角平分线和全等三角形证明分类.docx
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精锐教育学科教师辅导讲义
学员编号： 年 级：初二 课时数：3
学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师：
授课类型 T角平分线 C专题精讲
授课日期时段
教学内容
N同步
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1. 角平分线的作法（尺规作图）
① 以点O为圆心，任意长为半径画弧，交 OA、OB于C、D两点；
② 分别以C、D为圆心，大于 CD长为半径画弧，两弧交于点 P；
③ 过点P作射线OP ,射线OP即为所求.
如图所示，∙∙∙ PA 丄 OM , PB 丄 ON , PA = PB, ∕∙∠ 1 = ∠ 2 （ OP 平分∠ MON ）
（3）三角形三个内角平分线的性质：三角形三条内角平分线交于一点，且这一点到三角形三边的距离相等。 2
3. 角平分线性质及判定的应用
① 为推导线段相等、角相等提供依据和思路；
② 实际生活中的应用.
例：一个工厂，在公路西侧，到公路的距离与到河岸的距离相等，并且到河上公路桥头的距离为 300米•在
F图中标出工厂的位置，并说明理由.
【例题讲解】
1.在厶 ABC中，AC⊥ Bq AD为∠ BAC的平分线，DEl AB, AB= 7 cm, AC= 3 cm,求 BE的长。
2 .如图：在△ ABC中，∠ C=90° AD 是∠ BAC的平分线，DEL AB 于 E, F 在 AC上，BD=DF
求证：CF=EB
3.如图，P为∠ AOB内一点，OA=OB ,且△ OPA与厶OPB面积相等，求证∠ AoP= ∠ BOP.
比例尺1 : 20
00
A 3
4.
如图，AB=AC , AD=AE , BD、CE 交于 0,求证 Ao 平分∠ BAC.
【同步练习】
1.在 Rt △ ABC中，BD平分∠ ABC DE⊥ AB于 E,则：
⑴图中相等的线段有哪些？相等的角呢？
⑵哪条线段与 DE相等？为什么？
⑶若 AB= 10 , BC= 8, AC= 6, 求 BE, AE的长和△ AED的周长
2. 已知，如图 DABC中，AB=AC D是BC的中点。求证：D到AB AC的距离相等。
34ABC 中，∠ C=90° , AD 为角平分线，BC=64 , BD : DC=9 : 7,求 D 到 AB 的距离.D 4
4•如图，在 △ ABC中，∠ C=90 ° AC=BC, AD是∠ A是角平分线•求证：AC+CD=AB.
角平分线性质的应用
（一）证明线段相等
例1已知：如图，∠ B=∠ C=90o，DM平分∠ ADC AM平分∠ DAB求证：MB=MC
（二）证明角的平分线
例2已知，如图 AF、CF是DABC的外角 -DAC、— ACE的平分线
求证：点F必在一 B的平分线上。 5
（三）证明角相等
例3.如图，C D是∠ AoB平分线上的点， CE⊥OA于E, CF⊥ OB于 F. 求证：∠ CDE=∠
CDF
第9题图
♦基础知识扫描
1•点O是厶ABC内一点,且点O到三边的距离相等,∠ A=60° ,则∠ BOC的度数为（）
C.点O到CB CD的距离相等 D. ∠ BDA=/ BDC
3. △ ABC中，∠ C=90° ,点OABC三条角平分线的交点
AB=IoCm,BC=8cm,AC=6cm则点 O到三边 AB AC BC的距离为()
A.2cm 2cm 2cm; B. 3cm 3cm 3cm; C. 4cm 4cm 4cm; D. 2cm 3cm 5cm
4. 到一个角的两边距离相等的点在 ； 角平分线上的点到这个角的两边的距离 .
5. 如图2, △ ABC中，∠ B=90° , ∠ A、∠ C的平分线交于点 O,则∠ AOC的度数为
♦能力训练升级
6. 如图3,P是∠ AOB的平分线上的一点,PE丄OA于 E,PF⊥ OB于 F,OP与EF的位置关系是 ________
7. 如图 4,在△ ABC中，∠ C=90 , AC=BC AD平分∠ CAB交 BC于点 D, DE⊥AB 垂足为 E,且 AB=6cm 则厶 DEB
的周长为 cm. A.60 ° B.90 C.120 ° D.150
2.如图 1,AB=AD,CB=CD,AC BD相交于点O,则下列结论正确的是
A. OA=OC B. 点O到AB CD的距离相等
,OD⊥ BC于 D,OE⊥ AC于 E,OF⊥ AB于 F,且 6
7
8
【题型二】边加减类型的全等三角形
【例 5 】如图，已知： AB =DF, AC = DE, BE =CF .求证：AB // DF .
【例 6】如图，已知： AB = CD , AE = DF ,CE = BF .求证：(1) AF= DE ;(2)AE // DF.
【例7】已知：如图, A C、F、D在同一直线上, AF= Dq AB= DE, BC= EF,
求证：△ ABC≤^DEF ∙ BE-EF=CF-EF
∙ BF=CE
在同一条直线上， AB=DF,AC=DE,BE=CF.求证：∠ A=∠
D. 图形2 图形3 图形4
B
C
)•••
BE=CF ••• BE=CF
∙∙∙ BE+EF=CF+EF ∙∙∙ BE-EF=CF-EF ∙ BE+EF=CF+EF
∙ BF=CE ∙
BF=CE ∙ BF=CE
【例4】 已知点B,E,C,F B 图形1
A
F
(4) BE=CF D
E C 9
10
【题型五】旋转类型的全等三角形
图形1 图形2 图形3 图形4
【例 10】已知：如图(1) , AB=AD BC=DE ∠ 1 = ∠ 2.求证：(I)AC=AE; (2) ∠ CAE=∠ CDE.
【例11】已知：如图(2) ,∠ E=∠ F=90°,∠ B=∠ C, AE=AF给出下列结论：①∠ 1 = ∠ 2;②BE=CF③厶CAN≤^
ABM④CD=DN其中正确的结论是 _______________________ .
【例12】如图，已知 AB=AD ∠ B=∠ D,∠仁∠ 2,证明： BC=DE
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【题型六】大山型的全等三角形
(1) ⑵ ⑶ ⑷ ⑸
【例 14】已知：如图， AB⊥ CD,ED⊥BD, AB=CD BC=DE 求证：AC⊥ CE.
同步练习：
1.如图所示，已知 AB=AD,CB =CD，E是AC上一点.求证：∙ AEB =∕AED .
2.已知：如图，AB=DC,AC=DB,BE=CE求 证：AE=DE
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3.如图，在△ ABE中，AB= AE,AD= AC, ∠ BAD=∠ EAC, BC、DE交于点 O. 求证： ⑴ △ ABC^△ AED (2) OB = OE .
4.如图，已知： D=E , DN=CN=EM=AM 求证：点B是线段AC的中点.
5.已知：如图，在△ MPNL H是高MQ¾ NR的交点，且 M= NQ求证：HN= PM
AHC A
E 13
6.已知：如图， AElAB BC⊥AB AE= AB ED= AC 求证：EDLAC
学法提炼：
1三角形全等的证题思路
找夹角T SAS
（1） 已知两边J找直角T HL
找另一边 > SSS
〔边为角的对边T找任意一角T AAS
（2） …、十心 ［找夹角的另一边T SAS
（）已知一边和一角 彳 I
边为角的邻边T《找夹边的另一角T ASA
|找边的对角T AAS
Z 3） 找夹边> ASA
（3） 已知两角
找任意一边T AAS
