用数学建模的方法，根据旋转体工件的光滑母线方程()y f x =，给出一个合理的加工方案，在尽可能短的时间内完成磨削，并作加工误差分析。
问题1：加工外表面母线为237(600)0.45(600),[0,600]1810y x x x =--+-∈⨯的某旋转体工件，采用圆柱型砂轮加工，给出一个加工方案；并对该方案作误差分析。
问题2：加工外表面母线为400130sin (25)130,[0,600]100x y ex x π-⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭的某旋转体工件，采用轮式砂轮加工，给出一个加工方案；并对该方案作误差分析； 问题3：在整个加工过程中，若各个瞬时砂轮与加工工件的相切点是固定在底座和砂轮旋转轴的坐标系中同一个点（实际是点的一个邻域），随砂轮旋转形成一个圆周，那么砂轮在该圆周上的磨损会加大，从而影响加工质量。
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试作合理的假设并建立数学模型说明这个现象。
（15分）解：对于此题，如果不用任何假设很难证明，结果很可能是否定的。
因此对这个问题我们假设：（1）地面为连续曲面（2）长方形桌的四条腿长度相同（3）相对于地面的弯曲程度而言，方桌的腿是足够长的（4）方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。
那么，总可以让桌子的三条腿是同时接触到地面。
现在，我们来证明：如果上述假设条件成立，那么答案是肯定的。
以长方桌的中心为坐标原点作直角坐标系如图所示，方桌的四条腿分别在A、B、C、D 处，A、B,C、D的初始位置在与x轴平行，再假设有一条在x轴上的线ab,则ab也与A、B，C、D平行。
当方桌绕中心0旋转时，对角线 ab与x轴的夹角记为。
容易看出，当四条腿尚未全部着地时，腿到地面的距离是不确定的。
为消除这一不确定性，令为A、B离地距离之和，为C、D离地距离之和，它们的值由唯一确定。
由假设（1），,均为的连续函数。
又由假设（3），三条腿总能同时着地，故=0必成立（）。
不妨设,g（若也为0，则初始时刻已四条腿着地，不必再旋转），于是问题归结为：已知,均为的连续函数，,且对任意有，求证存在某一，使。
证明：当θ=π时，AB与CD互换位置，故，。
作，显然，也是的连续函数，而，由连续函数的取零值定理，存在，，使得，即。
又由于，故必有，证毕。
2.学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。
内部资料，注意保护，不得乱传！零件几何量检测习题一、判断题1．基本尺寸是零件加工的基本目标。
（ × ）2．最小极限尺寸可以小于、等于或大于基本尺寸。
（ ∨ ）3．某尺寸的上偏差一定大于下偏差。
（ ∨ ）4．极限尺寸减去实际尺寸所得的代数差即为该尺寸的实际偏差。
（ × ）5．由基本偏差所确定的公差带位置反映了尺寸的精确程度（ × ） 6．836F φ与840H φ的标准公差值相等。
（ ∨ ）7．若零件尺寸的精确程度相同，则它们的上、下偏差也应相同。
（ × ）8．67h H 与99h H 配合的最小间隙相同（ ∨ ），最大间隙不同。
（ ∨ ）9．最小间隙等于零的配合与最小过盈等于零的配合二者实质相同。
（ × ）10．若零件实际尺寸正好等于基本尺寸，该零件一定合格。
（ × ）11．偏差为零时也必须标注出“0”字。
（ ∨ ）12．公差等级的代号数字越小，尺寸的精确程度越高。
（ ∨ ） 13．825f φ的基本偏差和标准公差分别为－0.022和0.033毫米，其尺寸标注为)(825011.0022.0+-f φ（ × ） 14．实际尺寸越接近基本尺寸，表明加工越精确。
（ × ）15．属同一公差等级的公差，不论基本尺寸如何，其公差值都相等。
（ × ）16．公差为绝对值概念，在公差带前必须加注“+”符号。
（ × ）17．尺寸090.0050+φ与045.050±φ的精确程度相等。
（ ∨ ）18．孔、轴配合为φ40H9／n9，可以判断是过渡配合。
（ ∨ ）19．按过渡配合加工出来的孔轴配合后，既可能出现间隙，也可能出现过盈。
（ × ）20．未标注公差的尺寸操作工人可按经验自由加工。
（ × ）21．基本尺寸是理想的尺寸。
（ × ）22．公差可以说是允许零件尺寸的最大偏差。
（ × ）23．通过极精确的测量所得的实际尺寸即为真实尺寸。
第五章 光滑工件尺寸的检验1.被测工件为835e φ○E ，已知工艺能力指数pC ＝0.67，尺寸遵循正态分布，要求：（1）选择合适的计量器具；（2）确定验收方式和验收极限，并计算其误差概率；（3）按照极限尺寸判断原则，写出其合格条件。
解：（1） 由表5－1优先选Ⅰ档1u ＝0.0035，由表5－3知可选用：分度值为0.005的比较仪，其'1u ＝0.003<1u（2）835e φ采用了包容要求，应采用内缩的验收极限 由表5－1查得 IT8＝0.039mm ，A ＝0.0039mm 835e φ05.0089.0--所以轴835e φ的验收极限为：上验收极限＝MML-A ＝34.95－0.0039＝34.9461mm 下验收极限＝LML+A ＝34.911+0.0039＝34.9149mm 由表5－5知，误收率m ％＝0，误废率n%=6.98% （3）合适条件为 MML d ≤作用=34.95mm,LML d ≥实际=34.911mm 5．设计检验7850f H φ 的孔、轴工作量规和轴用校对量规的工作尺寸，并画出量规公差带图。
解：（1）选择量规型式由图5－9的推荐，孔用量规通规采用全型量规，止规采用两点式量规；轴用量规的通规、止规均采用卡规。
（2）查表知：039.00850+H φ 025.005.0750--f φ（3）由表5－8查得对于孔用塞规 制造公差T=0.004mm 位置要素Z ＝0.006mm 形状公差p T ＝T/2＝0.002mm对于轴用卡规 制造公差T=0.003mm 位置要素Z ＝0.004mm 形状公差p T ＝T/2＝0.0015mm 校对量规制造公差p T ＝T/2＝0.0015mm （4）计算量规的极限偏差及工作尺寸 ①φ50H8孔用塞规 通规 T ：上偏差＝EI+Z+T/2=0.008mm 下偏差＝EI+Z-T/2＝0.004mm 磨损极限＝EI ＝0通规工作尺寸φ50mm 008.0004.0++ 止规 Z ：上偏差＝ES ＝0.039mm下偏差＝ES-T=0.035mm止规工作尺寸：039.0035.050++φ ② φ50f7轴用卡规通规 T ：上偏差＝es-Z+T/2=-0.0275mm 下偏差＝es-Z-T/2＝-0.0305mm 磨损极限＝es ＝-0.025通规工作尺寸φ50mm 0275.00305.0-- 止规 Z ：上偏差＝ei+T ＝-0.047mm下偏差＝ei=-0.05mm止规工作尺寸：φ50047.005.0--mm ③ 轴用卡规的校对量规“校通－通”量规 TT:上偏差＝es-Z+T/2+T P =-0.0275mm 下偏差＝es-Z-T/2＝-0.0305mm其工作尺寸φ50mm 0275.00305.0-- “校通－损”量规 TS ：上偏差＝es=-0.025mm 下偏差＝es- T P ＝-0.0265mm其工作尺寸φ50025.00265.0--“校止－通”量规 ZT:上偏差＝ei+T P =-0.0485mm 下偏差＝ei ＝-0.050mm其工作尺寸φ500485.0050.0--（5）7850f H φ孔与轴用量规公差带图：。
【题目】数维杯数学建模竞赛2023D题【一、赛题背景】2023年数维杯数学建模竞赛是一项面向全球高中生的数学建模竞赛，旨在提高学生的数学建模能力，激发学生对数学和科学的兴趣。
本届竞赛设有多个题目，其中D题为本文重点讨论的题目。
【二、题目描述】D题的题目描述如下：某公司生产的产品在使用一段时间后可能会出现故障。
为了及时发现并解决这些故障，公司采用了一种检测方案，即每隔一段时间对产品进行一次检测。
假设产品出现故障的概率为p （0<p<1），若产品在某次检测中未出现故障，则下一次检测仍有可能发现故障；若产品在某次检测中出现故障，则下一次检测将不再进行。
现给定产品的使用寿命T，以及故障检测的时间间隔Δt，试设计一种检测方案，使得在给定的时间间隔内，最大限度地提高故障被检测到的概率。
【三、问题分析】根据题目描述，本题要求设计一种检测方案，以最大限度地提高故障被检测到的概率。
为了解决这个问题，需要从以下几个方面进行分析：1.确定故障检测的时间点。
根据产品的使用寿命T和故障检测的时间间隔Δt，需要确定何时进行检测，以最大程度地提高故障被检测到的概率。
2.建立模型。
在确定了故障检测的时间点之后，需要建立数学模型来描述故障被检测到的概率，从而进行优化设计。
3.设计最优方案。
根据建立的数学模型，需要设计一种最优的检测方案，使得在给定的时间间隔内，最大限度地提高故障被检测到的概率。
【四、模型建立】针对上述问题分析，我们首先介绍模型的建立。
1.确定故障检测的时间点。
根据题目描述，假设产品的使用寿命T为t，且故障检测的时间间隔Δt为Δt。
假设在时间点t=0时进行第一次检测，之后每隔Δt的时间进行一次检测。
产品将在时间点t=k*Δt(k为正整数)时进行第k次检测。
2.建立模型。
为了描述故障被检测到的概率，我们可以构建一个随机过程模型来描述产品在每次检测时是否出现故障。
假设产品在第k次检测时出现故障的概率为P(k)，则我们可以得到如下递推关系式：P(k+1) = P(k)*(1-p)其中P(k)表示在第k次检测时，产品出现故障的概率，p表示产品故障的概率。
全国数学建模大赛c题
全国数学建模大赛C题是关于古代玻璃制品的成分分析与鉴别的问题。
题目要求对玻璃文物的表面风化与其玻璃类型、纹饰和颜色的关系进行分析，并结合玻璃的类型，分析文物样品表面有无风化化学成分含量的统计规律，并根据风化点检测数据，预测其风化前的化学成分含量。
解题思路可以从以下几个方面展开：
1. 数据收集：首先需要收集相关数据，包括玻璃文物的类型、纹饰、颜色、表面风化程度、化学成分等信息。
这些数据可以通过查阅文献、参观博物馆、实验室检测等方式获得。
2. 数据清洗：对收集到的数据进行清洗和处理，去除无效数据和异常值，确保数据的准确性和可靠性。
3. 数据分析：利用数学建模的方法对数据进行深入分析，包括相关性分析、回归分析、聚类分析等。
目的是找出玻璃文物表面风化与其类型、纹饰、颜色以及化学成分之间的关系，并预测风化前的化学成分含量。
4. 模型建立：根据数据分析的结果，建立相应的数学模型，以便对未知的玻璃文物进行预测和鉴别。
5. 模型评估与优化：对建立的模型进行评估和优化，确保其准确性和有效性。
在解题过程中，需要注意以下几点：
1. 考虑玻璃的主要原料是石英砂，主要化学成分是二氧化硅（SiO2），助熔剂的不同会对玻璃的化学成分产生影响。
2. 考虑到玻璃类型、纹饰和颜色与其化学成分之间的关系，可以尝试通过特征提取和降维的方法，将高维度的数据转化为低维度的特征，以便更好地进行分析和建模。
3. 在预测风化前的化学成分含量时，需要注意控制变量和误差项的影响，确保预测结果的准确性。
4. 最后，需要对建立的模型进行交叉验证和外部测试，以评估其泛化能力和实际应用价值。
