6利用三角函数测高 2

北师大版数学九年级下册《6 利用三角函数测高》教案一. 教材分析北师大版数学九年级下册《6 利用三角函数测高》这一节主要让学生了解利用三角函数测量物体高度的方法，理解三角函数在实际生活中的应用。

通过这一节的学习，学生能够掌握用三角板和皮尺测量物体高度的基本方法，培养学生的实际操作能力和解决实际问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了三角函数的基本知识，对三角板和皮尺等测量工具也有一定的了解。

但是，学生可能对如何将理论运用到实际问题中还有一定的困难，因此，在教学过程中，教师需要引导学生将所学的知识与实际问题相结合，提高学生的实践能力。

三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握利用三角函数测量物体高度的基本方法。

2.过程与方法：通过实际操作，培养学生解决实际问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队协作精神。

四. 教学重难点1.重点：让学生掌握利用三角函数测量物体高度的方法。

2.难点：如何将所学的三角函数知识运用到实际问题中。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法。

通过实际案例引导学生思考，激发学生的学习兴趣；以小组合作的形式，让学生在实际操作中解决问题，培养学生的实践能力。

六. 教学准备1.准备三角板、皮尺等测量工具。

2.准备相关案例材料。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用一个生活中的实例引入课题，如：如何测量旗杆的高度。

让学生思考如何解决这个问题，引发学生对利用三角函数测高的兴趣。

2.呈现（10分钟）呈现旗杆高度测量案例，引导学生分析问题，提出解决方案。

让学生尝试用所学的三角函数知识解决问题，教师给予指导。

3.操练（10分钟）学生分组进行实际操作，用三角板和皮尺测量旗杆的高度。

教师巡回指导，纠正学生在操作过程中可能出现的问题。

4.巩固（10分钟）让学生总结在测量过程中所用的方法和技巧，教师点评并总结。

让学生复述所学的知识点，加深对利用三角函数测高的理解。

6 利用三角函数测高知识点 1 测量底部可以到达的物体的高度1.[2020·达州]如图1-6-1,小明为测量校园里一棵大树AB的高度,在树底部B所在的水平面内,将测角仪CD竖直放在与B相距8 m的位置,在D处测得树顶A的仰角为52°.若测角仪的高度是 1 m,则大树AB的高度约为.(结果精确到 1 m,参考数据:sin52°≈0.79,cos52°≈0.62,tan52°≈1.28)图1-6-12.[2019·丹东]如图1-6-2,在某街道的路边有相距10 m、高度相同的两盏路灯(灯杆垂直地面),小明为了测量路灯的高度,在地面A处测得路灯PQ顶端的仰角为14°,向前行走25 m 到达B处,此时测得路灯MN顶端的仰角为24.3°,已知点A,B,Q,N在同一条直线上,请你利用所学知识帮助小明求出路灯的高度.(结果精确到0.1 m,参考数据:sin14°≈0.24,cos14°≈0.97,tan14°≈0.25,sin24.3°≈0.41,cos24.3°≈0.91,tan24.3°≈0.45)图1-6-2知识点 2 测量底部不能到达的物体的高度3.当地时间2019年4月15日下午,法国巴黎圣母院发生火灾,大火烧毁了巴黎圣母院后塔的塔顶.在此之前,某小组为测量此塔塔顶B 的高度,在地面选取了与塔底D 共线的两点A ,C ,点A ,C 在点D 的同侧,在A 处测得塔顶B 的仰角为27°,在C 处测得塔顶B 的仰角为45°,点A到点C 的距离是89.5 m(如图1-6-3).设BD 的高为x m,则下列关系式正确的是( )图1-6-3A .tan27°=xx+89.5 B .cos27°=xx+89.5 C .sin27°=x x+89.5 D .tan27°=x+89.5x4.如图1-6-4,大楼AB 底部右侧有一障碍物,在障碍物的旁边有一栋小楼DE ,在小楼的顶端D 处测得障碍物边缘点C 的俯角为30°,测得大楼顶端点A 的仰角为45°(点B ,C ,E 在同一水平直线上).已知AB=40 m,DE=10 m,则障碍物B ,C 两点间的距离为 m .(结果保留根号)图1-6-45.如图1-6-5,某小区1号楼与11号楼隔河相望,李明家住在1号楼,他很想知道11号楼的高度,于是他做了一些测量,他先在1号楼的底部点B 处测得11号楼的顶部点C 的仰角为60°,然后到42 m 高的楼顶A 处,测得点C 的仰角为30°,请你帮助李明计算11号楼的高度CD.图1-6-56.如图1-6-6,学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度,他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°,然后在坡顶D处测得树顶B的仰角为30°,已知斜坡CD的长度为20 m,DE 的高为10 m,则树AB的高度为()图1-6-6A.20√3 mB.30 mC.30√3 mD.40 m7.如图1-6-7,A,B,C表示修建在一座山上的三个缆车站的位置,线段AB,BC表示连接缆车站的钢缆.已知A,B,C所处位置的海拔AA1,BB1,CC1分别为130米,400米,1000米.由点A测得点B的仰角为30°,由点B测得点C的仰角为45°,那么AB和BC的总长度是 ()图1-6-7A.(1200+270√2)米B.(800+270√2)米C.(540+600√2)米D.(800+600√2)米8.如图1-6-8,某数学兴趣小组要测量一栋五层居民楼CD的高度.该楼底层为车库,高2.5 m;上面五层居住,每层高度相等.测角仪支架离地1.5 m,在A处测得五楼顶部点D的仰角为60°,在B处测得四楼顶部点E的仰角为30°,AB=14 m.求居民楼的高度.(结果精确到0.1 m,参考数据:√3≈1.73)图1-6-89.[2019·山西] 某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动.他们制订了测量方案,并利用课余时间完成了实地测量.他们在该旗杆底部所在的平地上选取两个不同测点,分别测量了该旗杆顶端的仰角以及这两个测点之间的距离.为了减小测量误差,小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时,都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果,测量数据如下表(不完整): 课题 测量旗杆的高度成员 组长:××× 组员:×××,×××,×××测量工具测量角度的仪器,皮尺等测量示意图说明:线段GH 表示学校旗杆,测量角度的仪器的高度AC=BD=1.5 m,测点A ,B 与H 在同一条水平直线上,A ,B 之间的距离可以直接测得,且点G ,H ,A ,B ,C ,D 都在同一竖直平面内,点C ,D ,E 在同一条直线上,点E 在GH 上测量 数据测量项目第一次 第二次 平均值 ∠GCE 的度数 25.6° 25.8° 25.7° ∠GDE 的度数31.2° 30.8° 31° A ,B 之间的距离5.4 m5.6 m……任务一:两次测量A ,B 之间的距离的平均值是 m;任务二:根据以上测量结果,请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆GH 的高度; (参考数据:sin25.7°≈0.43,cos25.7°≈0.90,tan25.7°≈0.48,sin31°≈0.52,cos31°≈0.86,tan31°≈0.60)任务三:该“综合与实践”小组在制订方案时,讨论过“利用物体在阳光下的影子测量旗杆的高度”的方案,但未被采纳.你认为其原因可能是什么?(写出一条即可)教师详解详析6 利用三角函数测高1.11 m [解析] 如图,过点D 作DE ⊥AB ,垂足为E.由题意得,BC=DE=8 m,∠ADE=52°,BE=CD=1 m .在Rt △ADE 中,AE=DE ·tan ∠ADE=8×tan52°≈10.24(m),∴AB=AE+BE ≈10.24+1≈11(m).故答案为11 m .2.解:设PQ=MN=x m .在Rt △APQ 中,tan A=PQAQ ,则AQ=PQ tanA ≈x0.25=4x (m). 在Rt △MBN 中,tan ∠MBN=MN BN,则BN=MNtan∠MBN≈x 0.45=209x (m). ∵AQ+QN=AB+BN ,∴4x+10=25+209x ,解得x ≈8.4.故路灯的高度约为8.4 m . 3.A4.(30-10√3)5.解:如图,过点A 作AE ⊥CD 于点E ,则四边形ABDE 为矩形,∴AE=BD ,AB=DE.∵CD=BD ·tan60°=√3BD ,CE=AE ·tan30°=BD ·tan30°=√33BD , ∴AB=DE=CD -CE=2√33BD=42 m,∴BD=21√3 m,∴CD=√3BD=63 m .故11号楼的高度CD 为63 m .6.B [解析] 过点D 作DF ⊥AB 于点F ,交BC 于点G.在Rt △CDE 中,∵CD=20 m,DE=10 m,∴sin ∠DCE=1020=12, ∴∠DCE=30°.又∵∠ACB=60°,∴∠DCB=90°.∵DF ∥AE ,∴∠BGF=∠BCA=60°. ∵∠BDF=30°,∴∠DBC=30°, ∴BC=CD tan30°=√33=20√3(m),∴AB=BC ·sin60°=20√3×√32=30(m).7.C [解析] 如图,过点B 作BB 2⊥CC 1于点B 2,过点A 作AA 2⊥CC 1于点A 2,交BB 1于点D.由题意得,BD=400-130=270(米),CB 2=1000-400=600(米).在Rt △ABD 中,AB=BD sin∠BAD=540(米), 在Rt △BCB 2中,BC=CB 2sin∠CBB 2=600√2(米),∴AB+BC=(540+600√2)米.故选C .8.解:设每层居民楼的高度为x m .由题意,得MC'=MC-CC'=2.5-1.5=1(m),∴DC'=(5x+1)m,EC'=(4x+1)m .在Rt △DC'A'中,∠DA'C'=60°,∴C'A'=DC 'tan60°=√33(5x+1)m .在Rt △EC'B'中,∠EB'C'=30°,∴C'B'=EC 'tan30°=√3(4x+1)m . ∵A'B'=C'B'-C'A'=AB=14 m, ∴√3(4x+1)-√33(5x+1)=14,解得x=2√3-27,∴CD=DM+MC=5×2√3-27+2.5≈18.4(m),故居民楼的高度约为18.4 m . 9.解:任务一:12×(5.4+5.6)=5.5(m).故答案为5.5. 任务二:设EG=x m .在Rt △DEG 中,∠DEG=90°,∠GDE=31°,∵tan31°=EG DE ,∴DE=xtan31°.在Rt △CEG 中,∠CEG=90°,∠GCE=25.7°,∵tan25.7°=EG CE ,∴CE=xtan25.7°. ∵CD=CE -DE ,∴xtan25.7°-xtan31°=5.5,解得x ≈13.2,∴GH=EG+EH ≈13.2+1.5=14.7(m).故学校旗杆GH 的高度约为14.7 m .任务三:没有太阳光,或旗杆底部不可到达,测量旗杆影子的长度遇到困难等.(答案不唯一,合理即可)。

北师大版数学九年级下册1.6《利用三角函数测高》教案一. 教材分析《利用三角函数测高》这一节主要让学生了解和掌握利用三角函数测量物体高度的方法。

通过前面的学习，学生已经掌握了锐角三角函数的概念和性质，本节内容是在此基础上进一步应用三角函数解决实际问题。

利用三角函数测高是初中数学中重要的应用题类型，也是中考的热点题型，对于培养学生的数学应用能力和解决实际问题的能力具有重要意义。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了锐角三角函数的基本概念和性质，对于运用三角函数解决实际问题有一定的基础。

但学生在解决实际问题时，往往因为对实际情况理解不深，而导致解题思路不清晰。

因此，在教学本节内容时，要注重让学生理解实际问题的背景，引导学生运用三角函数解决实际问题。

三. 教学目标1.让学生了解和掌握利用三角函数测高的方法。

2.培养学生运用三角函数解决实际问题的能力。

3.培养学生的合作交流能力和创新思维能力。

四. 教学重难点1.重点：让学生掌握利用三角函数测高的方法。

2.难点：如何引导学生运用三角函数解决实际问题，特别是对于复杂问题的解决。

五. 教学方法采用问题驱动法，情境教学法，合作交流法，引导发现法等。

通过设置具体的问题情境，引导学生运用已学的三角函数知识解决实际问题，培养学生的应用能力和解决实际问题的能力。

六. 教学准备1.准备相关的问题情境和案例，用于引导学生进行实际问题的解决。

2.准备多媒体教学设备，用于展示问题和案例。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾已学的三角函数知识，如：什么是锐角三角函数？它们之间有什么关系？然后提出本节课的主题：如何利用三角函数测高？2.呈现（15分钟）教师通过多媒体展示一些实际问题，如：如何测量电视塔的高度？如何测量树的高度？让学生思考如何利用三角函数解决这些问题。

3.操练（20分钟）教师学生进行小组合作，让学生通过实际操作，运用三角函数解决呈现的问题。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

利用三角函数测高优秀教案课题名称：利用三角函数测高教学目标：1.理解正弦、余弦和正切的概念及其在三角函数测高中的应用；2.掌握使用正弦定理和余弦定理测量不可直接测量的高度；3.能够灵活运用三角函数测高的方法解决实际问题。

教学重点：1.正弦、余弦和正切的概念及其在三角函数测高中的应用；2.正弦定理和余弦定理的应用。

教学难点：教学准备：教具：直尺、测量工具、投影仪；课件：包含三角函数和其应用的相关知识点。

教学过程：一、导入（5分钟）1.引入三角函数的概念，复习正弦、余弦和正切的定义和计算方法。

2.提问学生：在实际生活中，我们如何使用三角函数来测量高度？二、讲解（15分钟）1.三角函数测高的原理：利用正弦、余弦和正切的性质通过测量已知边长和角度的方式求解未知高度。

2.正弦定理的应用：利用三角形中任意两边的长度和它们夹角的正弦比，求解不可直接测量的高度。

3.余弦定理的应用：利用三角形中三边的长度和它们之间的夹角余弦，求解不可直接测量的高度。

三、示范（15分钟）1.示范测量不可直接测量的高度的步骤，例如使用正弦定理：a.给出一个实际问题，如：如何测量一栋建筑物的高度？b.画出相应的示意图，标注已知边长和角度。

c.利用正弦定理的公式，求解未知的高度。

d.明确解题思路和计算步骤，进行计算。

2.呈现示范的解题过程，详细讲解每一步骤的计算方法和答案。

四、练习（20分钟）1.分发练习题，让学生独立完成。

2.讲解练习题答案，帮助学生纠正错误，巩固和理解三角函数测高的方法。

五、应用（15分钟）1.提供一些实际问题，要求学生运用三角函数测高的方法解决。

2.分组讨论并呈现解决方案，交流思路和讨论结果。

六、总结（10分钟）1.对本节课的要点进行总结，强调正弦、余弦和正切的应用。

2.核对课程目标，评估学生的学习情况。

七、作业（5分钟）布置作业：完成课后练习题，巩固三角函数测高的知识。

教学延伸：可以引导学生使用三角函数测高解决其他实际问题，并探究其他测高方法的应用。

2.6利用三角函数测高教学内容：教育出版社·五四学制初中数学，九年级上册第51页—53页。

教学目标：1.会利用三角函数的知识测量物体的高度.2.在制作仪器、设计方案、测量计算、撰写报告的过程中，分析问题，解决问题，发展数学思维.3.培养学生认真、细致、严谨的科学态度.教学准备：学生自制测倾器，皮尺等测量工具，测量报告教学过程：一、复习回顾，引入新课我们学习了利用全等三角形测高，利用相似三角形测高，今天我们来学习利用三角函数测高。

1.仰角、俯角；2.直角三角形边角间的关系；3.特殊角的三角函数值。

二、探究活动活动一：展示自制的测倾器支杆的中心线、铅垂线、0刻度线要重合，否则测出的角度就不准确．度盘的顶线PQ与支杆的中心线、铅垂线、0刻度线要互相垂直，并且度盘有一个旋转中心是铅垂线与PQ的交点．当度盘转动时，铅垂线始终垂直向下．活动二：测量倾斜角（1）把测角仪的支杆竖直插入地面，使支杆的中心线、铅垂线和度盘的0°刻度线重合，这时度盘的顶线PQ在水平位置M，记下此时铅垂线指的度数．那么这个度数就是较高目标M的仰角．它的依据是什么？如图，要测点M的仰角，我们将支杆竖直插入地面，使支杆的中心线、铅垂线和度盘的0°刻度线重合，这时度盘的顶线PQ在水平位置．我们转动度盘，使度盘的直径对准目标M，此时铅垂线指向一个度数．即∠CAD的度数．根据图形我们不难发现∠BAD+∠CAD=90°，而∠BAD+∠PAB=90°，即∠CAD、∠PAB都是∠BAD的余角，根据同角的余角相等，得∠CAD =∠PAB．因此读出∠CAD的度数，也就读出了仰角∠PAB的度数．活动三：测量底部可以到达的物体的高度．“底部可以到达”，就是在地面上可以无障碍地直接测得测点与被测物体底部之间的距离．要测旗杆MN的高度，可按下列步骤进行：（如下图）（1）在测点A处安置测倾器（即测角仪），测得M的仰角∠MCE=α．（2）量出测点A 到物体底部N 的水平距离AN =l ．（3）量出测倾器（即测角仪）的高度AC =a （即顶线PQ 成水平位置时，它与地面的距离）．根据测量数据，就能求出物体MN 的高度．在Rt△MEC 中，∠MCE =α，AN =EC =l ，所以tan α=ECME ，即ME =tan a·EC =l ·tan α．又因为NE =AC =a ，所以MN =ME +EN =l ·tan α+a ．活动四：测量底部不可以到达的物体的高度．所为“底部不可以到达”，就是在地面上不能直接测得测点与被测物体的底部之间的距离．例如测量一个山峰的高度．可按下面的步骤进行（如图所示）：（1）在测点A 处安置测角仪，测得此时物体MN 的顶端M 的仰角∠MCE =α．（2）在测点A 与物体之间的B 处安置测角仪（A 、B 与N 都在同一条直线上），此时测得M 的仰角∠MDE =β．（3）量出测角仪的高度AC =BD =a ，以及测点A ，B 之间的距离AB =b 根据测量的AB 的长度，AC 、BD 的高度以及∠MCE 、∠MDE 的大小，根据直角三角形的边角关系．即可求出MN 的高度.在Rt△MEC 中，∠MCE =α，则tan α=ECME ，EC =a ME tan ；在Rt△MED 中，∠MDE =β则tan β=ED ME ，ED =βtanME ； 根据CD =AB =b ，且CD =EC -ED =b ．所以a ME tan -βtan ME =b ，ME =βαtan 1tan 1-bMN =βαtan 1tan 1-b+a 即为所求物体MN 的高度．二、巩固练习1.以测“围墙内东原阁的高度”为例，若测得∠α和∠β的度数分别人300和600，AB 的长度为14米，求阁楼的高度MN.2.如图，为了测量某建筑物MN 的高度，在平地上A 处测得建筑物顶端M 的仰角为30°，向N 点方向前进16m 到达B 处，在B 处测得建筑物顶端M 的仰角为45°，求建筑物MN 的高度.（保留根号）第2题图第3题图3.变式练习将问题分解为： ①我们在建筑物前方的热气球A 处，利用所学知识说明，需要测出哪几个数据，便可计算出BC高度?②从热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋高楼顶部的仰角为45°，看这栋高楼底部的俯角为60°，A处与高楼的水平距离为60m，这栋高楼有多高？三、课堂小结我们这节课学习了什么？有什么收获? 给同学分享一下。

测量高度是数学中一个重要的应用问题，利用三角函数可以有效地解决这类问题。

三角函数是研究角和三角形之间关系的数学工具，包括正弦、余弦和正切等函数。

下面我们将详细介绍如何利用三角函数测量高度的方法。

首先，我们需要明确什么是三角函数。

在一个直角三角形中，我们可以定义三个重要的比率：正弦、余弦和正切。

正弦（sine）函数表示一个角的对边与斜边之比，记作sin。

余弦（cosine）函数表示一个角的邻边与斜边之比，记作cos。

正切（tangent）函数表示一个角的对边与邻边之比，记作tan。

在测量高度的问题中，我们可以利用正切函数来解决。

假设我们要测量一个物体的高度，我们只需要找到一个合理的角度，测量与物体顶点相对应的斜边长度和与地面相对应的邻边长度，然后通过相应的三角函数计算出物体的高度。

具体步骤如下：1.找到一个合适的角。

选择一个适合的角度，最好是仰望物体的角度，使得斜边和邻边都容易测量。

2.测量斜边和邻边长度。

使用测量工具例如量角器、直尺等工具，测量出斜边和邻边的实际长度。

3. 计算三角函数。

利用正切函数的性质，高度（对边）与邻边的比值可以表示为tan函数。

即 tan(角度) = 高度 / 邻边。

4.解方程求解。

将已知的斜边长度、邻边长度和求解的角度代入以上方程，通过解方程求解，可以得到物体的高度。

总结一下，利用三角函数测高的步骤：选择角度、测量斜边和邻边长度、计算三角函数、解方程求解。

通过这样的方法，我们可以在不直接测量物体高度的情况下，利用三角函数关系计算出物体的高度。

除了利用正切函数测量高度，我们还可以利用正弦或余弦函数来测量高度。

这些方法在特定的条件下也可以有效地解决测量高度的问题。

需要注意的是，三角函数测高的方法适用于测量具备一定高度，但是无法直接测量的物体，例如高楼大厦、山峰等。

但是对于一些无高度要求的物体，例如台灯、植物等，可以直接使用直尺等工具进行测量，无需利用三角函数。

综上所述，利用三角函数测量高度是数学中的一个重要应用问题，可以帮助我们在现实生活中解决高度测量的难题。