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三角形中作辅助线专题三（重点：角平分线）初中几何常见辅助线口诀人说几何很困难，难点就在辅助线。
辅助线，如何添？把握定理和概念。
还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。
三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
线段和差及倍半，延长缩短可试验。
线段和差不等式，移到同一三角去。
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
注意点辅助线，是虚线，画图注意勿改变。
假如图形较分散，对称旋转去实验。
基本作图很关键，平时掌握要熟练。
解题还要多心眼，经常总结方法显。
切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。
分析综合方法选，困难再多也会减。
虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。
一、由角平分线想到的辅助线口诀：图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
（一）、截取构全等几何的证明在于猜想与尝试，但这种尝试与猜想是在一定的规律基本之上的。
如图 1-1 ，∠ AOC=∠ BOC，如取 OE=OF，并连接 DE、 DF，则有△ OED≌△ OFD，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。
E A ADEOD CFB BF C图1-1图 1-2例 1. 如图 1-2 ，AB//CD，BE平分∠ BCD，CE平分∠ BCD，点 E 在 AD上，求证： BC=AB+CD。
分析：此题中就涉及到角平分线，可以利用角平分线来构造全等三角形，即利用解平分线来构造轴对称图形，同时此题也是证明线段的和差倍分问题，在证明线段的和差倍分问题中常用到的方法是延长法或截取法来证明，延长短的线段或在长的线段长截取一部分使之等于短的线段。
但无论延长还是截取都要证明线段的相等，延长要证明延长后的线段与某条线段相等，截取要证明截取后剩下的线段与某条线段相等，进而达到所证明的目的。
全等三角形辅助线系列之一---与角平分线有关的辅助线作法大全本页仅作为文档页封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March全等三角形辅助线系列之一与角平分线有关的辅助线作法大全一、角平分线类辅助线作法角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。
对于有角平分线的辅助线作法，一般有以下四种：1.角平分线上点向角两边作垂线构全等：过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题；2.截取构全等利用对称性，在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形；3.延长垂线段题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交，构成等腰三角形；4.做平行线：以角平分线上一点作教的另一边的平行线，构造等腰三角形有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形。
或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形。
通常情况下，出现了直角或者是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其他情况下考虑构造对称图形。
至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。
图一图二图三 图四典型例题精讲【例1】如图，AD 是BAC ∠的平分线，DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，且DB DC =。
求证：BE CF =【例2】已知等腰ABC ∆，100A ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于D ，求证：BD AD BC +=．【例3】在梯形ABCD 中，AD BC ∥， DB 是ABC ∠的平分线，求证：AD AB =。
DCBA AB CDF CDABE 第6题图【例4】如图，180A D ∠+∠=︒，BE 平分ABC ∠，CE 平分BCD ∠，点E 在AD 上．a) 探讨线段AB 、CD 和BC 之间的等量关系． b) 探讨线段BE 与CE 之间的位置关系．【例5】 如图，在△ABC 中，∠B ＝60°，∠A 、∠C 的角平分线AE 、CF 相交于O ．求证：OE ＝OF ．【例6】如图1，OP 是MON ∠的平分线，请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形。
中考全等三角形专题种辅助线的作法Love and liking, January 6, 2019全等三角形问题中常见的辅助线的作法三角形辅助线做法图中有角平分线;可向两边作垂线.. 也可将图对折看;对称以后关系现..角平分线平行线;等腰三角形来添.. 角平分线加垂线;三线合一试试看..线段垂直平分线;常向两端把线连.. 要证线段倍与半;延长缩短可试验..三角形中两中点;连接则成中位线.. 三角形中有中线;延长中线等中线..1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形;可作底边上的高;利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线;使延长线段与原中线长相等;构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长;6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度;可以从角一边上一点向角的另一边作垂线;目的是构成30-60-90的特殊直角三角形;然后计算边的长度与角的度数;这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角..从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件..8.计算数值法：遇到等腰直角三角形;正方形时;或30-60-90的特殊直角三角形;或40-60-80的特殊直角三角形;常计算边的长度与角的度数;这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角;从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件..常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形;构造二条边之间的相等;二个角之间的相等..1)遇到等腰三角形;可作底边上的高;利用“三线合一”的性质解题;思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形．2)遇到三角形的中线;倍长中线;使延长线段与原中线长相等;构造全等三角形;利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形．DCBA EDF CBA3) 遇到角平分线在三种添辅助线的方法;1可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线;利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”;所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．2可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交;形成一对全等三角形..3可以在该角的两边上;距离角的顶点相等长度的位置上截取二点;然后从这两点再向角平分线上的某点作边线;构造一对全等三角形..4) 过图形上某一点作特定的平分线;构造全等三角形;利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5) 截长法与补短法;具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等;或是将某条线段延长;是之与特定线段相等;再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法;适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．6) 已知某线段的垂直平分线;那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线;出一对全等三角形..特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时;常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来;利用三角形面积的知识解答． 一、倍长中线线段造全等例1、已知;如图△ABC 中;AB=5;AC=3;则中线AD 的取值范围是_________.例2、如图;△ABC 中;E 、F 分别在AB 、AC 上;DE ⊥DF;D 是中点;试比较BE+CF 与EF 的大小.例3、如图;△ABC 中;BD=DC=AC;E 是DC 的中点;求证：AD 平分∠BAE. 应用：1、以ABC ∆的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰Rt ABD ∆和等腰Rt ACE ∆;90,BAD CAE ∠=∠=︒连接DE ;M 、N 分别是BC 、DE 的中点．探究：AM 与DE 的位置关系及数量关系．1如图① 当ABC ∆为直角三角形时;AM 与DE 的位置关系是 ; 线段AM 与DE 的数量关系是 ；2将图①中的等腰Rt ABD ∆绕点A 沿逆时针方向旋转︒θ0<θ<90后;如图②所示;1问中得到的两个结论是否发生改变 并说明理由． 二、截长补短EDCBADCBAOECB1、如图;ABC ∆中;AB=2AC;AD 平分BAC ∠;且AD=BD;求证：CD ⊥AC2、如图;AD ∥BC;EA;EB 分别平分∠DAB;∠CBA;CD 过点E;求证;AB ＝AD+BC..3、如图;已知在ABC 内;060BAC ∠=;040C ∠=;P;Q 分别在BC;CA 上;并且AP;BQ 分别是BAC ∠;ABC ∠的角平分线..求证：BQ+AQ=AB+BP4、如图;在四边形ABCD 中;BC ＞BA;AD ＝CD;BD 平分ABC ∠; 求证： 0180=∠+∠C A5、如图在△ABC 中;AB ＞AC;∠1＝∠2;P 为AD 上任意一点;求证;AB-AC ＞PB-PC应用： 三、平移变换例1 AD 为△ABC 的角平分线;直线MN ⊥AD 于A.E 为MN 上一点;△ABC 周长记为A P ;△EBC 周长记为B P .求证B P ＞A P .例2 如图;在△ABC 的边上取两点D 、E;且BD=CE;求证：AB+AC>AD+AE.四、借助角平分线造全等1、如图;已知在△ABC 中;∠B=60°;△ABC 的角平分线AD;CE 相交于点O;求证：OE=OD2、如图;△ABC 中;AD 平分∠BAC;DG ⊥BC 且平分BC;DE ⊥AB E;DF ⊥AC 于F.1说明BE=CF 的理由；2如果AB=a ;AC=b ;求AE 、BE 的长. 应用：1、如图①;OP 是∠MON 的平分线;请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形..请你参考这个作全等三角形的方法;解答下列问题：1如图②;在△ABC 中;∠ACB 是直角;∠B =60°;AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线;AD 、CE 相交于点F ..请你判断并写出FE 与FD 之间的数量关系； 2如图③;在△ABC 中;如果∠ACB 不是直角;而1中的其它条件不变;请问;你在1中所得结论是否仍然成立 若成立;请证明；若不成立;请说明理由..五、旋转例1 正方形ABCD 中;E 为BC 上的一点;F 为CD 上的一点;BE+DF=EF;求∠EAF 的度数.第23题图O P AMNE B CDF ACE F BD 图①图② 图③ADCB A例2 D 为等腰Rt ABC ∆斜边AB 的中点;DM ⊥DN;DM;DN 分别交BC;CA 于点E;F..（1） 当MDN ∠绕点D 转动时;求证DE=DF..（2） 若AB=2;求四边形DECF 的面积..例3 如图;ABC ∆是边长为3的等边三角形;BDC ∆0120BDC ∠=;以D 为顶点做一个060角;使其两边分别交AB 于点M;交AC 于点N;连接MN;则AMN ∆的周长为 ； 应用：1、已知四边形ABCD中;AB AD ⊥;BC CD ⊥;AB BC =;120ABC =∠;60MBN =∠;MBN ∠绕B 点旋转;它的两边分别交AD DC ，或它们的延长线于E F ，．当MBN ∠绕B 点旋转到AE CF =时如图1;易证AE CF EF +=．当MBN ∠绕B 点旋转到AE CF ≠时;在图2和图3这两种情况下;上述结论是否成立 若成立;请给予证明；若不成立;线段AE CF ，;EF 又有怎样的数量关系 请写出你的猜想;不需证明．2、以AB 为一边作正方形ABCD;使P 、D 两点落在直线AB 的两侧.1;求AB 及PD 的长;2且其它条件不变时;求PD 的最大值;及相应∠APB 的大小.3AB 、AC 所在直线上分别有两点M 、N;D 为ABC 外一点;且︒=∠60MDN ;︒=∠120BDC ;BD=DC. 探究：当M 、N 分别在直线AB 、AC 上移动时;BM 、NC 、MN 之间的数量关系及AMN ∆的周长Q 与等边ABC ∆的周长L 的关系． 图1 图2 图3I 如图1;当点M 、N 边AB 、AC 上;且DM=DN 时;BM 、NC 、MN 之间的数量关系是 ； 此时=LQ；II 如图2;点M 、N 边AB 、AC 上;且当DM ≠DN 时;猜想I 问的两个结论还成立吗写出你的猜想并加以证明；III 如图3;当M 、N 分别在边AB 、CA 的延长线上时; 若AN=x ;则Q= 用x 、L 表示． 参考答案与提示 一、倍长中线线段造全等例1、“希望杯”试题已知;如图△ABC 中;AB=5;AC=3;则中线AD 的取值范围是_________.解：延长AD 至E 使AE ＝2AD;连BE;由三角形性质知 AB-BE <2AD<AB+BE 故AD 的取值范围是1<AD<4图1 图2 图3EDF CBA例2、如图;△ABC 中;E 、F 分别在AB 、AC 上;DE ⊥DF;D 是中点;试比较BE+CF 与EF 的大小.解：倍长中线;等腰三角形“三线合一”法延长FD 至G 使FG ＝2EF;连BG;EG; 显然BG ＝FC;在△EFG 中;注意到DE ⊥DF;由等腰三角形的三线合一知 EG ＝EF在△BEG 中;由三角形性质知 EG<BG+BE 故：EF<BE+FC例3、如图;△ABC 中;BD=DC=AC;E 是DC 的中点;求证：AD 平分∠BAE. 解：延长AE 至G 使AG ＝2AE;连BG;DG; 显然DG ＝AC; ∠GDC=∠ACD 由于DC=AC;故 ∠ADC=∠DAC 在△ADB 与△ADG 中; BD ＝AC=DG;AD ＝AD;∠ADB=∠ADC+∠ACD=∠ADC+∠GDC ＝∠ADG故△ADB ≌△ADG;故有∠BAD=∠DAG;即AD 平分∠BAE 应用：等腰Rt ABD ∆和等腰1、09崇文二模以的两边AB 、AC 为腰分别向外作Rt ACE ∆;90,BAD CAE ∠=∠=︒连接DE ;M 、N 分别是BC 、DE 的中点．探究：AM 与DE 的位置关系及数量关系．1如图① 当ABC ∆为直角三角形时;AM 与DE 的位置关系是 ; 线段AM 与DE 的数量关系是 ；2将图①中的等腰Rt ABD ∆绕点A 沿逆时针方向旋转︒θ0<θ<90后;如图②所示;1问中得到的两个结论是否发生改变 并说明理由．ABC ∆再证：ABG DAE ∆≅∆∴AM DE 2=;EDA BAG ∠=∠ 延长MN 交DE 于H ∵︒=∠=∠90DAH BAG ∴︒=∠+∠90DAH HDA ∴ED AM ⊥2结论仍然成立．证明：如图;延长CA 至F;使FA AC =;FA 交DE 于点P ;并连接BF ∵BA DA ⊥;AF EA ⊥∴EAD DAF BAF ∠=∠+︒=∠90 ∵在FAB ∆和EAD ∆中∴EAD FAB ∆≅∆SAS ∴DE BF =;AEN F ∠=∠ ∴︒=∠+∠=∠+∠90AEN APE F FPD∴DE FB ⊥又∵AF CA =;MB CM = ∴FB AM //;且FB AM 21= ∴DE AM ⊥;DE AM 21= 二、截长补短1、如图;ABC ∆中;AB=2AC;AD 平分BAC ∠;且AD=BD;求证：CD ⊥AC 解：截长法在AB 上取中点F;连FD△ADB 是等腰三角形;F 是底AB 中点;由三线合一知 DF ⊥AB;故∠AFD ＝90° △ADF ≌△ADCSAS∠ACD ＝∠AFD ＝90°即：CD ⊥AC2、如图;AD ∥BC;EA;EB 分别平分∠DAB;∠CBA;CD 过点E;求证;AB ＝AD+BC解：截长法在AB 上取点F;使AF ＝AD;连FE △ADE ≌△AFESAS ∠ADE ＝∠AFE; ∠ADE+∠BCE ＝180° ∠AFE+∠BFE ＝180° 故∠ECB ＝∠EFB △FBE ≌△CBEAAS 故有BF ＝BCF CPA B DMNECCBA从而;AB ＝AD+BC3、如图;已知在△ABC 内;060BAC ∠=;040C ∠=;P;Q 分别在BC;CA 上;并且AP;BQ 分别是BAC ∠;ABC ∠的角平分线..求证：BQ+AQ=AB+BP 解：补短法; 计算数值法延长AB 至D;使BD ＝BP;连DP 在等腰△BPD 中;可得∠BDP ＝40° 从而∠BDP ＝40°＝∠ACP △ADP ≌△ACPASA 故AD ＝AC又∠QBC ＝40°＝∠QCB 故 BQ ＝QC BD ＝BP从而BQ+AQ=AB+BP4、如图;在四边形ABCD 中;BC ＞BA;AD ＝CD;BD 平分ABC ∠; 求证： 0180=∠+∠C A解：补短法延长BA 至F;使BF ＝BC;连FD △BDF ≌△BDCSAS故∠DFB ＝∠DCB ;FD ＝DC 又AD ＝CD故在等腰△BFD 中 ∠DFB ＝∠DAF故有∠BAD+∠BCD ＝180°5、如图在△ABC 中;AB ＞AC;∠1＝∠2;P 为AD 上任意一点;求证;AB-AC ＞PB-PC解：补短法延长AC 至F;使AF ＝AB;连PD △ABP ≌△AFPSAS 故BP ＝PF 由三角形性质知PB －PC ＝PF －PC < CF ＝AF －AC ＝AB －AC 应用：分析：此题连接AC ;把梯形的问题转化成等边三角形的问题;然后利用已知条件和等边三角形的性质通过证明三角形全等解决它们的问题.. DEA∴FEC AED ∠=∠ 在ADE ∆与FCE ∆中CFE EAD ∠=∠;EF AE =;FEC AED ∠=∠∴FCE ADE ∆≅∆ ∴FC AD =∴AE AD BC +=点评：此题的解法比较新颖;把梯形的问题转化成等边三角形的问题;然后利用全等三角形的性质解决.. 三、平移变换例1 AD 为△ABC 的角平分线;直线MN ⊥AD 于A.E 为MN 上一点;△ABC 周长记为A P ;△EBC 周长记为B P .求证B P ＞A P .解：镜面反射法延长BA 至F;使AF ＝AC;连FE AD 为△ABC 的角平分线; MN ⊥AD 知∠FAE ＝∠CAE 故有△FAE ≌△CAESAS 故EF ＝CE在△BEF 中有： BE+EF>BF=BA+AF=BA+AC 从而P B =BE+CE+BC>BF+BC=BA+AC+BC=P A例2 如图;在△ABC 的边上取两点D 、E;且BD=CE;求证：AB+AC>AD+AE. 证明：取BC 中点M;连AM 并延长至N;使MN=AM;连BN;DN.∵BD=CE; ∴DM=EM;∴△DMN ≌△EMASAS; ∴DN=AE; 同理BN=CA.CBA延长ND 交AB 于P;则BN+BP>PN;DP+PA>AD; 相加得BN+BP+DP+PA>PN+AD; 各减去DP;得BN+AB>DN+AD; ∴AB+AC>AD+AE.. 四、借助角平分线造全等1、如图;已知在△ABC 中;∠B=60°;△ABC 的角平分线AD;CE 相交于点O;求证：OE=OD;DC+AE =AC证明 角平分线在三种添辅助线;计算数值法∠B=60度; 则∠BAC+∠BCA=120度; AD;CE 均为角平分线;则∠OAC+∠OCA=60度=∠AOE=∠COD; ∠AOC=120度.在AC 上截取线段AF=AE;连接OF. 又AO=AO;∠OAE=∠OAF .则⊿OAE ≌ΔOAFSAS; OE=OF;AE=AF;∠AOF=∠AOE=60度.则∠COF=∠AOC-∠AOF=60度=∠COD; 又CO=CO;∠OCD=∠OCF. 故⊿OCD ≌ΔOCFSAS; OD=OF;CD=CF. OE=ODDC+AE=CF+AF=AC.2、如图;△ABC 中;AD 平分∠BAC;DG ⊥BC 且平分BC;DE ⊥AB 于E;DF ⊥AC 于F. 1说明BE=CF 的理由；2如果AB=a ;AC=b ;求AE 、BE 的长. 解：垂直平分线联结线段两端连接BD;DC DG 垂直平分BC;故BD ＝DC由于AD 平分∠BAC; DE ⊥AB 于E;DF ⊥AC 于F;故有 ED ＝DF故RT △DBE ≌RT △DFCHL 故有BE ＝CF.. AB+AC ＝2AE AE ＝a+b/2 BE=a-b/2 应用：EDGFC BAFED CBA1、如图①;OP 是∠MON 的平分线;请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形..请你参考这个作全等三角形的方法;解答下列问题：1如图②;在△ABC 中;∠ACB 是直角;∠B =60°;AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线;AD 、CE 相交于点F ..请你判断并写出FE 与FD 之间的数量关系； 2如图③;在△ABC 中;如果∠ACB 不是直角;而1中的其它条件不变;请问;你在1中所得结论是否仍然成立 若成立;请证明；若不成立;请说明理由..解：1FE 与FD 之间的数量关系为FD FE =2答：1中的结论FD FE =仍然成立..证法一：如图1;在AC 上截取AE AG =;连结FG ∵21∠=∠;AF 为公共边;∴AGF AEF ∆≅∆ ∴AFG AFE ∠=∠;FG FE = ∵︒=∠60B ;AD 、CE 分别是BAC ∠、BCA ∠的平分线 ∴︒=∠+∠6032∴︒=∠=∠=∠60AFG CFD AFE∴︒=∠60CFG ∵43∠=∠及FC 为公共边 ∴CFD CFG ∆≅∆ ∴FD FG =∴FD FE =证法二：如图2;过点F 分别作AB FG ⊥于点G ;BC FH ⊥于点H ∵︒=∠60B ;AD 、CE 分别是BAC ∠、BCA ∠的平分线 ∴可得︒=∠+∠6032;F 是ABC ∆的内心 ∴160∠+︒=∠GEF ;FG FH = 又∵1∠+∠=∠B HDF ∴HDF GEF ∠=∠∴可证DHF EGF ∆≅∆ ∴FD FE = 五、旋转例1 正方形ABCD 中;E 为BC 上的一点;F 为CD 上的一点;BE+DF=EF;求∠EAF 的度数.ABG证明：将三角形ADF 绕点A 顺时针旋转90度;至三角形则GE=GB+BE=DF+BE=EF 又AE=AE;AF=AG;所以三角形AEF 全等于AEG所以∠EAF=∠GAE=∠BAE+∠GAB=∠BAE+∠DAF 又∠EAF+∠BAE+∠DAF=90 所以∠EAF=45度第23题图OP AMN EB C DF A CE F BD 图①图② 图③图 1图 2例2 D 为等腰Rt ABC ∆斜边AB 的中点;DM ⊥DN;DM;DN 分别交BC;CA 于点E;F.. 1当MDN ∠绕点D 转动时;求证DE=DF.. 2若AB=2;求四边形DECF 的面积..解：计算数值法1连接DC;D 为等腰Rt ABC ∆斜边AB 的中点;故有CD ⊥AB;CD ＝DA CD 平分∠BCA ＝90°;∠E CD ＝∠DCA ＝45° 由于DM ⊥DN;有∠EDN ＝90° 由于 CD ⊥AB;有∠CD A ＝90° 从而∠CDE ＝∠FD A ＝ 故有△CDE ≌△ADFASA 故有DE=DF 2S △ABC =2; S四DECF= S △ACD =1例3 如图;ABC ∆是边长为3的等边三角形;BDC ∆是等腰三角形;且0120BDC ∠=;以D 为顶点做一个060角;使其两边分别交AB 于点M;交AC 于点N;连接MN;则AMN ∆的周长为 ；解：图形补全法; “截长法”或“补短法”; 计算数值法 AC 的延长线与BD 的延长线交于点F;在线段CF 上取点E;使CE ＝BM∵△ABC 为等边三角形;△BCD 为等腰三角形;且∠BDC=120°; ∴∠MBD=∠MBC+∠DBC=60°+30°=90°; ∠DCE=180°-∠ACD=180°-∠ABD=90°; 又∵BM=CE;BD=CD; ∴△CDE ≌△BDM; ∴∠CDE=∠BDM;DE=DM;∠NDE=∠NDC+∠CDE=∠NDC+∠BDM=∠BDC-∠MDN=120°-60°=60°; ∵在△DMN 和△DEN 中; DM=DE∠MDN=∠EDN=60° DN=DN ∴△DMN ≌△DEN; ∴MN=NE∵在△DMA 和△DEF 中;DM=DE∠MDA=60°- ∠MDB=60°- ∠CDE=∠EDF ∠CDE=∠BDM ∠DAM=∠DFE=30° ∴△DMN ≌△DEN AAS; ∴MA=FEAMN ∆的周长为AN+MN+AM=AN+NE+EF=AF=6 应用：1、已知四边形ABCD中;AB AD ⊥;BC CD ⊥;AB BC =;120ABC =∠;60MBN =∠;MBN ∠绕B 点旋转;它的两边分别交AD DC ，或它们的延长线于E F ，．当MBN ∠绕B 点旋转到AE CF =时如图1;易证AE CF EF +=．当MBN ∠绕B 点旋转到AE CF ≠时;在图2和图3这两种情况下;上述结论是否成立 若成立;请给予证明；若不成立;线段AE CF ，;EF 又有怎样的数量关系 请写出你的猜想;不需证明．解：1∵AD AB ⊥;CD BC ⊥;BC AB =;CF AE = ∴CBF ABE ∆≅∆SAS ； ∴CBF ABE ∠=∠;BF BE = ∵︒=∠120ABC ;︒=∠60MBN∴︒=∠=∠30CBF ABE ;BEF ∆为等边三角形∴BF EF BE ==;BE AE CF 21==∴EF BE CF AE ==+ 2图2成立;图3不成立..证明图2;延长DC 至点K ;使AE CK =;连接BK 则BCK BAE ∆≅∆ ∴BK BE =;KBC ABE ∠=∠ ∵︒=∠60FBE ;︒=∠120ABC ∴︒=∠+∠60ABE FBC∴︒=∠+∠60KBC FBC∴︒=∠=∠60FBE KBF∴EBF KBF ∆≅∆ ∴EF KF =∴EF CF KC =+ 即EF CF AE =+图3不成立;AE 、CF 、EF 的关系是EF CF AE =-2、西城09年一模已知以AB 为一边作正方形ABCD;使P 、D 两点落在直线AB 的两侧.1如图;当∠APB=45°时;求AB 及PD 的长;图1 图2图3K A B C D E F M N图 22当∠APB 变化;且其它条件不变时;求PD 的最大值;及相应∠APB 的大小.分析：1作辅助线;过点A 作PB AE ⊥于点E ;在PAE Rt ∆中;已知APE ∠;AP 的值;根据三角函数可将AE ;PE 的值求出;由PB 的值;可求BE 的值;在ABE Rt ∆中;根据勾股定理可将AB 的值求出；求PD 的值有两种解法;解法一：可将PAD ∆绕点A 顺时针旋转︒90得到AB P '∆;可得AB P PAD '∆≅∆;求PD 长即为求B P '的长;在P AP Rt '∆中;可将P P '的值求出;在B P P Rt '∆中;根据勾股定理可将B P '的值求出；解法二：过点P 作AB 的平行线;与DA 的延长线交于F ;交PB 于G ;在AEG Rt ∆中;可求出AG ;EG 的长;进而可知PG 的值;在PFG Rt ∆中;可求出PF ;在PDF Rt ∆中;根据勾股定理可将PD 的值求出；2将PAD ∆绕点A 顺时针旋转︒90;得到AB P '∆;PD 的最大值即为B P '的最大值;故当P '、P 、B 三点共线时;B P '取得最大值;根据PB P P B P +'='可求B P '的最大值;此时︒='∠-︒=∠135180P AP APB ．解：1①如图;作PB AE ⊥于点E ∵PAE Rt ∆中;︒=∠45APB ;2=PA ∴()1222===PE AE∵4=PB∴3=-=PE PB BE在ABE Rt ∆中;︒=∠90AEB ∴1022=+=BE AE AB②解法一：如图;因为四边形ABCD 为正方形;可将将PAD ∆绕点A 顺时针旋转︒90得到AB P '∆;;可得AB P PAD '∆≅∆;B P PD '=;A P PA '=∴︒='∠90P PA ;︒='∠45P AP ;︒='∠90PB P ∴2='P P ;2=PA∴52422222=+=+'='=PB P P B P PD ；解法二：如图;过点P 作AB 的平行线;与DA 的延长线交于F ;设DA 的延长线交PB 于G ．在AEG Rt ∆中;可得310cos cos =∠=∠=ABE AE EAG AE AG ;31=EG ;32=-=EG PE PG 在PFG Rt ∆中;可得510cos cos =∠=∠=ABE PG FPG PG PF ;1510=FG 在PDF Rt ∆中;可得2如图所示;将PAD ∆绕点A 顺时针旋转︒90;得到AB P '∆;PD 的最大值;即为B P '的最大值 ∵B P P '∆中;PB P P B P +'' ;22=='PA P P ;4=PB 且P 、D 两点落在直线AB 的两侧EPADCBP ′PA CBDEGFP ACBD EP ′PACBDP ′PACBD∴当P '、P 、B 三点共线时;B P '取得最大值如图此时即B P '的最6=+'='PB P P B P ;大值为6 此时︒='∠-︒=∠135180P AP APB3、在等边ABC ∆的两边AB 、AC 所在直线上分别有两点M 、N;D 为ABC 外一点;且︒=∠60MDN ;︒=∠120BDC ;BD=DC. 探究：当M 、N 分别在直线AB 、AC 上移动时;BM 、NC 、MN 之间的数量关系及AMN ∆的周长Q 与等边ABC ∆的周长L 的关系．图1 图2 图3I 如图1;当点M 、N 边AB 、AC 上;且DM=DN 时;BM 、NC 、MN 之间的数量关系是 ； 此时=LQ；II 如图2;点M 、N 边AB 、AC 上;且当DM ≠DN 时;猜想I 问的两个结论还成立吗写出你的猜想并加以证明；III 如图3;当M 、N 分别在边AB 、CA 的延长线上时; 若AN=x ;则Q= 用x 、L 表示．分析：1如果DN DM =;DNM DMN ∠=∠;因为DC BD =;那么︒=∠=∠30DCB DBC ;也就有︒=︒+︒=∠=∠903060NCD MBD ;直角三角形MBD 、NCD 中;因为DC BD =;DN DM =;根据HL 定理;两三角形全等..那么NC BM =;︒=∠=∠60DNC BMD ;三角形NCD中;︒=∠30NDC ;NC DN 2=;在三角形DNM 中;DN DM =;︒=∠60MDN ;因此三角形DMN 是个等边三角形;因此BM NC NC DN MN +===2;三角形AMN 的周长=++=MN AN AM QAB AC AB NC MB AN AM 2=+=+++;三角形ABC 的周长AB L 3=;因此3:2:=L Q ．2如果DN DM ≠;我们可通过构建全等三角形来实现线段的转换..延长AC 至E ;使BM CE =;连接DE ．1中我们已经得出;︒=∠=∠90NCD MBD ;那么三角形MBD 和ECD 中;有了一组直角;CE MB =;DC BD =;因此两三角形全等;那么DE DM =;CDE BDM ∠=∠;︒=∠-∠=∠60MDN BDC EDN ．三角形MDN 和EDN 中;有DE DM =;︒=∠=∠60MDN EDN ;有一条公共边;因此两三角形全等;NE MN =;至此我们把BM 转换成了CE ;把MN 转换成了NE ;因为CE CN NE +=;因此CN BM MN +=．Q 与L 的关系的求法同1;得出的结果是一样的..3我们可通过构建全等三角形来实现线段的转换;思路同2过D 作MDB CDH ∠=∠;三角形BDM 和CDH 中;由1中已经得出的︒=∠=∠90MB DCH ;我们做的角CDH BDM ∠=∠;CD BD =;因此两三角形全等ASA ．那么CH BM =;DH DM =;三角形MDN 和NDH 中;已知的条件有DH MD =;一条公共边ND ;要想证得两三角形全等就需图 1N M AD CB要知道HDN MDN ∠=∠;因为MDB CDH ∠=∠;因此︒=∠=∠120BDC MDH ;因为︒=∠60MDN ;那么︒-︒=∠60120NDH︒=60;因此NDH MDN ∠=∠;这样就构成了两三角形全等的条件．三角形MDN 和DNH 就全等了．那么BM AC AN NH NM -+==;三角形AMN 的周长+++=++=BM AB AN MN AM AN QAB AN BM AC AN 22+=-+．因为x AN =;L AB 31=;因此三角形AMN 的周长L x Q 322+=． 解：1如图1;BM 、NC 、MN 之间的数量关系：MN NC BM =+；此时32=L Q ． 2猜想：结论仍然成立．证明：如图2;延长AC 至E ;使BM CE =;连接DE ∵CD BD =;且︒=∠120BDC ∴︒=∠=∠30DCB DBC 又ABC ∆是等边三角形∴︒=∠=∠90NCD MBD在MBD ∆与ECD ∆中 ∴ECD MBD ∆≅∆SAS∴DE DM =;CDE BDM ∠=∠∴︒=∠-∠=∠60MDN BDC EDN 在MDN ∆与EDN ∆中 ∴EDN MDN ∆≅∆SAS ∴BM NC NE MN +==故AMN ∆的周长=++=MN AN AM Q ()()AB AC AB NC AN BM AM 2=+=+++而等边ABC ∆的周长AB L 3= ∴3232==AB AB L Q 3如图3;当M 、N 分别在AB 、CA 的延长线上时;若x AN =;则L x Q 322+=用x 、L 表示．点评：本题考查了三角形全等的判定及性质；题目中线段的转换都是根据全等三角形来实现的;当题中没有明显的全等三角形时;我们要根据条件通过作辅助线来构建于已知和所求条件相关的全等三角形..E 图 2 N MA CB H 图 3NMAD CB。
全等三角形辅助线系列之一 与角平分线有关的辅助线作法大全一、角平分线类辅助线作法角平分线具有两条性质：a 、对称性；b 、角平分线上的点到角两边的距离相等．对于有角平分线的辅助线的作法，一般有以下四种．1、角分线上点向角两边作垂线构全等：过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题； 2、截取构全等利用对称性，在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形； 3、延长垂线段题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交，构成等腰三角形； 4、做平行线：以角分线上一点做角的另一边的平行线，构造等腰三角形有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形．或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形．通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形．至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件．图四图三图二图一QPONMPONM BAAB MNOP PONM BA典型例题精讲【例1】 如图所示，BN 平分∠ABC ，P 为BN 上的一点，并且PD ⊥BC 于D ，2AB BC BD =＋．求证：180BAP BCP ∠∠=︒＋．【解析】过点P 作PE ⊥AB 于点E ．∵PE ⊥AB ，PD ⊥BC ，BN 平分∠ABC ，∴PE PD =． 在Rt △PBE 和Rt △PBC 中， BP BPPE PD =⎧⎨=⎩， ∴Rt △PBE ≌Rt △PBC （HL ），∴BE BD =．∵2AB BC BD +=，BC CD BD =+，AB BE AE =-，∴AE CD =． ∵PE ⊥AB ，PD ⊥BC ，∴90PEB PDB ∠=∠=︒． 在△P AE 和Rt △PCD 中， ∵PE PD PEB PDC AE DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△P AE ≌Rt △PCD ，∴PCB EAP ∠=∠．∵180BAP EAP ∠+∠=︒，∴180BAP BCP ∠+∠=︒．【答案】见解析．【例2】 如图，已知：90A ∠=︒，AD ∥BC ，P 是AB 的中点，PD 平分∠ADC ，求证：CP 平分∠DCB ．【解析】因为已知PD 平分∠ADC ，所以我们过P 点作PE ⊥CD ，垂足为E ，则PA PE =，由P 是AB的中点，得PB PE =，即CP 平分∠DCB ．【答案】作PE ⊥CD ，垂足为E ，∴90PEC A ∠=∠=︒，∵PD 平分∠ADC ，∴PA PE =， 又∵90B PEC ∠=∠=︒，∴PB PE =， ∴点P 在∠DCB 的平分线上， ∴CP 平分∠DCB ．【例3】 已知：90AOB ∠=︒，OM 是∠AOB 的平分线，将三角板的直角顶点P 在射线OM 上滑动，两直角边分别与OA 、OB 交于C 、D ．（1）PC 和PD 有怎样的数量关系是__________． （2）请你证明（1）得出的结论．PDCBA A BCDPE【解析】（1）PC PD =．（2）过P 分别作PE ⊥OB 于E ，PF ⊥OA 于F ， ∴90CFP DEP ∠=∠=︒，∵OM 是∠AOB 的平分线，∴PE PF =，∵190FPD ∠+∠=︒，且90AOB ∠=︒，∴90FPE ∠=︒， ∴290FPD ∠+∠=︒，∴12∠=∠， 在△CFP 和△DEP 中12CPF DEPPF PE∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△CFP ≌△DEP ，∴PC PD =． 【答案】见解析．【例4】 如图①，OP 是∠MON 的平分线，请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形．请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图②，在△ABC 中，∠ACB 是直角，60B ∠=︒，AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线，AD 、CE 相交于点F ，请你判断并写出FE 与FD 之间的数量关系（不需证明）； （2）如图③，在△ABC 中，60B ∠=︒，请问，在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．【解析】如图①所示；（1）FE FD =．（2）如图，过点F 作FG ⊥AB 于G ，作FH ⊥BC 于H ，作FK ⊥AC 于K ， ∵AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线，∴FG FH FK ==， 在四边形BGFH 中，36060902120GFH ∠=︒-︒-︒⨯=︒， ∵AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线，60B ∠=︒， ∴()118060602FAC FCA ∠+∠=︒-︒=︒． 在△AFC 中， ()180********AFC FAC FCA ∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒， ∴120EFD AFC ∠=∠=︒，∴EFG DFH ∠=∠， 在△EFG 和△DFH 中，EFG DFH EGF DHF FG FH ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EFG ≌△DFH ，∴FE FD = 【答案】见解析．【例5】 已知120MAN ∠=︒，AC 平分∠MAN ，点B 、D 分别在AN 、AM 上．（1）如图1，若90ABC ADC ∠=∠=︒，请你探索线段AD 、AB 、AC 之间的数量关系，并证明之；（2）如图2，若180ABC ADC ∠+∠=︒，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．【解析】（1）得到30ACD ACB ∠=∠=︒后再可以证得12AD AB AC ==，从而，证得结论； （2）过点C 分别作AM 、AN 的垂线，垂足分别为E 、F ，证得△CED ≌△CFB后即可得到AD AB AE ED AF FB AE AF +=-++=+，从而证得结论．【答案】（1）关系是：AD AB AC +=．证明：∵AC 平分∠MAN ，120MAN ∠=︒ ∴60CAD CAB ∠=∠=︒ 又90ADC ABC ∠=∠=︒， ∴30ACD ACB ∠=∠=︒ 则12AD AB AC ==（直角三角形一锐角为30°，则它所对直角边为斜边一半） ∴AD AB AC +=； （2）仍成立．证明：过点C 分别作AM 、AN 的垂线，垂足分别为E 、F ∵AC 平分∠MAN∴CE CF =（角平分线上点到角两边距离相等） ∵180ABC ADC ∠+∠=︒，180ADC CDE ∠+∠=︒ ∴CDE ABC ∠=∠ 又90CED CFB ∠=∠=︒， ∴△CED ≌△CFB （AAS ） ∵ED FB =，∴AD AB AE ED AF FB AE AF +=-++=+ 由（1）知AE AF AC +=， ∴AD AB AC +=．【例6】 如图，在△ABC 中，2C B ∠=∠，AD 平分∠BAC ，求证：AB AC CD -=．【解析】在AB 上截取点E ，使得AE AC =．∵AD 平分∠BAC ，∴EAD CAD ∠=∠，∴△ADE ≌△ADC （SAS ）．∴AED C ∠=∠，ED CD =． ∵2C B ∠=∠，∴=2AED B ∠∠．∵AED B EDB ∠=∠+∠，∴B EDB ∠=∠，∴BE DE =． ∴CD BE AB AE AB AC ==-=-．【答案】见解析．【例7】 如图，△ABC 中，AB AC =，108A ∠=︒，BD 平分ABC ∠交AC 于D 点．求证：BC AC CD =+．【解析】在BC 上截取E 点使BE BA =，连结DE ．∵BD 平分ABC ∠，∴ABD EBD ∠=∠． 在ABD ∆与EBD ∆中∵AB EB =，ABD EBD ∠=∠，BD BD = ∴ABD EBD ∆∆≌，∴A DEB ∠=∠∵AB AE =， ∴BAD BED ∠=∠，∴72DEC ∠=︒． 又∵361854ADB ∠=︒+︒=︒，∴72CDE ∠=︒ABCDE DCBAAB CD∴CDE DEC ∠=∠，∴CD CE = ∵BC BE EC =+，∴BC AC CD =+【答案】见解析．【例8】 已知ABC ∆中，60A ∠=︒，BD 、CE 分别平分ABC ∠和ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．【解析】在BC 上截取一点F 使得BF BE =，易证BOE BOF ∆∆≌，在根据120BOC ∠=︒推出60BOE COF ∠=∠=︒，再证明OCF OCD ∆∆≌即可．【答案】BC BE CD =+．【例9】 如图：已知AD 为△ABC 的中线，且12∠=∠，34∠=∠，求证：BE CF EF +>．【解析】在DA 上截取DN DB =，连接NE ，NF ，则DN DC =，在△DBE 和△DNE 中：E DCB AOED CBAFOED CBA∵12DN DB ED ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DBE ≌△DNE （SAS ），∴BE NE = 同理可得：CF NF =在△EFN 中，EN FN EF +>（三角形两边之和大于第三边） ∴BE CF EF +>．【答案】见解析．【例10】 已知：在四边形ABCD 中，BC BA >，180A C ∠+∠=︒，且60C ∠=︒，BD 平分∠ABC ，求证：BC AB DC =+．【解析】在BC 上截取BE BA =，∵BD 平分∠ABC ，∴ABD EBD ∠=∠， 在△BAD 和△BED 中， BA BE ABD EBD BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BAD ≌△BED ，∴AD DE =，A BED ∠=∠． ∵180BED DEC ∠+∠=︒，180A C ∠+∠=︒． ∴C DEC ∠=∠，∴DE DC =．∴DC AD =．∵60∠=︒，∴△CDE是等边三角形，C∴DE CD CE=+=+．==，∴BC BE CE AB CD【答案】见解析．【例11】观察、猜想、探究：在△ABC中，2∠=∠．ACB B（1）如图①，当90=+；C∠=︒，AD为∠BAC的角平分线时，求证：AB AC CD （2）如图②，当90∠≠︒，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量C关系？不需要证明，请直接写出你的猜想；（3）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．【解析】（1）过D作DE⊥AB，交AB于点E，理由角平分线性质得到ED=CD，利用HL得到直角三角形AED与直角三角形ACD全等，由全等三角形的对应边相等，对应角相等，得到AE AC=，A CB B∠=∠，利用等量代换及外角性质得到一对角相等，利用等角对等∠=∠，由2AED ACB边得到BE DE=+，等量代换即可得证；=，由AB AE EB（2）AB CD AC=+，理由为：在AB上截取AG AC=，如图2所示，由角平分线定义得到=，利用SAS得到三角形AGD与三角形ACD全等，接下来同（1）一对角相等，再由AD AD即可得证；（3）AB CD AC=，如图3所示，同（2）即可得证．=-，理由为：在AF上截取AG AC【答案】（1）过D作DE⊥AB，交AB于点E，如图1所示，∵AD为∠BAC的平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，∴DE DC=，在Rt △ACD 和Rt △AED 中，AD AD =，DE DC =， ∴Rt △ACD ≌Rt △AED （HL ），∴AC AE =，ACB AED ∠=∠， ∵2ACB B ∠=∠，∴2AED B ∠=∠， 又∵AED B EDB ∠=∠+∠，∴B EDB ∠=∠， ∴BE DE DC ==，则AB BE AE CD AC =+=+； （2）AB CD AC =+，理由为： 在AB 上截取AG AC =，如图2所示， ∵AD 为∠BAC 的平分线，∴GAD CAD ∠=∠， ∵在△ADG 和△ADC 中，AG ACGAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADG ≌△ADC （SAS ），∴CD CG =，AGD ACB ∠=∠， ∵2ACB B ∠=∠，∴2AGD B ∠=∠， 又∵AGD B GDB ∠=∠+∠，∴B GDB ∠=∠， ∴BE DG DC ==，则AB BG AG CD AC =+=+； （3）AB CD AC =-，理由为： 在AF 上截取AG AC =，如图3所示， ∵AD 为∠F AC 的平分线，∴GAD CAD ∠=∠， ∵在△ADG 和△ADC 中，AG AC GAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADG ≌△ADC （SAS ）， ∴CD GD =，AGD ACD ∠=∠，即ACB FGD ∠=∠，∵2ACB B ∠=∠，∴2FGD B ∠=∠，又∵FGD B GDB ∠=∠+∠，∴B GDB ∠=∠， ∴BG DG DC ==，则AB BG AG CD AC =-=-．【例12】 如图所示，在△ABC 中，3ABC C ∠=∠，AD 是∠BAC 的平分线，BE ⊥AD 于F ．求证：()12BE AC AB =-．【解析】延长BE 交AC 于点F ．则AD 为∠BAC 的对称轴，∵BE ⊥AD 于F ，∴点B 和点F 关于AD 对称， ∴12BE EF BF ==，AB AF =，ABF AFB ∠=∠． ∵3ABF FBC ABC C ∠∠=∠=∠＋，ABF AFB FBC C ∠=∠=∠∠＋， ∴3FBC C FBC C ∠∠∠=∠＋＋， ∴FBC C ∠=∠，∴FB FC =，∴()()111222BE FC AC AF AC AB ==-=-，∴()12BE AC AB =-． 【答案】见解析．【例13】 如图，已知：△ABC 中AD 垂直于∠C 的平分线于D ，DE ∥BC 交AB 于E ．求证：EA EB =．【解析】由AD 垂直于∠C 的平分线于D ，可以想到等腰三角形中的三线合一，于是延长AD 交BC 与点F ，得D 是AF 的中点，又因为DE ∥BC ，由三角形中位线定理得EA EB =．【答案】延长AD 交BC 与点F ，∵CD 平分∠ACF ，∴12∠=∠，又AD ⊥CD ， ∴ΔADC ≌ΔFDC ，∴AD FD =， 又∵DE ∥BC ，∴EA EB =．【例14】 已知：如图，在△ABC 中，3ABC C ∠=∠，12∠=∠，BE ⊥AE ．求证：2AC AB BE -=．【解析】延长BE 交AC 于M ，∵BE ⊥AE ，∴90AEB AEM ∠=∠=︒ 在△ABE 中，∵13180AEB ∠+∠+∠=︒， ∴3901∠=︒-∠ 同理，4902∠=︒-∠∵12∠=∠，∴34∠=∠，∴AB AM =∵BE ⊥AE ，∴2BM BE =， ∴AC AB AC AM CM -=-=， ∵∠4是△BCM 的外角，∴45C ∠=∠+∠ ∵3ABC C ∠=∠，∴3545ABC ∠=∠+∠=∠+∠ ∴34525C C ∠=∠+∠=∠+∠，∴5C ∠=∠ ∴CM BM =，∴2AC AB BM BE -==【答案】见解析．【例15】 如图，已知AB AC =，90BAC ∠=︒，BD 为∠ABC 的平分线，CE ⊥BE ，求证：2BD CE =．【解析】延长CE ，交BA 的延长线于点F ．∵BD 为∠ABC 的平分线，CE ⊥BE ， ∴△BEF ≌△BEC ，∴BC BF =，CE FE =． ∵90BAC ∠=︒，CE ⊥BE ，∴ABD ACF ∠=∠，又∵AB AC =，∴△ABD ≌△ACF ，∴BD CF =．∴2BD CE =．【答案】见解析．EDCBAFEDCBA课后复习【作业1】如图所示，在△ABC 中，BP 、CP 分别是∠ABC 的外角的平分线，求证：点P 在∠A 的平分线上．【解析】过点P 作PE ⊥AB 于点E ，PG ⊥AC 于点G ，PF ⊥BC 于点F ．因为P 在∠EBC 的平分线上，PE ⊥AB ，PH ⊥BC ，所以PE PF =． 同理可证PF PG =． 所以PG PE =，又PE ⊥AB ，PG ⊥AC ，所以P 在∠A 的平分线上，【答案】见解析．【作业2】已知：如图，2AB AC =，BAD CAD ∠=∠，DA DB =，求证：DC ⊥AC ．PCBAPABCD【解析】在AB 上取中点E ，连接DE ，则12AE BE AB ==． ∵DA DB =，∴DE ⊥AB ，90AED ∠=︒． 又∵2AB AC =，∴AE AC =．∵BAD CAD ∠=∠，∴△ADE ≌△ADC （SAS ）． ∴90AED ACD ∠=∠=︒，即DC ⊥AC ．【答案】见解析．【作业3】已知等腰ABC ∆，100A ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于D ，则BD AD BC +=．【解析】如图，在BC 上截取BE BD =，连接DE ，过D 作DF BC ∥，交AB 于F ，于是32∠=∠，ADF ECD ∠=∠． 又∵12∠=∠，∴13∠=∠，故DF BF =．显然FBCD 是等腰梯形． ∴BF DC =，DF DC =．∵()111218010020222ABC ∠=∠=⨯︒-︒=︒，()11802802BED BDE ∠=∠=︒-∠=︒， ∴180100DEC BED ∠=︒-∠=︒，∴100FAD DEC ∠=∠=︒，∴AFD EDC ∆∆≌，AD EC =． 又∵BE BD =，∴BC BD EC BD AD =+=+．【答案】见解析．EDCBAABCD【作业4】如图，已知在△ABC 中，AD 、AE 分别为△ABC 的内、外角平分线，过顶点B 作BF ⊥AD ，交AD 的延长线于F ，连接FC 并延长交AE 于M ．求证：AM ME =．【解析】延长AC ，交BF 的延长线于点N ．∵AD 平分∠BAC ，BF ⊥AD ，∴△AFB ≌△AFN ，∴BF NF =． ∵AD 、AE 分别为△ABC 的内、外角平分线，∴EA ⊥F A ． ∵BF ⊥AF ，∴BF ∥AE ．∴::BF ME CF CM =，::FN AM CF CM =． ∵BF NF =，∴AM ME =．【答案】见解析．ECMF EDCBAN MFEDCBA。
全等三角形中做辅助线技巧要点大汇总一、角平分线具有两条性质：a 、角平分线上的点到角两边的距离相等；b 、对称性。
对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。
①角平分线上一点向两边作垂线；②利用角平分线，构造对称图形（如长边上截取短边）。
③作角平分线的垂线构造等腰三角形④以角分线上一点做角的另一边的平行线（一）、截取构全等如图1-1，∠AOC=∠BOC ，如取OE=OF ，并连接DE 、DF ，则有△OED ≌△OFD ，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。
例1.如图1-2，AB//CD ，BE 平分∠BCD ，CE 平分∠BCD ，点E 在AD 上，求证：BC=AB+CD 。
例2.已知：如图1-3，AB=2AC ，∠BAD=∠CAD ，DA=DB ，求证DC ⊥AC例3.已知：如图1-4，在△ABC 中，∠C=2∠B,AD 平分∠BAC ，求证：图1-1B图1-2D B C 图1-4AB CBA练习1.已知在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，∠B=2∠C ，求证：AB+BD=AC2.已知：在△ABC 中，∠CAB=2∠B ，AE 平分∠CAB 交BC 于E ，AB=2AC ，求证：AE=2CE3.如图在△ABC 中，AB ＞AC ，∠1＝∠2，P 为AD 求证：AB-AC ＞PB-PC4.已知：D 是△ABC 的∠BAC 的外角的平分线AD 上的任一点，连接DB 、DC 。
求证：BD+CD>AB+AC 。
5.如图，已知：正方形ABCD 中，∠BAC 的平分线交BC 于E ， 求证：AB+BE=AC ．6.△ABC 中，∠BAC=60°，∠C=40°AP 平分∠BAC 交BC 于P ，BQ 平分∠ABC 交AC 于Q ， 求证：AB+BP=BQ+AQ ．A BD A B C P Q O（二）、角分线上点向角两边作垂线构全等过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。
角的平分线说课稿尊敬的各位评委老师：大家好！今天我说课的内容是角的平分线。
下面我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教法与学法、教学过程、板书设计这几个方面来展开我的说课。
一、教材分析角的平分线是平面几何中的一个重要概念，它不仅是全等三角形知识的延续和深化，也是后续学习圆的相关知识的基础。
本节课在教材中起着承上启下的作用，通过对角平分线的性质和判定的探究，能够培养学生的逻辑推理能力和空间观念。
在教材的编排上，先通过折纸活动让学生直观感受角平分线的性质，然后引导学生进行推理证明，符合学生的认知规律，有助于学生更好地理解和掌握知识。
二、学情分析学生在之前已经学习了三角形全等的判定和性质，具备了一定的推理能力和几何直观感知能力。
但是，对于角平分线的性质和判定的严格证明，可能会存在一定的困难。
此外，学生在运用所学知识解决实际问题时，可能会出现思维不够灵活、方法不当等问题。
三、教学目标1、知识与技能目标学生能够理解角平分线的定义，掌握角平分线的性质和判定定理，并能运用它们解决简单的几何问题。
2、过程与方法目标通过观察、操作、猜想、证明等活动，培养学生的逻辑推理能力和动手实践能力，提高学生的数学思维品质。
3、情感态度与价值观目标让学生在探究活动中体验成功的喜悦，增强学习数学的自信心，激发学生学习数学的兴趣。
四、教学重难点1、教学重点角平分线的性质和判定定理的证明及应用。
2、教学难点角平分线性质和判定定理的灵活运用。
五、教法与学法1、教法根据本节课的教学内容和学生的实际情况，我将采用启发式教学法、直观演示法和讲练结合法。
通过引导学生观察、思考、讨论，启发学生的思维；通过直观演示，让学生更直观地感受角平分线的性质；通过讲练结合，让学生及时巩固所学知识，提高应用能力。
2、学法在教学过程中，注重引导学生自主学习、合作学习和探究学习。
让学生通过动手操作、观察思考、小组讨论等方式，主动获取知识，提高学习能力。
全等三角形辅助线方法---角平分线一、知，为行之始1.角平分线的定义2.角平分线的画法3.角平分线的性质定理4.角平分线的判定定理二、行，为知之成1.角平分线辅助线方法一：作垂线（角平分线的性质与判定定理）作法：过角平分线上一点向角两边作垂线，构造全等【例】如图，在四边形ABCD 中，BC>BA ，AD=CD ，BD 平分∠ABC ，求证：∠A+∠C=180°．2.角平分线辅助线方法二：截长（角平分线的对称性）作法：在角的两边截取相等的线段构造全等CDBA【例】如图，四边形ABCD中，AD∥BC，点E在CD上，EA，EB分别平分∠DAB和∠CBA，设AD＝x，BC＝y 且（x﹣3）2+|y﹣4|＝0．求AB的长．3.角平分线辅助线方法三：延长（三线合一）作法：延长垂直于角平分线的线段与角的另一边相交构成等腰三角形【例】如图，在△ABC中，∠C=90°，CA=CB，AD平分∠BAC，BE⊥AD于点E，求证：AD=2BE．三、知行合一1.如图，Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠，交BC 于点D ，10AB =，15ABD S ∆=，则CD 的长为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．52.如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，CD ＝2，BD=3，Q 为AB 上一动点，则DQ 的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．2．5D ．33.如图，△ABC 的三条角平分线交于O 点，已知△ABC 的周长为20，OD ⊥AB ，OD=5，则△ABC 的面积=_________.4.如图，已知△ABC 的周长是16，OB 、OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD ⊥BC 于D 且OD=2，△ABC 的面积是________________.5.如图，在△ABC中，∠C=90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D．若CD=1，AB=4，则△ABD的面积是_________．6．如图，在△ABC中，以原点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若AC：AB=3：4，△ACD的面积是21，则△ABD的面积是______．7．如图，四边形ABCD中，CA平分∠BAD，CB=CD，CF⊥AD于F. （1）求证：∠ABC+∠ADC=180°；（2）若AF：CF=3:4，CF=8，求四边形ABCD的面积.8．如图，△ABC 中AP 平分∠CAB ，PD 垂直平分BC 交AP 于P ，PE AE ⊥于E ． （1）当28PCB ∠=︒时，BPC ∠的度数是__________；（2）求证：2AC AB AE +=．9．四边形ABCD 中，,AB CD DE ∥平分ADC ∠．（1）如图1，若90ABE ∠=︒，E 是BC 的中点，求证：AE 平分BAD ∠；（2）如图2，若AE 平分BAD ∠，求证：E 是BC 的中点；（3）在（2）的条件下，若8,6AE DE ==，求四边形ABCD 的面积．10．如图1，在ABC △中，BD 平分,ABC CE ∠平分,ACB BD ∠与CE 交于点O ．（1）如图1，若60A ∠=︒，①求BOC ∠的度数；②作OF AB ⊥于点F ，求证：2AE AD AF +=；（2）如图2，若490,7A OD OB ∠=︒=，则OE OC的值为____________．图1CDB AF E O图2CD B A O E。
全等三角形辅助线的作法一．中点类辅助线作法见到中线(中点)，我们可以联想的内容无非是倍长中线或者是与中点有关的一条线段，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见，常见添加方法如下图（AD 是ABC∆底边的中线)．二．角平分线类辅助线作法有下列三种作辅助线的方式：1．由角平分线上的一点向角的两边作垂线；2．过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形；3．OA OB=，这种对称的图形应用得也较为普遍．三．截长补短类辅助线作法截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，也是把几何题化难为易的一种思想．所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段等于已知的两条较短线段中的一条，然后证明其中的另一段与已知的另一条线段相等；所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等，然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系．有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解．易错点：1．辅助线只是一个指导方法，出现相关条件或结论时不一定要作辅助线或者是按照模型作辅助线，关键是如何分析题目；2．辅助线不是随便都可以作的，比如“作一条线段等于另外一条线段且与某条线段夹角是多少度”这种辅助线就不一定能作出来．图3图2图1FEDNDMEAB CAB CDCBA知识精讲题模一：角平分线类例1.1.1如图，已知AB AC =，90BAC ∠=︒，BD 为∠ABC 的平分线，CE ⊥BE ，求证：2BD CE =．【答案】见解析【解析】延长CE ，交BA 的延长线于点F ． ∵BD 为∠ABC 的平分线，CE ⊥BE ， ∴△BEF ≌△BEC ，∴BC BF =，CE FE =． ∵90BAC ∠=︒，CE ⊥BE ，∴ABD ACF ∠=∠，又∵AB AC =，∴△ABD ≌△ACF ，∴BD CF =．∴2BD CE =．例1.1.1-2如图，AB ∥CD ，BE 平分∠ABC ，CE 平分∠BCD ，若E 在AD 上。
角平分线的4种辅助线（方法总结，讲练结合）中考高频考点系列是笔者根据近两年中考的趋势及热点，结合《新课标》的要求，对中考经常出现的题型，进行了归纳总结，要想在中考时取得好成绩，这些都是必须要掌握的知识。
作有关角平分线的辅助线，常见的有四种方法：①如下图，由角的平分线上的一点向角的一边或两边作垂线，可以用角的平分线性质定理解题；①②③④②如上图，以角的平分线为轴，将图形翻折，在角的平分线两侧构造全等三角形，使已知与结论发生关系出现新的条件；③如上图，当题设有角平分线及与角平分线垂直的线段，可延长这条线段与角的另一边相交，构成等腰三角形，利用等腰三角形的“三线合一”性质证题；④如上图，过角的一边上的点，作另一边的平行线，构成等腰三角形——“角平分线+平行，必出等腰”.【典例1】如下图，已知在四边形ABCD中，BC＞AB,AD=CD,BD平分∠ABC.求证:∠A＋∠C=180°.证法一：如上图，过点D作BC、BA的垂线，垂足分别是M、N.∵BD平分∠ABC∴DM=DN又∵AD=CD∴Rt△DMC≌Rt△DNA（HL）∴∠NAD=∠C∵∠BAD＋∠NAD=180°∴∠BAD＋∠C=180°.证法二：如上图，在BC上截取BE=AB，连接DE，可证得△ABD≌△EBD（SAS）∴∠A=∠BED,AD=ED∵AD=CD∴ED=CD∴∠C=∠DEC∴∠A＋∠C=∠BED＋∠DEC=180°.证法三：如上图，延长BA到E，使BE=BC,连接ED.可证△BDE≌△BDC（SAS）∴∠E=∠C，ED=CD.∵AD=CD∴AD=ED.∴∠E=∠DAE，∠C=∠DAE，∴∠BAD＋∠C=∠BAD＋∠DAE=180°.点评：法一用的是第一种模型“由角的平分线上的一点向角的两边作垂线”，法二和法三实际上用的是第二种模型：以角的平分线为轴，将图形翻折，在角的平分线两侧构造全等三角形.本题证明两角之和等于180°，实际上可以证明一个角等于另一个角的邻补角.许多证明线段、角关系的问题，往往转化为证线段、角相等.证明两个三角形全等是证明两线段、角相等的重要方法，许多时候要通过作辅助线，使图形出现全等三角形，将角或线段相对转移、等量代换，以使问题得到解决.【典例2】如下图，已知在△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，BE平分∠ABC，CE⊥BE.求证：CE=1/2BD.思路分析：注意到BD 平分∠ABC，CE⊥BE，这种情况完全和第三种模型吻合，于是延长CE、BA相交于F，如下图，则易证△BEF≌△BEC（ASA）∴EF=CE ∴CE=EF=1/2CF.∵CE⊥BE∴∠1=90°-∠F.同理∠3=90°-∠F∴∠1=∠3又∵AB=AC∠BAD=∠CAF∴△ABD≌△ACF(ASA)∴BD=CF∴CE=1/2BD.点评：本题解题的关键是抓住角平分线加垂直的条件，构造出等腰三角形.【配套练习】已知，如下图，AC是四边形ABCD的一条对角线，并且AC平分∠BAD，若∠B与∠D互补，而且AB＞AD.求证：CD=CB.第1题第2题2、如上图，在△ABC中，BE是角平分线，AD⊥BE，垂足为D.求证：∠BAD=∠DAC＋∠C.第3题第4题第5题3、如上图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，D是垂足，∠ABC 的平分线BE交CD于点G，交AC于点E，GF∥AB交AC于F.求证：AF=CG.4、如下图，在△ABC中，∠A的平分线AD交BC于点D，且AB=AD，CM⊥AD交AD的延长线于点M.5、（乌鲁木齐中考）如上图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，AB＝5，AC＝2，则DF的长为________．【答案】1、分别过C作AB、AD的垂线，垂足为E、F，证△CBE≌△CDF，或在AB上截取AE=AD，连接CE，则CE=CD，证CE=CB.2、延长AD交BC于点F，则∠BAD=∠BFA=∠DAC＋∠C.3、过点E作EH⊥AB于H，则EH=EC，证∠CEG=∠CGE，则EC=GC，∴CG=EH，再证△CGF≌△EHA，则CF=EA.4、因AD平分∠BAC，过点C作CE∥AB，则△ACE是等腰三角形.因为CM⊥AD，所以AE=2AM，又AE=AD＋DE=AB＋DE，证DE=AC 即可.5、利用模型3的方法，延长CF交AB于点G，则△AFC≌△AFG，∴CF=GFAC=AG=2，∵AB=5∴BG=3又∵F是GC的中点，D是BC 的中点，即DF是△CBG的中位线，∴DF平行且等于BG的一半，即DF=角平分线专题训练，得熟悉此类题题1.如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，且AC＝AB+BD.求证：AD是∠BAC的平分线。
角平分线定理使用中的几种辅助线作法一、已知角平分线，构造三角形例题:如图所示，在△ABC 中，∠ABC=3∠C ，AD 是∠BAC 的平分线，BE ⊥AD 于F 。
求证：1()2BE AC AB =- 证明：延长BE 交AC 于点F 。
因为角是轴对称图形，对称轴是角的平分线所在的直线， 所以AD 为∠BAC 的对称轴， 又因为BE ⊥AD 于F ，所以点B 和点F 关于AD 对称， 所以BE=FE=12BF ，AB=AF ，∠ABF=∠AFB 。
因为∠ABF ＋∠FBC=∠ABC=3∠C ，∠ABF=∠AFB=∠FBC ＋∠C ， 所以∠FBC ＋∠C ＋∠FBC=3∠C ， 所以∠FBC=∠C ，所以FB=FC ，所以BE=12FC=12（AC －AF ）=12（AC －AB ）， 所以1()2BE AC AB =-。
二、已知一个点到角的一边的距离，过这个点作另一边的垂线段如图所示，∠1=∠2，P 为BN 上的一点，并且PD ⊥BC 于D ，AB ＋BC=2BD 。
求证：∠BAP ＋∠BCP=180°。
证明：经过点P 作PE ⊥AB 于点E 。
因为PE ⊥AB ，PD ⊥BC ，∠1=∠2，所以PE=PD 。
在Rt △PBE 和Rt △PBC 中21F E DCBANPEDCBABP BPPE PD =⎧⎨=⎩所以Rt △PBE ≌Rt △PBC （HL ）， 所以BE=BD 。
因为AB ＋BC=2BD ，BC=CD ＋BD ，AB=BE －AE ， 所以AE=CD 。
因为PE ⊥AB ，PD ⊥BC ， 所以∠PEB=∠PDB=90°. 在△PAE 和Rt △PCD 中PE PD PEB PDC AE DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所以△PAE ≌Rt △PCD ， 所以∠PCB=∠EAP 。
因为∠BAP ＋∠EAP=180°， 所以∠BAP ＋∠BCP=180°。
全等三角形辅助线系列之一 与角平分线有关的辅助线作法大全一、角平分线类辅助线作法角平分线具有两条性质：a 、对称性；b 、角平分线上的点到角两边的距离相等•对于有角平分线的 辅助线的作法，一般有以下四种.1、 角分线上点向角两边作垂线构全等：过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题； 2、 截取构全等利用对称性，在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形； 3、 延长垂线段题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交，构成等腰三角形； 4、 做平行线：以角分线上一点做角的另一边的平行线，构造等腰三角形 有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形.或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形.通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时， 一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形. 至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件.图四MB图一M图MB图三典型例题精讲【例1】如图所示，BN平分/ ABC, P为BN上的一点，并且PD丄BC于D, AB+ BC 2BD .求证：BAP+ BCP 180 .【解析】过点P作PE丄AB于点E.VPE± AB, PD 丄BC, BN 平分/ABC,：PE PD .在Rt APBE 和Rt APBC 中，BP BPPE PD•••Rt z2PBE 细t ^BC ( HL), BE BD .T AB BC 2BD , BC CD BD , AB BE AE , • AE CD .••PE丄AB, PD 丄BC ,• PEB PDB 90 .在AFAE 和Rt APCD 中，PE PDPEB PDC ,AE DC• △AE织t A^CD , • PCB EAP .•/ BAP EAP 180 , • BAP BCP 180 .【答案】见解析.EP【解析】因为已知PD平分/ ADC，所以我们过P点作PE丄CD，垂足为E,则PA PE ,由P是AB 的中点，得PB PE，即CP平分/ DCB .【答案】作PE丄CD，垂足为E，••• PEC A 90 ，••• PD 平分 / ADC，• PA PE，又•/ B PEC 90，• PB PE，•••点P在/ DCB的平分线上，• CP 平分/ DCB .【例3】已知：AOB 90，OM是/ AOB的平分线，将三角板的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA、OB交于C、D .(1) PC和PD有怎样的数量关系是____________(2) 请你证明(1)得出的结论.【解析】(1) PC PD .(2)过P 分别作PE 丄OB 于E , PF 丄OA 于F , ••• CFP DEP 90 ,•••OM 是/AOB 的平分线，• PE PF , •/1 FPD 90，且AOB 90,• FPE 90 ,• 2 FPD 90 , • 1 2 ,在△CFP 和ADEP 中CPF DEP PF PE , AZCFP 也zDEP ,• PC PD .1 2【答案】见解析.如图①，OP 是/ MON 的平分线，请你利用该图形画一对以形•请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题： (1)如图②，在△ ABC 中，/ ACB 是直角，B 60 , AD 、CE 分别是/ BAC 、/ BCA 的平分线，AD 、CE 相交于点F ，请你判断并写出 FE 与FD 之间的数量关系(不需证明)；(2)如图③，在△ ABC 中，B 60，请问，在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立, 请证明；若不成立，请说明理由.【解析】如图①所示;(1) FE FD .【例4】 OP 所在直线为对称轴的全等三角图①(2)如图，过点F作FG丄AB于G,作FH丄BC于H，作FK丄AC于K,••AD、CE 分别是/BAC、/BCA 的平分线，二FG FH FK ,在四边形BGFH 中，GFH 360 60 90 2 120 ,••AD、CE分别是/BAC、/BCA的平分线， B 60 ,••• FAC FCA 1 180 60 60 .2在△AFC 中，AFC 180 FAC FCA 180 60 120 ,在AEFG和ADFH中,EFG DFHEGF DHF , AZEFG 也Q FH ,二FE FDFG FH【答案】见解析.120 , AC 平分/ MAN，点B、D 分别在AN、AM 上.1AC B 30后再可以证得AD AB严，从而，证得结论;(2)过点C分别作AM、AN的垂线，垂足分别为E、F，证得△ CED BJCFB后即可得到EFD AFC 120 ,EFG DFH ,【例5】已知MAN(1)如图1，若ABC之；(2)如图2,若ABC 若不成立，请说明理由.ADC 90ADC 180，请你探索线段AD、AB、AC之间的数量关系，并证明【解析】(1)得到ACD，则(1)中的结论是否仍然成立？若成立, 给出证明;AD AB AE ED AF FB AE AF，从而证得结论.【答案】（1 ）关系是：AD AB AC .证明：••• AC 平分/MAN , MAN 120• CAD CAB 60又ADC ABC 90 ,• ACD ACB 30贝U AD AB 1AC （直角二角形一锐角为30 ，则它所对直角边为斜边一半）2二AD AB AC ；(2 )仍成立.证明：过点C分别作AM、AN的垂线，垂足分别为E、F••AC 平分/MAN•••CE CF (角平分线上点到角两边距离相等)•ABC ADC 180 , ADC CDE 180•CDE ABC又CED CFB 90 ,z.JCED ^/CFB (AAS )•ED FB ,•AD AB AE ED AF FB AE AF由(1)知AE AF AC ,• AD AB AC .【例6】 如图，在△ ABC 中， C 2 B , AD 平分/ BAC ，求证： AB AC CD .AED=2【答案】见解析.【解析】在BC 上截取E 点使BE BA ，连结DE .• BD 平分 ABC , • ABD EBD .在ABD 与EBD 中• AB EB ,ABD EBD , BD BD• ABD 也 EBD ,• A DEB• AB AE , •- BAD BED , •- DEC 72 又• ADB 36 18 54 , • CDE 72【解析】在AB 上截取点E ,使得AEAC . ••AD 平分/BAC ,「. EADCAD ,•••公DE ^zADC ( SAS ) . •• AED C, ED CD . • AED B EDBB EDB ,• BE DE .• CD BE ABAEAB AC .【例7】如图，△ ABC 中, AB AC , A 108 , BD 平分 ABC 交 AC 于 D 点.求证：BC AC CD .CDE DEC , ••• CD CEBE EC , •-BCAC CD【答案】见解析.O , 【例8】已知ABC 中，A 60 ,BD、CE分别平分ABC和ACB ,BD、CE交于点试判断BE CD、BC的数量关系，并加以证明.在根据BOC 120【解析】在BC上截取一点F使得BF BE，易证BOE BOF，推出BOE COF 60，再证明OCF S OCD即可.【答案】BC BE CD .【例9】如图：已知AD ABC的中线，且1求证: BE CF EF .【解析】在DA上截取DN DB，连接NE, NF, 则DN DC在ADBE和ADNE中:DN DB1 2ED ED•••ZDBE ^zDNE ( SAS), /• BE NE同理可得：CF NF在AEFN中，EN FN EF (三角形两边之和大于第三边)•BE CF EF •【答案】见解析.【例10】已知：在四边形ABCD中，BC BA , A C 180，且 C 60 , BD平分/ ABC,求证: BC AB DC •【解析】在BC上截取BE BA ,••BD 平分/ABC, • ABD EBD ,在ABAD和ABED中，BA BEABD EBD ,BD BD.•./BAD BA ED, •AD DE , A BED• BED DEC180 , A C180•C DEC , • DE DC • • DC AD ••••DE CD CE ,••• BC BE CE AB CD .【答案】见解析.【例11】观察、猜想、探究：在厶ABC 中，ACB 2 B .(1)如图①，当 C 90 , AD为/ BAC的角平分线时，求证：AB AC CD ;(2)如图②，当 C 90 , AD为/ BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想；(3)如图③，当AD ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明.【解析】(1)过D作DE丄AB，交AB于点E,理由角平分线性质得到ED=CD，利用HL得到直角三角形AED 与直角三角形ACD全等，由全等三角形的对应边相等，对应角相等，得到AE AC , AED ACB，由ACB 2 B，利用等量代换及外角性质得到一对角相等，利用等角对等边得到BEDE ,由AB AE EB，等量代换即可得证；(2)AB CD AC，理由为：在AB上截取AG AC，如图2所示，由角平分线定义得到一对角相等，再由AD AD，利用SAS得到三角形AGD与三角形ACD全等，接下来同(1) 即可得证；(3)AB CD AC，理由为：在AF上截取AG AC，如图3所示，同(2)即可得证.【答案】(1 )过D作DE丄AB,交AB于点E,如图1所示，VAD 为/BAC 的平分线，DC 丄AC, DE 丄AB, • DE DC ,在Rt △ACD 和Rt △AED 中，AD AD ，DE DC ，•••Rt△KCD 职△AED ( HL ) , /• AC AE , ACB AED ,••• ACB 2 B ,• AED 2 B ,又:AED B EDB , • B EDB ,•BE DE DC ，则AB BE AE CD AC ；( 2) AB CD AC ，理由为：在AB 上截取AG AC ，如图 2 所示，•••AD 为/BAC 的平分线，• GAD CAD ,AG AC••在^ADG 和A ADC 中，GAD CADAD AD• ZADG 也zADC ( SAS), • CD CG , AGD ACB ,•ACB 2 B ，• AGD 2 B ，又• AGD B GDB , • B GDB ,•BE DG DC ，则AB BG AG CD AC；( 3) AB CD AC ，理由为：在AF 上截取AG AC ，如图 3 所示，••AD 为/FAC 的平分线，• GAD CAD ,••在^ADG 和A ADC 中，AG ACGAD CAD , •△X DG 也ZADC (SAS),AD AD•CD GD ，AGD ACD ，即ACB FGD ，•ACB 2 B ,• FGD 2 B，又• FGD B GDB , • BG DG DC ，则B GDB ，AB BG AG CD AC ．【例12】如图所示，在△ ABC 中， ABC 3 C , AD 是/ BAC 的平分线，BE 丄AD 于F .1求证：BE AC AB .2【解析】延长BE 交AC 于点F .则AD 为/BAC 的对称轴,••BE 丄AD 于F ,•••点B 和点F 关于AD 对称，BE EF-BF 2,AB AF , ABF AFB .ABF + FBC ABC 3 C , ABFAFBFBC + C ,FBC + C + FBC 3 C ,FBC C , / • FB FC ,1 BE -FC21 2AC AF1AC AB 21•BE AC AB2【答案】见解析.E-B【例13】如图，已知：△ ABC中AD垂直于/ C的平分线于D, DE // BC交AB于E.求证：EA EB .【解析】由AD垂直于/C的平分线于D，可以想到等腰三角形中的三线合一，于是延长AD交BC与点F，得D是AF的中点，又因为DE //BC，由三角形中位线定理得EA EB .【答案】延长AD交BC与点F,••CD 平分Z ACF ,••• 1 2，又AD 丄CD ,•••从DC 迫FDC ,• AD FD ,又'/DE //BC,• EA EB .【解析】延长BE交AC于M ,•••BE 丄AE ,• AEB AEM 903 90 1同理， 4 90 24 , • AB AM【例14】已知：如图，在△ ABC中，ABC 3 C , 1 2 , BE丄AE.求证：AC AB 2BE .在A ABE 中，•/1 3 AEB 180 ,•••BE丄AE,「. BM 2BE ,••• AC AB AC AM CM ,• 2是厶BCM的外角，• 4 5 C•/ ABC 3 C，…ABC3 5 4 5• 3 C 4 5 25C ,••• 5 C•CM BM , ••AC AB BM2BE【答案】见解析.【例15】如图，已知AB AC, BAC90 , BD为/ ABC的平分线，CE 丄BE,求证：BD 2CE .【解析】延长CE，交BA的延长线于点F .••BD为/ABC的平分线，CE丄BE,• ZBEF^zBEC ,• BC BF , CE FE .BAC 90 , CE丄BE,「. ABD ACF ,又• AB AC , •^ABD 也ZACF, • BD CF . • BD 2CE .【答案】见解析.A课后复习【作业1】如图所示，在△ABC中，BP、CP分别是/ ABC的外角的平分线，求证：点P在/ A的平分线上.【解析】过点P作PE丄AB于点E, PG丄AC于点G, PF丄BC于点F.因为P在/EBC的平分线上，PE丄AB, PH丄BC,所以PE PF . 同理可证PF PG .所以PG PE ,又PE丄AB, PG丄AC,所以P在/A的平分线上,【答案】见解析.BAD CAD , DA DB，求证：DC 丄AC.【作业2】已知：如图，AB 2AC ,1【解析】在AB 上取中点E ,连接DE ，则AE BE -AB • 2•/0A DB ,.・.DE 丄AB , AED 90又••• AB 2AC , ••AE AC .•/ BAD CAD,AZADE 也 ZADC( SAS ) • AEDACD 90 ，即 DC 丄 AC .【答案】见解析.【解析】如图，在 BC 上截取BE BD ，连接DE ,过 D 作 DF // BC ，交 AB 于 F ，于是 3 2 , ADF ECD •又••• 1 2 ,••• 13，故DF BF .显然FBCD 是等腰梯形.•BF DC , DFDC .•/ 2 1ABC1 1180 10020 ,22 2BEDBDE 1180280 ,2• DEC180BED 100，•‘FADDEC 100 , /-AFD 也 EDC , AD EC又T BE BD , • BC BDEC BD AD .【答案】见解析.【作业3】已知等腰 ABC , A 100 , ABC 的平分线交 AC 于D ，则BD AD BC •C【作业4】如图，已知在厶ABC 中，AD 、AE 分别为△ ABC 的内、外角平分线，过顶点交AD 的延长线于F ，连接FC 并延长交AE 于M .求证：AM ME .【解析】延长 AC ,交BF 的延长线于点N .••AD 平分/BAC , BF 丄 AD , A ^X FB^ZA FN ,二 BF NF . ••AD 、AE 分别为△ ABC 的内、外角平分线，••• EA 丄FA . VBF 丄 AF ,「.BF //AE .• BF :ME CF : CM , FN : AM CF : CM . •BF NF ,• AM ME .【答案】见解析.EFNB 作BF 丄AD,。
