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傅里叶变换的基本性质

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傅里叶变换性质证明

傅里叶变换性质证明

傅里叶变换性质证明性质一：线性性质F[a*f(t)+b*g(t)]=a*F[f(t)]+b*F[g(t)]其中F表示傅里叶变换。

这个性质的证明非常简单，我们只需将傅里叶变换的定义代入到等式中即可。

性质二：时移性质时移性质指的是时域上的移动会导致频域上的相位变化。

设F[f(t)]表示函数f(t)的傅里叶变换，则有：F[f(t - a)] = e^(-2πiaω) * F[f(t)]其中a是常数，ω是角频率。

这个性质的证明可以通过将f(t-a)展开成泰勒级数，并代入傅里叶变换的定义进行推导得到。

性质三：频移性质频移性质指的是频域上的移动会导致时域上的相位变化。

设F[f(t)]表示函数f(t)的傅里叶变换，则有：F[e^(2πiaω0) * f(t)] = F[f(t - a)]其中a是常数，ω0是角频率。

这个性质的证明可以利用傅里叶变换的定义以及欧拉公式进行推导。

性质四：尺度变换性质尺度变换性质指的是时域上的信号缩放会导致频域上的信号压缩。

设F[f(t)]表示函数f(t)的傅里叶变换，则有：F[f(a*t)]=，a，^(-1)*F[f(t/a)]其中a是常数。

这个性质的证明可以通过将f(a*t)展开成泰勒级数，并代入傅里叶变换的定义进行推导得到。

性质五：卷积定理卷积定理是傅里叶变换中最重要的性质之一、它指出卷积在频域上等于两个函数的傅里叶变换的乘积。

设f(t)和g(t)是两个函数，f(t)*g(t)表示它们的卷积，F[f(t)]和F[g(t)]表示它们的傅里叶变换，则有：F[f(t)*g(t)]=F[f(t)]*F[g(t)]其中*表示卷积，乘法表示两个函数的傅里叶变换的乘积。

这个性质的证明可以通过将卷积展开成积分形式，然后利用傅里叶变换的定义进行推导得到。

以上是傅里叶变换的几个重要性质及其证明。

这些性质使得傅里叶变换具有很强的分析和应用能力，在信号处理、图像处理、通信等领域得到广泛应用。

这些性质的正确性和证明对于理解和应用傅里叶变换非常重要。

傅里叶变换及其应用

傅里叶变换及其应用

傅里叶变换及其应用傅里叶变换（Fourier Transform）是一种重要的数学工具和数学分析方法，广泛应用于信号处理、图像处理、通信系统、量子力学等领域。

通过将一个函数表示成一组正弦和余弦函数的叠加，傅里叶变换能够将时域中的信号转化为频域中的信号，从而使得复杂的信号处理问题变得更加简单。

本文将介绍傅里叶变换的原理、性质以及其在实际应用中的几个重要方面。

一、傅里叶变换的原理和基本定义傅里叶变换是将一个函数f(x)表示成指数函数的叠加的过程。

设f(x)在时域上是以周期T为基本周期的连续函数，那么其傅里叶变换F(k)在频域上将成为以1/T为基本周期的连续函数。

傅里叶变换的基本定义如下：F(k) = ∫[f(x) * e^(-i2πkx/T)]dx其中，i是虚数单位，k是频率变量。

通过这样的变换，我们可以将时域上的函数转换为频域上的函数，从而可以更加清晰地分析信号的频谱特征。

二、傅里叶变换的性质傅里叶变换具有一些重要的性质，这些性质使得傅里叶变换成为一种强大的工具。

1. 线性性质：傅里叶变换具有线性性质，即若f(x)和g(x)的傅里叶变换分别为F(k)和G(k)，则对应线性组合的傅里叶变换为aF(k) +bG(k)，其中a和b为常数。

2. 时移性质：若f(x)的傅里叶变换为F(k)，则f(x - a)的傅里叶变换为e^(-i2πak/T)F(k)，即时域上的平移将对频域上的函数进行相位调制。

3. 频移性质：若f(x)的傅里叶变换为F(k)，则e^(i2πax/T)f(x)的傅里叶变换为F(k - a)，即频域上的平移将对时域上的函数进行相位调制。

4. 尺度变换性质：若f(x)的傅里叶变换为F(k)，则f(ax)的傅里叶变换为1/|a|F(k/a)，即函数在时域上的尺度变换会对频域上的函数进行缩放。

5. 卷积定理：若f(x)和g(x)的傅里叶变换分别为F(k)和G(k)，则f(x) * g(x)的傅里叶变换为F(k)G(k)，即在频域上的乘积等于时域上的卷积。

傅里叶变换的性质

傅里叶变换的性质
பைடு நூலகம்
由于 满足绝对可积条件，其傅里叶变换不含冲激函数，故
10） 频谱如图 5.4-8(d)所示。
（5.4-
(a)
(b)
(c) 图 5.4-8 三角脉冲信号及其频谱 若傅里叶变换式对 求导，可得频域微分性质：
(d) （5.4-11）
例 5.4-6 利用频域微分性质求斜变函数 解
的傅里叶变换。
根据频域微分性质，有
4 傅里叶变换的性质
傅里叶变换建立了信号的时域与频域间的一般关系。实际上， 通过数学运算求解一个信号的傅里叶变换不是最终的目的，重要的是在信号分 析的理论研究与实际设计中能够了解当信号在时域进行某种运算后在频域将 发生何种变化，或反过来从频域的运算推测时域信号的变动。如果采用傅里叶 变换的基本性质求解复杂信号变换，不仅计算过程简单，而且物理概念清楚。
一、线性 傅里叶变换的线性性质包含齐次性与可加性，若
，
则
（5.4-1）
式中 、 为任意常数。
上面的结论可以容易地由傅里叶变换的定义式证明。即傅里 叶变换是一种线性运算，相加信号的频谱等于各个信号的频谱之和。
二、对偶性 若
则
如图 5.4-1 所示，其中
，
。
图 5.4-1 对偶性说明 证明 由逆傅里叶变换公式
（5.4-8）
图 5.4-7 符号函数及其频谱 利用常数 1 和符号函数的傅里叶变换，可求得阶跃函数的变换。由于
故有
（5.4-9）
阶跃函数的傅里叶变换在 处为
，在 处为
。
例 5.4-5 利用时域微分性质求图 5.4-8(a)所示三角脉冲 信号的傅里叶变换。
解 三角脉冲信号可表示为
对 求两次导数，波形如图 5.4-8(b)和(c)所示。根据微分性质得

信号分析与处理——傅里叶变换性质

信号分析与处理——傅里叶变换性质

1. 线性 2. 奇偶性 3. 对偶性 4. 尺度变换特性 5. 时移特性
6.
频移特性
7.
微分特性
8.
积分特性
9. 帕斯瓦尔定理
10. 卷积定理
1、线性（叠加性）
若:
x1 (t) X1 ()
x2 (t) X 2 ()
则: a1x1 (t) a2 x2 (t) a1 X 1 () a2 X 2 ()
Sa(t0
)e
j t0 2
2
由积分性质，可得 的x频2 (谱t)为
X 2 ()
X1() j
X1(0) ()
又因为： 所以得：
X1(0) 1
X 2 ()
1
Sa(
t0
)e
j
t0 2
j 2
()
9、帕斯瓦尔定理
若: x(t) X ()
则:
x(t) 2 dt 1 X () 2 d
2
式(2-100)为有限能量信号的帕斯瓦尔公式
2
)
由线性和时移特性，有:
X
2
()
3Sa(
3
2
)
X
()
1 2
e
j
5 2
X 1 ( )
e
j 5 2
X
2
()
e
j 5 2
1 2
Sa(
2
)
3Sa( 3
2
)
例：求三脉冲信号的频谱
g (t为)P36页的标准矩形脉冲信号
求如下三脉冲信号的频谱函数
x(t) g(t) g(t T ) g(t T )
解：
X () G()(1 e jT e jT ) G()(1 2 cosT ) E Sa( )(1 2 cosT )

信息光学傅里叶变换的基本性质和有关定理

信息光学傅里叶变换的基本性质和有关定理

1.7.3复振幅分布的空间频谱
任意的平面波可以用空间频率表示
(x, y)面上的平面波具有如下形式
在相干光照明下g(x,y)是xy面上复振幅分布
指数基元
表示传播方向余弦（cosα＝λξ，cosβ＝λη）
的单位振幅的单色平面波。而g(x,y)可看成无数基元函数代表的平 面波叠加。
空间频谱可用方向余弦表示
exp(i*x)=cos(x)+i*sin(x)
a (P)和φ(P)是P点的振幅和初相位。
通常用指数函数表示一点的光振动
优点：可以将与位置有关的φ(P)和与时间有关的2πνt分开。 定义复振幅 为单色波场P点的复振幅。它与时间无关，仅是空间的函数。 即描述了光振动的空间分布。而时间因子exp(2πνt）对各点均相 同，可省略。
3. 4.实函数
即
由于输入余弦函数的频率是任意的，上式可写为
说明在线性不变系统中，在有实值脉冲的响应情况下，余弦函 数将产生同频率的余弦输出。但有衰减和相移。其改变程度由传递 函数的模和辐角决定。
1.7 二维光场分析
光波的数学描述。 1.7.1. 单色光波场的复振幅表示 单色光波场中某点P在时刻t的振动为
1.5.2
傅里叶变换的基本定理
1. 卷积定理 如果 则
பைடு நூலகம்
2.相关定理 （1）互相关定理 如果 则 ☆ ,
称F*(ξ,η)G(ξ,η)为函数f(x,y)和g(x,y)的互谱能量密度（互谱密度）
（2）自相关定理 设 则 ☆
（3)巴塞伐定理 设 且积分
存在,则 表示能量守恒。
1.4.4.广义巴塞伐定理 设
称ξ为沿x方向的空间频率。 y方向的周期为无穷。
同样对y方向，当cosβ≠0也可得到 ，空间频率 在z方向 空间频率

傅里叶变换的性质

傅里叶变换的性质

1 0 1
21 31
即：
T
t
1 e jn1t T n
再求这个级数的傅氏变换
F
1 T n
e
j
n1t
2
T
n
n1
1 n1
n
T t 的频谱函数如图2-25b所示。 F
1
1
0 1
21 31
单位周期冲激序列的傅氏变换仍为周期冲激序列。
9、奇、偶、虚、实性
f t为实函数时， F 的模与幅角、实部与虚部表示形式
-1
0
0
0
/2
0
0
0
/2
例2-5 求如图2.-18所示
f t 的 F 并作图。
f t
A
t
2
2
-A
解 令 f1t Ag t ， f t f1tcos0t 0 2 /
图 2 .
F1 ASa / 2
3
4
则
F
1 2
F1
0
F1
0
A
2
S
a
0 2
Sa
0 2
其中 0 2 /
F1以及 F 如图2-19所示。
a a
特别地，当 a 1 时，得到 其频谱亦为原频谱的折叠，即
f t 的折叠函数 f t ，
f t F 。
尺度特性说明，信号在时域中压缩，频域中就扩展；反 之，信号在时域中扩展，在频域中就一定压缩；即信号 的脉宽与频宽成反比。一般来说时宽有限的信号，其频 宽无限，反之亦然。
可以理解为信号波形压缩（扩展）
为
F f te jtdt
f
t co std t
j
f tsin tdt

傅里叶变换的性质解析

4
3.微分性质
如果f(t)在(-, +)上连续或只有有限个可去
间断点, 且当|t|+时, f(t)0, 则
F [f '(t)]=jwF [f(t)].
(1.17)
• 推论
• F [f(n)(t)]=(jw)nF [f(t)].
(1.18)
5
同样, 我们还能得到象函数的导数公式, 设
F [f(t)]=F(w), 则
d
dw
F (w ) F
[- jtf (t)].
一般地, 有
dn
dw n
F (w )
(-
j) n F
[t n f (t)]
jn
dn
dwn
F (w) F
[t n f (t)]
6
4. 积分性质
如果当t 时, g(t) t f (t )d t 0 -
则
F
t -
f
(t
)d
t
1
jw F
[ f (t)].
2j
2j
则g(t) e j2t
G(w
-
2)
1
1
j(w
-
2)
g (t) e- j2t
G(w
2)
1
1
j(w
2)
F (w)
1 2j
1
1
j(w
-
2)
-
1
1
j(w
2)
15
F (w)
1 2j
1
1
j(w
-
2)
-
1
1
j(w
2)
-
j 2
1 j(w (1 jw

傅里叶变换性质


四．尺度变换性质
第 9
页
若f
(t)
F (),则f
at
1 a
F a
, a为非零实常数
意义
(1) 0<a<1 时域扩展，频带压缩。 (2) a>1 时域压缩，频域扩展a倍。
(3) a 1 f t f t, F F 。
X
第
(1) 0<a<1 时域扩展，频带压缩。
10
页
f t
F
E
E
o t
2
0
F
0
通信中调制与解调，频分复用。
X
七．微分性质
第 16
页
时域微分性质
f (t) F()，则f (t) jF()
频域微分性质
若f (t) F( ), 则tf (t) jd F d
d F
jtf (t)
d
jt n
f
(t)
dn F
d n
或
t n f (t) jn F n
X
1．时域微分
1、f(t)是实函数
实函数傅里叶变换的幅度谱和相位谱分别为偶、 奇函数
若f(t)是实偶函数，F(ω)必为ω的实偶函数
F f ( t )e j t d t
20 f ( t )cost d t
若f(t)是实奇函数，F(ω)必为ω的虚奇函数
F
f
(
t
)e
j
t
d
t
2 j f ( t )sint d t
0
X
第
2、 f(t)是虚函数
7 页
令 f t jgt
F jgt e jt dt
jgt cos( t )dt gt sin( t )dt

傅里叶变换的性质与应用

傅里叶变换的性质与应用傅里叶变换（Fourier Transform）是一种在信号和图像处理领域中广泛应用的数学工具。

它通过将一个函数表示为一系列正弦和余弦函数的线性组合来描述时域和频域之间的关系。

在本文中，我们将探讨傅里叶变换的性质以及其在各个领域中的应用。

一、傅里叶变换的性质1. 线性性质傅里叶变换具有线性性质，即对于任意常数a和b以及函数f（t）和g（t），有以下等式成立：F（af（t） + bg（t））= aF（f（t））+ bF（g（t））其中F（f（t））表示对函数f（t）进行傅里叶变换后得到的频域函数。

2. 对称性质傅里叶变换具有一系列对称性质。

其中最为重要的对称性质为奇偶对称性。

当函数f（t）为实函数并满足奇偶对称时，其傅里叶变换具有如下关系：F（-t）= F（t）（偶对称函数）F（-t）= -F（t）（奇对称函数）3. 尺度变换性质傅里叶变换可以对函数的尺度进行变换。

对于函数f（a * t）的傅里叶变换后得到的频域函数为F（w / a），其中a为正数。

二、傅里叶变换的应用1. 信号处理傅里叶变换在信号处理中被广泛应用。

它可以将时域信号转换为频域信号，使得信号的频率成分更加明确。

通过傅里叶变换，我们可以分析和处理各种信号，例如音频信号、图像信号和视频信号等。

在音频领域中，傅里叶变换可以用于音乐频谱分析、滤波器设计和音频压缩等方面。

在图像处理领域中，傅里叶变换可以用于图像增强、图像去噪和图像压缩等方面。

2. 通信系统傅里叶变换在通信系统中具有重要的应用。

通过傅里叶变换，我们可以将信号转换为频域信号，并根据频域特性进行信号调制和解调。

傅里叶变换可以用于调制解调器的设计、信道估计和信号的频谱分析等方面。

在无线通信系统中，傅里叶变换也广泛应用于OFDM（正交频分复用）技术，以提高信号传输效率和抗干扰性能。

3. 图像处理傅里叶变换在图像处理中有广泛的应用。

通过将图像转换到频域，我们可以对图像进行滤波、增强和去噪等操作。

数学物理方法5傅里叶变换

图像压缩。
图像增强
通过改变图像的频率成分，傅里叶 变换可以帮助增强图像的某些特征， 如边缘和纹理。
图像去噪
傅里叶变换可以帮助识别和去除图 像中的噪声，从而提高图像的质量。
量子力学
波函数分析
在量子力学中，波函数是一个描述粒子状态的函数。傅里叶变换 可以用来分析波函数的性质和行为。
量子纠缠
傅里叶变换在量子纠缠的研究中也有应用，可以帮助我们更好地理 解这种神秘的现象。
时间-频率分析
傅里叶变换将时间域的信号转换 为频率域的信号，通过分析信号 在不同频率下的强度和相位，可 以揭示信号的频率结构和变化规
律。
周期信号分析
对于周期信号，傅里叶变换可以 将其表示为一系列正弦波和余弦 波的叠加，从而方便地分析其频
率成分和振幅。
非周期信号分析
对于非周期信号，傅里叶变换将 其表示为无穷多个不同频率的正 弦波和余弦波的叠加，可以揭示
振动系统分析
在振动系统的分析中，傅里叶变换可以用于将时间域的振动信号转换为角频率域的信号， 从而方便地计算系统的固有频率、阻尼比等参数。
热传导分析
在热传导现象的分析中，傅里叶变换可以用于将时间域的温度分布转换为角频率域的温度 分布，从而方便地分析热传导的频率特性和变化规律。
05结果 具有共轭对称性，即F(-ω)=F*(ω)。
傅里叶变换的应用
01
02
03
信号处理
傅里叶变换在信号处理中 应用广泛，如频谱分析、 滤波、调制解调等。
图像处理
傅里叶变换在图像处理中 用于图像的频域分析，如 图像增强、去噪、特征提 取等。
数值分析
傅里叶变换在数值分析中 用于求解偏微分方程、积 分方程等数学问题。
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试求其频谱。
解： 令
ωc f0 t Saωc t π
则 f (t ) = f0 (t )- f0 (t - 2τ )
F[ f (t )] = F 轾 (t ) - F 轾 (t - 2τ ) f0 f0 臌 臌
轾 (t ) = F [ ωc Sa (ωct )] F臌 f0 π
F0 ω 1 ωC ωC ω
解：
2.线性性
若 f1 (t ) F1 ( ), f 2 (t ) F2 ( )
则 a1f1 (t ) a 2f 2 (t ) a1 F1 ( ) a 2 F2 ( )
其中，a1,a2为常数
3.奇偶虚实性
若 f (t ) F () F ( ) e j ( ) R( ) jX( ) 则：
E


2
0

2
t
t
2 )

2

0
2

w
F (t ) ESa(
2p f (- w) = 2p f (w)
2E

2

0
2

t


2
0

2
w
例3
1 1 , 求F[f(t)] 已知 ( ) ) 已知f f t(t= = , 求F[f(t)] t t 1 思路 ® 什么样的信号频谱含 w 2 F[sgn(t )] = 2 根据对称性质 F[sgn(t )] = jw 根据对称性质 jw 2 \ \ F[ 2]]= 2p sgn(- w) = - 2p sgn(w) ) F[jt = 2p sgn (- w) = - 2p sgn(w jt 1 \ F[ ] = - jp sgn(w) 1 \ F[ ] = - jp sgn(w) t t
证明：
1 1 j 0t F[ f (t ) cos0t ] F[ f (t )e ] F[ f (t )e- j0t ] 2 2 1 1 F[ j ( 0 )] F[ j ( 0 )] 2 2 1 1 j 0 t - j 0 t F [ f (t )e ] F [ f (t )e ] F[ f (t ) sin0t ] 2j 2j j j F[ j ( 0 )] F[ j ( 0 )] 2 2
其中f (+ ? )、f (
)为有限值
0时， Fn (w) f (t ) 玾 F ( ) = n （jw）
特别：
当f (+ ? )
f (- ? )
所有的时限信号都满足上述条件。
例3（补充）用时域微分性质求符号函数sgn(t )的频谱
sgn(t )
解： 逆向应用
非时限信号，但满足f (+ ? ) f (- ? ) 0
书例3-4
（书P133）
已知矩形调幅信号如图所示
f (t ) G(t ) cos(w0t )
其中G(t)为矩形脉冲，脉幅为E，脉宽为，试求其频谱。
w 解：G(t)矩形脉冲的频谱为： G(w) E Sa( ) 2
根据频移特性：f(t)的频谱F(w)为
1 1 F ( w) G(w w0 ) G( w w0 ) 2 2 E E Sa( w w0 ) Sa(w w0 ) 2 2 2 2
t
t
)
\ f (t ) =
蝌
- ?
t
df (τ) dτ + f (- ? ) dτ
df (τ) dτ-1 dτ
F1 (w) \ F (w) = + p F1 (0)d(w) - 2pd(w) jw
d 而F1 (w)=F[ f (t )]=F[2d(t )] = 2 dt
代入上式得：
F1 ( ) 2 F ( ) j j
0 0
2
解二： F[1] = 2pd(w)
\
注意“1”的作 用
F[cos(w0t)] = p[d(w+ w0) + d(w- w0)]
1 j0t j0t cos0t (e e ) [ ( 0 ) ( 0 )] 2
cos 0t 1
( ) F ( ) ( )
t
0
0
0

余弦信号及其频谱函数
注意：周期信号也存在傅里叶变换
7.时域积分特性
若 f (t ) F ()
F ( ) 则 f ( )d F (0)， j f (t ) t f (0) F ()d jt f (t )dt
易出错处：微分后再积分不一定等于原函数！
取决于f (-
)是否为0
例2： （补充） 用时域积分性质求符号函数sgn(t )的频谱 解：
f (t ) sgn(t ) F ( )
1
df (t ) = f1 (t ) 玾 F1 ( ) dt
求导 (2)
0
1
t
0
ò
t
-
df (τ) dτ = f (t ) - f (dτ
f (t )e
j 0t - jt
e
dt



f (t )e - j( - 0 ) t dt F[ j( 0 )]
1 f (t ) cos 0t F ( 0 ) F ( 0 ) , 调制性： 2 j f (t ) sin 0t F ( 0 ) F ( 0 ) 2
t
F (0) =
ò
¥
-
证明方法一：书P.135 证明方法二：利用卷积定理
ì 正向应用 ï ï 应用： í ï 逆向应用 ï î
更常用
时域积分性质应用举例：
正向应用 直接套用性质 即：
用被积函数的傅氏变换来表示积分后的傅氏变换 例1：(补充) 已知F[d(t )] = 1, 求F[ò d(τ)dτ]
（1）当f (t )为实函数时: F ()共轭对称
即： ( ) 偶对称， ( )奇对称； F R()偶对称，X()奇对称；
（2）当f (t )为实偶函数时， F ()为实偶函数；
（3）当f (t )为实奇函时， F ()为虚奇函数;
（4）当f (t )为纯虚函数时， F () 为偶函数， ()为奇函数；
第七节 傅里叶变换的基本性质
主要内容：
1.对称性质 2.线性性质 3.奇偶虚实性 6.频移特性 7.时域积分性质 8.时域微分性质
4.尺度变换性质
5.时移特性
9.频域微分性质
10.帕塞瓦尔定理
时域卷积定理 频域卷积定理
1.对称性 (互易对偶性) (时频对称性)
若 f (t ) F ()
t
解： 设F ()=F[ (t )] 1,
则F[
t
F ( ) f ( )d ] F (0) j
= 1 j
逆向应用
y (t ) Y ( j )
1
对所求函数先微分再表示成积分形式
例1： （书例3-7）用时域积分性质求y(t)的频谱
dy(t ) y1 (t ) Y1 ( j ) dt
求导
0
1 t0
t0
t
t
解： y(t ) dy( )d
d
t
t0
t
0 t0 j 2 dy ( ) 而 Y1 ( j ) Sa e , Y1 (0) 1 d 2
0 t0 j t2 Y1 ( j) 1 Y ( j) Y1 (0) () Sa e () j j 2
正向应用： 例1：（补充） 直接套用性质 即： 用原函数的傅氏变换来表示微分后的傅氏变换
1 du(t) 已知F[u(t)] = + pd(w),求 的傅里叶变换 jw dt 解： 直接套用性质
du(t) F[ ] = jwF[u(t)] dt
1 = jw[ + pd(w)] = 1 jw
逆向应用：
ωC π
f t
2
F ω
o
τ
2τ
t
ωC
o (e)
ωC
ω
(d)
6.频移特性 （调制定理）
若 f (t ) F ()
则 f (t )e
j0t
F ( 0 ) 0为是实常数
证明： 由傅立叶变换定义有
F [ f (t ) e
j 0 t
]



ì 2 sin (wτ) ï F (ω) = ï í ï0 ï î ( ω < ωc ) ( ω < ωc )
π 在实际中往往取τ = , 此时上式变成 ωc
πω 2 sin ω F ω c 0 ( ω ωc ) ( ω ωc )
双Sa信号的波形和频谱如图（d） （e）所示。移特性得到
F 轾 (t - 2τ ) = ef0 臌
j2 wτ
G2wc (w)
因此f (t )的频谱F(w)等于
.
F (ω) = F 轾 (t ) - F 轾 (t - 2τ ) f0 f0 臌 臌 - j2 wτ = (1- e )G2wc (w)
从中可以得到幅度谱为
由时移特性可得：
2
T
t
F (w) F0 (w)(1 e
jwT
e
jwT
w ) E Sa( )1 2 cos(wT ) 2
其频谱如下：
F (w)
3E
2

0
2 4 T T
w
实偶信号的频谱为实偶
（书P133） 已知双Sa信号
ωc f t Sa ωc t Saωc t 2τ π