河南省开封市2014届高三第一次模拟考试试题 数学(理) Word版含答案

开封高中2014届第一次月考数学试题注意：（1）本试卷满分150分，时间120分钟；（2）所有试题的答案均须写在答题卷上，写在试题卷上无效。

一．选择题 1.函数1(01)x y aa a +=>≠且的图像恒过点 （ ）.A (1,1) .B (0,1) .C (1,1)- .D (2,1)2.函数y =（ ）.A 13(,)24- .B 13[,]24- .C 1(,]2-∞ .D 1(,0)(0,)2-+∞3.下列函数的图像与函数3xy =的图像关于y 轴对称的是 （ ）.A 3xy =- .B 3xy -=- .C 13y x = .D 1()3x y =4.设2,4(),1,4xx f x x x ⎧ ≥=⎨+ <⎩则((3))f f = （ ）.A 4 .B 2 .C 16 .D 85.函数()1f x x =-的图像是 （ ）6.下列大小关系成立的是 （ ）.A 330.60.6-< .B 33ππ-> .C 1.86273> .D 1.860.210.21>7.已知(1)1f x x -=+，则()f x = （ ）.A 2x -+ .B 2x + .C 2x - .D 1x +8.设集合{|2},{|}A x x B x x a =<=<,若A B ⊂≠，则实数a 的取值范围是 （ ）.A {|2}a a < .B {|2}a a ≤ .C {|2}a a ≥ .D {|2}a a >9. 若{0,1},{1,0,1},A B f ==-是从A 到B 映射的对应关系，则满足(0)(1)f f >的映射有（ ）.A 3个 .B 4个 .C 5个 .D 2个10.设()f x 是奇函数，且在(0,)+∞上是增函数，又(2)0f -=，则()0x f x <的解集是（ ） .A {|20,2}x x x -<<>或 .B {|20,2}x x x -<<<<或0 .C {|22}x x -<< .D {|2,02}x x x <-<<或11. 21210328()(0.002)2)27- --+-+= （ ）.A 39-- .B 0 .C 1 .D 39-12.若偶函数()f x 在区间(,0)-∞上是单调函数，则满足2()()4x f x f x +=+的所有x 之和为（ ） .A 3- .B 3 .C 8- .D 8二．填空题13.函数1()=13xf x -（）的值域是___ ____。

理科数学 第 页 (共4页)开封市2023届高三年级第一次模拟考试理科数学注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名㊁考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一㊁选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A =x 12<2x<8,B =-1,0,1,2 ,则A ɘB =A .2B .-1,0C .0,1,2D .-1,0,1,22.设命题p :∀x ɪR ,e xȡx +1,则¬p 是A .∀x ɪR ,e xɤx +1B .∀x ɪR ,e x<x +1C .∃x ɪR ,e x ɤx +1D .∃x ɪR ,e x<x +13.若3+4iz 是纯虚数,则复数z 可以是A .-3+4iB .3-4iC .4+3i D.4-3i4.已知әA B C 中,D 为B C 边上一点,且B D =13B C ,则A D ң=A .13A C ң+23AB ңB .23AC ң+13A B ңC .14A C ң+34A B ңD .34A C ң+14A B ң5.已知圆锥的底面半径为1,其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的体积为A .3π6B .3π3C .3πD .π36.如图为甲㊁乙两位同学在5次数学测试中成绩的茎叶图,已知两位同学的平均成绩相等,则甲同学成绩的方差为A .4B .2C .3 D.27.已知x +y -3ɤ0,x -y +1ȡ0,x ȡ0,y ȡ0,则x +2y 的最大值为A .2B .3C .5 D.68.设f (x )是定义域为R 的偶函数,且在[0,+ɕ)上单调递减,则满足f (x )<f (x -2)的x 的取值范围是A .(-ɕ,-2)B .(-2,+ɕ)C .(-ɕ,1)D .(1,+ɕ)1理科数学 第 页 (共4页)9.已知数列a n 的前n 项和S n =2n +1-2,若p +q =5(p ,q ɪN *),则a p a q =A .8B .16C .32D .6410.已知点P (x ,y )到点F 1(-3,0)和点F 2(3,0)的距离之和为4,则x yA.有最大值1B .有最大值4C .有最小值1 D.有最小值-411.如图,在正方体A B C D -A 1B 1C 1D 1中,点M ,N 分别是A 1D ,D 1B 的中点,则下述结论中正确的个数为①MN ʊ平面A B C D ;②平面A 1N D ʅ平面D 1M B ;③直线MN 与B 1D 1所成的角为45ʎ;④直线D 1B 与平面A 1N D 所成的角为45ʎ.A .1B .2C .3D .412.在数学中,布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理,它可应用到有限维空间,并且是构成一般不动点定理的基石.简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数f (x ),存在点x 0,使得f (x 0)=x 0,那么我们称该函数为 不动点 函数.若函数f (x )=x (a e x-l n x )为 不动点 函数,则实数a 的取值范围是A .(-ɕ,0]B .-ɕ,1eC .(-ɕ,1]D .(-ɕ,e ]二㊁填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.若函数f (x )=A s i n x -c o s x 的一个零点为π6,则f 5π12=.14.已知点A (1,0),B(2,2),C 为y 轴上一点,若øB A C =π4,则A B ң㊃A C ң=.15.3D 打印是快速成型技术的一种,它是一种以数字模型文件为基础,运用粉末状金属或塑料等可粘合材料,通过逐层打印的方式来构造物体的技术.如图所示的塔筒为3D 打印的双曲线型塔筒,该塔筒是由离心率为5的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的,已知该塔筒(数据均以外壁即塔筒外侧表面计算)的上底直径为6c m ,下底直径为9c m ,高为9c m ,则喉部(最细处)的直径为c m.16.在数列a n 中,a 1=1,a n +2+(-1)n a n =2(n ɪN *).记S n 是数列a n的前n 项和,则S 4n =.三㊁解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22㊁23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.(12分)在әA B C 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知a c o s B +C2=b s i n A ,2a =3b .(1)求c o s B 的值;(2)若a =3,求c .2理科数学 第 页 (共4页)18.(12分)甲㊁乙两人组成 星队 参加猜成语活动,每轮活动由甲㊁乙各猜一个成语,已知甲每轮猜对的概率为23,乙每轮猜对的概率为p .在每轮活动中,甲和乙猜对与否互不影响,各轮结果也互不影响.已知 星队 在第一轮活动中猜对1个成语的概率为12.(1)求p 的值;(2)记 星队 在两轮活动中猜对成语的总数为X ,求X 的分布列与期望.19.(12分)如图,әA B C 是正三角形,在等腰梯形A B E F 中,A B ʊE F ,A F =E F =B E =12A B .平面A B C ʅ平面A B E F ,M ,N 分别是A F ,C E 的中点,C E =4.(1)证明:MN ʊ平面A B C ;(2)求二面角M -A B -N 的余弦值.20.(12分)已知函数f (x )=2s i n x -a x ,a ɪR .(1)若f (x )是R 上的单调递增函数,求实数a 的取值范围;(2)当a =1时,求g (x )=f (x )-l n (x +1)在0,π6上的最小值;(3)证明:s i n12+s i n 13+s i n 14+ +s i n 1n >l n n +12.3理科数学 第 页 (共4页)21.(12分)如图1所示是一种作图工具,在十字形滑槽上各有一个活动滑标M ,N ,有一根旋杆将两个滑标连成一体,|MN |=3,D 为旋杆上的一点且在M ,N 两点之间,且|N D |=λ|DM |.当滑标M 在滑槽E F 内做往复运动,滑标N 在滑槽G H 内随之运动时,将笔尖放置于D 处进行作图,当λ=1和λ=2时分别得到曲线C 1和C 2.如图2所示,设E F 与G H 交于点O ,以E F 所在的直线为x 轴,以G H 所在的直线为y 轴,建立平面直角坐标系.(1)求曲线C 1和C 2的方程;(2)已知直线l 与曲线C 1相切,且与曲线C 2交于A ,B 两点,记әO A B 的面积为S ,证明:S ɤ378.(二)选考题:共10分.请考生在22㊁23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系x O y 中,曲线C 的参数方程为x =2pt y =2pt 2(t 为参数),(2,4)为曲线C 上一点的坐标.(1)将曲线C 的参数方程化为普通方程;(2)过点O 任意作两条相互垂直的射线分别与曲线C 交于点A ,B ,以直线O A 的斜率k 为参数,求线段A B 的中点M 的轨迹的参数方程,并化为普通方程.23.[选修4-5:不等式选讲](10分)已知函数f (x )=|x +a |+2|x -1|.(1)当a =1时,求f (x )的最小值;(2)若a >0,b >0时,对任意x ɪ[1,2]使得不等式f (x )>x 2-b +1恒成立,证明:a +122+b +122>2.4开封市2023届高三年级第一次模拟考试数学（理科）参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）题号123456789101112答案C D D A B BCDCACB二、填空题（每小题5分，共20分）13.14.515.16.24+2n n三、解答题（共70分）17.（1）因为A B C π++=，所以222B C A π+=-，得cos sin 22B C A+=，……1分由正弦定理，可得sin sin sin sin 2A A B A ⋅=⋅，sin 0A ≠，所以sin sin 2AB =，……2分又因为,A B 均为三角形内角，所以2AB =，即2A B =，……3分又因为23a b =，即2sin 3sin A B =，即4sin cos 3sin B B B =，……4分sin 0B ≠，得3cos 4B =；……5分（2）若3a =，则2b =，由（1）知3cos 4B =，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-可得29502c c -+=，……7分即()5202c c ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，所以2c =或52，……9分当2c =时，b c =，则22A B C ==，即ABC ∆为等腰直角三角形，又因为a ≠，此时不满足题意，……11分所以52c =.……12分18.（1）“星队”在第一轮活动中猜对1个成语的概率为12，所以()2211+1=332p p ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，解得1=2p .……4分（2）设i A 表示事件“甲在两轮中猜对i 个成语”，i B 表示事件“乙在两轮中猜对i 个成语”()0,1,2i =，根据独立性假定，得()()()012111124224===2===339339339P A P A P A ⨯⨯⨯⨯，()()()012111===424P B P B P B ，，，……6分X 的可能取值为0,1,2,3,4，所以()()001110===9436P X P A B =⨯()()()0110114131=+=+=929418P X P A B P A B =⨯⨯()()()()021120114141132=++=++=94929436P X P A B P A B P A B =⨯⨯⨯，()()()1221414133=+=+=94929P X P A B P A B =⨯⨯，()()224114===949P X P A B =⨯X 的分布列如下表所示：X 01234P13631813363919……10分()1313311=0+1+2+3+4=2.361836993E X ⨯⨯⨯⨯⨯……12分19.（1）取CF 的中点D ，连接DM DN ，，M N ，分别是AF CE ，的中点，DM AC DN EF ∴∥，∥，又DM ABC AC ABC ⊄⊂ 平面，平面，.DM ABC ∴∥平面……2分又EF AB ∥，DN AB ∴∥，同理可得，DN ABC ∥平面.……3分=DM MND DN MND DM DN D ⊂⊂ 平面，平面，，.MND ABC ∴平面∥平面……5分.MN MND MN ABC ⊂∴ 平面，∥平面……6分（2）取AB 的中点O ，连接OC OE ，.由已知得=OA EF ∥，OAFE ∴是平行四边形，=OE AF ∴∥.ABC ∆ 是正三角形，OC AB ∴⊥，ABC ABEF ⊥ 平面平面，=ABC ABEF AB 平面平面，OC ABEF∴⊥平面，又OE ABEF ⊂平面，OC OE ∴⊥.……7分设1====2AF EF EB AB a ，OC ，在Rt COE ∆中，由222+=OC OE CE ，解得=2a ，即1====22AF EF EB AB (8)分取EF 的中点P ，连接OP，则OP AB ⊥，以O 为原点，OP OB OC ，，所在直线分别为x y z ，，轴，建立直角坐标系如图所示.则()()310,2,022A C E N -⎝，，，，()1=0,2,0=,22OA ON -⎝ ，，由已知易得，平面ABM 的一个法向量为(=OC，……9分设平面ABN 的法向量为()=,,x y z n ,则2=0=01=022y OA x y ON -⎧⎧⋅⎪⎨+⋅⎪⎪⎩⎩ ，，即，，n n 取2x =，则平面ABN 的一个法向量为()=2,0,1-n .……10分cos ,O OC OC C ⋅〈〉==∴n n n 分二面角--M AB N 为锐角，∴二面角--M AB N ……12分20.（1）由已知可得：0cos 2)(≥-='a x x f ，……1分即x a cos 2≤恒成立，则有]2,(--∞∈a .……3分（2）由已知可得：111cos 2)(+--='x x x g，令()=()h x g x '，21()2sin (1)h'x x x =-++在[0,6π上单调递减，……4分又因为，(0)h'0>，(6h'π0<，所以存在6,0(0π∈x 使得()0h'x =，……5分则有又有115(0)=0(1101631162g g ππ''=-->--->++，，所以在(0,6π上)(x g '0>，……7分则)(x g 在]6,0[π∈x 上单调递增，所以最小值为0)0(=g .……8分（3）由（2）可得x x x ++>)1ln(sin 2在(0,)6π上恒成立，令()()=ln +1x x x ϕ-，在(0,)6π上()=0+1x 'x x ϕ>，所以()x ϕ单调递增且(0)0ϕ=，所以ln(1)x x >+，)1ln(2sin 2+>x x ，从而当(0,)6x π∈时)1ln(sin +>x x ，……10分令n x 1,,41,31,21 =，得到23ln 21sin >，34ln 31sin >，45ln 41sin >，⋯，nn n 1ln 1sin +>，相加得：11111sin sin sin sin ln2342n n +++++> .……12分21.（1）由题意，=ND DM λ，设()()()00,,00,，，，D x y M x N y 所以()()00,=,=---，，ND x y y DM x x y ()()00,=,---，x y y x x y λ……1分由()()00==-⎧⎪⎨--⎪⎩，，x x x y y y λλ解得()()001+==1+⎧⎪⎨⎪⎩，，x x y y λλλ又因为2200+=9，x y 所以()()222221++1+=9，x y λλλ……3分将=1=2λλ和分别代入，得2219+=4：C x y ……4分222+=1.4x C y ：……5分（2）①直线l 斜率不存在时，3=2l x ±：，带入2C方程得ABS 分②直线l 斜率存在时，设=+l y kx m ：，l 与曲线1C()229+13=24k m ，即，……7分联立22+=14=+x y y kx m ⎧⎪⎨⎪⎩，，可得()2221+4+8+44=0k x kmx m -，x),0(0x )6,(0πx ()h'x 正负)(x g '递增递减()()222225=641614107k m k m k ∆-+->>由得，()2121222418==1414m km x x x x k k--+，，……8分1222=1+41+4AB x k k-，……10分()4224247+25=16+8+1k k AB k k -，因为()()422424247+2572487=016+8+14416+8+1k k k k k k k ----<，所以2AB <，8S <.……11分综合①②可证，S ……12分22.（1）消去参数t 可得：22x py =，将点()2,4带入可得12p =，……2分所以曲线C 的普通方程为：y x =2.……4分（2）由已知得：OB OA ,的斜率存在且不为0，设OA 的斜率为k ，方程为kx y =，则OB 的方程为：x ky 1-=，联立方程2y kx x y =⎧⎨=⎩，，可得：()2,k k A ，同理可得：211,B k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，……6分设()y x M ,，所以22112112x k k y k k ⎧⎛⎫=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+ ⎪⎪⎝⎭⎩，，……8分所以=24x 222122-=-+y kk ，所以=22x 1-y 即为点M 轨迹的普通方程.……10分23.（1）当1a =时，()121-++=x x x f ，当()()()min 1,31,14;x f x x f x f ≤-=-+=-=当()()()11,3,2,4;x f x x f x -<<=-+∈当()()()min 1,31,12;x f x x f x f ≥=-==……2分∴当1a =时，()f x 的最小值为2.……4分（2）00a b >>，，当12x ≤≤时，221+1x a x x b ++-->可化为233a b x x +>-+……6分令()233h x x x =-+，[]1,2x ∈，()()max 11h x h ==，∴1a b +>，……8分∴()222221111222222a b a b a b a b a b +⎛⎫⎛⎫+++=+++++++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥.……10分。

2017-2018学年一模数学试题（理科）1.已知集合{}220,A x x x x =∣-+≤∈R ，11x B x x Z x ⎧⎫=>∈⎨⎬+⎩⎭，，则B A =（ C ）A.(0,1)B.[]0,1C.{}0,1D.{}0,1,22.设i 是虚数单位，复数（a ∈R ）的实部与虚部相等，则a=（ B ） A ．﹣1 B ．0C ．1D ．23.已知命题p ：方程2210x ax --=有两个实数根；命题q ：函数()4f x x x=+的最小值为4．给出下列命题：①p q ∧；②p q ∨；③p q ∧⌝；④p q ⌝∨⌝．则其中真命题的个数为 C.A 1 .B 2 .C 3 .D 44.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9=54，则a 2+a 4+a 9=（ C ） A.9 B.15 C.18 D.365.如图，ABCD 为矩形，C 、D 两点在函数()222f x x x =++的图象上，点A 、B 在x 轴上，且(1,0)B ，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自 阴影部分的概率等于（B ）A ．415 B ．25 C ．12D ． 815 6.下图中的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入,,a b i 的值分别为8，10，0，则输出a 和i 的值分别为（ B ）A.2,4B.2,5C.0,4D.0,57. 已知函数)(),(x h x g 都是R 上的奇函数，2)()()(++=x bh x ag x f ，且)(x f 在()0,+∞上最大值为8，则()f x 在(),0-∞上的最小值是C.A 8-.B 6-.C 4-.D 68.函数f （x ）=sin （ωx+φ）（x ∈R ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，如果，且f （x 1）=f （x 2），则f （x 1+x 2）=（ C ）A． B． C． D ．1解：由图知，T=2×=π，∴ω=2，因为函数的图象经过（﹣），0=sin（﹣+ϕ）∵，所以ϕ=，，，所以9. 将正三棱柱截去三个角（如图1所示A B C ，，分别是GHI △三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为 A10. 某学校安排A 、B 、C 、D 、E 五人进入3个班，每个班至少住1人，且A 、B 不能在同一班，则不同的安排方法有（ ）种．DA ．24B ．48C ．96D ．11411.已知双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F （c ，0），过F 且垂直于x 轴的直线在第一象限内与双曲线、双曲线的渐近线的交点依次为A ，B ，若A 为BF 的中点，则双曲线的离心率为（ A ） A ．B ．C ．2D ．312. 已知函数f(x)＝x 3＋x ，对任意的m ∈[－2,2]，f(mx －2)＋f(x)<0恒成立，则x 的取值范围为A ．2-23⎛⎫⎪⎝⎭，B ．2-13⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．1-12⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．1-22⎛⎫ ⎪⎝⎭，E F DIA H GB CE F DABC侧视 图1图2BEABEBBECB ED13.已知向量=（1，2），=10，|+|=，则||=（ C ）A．B．C ．5D ．2514.已知点P 是抛物线y 2＝-8x 上一动点，设点P 到此抛物线准线的距离为1d ，到直线x+y －10＝0的距离为2d ，则12d d +的最小值是.15.已知矩形ABCD 的周长为18，把它沿图中的虚线折成正四棱柱，则这个正四棱柱的外接球表面积的最小值为 .9π16. 已知数列{a n }满足：a 1=2，121+-=+n n n na a a ，记b n =11+n n a a ，则数列{b n }的前n 项和S n = .2121+-n17.（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c ，已知cos 2A －3cos(B ＋C )＝1.(I)求角A 的大小；（II ）若AB=3，AC 边上的中线BD△ABC 的面积.解：(I)由cos 2A －3cos(B ＋C )＝1，得2cos 2A ＋3cos A －2＝0，即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0. 解得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍去)． 因为0<A <π，所以A ＝π3.(II)在ABD ∆中，3=AB ，13=BD ，3π=A ，利用余弦定理，222cos 2BD A AD AB AD AB =⋅⋅⋅-+，解得4=AD ，又E 是AC 的中点 8=∴AC36sin 21=⋅⋅⋅=∆A AC AB S ABC .18.（本小题满分12分）已知在四棱锥ABCD P -中，，O 为AB 中点，POC ⊥平面平面ABCD ；PABCDOBC AD //，BC AB ⊥，2====AB BC PB PA ，3=AD . （Ⅰ）求证：平面⊥PAB 面ABCD（Ⅱ）求二面角C PD O--的余弦值. （Ⅰ）证明：BC AD //，BC AB ⊥， 2BC AB ==，3=AD .OC AD CD ∴=== =+=222BC OB OC 5OC CD ∴⊥ 即CD POC ⊥平面 CD PO ∴⊥AB PB PA ==，O 为AB 中点 ∴AB PO ⊥⊥PO 底面ABCD ∴⊥CD 平面POC ∴ 平面⊥PAB 面ABCD ……………6分（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系xyz O -，则)3,0,0(P ， )0,3,1(-D ，)0,2,1(C∴(1,3,0),(1,(2,1,0)OP OD CP CD ==-=--=-假设平面OPD 的一个法向量为),,(111z y x =，平面PCD 的法向量为),,(222z y x =则由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0可得⎩⎨⎧=+-=0303111y x z ，取11=y ，得31=x ，01=z ，即)0,1,3(=，由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0可得⎩⎨⎧=+-=+--020*******y x z y x ，取32=x ，得322=y ，52=z ， 即)5,32,3(=∴43401035,cos ==>=< 故二面角C PD O --的余弦值为43.……………12分19.（本小题满分12分）从那些只乘坐一号线地铁，且在市中心站出站的乘客中随机选2人，记X 为这2人乘坐地铁的票价和，根据统计图，以频率作为概率，求X 的分布列和数学期望；20．（本小题满分12分）已知平面直角坐标系xOy 中，椭圆的中心为坐标原点，左右焦点分别为12,F F ，过椭圆右焦点2F 斜率为1的直线交椭圆于,A B 两点，且OA OB + 与(3,1)a =-共线．（1）求椭圆的离心率；（2）若椭圆短轴的一个端点到右焦点的距离为3，直线l 与椭圆C 交于,P Q 两点，坐标原点O 到直线l ，求POQ ∆面积的最大值. 解：（1）设椭圆方程为22221(0),x y a b a b+=>>右焦点(,0),0F c c >，则直线方程为y x c =-，设1122(,),(,)A x y B x y由22222222222222()200y x cb a x a cx ac a b b x a y a b =-⎧⇒+-+-=⎨+-=⎩0∆>22222121222222,a c a c a b x x x x b a b a -∴+==++，得21212222b cy y x c x c b a+=-+-=-+…………2分 OA OB + 与(3,1)a =-共线12123()()0y y x x ⇒+++=222222223()0b c a c b a b a ∴⨯-+=++223a b e ⇒=⇒=…………4分（2）由椭圆短轴的一个端点到右焦点的距离为a =2213x y += ①当AB x ⊥轴时，AB =5分 ②当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y kx m =+2=，得223(1)4m k =+把y kx m =+代入椭圆方程，整理得222(31)6330k x kmx m +++-=，设11()A x y ，，22()B x y ，，则212122263(1),3131km m x x x x k k --+==++…………6分22221(1)()AB k x x ∴=+-22222223612(1)(1)(31)31k m m k k k ⎡⎤-=+-⎢⎥++⎣⎦22223(1)(91)=(31)k k k +++ 2422212121233(0)34196123696k k k k k k=+=+≠+=++⨯+++≤．…………9分 当且仅当2219k k =，即3k =±时等号成立．当0k =时，AB =10分 综①②所述，max 2AB =．…………11分∴当AB 最大时，AOB △面积取最大值max 1222S AB =⨯⨯=． …………12分21.（本小题满分12分）已知函数f （x ）=（x 3﹣6x 2+3x+t ）e x ，t ∈R ． （Ⅰ）当1t =时，函数f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程； （Ⅱ）若函数y=f （x ）有三个不同的极值点，求t 的值；（Ⅲ）若存在实数t ∈[0，2]，使对任意的x ∈[1，m]，不等式f （x ）≤x 恒成立，求正整数m 的最大值． 解：（Ⅰ）函数f （x ）=（x 3﹣6x 2+3x+t ）e x ， 则f′（x ）=（x 3﹣3x 2﹣9x+3+t ）e x ， 函数f （x ）在点（0，f （0））处的切线斜率为f′（0）=3+t ， 由题意可得，3+t=4，解得，t=1； （Ⅱ） f′（x ）=（x 3﹣3x 2﹣9x+3+t ）e x ，令g （x ）=x 3﹣3x 2﹣9x+3+t ，则方程g （x ）=0有三个不同的根， 又g′（x ）=3x 2﹣6x ﹣9=3（x 2﹣2x ﹣3）=3（x+1）（x ﹣3） 令g′（x ）=0得x=﹣1或3且g （x ）在区间（﹣∞，﹣1），（3，+∞）递增，在区间（﹣1，3）递减，故问题等价于，即有，解得，﹣8＜t ＜24； （Ⅲ）不等式f （x ）≤x ，即（x 3﹣6x 2+3x+t ）e x ≤x ，即t≤xe ﹣x ﹣x 3+6x 2﹣3x ． 转化为存在实数t ∈[0，2]，使对任意的x ∈[1，m]， 不等式t≤xe ﹣x ﹣x 3+6x 2﹣3x 恒成立．即不等式0≤xe ﹣x ﹣x 3+6x 2﹣3x 在x ∈[1，m]上恒成立． 即不等式0≤e ﹣x ﹣x 2+6x ﹣3在x ∈[1，m]上恒成立．设φ（x ）=e ﹣x ﹣x 2+6x ﹣3，则φ'（x ）=﹣e ﹣x ﹣2x+6． 设r （x ）=φ'（x ）=﹣e ﹣x ﹣2x+6，则r'（x ）=e ﹣x ﹣2.因为1≤x≤m ，有r'（x ）＜0，故r （x ）在区间[1，m]上是减函数． 又r （1）=4﹣e ﹣1＞0，r （2）=2﹣e ﹣2＞0，r （3）=﹣e ﹣3＜0 故存在x 0∈（2，3），使得r （x 0）=φ'（x 0）=0．当1≤x ＜x 0时，有φ'（x ）＞0，当x ＞x 0时，有φ'（x ）＜0．从而y=φ（x ）在区间[1，x 0]上递增，在区间[x 0，+∞）上递减．又φ（1）=e ﹣1+4＞0，φ（2）=e ﹣2+5＞0，φ（3）=e ﹣3+6＞0，φ（4）=e ﹣4+5＞0， φ（5）=e ﹣5+2＞0，φ（6）=e ﹣6﹣3＜0．所以当1≤x≤5时，恒有φ（x ）＞0；当x≥6时，恒有φ（x ）＜0. 故使命题成立的正整数m 的最大值为5．【点评】本题考查利用导数求切线方程、函数的极值、极值点是导函数的根、解决不等式恒成立常用的方法是构造函数利用导数求函数的最值．22.（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1cos sin x r C y r θθ=⎧⎨=⎩： （θ为参数）,（0<θ<4）.曲线2C ：22x y θθ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩ （θ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，射线θα=(0)2πα<<与曲线1C 交于,N O 两点，与曲线2C 交于,P O 两点，且||PN最大值为（Ⅰ）将曲线1C 与曲线2C 化成极坐标方程，并求r 的值； （Ⅱ）射线4πθα=+与曲线1C 交于,O Q 两点，与曲线2C 交于,O M 两点，求四边形MNPQ面积的最大值．（Ⅰ）1:)4C πρθ=+， 2:C r ρ=max |||||)|4P N PN r πρρα=-=+-=r ∴= ，2:C ρ∴=……4分（Ⅱ）11sin sin 2424OPQ OMN S S S OP OQ OM ON ππ∆∆=-=⋅-⋅四边形11))2422)44ππααπα=⨯+⨯+⨯-⨯=++-当8πα=时，面积的最大值为4+23. （本小题满分10分）设函数f （x ）=|x ﹣a|，a ＜0．（Ⅰ）若-2a = 求不等式()()22f x f x +> 的解集；（Ⅱ）若不等式f （x ）+f （2x ）＜的解集非空，求a 的取值范围．解：（Ⅰ）223x x x ⎧⎫<->-⎨⎬⎩⎭或 ……………5分（Ⅱ）解：f （x ）+f （2x ）=|x ﹣a|+|2x ﹣a|，a ＜0．当x≤a 时，f （x ）=a ﹣x+a ﹣2x=2a ﹣3x ，则f （x ）≥﹣a ； 当a ＜x ＜时，f （x ）=x ﹣a+a ﹣2x=﹣x ，则﹣＜f （x ）＜﹣a ； 当x时，f （x ）=x ﹣a+2x ﹣a=3x ﹣2a ，则f （x ）≥﹣．则f （x ）的值域为[﹣，+∞），不等式f （x ）+f （2x ）＜的解集非空，即为＞﹣，解得，a＞﹣1，由于a＜0，则a的取值范围是（﹣1，0）．……………10分。

河南省开封市2023届高三第一次模拟理科数学参考答案一、选择题123456789101112CDDABBCDCACB1.解析：∵8221<<x ，∴31<<-x ，则{}31<<-=x x A ，又{}2101，，，-=B ，则{}2,1,0=⋂B A .3.解析：设bi a z +=，则()()()()22223443434343b a ib a b a b a bi a i bi a i z i +-++=+-+=++=+，∵z i43+是纯虚数，∴⎩⎨⎧≠-=+034043b a b a ，经验证可知，3,4-==b a 适合.4.解析：在ABC ∆中，AB AC BC -=，∵BC BD 31=，∴()AB AC BC BD -==3131∴()AB AC AB AC AB BD AB AD 323131+=-+=+=.5.设圆锥母线长为l ，高为h ，底面半径为1=r ，则由l ππ=⨯12得2=l ，∴322=-=r l h ，∴πππ333131312=⨯⨯==h r V .6.解析：由90512893902805129390280=++++⨯+⨯=++++⨯+⨯m 可得：8=m ，即甲同学成绩的方差为()22112512222=+++.7.解析：作出可行域如图：由y x z 2+=可得：221z x y +-=，平移直线x y 21-=经过点A 时，z 有最大值，541max =+=z .8.解析：∵()x f 是定义域为R 的偶函数，∴()()x f x f =-，又()x f 在[)∞+，0上单调递减，∴在()0，∞-上单调递增，若()()2-<x f x f ，则x x <-2，解得1>x .9.解析：当1=n 时，222211=-==S a ，当2≥n 时，()n n n n n n S S a 2222211=---=-=+-，∵21=a 符合上式，∴数列{}n a 的通项公式为：nn a 2=，3222225===⋅=+q p q p q p a a .10.解析：∵点()y x P ,到点()0,31-F 和点()0,32F 的距离之和为4,∴点P 的轨迹是以()0,31-F ，()0,32F 为焦点的椭圆，且长轴长42=a 焦距322=c ，122=-=c a b ，∴点P 的轨迹方程为：1422=+y x ，设()θθsin ,cos 2P ，()πθ20≤≤，则[]1,12sin sin cos 2-∈==θθθxy ，∴xy 有最大值 1.11.解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设该正方体大的棱长为2，()000，，D ，()2021，，A ，()022，，B ,()2001，，D ,()2221，，B ,()101，，M ,()111，，N .由正方体的性质可知：D D 1⊥平面ABCD ，则平面ABCD 的法向量为()2,0,01=D D ，()010，，=MN ，∵01=⋅MN D D ，∴MN D D ⊥1，而⊄MN 平面ABCD ，因此MN ∥平面ABCD ，故①对；设平面ND A 1的法向量为()z y x m ,,=,()1,1,1=DN ,()2021，，=DA ,∴⎩⎨⎧=+=++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅⇒⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥02200011z x z y x DA m DN m DA m DN m ，不妨取1=x ，则()1,0,1-=m ，同理可求出平面MB D 1的法向量()1,0,1=n ，∵0=⋅n m ，∴n m ⊥，因此平面ND A 1⊥平面MB D 1，故②正确；∵()010，，=MN ，()0,2211--=，D B ，∴224412-=+⨯-==D B MN，∵异面直线所成的角范围为(]︒︒900，，∴直线MN 与11D B 所成的角为45°，故③正确；设直线B D 1与平面ND A 1所成的角为θ，∵()22,21-=，B D ，平面ND A 1的法向量为()1,0,1-=m ，22364441122,cos sin 111≠=++⨯++=⋅==mB D m B D m B D ，∴直线B D 1与平面ND A 1所成的角不是45°，故④错误.一共有3个结论正确.12.解析：由题意得若函数()()x ae x x f x ln -=为“不动点”函数,则满足()()0000ln 0x x ae x x f x =-=，即1ln 00+=x ae x ，∴01ln 0x ex a +=，设()xex x g 1ln +=，则()x e x x x g 1ln 1--='，设()1ln 1--=x x x h ，则()0112<--='x xx h ，∴()x h 在()∞+，0单调递减，且()01=h 当()1,0∈x 时，()0>x h ，()0>'x g ，∴()x g 在()1,0上单调递增；当()∞+∈，1x 时，()0<x h ，()0<'x g ，∴()x g 在()∞+，1上单调递减.∴()e e x g 111ln 1max =+=，当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈e x 1,0时，01ln <+x ，0>xe ，则()0<x g ；当⎪⎭⎫⎝⎛∞+∈，ex 1，01ln >+x ，0>xe ，则()0>x g .∴()x g 的图象为：要想01ln 0x ex a +=成立，则a y =与()x g 有交点，∴()ex g a 1max =≤.二、填空题13.2；解析：∵函数()x x A x f cos sin -=的一个零点为6π,∴023216cos 6sin 6=-=-=⎪⎭⎫⎝⎛A A f πππ，∴3=A ，∴()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=6sin 2cos sin 3πx x x x f ，∴24sin 26125sin 2125==⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛ππππf .14.5；解析：设()y C ,0，∴()()5021222=-+-=AB ，()()2221010y y AC +=-+-=，()()84220222+-=-+-=y y y BC ，∵4π=∠BAC ,∴由余弦定理得：4cos 2222πAC AB AC AB BC -+=，即2221521584y y y y +⨯⨯-++=+-，解得3=y ，∴()3,0C .∴()21，=AB ，()31，-=AC ，∴()53211=⨯+-⨯=⋅AC AB .15.24；解析：由已知，以最细处所在的直线为x 轴，其垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，设双曲线方程为()0,012222>>=-b a by a x ，由已知可得，5==ace ，且222b a c +=，∴224b a =，∴双曲线方程为142222=-a y a x ，底直径为cm 6，∴双曲线过点()m ，3下底直径为cm 9，高为cm 9，∴双曲线过点⎪⎭⎫ ⎝⎛-929m ，，代入双曲线方程得：()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=-194149222222a m a am a ，解得：⎩⎨⎧==222a m∴喉部（最细处）的直径为cm 24.16.n n 242+；解析：由题知，11=a ，()212=-++n nn a a ，则当n 为奇数时，22=-+n n a a ，∴奇数项构成等差数列，首项为1，公差为2，当n 为偶数时，22=++n n a a ，∴28642==+=+ a a a a ，∴()()n n n a a a a a a a a S 4642145314+++++++++=- ()n n n n n n 24222122212+=⨯+⨯-+⨯=，∴n n S n 2424+=.三、解答题（一）必考题17.解：（1）∵π=++C B A ，∴222A C B -=+π，∴2sin 2cos AC B =+∵A b C B a sin 2cos =+，由正弦定理可得：A B AA sin sin 2sin sin =⋅，又0sin ≠A ，∴B A sin 2sin =，又∵B A ,均为三角形内角，∴B A=2，即B A 2=，又∵b a 32=，即B A sin 3sin 2=，即B B B sin 3cos sin 4=，又0sin ≠B ，得43cos =B （2）若3=a ,则2=b ，由（1）知43cos =B ，由余弦定理B ac c a b cos 2222-+=可得：05292=+-c c ，解得2=c 或25=c ，当2=c 时，c b =，则C B A 22==，即ABC ∆为等腰直角三角形，又∵b a 2≠，此时不满足题意，∴25=c .18.解：（1）“星队”在第一轮活动中猜对1个成语的概率为21，∴()21321132=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-p p ，解得21=p （2）设i A 表示事件“甲在两轮中猜对i 个成语”，i B 表示事件“乙在两轮中猜对i 个成语”()2,1,0=i ，根据独立性假定，得()9131310=⨯=A P ，()94323121=⨯⨯=A P ，()9432322=⨯=A P ()410=B P ，()211=B P ，()412=B P ，X 的可能取值为0,1,2,3,4，∴()()3614191000=⨯===B A P X P ，()()()1834194219110110=⨯+⨯=+==B A P B A P X P ，()()()()36132194419441912110220=⨯+⨯+⨯=++==B A P B A P B A P X P ，()()()312194419431221=⨯+⨯=+==B A P B A P X P ，()()914194422=⨯===B A P X P .X 的分布列如下表所示：X 01234P36118336133191()3129143133613218313610=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=X E .19.解：（1）取CF 的中点D ，连接DN DM ,，∵N M ,分别是CE AF ,的中点,∴AC DM ∥,EF DN ∥，又∵⊄DM 平面ABC ，⊂AC 平面ABC ，∴DM ∥平面ABC ，又AB EF ∥，∴AB DN ∥，同理可得DN ∥平面ABC ，∵⊂DM 平面MND ，⊂DN 平面MND ，D DN DM =⋂，∴平面MND ∥平面ABC .∵⊂MN 平面MND ，∴MN ∥平面ABC .（2）取AB 的中点O ，连接OE OC ,.由已知得EF OA ∥，EF OA =，∴OAFE 是平行四边形，∴AF OE ∥.∵ABC ∆是正三角形，∴AB OC ⊥，∵平面ABC ⊥平面ABEF ，平面ABC ∩平面ABEF AB =，∴OC ⊥平面ABEF ，又⊂OE 平面ABEF ，∴OE OC ⊥.设a AB EB EF AF ====21，a OC 3=.在COE Rt ∆中，由222CE OE OC =+，解得2=a ，即221====AB EB EF AF 取EF 的中点P ，连接OP ，则AB OP ⊥，以O 为原点，OC OB OP ,,所在直线分别为z y x ,,轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,21,2301,,33200020N E C A ，，，，，，，，，∴()⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-=3,21,23020ON OA ，，，，由已知易，平面ABM 的一个法向量为()32,0,0=OC ，设平面ABN 的一个法向量为()z y x n ,,=，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00n ON n OA ，即⎪⎩⎪⎨⎧=++=-03212302z y x y ，取2=x ，则()10,2-=，n∴5553232-=⨯-==n OC ∵二面角N AB M --为锐角，∴二面角N AB M --的余弦值为55.20.解：（1）由已知可得：()0cos 2≥-='a x x f ，即x a cos 2≤恒成立，又2cos 22≤≤-x ，则有(]2,-∞-∈a .（2）由已知可得：()()1ln sin 2+--=x x x x g ，则()111cos 2+--='x x x g ，令()()x g x h '=，则()()211sin 2++-='x x x h 在⎦⎤⎢⎣⎡60π，上单调递减，又∵()06,00<⎪⎭⎫⎝⎛'>'πh h ，∴存在⎪⎭⎫⎝⎛∈6,00πx 使得()0='x h ，则有x()00x ，⎪⎭⎫⎝⎛6,0πx ()x h '正负()x g '递增递减又有()00='g ，0353121113161136>-=+-->+--=⎪⎭⎫⎝⎛'ππg ，∴在⎪⎭⎫ ⎝⎛6,0π上()0>'x g ，则()x g 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈60π，x 上单调递增，∴最小值为()00=g .（3）由（2）可得()1ln sin 2++>x x x 在⎪⎭⎫⎝⎛6,0π上恒成立，令()()1ln +-=x x x ϕ，在⎪⎭⎫⎝⎛6,0π上()01>+='x x x ϕ，∴()x ϕ单调递增且()00=ϕ.∴()1ln +>x x ，()1ln 2sin 2+>x x ，从而当⎪⎭⎫⎝⎛∈6,0πx 时，()1ln sin +>x x ，令n x 1,41,31,21 =，得到23ln 21sin >，34ln 31sin >，45ln 41sin >，nn n 1ln1sin +> ，相加得：21ln 1sin 41sin 31sin 21sin +>++++n n .21.解：（1）由题意，DM ND λ=，设()y x D ,，()0,0x M ，()00y N ，，∴()0,y y x ND -=，()y x x DM ,0-=，∴()λ=-0,y y x ()y x x ,0-，由()()⎩⎨⎧-=--=y y y x x x λλ00解得()()⎪⎩⎪⎨⎧+=+=yy x x λλλ1100，又∵3=MN ，∴9220=+y x ，则()()91122222=+++y x λλλ，将1=λ和2=λ分别代入，得49221=+y x C ：，14222=+y x C ：.（2）解：①直线l 的斜率不存在时，23:±=x l ，代入2C 方程得27=AB ，∴873=S ，②直线l 的斜率存在时，设m kx y l +=:，l 与曲线1C 相切，∴2312=+k m 即()41922+=k m ，联立⎪⎩⎪⎨⎧+==+mkx y y x 1422可得()044841222=-+++m kmx x k ，由()()014116642222>-+-=∆mkm k 得752>k ，∴22212214144,418km x x k km x x +-=+-=+，于是得()222212212212415712411kk k x x x x kx x kAB +-+=-++=-+=，()1816527424242++-+=k k k k AB ，∵()()018164872447181652742422424<++--=-++-+k k k k k k k ，∴27<AB ，873=S ，综合①②可证，873≤S .(二)选考题22.解：（1）∵曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==222pty ptx （t 为参数），消去参数t 可得：py x 22=，将点()4,2代入可得21=p ，∴曲线C 的普通方程为：y x =2.（2）由已知得：OB OA ,的斜率存在且不为0，设kx y OA =:，则x k y OB 1-=：，联立⎩⎨⎧==yx kx y 2可得()2,k k A ，同理可得：⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,1k k B ，设()y x M ,，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛-=22121121k k y k k x ，∴22214222-=-+=y kk x ，∴122-=y x 即为点M 轨迹的普通方程.23.解：（1）当1=a 时，()121-++=x x x f 当1-≤x 时，()13+-=x x f ，()()41min =-=f x f ；当11<<-x 时，()3+-=x x f ，()()4,2∈x f ；当1≥x 时，()13-=x x f ()()21min ==f x f ，∴当1=a 时，()x f 的最小值为2.（2）0,0>>b a ，当21≤≤x 时，()12+->b x x f 可化为332+->+x x b a ，令()332+-='x x x h ，[]2,1∈x ，()()()121max ===h h x h ，∴1>+b a ，∴()21221212122222++++≥++++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a b a b a b a b a ，当且仅当b a =时取等号；又当1>+b a 时，()22122>++++b a b a ，故得证.。