傅立叶变换的基本性质

傅里叶变换的基本性质（一）傅里叶变换建立了时间函数和频谱函数之间转换关系。

在实际信号分析中，经常需要对信号的时域和频域之间的对应关系及转换规律有一个清楚而深入的理解。

因此有必要讨论傅里叶变换的基本性质，并说明其应用。

一、线性傅里叶变换是一种线性运算。

若则其中a和b均为常数，它的证明只需根据傅里叶变换的定义即可得出。

例3-6利用傅里叶变换的线性性质求单位阶跃信号的频谱函数。

解因由式(3-55)得二、对称性若则证明因为有将上式中变量换为x，积分结果不变，即再将t用代之，上述关系依然成立，即最后再将x用t代替，则得所以证毕若是一个偶函数，即，相应有，则式(3-56)成为可见，傅里叶变换之间存在着对称关系，即信号波形与信号频谱函数的波形有着互相置换的关系，其幅度之比为常数。

式中的表示频谱函数坐标轴必须正负对调。

例如：例3-7若信号的傅里叶变换为试求。

解将中的换成t，并考虑为的实函数，有该信号的傅里叶变换由式(3-54)可知为根据对称性故再将中的换成t，则得为抽样函数，其波形和频谱如图3-20所示。

三、折叠性若则四、尺度变换性若则证明因a＞0，由令，则，代入前式，可得函数表示沿时间轴压缩(或时间尺度扩展) a倍，而则表示沿频率轴扩展(或频率尺度压缩) a倍。

该性质反映了信号的持续时间与其占有频带成反比，信号持续时间压缩的倍数恰好等于占有频带的展宽倍数，反之亦然。

例3-8已知,求频谱函数。

解前面已讨论了的频谱函数，且根据尺度变换性，信号比的时间尺度扩展一倍，即波形压缩了一半，因此其频谱函数两种信号的波形及频谱函数如图3-21所示。

五、时移性若则此性质可根据傅里叶变换定义不难得到证明。

它表明若在时域平移时间，则其频谱函数的振幅并不改变，但其相位却将改变。

例3-9求的频谱函数。

解: 根据前面所讨论的矩形脉冲信号和傅里叶变换的时移性，有六、频移性若则证明证毕频移性说明若信号乘以，相当于信号所分解的每一指数分量都乘以，这就使频谱中的每条谱线都必须平移，亦即整个频谱相应地搬移了位置。

信号分析与处理——傅里叶变换性质傅里叶变换是信号处理中常用的分析方法，通过将信号在频域上进行分解，可以获得信号的频谱信息，并对信号进行频谱分析，从而实现对信号的处理与改变。

傅里叶变换具有以下几个重要的性质，这些性质对于信号处理的理解和实际应用至关重要。

1.线性性质：傅里叶变换具有线性性质，即对于任意两个信号x(t)和y(t)，以及对应的傅里叶变换X(f)和Y(f)，有以下关系：a) 线性叠加：傅里叶变换对于信号的叠加是可线性的，即如果有h(t) = cx(t) + dy(t)，则H(f) = cX(f) + dY(f)。

b) 变换的线性组合：如果有z(t) = ax(t) + by(t)，则Z(f) =aX(f) + bY(f)。

这种线性性质为信号的分析和处理提供了很大的方便，可以通过分别对不同组成部分进行变换，再进行线性组合，得到最终的处理结果。

2. 平移性质：傅里叶变换具有平移性质，即如果一个信号x(t)的傅里叶变换为X(f)，则x(t - t0)的傅里叶变换为e^(-j2πft0)X(f)，其中t0为平移的时间。

这意味着信号在时域上的平移将对应于频域上的相位变化，而频域上的平移则对应于时域上的相位变化。

4.卷积定理：傅里叶变换还具有卷积定理，即信号的卷积在频域上等于信号的傅里叶变换之积。

具体来说，如果两个信号x(t)和h(t)的傅里叶变换分别为X(f)和H(f)，则它们的卷积y(t)=x(t)*h(t)的傅里叶变换为Y(f)=X(f)×H(f)。

这个性质在实际的信号处理中有着重要的应用。

通过将两个信号在时域上的卷积转化为频域上的乘法操作，可以方便地进行信号处理的设计和实现。

5. Parseval定理：傅里叶变换还具有Parseval定理，即信号的能量在时域和频域上是相等的。

具体来说，如果信号x(t)的傅里叶变换为X(f)，则有∫，x(t)，^2dt = ∫，X(f)，^2df。

这个性质意味着通过傅里叶变换可以实现信号的能量分析和功率谱估计，从而对信号的能量进行定量的测量。

第八章 傅里叶变换8.1 基本要求与内容提要1. Fourier 级数的概念Fourier 级数所考虑的对象是以T 为周期的实值函数)(t f T .（1） Fourier 级数的三角形式∑+∞=+=100)cos (2)(n n T t n a a t f ω，)2,1,0(cos )(22/2/0 ==⎰-n tdtn t f T a T T T n ω， )2,1(sin )(22/2/0 ==⎰-n tdtn t f T b T T T n ω.其中，Tπω20=称为基频.（2） Fourier 级数的指数形式∑+∞-∞==n t jn n T e c t f 0)(ω， )2,1,0()(12/2/0 ±±==⎰-n dt e t f Tc T T t jn T n ω.其中，1-=j 为虚数单位.注1：上述公式要成立，一般要求函数)(t f T 在[-T/2 ，T/2]上满足Dirichlrt 条件——连续或只有有限个第一类间断点；只有有限个极值点.注2：在)(t f T 间断处，公式左边的)(t f T 应为[])0()0(21-++t f t f T T . 注3：三角形式与指数形式之间可由Euler 公式 t n j t n etjn 00sin cos 0ωωω+=相互转换，它们的系数之间有如下关系：200a c =，2n n n jb a c -=，2nn n jb a c +=- （n=1, 2 …）. 2. Fourier 变换的概念Fourier 变换所考虑的对象通常是定义在()+∞∞-,上的非周期函数)(t f . （1） Fourier 积分公式ωττπωωτd e d e f t f t j j ⎰⎰∞+∞-∞+∞--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=)(21)(. （2） Fourier 变换的定义Fourier 正变换：dt e t f t f f F t j ⎰+∞∞--==ωω)()]([)(；Fourier 逆变换：ωωπωd e f t F ft f t j ⎰∞+∞---==)(21)]([)(1，其中，)(ωF 称为)(t f 的像函数，)(t f 称为)(ωF 的像原函数。