河北科技大学2003—2004高数试卷A

2003年河北省专接本（数学）真题试卷(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 4. 解答题选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1．函数的定义域为( )．A．[0，π]B．[-4，一π]U[0，π]C．[-4，4]D．[一π，π]正确答案：B解析：定义域借助三角函数的图像可得D：一4≤x≤一π0≤x≤-π，即D：[-4，一π]∪[0,π]．2．设f(x)在点x0处不连续，则( )．A．f’(x0)必存在B．必存在C．f’(x0)必不存在D．必不存在正确答案：C解析：A不对因为f’(x0)存在，f’(x)在点x0必连续B不对，因为不连续也可能是因为左或右极限不存在，或存在但不相等引起的，而此时极限不存在．D 不对，因为不连续可能是因为是极限值不等于函数值引起的．C对，因为不连续一定不可导．3．=( )．A．e-6B．∞C．1D．e3正确答案：A解析：4．曲线y=cosx上点处的法线的斜率是( )．A．B．2C．D．正确答案：D解析：5．函数y=Insinx在闭区间上满足罗尔定理的全部条件，则使定理结论成立的ξ=( )．A．B．C．D．正确答案：A解析：令y’=cotx=0，得驻点它属于区间6．已知则( )．A．1B．C．D．2正确答案：C解析：由得f(x2)=3x2，故f(x)=3x于是7．平面x+2y—z+3=0与空间直线．的位置关系是( )．A．互相垂直B．互相平行但直线不在平面上C．既不平行也不垂直D．直线在平面上正确答案：D解析：平面及直线的法向量及方向向量分别为=(1,2，-1)，=(3，-1，1)因为，所以与垂直，从而平面与直线平行，又直线上点(1，一1，2)满足平面方程，这说明直线在平面内．故选D8．设区域D：1≤x2+y2≤4，则A．6πB．15πC．4πD．2π正确答案：A解析：9．下列级数中收敛的级数是( )．A．B．C．D．正确答案：B解析：因为而收敛，从而绝对收敛，故选B10．方程y’’一4y’+4y=0的两个线性无关的解为( )．A．e2x与e2x+1B．e2x与ce2xC．e2x与xe2xD．3e2x与一e2x正确答案：C解析：方程的特征方程为r2—4r+4=0，特征根为r1=r2=2，方程有无关解y1=e2z,y2=xe2x．故选C填空题11．设f(x)为联系函数，则∫f2(x)df(x)_________.正确答案：12．=_______________.正确答案：解析：由积分公式得：13．幂级数的收敛区间(不考虑端点)为__________.正确答案：(1，3)解析：收敛半径收敛区间为｜x一2｜满足初始条件y｜x=1=2的特解是___________.正确答案：y=2x解析：分离变量，得两边积分得，lnyl=InIxI+InC，或y=Cx由y(1)=2得C=2，故所求特解为y=2x．15．曲面ex一z+xy=3在点(2，1，0)处的切平面方程为___________.正确答案：x+2y一4=0解析：记F(x，y，z)=ez一z+xy一3，则点(2，1，0)处的法向量为点(2，1，0)处的平面方程为x一2+2(y一1)=0．解答题解答时应写出推理、演算步骤。

web试卷生成系统谢谢使用一、填空题（每空？分，共？分）1、函数的定义域是.2、用平面α截半径为R的球，如果球心到平面α的距离为，那么截得小圆的面积与球的表面积的比值为.二、选择题（每空？分，共？分）3、函数的最小正周期是A. B.C. D.4、设数列是等差数列，且，是数列的前项和，则A.B. =C.D.5、函数的定义域为A. B. C. D.6、设双曲线的焦点在轴上，两条渐近线为，则该双曲线的离心率A. B. C. D.7、不等式的解集为A. B. C. D.8、在△ABC中，AB=3，BC=，AC=4，则边AC上的高为A.B. C.D.9、设函数，则使得的自变量的取值范围为A. B.C. D.10、将4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名，则不同的分配方案共有A.12种B.24种C.36种D.48种三、计算题（每空？分，共？分）11、解方程12、某村计划建造一个室内面积为800m2的矩形蔬菜温室，在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地。

当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？13、设椭圆的两个焦点是与，且椭圆上存在点P，使得直线PF2与直线PF2垂直.（1）求实数m的取值范围；（2）设L是相应于焦点F2的准线，直线PF2与L相交于点Q. 若，求直线PF2的方程.14、如图，直三棱柱ABC―A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝1，CB ＝，侧棱AA1＝1，侧面AA1B1B的两条对角线交点为D，B1C1的中点为M.（Ⅰ）求证CD⊥平面BDM；（Ⅱ）求面B1BD与面CBD所成二面角的大小.15、已知数列的前项和满足.（Ⅰ）写出数列的前三项；（Ⅱ）求数列的通项公式；（Ⅲ）证明：对任意的整数，有 .参考答案一、填空题1、2、二、选择题3、C4、B5、A6、C7、D8、B9、A10、C三、计算题11、解：（无解）.所以12、解：设矩形温室的左侧边长为a m，后侧边长为b m ，则蔬菜的种植面积所以当答：当矩形温室的左侧边长为40m，后侧边长为20m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为648m2.13、解：（1）由题设有设点P的坐标为（），由，得，化简得①将①与联立，解得由所以m的取值范围是.（2）准线L的方程为设点Q的坐标为，则②将代入②，化简得由题设，得，无解. 将代入②，化简得由题设，得解得m=2.从而得到PF2的方程14、本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力.解法一：（Ⅰ）如图，连结CA1、AC1、CM，则CA1=.∵CB=CA1=,∴△CBA1为等腰三角形，又知D为其底边A1B的中点，∴CD⊥A1B.∵A1C1=1,C1B1=,∴A1B1=，又BB1＝1，∴A1B＝2.∵△A1CB为直角三角形，D为A1B的中点，∴CD =A1B=1,CD=CC1.又DM =AC1=,DM=C1M,∴△CDM≌△CC1M, ∠CDM=∠CC1M=90°,即CD⊥DM.因为A1B、DM为平面BDM内两条相交直线，所以CD⊥平面BDM. （Ⅱ）设F、G分别为BC、BD的中点，连结B1G、FG、B1F，则FG∥CD，FG =CD.∴FG =,FG⊥BD.由侧面矩形BB1A1A的对角线的交点为D，知BD=B1D =A1B=1，所以△BB1D是边长为1的正三角形，于是B1G⊥BD,B1G =∴∠B1GF是所求二面角的平面角.又B1F2=B1B2+BF2=1+（）2=∴cos B1GF ==.即所求二面角的大小为π－arccos解法二：如图，以C为原点建立坐标系.（Ⅱ）B （,0,0）,B1（,1,0）,A1（0,1,1）,D （,,）,M （,1,0）,=（,,）,=（,－1,－1）,=（0,,－）,则・=0,・=0,∴CD⊥A1B,CD⊥DM.因为A1B、DM为平面BDM内两条相交直线，所以CD⊥平面BDM.（Ⅱ）设BD中点为G，连结B1G，则G（,,）,=（－,,）, =（－,－,）,∴・=0.∴BD⊥B1G. 又CD⊥BD，∴与的夹角θ等于所求二面角的平面角. cosθ==－.所以所求二面角的大小等于π－arccos.15、（Ⅰ）解：由由由（Ⅱ）解：当时，有……所以经验证a1也满足上式，所以（Ⅲ）证明：由通项公式得当且n为奇数时，当为偶数时，当为奇数时，所以对任意整数m>4，有。

3
（
1 3
3
）
（B） （ ，2）
（C） （ ， ）
2 5
1 2
2 （D） （2， ） 3 5
11． lim
2 2 2 C2 C 32 C 4 Cn n n (C 1 C 1 C 1 C 1 ) 2 3 4 n
（
２
）
（A）3
（B） 1
3
（C）
1 6
24
，0） ， cos x 4 ，则 tg 2 x 5 2
（
7
）
（B） 7
cos
24
（C） 24
（D）
24 7
的准线方程是 2．圆锥曲线 8 sin 2
（ （D） sin 2 （ ）
）
（A） cos 2 3．设函数 f ( x)
3
1 cos cos [cos( ) cos( )] 2 1 sin sin [cos( ) cos( )] 2
表示球的半径.
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分
第Ⅰ卷（选择题共 60 分） 一.选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合要求的 1．已知 x ( （A） 7
８
卷) 数学（理工农医类）答案
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题 5 分，满分 60 分. 1．D 2．C
21 2
3．D
4．A
5．C
6．B
7．C
8．D 9．D
10．C
11．B
12．A
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题 4 分,满分 16 分. 13． 14． （-1，0） 15．72 16．①④⑤

绝密★启用前2003年普通高等学校招生全国统一考试数 学(理工农医类）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1．已知==-∈x tg x x 2,54cos ),0,2(则π( ）A ．247 B ．247-C ．724 D ．724- 2．圆锥曲线的准线方程是θθρ2cos sin 8=( ）A ．2cos -=θρB ．2cos =θρC ．2sin -=θρD ．2sin =θρ3．设函数的取值范围是则若0021,1)(,.0,,0,12)(x x f x x x x f x >⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=- （ ）A ．（－1，1）B ．（－1，+∞)C ．),0()2,(+∞⋃--∞D ．),1()1,(+∞⋃--∞4．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值为 ( ）A ．21+B ．12-C ．2D ．25．已知圆截得被当直线及直线C l y x l a x a x C .03:)0(4)2()(:22=+->=-+-的弦长为32时，则a =( ）A ．2B ．22-C ．12-D ．12+6．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，在它的所有内接圆柱中,全面积的最大值是（ ) A ．22R πB ．249R πC ．238R πD ．223r π7．已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成的一个首项为41的等差数列，则 =-||n m( ）A ．1B ．43 C ．21 D ．83 8．已知双曲线中心在原点且一个焦点为与其相交于直线1),0,7(-=x y F M 、N 两点，MN 中点的横坐标为,32-则此双曲线的方程是 （ ）A ．14322=-y xB ．13422=-y xC ．12522=-y xD ．15222=-y x 9．函数=∈=-)(]23,2[,sin )(1x f x x x f 的反函数ππ（ ）A ．]1,1[,arcsin -∈-x xB ．]1,1[,arcsin -∈--x x πC ．]1,1[,arcsin -∈+-x x πD ．]1,1[,arcsin -∈-x x π10．已知长方形的四个项点A （0，0）,B （2,0），C （2，1）和D （0，1）,一质点从AB 的中点P 0沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点P 1后,依次反射到CD 、DA 和AB 上的点P 2、P 3和P 4（入射解等于反射角），设P 4坐标为（θtg ,2x 1),0,44则若<<x 的取值范围是（ )A ．)1,31(B ．)32,31(C ．)21,52(D ．)32,52(11．=++++++++∞→)(lim 11413122242322nnn C C C C n C C C C( ）A ．3B ．31C ．61 D ．612．一个四面体的所有棱长都为2，四个项点在同一球面上，则此球的表面积为 （ ）A ．3πB ．4πC ．3π3D ．6π二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分,把答案填在题中横线上。