三角函数测高

北师大版九年级数学下册：1.6《利用三角函数测高》教学设计一. 教材分析《利用三角函数测高》是北师大版九年级数学下册第1.6节的内容，主要介绍了利用三角函数测量物体高度的方法。

这一节内容是学生在学习了三角函数基础知识后的进一步应用，对于培养学生的实际问题解决能力具有重要意义。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的三角函数基础知识，能够理解并运用三角函数解决一些实际问题。

但是，对于如何运用三角函数测量物体高度，可能还比较陌生，需要通过实例讲解和操作练习来进一步掌握。

三. 教学目标1.理解利用三角函数测量物体高度的原理和方法。

2.能够运用三角函数解决实际问题，提高学生的应用能力。

3.培养学生的合作意识和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.利用三角函数测量物体高度的原理理解。

2.如何根据实际情况选择合适的测量方法和计算公式。

五. 教学方法1.实例讲解：通过具体案例，讲解利用三角函数测量物体高度的方法和步骤。

2.小组讨论：学生分组讨论，总结测量物体高度的原理和注意事项。

3.操作练习：学生分组进行实际操作，巩固所学知识。

4.问题解决：引导学生运用所学知识解决实际问题，提高学生的应用能力。

六. 教学准备1.教学PPT：制作详细的PPT，内容包括知识点、案例、练习题等。

2.测量工具：准备一些测量工具，如测高仪、绳子等，用于实际操作。

3.练习题：准备一些相关的练习题，用于巩固和拓展学生的知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一些实际问题，如测量旗杆高度、树木高度等，引导学生思考如何利用三角函数解决这些问题。

2.呈现（10分钟）通过PPT呈现三角函数测量物体高度的原理和方法，结合具体案例进行讲解，让学生理解并掌握相关知识。

3.操练（10分钟）学生分组进行实际操作，使用测量工具（如测高仪、绳子等）进行测量，巩固所学知识。

教师巡回指导，解答学生在操作过程中遇到的问题。

4.巩固（5分钟）学生分组讨论，总结测量物体高度的原理和注意事项。

《利用三角函数测高》作业设计方案（第一课时）一、作业目标1. 使学生能够理解并掌握三角函数的基本概念及意义。

2. 通过实践活动，让学生学会利用三角函数解决实际问题，特别是测高问题。

3. 培养学生的观察能力、实践能力和问题解决能力。

二、作业内容本节课的作业内容主要围绕三角函数测高的实际应用展开。

具体内容如下：（一）基本理论学习学生需认真阅读教材，掌握三角函数的基本概念、正弦、余弦和正切的定义及其在直角三角形中的应用。

理解角度与边长的关系，并能够用三角函数表示这些关系。

（二）实践活动1. 实地测量：学生需在安全的环境下，选择合适的参照物（如建筑物、树木等），利用直角三角尺和角度计测量目标的高度。

记录测量数据，并绘制出简单的测量示意图。

2. 数据分析：学生需根据测量的数据，运用三角函数知识，计算出目标的高度。

并分析误差产生的原因，思考如何提高测量的准确性。

3. 实验报告：学生需将上述过程以书面形式进行记录和整理，包括测量的地点、目标物、使用的工具、测量步骤和计算结果等，同时需写出自己对测量过程和结果的反思与感悟。

（三）理论应用练习完成一组与三角函数测高相关的练习题，加深对理论知识的理解和应用能力。

三、作业要求1. 学生在进行实地测量时，需注意安全，遵循老师的指导。

2. 实验报告需字迹清晰、内容完整，体现出学生的思考和总结。

3. 练习题需独立完成，不得抄袭他人答案。

4. 作业需在规定时间内提交，并按时参加课堂讲解和讨论。

四、作业评价1. 老师将根据学生的实验报告内容、格式、字迹等方面进行评价。

2. 对于实地测量和理论应用练习部分，老师将根据学生的正确性、准确性和解题思路进行评价。

3. 鼓励学生相互评价和讨论，取长补短，共同进步。

五、作业反馈1. 老师将对每位学生的作业进行详细批改，指出存在的问题和不足。

2. 在课堂上进行作业讲解和讨论，针对学生的疑惑进行解答和指导。

3. 根据作业情况，对学生的学习情况进行总结和分析，为后续教学提供参考和依据。

北师大版数学九年级下册1.6《利用三角函数测高》教案一. 教材分析《利用三角函数测高》这一节主要让学生了解和掌握利用三角函数测量物体高度的方法。

通过前面的学习，学生已经掌握了锐角三角函数的概念和性质，本节内容是在此基础上进一步应用三角函数解决实际问题。

利用三角函数测高是初中数学中重要的应用题类型，也是中考的热点题型，对于培养学生的数学应用能力和解决实际问题的能力具有重要意义。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了锐角三角函数的基本概念和性质，对于运用三角函数解决实际问题有一定的基础。

但学生在解决实际问题时，往往因为对实际情况理解不深，而导致解题思路不清晰。

因此，在教学本节内容时，要注重让学生理解实际问题的背景，引导学生运用三角函数解决实际问题。

三. 教学目标1.让学生了解和掌握利用三角函数测高的方法。

2.培养学生运用三角函数解决实际问题的能力。

3.培养学生的合作交流能力和创新思维能力。

四. 教学重难点1.重点：让学生掌握利用三角函数测高的方法。

2.难点：如何引导学生运用三角函数解决实际问题，特别是对于复杂问题的解决。

五. 教学方法采用问题驱动法，情境教学法，合作交流法，引导发现法等。

通过设置具体的问题情境，引导学生运用已学的三角函数知识解决实际问题，培养学生的应用能力和解决实际问题的能力。

六. 教学准备1.准备相关的问题情境和案例，用于引导学生进行实际问题的解决。

2.准备多媒体教学设备，用于展示问题和案例。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾已学的三角函数知识，如：什么是锐角三角函数？它们之间有什么关系？然后提出本节课的主题：如何利用三角函数测高？2.呈现（15分钟）教师通过多媒体展示一些实际问题，如：如何测量电视塔的高度？如何测量树的高度？让学生思考如何利用三角函数解决这些问题。

3.操练（20分钟）教师学生进行小组合作，让学生通过实际操作，运用三角函数解决呈现的问题。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

利用三角函数测高优秀教案课题名称：利用三角函数测高教学目标：1.理解正弦、余弦和正切的概念及其在三角函数测高中的应用；2.掌握使用正弦定理和余弦定理测量不可直接测量的高度；3.能够灵活运用三角函数测高的方法解决实际问题。

教学重点：1.正弦、余弦和正切的概念及其在三角函数测高中的应用；2.正弦定理和余弦定理的应用。

教学难点：教学准备：教具：直尺、测量工具、投影仪；课件：包含三角函数和其应用的相关知识点。

教学过程：一、导入（5分钟）1.引入三角函数的概念，复习正弦、余弦和正切的定义和计算方法。

2.提问学生：在实际生活中，我们如何使用三角函数来测量高度？二、讲解（15分钟）1.三角函数测高的原理：利用正弦、余弦和正切的性质通过测量已知边长和角度的方式求解未知高度。

2.正弦定理的应用：利用三角形中任意两边的长度和它们夹角的正弦比，求解不可直接测量的高度。

3.余弦定理的应用：利用三角形中三边的长度和它们之间的夹角余弦，求解不可直接测量的高度。

三、示范（15分钟）1.示范测量不可直接测量的高度的步骤，例如使用正弦定理：a.给出一个实际问题，如：如何测量一栋建筑物的高度？b.画出相应的示意图，标注已知边长和角度。

c.利用正弦定理的公式，求解未知的高度。

d.明确解题思路和计算步骤，进行计算。

2.呈现示范的解题过程，详细讲解每一步骤的计算方法和答案。

四、练习（20分钟）1.分发练习题，让学生独立完成。

2.讲解练习题答案，帮助学生纠正错误，巩固和理解三角函数测高的方法。

五、应用（15分钟）1.提供一些实际问题，要求学生运用三角函数测高的方法解决。

2.分组讨论并呈现解决方案，交流思路和讨论结果。

六、总结（10分钟）1.对本节课的要点进行总结，强调正弦、余弦和正切的应用。

2.核对课程目标，评估学生的学习情况。

七、作业（5分钟）布置作业：完成课后练习题，巩固三角函数测高的知识。

教学延伸：可以引导学生使用三角函数测高解决其他实际问题，并探究其他测高方法的应用。

学号封区内容考试类型考试【】考查【】命题人绝密★启用前利用三角函数测高测试时间:30分钟一、选择题1、如下图,某地修建高速公路,要从A地向B地修一座隧道(点A、B在同一水平面上).为了测量A、B两地之间的距离,一架直升机从A地出发,垂直上升800米到达C处,在C处观察B地的俯角为α,则A、B两地之间的距离为()A.800sin α米B.800tan α米C.800sinα米 D.800tanα米2、数学活动小组利用测角仪和皮尺测量学校旗杆的高度的示意图如下图所示,在D处测得旗杆顶端A的仰角∠ADE为55°,D离旗杆的距离DE为6米,测角仪CD的高度为1米,设旗杆AB的高度为x米,则下列关系式正确的是()A.tan 55°=6x-1B.tan 55°=x-16C.sin 55°=x-16D.cos 55°=x-163.、小明同学在数学实践活动课中测量路灯的高度.如下图,已知她的身高AB为1.5米,她先站在A处看路灯顶端O的仰角为35°,再往前走3米站在C处,看路灯顶端O的仰角为65°,则路灯顶端O到地面的距离约为(已知sin 35°≈0.6,cos 35°≈0.8,tan 35°≈0.7,sin 65°≈0.9,cos 65°≈0.4,tan 65°≈2.1)()A.3.2米B.3.9米C.4.7米D.5.4米4、秦岭公园是陕西最早的私家园林,前身为礼园,是国家AAA级旅游景区,园内有一瞰胜楼,登上楼就能欣赏到陕西的优美景色,周末小嘉同学游览秦岭公园,如下图,在点A处观察瞰胜楼楼底C的仰角为12°,楼顶D的仰角为13°,BC是一斜坡,测得AE=1 200 m,点B与CD之间的水平距离BE=450 m,BC的坡度i=8∶15,则瞰胜楼的高度CD为(参考数据:tan 12°=0.2,tan 13°=0.23)()A.34 mB.35 mC.36 mD.37 m5、如下图,某人为了测量华山上的“塔式佛教圣灯”ED的高,他在山下点A处测得塔尖D的仰角为45°,沿AC方向前进24.40 m到达山脚点B,测得塔尖点D的仰角为60°,塔底点E的仰角为30°,那么“塔式佛教圣灯”ED的高度约为()(参考数据:√3≈1.7,√2≈1.4,结果保留两位小数)A.35.78 mB.38.23 mC.39.53 mD.40.52 m二、填空题6、如下图,某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB,飞机上的测量人员在C处测得A,B两点的俯角分别为45°,30°.若飞机离地面的高度CH为1 200米,且点H,A,B在同一水平直线上,则这条江的宽度AB为米(结果保留根号).三、解答题7、如下图,西安国际金融中心主楼BC高达452 m,是目前湖南省第一高楼,和它处于同一水平面上的第二高楼DE高340 m,为了测量高楼BC上发射塔AB的高度,在楼DE底端D点测得A的仰角为α,sin α=2425,在顶端E点测得A的仰角为45°,求发射塔AB的高度.8、2019年9月8日—10日,第六届翼装飞行世界锦标赛在我市天门山风景区隆重举行,来自全球11个国家的16名选手参加了激烈的角逐.如下图,某选手从离水平地面1 000米高的A点出发(AB=1 000米),横线以内不许答题沿俯角为30°的方向直线飞行1 400米到达D 点,然后打开降落伞沿俯角为60°的方向降落到地面上的C 点,求该选手飞行的水平距离BC.9.如下图,某校教学楼AB 的后面有一建筑物CD,当光线与地面的夹角是22°时,教学楼在建筑物的墙上留下高2 m 的影子CE,而当光线与地面的夹角是45°时,教学楼顶部点A 在地面上的影子F 与墙角C 有13 m 的距离(B 、F 、C 在一条直线上). (1)求教学楼AB 的高度;(2)学校要在A 、E 之间挂一些彩旗,请你求出A 、E 之间的距离(结果保留整数).(参考数据:sin22°≈38,cos22°≈1516,tan22°≈25)参考答案一、选择题1.答案 D 根据题意得,∠CBA=α,AC ⊥AB,AC=800米,在Rt △ABC 中,tan α=ACAB ,∴AB=ACtanα=800tanα(米). 2.答案 B ∵在Rt △ADE 中,DE=6米,AE=AB -BE=AB -CD=(x -1)米,∠ADE=55°,∴tan 55°=AE DE =x -16. 3.答案 C 如下图,过点O 作OE ⊥AC,交AC 的延长线于点E,延长BD 交OE 于点F, 设DF=x 米,∴BF=(3+x)米,∵tan 65°=OFDF ,∴OF=xtan 65°米, ∵tan 35°=OF BF,∴OF=(3+x)tan 35°米, ∴2.1x=0.7(3+x),∴x=1.5, ∴OF=1.5×2.1=3.15米,∴OE=OF+EF=3.15+1.5=4.65≈4.7米,故选C.4.答案 C ∵∠DAE=13°,∠CAE=12°,AE=1 200 m,∴在Rt △ADE 中,DE=AE·tan ∠DAE=1 200×0.23=276 m,在Rt △ACE 中,CE=AE·tan ∠CAE=1 200×0.2=240 m,∴DC=DE -CE=276-240=36 m,即瞰胜楼的高度CD 为36 m.故选C.5.答案 B 由题知,∠DBC=60°,∠EBC=30°, ∴∠DBE=∠DBC -∠EBC=60°-30°=30°.又∵∠BCD=90°,∴∠BDC=90°-∠DBC=90°-60°=30°. ∴∠DBE=∠BDE.∴BE=DE.设EC=x m,则BE=2x m,∴BC=√BE 2-EC 2=√(2x )2-x 2=√3x m,CD=x+2x=3x m, 由题知,∠DAC=45°,∠DCA=90°, ∴△ACD 为等腰直角三角形,∴AC=CD, ∴√3x+24.40=3x,解得x=183+61√315. ∴2x=2×183+61√3≈38.23. 答:塔高约为38.23 m.故选B.二、填空题6.答案 (1 200√3-1 200)解析 在Rt △AHC 中,∠CAH=∠DCA=45°,所以AH=CH=1 200米,在Rt △BHC 中,∠CBH=∠DCB=30°,tan ∠CBH=CHBH ,所以BH=1 200√3米,所以AB=BH -AH=(1 200√3-1 200)米.三、解答题横线以内不许答题7.解析 作EH ⊥AC 于H,则四边形EDCH 为矩形,∴EH=CD,CH=DE=340 m.在Rt △ADC 中,sin α=AC AD =2425,设AC=24x m,∴AD=25x m,由勾股定理得,CD=√AD 2-AC 2=7x m,∴EH=7x m, 在Rt △AEH 中,∠AEH=45°,∴AH=EH=7x m,由题意得,24x=7x+340,解得x=20,则AC=24x=480 m,∴AB=AC -BC=480-452=28 m. 答:发射塔AB 的高度为28 m.8.解析 如下图,过点D 作DE ⊥AB 于点E,DF ⊥BC 于点F, 由题意知∠ADE=30°,∠CDF=30°,在Rt △DAE 中,AD=1 400米,∠ADE=30°,cos ∠ADE=DEAD ,∴AE=12AD=12×1 400=700米, DE=1 400×√32=700√3米.∴EB=AB -AE=1 000-700=300米, ∴DF=BE=300米,在Rt △CDF 中,DF=300米,∠CDF=30°,tan ∠CDF=FCDF , ∴FC=DF·tan ∠CDF=300×√33=100√3米,∴BC=BF+FC=DE+FC=700√3+100√3=800√3(米).答:该选手飞行的水平距离BC 为800√3米.9.解析 (1)如下图,过点E 作EM ⊥AB,垂足为M.设AB=x m.在Rt △ABF 中,∠AFB=45°,∴BF=AB=x m. ∴BC=BF+FC=(x+13)m.在Rt △AEM 中,∠AEM=22°,AM=AB -BM=AB -CE=(x -2)m,EM=BC=(x+13)m, ∴tan 22°=AM EM =x -2x+13≈25, ∴x≈12.∴教学楼AB 的高度约为12 m. (2)由(1)可得ME=BC=x+13=12+13=25(m). 在Rt △AME 中,cos 22°=ME AE, ∴AE=ME≈251516≈27 m,即A 、E 之间的距离约为27 m.。

北师大版数学九年级下册《6 利用三角函数测高》教学设计一. 教材分析北师大版数学九年级下册《6 利用三角函数测高》这一节主要介绍了利用三角函数测量物体高度的方法。

通过本节课的学习，学生能够理解利用三角函数测高的原理，掌握用三角板和尺子测量物体高度的方法，并能够运用到实际生活中。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了初中阶段的三角函数知识，对三角板和尺子的使用也有一定的了解。

但是，学生可能对实际应用三角函数测量高度的方法还不够熟悉，需要通过实例的讲解和操作来加深理解。

三. 教学目标1.理解利用三角函数测高的原理。

2.学会使用三角板和尺子测量物体高度的方法。

3.能够将三角函数知识应用到实际生活中。

四. 教学重难点1.教学重点：利用三角函数测高的原理和方法。

2.教学难点：如何将三角函数知识应用到实际测量中。

五. 教学方法采用讲授法、演示法、实践法、讨论法等多种教学方法，引导学生通过自主学习、合作交流，提高解决问题的能力。

六. 教学准备1.准备三角板、尺子等测量工具。

2.准备相关的多媒体教学课件。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入本节课的内容：如何测量学校旗杆的高度？让学生思考如何利用三角函数来解决这个问题。

2.呈现（10分钟）讲解利用三角函数测高的原理，并通过多媒体课件展示具体的测量方法和步骤。

同时，引导学生理解三角函数在测量中的作用。

3.操练（10分钟）学生分组进行实际操作，使用三角板和尺子测量教室内的物体高度。

教师巡回指导，解答学生遇到的问题。

4.巩固（10分钟）学生汇报测量结果，并交流在操作过程中遇到的问题和解决方法。

教师总结测量的高度计算公式，并强调注意事项。

5.拓展（10分钟）引导学生思考：除了测量物体高度，三角函数还可以应用到哪些实际问题中？让学生举例说明，并进行讨论。

6.小结（5分钟）教师总结本节课的主要内容，强调利用三角函数测高的方法和注意事项。

7.家庭作业（5分钟）布置一道实际问题作业：测量家里电视的高度。

授课教师林永寿课型新课授课时间课题§ 1.62利用三角函数测鬲教学目标知识与技能:能够对所得到的数据进行分析，能够对仪器进行调整和对测量结果进行矫止，从而得岀符合实际的结果，能综合应用直角三角形的边角关系的知识解决实际问题.过程与方法：经历运用仪器进行实地测量以及撰写活动报告的过程.积极参与数学活动，积累数学活动的经验，捉高对实验数据的处理能力；学会将实际问题转化为数学模型的方法，在提高分析问题、解决问题的能力的同时，增强数学的应用意识.情感态度与价值观：能够主动积极地想办法，积极地投入到数学活动中去，提高学习数学的兴趣；培养不怕困难的品质，发展合作意识和科学精神.教7重点难点重卢4\\\1、能够对所得到的数据进行分析2、能够综合运用直角三角形边角关系的知识解决实际问题难点1、能够对所得到的数据进行分析2、能够综合运用直角三角形边角关系的知识解决实际问题教学方法猜想证明法讲授法引导交流法合作探究学习法学法指导渗透指导、讲授指导、点拨指导、交流指导课前准备一体机、PPT课件师生活动过程一、活动报告展示展示内容：活动方案1r、厂 A r、测量对象测量工具测量数据\ r、计算过程/ C >规则与要求：1、提供4个展示机会；2、每个小组选派一名代表上台展示；3、展示时间不得超过5分钟；4、其他同学进行点评；5、评选出本次活动的最佳小组.《利用三角函数测高》活动报告（示例测量对象大树C 测量图示1 L测量工具测量数据计算过程测量结果《利用三角函数测高》活动报告（示例2）测量对象测量图示测量工具测量数据计算过程测量结果《利用三角函数测高》活动报告（示例测量对象旗杆M测量图示E1[N B A 测量工具测量数据计算过程测量结果《利用三角函数测高》活动报告（示例测量对象教学楼测量图示Z_______ .X1Q0□□□□□□t£□□□□<—30 m->ZZZZ/Z//ZZZ/Z//ZZ （甲）（乙）测量工具测量数据计算过程测量结果二、活动心得交流在这次活动中你有什么收获?1•必做题:2•选做题:1、学生非常喜欢活动课，学习积极性非常高，要结合教材，多开发数学活动课;2、在活动中，学生利用数学知识解决了实际问题，感受了生活中的数学，体验教学反思到了数学的价值；3、在分组活动、小组合作、全班交流研讨的过程中，学生的合作意识得到了发展.。

第03讲 三角函数的应用及利用三角函数测高1.会运用有关解直角三角形的知识解决实际生活中存在的解直角三角形问题．2.理解用三角函数解决实际问题的有关概念；3.理解并解决实际问题中转化为三角函数模型解决实际问题。

知识点01锐角三角函数之间的关系如图所示，在Rt △ABC 中，∠C=90°．(1)互余关系：，；(2)平方关系：；(3)倒数关系：或；(4)商数关系：．要点诠释： 锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．【知识拓展1】利用同角三角函数关系求值计算：（1）2tan452sin30cos 30-+o o o ； （2）22tan1tan89sin 1sin 89o o o o ×++．【答案】（1）34；（2）2.【分析】(1)根据特殊角的三角函数值计算即可；(2)根据直角三角形中tanA=1tanB，sin 2A+cos 2A=1，.解：()1原式21331211244=-´+=-+=；()2原式()221tan1sin 1cos 1tan1=´++o o o o 11=+2=.故答案为：（1）34；（2）2.【点拨】本题考查了三角函数值的计算.【即学即练1】已知∠A 为锐角且sinA=12，则4sin 2A －4sinAcosA ＋cos 2A的值是多少。

【答案】74【分析】先求出A Ð的度数，再求出cos A 的值，最后代入计算即可.解：A Q Ð为锐角，且1sin 2A =30A \Ð=°cos cos30A \=°2222411744()4224sin A sinAcos A A cos \-+´-´==【点拨】本题考查了锐角三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题关键.【即学即练2】.如图，在ABCD Y 中，E ，F 是对角线BD 上的两点（点E 在点F 左侧），且90AEB CFD Ð=Ð=°．（1）求证：四边形AECF 是平行四边形．（2）当5AB =，3tan 4ABE Ð=，CBE EAF Ð=Ð时，求BD 的长．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）由平行四边形的性质得到AB =CD ，ABE CDF Ð=Ð，和已知条件一起，用于证明三角形全等，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定定理得出结论；（2）根据平行四边形的性质得到一组对角相等，通过等量代换，得到CBE ECF Ð=Ð，则相等的角正切值也相等，根据比值算出结果．解：（1）证明Q ，∴//AE CF ，在中，//AB CD ，=AB CD ，∴ABE CDF Ð=Ð，∴ABE △≌CDF V ()AAS ，∴AE CF =，∴四边形AECF 是平行四边形．（2）解：∵ABE △≌CDF V ，∴BE =DF ，∵四边形AECF 是平行四边形，∴，在Rt ABE △中5AB =，3tan 4ABE Ð=，∴AE =3，BE =4．∵BE =DF ，AE =CF ，∴BE =DF =4，AE =CF =3，Q，CBE EAF Ð=Ð，∴CBE ECF Ð=Ð，∴tan ∠CBF =34CF BE EF EF=++，tan ∠ECF =3EF EF CF =，∴343EFEF =+，得到EF 2，或EF =2（舍去），∴BD 2=6，即BD =6．【点拨】本题考查了平行四边形的性质与判定以及相等的角的正切值也相等．解决本题的关键在于等量代换出角相等，应用相等的角的正切值也相等来解题．【即学即练3】求值：(1)260453456cos sin tan tan +-×o o o o ； ()2已知2tanA =，求245sinA cosAsinA cosA-+的值．【答案】（1）0；（2）313.【分析】（1）根据特殊角的三角函数值及互余两角三角函数值相互间的关系计算．（2）根据同角三角函数值相互间的关系计算．解：（1）原式12=+2﹣11122=+-1=0；（2）∵tan A =2，∴sin cos A A=2，∴sin A =2cos A ，∴原式=22cos 42cos 5A cosA A cosA ´-´+=3cos 13cos A A =313．【点拨】本题考查了特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．【知识拓展2】求证同角三角函数关系式已知：1sin15cos15sin302o o o ×=，1sin20cos20sin402×=o o o ，1sin30cos30sin602×=o o o，请你根据上式写出你发现的规律________．【答案】1sin cos sin22a a a×=【分析】从角度的倍数关系方面考虑并总结写出结论．解：根据题意发现：同一个角正弦与余弦的积等于这个角的2倍的正弦的一半，规律为：1sin cos sin22a a a ×=.故答案为1sin cos sin22a a a ×=.【点拨】本题考点：同角三角函数的关系.【即学即练1】已知：实常数a b c d 、、、同时满足下列两个等式：⑴sin cos 0a b c q q +-=；⑵cos sin 0a b d q q -+=（其中q 为任意锐角），则a b c d 、、、之间的关系式是：___________【答案】a 2+b 2=c 2+d 2【分析】把两个式子移项后，两边平方，再相加，利用sin 2θ+cos 2θ=1，即可找到这四个数的关系．解：由①得asinθ+bcosθ=c ，两边平方，a 2sin 2θ+b 2cos 2θ+2absinθcosθ=c 2③，由②得acosθ-bsinθ=-d ，两边平方，a 2cos 2θ+b 2sin 2θ-2absinθcosθ=d 2④，③+④得a 2（sin 2θ+cos 2θ）+b 2（sin 2θ+cos 2θ）=c 2+d 2，∴a 2+b 2=c 2+d 2．【点拨】本题主要考查了同角三角函数基本关系式的应用，sin 2θ+bcos 2θ=1的应用是解题的关键，属于基础题．【即学即练2】.①sin 2A+cos 2A=________，②tanA•cotA=________．【答案】11【解析】如图，设Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a b c 、、，则sinA=a c，cosA=bc ，tanA=a b ，cotA=b a ，222+=a b c ，∴（1）sin 2A+cos 2A=2222222()()1a b a b c c c c c++===；（2）tanA•cotA=1a bb a×=.点睛：解答本题的要点是：画出符合要求的图形，结合锐角三角形函数的定义和勾股定理进行推理计算即可得到答案.【知识拓展3】互余两角的三角函数的关系在Rt △ABC 中，已知∠C ＝90°，sin A ＝35，求cos A 、tan A 以及∠B 的三个三角函数值．【分析】根据已知角A 的正弦设BC ＝3k ,得出AB ＝5k ,由勾股定理求出AC ＝4k ,根据锐角三角函数的定义求出即可.解：∵sin A ＝35＝BCAB，∴设BC ＝3k ，AB ＝5k ，由勾股定理得：AC ＝4k ，则cos A ＝4554AC k AB k ==，tan A ＝3344BC k AC k ==，sin B ＝45AC AB =，cos B ＝35BC AB =，tan B ＝43AC BC =.【点拨】本题考查了锐角三角函数的定义的应用,熟练掌握定义是关键.【即学即练1】在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin B ＝35，求cos A 的值．【答案】cos A ＝35.【分析】先根据三角形内角和定理得出∠A+∠B=90°，再根据互余两角的三角函数的关系求解．解：：在△ABC 中，∵∠C ＝90°，∴∠A ＋∠B ＝90°，∴cos A ＝sin B ＝35.故答案为：35.【点拨】本题考查直角三角形中互为余角的两角的三角函数的关系及三角形内角和定理．解题关键是一个角的正弦值等于它的余角的余弦值，一个角的余弦值等于它的余角的正弦值；三角形内角和是180°．【即学即练2】在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA=34，求cosA ，sinB ，cosB ，tanA ，tanB 的值．；34【分析】已知直角三角形中一个锐角的某个三角函数值，求这个锐角的其他三角函数值和它的余角的各三角函数值，可以先画出直角三角形，结合图形和已知条件，利用设“k”法，将直角三角形的各边长用含“k”的代数式表示出来，其中k ＞0，然后根据锐角三角函数的定义，求得锐角的各三角函数值．解：:如图因为Rt △ABC 中，∠C=90°，3sin 4A =，所以34BC AB =，设BC ＝3k(k ＞0)，则AB ＝4k ．在Rt △ABC 中，由勾股定理得AC ===．所以cos A =，sin AC B AB =33cos 44BCk B AB k ===，tan BC A AC ===tan AC B BC ===【知识拓展4】三角函数综合如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，sin A ＝45，BC ＝8，D 是AB 中点，过点B 作直线CD 的垂线，垂足为点E.(1)求线段CD 的长；(2)求cos ∠ABE 的值．【答案】（1）5；（2）2425.解：试题分析：（1）利用正弦定义很容易求得AB =10，然后由已知D 为斜边AB 上的中点，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解.（2）cos ∠ABE =BEBD，则求余弦值即求BE ，BD 的长，易求得BD =5.再利用等面积法求BE 的长.试题解析：(1)在△ABC 中，∵∠ACB ＝90°，sin A ＝45BC AB =，而BC ＝8，∴AB ＝10.∵D 是AB 的中点，∴CD ＝12AB ＝5.(2)在Rt △ABC 中，∵AB ＝10，BC ＝8，∴AC ＝6.∵D 是AB 中点，∴BD ＝5，S △BDC ＝S △ADC ，∴S △BDC ＝12S △ABC ，即12CD ·BE ＝12·12AC ·BC ，∴BE ＝6824255´=´.在Rt △BDE 中，cos ∠DBE ＝BE BD＝ 2455＝2425，即cos ∠ABE 的值为2425.点睛：在直角三角形中求长度，一般可通过勾股定理或全等三角形来求；若已知角度则可用锐角三角函数来求；若这些方法均不可行，又是求高或已知高的长度则可利用等面积法来求.【即学即练1】如图，海中一渔船在A 处且与小岛C 相距70nmile ，若该渔船由西向东航行30nmile 到达B 处，此时测得小岛C 位于B 的北偏东30°方向上；求该渔船此时与小岛C 之间的距离．【答案】渔船此时与C 岛之间的距离为50海里．【分析】过点C 作CD ⊥AB 于点D ，由题意得：∠BCD=30°，设BC=x ，解直角三角形即可得到结论．解：过点C 作CD ⊥AB 于点D ，由题意得：∠BCD=30°，设BC=x ，则：在Rt △BCD 中，BD=BC•sin30°=12x ，；∴AD=30+12x ，∵AD 2+CD 2=AC 2，即：（30+12x ）2+）2=702，解得：x=50（负值舍去），【点拨】注意能借助于方向角构造直角三角形，并利用解直角三角形的知识求解是解此题的关键．【即学即练2】.如图，已知四边形ABCD 中，∠ABC=90°，∠ADC=90°，AB=6，CD=4，BC 的延长线与AD 的延长线交于点E ．（1）若∠A=60°，求BC 的长；（2）若sinA=45，求AD 的长．（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）【答案】（1）8；（2）143．【分析】（1）根据锐角三角函数求得BE 和CE 的长，根据BC=BE ﹣CE 即可求得BC 的长；（2）根据题意求得AE 和DE 的长，由AD=AE ﹣DE 即可求得AD 的长．解：（1）∵∠A=60°，∠ABE=90°，AB=6，tanA=，∴∠E=30°，BE=tan60°•6=6，又∵∠CDE=90°，CD=4，sinE=，∠E=30°，∴CE==8，∴BC=BE ﹣8；（2））∵∠ABE=90°，AB=6，sinA==，∴设BE=4x ，则AE=5x ，得AB=3x ，∴3x=6，得x=2，∴BE=8，AE=10，∴tanE====，解得，DE=，∴AD=AE ﹣DE=10﹣=，即AD 的长是．考点：解直角三角形．【即学即练3】.如图，在Rt ABC D 中，0090,30,B A AC Ð=Ð==.（1）利用尺规作线段AC 的垂直平分线DE ，垂足为E ，交AB 于点D ；（保留作图痕迹，不写作法）（2）若ADE D 的周长为a ，先化简()()211T a a a =+--，再求T 的值．【答案】（1）作图见解析；（2）10.【解析】（1）尺规作图——作线段的垂直平分线；（2）化简求值，利用三角函数求其余两边的长度.解：（1）如图所示：（2）2(1)(1)31T a a a a =+--=+，∵1122AE AC ==´=∴2cos cos30AE AEAD A ====°,∴1sin sin30=212DE AD A AD ==°´= ，∴123a=++=，3110T a \=+=.知识点02 利用三角函数测高解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键. 解这类问题的一般过程是： (1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型. (2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题. (3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形. (4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解. 拓展： 在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念： (1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示. 坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式. (2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图. (3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°. (4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.特别说明： 1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图. 2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解. 3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解.【知识拓展5】直接求三角形的高数学课外学习小组利用矩形建筑物ABED测量广场灯塔CF的高，如图所示，在点B处测得灯塔顶端C的仰角为28°，在点D处测得灯塔顶端C的仰角为45°，已知AB＝10m，AD＝30m．求灯塔CF的高（结果保留整数）．（参考数据：tan28°≈0.53，cos28°≈0.88，sin28°≈0.47）【答案】55米【分析】延长BE交CD于点G，交CF于点H，设CH＝xm，利用锐角三角函数的含义分别GH BH，再列方程求解即可．表示,解：延长BE交CD于点G，交CF于点H，△中，∠EDG＝45°，在Rt DEG∴EG＝DE＝10m．∠EGD＝45°设CH ＝xm ，在Rt CGH V 中，CGH Ð=∠EGD ＝45°，∴GH ＝xm在Rt CBH V 中，∠CBH ＝28°，∴tan ∠CBH ＝CH BH ，即：3010x x++＝tan28°解这个方程得：x≈45.1，经检验：x≈45.1符合题意．∴灯塔的高CF ＝55.1≈55（m ）答：灯塔的高为55米．【点拨】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数在解直角三角形中的应用是解题的关键．【即学即练1】.如图，为测量建筑物CD 的高度，在点A 测得建筑物顶部D 点的仰角是22°，再向建筑物CD 前进30米到达B 点，测得建筑物顶部D 点的仰角为58°（A ，B ，C 在同一直线上），求建筑物CD 的高度．（结果保留整数.参考数据：sin 220.37cos 220.93tan 220.40sin 580.85cos580.53tan 58 1.60°°°°°°»»»»»»，，，，，）【答案】CD 的高度是16米．【分析】设建筑物CD 的高度为xm ，在Rt △CBD 中，由于∠CBD=58°，用含x 的代数式表示BC ，在Rt △ACD 中，利用22°的锐角三角函数求出x ，即可得到答案．解：设建筑物CD 的高度为xm ；由tan 58,DC BC °= ,1.60x BC \= 由tan 22,DC AC°= 0.40,DC AC \=0.40(30)1.60x x \=+ 解得：16.x =答：CD 的高度是16米．【点拨】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的含义及应用是解题的关键．【即学即练2】.如图，某数学兴趣小组的同学利用标杆测量旗杆（AB ）的高度：将一根5米高的标杆（CD ）竖在某一位置，有一名同学站在一处与标杆、旗杆成一条直线，此时他看到标杆顶端与旗杆顶端重合，另外一名同学测得站立的同学离标杆3米，离旗杆30米．如果站立的同学的眼睛距地面（EF ）1.6米，求旗杆的高度AB ．【答案】35.6【分析】过点E 作CG ⊥AH 于点H ，交CD 于点G 得出△EGC ∽△EHA ，进而求出AH 的长，进而求出AB 的长．解：过点E 作EH ⊥AB 于点H ，交CD 于点G ．由题意可得 四边形EFDG 、GDHB 都是矩形，AB ∥CD ∥EF ．∴△AECG ∽△EAH ．∴AH EH CG EG．由题意可得EG=FD=3，GH=BD=30，CG=CD-GD=CD-EF=5-1.6=3.4．∴303.43AH ．∴AH=34米．∴AH=AH+HB=34+1.6=35.6米．答：旗杆高ED 为35.6米．【点拨】此题主要考查了相似三角形的应用，根据相似三角形判定得出△ECG ∽△EAH 是解题关键．【即学即练3】. “永定楼”是门头沟区的地标性建筑，某中学九年级数学兴趣小组进行了测量它高度的社会实践活动．如图，他们在A 点测得顶端D 的仰角∠DAC=30°，向前走了46米到达B 点后，在B 点测得顶端D 的仰角∠DBC=45°．求永定楼的高度CD ．（结果保留根号）【答案】23【分析】根据题意得出DC=BC ，进而利用tan30°=DC AC 求出答案．解：试题分析：解：由题意可得：AB=46m ，∠DBC=45°，则DC=BC ，故tan30°=46==+DC DC AC DC解得：DC=23答：永定楼的高度CD 为23+m ．【知识拓展6】由两个直角三角形求高在一次课外综合实践活动中，甲、乙两位同学测量校园内的一棵大树的高度，他们分别在A ，B 两处用高度为1.5m 的测角仪（AE 和BD ）测得大树顶部C 的仰角分别为30°，45°，两人间的水平距离()AB 为20m ，已知点A ，E ，F ，C ，B ，D 在同一竖直平面内，且FC AB ^，求大树的高度CF ．（结果保留根号）【答案】17m 2æöç÷èø【分析】连接ED ，交FC 于点G ，在Rt △CDG 和Rt △CEG 中，求出公共边CG 的长度，然后可求得CF ＝CG +GF ．解：如答图，连接ED ，交FC 于点G ，由题可知四边形AEGF ，四边形BDGF ，四边形ABDG 是矩形，20m ED AB \==， 1.5m GF AE ==．在Rt CDG V 中，45CDG Ð=°Q ，tan 45CG DG CG \==°，在Rt CEG △中，30CEG Ð=°Q ，tan 30CG EG \==°，EG DG ED +=Q ，20CG \=．解，得10CG =．()1710 1.5m 2CF CG GF \=+=+=æöç÷èø．答：大树CF 的高度为17m 2æö-ç÷èø．【点拨】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解．【即学即练1】.如图①，在我国古建筑的大门上常常悬挂着巨大的匾额，图②中的线段BC 就是悬挂在墙壁AM 上的某块匾额的截面示意图．已知BC ＝1米，∠MBC ＝37°．从水平地面点D 处看点C 的仰角∠ADC ＝45°，从点E 处看点B 的仰角∠AEB ＝53°，且DE ＝2.4米．（1）求点C 到墙壁AM 的距离；（2）求匾额悬挂的高度AB 的长．（参考数据：sin37°≈35，cos37°≈45，tan37°≈34）【答案】（1）点C 到墙壁AM 的距离为35米；（2）匾额悬挂的高度是4米．【分析】（1）过C 作CF ⊥AM 于F ， 由1,37,BC MBC =Ð=°结合sin sin 37,CF MBC BCÐ=°= 从而可得答案；（2）过C 作CH ⊥AD 于H ，又,,CF AM MA AD ^^ 则四边形AHCF 是矩形，所以AF=CH ，CF=AH ． 在Rt △BCF 中，先求解4,5BF = 再在Rt △BAE 中，∠BEA=53°，求解3,4AE AB = 再表示34,55AD AH DH AB =+=++ 或3 2.4,4AD AE DE AB =+=+列方程，解方程可得答案．解：（1）过C 作CF ⊥AM 于F ，在Rt △BCF 中，1,37,BC MBC =Ð=°由sin sin 37,CF MBC BCÐ=°= 31sin 37,5CF \=´°= 所以：点C 到墙壁AM 的距离为35米．（2）过C 作CH ⊥AD 于H ，又,,CF AM MA AD ^^则四边形AHCF 是矩形，所以AF=CH ，CF=AH ．在Rt △BCF 中，1,37,BC MBC =Ð=°由cos cos37,BF MBC BCÐ=°= 441,55BF \=´= 在Rt △BAE 中，∠BEA=53°，905337,ABE \Ð=°-°=° 由3tan tan 37,4AE ABE AB Ð=°== 3,4AE AB \= 在Rt △CDH 中，∠CDH=45°， ∴4,5CH DH FA AB ===+∴347,555AD AH DH AB AB =+=++=+ ∵3 2.4,4AD AE DE AB =+=+ ∴73 2.4,54AB AB +=+ 4.AB \=答：匾额悬挂的高度是4米．【点拨】本题考查了矩形的判定与性质，解直角三角形的应用，掌握作出适当的辅助线构建直角三角形是解题的关键．【即学即练2】.数学实践课上，同学们分组测量教学楼前国旗杆的高度．小明同学所在的组先设计了测量方案，然后开始测量了．他们全组分成两个测量队，分别负责室内测量和室外测量（如图）．室内测量组来到教室内窗台旁，在点E 处测得旗杆顶部A 的仰角a 为45°，旗杆底部B 的俯角b 为60°．室外测量组测得BF 的长度为5米，求旗杆AB 的高度．【答案】(5+米【分析】此题根据题意作PE AB ^，利用tan AP EP a =´Ð和 tan 60PB EP =´Ð°分别求出PB ，AP 即可求出AB 的长．解：过点E 作PE AB ^于点P ，在Rt APE V 中，90APE Ð=°，tan AP EPa Ð=，45a Ð=°，5PE BF ==，tan 5tan 455AP EP a \=´Ð=´°=在Rt PEB △中，60b Ð=°，tan PB EPb Ð=，tan 605PB EP \=´Ð°==(5AB AP BP \=+=+米．【点拨】此题考查解直角三角形应用中利用锐角三角函数求高，利用图示找出相关量根据题意列式求解是关键．【即学即练3】.如图，在坡角为20°的山坡上有一铁塔AB 、其正前方矗立着一大型广告牌，当阳光与水平线成45°角时，测得铁塔AB落在斜坡上的影子BD＝10米，落在广告牌上的影子CD＝5米，已知AB，CD均与水平面垂直，请根据相关测量信息，求铁塔AB的高．（sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）【答案】铁塔AB的高约为11米．【分析】过点C作CE⊥AB于E，过点B作BN⊥CD于N，在Rt△BND中，分别求出DN、BN 的长度，在Rt△ACE中，求出AE、CE的长度，继而可求得AB的长度．解：过点C作CE⊥AB于E，过点B作BN⊥CD于N，在Rt△BND中，∵∠DBN=20°，BD=10，∴DN=BD×sin∠DBN≈10×0.34=3.4，BN=BD×cos∠DBN≈10×0.94=9.4，∵AB∥CD，CE⊥AB，BN⊥CD，∴四边形BNCE为矩形，∴BN=CE=9.4，CN=BE=CD﹣DN=1.6，在Rt△ACE中，∠ACE=45°，∴AE=CE=9.4，∴AB=9.4+1.6=11（米）．答：铁塔AB的高约为11米．【点拨】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据题目所给的坡角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解．【知识拓展7】由多个直角三角形求高小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上；如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米，已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米，垂直于地面旋转的标杆在地面上的影长为2米，求树的高度为多少米？【答案】树高为(米【分析】延长AC交BF延长线于D点，则BD即为AB的影长，然后根据物长和影长的比值计算即可．解：延长AC交BF延长线于D点，则∠CFE=30°，作CE⊥BD于E，如下图所示：在Rt△CFE中，∠CFE=30°，CF=4m，o m，∴CE=2m，4cos304EF==´=在Rt△CED中，∵同一时刻，一根长为1米垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，∴CE:ED=1:2，且CE=2m，∴DE=4m，∴8412BD BF EF DF=++=+=+米，再由同一时刻，一根长为1米垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米可知，1(62AB BD ==米，故答案为：树高(米．【点拨】本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是作出辅助线即可得到AB 的影长．【即学即练1】.如图，在一次综合实践活动中，小亮要测量一楼房的高度，先在坡面D 处测得楼房顶部A 的仰角为30°，沿坡面向下走到坡脚C 处，然后在地面上沿CB 向楼房方向继续行走10米到达E 处，测得楼房顶部A 的仰角为60°．已知坡面CD ＝10米，山坡的坡度i ＝1．求楼房AB 高度．（结果保留根式）【答案】（【分析】过点D 作DF ⊥BC ，垂足为F ，设AB=x ，AG=x-5，则tan 60AB BE ==o ，tan 30AG DG ==o，根据DG ＝FC+CE+BE ，列出方程，即可求解.解：过D 作DF ⊥BC ，垂足为F ，∵i ＝1∴DF ：FC ＝1CD ＝10，∴DF ＝5，CF ＝过点D 作DG ⊥AB ，垂足为G ，设AB ＝x ，则AG ＝x ﹣5，在Rt △ABE 中， tan 60AB BE ==o ，在Rt △ADG 中，tan 30AG DG ==o ，由DG ＝FC+CE+BE 得，x ﹣5）＝，解得，x ＝答：AB 的高度为（【点拨】本题主要考查解直角三角形的实际应用，根据特殊角的三角函数的定义，列出方程是解题的关键．【即学即练2】..如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度，AB=10米，AE=21米，求广告牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，参考数据：tan53°≈43，cos53°≈0.60）【答案】2【分析】过B作DE的垂线，设垂足为G，BH⊥AE．在△ADE解直角三角形求出DE的长，进而可求出EH即BG的长，在Rt△CBG中，∠CBG=45°，则CG=BG，由此可求出CG的长然后根据CD=CG+GE-DE即可求出宣传牌的高度．解：过B作BG⊥DE于G，BH⊥AE，Rt△ABH中，i=tan∠BAH∴∠BAH=30°，∴BH=12AB=5米；∴AH∴BG=HE=AH+AE=（）米，Rt△BGC中，∠CBG=45°，∴CG=BG=（）米．Rt△ADE中，∠DAE=53°，AE=21米，∴DE=43AE=28米，∴CD=CG+GE﹣DE28=（2）m.答：宣传牌CD高为（2-）米．【点拨】本题综合考查了仰角、坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键．【即学即练3】.如图，某风景区内有一瀑布，AB表示瀑布的垂直高度，在与瀑布底端同一水平位置的点D处测得瀑布顶端A的仰角β为45°，沿坡度i＝1：3的斜坡向上走100米，到达观景台C，在C处测得瀑布顶端A的仰角α为37°，若点B、D、E在同一水平线上．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）（1）观景台的高度CE为 米（结果保留准确值）；（2）求瀑布的落差AB（结果保留整数）．【答案】（1）；（2）瀑布的落差约为411米．【分析】（1）通过解直角△CDE得到：CE＝CD•sin37°．（2）作CF ⊥AB 于F ，构造矩形CEBF ．由矩形的性质和解直角△ADB 得到DE 的长度，最后通过解直角△ACF 求得答案．解：（1）∵tan ∠CDE ＝13CE CD =∴CD ＝3CE ．又CD ＝100米，∴100==∴CE ＝ ．故答案是：．（2）作CF ⊥AB 于F ，则四边形CEBF 是矩形．∴CE ＝BF ＝，CF ＝BE ．在直角△ADB 中，∠DB ＝45°．设AB ＝BD ＝x 米．∵C E C D ＝13，∴DE ＝．在直角△ACF 中，∠ACF ＝37°，tan ∠ACF 0.75AF CF ==»解得x ≈411．答：瀑布的落差约为411米．【点拨】本题考查解直角三角形、仰角、坡度等概念，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形，记住坡度的定义，属于中考常考题型．【知识拓展8】其他运用2017年9月8日—10日，第六届翼装飞行世界锦标赛在我市天门山风景区隆重举行，来自全球11个国家的16名选手参加了激烈的角逐.如图，某选手从离水平地面1000米高的A 点出发（AB=1000米），沿俯角为30°的方向直线飞行1400米到达D点，然后打开降落伞沿俯角为60°的方向降落到地面上的C点，求该选手飞行的水平距离BC.【答案】分析：如图，作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，根据题意得到∠ADE=30°，∠CDF=30°，利用含30度的直角三角形三边的关系计算出AE=12AD=700，BE=300，所以DF=300，Rt△CDF中计算出CF，然后计算BF和CF的和即可．解：如图，作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，∠ADE=30°，∠CDF=30°，在Rt△ADE中，AE=12AD=12×1400=700，∴BE=AB-AE=1000-700=300，∴DF=300，在Rt△CDF中，∴BC为．点睛：本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题：解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形．【即学即练1】.如图，从点A看一山坡上的电线杆PQ，观测杆顶端点P的仰角是45°，向前走6 m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°，求该电线杆PQ 的高度(精确到0.1 m)．【答案】电线杆PQ的高约是9.5 m.解：试题分析：延长PQ交直线AB于点E，设PE=x米，在直角△APE和直角△BPE中，根据三角函数利用x表示出AE和BE，根据AB=AE-BE即可列出方程求得x的值，再在直角△BQE 中利用三角函数求得QE的长，则PQ的长度即可求解．试题解析：延长PQ交直线AB于点E，设PE=x米．在直角△APE中，∠A=45°，则AE=PE=x米；∵∠PBE=60°∴∠BPE=30°在直角△BPE中，米，∵AB=AE-BE=6米，则，解得：则BE=（）米．在直角△BEQ中，+3）=（∴（（米）．答：电线杆PQ 的高度是考点：解直角三角形的应用—俯角仰角问题.【即学即练2】.图1所示的是某景区的“关帝圣像”，它从2007年1月开始铸造，共用铜500吨，铁2000吨，甚是伟岸壮观．其侧面示意图如图2所示．在B 处测得圣像顶A 的仰角为52.8o ，在点E 处测得圣像顶A 的仰角为63.4°．已知AC BC ^于点,C EG BC ^于点,//,30G EF BC BG =米，19FC =米，求圣像的高度AF ． (结果保留整数．参考数据：52.80.80,52.80.60sin cos »°»o ，52.8 1.32,63.40.89tan sin °»°»，63.40.45,63.4 2.00cos tan »°»o )【答案】圣像的高度AF 约为61米【分析】设圣像的高度AF 约为x 米，根据已知Rt AEF D 中tan AEF Ð的值用x 表示EF 的长，根据EF GC =进而可求出BC 的长，从而利用Rt ACB D 中tan ABC Ð列出关于x 的方程，解得x 的值，即为圣象的高度．解：设AF x =米，∵,,//AC BC EG BC EF BC ^^，∴四边形FCGE 为矩形，∴EF GC =，在Rt AEF D 中，AF tan AEF EF Ð=，∴63.42AF x x EF tan AEF tan ==»Ð°，∴2x GC =，∵30BG =米，∴302(x BC =+米，在Rt ACB D 中，AC tan ABC BCÐ=，1952.8302x tan x +°=+，∴19 1.32302x x +»+，解得61x »，答：圣像的高度AF 约为61米．【点拨】本题主要考查三角函数．解题的关键在于在直角三角形中，根据三角函数的定义，结合已知条件，列出关于x 的方程，求解方程即可得解．【即学即练3】.如图，在河流的右岸边有一高楼AB ，左岸边有一坡度1:2i =的山坡CF ，点C 与点B 在同一水平面上，CF 与AB 在同一平面内．某数学兴趣小组为了测量楼AB 的高度，在坡底C 处测得楼顶A 的仰角为45°，然后沿坡面CF上行了（即CD =到达点D 处，此时在D 处测得楼顶A 的仰角为26.7°．（参考数据：sin 26.70.45°»，cos26.70.89°»，tan 26.70.50°»）（1）求点C 到点D 的水平距离CE 的长；（2）求楼AB 的高度．【答案】（1）40米；（2）楼AB 的高度为80米．【分析】（1）由CF 的坡度1:2i =，,DE CE ^可得1,2DE CE = 设,DE x = 则2,CE x = 由勾股定理可得,CD === 解方程可得答案；（2）如图，过D 作DH AB ^于,H 先证明四边形DEBH 是矩形，可得2040,BH DE DH BE CE BC BC ====+=+， 设,AB m = 证明,BC AB m == 可得20,40,AH m DH m =-=+ 由26.7,ADH Ð=°建立方程，再解方程检验即可得到答案．解：（1）Q CF 的坡度1:2i =，,DE CE ^1,2DE CE \= 设,DE x = 则2,CE x =,CD \===20,x \=240.CE x \== （2）如图，过D 作DH AB ^于,H,,DE BE AB BE ^^Q\ 四边形DEBH 是矩形，2040,BH DE DH BE CE BC BC \====+=+，设,AB m =45,ACB AB BE Ð=°^Q ，45,ACB BAC \Ð=Ð=°,BC AB m \== 20,40,AH m DH m \=-=+由26.7,ADH Ð=°tan 26.7,AH DH \°= 200.5,40m m -\=+ 解得：80.m =经检验：80m =符合题意，所以：建筑物AB 的高为：80米．【点拨】本题考查的是解直角三角形的实际应用，坡度的含义，掌握利用解直角三角形测量建筑物的高是解题的关键1.如图，有一个晾衣架放置在水平地面上，在其示意图中，支架OA 、OB 的长均为108cm ，支架OA 与水平晾衣杆OC 的夹角∠AOC 为59°，求支架两个着地点之间的距离AB ．（结果精确到0.1cm ）(参考数据：sin 59°=0.86，cos 59°=0.52，tan 59°=1.66)．【答案】112.3cm【解析】解：作OD ⊥AB 于点D ，∵OA =OB ，∴AD =BD 。

2024北师大版数学九年级下册1.6《利用三角函数测高》教案一. 教材分析《利用三角函数测高》这一节主要让学生了解三角函数在实际生活中的应用，学会利用三角函数测量物体的高度。

通过这一节的学习，学生能够理解直角三角形的性质，掌握正弦、余弦函数的定义，并能运用它们解决实际问题。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了三角函数的基本知识，对直角三角形有一定的了解。

但是，他们可能还没有真正意识到三角函数在实际生活中的应用，对于如何利用三角函数测量物体的高度可能比较陌生。

因此，在教学过程中，我需要注重引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高他们的实践能力。

三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握利用三角函数测量物体高度的方法，理解正弦、余弦函数在实际问题中的应用。

2.过程与方法：通过实际操作，培养学生解决问题的能力，提高他们的实际动手能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，让他们感受到数学在生活中的重要性。

四. 教学重难点1.重点：让学生掌握利用三角函数测量物体高度的方法。

2.难点：如何引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高他们的实践能力。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法。

通过设置实际问题，引导学生运用三角函数进行解答，培养他们的实践能力。

同时，学生进行小组合作，让学生在讨论中巩固知识，提高他们的团队协作能力。

六. 教学准备1.准备相关案例，用于讲解和引导学生实践。

2.准备测量工具，如尺子、测量仪等，供学生实际操作使用。

3.准备多媒体教学资源，如PPT、视频等，用于辅助教学。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一个实际问题：如何测量旗杆的高度？引导学生思考如何解决这个问题，激发他们的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）讲解利用三角函数测量物体高度的方法，引导学生理解正弦、余弦函数在实际问题中的应用。

以旗杆测量为例，讲解步骤：（1）建立直角坐标系，确定观测点和旗杆的位置。

（2）测量观测点到旗杆的距离（底边长度）。