傅里叶变换基本性质总结

第八章 傅里叶变换8.1 基本要求与内容提要1. Fourier 级数的概念Fourier 级数所考虑的对象是以T 为周期的实值函数)(t f T .（1） Fourier 级数的三角形式∑+∞=+=100)cos (2)(n n T t n a a t f ω，)2,1,0(cos )(22/2/0 ==⎰-n tdtn t f T a T T T n ω， )2,1(sin )(22/2/0 ==⎰-n tdtn t f T b T T T n ω.其中，Tπω20=称为基频.（2） Fourier 级数的指数形式∑+∞-∞==n tjn nT e c t f 0)(ω， )2,1,0()(12/2/0 ±±==⎰-n dt e t f Tc T T tjn T n ω.其中，1-=j 为虚数单位.注1：上述公式要成立，一般要求函数)(t f T 在[-T/2 ，T/2]上满足Dirichlrt 条件——连续或只有有限个第一类间断点；只有有限个极值点.注2：在)(t f T 间断处，公式左边的)(t f T 应为[])0()0(21-++t f t f T T . 注3：三角形式与指数形式之间可由Euler 公式 t n j t n etjn 00sin cos 0ωωω+=相互转换，它们的系数之间有如下关系：200a c =，2n n n jb a c -=，2nn n jb a c +=- （n=1, 2 …）. 2. Fourier 变换的概念Fourier 变换所考虑的对象通常是定义在()+∞∞-,上的非周期函数)(t f . （1） Fourier 积分公式ωττπωωτd e d e f t f t j j ⎰⎰∞+∞-∞+∞--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=)(21)(. （2） Fourier 变换的定义Fourier 正变换：dt e t f t f f F t j ⎰+∞∞--==ωω)()]([)(；Fourier 逆变换：ωωπωd e f t F f t f t j ⎰∞+∞---==)(21)]([)(1，其中，)(ωF 称为)(t f 的像函数，)(t f 称为)(ωF 的像原函数。

通常我们就说)(t f 与)(ωF 构成一个傅氏变换对.注1：Fourier 积分公式要成立或者Fourier 变换要存在，一般要求函数)(t f 在),(+∞-∞上的任一有限区间上满足Dirichlet 条件，且在),(+∞-∞上绝对可积.注2：在)(t f 的间断处，Fourier 积分公式的左端应为[])0()0(21-++t f t f . 注3：公式中的广义积分是柯西（Cauchy ）主值. 3. Fourier 变换的物理意义)(F ω一般为复值函数，故可表示为)(jargF e)(F )(F ωωω=.称)(F ω为频谱密度函数（简称频谱或连续频谱）；)(F ω为振幅谱；)(argF ω为相位谱. 4. 单位脉冲函数)(t δ通过引入单位脉冲函数，可以扩大Fourier 变换的使用范围，且能将Fourier 变换与 Fourier 级数统一起来，具体说，就是借助单位脉冲函数，使得一些非绝对可积的函数 （包括周期函数等）也能进行Fourier 变换. （1） 单位脉冲函数的概念单位脉冲函数)(t δ是满足下面两个条件的函数： [1] 当0≠t 时，0)(=t δ； [2]1)(=⎰+∞∞-dt t δ.（2）基本性质与重要公式筛选性质：)0()()(f dt t f t =⎰+∞∞-δ；)()()(00t f dt t f t t =-⎰+∞∞-δ.对称性质：)()(t t -=δδ. Fourier 变换：1)()]([0====-+∞∞--⎰t tj t j e dt e t t f ωωδδ；[])(2111t d e f t j δωπω==⎰∞+∞--.5. Fourier 变换的性质下面是Fourier 变换的一些基本性质，其中)]([)(,)]([)(t g f G t f f F ==ωω. 线形性质：[])()())()((ωωbG aF t bg t af f +=+； [])()())()((1t bg t af bG aF f+=+-ωω.位移性质：00[()]()j t f f t t eF ωω--=；010[()]()j tf F e f t ωωω--=.相似性质：1[()]()f f at F a aω=. 微分性质：()[()]()()n n f ft j F ωω=，要求()lim ()0(1,2,1)k t f t k n →+∞==-1()[()]()()n n n f F j t f t ω-=-. 积分性质：1[()]()tf f t dt F j ωω-∞=⎰，要求lim ()0t t f t dt -∞→+∞=⎰.帕塞瓦尔（Parseval ）等式：()221()()2f t dt F d ωωπ+∞+∞-∞-∞=⎰⎰.6. 卷积与卷积定理卷积定义：1212()()()()f t f t f f t d τττ+∞-∞*=-⎰.运算法则： 1221()()()()f t f t f t f t *=*； [][]123123()()()()()()f t f t f t f t f t f t **=**； []1231213()()()()()()()f t f t f t f t f t f t f t *+=*+*. 卷积定理：[]1212()()()()f f t f t F F ωω*=； []12121()()()()2f f t f t F F ωωπ=*. 7. 一些基本函数的Fourier 变换矩形脉冲函数：1,()(0)0,t a f t a t a⎧≤⎪=>⎨>⎪⎩，sin ()[()]2a F f f t aa ωωω==. 单边衰减指数函数：,0()(0)0,0at e t f t a t -⎧≥=>⎨<⎩，1()[()]F f f t a j ωω==+.单位阶跃函数：1,0()0,0t u t t >⎧=⎨<⎩1()[()]()U f u t j ωπδωω==+. 其它常用函数：[()]1f t δ=， [1]2()f πδω=，()[]2()n n n f t j πδω=， 00[]2()j tf eωπδωω=-，[]000[cos ]()()f t ωπδωωδωω=-++， []000[sin ]()()f t j ωπδωωδωω=+--.8.2 典型例题与解题方法例1 设()T f t 是以2T π=为周期的函数，且在区间[]0,2π上()T f t t =，将()T f t 展开为指数形式的Fourier 级数.分析：在对周期函数进行Fourier 级数展开时，首先要由函数的周期T 求出基频0ω，有时题目没有明确地给出周期，则需要根据题目所给的函数确定出周期；其次在求系数时，积分可以在任何一个长度为T 的区间上进行.解：令021Tπω==，当0n =时， /220/200111(0)()()2T T T T T c F f t dt f t dt tdt T T πππ-=====⎰⎰⎰；当0n ≠时，0/20/21()()T j tn T T c F n f t e dt Tωω--==⎰020011()2T jn t jnt T f t e dt te dt T πωπ--==⎰⎰2012jnttden j ππ-=-⎰ 22001122jntjnt te e dt n j n jππππ--=+-⎰ j n=例2 求函数1,10()1,010,1t t f t t t t ⎧+-<<⎪=-<<⎨⎪>⎩的Fourier 变换.解：根据Fourier 变换的定义有()[()]()j t F f f t f t e dt ωω+∞--∞==⎰110(1)(1)j t j t t e dt t e dt ωω---=++-⎰⎰110(1)(1)j t j t t e dt t e dt ωω-=-+-⎰⎰1122(1)cos (1)sin t tdt t d t ωωω=-=-⎰⎰ 1122(1)sin sin t t tdt ωωωω=-+⎰ 12222cos (cos 1)t ωωωω=-=--.例3 求函数22()sin jtf t et =的Fourier 变换分析：本题由一些基本初等函数构成，可直接利用Fourier 变换的性质来求解.解一：()22421()2124jt jtjt j t j t e e f t e e e j -⎛⎫-==--+ ⎪⎝⎭，由 00[]2()[1]2()j t f e f ωπδωωπδω=-=及有 ()[()](4)2(2)()2f f t πδωδωδω=----+.解二：由于()21sin 1cos 22t t =-，且000[cos ][()()]f t ωπδωωδωω=-++，故有 ()21[s i n ][2()(2)(2)]2f t πδωπδωδω=--++，、 再由位移性质有 [()][2(2)(4)()]2f f t πδωδωδω=----.例4 求函数2()()cos f t u t t =的Fourier 变换.解： 2()()2j t j te ef t u t -⎛⎫+= ⎪⎝⎭()2211()()24j t j t u t e e u t -=++， 由 1()[()]()U f u t j ωπδωω==+及位移性质，有 111()[()]()(2)(2)244F f f t U U U ωωωω==+-++()()111111()(2)(2)24242j j j πδωπδωπδωωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()211()22244j j ωππδωδωδωωω⎛⎫=+++-++ ⎪-⎝⎭. 例5 分别求下列函数的Fourier 变换. （1）1()sin f t t t =； （2）22()()f t t u t =. 解（1） 根据微分性质有11()[()][sin ][sin ]dF f f t f t t jf t d ωω===， 再由 [s i n ][(1)(1f t j πδωδω=+--， 即得 1()[(1)(1)]F ωπδωδω''=-+--. （2） 由1()[()]()U f u t j ωπδωω==+及微分性质，有 2221()[()]()()F f f t U j ωω''==- 21()j πδωω'⎛⎫'=--+ ⎪⎝⎭32()j πδωω''=--.例6 求函数2()(1)(2)cos f t t t t δ=--的Fourier 变换.分析：当函数()f t 中含有单位脉冲函数时，必须利用单位脉冲函数的性质来做积分. 解：由Fourier 变换的定义及单位脉冲函数的筛选性质有 2()[()](1)(2)cos j t F f f t t t te dt ωωδ+∞--∞==--⎰21(2)cos cos1j t j t t t e e ωω--==-= .例7 设()[()]F f f t ω=，证明：函数()f t 为实值函数的充要条件为()()F F ωω=-. 分析：本题的关键是，在Fourier 变换中，共轭与积分号是可以交换的，即先积分再取共轭与先取共轭再积分是一样的.证明：（1）必要性：若函数()f t 为实值函数，由()()j t F f t e dt ωω+∞--∞=⎰有()()()j t j t F f t e dt f t e dt ωωω+∞+∞---∞-∞==⎰⎰()()()()j tj t f t e dt f t e dt F ωωω+∞+∞---∞-∞===-⎰⎰.（3） 充分性：若()()F F ω=-，由1()()2j t f t F e d ωωωπ+∞-∞=⎰，有11()()()22j t j t f t F e d F e d ωωωωωωππ+∞+∞--∞-∞==-⎰⎰1()()2j t F e d f t ζωζζζπ+∞-∞-==⎰令，即函数()f t 为实值函数.例8 设()tf t eββ-=>（0），求()[()]F f f t ω=，并证明220cos 2tt d e βωπωβωβ+∞-=+⎰.分析：本题的第一步是求Fourier 变换，既可用定义来求，也可以化为两个单边衰减指数函数来求；第二步的证明实际上是求Fourier 逆变换.但做这类证明题说有两点要注意：第一，若函数有间断点，应考虑断点的取值；第二，由于Fourier 变换与逆变换中的广义积分是取柯西主值，因此可充分利用奇（偶）函数在对称区间上的积分性质. 解：（1）()[()]tj t F f f t ee dt βωω+∞---∞==⎰t j t t j t e e dt e e dt βωβω+∞----∞=+⎰⎰()()0j tj t edt e dt βωβω+∞+∞-+--=+⎰⎰22112j j ββωβωβω=+=+-+. （2）由Fourier 积分公式有 11()[()]()2j t f t f F F e d ωωωωπ+∞--∞==⎰22122j te d ωβωπβω+∞-∞=+⎰ 2222122cos sin 22jtd td ββωωωωπβωπβω+∞+∞-∞-∞=+++⎰⎰2222cos 2ttd e ββωωπβω+∞-==+⎰. 即得 220cos 2tt d e βωπωβωβ+∞-==+⎰.例9 求下列函数的卷积2()()f t t u t =，2,12,()0,t g t ≤≤⎧=⎨⎩其他.解：由卷积的定义及性质有 ()()()()f t g t f g t d τττ+∞-∞*=-⎰()()g f t d τττ+∞-∞=-⎰，由图7.1可得，当1t ≤时，()()0f t g t *=；当12t <<时， 2312()()2()(1)3tf tg t t d t ττ*=-=-⎰ ； 当2t ≥时，23312()()2()(1)(2)3t f t g t t d t t ττ⎡⎤*=-=---⎣⎦⎰ .综合得 ()3330,1,()()2(1)/3,12,2(1)(2)/3, 2.t f t g t t t t t t ⎧≤⎪⎪*=-<<⎨⎪---≥⎪⎩。