北师大版数学九年级下册《6 利用三角函数测高》教案一. 教材分析北师大版数学九年级下册《6 利用三角函数测高》这一节主要让学生了解利用三角函数测量物体高度的方法，理解三角函数在实际生活中的应用。
通过这一节的学习，学生能够掌握用三角板和皮尺测量物体高度的基本方法，培养学生的实际操作能力和解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了三角函数的基本知识，对三角板和皮尺等测量工具也有一定的了解。
但是，学生可能对如何将理论运用到实际问题中还有一定的困难，因此，在教学过程中，教师需要引导学生将所学的知识与实际问题相结合，提高学生的实践能力。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握利用三角函数测量物体高度的基本方法。
2.过程与方法：通过实际操作，培养学生解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队协作精神。
四. 教学重难点1.重点：让学生掌握利用三角函数测量物体高度的方法。
2.难点：如何将所学的三角函数知识运用到实际问题中。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法。
通过实际案例引导学生思考，激发学生的学习兴趣；以小组合作的形式，让学生在实际操作中解决问题，培养学生的实践能力。
六. 教学准备1.准备三角板、皮尺等测量工具。
2.准备相关案例材料。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用一个生活中的实例引入课题，如：如何测量旗杆的高度。
让学生思考如何解决这个问题，引发学生对利用三角函数测高的兴趣。
2.呈现（10分钟）呈现旗杆高度测量案例，引导学生分析问题，提出解决方案。
让学生尝试用所学的三角函数知识解决问题，教师给予指导。
3.操练（10分钟）学生分组进行实际操作，用三角板和皮尺测量旗杆的高度。
教师巡回指导，纠正学生在操作过程中可能出现的问题。
4.巩固（10分钟）让学生总结在测量过程中所用的方法和技巧，教师点评并总结。
让学生复述所学的知识点，加深对利用三角函数测高的理解。
6 利用三角函数测高知识点 1 测量底部可以到达的物体的高度1.[2020·达州]如图1-6-1,小明为测量校园里一棵大树AB的高度,在树底部B所在的水平面内,将测角仪CD竖直放在与B相距8 m的位置,在D处测得树顶A的仰角为52°.若测角仪的高度是 1 m,则大树AB的高度约为.(结果精确到 1 m,参考数据:sin52°≈0.79,cos52°≈0.62,tan52°≈1.28)图1-6-12.[2019·丹东]如图1-6-2,在某街道的路边有相距10 m、高度相同的两盏路灯(灯杆垂直地面),小明为了测量路灯的高度,在地面A处测得路灯PQ顶端的仰角为14°,向前行走25 m 到达B处,此时测得路灯MN顶端的仰角为24.3°,已知点A,B,Q,N在同一条直线上,请你利用所学知识帮助小明求出路灯的高度.(结果精确到0.1 m,参考数据:sin14°≈0.24,cos14°≈0.97,tan14°≈0.25,sin24.3°≈0.41,cos24.3°≈0.91,tan24.3°≈0.45)图1-6-2知识点 2 测量底部不能到达的物体的高度3.当地时间2019年4月15日下午,法国巴黎圣母院发生火灾,大火烧毁了巴黎圣母院后塔的塔顶.在此之前,某小组为测量此塔塔顶B 的高度,在地面选取了与塔底D 共线的两点A ,C ,点A ,C 在点D 的同侧,在A 处测得塔顶B 的仰角为27°,在C 处测得塔顶B 的仰角为45°,点A到点C 的距离是89.5 m(如图1-6-3).设BD 的高为x m,则下列关系式正确的是( )图1-6-3A .tan27°=xx+89.5 B .cos27°=xx+89.5 C .sin27°=x x+89.5 D .tan27°=x+89.5x4.如图1-6-4,大楼AB 底部右侧有一障碍物,在障碍物的旁边有一栋小楼DE ,在小楼的顶端D 处测得障碍物边缘点C 的俯角为30°,测得大楼顶端点A 的仰角为45°(点B ,C ,E 在同一水平直线上).已知AB=40 m,DE=10 m,则障碍物B ,C 两点间的距离为 m .(结果保留根号)图1-6-45.如图1-6-5,某小区1号楼与11号楼隔河相望,李明家住在1号楼,他很想知道11号楼的高度,于是他做了一些测量,他先在1号楼的底部点B 处测得11号楼的顶部点C 的仰角为60°,然后到42 m 高的楼顶A 处,测得点C 的仰角为30°,请你帮助李明计算11号楼的高度CD.图1-6-56.如图1-6-6,学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度,他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°,然后在坡顶D处测得树顶B的仰角为30°,已知斜坡CD的长度为20 m,DE 的高为10 m,则树AB的高度为()图1-6-6A.20√3 mB.30 mC.30√3 mD.40 m7.如图1-6-7,A,B,C表示修建在一座山上的三个缆车站的位置,线段AB,BC表示连接缆车站的钢缆.已知A,B,C所处位置的海拔AA1,BB1,CC1分别为130米,400米,1000米.由点A测得点B的仰角为30°,由点B测得点C的仰角为45°,那么AB和BC的总长度是 ()图1-6-7A.(1200+270√2)米B.(800+270√2)米C.(540+600√2)米D.(800+600√2)米8.如图1-6-8,某数学兴趣小组要测量一栋五层居民楼CD的高度.该楼底层为车库,高2.5 m;上面五层居住,每层高度相等.测角仪支架离地1.5 m,在A处测得五楼顶部点D的仰角为60°,在B处测得四楼顶部点E的仰角为30°,AB=14 m.求居民楼的高度.(结果精确到0.1 m,参考数据:√3≈1.73)图1-6-89.[2019·山西] 某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动.他们制订了测量方案,并利用课余时间完成了实地测量.他们在该旗杆底部所在的平地上选取两个不同测点,分别测量了该旗杆顶端的仰角以及这两个测点之间的距离.为了减小测量误差,小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时,都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果,测量数据如下表(不完整): 课题 测量旗杆的高度成员 组长:××× 组员:×××,×××,×××测量工具测量角度的仪器,皮尺等测量示意图说明:线段GH 表示学校旗杆,测量角度的仪器的高度AC=BD=1.5 m,测点A ,B 与H 在同一条水平直线上,A ,B 之间的距离可以直接测得,且点G ,H ,A ,B ,C ,D 都在同一竖直平面内,点C ,D ,E 在同一条直线上,点E 在GH 上测量 数据测量项目第一次 第二次 平均值 ∠GCE 的度数 25.6° 25.8° 25.7° ∠GDE 的度数31.2° 30.8° 31° A ,B 之间的距离5.4 m5.6 m……任务一:两次测量A ,B 之间的距离的平均值是 m;任务二:根据以上测量结果,请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆GH 的高度; (参考数据:sin25.7°≈0.43,cos25.7°≈0.90,tan25.7°≈0.48,sin31°≈0.52,cos31°≈0.86,tan31°≈0.60)任务三:该“综合与实践”小组在制订方案时,讨论过“利用物体在阳光下的影子测量旗杆的高度”的方案,但未被采纳.你认为其原因可能是什么?(写出一条即可)教师详解详析6 利用三角函数测高1.11 m [解析] 如图,过点D 作DE ⊥AB ,垂足为E.由题意得,BC=DE=8 m,∠ADE=52°,BE=CD=1 m .在Rt △ADE 中,AE=DE ·tan ∠ADE=8×tan52°≈10.24(m),∴AB=AE+BE ≈10.24+1≈11(m).故答案为11 m .2.解:设PQ=MN=x m .在Rt △APQ 中,tan A=PQAQ ,则AQ=PQ tanA ≈x0.25=4x (m). 在Rt △MBN 中,tan ∠MBN=MN BN,则BN=MNtan∠MBN≈x 0.45=209x (m). ∵AQ+QN=AB+BN ,∴4x+10=25+209x ,解得x ≈8.4.故路灯的高度约为8.4 m . 3.A4.(30-10√3)5.解:如图,过点A 作AE ⊥CD 于点E ,则四边形ABDE 为矩形,∴AE=BD ,AB=DE.∵CD=BD ·tan60°=√3BD ,CE=AE ·tan30°=BD ·tan30°=√33BD , ∴AB=DE=CD -CE=2√33BD=42 m,∴BD=21√3 m,∴CD=√3BD=63 m .故11号楼的高度CD 为63 m .6.B [解析] 过点D 作DF ⊥AB 于点F ,交BC 于点G.在Rt △CDE 中,∵CD=20 m,DE=10 m,∴sin ∠DCE=1020=12, ∴∠DCE=30°.又∵∠ACB=60°,∴∠DCB=90°.∵DF ∥AE ,∴∠BGF=∠BCA=60°. ∵∠BDF=30°,∴∠DBC=30°, ∴BC=CD tan30°=√33=20√3(m),∴AB=BC ·sin60°=20√3×√32=30(m).7.C [解析] 如图,过点B 作BB 2⊥CC 1于点B 2,过点A 作AA 2⊥CC 1于点A 2,交BB 1于点D.由题意得,BD=400-130=270(米),CB 2=1000-400=600(米).在Rt △ABD 中,AB=BD sin∠BAD=540(米), 在Rt △BCB 2中,BC=CB 2sin∠CBB 2=600√2(米),∴AB+BC=(540+600√2)米.故选C .8.解:设每层居民楼的高度为x m .由题意,得MC'=MC-CC'=2.5-1.5=1(m),∴DC'=(5x+1)m,EC'=(4x+1)m .在Rt △DC'A'中,∠DA'C'=60°,∴C'A'=DC 'tan60°=√33(5x+1)m .在Rt △EC'B'中,∠EB'C'=30°,∴C'B'=EC 'tan30°=√3(4x+1)m . ∵A'B'=C'B'-C'A'=AB=14 m, ∴√3(4x+1)-√33(5x+1)=14,解得x=2√3-27,∴CD=DM+MC=5×2√3-27+2.5≈18.4(m),故居民楼的高度约为18.4 m . 9.解:任务一:12×(5.4+5.6)=5.5(m).故答案为5.5. 任务二:设EG=x m .在Rt △DEG 中,∠DEG=90°,∠GDE=31°,∵tan31°=EG DE ,∴DE=xtan31°.在Rt △CEG 中,∠CEG=90°,∠GCE=25.7°,∵tan25.7°=EG CE ,∴CE=xtan25.7°. ∵CD=CE -DE ,∴xtan25.7°-xtan31°=5.5,解得x ≈13.2,∴GH=EG+EH ≈13.2+1.5=14.7(m).故学校旗杆GH 的高度约为14.7 m .任务三:没有太阳光,或旗杆底部不可到达,测量旗杆影子的长度遇到困难等.(答案不唯一,合理即可)。
