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信号分析与处理——傅里叶变换性质傅里叶变换是信号处理中常用的分析方法，通过将信号在频域上进行分解，可以获得信号的频谱信息，并对信号进行频谱分析，从而实现对信号的处理与改变。
傅里叶变换具有以下几个重要的性质，这些性质对于信号处理的理解和实际应用至关重要。
1.线性性质：傅里叶变换具有线性性质，即对于任意两个信号x(t)和y(t)，以及对应的傅里叶变换X(f)和Y(f)，有以下关系：a) 线性叠加：傅里叶变换对于信号的叠加是可线性的，即如果有h(t) = cx(t) + dy(t)，则H(f) = cX(f) + dY(f)。
b) 变换的线性组合：如果有z(t) = ax(t) + by(t)，则Z(f) =aX(f) + bY(f)。
这种线性性质为信号的分析和处理提供了很大的方便，可以通过分别对不同组成部分进行变换，再进行线性组合，得到最终的处理结果。
2. 平移性质：傅里叶变换具有平移性质，即如果一个信号x(t)的傅里叶变换为X(f)，则x(t - t0)的傅里叶变换为e^(-j2πft0)X(f)，其中t0为平移的时间。
这意味着信号在时域上的平移将对应于频域上的相位变化，而频域上的平移则对应于时域上的相位变化。
4.卷积定理：傅里叶变换还具有卷积定理，即信号的卷积在频域上等于信号的傅里叶变换之积。
具体来说，如果两个信号x(t)和h(t)的傅里叶变换分别为X(f)和H(f)，则它们的卷积y(t)=x(t)*h(t)的傅里叶变换为Y(f)=X(f)×H(f)。
这个性质在实际的信号处理中有着重要的应用。
通过将两个信号在时域上的卷积转化为频域上的乘法操作，可以方便地进行信号处理的设计和实现。
5. Parseval定理：傅里叶变换还具有Parseval定理，即信号的能量在时域和频域上是相等的。
具体来说，如果信号x(t)的傅里叶变换为X(f)，则有∫，x(t)，^2dt = ∫，X(f)，^2df。
这个性质意味着通过傅里叶变换可以实现信号的能量分析和功率谱估计，从而对信号的能量进行定量的测量。
实函数的傅里叶变换傅里叶变换是一种非常重要的数学工具，它可用于将一个实函数表示为一组正弦和余弦函数的线性组合形式。
这种表示方式在很多领域都得到了广泛应用，包括信号处理、图像处理、物理学、工程学等等。
在本文中，我们将讨论实函数的傅里叶变换的基本概念、性质和应用。
1. 基本概念对于一个在整个实轴上有定义的实函数f(x)，其傅里叶变换为：F(k) = ∫(-∞，∞) f(x) e^(-2πikx) dx其中，k为实数，e为自然对数的底数，i为虚数单位。
上式中，F(k)表示函数f(x)在频率k处的振幅。
这种将函数表示成频率的方式很有用，因为在很多应用中，我们更关心的是信号的频率特征。
在实际计算傅里叶变换时，需要注意函数f(x)在整个实轴上的性质，比如是否为周期函数、是否有界等等。
2. 傅里叶变换的性质傅里叶变换具有许多重要的性质，其中一些是：线性性质：如果f(x)和g(x)的傅里叶变换分别为F(k)和G(k)，那么a f(x) + b g(x) 的傅里叶变换为 aF(k) + bG(k)。
对称性质：如果f(x)是一个实函数，则它的傅里叶变换F(k)是一个实函数。
此外，如果f(x)是偶函数，则F(k)也是偶函数；如果f(x)是奇函数，则F(k)是虚函数。
3. 应用傅里叶变换在工程学、物理学、数学以及其他许多领域都有广泛应用。
下面我们简要介绍一些应用情况：信号处理：在信号处理领域，傅里叶变换用于分析和处理信号的频率特征，比如过滤高频噪声、增强信号等等。
物理学：在物理学中，傅里叶变换用于描述某些物理现象的波动特征，比如声波、电磁波等等。
数学：傅里叶变换在数学领域也有广泛应用，比如在微积分、概率论、偏微分方程等领域。
总之，傅里叶变换是一种非常有用的数学工具，它将实函数表示为正弦和余弦函数的线性组合形式，可被用于许多应用领域中。
在使用傅里叶变换时，需要了解其基本概念和性质，并根据具体应用情况进行分析和处理。
傅里叶变换的基本性质（一）傅里叶变换建立了时间函数和频谱函数之间转换关系。
在实际信号分析中，经常 需要对信号的时域和频域之间的对应关系及转换规律有一个清楚而深入的理解。
因此有必要讨论傅里叶变换的基本性质，并说明其应用。
一、线性傅里叶变换是一种线性运算。
若-'1 ' 一 1 一八餐丄I则嗽（0 +罰⑷ G 迅（j 由）+ 碍（Jtu ） （3-55）其中a 和b 均为常数，它的证明只需根据傅里叶变换的定义即可得出。
例3-6利用傅里叶变换的线性性质求单位阶跃信号的频谱函数，；「"由式（3-55）得=侔7(/)}=-屛1} + - (sgn( /)}=丄 K 刼罠珂 + 丄用2 二足飢也)+ —2 2 2 2 JtDJ QJ、对称性（3-56）则」将上式中变量少换为x ，积分结果不变，即证明因为fC ）二丄「EQ 讣叫田N J2^(i) = f F(J 噪叫a 2^(-1)=「F(j 嫌小咕J —TO」一再将t用夕代之，上述关系依然成立，即2戒（―型）-[Jr-CD最后再将x用t代替，则得—Lm—® ”所以,fl- —■-'■ ■■*证毕若八」是一个偶函数，即-'二丿■，相应有-，："J，则式（3-56）尺〔血—2对'（创）C3-57）成为可见，傅里叶变换之间存在着对称关系，即信号波形与信号频谱函数的波形有着互相置换的关系，其幅度之比为常数二丁。
式中的-兰表示频谱函数坐标轴必须正负对调。
例如：/（0 =郭）㊀S）=l FS）= 1㊀2才㈣=2斶眄例3-7若信号；二的傅里叶变换为< r 72G3> r <2试求。
解将中的"换成t,并考虑;-"；1为兰的实函数，有M |r|G 戈0 |t|>r/2该信号的傅里叶变换由式（3-54）可知为頁恥）卜2氓旳（号）根据对称性丿二为抽样函数，其波形和频谱如图 3-20所示三、折叠性四、尺度变换性若门與]◎丄厅（」二）8为大干零的实常数）（3-59）则a a证明因a > 0, 由再将/（-②）中的-田换成t ,则得-r/20r/2/（T ）台F （-屈“ 丫珂一[/⑷的实函数I/G ）閃虛函数(3-5S)两种信号的波形及频谱函数如图3-21所示令，则••昭一一，代入前式，可得'J 小沿频率轴扩展（或频率尺度压缩）a 倍该性质反映了信号的持续时间与其占有频带成反比， 信号持续时间压缩的倍数恰好等于占有频带的展宽倍数，反之亦然。
根据尺度变换性，信号丿二比人■的时间尺度扩展一倍，即波形压缩了一半,因此其频谱函数心（勿叮/（肘皿虫」心*〕 a a a证毕函数表示沿时间轴压缩（或时间尺度扩展）a 倍，而心)a则表示7(0 =例3-8已知|r| < r ,4艸川4，求频谱函数F"）E解前面已讨论了^\<rf2*卜"2的频谱函数，且耳=尿％（严d * + （3-51）则'证明畑）严卜匚畑曲严&三匚/饮弘如必訂Lx©干亦证毕频移性说明若信号丿二乘以二+「二相当于信号所分解的每一指数分量都乘以■■-' ■',这就使频谱中的每条谱线都必须平移 -：，亦即整个频谱相应地搬移了込位置。
频谱搬移技术在通信系统得到了广泛应用，诸如调幅、同步解调、变频等过程都是在频谱搬移的基础上完成的。
频谱搬移实现原理是将信号乘以所谓载频信号：’「或，即七、时域微分性（3-32）/Q) cos更葩证明：因为比J_tD两边对t求导数，得昭二」一J j 窗（J所以 同理，可推出:例3-10求… L'' ■'的频谱函数■' 'r ，- 0解：因为例3-11图3-22所示信号■为三角形函数解：将微分两次后，得到图3-22（c ）所示函数，其表达式为1 9 1八f)二—卑卄)_ —占©) + _观f-T )' T TT'190②卜 T 讥『⑷｝二—-2卄宀）二—[皿迹一 I]傅里叶变换的基本性质（二）八、频域微分性di由时域微分性“XT所以次）｝=罷斗耳滸士驴由微分性（3-63）例3-12求/W =^ffl的频谱函数应。
⑷）。
U側G农魂少）+丄解：因为工tU（t} <-> j -^- 鑑氓a?） + — = j充占（少）--根据频域微分性如丿囹」也九、时域积分性若.'1 ''f 处妙0 尸血+曲（0迈（3-64）」■»JO）则^例3-13根据宀；’和积分性求厂：’「的频谱函数。
解：因为宀」，又（1 o ' ，根据时域积分性口（£）_+圧魂呦丿少例3-14求图3-23所示信号的频谱函数「亠心八f ） 0丄严丄-i 二畀酒更）rTT 2由时域积分性/'①=「/'(x)必o —siii( —)H-^xO 占⑷)=2sin(—)=肪(竺)」F T£U 2 TO) 22 1/(/) -「f (_x)必 ㊀一sin( —) + ^zSot(O)占㈣-悠迓血)十—3」F JtD I 2 JtD 2皿）—E /2 0 TilS3 -23十、频域积分性 若—..例3-15已知宀；，求一。
解：因为㈠21 ［占（血一1）-必（①+1”二丿広［$（如+1）_占〔口 一 1）］ 荀丄砍0）気f ）+»@）㈠丄『巩戸妙J£C3-65)解：丿二对；求两次微分后，得/'p) = -3(i+T/25 -丄死一珂2)T T1/r(1/r)sin(二—-e _JI2/r/2-r/2°根据频域积分性㊀丄「卯险尤41）一占b —1）矗=用0® + 1）—5由-1）]十、时域卷积定理若K a）0骂（庖弭（0—耳（屈flU）丸匸心e F心闻F山血（3-S0）则证明：w */a©}=r [r卫（也。
-書的=r齐（巧T加-書”加必几二J—JF-«£fc L』一©」*—©[F?（J由沁w岛二恳（严）「厶（少勺叫『二场（J少）珥（州）证毕J―J—5Q例3-16图3-24（a）所示的三角形函数h⑷r|1_7 *1"、o *E可看做为两个如图3 —24（b）所示门函数卷积。
试利用时域卷积定理求其频（J切）。
谱函数用如竺）G 0） f ——=磁（一）少厂 2~21A号―的希伯特变换f 二是」和上的卷积，即= /©* 2 =丄「旭咒J解：因为由时域卷积定理S3 - 24则对称性有走 —少 2定= _2；T£gn ［眄jE I-j £gn （少）解：因所以5*0 q ） =例3-17 一个信S3若则有1/r-T 0(b)木（1仃）解：因为AO = /W*-— -严却（妙巩冏或川"血心2胡耳（Q 对）例3-18利用频域卷积定理求「门'"■的傅里叶变换’’所以根据频域卷积定理 '1'■■'，有ZiCVaW ㊀亠血（7®）#冯（沟）〔3-6町傅里叶变换的基本性质（三）十二、频域卷积定理由对称性I O jN 鼓〔曲U(t)料 仇5(曲)+_!_2(1/r)/1 © —耳(■/⑵)人②〜理（丿序（』少）二」一［』2圧『（OJ ）卜5Zt^£U ）+ —2^L J£U_FCM 二网何-（A ）OJ十三、帕塞瓦尔定理Z （0 ㈠ Kg A （0 ㈠尽（2）「力（*）几©曲=丄「眄/必）尸2（衍旭刚 （3-QS ）若齐©杪［为实函数，则「珂（j 曲）F 丁（ja/M 般（3-71J—K例3-19求〕」—。
9&?（妙畑二竺＞：丄「2防夙2H 沁⑪伽* ^ 4 2茁」〜―… - ■'- -， 由帕塞瓦尔定理可得2J ?・ ■ 1 . - 1 , JJTtJ （tu ） + 占（心）*— = j 冗古（£U ）+ S （甲）* （—）可推广口为（心讣匚M 训也（3-69）若乳©为实函数，则打不®）出迢（3-70）解：因「肋）（咖田=获）G?㈣=怎十四、奇偶性若和（如心二用㈣，则（1）当'■■为实函数时，则尺仙）=|^G^| =尺（一妙］炉〔曲）=-机-G ）若-1为实偶函数，即-「；』〔，则若-’「为实奇函数，即「飞—：，则玖間=承（㈤&型）=0⑵当；■■为虚函数，即「「二时，则（3-73）R （n ）） =左（一曲）X （-x（3-72）（3-74）F （（y ） = F（— 戚迢）--职应（妙-一丘（一劲 X ㈣二"0J ）j 0-75）5.时移性”士 G%氓知6.频移性宀加）礼⑷干珂）］7•时域微分（河眄伽）8.频域微分S)9.时域积分 f 点伽川间+讦◎込）10.频域积分£-f F(j如11.时域卷积血迅（M）12.频域卷积壬码0珂爪见0田）13.帕塞瓦尔定理周期信号虽然不满足绝对可积的条件，但其傅里叶变换是存在的。
由于周期信号频谱是离散的，所以它的傅里叶变换必然也是离散的，而且是由一系列冲激信号组成。
下面先讨论几种常见的周期信号的傅里叶变换，然后再讨论一般周期信号的傅里叶变换。
一、复指数信号的傅里叶变换对于复指数信号\ （3-76）因为，由频移性'复指数信号是表示一个单位长度的相量以固定的角频率CD0随时间旋转，经傅里叶变换后，其频谱为集中于日A强度为二：的冲激。
这说明信号时间特性的相移对应于频域中的频率转移。
恥Q有o(F图E、余弦、正弦信号的傅里叶变换Z （7） - cos -对于余弦信号’-其频谱函数抵&①一習）+碍）］&-?7）对于正弦信号占曲—g扎(0 = sin = ---------- ------2?它们的波形及其频谱如图3-25所示増（」珂=丄【2汙圾少—％） - 2兀彳心+吗）］ 2丿术広© Y0洱/可讣瓯印十殆—&少—％）］栏a 劲丄何A0) =血砒A 曲眩丿効三、单位冲激序列1厂的傅里叶变换若信号；二为单位冲激序列，即则其傅里叶级数展开式为 "-■对其进行傅里叶变换，并利用线性和频移性得［笛 0/(J a?) = — ^ 2打取田一冷Q)=门£ $仙一幷G)(3~81)可见，时域周期为丁的单位冲激序列，其傅里叶变换也是周期冲激序列，而 频域周期为二，冲激强度相等，均为二o 周期单位冲激序列波形、傅里叶系数： 与频谱函数巩阿 如图3-26所示。
对于一般周期为T 的周期信号丿二，其指数型傅里叶级数展开式为/(O = (町=F 3(t -nT)(3-70)-2T-T0 T 2T四、 般周期信号的傅里叶变换对上式两边取傅里叶变换，并利用其线性和频移性，且考虑到 与时间，无关，可得= £ F* 2陌罠旧一阳C 〕= 2环》丘3(旧一冷(3-82)iS ・FDK"—KJ式(3-82)表明，一般周期信号的傅里叶变换(频谱函数)是由无穷多个冲激函数 组成，这些冲激函数位于信号的各谐波频率'-…处，其强度为相应 傅里叶级数系数’‘”的：倍。
