张量分析

N
i
j
Nij
Nij
N
i j
N ij N ji
1N
N 1
T
(1N
)T
,
N 2
(
N 3
)T
,
N 3
(
N 2
)T
,
N 4
N 4
T
(
N 4
)T
➢ 反对称张量与其转置张量分量及二者所对应的矩阵
ij ji
j i
i j
i j
ji
ij ji
1
1
T
(1
)T
,
2
(
3
)T
,
3
(
2
)T
,
4
4
T
(
4
σ σ0 σd
0 (1 2 3 ) / 3
d(i) i 0
：由 σ产生的应变能密度可分解为： V d
V：由体积变形引起； P：体积变，形状不变； d：由形状变形引起。 D：体积不变，形状变。
塑性流动条件：
J
D 2
=
Const.
一般塑性流动条件：
f
J
D 2
,
J
Q1 QT
Q1 Q Q Q1 G QT Q Q QT G
detQ2 1
J
Q 3
1
几种特殊的二阶张量
• 正交张量只有一个实特征根
3Q 1
实数标准形
对应特征方向，轴向 e3
cos sin 0
Q sin
cos
0
0
0 1
Q cos e1e1 e2e2 sin e2e1 e1e2 e3e3
➢ 非负张量的构造：任意二阶张量T

eijk eijk 6
证明见例题
eijk与ij间的关系
由排列符号的性质 : ei e j eijk ek
ei e j • ek eijk
由于ei e j • ek表示的是混合积,其物理意义是单位立方体的体积.
另外,由矢量分析知, 平行六面体的体积可以表示成其三个棱的行



i e1, j e2, k e3
X1
X3 P(x1, x2, x3)
O
X2
➢ 再对上述代换结果进行简写P点改写为： P(x1,x2,x3)P(xi, i=1,2,3)P(xi)
➢ 基向量：ei, i=1,2,3 ei ➢ 则称上述字母i为指标，i的取值i=1,2,3为指标i的取值
列式形式.
eeij
(i1, ( j1
i2,i3 , j2,
)
j3
)
ek (k1,k 2 ,k3)
ei,ej,ek为3个单位基向量， i,j,k互不相等。
i1 i2 i3 ei e j • ek j1 j2 j3 eijk
k1 k2 k3

a13 x3 a23 x3

b1 b2

a31x1 a32 x2 a33 x3 b3
如何用一个最简单 的式子来表示？
用矩阵？ 还有更简单的表示方法吗? 可总结为：aij x j bi
aij, xj, bi是些什么量？
§1.1 指标记号及两个特殊符号
两种方式:
将左式展开，再给定每一个i值，求左右是否相等；
只有当i=j时ij才不等于“0”，
∴
a j ij ai ii ( ii不求和) ai

利用δij定义，可以验证：
＝ δ11dx1dx1+δ12dx1dx2+δ13dx1dx3 +δ21dx2dx1+δ22dx2dx2+ δ23dx2dx3 +δ31dx3dx1+δ32dx3dx2+ δ33dx3dx3
＝ δ11dx1dx1+δ22dx2dx2+δ33dx3dx3 ＝ dx1dx1+dx2dx2+dx3dx3＝ dxidxi
将矢量r向新坐标轴i’ 投影，即ei’ 点乘上式两边：
新坐标用老坐标表示的表达式：
类似地，将矢量r向旧坐标轴i 投影(即• ei )，
老坐标用新坐标表示的表达式： 以上就是矢量分量在不同坐标轴间的转换关系式
【设新【老书坐上标用原的点原重图合】】
新老坐标转换关系的矩阵形式：
三、[ β]阵的互逆关系
◈ 矩阵形式推导—— 所以[β]是正交矩阵，其行列式为
设空间任意点P的矢径为r。它在笛卡儿坐标系中的分解式为：
当一个坐标任意变化；另两个坐标保持不变时，空间点的轨迹 称为坐标线。过每个空间点有三根坐标线(一般为曲线），在笛 卡儿坐标系中各坐标线都和相应的坐标轴平行。当坐标变化时， 矢径的变化为：
用矢径对坐标的偏导数定义的三个矢量
称为基矢量。空间每点处有三个基矢量，它们组成一个参考架或称坐标架。
可写成：
实体记法：
F= ma
分量记法(旧) ：
Fk = mak
分解式记法：
Fk ek= mak ek
分量记法(新) ：
∑: 经坐标变换,牛顿第二定律表达式的形式保持不变
每项都由张量组成的方程称为张量方程，它与坐标选择无关的重要性质，可用于描述客观物理现象的固 有特性和普遍规律。采用适用于任意坐标系的张量方程普遍形式，通过坐标转换规律可直接写出该方程 在其他坐标系中的特定表达形式。

张量张量是用来描述矢量、标量和其他张量之间线性关系的几何对象。

这种关系最基本的例子就是点积、叉积和线性映射。

矢量和标量本身也是张量。

张量可以用多维数值阵列来表示。

张量的阶（也称度或秩）表示阵列的维度，也表示标记阵列元素的指标值。

例如，线性映射可以用二位阵列--矩阵来表示，因此该阵列是一个二阶张量。

矢量可以通过一维阵列表示，所以其是一阶张量。

标量是单一数值，它是0阶张量。

张量可以描述几何向量集合之间的对应关系。

例如，柯西应力张量T 以v 方向为起点，在垂直于v 终点方向产生应力张量T(v)，因此，张量表示了这两个 向量之间的关系，如右图所示。

因为张量表示了矢量之间的关系，所以张量必 须避免坐标系出现特殊情况这一问题。

取一组坐标 系的基向量或者是参考系，这种情况下的张量就可 以用一系列有序的多维阵列来表示。

张量的坐标以 “协变”（变化规律）的形式独立，“协变”把一种 坐标下的阵列和另一种坐标下的阵列联系起来。

这 种变化规律演化成为几何或物理中的张量概念，其 精确形式决定了张量的类型或者是值。

张量在物理学中十分重要，因为在弹性力学、流体力学、广义相对论等领域中，张量提供了一种简洁的数学模型来建立或是解决物理问题。

张量的概念首先由列维-奇维塔和格莱格里奥-库尔巴斯特罗提出，他们延续了黎曼、布鲁诺、克里斯托费尔等人关于绝对微分学的部分工作。

张量的概念使得黎曼曲率张量形式的流形微分几何出现了替换形式。

历史现今张量分析的概念源于卡尔•弗里德里希•高斯在微分几何的工作，概念的制定更受到19世纪中叶代数形式和不变量理论的发展[2]。

“tensor ”这个单词在1846年被威廉·罗恩·哈密顿[3]提及，这并不等同于今天我们所说的张量的意思。

[注1]当代的用法是在1898年沃尔德马尔·福格特提出的[4]。

“张量计算”这一概念由格雷戈里奥·里奇·库尔巴斯特罗在1890年《绝对微分几何》中发展而来，最初由里奇在1892年提出[5]。