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张量分析3

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张量分析清华大学张量分析你值得拥有

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g是正实数（右手系）
斜角直线坐标系旳基矢量与矢量分量
➢ 三维空间中旳斜角直线坐标系和基矢量
定义逆变基矢量 g j，满足对偶条件：
g j gi ij (i, j = 1, 2,3)
问题：已知 gi，怎样求 g j ？
※ 根据几何图形直接拟定
由对偶条件可知， g1与 g2 、g3 均正交，所以正交于 g2与 g3所
第1章 矢量与张量
2023年12月12日
张量旳两种体现形式
实体形式
分量形式
几何形式 定义式
代数形式 计算式
概念旳内涵和外 延（定量）
怎样计算？
主要内容
➢ 矢量及其代数运算 ➢ 斜角直线坐标系旳基矢量与矢量分量 ➢ 曲线坐标系及坐标转换关系 ➢ 并矢与并矢式 ➢ 张量旳基本概念 ➢ 张量旳代数运算 ➢ 张量旳矢积
g1 1
g2 x1(cos x2 cos x3i cos x2 sin x3 j sin x2k) g2 x1
g3 x1注sin:x2(()s式in 只x3i对 c正os交x3曲j) 线坐标系成立，g3 x1 sin x2
☆正交曲可作线为坐求标正系交与系L中am度é量常张数量旳一种措施。
y
※平面极坐标系
(x, y) (x1, x2)
r
g gr
(r, ) (x1, x2 )
矢径：
r x1i x2 j
j
x1
x2
(x1)2 (x2)2
arctan
x2 x1
x1
x1
cos
x2
x2 x1 sin x2
i
x
平面极坐标系
xi' = xi' xi
r g1 i cos x2 j sin x2

【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章 张量代数

【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章 张量代数

按§2.5节三中（g）式面积矢量记法有：
dH 0 r u(r ) (r )dV
试证明物体 Ω 对o点的动量矩为：
H0 J ω
Ω
式中 称为物体 Ω 对o点的二阶惯性矩张量（注：J 不是四阶单位张量。但 J表达式中的 I是二阶单位张量）。 u (r ) ω r 证： H (r u) dV r (ω r ) dV (r r )ω (r ω)r ) dV
I u (ii ii ) (u j i j ) u j iiij ui ii u
设存在另一二阶张量 I ，且满足 u I I u 。则： u I u I o ; uo ∵ I I O ; I I （唯一性） ∴ 3．
A : J ( Amn imin ) : (ii i j ii i j ) Amnmi jn ii i j Amn imin A
二阶张量与二阶张量的（一）点乘：
A B （Aij ii i j） （ Bmn imin） （Aij Bmn )ii (i j im )in Aij Bjn ii in
二阶张量与二阶张量的（双）点乘：
A : B ( Aij ii i j ) : ( Bmn imin ) ( Aij Bmn )(ii im )(i j in ) Aij Bij
A P2 A P2
A0 P2 Φ0 P4
Φ0 P4
（3.1-11）
A : Φ0 A
0 0
的 n ; A ; A ; ; 分别称为一阶单位张量、二阶单位张量和四 阶单位张量。 上式定义的一阶、二阶和四阶单位张量具有性质： u u V n 1． u A0 A0 ii ii ij ii i j （3.1-12） 2． I 为单位二阶张量。 ii i j 且记 A ; A 为 I 。即 I ii ii ij。并称

【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章3 二阶张量特征值与特征方向

【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章3 二阶张量特征值与特征方向

设V中标准正交坐标系为 {i1, i2, i3} 。则二阶张量 A和矢量 u可表示为：
A Aij ii i j ; u ui ii A u u ; ( A I ) u o
可分别写成： 或
u A u
;
u ( A I ) o
( Aij ii i j ij ii i j ) (umim ) o ; (umim ) ( Aij ii i j ij ii i j ) o A12 A13 u1 0 A11 A u 0 A A 22 23 2 21 （3.4-3） A32 A33 A31 u 3 0
det(A I ) 0 ( a) det(A* I ) 0 ( b)
∵ ∴ (a)、(b)两式是关于λ的三次相同的代数方程。也就是说 A的右特征值和左特征值相同。由 (a)式或 (b)式得： ∵
[( A I ) a ] [( A I ) b][( A I ) c ] 0 a (b c ) [( A I ) a ] [( A I ) b][( A I ) c ] det( A I )
; ∴
u ai 2
u1 0 u 2 a u 0 3
（a是任意实数）
是方程组（1）的非零解。
A u (i1i3 i2i1 i2i2 i3i1 ) (ai2 ) ai2 1u
因此 u = a i2是 A的λ1 = 1特征值对应的右特征矢量。 左特征矢量： ∵
(detet Q) det(Q I ) det(Q I )
2 det(Q I ) 0 ∴ 因此得出结论： 正交二阶张量 Q，当det Q =1时存在右特征矢量 r。其对应 的特征值λ = 1。且：

【张量分析ppt课件】张量分析课件第四章 张量函数和张量分析

【张量分析ppt课件】张量分析课件第四章 张量函数和张量分析
| x x0 |
时，对应的函数都有：
| f ( x) f ( x0 ) |
则称f (x)在x0点连续。该定义是通过两个绝对值 | x - x0 |、 | f (x) – f (x0) | 确定了f (x) 在 x0 点的连续性。由实函数理论 | x - x0 |和| f (x) – f (x0) |按距离的概念分别代表了实数x和x0 的距离及给定的x和x0的函数值f (x)和f (x0)的距离。正是距 离概念的引入使得一元实函数的连续性可以推广到张量函 数的连续性定义。 设张量函数为 F (A) 。若对任意给定的正数ε ，总存在着 一个正数δ 。使得当所有的自变量张量 A 满足：
是各向同性张量函数。
例4 ： 对任意二阶张量A。试证明： i） F ( A) A3 I1 ( A) A2 I 2 ( A) A I 3 ( A) I 是各向同性张量函数。 ii） A3 I1 ( A) A2 I 2 ( A) A I 3 ( A) I 0 该式也称为Cayley-Hamilton定理。
A A 0 0
A Ai1ir ii1 iir A0 ( A0 ) i1ir ii1 iir
表示：
Ai1
ir
( A0 )i1
ir
(i1,
ir 1, 2,3)
在V 中的坐标系{o; i1, i2, i3}下，张量函数 F ( A )可表示为：
F ( A) Fi1is ( A)ii1 iis
2．r=1，s=0时： Φ记为u；F记为f。则： （4.1-8b） F (u)称为一阶张量自变量的零阶张量值函数。或称f (u)是 矢量自变量的标量值函数。 3．r=1，s=1时： Φ记为u，F记为f，则： f : u f ( u) （4.1-8c） F (u)称为一阶张量自变量的一阶张量值函数。或称f (u)是 矢量自变量的矢量值函数。 4．r=2，s=0时： Φ记为A；F记为F。则： F : A F ( A) （4.1-8d） F (A)称为二阶张量自变量的零阶张量值函数。或称F (A)是 二阶张量自变量的标量值函数。 5．r=2，s=2时： Φ记为A；F记为F。则： F : A F ( A) （4.1-8e） F(A)称为二阶张量自变量的二阶张量值函数。

张量分析3

张量分析3

2.9克里斯托弗尔符号 ij   i g j  gkk  ig j  gkrgr  gkr ig j g r  gkr ijr(2.9.08) (2.9.09)同样地， ijk  g kr  ijr在基矢量组 g 1 ， g 2 ， g 3 中把  i g j 按下式分解 igj(4)在直线坐标系中， ijk  0 ，  ij  0k(2.9.10)k ij  ijp gp ij g pp(2.9.01) (2.9.02)p ij事实上，因为在斜角和直角坐标系中基矢量 i i 和 e i 均为常量，故  ijk  0 和  (5)克里斯托弗尔符号可用度量张量表示。

事实上，由于g ij , k   gk 0。

 ig j  这里分解系数  ijp 和 分别称为第一类和第二类克里斯托弗尔(Christoffel)符号。

在某些文献中， p 第一类和第二类克里斯托弗尔符号分别用 ij , p  和   表示。

 ij gigj kgi gj g i  k gj  kij   kji(2.9.11) (2.9.12) (2.9.13)对指标进行轮换，则有jk , i  ijk   ikj用 g k 和 g 分别点乘式(2.9.01)和式(2.9.02)两边，则得 ijp gpkg ki , j   jki   jik把式(2.9.12)和式(2.9.13)相加，再减去式(2.9.11)，则得 (2.9.03) (2.9.04) 另外， ijk  1 2 g k   ijp kp k  ijk   i g j  g kk ij  ig j  ggkrjk , i g ki , j  gji , k(2.9.14)现述克里斯托弗尔符号的性质如下。

张量分析 陈国荣 徐芝纶

张量分析 陈国荣 徐芝纶
为了使张量在每个具体坐标系里能取得具有相同的物理量纲的分量在正交曲线坐标系取切于坐标曲线的无量纲单位矢量作为基矢量即cossinsincoscossinsinsincoscoscoscossinsincossinsin由此得到曲线坐标系的hamilton算子比较式a712与式a715得到bca并考虑到得到在正交曲线坐标系关于指标j和k是反称的因为共有6个为011332232333113132233232221121211331311122121只有212张量的梯度为了方便以后仍然把物理基记为16四圆柱坐标系张量的导数公式221212rzzzrrzr
8
gi j ,k k ( gi g j ) k gi g j k g j gi
g j k ,i i ( g j gk ) i g j gk i gk g j
（ａ） （ｂ） （ｃ）
gk i, j j ( gk gi ) j gk gi j gi gk
2
g i j 称为度量张量
r r ds dr.dr . dxi dxj gij dxi dxj xi x j
2
例1
求圆柱坐标系的自然基 gi 和度量张量g i j
空间任意点的向径为
r r cos e1 r sin e 2 ze 3 r g1 cos e1 sin e 2 r r g2 r sin e1 r cos e 2 r g3 e3 z
（b）＋（c）－（a），并考虑到
k gi g j i gk g j
得到
1 i g j g k ( g j k ,i g k i , j g i j ,k ) 2
9
1 1 1 i j k [ ( g j k ,i g k i , j g i j ,k ) g j j ( )g jk ] xi g j j gii g j j g k k 2

张量分析第3次课3


r r i i r r ∂x ∂x ∂X ∂X = xα ⋅ xβ ≡ α ⋅ β = ∑ α ⋅ β ∂x ∂x ∂x i ∂x
(2) 柱坐标系 正交曲线坐标系： 正交曲线坐标系： x1 =
gαβ = Hα H β δαβ = Hα δαβ ρ , x2 = ϕ , x3 = z
2
2
g11 = 1
2
g33 = r sin θ
2
2
β = 2 或3时才有不为零的第二种克里斯托费尔符号.
1 1 1 ∂g 22 1 ∂g 22 1 ∂ 2 1λ 11 = g [22, λ ] = g [22,1] = − = − = − (r ) = −r 1 1 2 ∂x 2 ∂r g11 2 ∂x 22
∂g λγ ∂g βλ ∂g γβ ∂x β + ∂x
得
1 αλ = ∑g 2 λ
Γα βγ
2 2 2 ∂ ∂ ∂ H H H 1 1 γ β γ = δ γα + γ δ αβ − α δ γβ 2 β ∂x ∂x 2 Hα ∂x
2 2 1 1 ∂g 22 1 1 ∂ 2 1 2λ 22 = 2 (r ) = = = g [21, λ ] = g [21, 2] = 1 g 22 2 ∂x r 2 ∂r r 21 12
ik k g g = δ ∑ ij j i
∂g ij ik jm ∂g ∂g jm g ij g = =− l g g l l ∂x ∂x ∂g βλ ∂x = [ βγ , λ ] + [λγ , β ] 代入 γ mk ∂x ∂g
ik mk
ik jm ik jm

数学中的张量分析方法

数学中的张量分析方法在数学中，张量分析是一种用于描述多维空间中变量关系的数学工具。

它在许多领域中被广泛应用，包括物理学、工程学、计算机科学和经济学等。

本文将介绍张量的基本概念和常见的应用方法。

一、张量的定义和性质1. 张量的定义张量是一个多维数组，可以表示为多个分量的组合。

在欧几里德空间中，一阶张量是向量，二阶张量是矩阵。

高阶张量可以看做是多个矩阵的组合。

2. 张量的性质张量具有坐标系无关性，即其分量在不同坐标系下具有相同的转换法则。

这使得张量在描述物理量时具有普适性和通用性。

二、张量的运算法则1. 张量的加法和减法张量的加法和减法都是对应分量相加或相减。

要求参与运算的张量具有相同的维度。

2. 张量的数乘张量的数乘是将每个分量都乘以一个标量。

数乘并不改变张量的维度。

3. 张量的张量积张量的张量积是两个张量的分量进行乘积并按照一定规则相加得到的新张量。

它在向量叉乘、矩阵乘法等问题中有广泛应用。

4. 张量的缩并运算张量的缩并是对张量的某些分量进行求和，并将结果保留在一个新的张量中。

它常用于求解线性方程组、协方差矩阵等问题。

三、张量的应用举例1. 物理学中的应用张量在物理学中有广泛的应用，如流体力学中的应力张量、电动力学中的麦克斯韦张量等。

它们描述了物质在空间中的运动和相互作用。

2. 工程学中的应用张量在工程学中用于描述物体的形变、应力分布等。

它在结构力学、弹性力学、热传导等领域中有着重要的作用。

3. 计算机科学中的应用张量在图像处理、模式识别、机器学习等领域中被广泛应用。

例如，卷积神经网络中的卷积操作就可以用张量运算进行描述。

4. 经济学中的应用张量在经济学中用于描述多个经济变量之间的关系。

它可以用来分析供求关系、生产函数等经济现象。

结语：张量分析作为一种重要的数学工具，为我们研究和解决各种问题提供了强有力的帮助。

通过对张量的定义、性质和运算法则的了解，我们可以更好地理解和应用张量，进而推动科学的发展和进步。

张量分析课件-3.7 二阶张量的函数之导数


1 I : S SymS S S T 2


即
1 I ijkl S Sij S ji 2
kl
（ 2） I : I = I
则
a0GG a1 I :
ij a0 g ij g kl a1I ijkl kl
d a0GG a1 I : d
但如规定也是对称的则由上式372二阶张量的不变量的导数trtrtrtr利用的分量表达式直接求导也可得到上式求jsirjsirrsijrsijhamiltoncayley等式1存在上式点积1后移项得detdetdetdetdetdeta可得代入前式得到trdet373二阶张量的张量函数之导数二阶张量s的二阶张量函数ht对于增量c的有限微分为klijklijklijklijijkljkklijijklklijijkl例317设线弹性材料的应变能密度表达式为分别为应变张量的一阶与二阶矩
T
ijkl
Tij T T ij i l kl , , T kl kl , T jk k , Tijkl S kl S S l S
ij ij
T i j
例3.17
设线弹性材料的应变能密度表达式为
1 2 w a0 J1 a1J 2 2 式中 J1 , J 2 分别为应变张量 的一阶与二阶矩。求：
张量分析 及连续介质力学
3.7 二阶张量的函数之导数
3.7.1 二阶张量的标量函数之导数
二阶张量 S 的标量函数 = f (S ) 对于 S 的增量 C 的有限 微分为 1 f S; C lim f S hC f S h0 h 当增量为基张量时，标量函数的有限微分为


式中

补充-张量分析


xi ik xk
ij j k ik
' '
互为逆矩阵
说明
1
基矢量具有与坐标分量相同的变换规律
e i ij e j e i ije j
2
矢量的分量也具有与坐标分量相同的变换 规律
vi ij v j
vi ij v j
3. 三维情况 (三维坐标系旋转)
同理
xi ij x j
同二维问题，可得
ij jk ik
可试证：
（正交性）
ij jk ik
4. 张量定义
定义：在坐标变换时，满足如下变换关系 的量称为张量
ijk l ii jj k k ijkl ijkl i i j j k k l l ij k l
ei e j ij
考虑一位置矢量
ei e j ij
x x j e j x je j x j e j e i x je j e i
x j cos(e j , ei ) x j ji xi
xi ij x j
自由指标数目n称为张量的阶数，对于三维空间， 张量分量的个数为3n个，变换式也有3n个。
采用并矢记号（不变性记法或抽象记法）
φ ijklei e j ek el
()
可写成上式的量也称为张量（第二种定义）
基矢量的坐标变换符合前述要求
标量：零阶张量 矢量：一阶张量 张量：二阶张量
讨论
3 3
4
哑标可以换用不同的字母指标
2.求导记号的缩写约定
( ), j ( ) x j
ui ui , j x j
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第三章 张量分析将偏导数的概念推广，建立协变导数的概念，使得一个张量的协变导数是另一个张量，这是张量分析发展中最重要的里程碑碑。

张量的协变导数是本章讨论的重点。

§3.1 基矢量的偏导数与克里斯托费尔符号求一个矢量的导数，必须对它的各个分量与基矢量乗积之和求导：j ,i i i i j ,j ,i i j ,jg V g V )g V (V xV +===∂∂ (3.1-1a) i j ,i i j ,i j ,i i g V g V )g V (+== (3.1-1b) 上式中的“，”号表示偏导数，本书以后均采用此记法。

（3.1-1a ）、（3.1-1b ）式中有基矢量i g 和对偶基矢量i g 对于曲线坐标j x 的偏导数j ,i g 和i j ,g 。

下面分别进行讨论。

一、基矢量i g 的偏导数j ,i g由基矢量的定义[（1.4-4）式]可以写出s j i s2s i s j j ,i i xx z )i x z (x g ∂∂∂=∂∂∂∂=这表示基矢量i g 对于坐标j x 的偏导数也是矢量，它也可以分解成沿对偶基矢量i g 或基矢量i g 方向的分量：kkijkijkj,i g g g Γ=Γ= （3.1-2）式中ijk Γ是j ,i g 沿k g 方向的分量；k ij Γ是j ,i g 沿k g 方向的分量。

从它们的意义可以理解，为什么ijk Γ和k ij Γ中包含I,j,k 三个指标。

若用另一基矢量点乘（3.1-2）式，就得到i j klk i j l k l i j l k j ,i g g g g Γ=δΓ=⋅Γ=⋅ (3.1-3a) k ij k l l ij k l l ij k j ,i g g g g Γ=δΓ=⋅Γ=⋅ (3.1-3b)ijk Γ称为第一类克里斯托费尔（Christoffel ）符号；k ij Γ称为第二克里斯托费尔符号。

（3.1-2）式或（3.1-3）式都可以作为克里斯托费尓符号的定义。

二、克里斯托费尔符号的性质及其计算（一）克里斯托费尔符号不是张量（这个问题留待后面证明），但它的第三个指标可以像张量分量的指标一样提升或下降。

这可以证明如下，用l g 或l g 点乘（3.1-2）式中的第二部分和第三部分，可得kl k ij ijl k l ijk g Γ=Γ=δΓ (3.1-4a) 和l ij l k k ij kl ijk g Γ=δΓ=Γ (3.1-4b)然而，这个论断对（3.1-2）式中的其它两个指标i 和j 是不适用的。

（二）克里斯托费尔符号对前两个指标是对称的。

这可证明如下，由（1.4-4）式得i i xrg ∂∂= (a)将上式对j x 求导，得i ,j ji ,ij ,j ,i g r r g === (3.1-5) 由此，由上式及（3.1-2）式可得l j i l l i j l g g Γ=Γ l ljil l ij g g Γ=Γ 以k g 和k g 分别点乘上面左、右两式后，得jik ijk Γ=Γ, k ji k ij Γ=Γ (3.1-6)(三)克里斯托费尔符号可以按下公式计算。

由（1.5-2）式得 j i ij g g g ⋅= 将上式对k x 求导，可得 k ,j i j k ,i k ,ij g g g g g ⋅+⋅= 利用（3.1-3a ）式，j k i i k j k ,ij g Γ+Γ= (3.1-6) 可得k ,ij kij jki g =Γ+Γ (b) i ,jk ijk kij g =Γ+Γ (c)j,ki jkiijkg =Γ+Γ (d)从（c ）与(d)之和减去(b)便得到关系式：k,ij j,ki jkijkg g g 2-+=Γ (3.1-8a)由（3.1-4b ）式可得)g g g (g g 22l ,ij j ,li i ,jl kl ijl kl k ij -+=Γ=Γ (3.1-8b) 若度量张量的分量已知，用上述（3.1-8a,b ）式便可以计算坐标系的克里斯托费尔符号。

由此可知，克里斯托费尓符号也是坐系的几何特性。

由于直角坐标系的ij g 是常数，所以在直角坐标系中， 0k ij ijk =Γ=Γ(四) 克里斯托费尔符号不是张量，今证明如下：当坐标系i x 作容许变换成新坐标系i x 时，基本度量张量ij g 按下式变换：ij m jl i lm g xx x x g ∂∂∂∂= (e)将上式对n x 偏微分，得ij n m j2l i ij m j n l i 2n k k ij m j l i n lm g xx x x x g x x x x x x x x g x x x x x g ∂∂∂∂∂+∂∂∂∂∂+∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂将上式的指标l 、m 、n 轮换，可得两个类似的方程，将这两个方程相加，减去上面的方程，并除以2，适当变换哑指标，可得m l j2n i ij n k m j l i ijk lmn x x x x x g x x x x x x )x ()x (∂∂∂∂∂+∂∂∂∂∂∂Γ=Γ (3.1-9)上式表明当坐标变换时，第一类克里斯托费尔符号ijk Γ如何变换。

逆变度量张量的变换法则是 sp k nks np x x x x g g ∂∂∂∂= (f) 将方程（3.1-9）式的两边内乗以（f ）式的两边，化简后，得m l j 2j p m j l i s p sij p lm x x x x x x x x x x x )x ()x (∂∂∂∂∂+∂∂∂∂∂∂Γ=Γ (3.1-10)上式表明坐标变换时，第二类克里斯托费尔符号s ij Γ如何变换。

由（3.1-9）式和（3.1-10）式可以看出，克里斯托费尔符号不是张量。

三、对偶基矢量i g 的偏导数i j ,g由（1.6-1）式给出jijig g δ=⋅将上式对k x 求导，得0g g g g jk,ijk,i =⋅+⋅因此j ik j k ,i j k ,i g g g g Γ-=⋅-=⋅ 变换上式指标，得ikj i j ,k g g Γ-=⋅将上式两边乘以k gk i kj k i j ,k g g )g g (Γ-=⋅ 利用（1.6-16）式，得k i kj i j ,g g Γ= (3.1-11)§3.2 正交曲线坐标系的克里斯托费尔符号克里斯托费尔符号描述了曲线坐标系的性质。

现将圆柱坐标系、球坐标系的克里斯托费尔符号以及正交曲线坐标系的克里斯托费尔符号的一般表示式列出。

一、正交曲线坐标系 由§1.7知 i i i i g /1g = , k k k k g g g = 2321332211)H H H (g g g g == i j j i j j x g 21∂∂-=Γ , i j j j i j x g 21∂∂=Γ jjj j j j xg 21∂∂-=Γ )k j i (0i j k ≠≠=Γ (3.2-1)ij j i i ij j x g g 21∂∂-=Γ , )g (ln x j j i jij ∂∂=Γ )g (l n xj j jjj j ∂∂=Γ, )k j i (0k ij ≠≠=Γ (3.2-2)二、圆柱坐标系（图1-4）由§1.7知圆柱坐标系的kl g 和kl g 以矩阵形式列出是1000)x (0001)g (21kl = 1000)x /(10001)g (21kl = 由（3.1-8a ）式得1212122x =Γ=Γ, 1221x -=Γ所有其它的0klm =Γ (3.2-3) 由（3.1-4b ）式得112222221212x /1g =Γ=Γ=Γ, 122111122x g -=Γ=Γ所有其它的0m kl =Γ (3.2-4)三、球坐标系（图1-5）22121kl )x sin x (00)x (0001)g (= ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=22121kl )x sin x /(1000)x /(10001)g ( 由（3.1-6a ）式及（3.1-4b ）式得1221122x =Γ-=Γ, 221331133)x (sin x =Γ-=Γ2221332233x cos x sin )x (=Γ-=Γ所有其它的0klm =Γ (3.2-5)1122x -=Γ, 221133)x (sin x -=Γ, 1313212x /1=Γ=Γ22233x cos x sin -=Γ, 2323x cot =Γ所有其它的0m kl =Γ (3.2-6)§3.3 矢量的协变导数一、求矢量的偏导数现在回到求矢量的偏导数[（3.1-1a ）式]。

利用（3.1-2）式得 k k ij i i i j ,j ,g g V Γ+=νν变换最后一项中两个哑指标的字符，便可以提出公因子i g ，于是i j i i ijk k i j ,j ,g |g )(V ν=Γν+ν= (3.3-1)式中i jk k i j ,j i |Γν+ν≡ν (3.3-2)它是矢量V 对于j x 的偏导数沿i g 方向的分量。

由上式可以看出，j i |ν与矢量V的i g 方向的分量i ν对于j x 的偏导数i j ,ν量不同的，它们差一项i jk k Γν,应当认清这二者的差别。

j i |ν称为逆变矢量i ν的协变导数。

利用（3.1-11）式，则从（3.1-1b ）式可得与（3.3-1）式类似的表达式：i j i i k ij k j ,i k ijk i i j ,i j ,g |g )(g g V ν=Γν-ν=Γν-ν= (3.3-3)由此得到协变矢量i ν的协变导数j i |ν的表达式为k ij k j ,i j i |Γν-ν≡ν (3.3-4) 和上面指出的一样，应当注意j i |ν与j ,i ν的差别。

必须指出，在直角坐标系中，jk jk g δ=.由（3.1-8a 、b ）式可知，这时0k ij ijk =Γ=Γ。

因此。

在直角坐标系中，协变导数和普通偏导数之间没有区别。

二、矢量V 的微分应用（3.3-1）、（3.3-2）式和（3.3-3）、（3.3-4）式这两对方程，可以写出矢量V 的微分，这种微分形式在建立物理系统的微分方程时是有用的。

当矢量)x (V j 从一点j x 沿着分量为j dx 的矢元移动到相邻的一点j j dx x +时，这个矢量)x (V j 的个改变为j j .dx V dV =，于是得j i j i j j ,dx g |dx V dV ν== (3.3-5a) 或j i j i j j ,dx g |dx V dV ν== (3.3-5b)三、为什么j i |ν和j i |ν称为协变导数，协变导数是不是张量沿坐标系j x 作容许变换成新坐标系i x ,矢量V 用它在ix 中的分量表示为 i i g v V = 上式对m x 求导得，im i mi i i m i m ,g |xg g x V ννν=∂∂+∂∂=另一方面，用微分的链式法则，可得mki k i m k k ,m ，x x g |x x V V ∂∂=∂∂=ν 使上述二方程的右边相等，得mki k i i m i x x g |g |∂∂=νν (3.3-6)用基矢量j g 的变换公式j l jl g xx g ∂∂=分别点乘（3.3-6）式等号的两边，可得m kl j k j m l xx x x ||∂∂∂∂=νν更换指标，上式可写成jni m n m j i x x x x ||∂∂∂∂=νν (3.3-7)这表明在坐标变换时，j i |ν服从二阶协变张量的变换法则，因此j i |ν是二阶协变张量。