大学数学-课件-第六章线性空间第五节

线性代数是代数学的一个分支，专注于处理线性关系问题，涉及线性空间、线性变换和有限维的线性方程组。其历史可追溯到古代，如“鸡兔同笼”问题即线性方程组的求解，而现代意义的，莱布尼兹、克莱姆、范德蒙、柯西、高斯、西勒维斯特和凯莱等数学家做出了重要贡献，推动了行列式、矩阵等概念的诞生和发展。线性代数在数学、物理学和技术学科中占据首要地位，其理论和方法已渗透到许多数学分支，并成为理论物理和理论化学所必需的代数基础。随着计算机技术的广泛应用，线性代数在计算机图形学、计算机辅助设计、密码学、虚拟现实等领域也发挥着重要作用。此外，线性代数还体现了几何观念与代数方法之间的联系，其公理化方法、逻辑推证和归纳综合等技巧对于强化数学训练和增益科学智能非常有益。

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说明
1. 凡满足以上八条规律的加法及乘数运算， 称为线性运算． 2 . 判别线性空间的方法：一个集合，对于定 义的加法和数乘运算不封闭，或者运算不 满足八条性质的任一条，则此集合就不能 构成线性空间．
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说明：
1）若数集F中任意两个数作某一运算的结果仍在F 中，则说数集F对这个运算是封闭的． 2）数域的等价定义：如果一个包含0，1在内的数 集F 对于加法，减法，乘法与除法（除数不为0） 是封闭的，则称集 F 为一个数域．
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线性空间既是代数学的基本概念，也是矩阵论 的基本概念之一，本章首先介绍这一概念。学习过 这一部分内容的同学可以将本章作为对所学知识的 回顾和延伸。 在解析几何和线性代数中，我们已经学习过平 面与空间的向量，线性空间是解析几何中向量概念 的抽象化。 在线性代数中，学习过向量的线性相关性，现 在我们应用它来研究线性空间。
∴ R m × n 是一个线性空间 .
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例2 数域 F 上次数小于 n 的多项式的全体 ,
记作 P [ x ]n , 即 : P [ x ] = {a n −1 x n −1 + a n − 2 x n − 2 + 构成向量空间 . + a1 x + a 0 a i ∈ F }
则有
x ± y = (a ± c ) + (b ± d ) 2 ∈ Q( 2), x ⋅ y = (ac + 2bd ) + (ad + bc ) 2 ∈ Q( 2)

《矩阵分析与应用》
张贤达清华大学出版社，2004年9月
矩阵与计算工具：MATLAB， MAPLE,LAPACK … 编程语言：C/C++, C#, Fortran，Java
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矩阵分析与计算
考核方式：

闭卷考试：65%
课堂讨论，小报告： 35% 作业抽查，应该重视练习、讨论、算法设计、 上机实践等环节。
矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数 学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用 的一个重要工具。“矩阵”这个词是由西尔维 斯特（1814-1897）首先使用的，他是为了将 数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个述 语 西尔维斯特一生致力于纯数学的研究，他和凯莱、哈 在逻辑上，矩阵的概念应先于行列式的概念， 密顿 (Hamilton)等人一起开创了英国纯粹数学的一个 然而在历史上次序正好相反。 繁荣局面．他的成就主要在代数方面，他同凯莱一起
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本讲主要内容
线性空间定义与性质 基、维数、坐标 基变换与坐标变换
子空间
内积空间
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一、线性空间

几何空间和 n 维欧氏空间的回顾 推广思想： 抽象出线性运算的本质，在任意研究对象的集 合上定义具有线性运算的代数结构。
线性空间定义 要点：


集合V 与数域F 向量的加法和数乘向量运算 运算的性质刻画
矩 阵 分 析 与 计 算 Matrix Analysis and Computations
理学院 Email: mymath@ (民) 2011年9月
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本科线性代数内容的简单回顾与讨论 1）线性代数主要内容 2）有什么用？工科学生最关心的 大家在本科毕业设计中用了么？

数学高等代数第五版
目 录
• 引言 • 线性方程组与矩阵 • 向量空间与线性变换 • 多项式与行列式 • 线性方程组的解法 • 线性变换的矩阵表示 • 二次型与矩阵的相似对角化 • 总结与展望
01 引言
课程简介
高等代数是数学的一个重要分支，主 要研究线性代数、多项式、群、环和 域等抽象代数结构及其性质和关系。
常用的解法包括高斯消元法、LU 分解法、迭代法等，可以根据具 体情况选择合适的解法。
线性方程组在各个领域都有广泛 的应用，如物理、工程、经济等。
矩阵的基本概念
矩阵的定义
矩阵是一个由数字组成的矩形阵列，行和列都有 一定的数量。
矩阵的元素
矩阵中的每个元素都有其行标和列标，表示其在 矩阵中的位置。
矩阵的维度
相似变换
如果存在一个可逆矩阵P，使得$P^{-1}AP=B$，并且B的特征值和特征 向量与A相同，则称A经过相似变换得到B。
矩阵的特征多项式与特征值
特征多项式
对于一个给定的矩阵A，存在一个多项式$f(lambda)$，使得 $f(lambda)=0$是A的特征方程，这个多项式称为矩阵A的特征多项式。
高等代数作为大学数学专业的一门必 修课程，对于培养学生的逻辑思维、 抽象思维和数学素养具有重要意义。
学习高等代数的重要性
培养数学思维
高等代数作为数学专业的基础课程，通过学习代数结构和性质，可以培养学生的数学思维和逻辑推理 能力。
应用领域广泛
高等代数在科学、工程、经济、金融等领域有广泛应用，如线性方程组求解、矩阵计算、数据降维、 机器学习等领域都需要用到高等代数的知识。
深化数学理解
学习高等代数有助于学生深化对中学阶段数学知识的理解，如代数方程、平面几何、解析几何等，能 够更好地理解和应用这些知识。