专题复习：全等三角形与角平分线

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角平分线和全等三角形证明分类

精锐教育学科教师辅导讲义之宇文皓月创作学员编号：年级：初二课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课类型T 角平分线C专题精讲授课日期时段教学内容1. 角平分线的作法（尺规作图）①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于C、D两点；②分别以C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点P；③过点P作射线OP，射线OP即为所求．2. 角平分线的性质及判定（1）角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．几何表达：（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）如图所示，∵OP平分∠MON（∠1＝∠2），PA⊥OM，PB⊥ON，∴PA＝PB。

（2）角平分线的判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．几何表达：（到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．）如图所示，∵PA⊥OM，PB⊥ON，PA＝PB，∴∠1＝∠2（OP平分∠MON）（3）三角形三个内角平分线的性质：三角形三条内角平分线交于一点，且这一点到三角形三边的距离相等。

3. 角平分线性质及判定的应用①为推导线段相等、角相等提供依据和思路； ②实际生活中的应用．例：一个工厂，在公路西侧，到公路的距离与到河岸的距离相等，而且到河上公路桥头的距离为300米．在下图中标出工厂的位置，并说明理由．【例题讲解】1．在△ABC 中，AC ⊥BC ，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，AB ＝7㎝，AC ＝3㎝，求BE 的长。

2．如图：在△ABC 中，∠C=90° AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，F 在AC 上，BD=DF ；求证：CF=EB3.如图，P 为∠AOB 内一点，OA=OB ，且△OPA 与△OPB 面积相等，求证∠AOP=∠BOP.4.如图，AB=AC ，AD=AE ，BD 、CE 交于O ，求证AO 平分∠BAC.EDCBAEABCD F【同步练习】1.在Rt △ABC 中，BD 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于E ，则： ⑴图中相等的线段有哪些？相等的角呢？ ⑵哪条线段与DE 相等？为什么？⑶若AB ＝10，BC ＝8，AC ＝6，求BE ，AE 的长和△AED 的周长2．已知，如图DABC 中，AB=AC ，D 是BC 的中点。

数学复习：全等三角形相关模型

数学复习：全等三角形相关模型一、角平分线模型（1）角平分线+两边垂线→全等三角形：角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边距离相等；已知：AD平分∠BAC，CD⊥AC，垂足为C，过点D作DB⊥AB，垂足为B；辅助线：过点D作DB⊥AB，垂足为B；结论：①△ACD≌△ABD；②CD=DB（角分线垂两边，对称全等必呈现）（2）角平分线+垂线模型等腰三角形必呈现：遇到垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交，构成等腰三角形；已知：OP平分∠AOB，MP⊥OP，垂足为P，延长MP交OB于点N；结论：①△OPM≌△OPN；②△OMN为等腰三角形；③P是MN的中点（三线合一）；（3）在角的两边上截取相等的线段，构造全等三角形：已知：OC是∠AOB的角平分线，D为OC上一点；辅助线：在OA上取一点E，在OB取一点F，使得OE=OF，并连接DE，结论：△OED≌△OFD；（4）作平行线①以角分线上一点作角的另一边的平行线，则△OAB 等腰三角形；②过一边上的点作角平分线的平行线与另一边的反向延长线相交，则△ODH 等腰三角形；已知：OP 平分∠MON ，AB ∥ON ，已知：OC 平分∠AOD ，DH ∥OC ，结论：△OAB 等腰三角形结论：△ODH 等腰三角形角平分线+两边垂线→全等三角形辅助线：过点G 作GE ⊥射线AC已知：AD 是∠BAC 的角平分线，CD ⊥AC ，DB ⊥AB ，求证：CD=DB证明：∵AD 是∠BAC 的角平分线，∴∠1=∠2，∵CD ⊥AC ，DB ⊥AB ，∴∠ACD=∠ABD=90°，在△ACD 和△ABD 中，∴△ACD ≌△ABD （AAS ）∴CD=BD⎪⎩⎪⎨⎧AD =AD 90=ABD ∠=ACD ∠2∠=1∠例1：已知：∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AP平分∠BAC．例2：如图，AB＞AC，∠A的平分线与BC的垂直平分线相交于D，过D作DE⊥AB、DF⊥AC，垂足分别为E、F．求证：BE=CF．例4：如图，在△ABC中，M为BC的中点，DM⊥BC，DM与∠BAC的角平分线交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，求证：BE=CF．角平分线+垂线模型等腰三角形必呈现例1：如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，∠1=∠2，CE⊥BE交BA的延长于F．求证：BD=2CE例2、如图，在△ABC中，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，且AB=AD，作CM⊥AD 交AD的延长线于M.求证：2AM=（AB+AC）例3：如图，已知△ABC中，CF平分∠ACB，且AF⊥CF，∠AFE+∠CAF=180°，求证：EF∥BC.截取构造全等：例1：如图，AB>AC ，∠1=∠2，求证：AB －AC>BD －CD 。

【微专题】2023学年八年级数学上册常考点提分精练(人教版) 角平分线与全等三角形结合(解析版)

角平分线与全等三角形结合1．如图 A B 两点分别在射线OM ON 上点C 在MON ∠的内部且CA CB = CD OM ⊥ CE ON ⊥ 垂足分别为D E 且AD BE =．(1)求证：OC 平分MON ∠；(2)如果10AO = 4BO = 求OD 的长．【答案】(1)见解析(2)7【解析】【分析】（1）证明Rt △ACD ≌Rt △BCE （HL ）得CD =CE ．再由角平分线的判定即可得出结论；OC 平分∠MON ；（2）证Rt △ODC ≌Rt △OEC （HL ）得OD =OE 设BE =AD =x ．则OE =OD =4+x 再由AO =OD +AD =4+2x =10 得x =3．即可得出答案．(1)证明：∵CD OM ⊥ CE ON ⊥∴90CDA CEB ∠=∠=︒．在Rt ACD △与Rt BCE 中 CA CB AD BE =⎧⎨=⎩∴Rt ACD △≌Rt BCE （HL ）∴CD CE =．又∵CD OM ⊥ CE ON ⊥∴OC 平分MON ∠．(2)解：在Rt ODC △与Rt OEC △中 CD CE OC OC =⎧⎨=⎩∴Rt ODC △≌Rt OEC △（HL ）∴OD OE =设BE AD x ==．∵4BO = ∴4OE OD x ==+∵AD BE x == ∴4210AO OD AD x =+=+=∴3x = ∴437OD =+=．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定等知识证明Rt △ACD ≌Rt △BCE 和Rt △ODC ≌Rt △OEC 是解题的关键．2．已知∠MAN AC 平分∠MAN D 为AM 上一点 B 为AN 上一点．（1）如图①所示若∠MAN ＝120° ∠ABC ＝∠ADC ＝90° 求证：AB +AD ＝AC ；（2）如图②所示若∠MAN ＝120° ∠ABC +∠ADC ＝180° 则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）成立见解析【解析】【分析】（1）根据AC 平分∠MAN 可得CB ＝CD ∠CAB ＝60° 即可证明RT △ACD ≌RT △ACB 可得AD ＝AB 再根据AC ＝2AB 即可解题；（2）根据AC 平分∠MAN 可得CB ＝CD ∠CAB ＝60° 易证∠FCD ＝∠BCE 即可证明△CDF ≌△CBE 可得BE ＝DF 再根据（1）中证明AC ＝AE +AF 即可解题．【详解】解：（1）证明：∵AC 平分∠MAN∴CB ＝CD ∠CAB ＝60°在Rt △ACD 和Rt △AC B 中AC AC CD CB =⎧⎨=⎩∴Rt △ACD ≌Rt △ACB （HL ）∴AD ＝AB∵∠ACB ＝90°﹣∠CAB ＝30°∴AC ＝2AB∴AD +AB ＝AC ；（2）成立过C 作CE ⊥AN 于E CF ⊥AM 于F∵AC 平分∠MAN∴CB ＝CD ∠CAB ＝60°∵∠ABC +∠ADC ＝180°∴∠DCB ＝60°∵∠FCE ＝180°﹣∠BAD ＝60°∴∠FCE ＝∠BCD∵∠FCD +∠DCE ＝∠FCE ∠BCE +∠DCE ＝∠BCD∴∠FCD ＝∠BCE在△CDF 和△CBE 中90FCD BCE CF CE CFD CEB ︒∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=⎩∴△CDF ≌△CBE （ASA ）∴BE ＝DF∴AD +AB ＝AD +AE +BE ＝AD +DF +AE ＝AE +AF∵AC ＝AE +AF∴AD +AB ＝A C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质考查了全等三角形对应边相等的性质本题中求证△CDF ≌△CBE 是解题的关键．3．如图：在直角△AB C 中 ∠ABC ＝90° 点D 在AB 边上连接C D ．（1）如图1 若CD 是∠ACB 的角平分线且AD ＝CD 探究BC 与AC 的数量关系说明理由；（2）如图2 若BC ＝BD BF ⊥AC 于点F 交CD 于点G 点E 在AB 的延长线上且AD ＝BE 连接GE 求证：BG +EG ＝A C ．【答案】（1）12BC AC =理由见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）如图1 过点D 作DM AC ⊥于点M 证明()Rt CDM Rt CDB HL ≌ 由全等三角形的性质得出CM CB = 则可得出结论；（2）作DK AB ⊥交BF 的延长线于点K 证明()Rt CAB Rt BKD AAS ≌ 得出BK AC = DK AB = 证明()DKG DEG SAS ∆≅∆ 得出KG EG = 则结论可得出．【详解】解：（1）12BC AC =．理由如下：如图1 过点D 作DM AC ⊥于点MAD CD =M ∴为AC 的中点12CM AM AC ∴== CD 平分ACB ∠DM DB ∴=在Rt CDM 和Rt CDB 中CD CD DM DB=⎧⎨=⎩ ()Rt CDM Rt CDB HL ∴≌CM CB ∴=12BC AC ∴=；（2）证明：如图2 作DK AB ⊥交BF 的延长线于点KBF AC ⊥90AFK ∴∠=︒A K ∴∠=∠又90BDK ABC ∠=∠=︒ BC BD =()Rt CAB Rt BKD AAS ∴≌BK AC ∴= DK AB =AD BE =AD BD BE BD ∴+=+即AB DE =DK DE ∴=又DB BC = 90ABC ∠=︒45CDB ∴∠=︒45KDG EDG ∴∠=∠=︒又DG DG =()DKG DEG SAS ∴∆≅∆KG EG ∴=AC BK KG BG EG BG ∴==+=+．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质角平分线的性质等腰三角形的性质等腰直角三角形的性质等知识解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．4．观察、猜想、探究：在△AB C 中 ∠ACB ＝2∠B ．（1）如图① 当∠C ＝90° AD 为∠BAC 的角平分线时过D 作AB 的垂线DE,垂足为E 可以发现AB 、AC 、CD 存在的数量关系是；（2）如图② 当∠C ≠90° AD 为∠BAC 的角平分线时线段AB 、AC 、CD 是否还存（1）中的数量关系？如果存在请给出证明．如果不存在请说明理由；（3）如图③ 当AD 为△ABC 的外角平分线时线段AB 、AC 、CD 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想并对你的猜想给予证明．【答案】（1）AB ＝AC +CD ；（2）存在理由见解析；（3）AB ＝CD ﹣AC 理由见解析【解析】【分析】（1）根据∠ACB =90° ∠ACB =2∠B 得到∠B =45° CD ⊥AC 由线段垂直平分线的性质可得DE =CD 再证明∠B =∠EDB 得到BE =ED =CD 最后证明Rt △AED ≌Rt △ACD 得到AE =AC 即可得到结论；（2）在AB 上截取AG ＝AC 证明△ADG ≌△ADC 得到CD ＝DG ∠AGD ＝∠ACB 再由∠ACB ＝2∠B 得到∠B ＝∠GDB 则BG ＝DG ＝DC 即可得到AB ＝BG +AG ＝CD +AC ；（3）在AF 上截取AG ＝AC 由AD 为∠F AC 的平分线得到∠GAD ＝∠CAD 可证△ADG ≌△ACD 得到CD ＝GD ∠AGD ＝∠ACD 即可推出∠ACB ＝∠FGD 再由∠ACB ＝2∠B 推出∠B ＝∠GDB 得到BG ＝DG ＝DC 则AB ＝BG ﹣AG ＝CD ﹣A C ．【详解】解：（1）AB ＝AC +CD 理由如下：∵∠ACB =90° ∠ACB =2∠B∴∠B =45° CD ⊥AC∵DE ⊥AB AD 平分∠BAC∴DE =CD ∠DEB =∠DEA =90°∴∠EDB =180°-∠B -∠DEB =45°∴∠B =∠EDB∴BE =ED =CD在Rt △AED 和Rt △AD C 中DE DC AD AD =⎧⎨=⎩∴Rt △AED ≌Rt △ACD （HL ）∴AE =AC∴AB +AE +BE =AC +CD ；（2）还存在AB ＝CD +AC 理由如下：在AB 上截取AG ＝AC 如图2所示∵AD 为∠BAC 的平分线∴∠GAD ＝∠CAD∵在△ADG 和△AD C 中AG AC GAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADG ≌△ADC （SAS ）∴CD ＝DG ∠AGD ＝∠ACB∵∠ACB ＝2∠B∴∠AGD ＝2∠B又∵∠AGD ＝∠B +∠GDB∴∠B ＝∠GDB∴BG ＝DG ＝DC则AB ＝BG +AG ＝CD +AC ；（3）AB ＝CD ﹣AC 理由如下：在AF 上截取AG ＝AC 如图3所示∵AD 为∠F AC 的平分线∴∠GAD ＝∠CAD∵在△ADG 和△AC D 中AG AC GAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADG ≌△ACD （SAS ）∴CD ＝GD ∠AGD ＝∠ACD∵∠FGD =180°-∠AGD ∠ACB =180°-∠ACD∴∠ACB ＝∠FGD∵∠ACB ＝2∠B∴∠FGD ＝2∠B又∵∠FGD ＝∠B +∠GDB∴∠B ＝∠GDB∴BG ＝DG ＝DC则AB ＝BG ﹣AG ＝CD ﹣A C ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定角平分线的性质与定义三角形外角的性质三角形内角和定理解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件．5．已知：如图1 在ABC 中 AD 是BAC ∠的平分线．E 是线段AD 上一点（点E 不与点A 点D 重合）满足2∠=∠ABE ACE ．（1）如图2 若18∠=︒ACE 且EA EC = 则DEC ∠=________︒ AEB ∠=_______︒．（2）求证：AB BE AC +=．（3）如图3 若BD BE = 请直接写出ABE ∠和BAC ∠的数量关系．【答案】（1）36 126；（2）见解析；（3）3180∠+∠=︒ABE BAC【解析】【分析】（1）18∠=︒ACE 且EA EC = 再结合三角形的外角定理即可求DEC ∠ 18∠=︒ACE 且EA EC = AD 是BAC ∠的平分线 2∠=∠ABE ACE 再结合三角形内角和定理即可求解AEB ∠；（2）在AC 上截取AF AB = 连接FE 可证()≌AEF AEB SAS 故EF EB = AFE ABE 从而可得FEC FCE ∠=∠ 所以EF FC =进而可证得：=+=+AC AF FC AB BE （3）由BD BE = 可得BED BDE ∠=∠ BED ABE BAE ∠=∠+∠ ∠=∠+∠BDE DAC ACD 又AD 是BAC ∠的平分线可得ABE ACD ∠=∠ 故CE 是ACD ∠的平分线所以BE 是ABD ∠的平分线故∠=∠=∠ABE ACD DBE 又180ACB ABC BAC ∠+∠+∠=︒ 所以ABE ∠和BAC ∠的数量关系即可求解．【详解】（1）∵18∠=︒ACE 且EA EC =∴∠EAC =∠ACE =18°∴∠DEC =∠EAC +∠ACE =36°又∵AD 是BAC ∠的平分线∴∠BAD =∠CAD =18°∵2∠=∠ABE ACE∴∠ABE =36°∴1801836126∠=︒-︒-︒=︒AEB ；故答案为：36 126（2）在AC 上截取AF AB = 连接FE又∵AE =AE EAF EAB ∠=∠∴()≌AEF AEB SAS∴EF EB = AFE ABE∵∠AFE =∠ACE +∠FEC ∠ABE =2∠ACE∴FEC FCE ∠=∠∴EF FC =∴=+=+AC AF FC AB BE ；（3）∵BD BE =∴BED BDE ∠=∠∵BED ABE BAE ∠=∠+∠ ∠=∠+∠BDE DAC ACD∠CAD =∠BAE∴∠ACD =∠ABE∵∠ABE =2∠ACE∴∠ACD =2∠ACE∴CE 平分∠ACB∴点E 到CA 、CB 的距离相等又∵AD 是BAC ∠的平分线∴点E 到AC 、AB 的距离相等∴点E 到BA 、BC 的距离相等∴BE 是ABD ∠的平分线∴∠ABE =∠CBE∴∠=∠=∠ABE ACD DBE又∵180ACB ABC BAC ∠+∠+∠=︒∴2180∠+∠+∠=︒ABE ABE BAC即3180∠+∠=︒ABE BAC ．【点睛】本题考查了三角形外角的性质、三角形的内角和定理、角平分线的性质、三角形全等的判定和性质解题的关键是熟练掌握各知识点准确作出辅助线熟练运用数形结合的思想．6．已知：如图 D 为△ABC 外角∠ACP 平分线上一点且DA ＝DB DM ⊥BP 于点M ．（1）若AC ＝6 DM ＝2 求△ACD 的面积；（2）求证：AC ＝BM ＋CM ．【答案】（1）6；（2）见解析【解析】【分析】（1）如图作DN ⊥AC 于N ．根据角平分线的性质定理可得DM ＝DN ＝2 由此即可解决问题；（2）由Rt △CDM ≌Rt △CDN 推出CN ＝CM 由Rt △ADN ≌Rt △BDM 推出AN ＝BM 由此即可解决问题．【详解】（1）解：如图作DN ⊥AC 于N ．∵DC 平分∠ACP DM ⊥CP DN ⊥CA∴DM ＝DN ＝2∴S △ADC ＝12•AC •DN ＝12×6×2＝6．（2）∵CD ＝CD DM ＝DN∴Rt △CDM ≌Rt △CDN∴CN ＝CM∵AD ＝BD DN ＝DM∴Rt △ADN ≌Rt △BDM∴AN ＝BM∴AC ＝AN ＋CN ＝BM ＋CM ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理等知识解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题属于中考常考题型．7．如图在∠EAF 的平分线上取点B 作BC ⊥AF 于点C 在直线AC 上取一动点P ．在直线AE 上取点Q 使得BQ=BP ．（1）如图1 当点P 在点线段AC 上时 ∠BQA +∠BP A = °；（2）如图2 当点P 在CA 延长线上时探究AQ 、AP 、AC 三条线段之间的数量关系说明理由；（3）在满足（1）的结论条件下当点P 运动到在射线AC 上时直接写出AQ 、AP 、PC 三条线段之间的数量关系为：．【答案】（1）180；（2）2AQ AP AC -=；理由见解析；（3）2AQ AP PC -=或2AP AQ PC -=．【解析】【分析】（1）作BM ⊥AE 于点M 根据角平分线的性质得到BM =BC 证明Rt BMQ ∆Rt ()BPC HL ∆≌,继而证明BQA BPC ∠=∠解题即可；（2）作BM AE ⊥于M 先证明Rt Rt ABM ABC ∆∆≌（HL ）继而得到ABM ABC ∠=∠ AM AC = BM BC = 再证明Rt Rt BMQ BCP ∆∆≌（HL ）从而得到PC QM = 据此解题即可；（3）分两种情况讨论当点P 在线段AC 上时或当点P 在线段AC 的延长线上时分别画出适合的图再由QBM PBC ∆∆≌（AAS ）可得QBM PBC ∠=∠ QM PC = BM BC = 再由Rt Rt ABM ABC ∆∆≌（HL ）可得AM AC = 利用线段和差计算即可．【详解】（1）证明：过点B 作BM AE ⊥于M∵BA 平分EAF ∠ BC AF ⊥∴BM BC =在Rt BMQ ∆和Rt BPC ∆中BQ BP BM BC =⎧⎨=⎩∴Rt Rt BMQ BPC ∆∆≌（HL ）∴BQA BPC ∠=∠又∵180BPC BPA ∠+∠=︒∴180BQA BPA ∠+∠=︒故答案为180；（2）解：2AQ AP AC -=理由如下：如图2 作BM AE ⊥于M∵AB 平分∠EAF BC AF ⊥∴BM =BC 90BMA BCA ∠=∠=︒在Rt ABM ∆和Rt ABC ∆中BM BC AB AB=⎧⎨=⎩ ∴Rt Rt ABM ABC ∆∆≌（HL ）∴ABM ABC ∠=∠ AM AC =在Rt BMQ ∆和Rt BCP ∆中BQ BP BM BC =⎧⎨=⎩∴Rt Rt BMQ BCP ∆∆≌（HL ）∴PC QM =∴()()2AQ AP AM QM PC AC AM AC AC -=+--=+=（3）当点P 在线段AC 上时如图 2AQ AP PC -=理由如下：作BM AE ⊥于M∵BC ⊥AF∴90BMA BCA ∠=∠=︒∵180BQA BPA ∠+∠=︒ ∠BPC +∠BP A =180°∴∠BPC =∠BQM在QBM ∆和PBC ∆中BMQ BCP BQM BPC QB PB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴QBM PBC ∆∆≌（AAS ）∴QBM PBC ∠=∠ QM PC = BM BC =在Rt ABM ∆和Rt ABC ∆中BM BC AB AB =⎧⎨=⎩∴Rt Rt ABM ABC ∆∆≌（HL ）∴AM AC =∴()2AQ AP AM QM AC PC QM PC PC -=+--=+=当点P 在线段AC 的延长线上时如图 2AP AQ PC -=理由如下：作BM AE ⊥于M∵BC ⊥AF∴90BMA BCA ∠=∠=︒∵180BQA BPA ∠+∠=︒ ∠BQM +∠BQA =180°∴∠BPC =∠BQM在QBM ∆和PBC ∆中BMQ BCPBQM BPCQB PB∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴QBM PBC ∆∆≌（AAS ）∴QBM PBC ∠=∠ QM PC = BM BC =在Rt ABM ∆和Rt ABC ∆中BM BCAB AB =⎧⎨=⎩∴Rt Rt ABM ABC ∆∆≌（HL ）∴AM AC =∴()2AP AQ AC CP AM QM MQ PC PC -=+--=+=故答案为：2AQ AP PC -=或2AP AQ PC -=．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质角平分线性质分类讨论思想等知识掌握相关知识利用辅助线画出准确图形是解题关键．8．如图在ABC 中 BAD DAC ∠=∠ DF AB ⊥ DM AC ⊥ 10AF cm = 14AC cm = 动点E 以2/cm s 的速度从A 点向F 点运动动点G 以1/cm s 的速度从C 点向A 点运动当一个点到达终点时另一个点随之停止运动设运动时间为t ．（1）CM = :AE CG = ；（2）当t 取何值时 DFE △和DMG △全等；（3）在（2）的前提下若:119:126BD DC = 228cm AED S =△ 求BFD S ．【答案】（1）4 2；（2）143；（3）293cm 2．【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质可证Rt △AFD ≌Rt △AMD 得AF =AM 从而求出即可；（2）分两种情况进行讨论：①当0＜t ＜4时 ②当4≤t ＜5时分别根据△DFE ≌△DMG 得出EF =GM 据此列出关于t 的方程进行求解即可．（3）利用等高三角形的面积比等于对应底的比即可求得答案．【详解】（1）∵∠BAD =∠DAC DF ⊥AB DM ⊥AC ∴DF =DM在Rt △AFD 和Rt △AM D 中DF DMAD AD =⎧⎨=⎩∴Rt △AFD ≌Rt △AMD （HL ）；∴10AF AM cm ==14104CM AC AM cm ∴=-=-=2AE t = CG t = :2AE CG ∴=（2）①当0＜t ＜4时点G 在线段CM 上点E 在线段AF 上．EF ＝10﹣2t MG ＝4﹣t∴10﹣2t＝4﹣t∴t＝6（不合题意舍去）；②当4＜t＜5时点G在线段AM上点E在线段AF上．EF＝10﹣2t MG＝t﹣4∴10﹣2t＝t﹣4∴t＝143；综上所述当t＝143时△DFE与△DMG全等；（3）∵t＝14 3∴AE＝2t＝28 3∵DF＝DM∴S△ABD：S△ACD＝AB：AC＝BD：CD＝119：126 ∵AC＝14∴AB＝119 9∴BF＝AB﹣AF＝1199﹣10＝299∵S△ADE：S△BDF＝AE：BF＝283：299S△AED＝28cm2∴S△BDF＝293cm2．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、三角形的面积公式以及动点问题解题的难点在于第二问中求运动的时间此题容易漏解和错解．9．在平面直角坐标系中A（﹣3 0）、B（0 7）、C（7 0）∠ABC＋∠ADC＝180° BC⊥C D．（1）如图1①求证：∠ABO＝∠CAD；②AB与AD是否相等？请说明理由；（2）如图2 E为∠BCO的邻补角的平分线上的一点且∠BEO＝45° OE交BC于点F求BF 的长．【答案】（1）①见解析；②AB＝AD见解析；（2）7【解析】【分析】(1）根据四边形的内角和定理、直角三角形的性质证明；(2)过点A作AF⊥BC于点F作AE⊥CD的延长线于点E△ABF≌△ADE得到AB＝AD(3)过点E作EH⊥BC于点H作EG⊥x轴于点G根据角平分线的性质得到EH=EG证明△ABF ≌△ADE得到EB=EO根据等腰三角形的判定定理解答.【详解】证明：①在四边形ABC D中∵∠ABC＋∠ADC＝180°∴∠BAD＋∠BCD＝180°∵BC⊥CD∴∠BCD＝90°∴∠BAD＝90°∴∠BAC＋∠CAD＝90°∵∠BAC＋∠ABO＝90°∴∠ABO＝∠CAD；解：②AB＝AD如图：过点A 作AF ⊥BC 于点F 作AE ⊥CD 的延长线于点E ∵B （0 7） C （7 0）∴OB ＝OC∴∠BCO ＝45°∵BC ⊥CD∴∠BCO ＝∠DCO ＝45°∵AF ⊥BC AE ⊥CD∴AF ＝AE ∠F AE ＝90°∴∠BAF ＝∠DAE在△ABF 和△ADE 中BAF DAE AF AEAFB AED ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABF ≌△ADE （ASA ）∴AB ＝AD（3）过点E 作EH ⊥BC 于点H 作EG ⊥x 轴于点G∵E 点在∠BCO 的邻补角的平分线上∴EH ＝EG∵∠BCO ＝∠BEO ＝45°∴∠EBC ＝∠EOC在△EBH 和△EOG 中EBH EOG EHB EGO EH EG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△EBH ≌△EOG （AAS ）∴EB ＝EO∵∠BEO ＝45°∴∠EBO ＝∠EOB ＝67.5° 又∠OBC ＝45°∴∠BOE ＝∠BFO ＝67.5°∴BF ＝BO ＝7.【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、角平分线的性质掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.10．如图所示直线AB 交x 轴于点A （a 0）交y 轴于点B （0 b ）且a 、b2(4)0a -= C 的坐标为（﹣1 0）且AH ⊥BC 于点H AH 交OB 于点P ．（1）如图1 写出a 、b 的值证明△AOP ≌△BOC ；（2）如图2 连接OH 求证：∠OHP ＝45°；（3）如图3 若点D 为AB 的中点点M 为y 轴正半轴上一动点连接MD 过D 作DN ⊥DM 交x 轴于N 点当M 点在y 轴正半轴上运动的过程中求证：S △BDM ﹣S △ADN ＝4．【答案】（1）a ＝4 b ＝﹣4 见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】【分析】（1）先依据非负数的性质求得a 、b 的值从而可得到OA OB = 然后再90COB POA ∠=∠=︒OAP OBC ∠=∠ 最后依据ASA 可证明OAP OBC ∆∆≌；（2）要证45OHP ∠=︒ 只需证明HO 平分CHA ∠ 过O 分别作OM CB ⊥于M 点作ON HA ⊥于N 点只需证到OM ON = 只需证明COM PON ∆∆≌即可；（3）连接OD 易证ODM ADN ∆∆≌ 从而有ODM ADN S S ∆∆= 由此可得12BDM ADN BDM ODM BOD AOB S S S S S S ∆∆∆∆∆∆-=-==．【详解】（1）解：2(4)0a -=0a b ∴+= 40a -=4a ∴= 4b =-则4OA OB ==．AH BC ⊥即90AHC ∠=︒ 90COB ∠=︒90HAC ACH OBC OCB ∴∠+∠=∠+∠=︒HAC OBC ∴∠=∠．在OAP ∆与OBC ∆中90COB POA OA OBOAP OBC ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()OAP OBC ASA ∴∆∆≌；（2）证明：过O 分别作OM CB ⊥于M 点作ON HA ⊥于N 点．在四边形OMHN 中 36039090MON ∠=︒-⨯︒=︒90COM PON MOP ∴∠=∠=︒-∠．OAP OBC ∆∆≌OC OP ∴=在COM ∆与PON ∆中90COM PON OMC ONP OC OP ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩()COM PON AAS ∴∆∆≌OM ON ∴=．OM CB ⊥ ON HA ⊥HO ∴平分CHA ∠1452OHP CHA ∴∠=∠=︒；（3）证明：如图：连接OD ．90AOB ∠=︒ OA OB = D 为AB 的中点OD AB ∴⊥ 45BOD AOD ∠=∠=︒ OD DA BD ==45OAD ∴∠=︒ 9045135MOD ∠=︒+︒=︒135DAN MOD ∴∠=︒=∠．MD ND ⊥即90MDN ∠=︒90MDO NDA MDA ∴∠=∠=︒-∠．在ODM ∆与ADN ∆中MDO NDA DOM DAN OD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ODM ADN ASA ∴∆∆≌ODM ADN S S ∆∆∴=．11114442222BDM ADN BDM ODM BOD AOB S S S S S S AO BO ∆∆∆∆∆∆∴-=-===⨯⋅=⨯⨯⨯=．【点睛】本题是一次函数综合题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、角平分线的判定、二次根式及完全平方式的非负性等知识在解决第（3）小题的过程中还用到了等积变换而运用全等三角形的性质则是解决本题的关键．11．在△AB C 中 ∠BAC ＝90° AB ＝A C ．（1）如图1 若A 、B 两点的坐标分别是A （0 4） B （﹣2 0）求C 点的坐标；（2）如图2 作∠ABC 的角平分线BD 交AC 于点D 过C 点作CE ⊥BD 于点E 求证： BD ＝2CE【答案】（1）（4 2）；（2）证明过程见解析【解析】【分析】（1）作CM ⊥OA 垂足为M 证明△ABO ≌△CAM 即可得解；（2）延长CE 、BA 相交于点F 证明△ABD ≌△ACF （ASA ）得到BD =CF 证明△BCE ≌△BFE （ASA ）即可得解；【详解】（1）作CM ⊥OA 垂足为M∵∠AOB =∠BAC =90°∴∠BAO +∠CAM =90° ∠BAO +∠ABO =90°∴∠ABO =∠CAM在ABO 和CAM 中AOB CMA ABO CAM AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABO ≌△CAM∴MC =AO =4 AM =BO =2 MO =AO -AM =2∴点C 坐标（4 2）；（2）如图2 延长CE 、BA 相交于点F∵∠EBF+∠F =90° ∠ACF+∠F =90°∴∠EBF =∠ACF在ABD △和ACF 中ABD ACF AB ACBAD CAF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABD ≌△ACF （ASA ）∴BD=CF在BCE 和BFE △中CBE FBE BE BEBEF BEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△BCE ≌△BFE （ASA ）∴CE =EF∴BD =CF =2 CE ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质角平分线的性质准确分析证明是解题的关键． 12．如图1 点A 、D 在y 轴正半轴上点B 、C 分别在x 轴上 CD 平分∠ACB 与y 轴交于D 点 ∠CAO ＋∠BDO ＝90°．（1）求证：AC ＝BC ；（2）如图2 点C 的坐标为(6 0) 点E 为AC 上一点且∠DEA ＝∠DBO 求BC +EC 的值；（3）如图3 过D 作DF ⊥AC 于F 点点H 为FC 上一动点点G 为OC 上一动点当H 在FC 上移动、点G 在OC 上移动时始终满足∠GDH ＝∠GDO +∠FDH ．试判断FH 、GH 、OG 这三者之间的数量关系写出你的结论并加以证明．【答案】（1）证明见解析；（2）BC +EC =12；（3）GH =FH +OG 证明见解析．【解析】【分析】（1）由题意∠CAO ＋∠BDO ＝90° 可知∠CAO =∠CBD 再结合CD 平分∠ACB 所以可由AAS 定理证明△ACD ≌△BCD 由全等三角形的性质可得AC =BC ；（2）过D 作DN ⊥AC 于N 点可证明Rt △BDO ≌Rt △EDN 、△DOC ≌△DNC 因此 BO =EN 、OC =NC 所以 BC +EC =BO +OC +NC -NE =2OC 即可得BC +EC 的长；（3）在x 轴的负半轴上取OM =FH 可证明△DFH ≌△DOM 、△HDG ≌△MDG 因此 MG =GH 所以 GH =OM +OG =FH +OG 即可证明所得结论．【详解】（1）证明：∵x 轴⊥y 轴∴∠CBD ＋∠BDO ＝90°∵∠CAO ＋∠BDO ＝90°∴∠CAO =∠CB D ．∵CD 平分∠ACB∴ACD BCD ∠=∠在△ACD 和△BC D 中ACD BCD CAO CBD CD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACD ≌△BCD （AAS ）．∴AC =BC AD =DE ；（2）解：由（1）知∠CAD =∠DEA =∠DBO∴BD =AD =DE过D 作DN ⊥AC 于N 点如右图所示：∵∠ACD =∠BCD∴DO =DN在Rt △BDO 和Rt △EDN 中BD DE DO DN=⎧⎨=⎩ ∴Rt △BDO ≌Rt △EDN （HL ）∴BO =EN ．在△DOC 和△DN C 中90DOC DNC OCD NCD DC DC ︒⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DOC ≌△DNC （AAS ）可知：OC =NC ；∴BC +EC =BO +OC +NC -NE =2OC =12；（3）GH =FH +OG ．证明：由（1）知：DF =DO在x 轴的负半轴上取OM =FH 连接DM 如图所示：在△DFH 和△DOM 中90DF DO DFH DOM OM FH ︒=⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩∴△DFH ≌△DOM （SAS ）．∴DH =DM ∠1=∠ODM ．∴∠GDH =∠1+∠2=∠ODM +∠2=∠GDM ．在△HDG 和△MDG 中DH DMGDH GDM DG DG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ∴△HDG ≌△MDG （SAS ）．∴MG =GH∴GH =OM +OG =FH +OG ．【点睛】本题考查坐标与图形全等三角形的性质和判定角平分线的性质．能正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键．。

初二数学全等三角形角平分线辅助复习题含答案

初二数学全等三角形角平分线辅助复习题含答案一、全等三角形角平分线辅助1．（特例感知）（1）如图（1），ABC ∠是O 的圆周角，BC 为直径，BD 平分ABC ∠交O 于点D ，3CD =，4BD =，求点D 到直线AB 的距离．（类比迁移）（2）如图（2），ABC ∠是O 的圆周角，BC 为O 的弦，BD 平分ABC ∠交O 于点D ，过点D 作DE BC ⊥，垂足为点E ，探索线段AB ，BE ，BC 之间的数量关系，并说明理由．（问题解决）（3）如图（3），四边形ABCD 为O 的内接四边形，90ABC ∠=︒，BD 平分ABC ∠，72BD =，6AB =，求ABC 的内心与外心之间的距离．2．问题呈现：下图是小明复习全等三角形时遇到的一个问题并引发的思考，请帮助小明完成以下学习任务．请根据小明的思路，结合图①，写出完整的证明过程．结论应用：（1）如图②，在四边形ABCD 中，AB AD BC =+，DAB ∠的平分线和ABC ∠的平分线交于CD 边上点P ．求证：PC PD =；（2）在（1）的条件下，如图③，若10AB =，1tan 2PAB ∠=．当PBC 有一个内角是45︒时，PAD △的面积是．3．教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容.2．线段垂直平分线.我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，如图，直线MN是线段AB的垂直平分线，P是MN上任一点，连结PA、PB，将线段AB沿直线MN对称，我们发现PA与PB完全重合，由此即有：线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线上的点到线段的距离相等．已知：如图，MN⊥AB，垂足为点C，AC＝BC，点P是直线MN上的任意一点．求证：PA＝PB．分析：图中有两个直角三角形APC和BPC，只要证明这两个三角形全等，便可证明PA＝PB．定理证明：请根据教材中的分析，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程．定理应用：（1）如图②，在△ABC中，直线m、n分别是边BC、AC的垂直平分线，直线m、n的交点为O．过点O作OH⊥AB于点H．求证：AH＝BH．（2）如图③，在△ABC中，AB＝BC，边AB的垂直平分线l交AC于点D，边BC的垂直平分线k交AC于点E．若∠ABC＝120°，AC＝15，则DE的长为．4．如图1，已知正方形ABCD的边长为1，点E在边BC上，若∠AEF=90°，且EF交正方形的外角∠DCM的平分线CF于点F．（1）图1中若点E是边BC的中点，我们可以构造两个三角形全等来证明AE=EF，请叙述你的一个构造方案，并指出是哪两个三角形全等（不要求证明）；（2）如图2，若点E在线段BC上滑动（不与点B，C重合）．①AE=EF是否一定成立？说出你的理由；②在如图2所示的直角坐标系中抛物线y=ax2+x+c经过A、D两点，当点E滑动到某处时，点F恰好落在此抛物线上，求此时点F的坐标．5．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，且AE、BE交CD于点E．试说明AD＝AB﹣BC的理由．6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至E，使DE＝AD，求证：∠ECA＝40°．7．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，AD+AB=2AE，求证：∠ADC+∠B=180º8．如图，已知BC是⊙O的弦，A是⊙O外一点，△ABC为正三角形，D为BC的中点，M 为⊙O上一点．（1）若AB 是⊙O 的切线，求∠BMC ；（2）在（1）的条件下，若E ，F 分别是AB ，AC 上的两个动点，且∠EDF =120︒，⊙O 的半径为2，试问BE +CF 的值是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． 9．如图所示，在四边形ABCD 中，AC 平分,DAB CD CB ∠=，求证：180B D ∠+∠=．10．如图，在ABC ∆中，2ABC C ∠=∠，BE 平分ABC ∠，交AC 于E ，AD BE ⊥于D ，求证：2AC BD =.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、全等三角形角平分线辅助1．（1）125；（2）2AB BC BE +=，理由见解析；（35 【分析】（1）如图①中，作DF AB ⊥于F ，DE BC ⊥于E ．理由面积法求出DE ，再利用角平分线的性质定理可得DF DE =解决问题；（2）如图②中，结论：2AB BC BE +=．只要证明()DFA DEC ASA ∆≅∆，推出AF CE =，Rt BDF Rt BDE(HL)∆≅∆，推出AF BE =即可解决问题；（3）如图③，过点D 作DF ⊥BA ，交BA 的延长线于点F ，DE ⊥BC ，交BC 于点E ，连接AC ，作△ABC △ABC 的内切圆，圆心为M ，N 为切点，连接MN ，OM ．由（1）（2）可知，四边形BEDF 是正方形，BD 是对角线．由切线长定理可知：610842AN +-==，推出541ON =-=，由面积法可知内切圆半径为2，在Rt OMN ∆中，理由勾股定理即可解决问题；【详解】解：（1）如图①中，作DF AB ⊥于F ，DE BC ⊥于E ．图①BD 平分ABC ∠，DF AB ⊥，DE BC ⊥，DF DE ∴=，BC 是直径，90BDC ∴∠=︒，2222435BC BD CD ∴=+=+=，1122BC DE BD DC =， 125DE ∴=， 125DF DE =∴=．故答案为125 （2）如图②中，结论：2AB BC BE +=．图②理由：作DF BA ⊥于F ，连接AD ，DC ．BD 平分ABC ∠，DE BC ⊥，DF BA ⊥，DF DE ∴=，90DFB DEB ∠=∠=︒，180ABC ADC ∠+∠=︒，180ABC EDF ∠+∠=︒，ADC EDF ∴∠=∠，FDA CDE ∴∠=∠，90DFA DEC ∠=∠=︒，()DFA DEC ASA ∴∆≅∆，AF CE ∴=，BD BD =，DF DE =，Rt BDF Rt BDE(HL)∴∆≅∆，BF BE ∴=，2AB BC BF AF BE CE BE ∴+=-++=．（3）如图③，过点D 作DF ⊥BA ，交BA 的延长线于点F ，DE ⊥BC ，交BC 于点E ，连接AC ，作△ABC △ABC 的内切圆，圆心为M ，N 为切点，连接MN ，OM ．由（1）（2）可知，四边形BEDF 是正方形，BD 是对角线．图③ 72BD =，∴正方形BEDF 的边长为7，由（2）可知：28BC BE AB =-=，226810AC ∴=+=，由切线长定理可知：610842AN +-==， 541ON ∴=-=，设内切圆的半径为r ，则11111068682222r r r ⨯+⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯⨯ 解得2r ，即2MN =，在Rt OMN ∆中，2222215OM MN ON =+=+=． 5【点睛】本题属于圆综合题，考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．2．问题呈现：见解析；结论应用：（1）见解析；（2）403或8 【分析】问题呈现：由“SAS ”可证△MOP ≌△NOP ，可得PM ＝PN ；结论应用：（1）在AB 上截取AE ＝AD ，连接PE ，由“SAS ”可证△ADP ≌△AEP ，△BPC ≌△BPE ，可得PD ＝PE ＝PC ；（2）延长AP ，BC 交于点H ，由“ASA ”可证△ADP ≌△HCP ，可得CP ＝DP ，AD ＝CH ，S △ADP ＝S △CPH ，分三种情况讨论，由角平分线的性质和锐角三角函数可求解．【详解】问题呈现：证明：∵OC 平分AOB ∠，∴AOC BOC ∠=∠．在POM 和PON △中，OP OP POM PON OM ON =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩．∴POM PON △≌△．结论应用：在AB 上截取AE AD =，∵AP 平分DAB ∠，∴DAP BAP ∠=∠，∵AP AP =，∴ADP AEP △≌△．∴PE PD =．∵AB AD BC =+，∴BE BC =，∵BP 平分ABC ∠，∴ABP CBP ∠=∠．∵BP BP =．∴PBE PBC △≌△．∴PE PC =．∴PC PD =．（2）由（1）可证∠D ＝∠AEP ，∠PCB ＝∠PEB ，∵∠AEP +∠PEB ＝180°，∴∠PCB+∠D＝180°，∴AD∥BC，∵AB＝10，tan∠PAB＝PBPA＝12，∴PA＝2PB，∵PA2+PB2＝AB2，∴PB＝25，PA＝45，如图③，延长AP，BC交于点H，∵AD∥BC，∴∠DAP＝∠H，∴∠H＝∠BAP，∴AB＝BH＝10，又∵PB平分∠ABC，∴BP⊥AP，AP＝PH＝45，∵∠DAP＝∠H，AP＝PH，∠DPA＝∠CPH，∴△ADP≌△HCP（ASA），∴CP＝DP，AD＝CH，S△ADP＝S△CPH，若∠PBC＝45°时，则∠PBC＝∠H＝45°，∴PB＝PH（不合题意舍去），若∠BPC＝45°时，则∠HPC＝∠BPC＝45°，如图④，过点C作CN⊥BP于N，CM⊥PH于M，∴CM＝CN，∵S△PBH＝12×BP×PH＝12×BP×CN+12×PH×CM，∴CM＝CN 453，∴S △PCH ＝12×45×453＝403＝S △ADP ；若∠PCB ＝45°时，如图⑤，过点P 作PF ⊥BC 于F ，∵∠PAB ＝∠H ，∴tan H ＝tan ∠PAB ＝12， ∴12PF FH ， ∴FH ＝2PF ， ∵PF 2+FH 2＝PH 2＝80，∴PF ＝4，FH ＝8，∵PF ⊥BC ，∠BCP ＝45°，∴∠PCB ＝∠FPC ＝45°，∴CF ＝PF ＝4，∴CH ＝4，∴S △ADP ＝S △CPH ＝12×4×4＝8，故答案为：8或403．【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．3．（1）见解析；（2）5【分析】定理证明：先证明△PAC ≌△PBC ，然后再运用三角形全等的性质进行解答即可；（1）连结AO 、BO 、CO 利用线段的垂直平分线的判定和性质即可解答；（2）连接BD ，BE ，证明△BDE 是等边三角形即可解答.【详解】解：定理证明：∵MN ⊥AB ，∴∠PCA ＝∠PCB ＝90°．又∵AC ＝BC ，PC ＝PC ，∴△PAC≌△PBC（SAS），∴PA＝PB．定理应用：（1）如图2，连结OA、OB、OC．∵直线m是边BC的垂直平分线，∴OB＝OC，∵直线n是边AC的垂直平分线，∴OA＝OC，∴OA＝OB∵OH⊥AB，∴AH＝BH；（2）如图③中，连接BD，BE．∵BA＝BC，∠ABC＝120°，∴∠A＝∠C＝30°，∵边AB的垂直平分线交AC于点D，边BC的垂直平分线交AC于点E，∴DA＝DB，EB＝EC，∴∠A＝∠DBA＝30°，∠C＝∠EBC＝30°，∴∠BDE＝∠A+∠DBA＝60°，∠BED＝∠C+∠EBC＝60°，∴△BDE是等边三角形，∴AD＝BD＝DE＝BE＝EC，∵AC＝15＝AD+DE+EC＝3DE，∴DE＝5，故答案为：5．【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，掌握并灵活运用数学基本知识是解答本题的关键.4．（1）见解析；（2）①见解析；②点F的坐标为F（，）【解析】试题分析：（1）由于∠AEF=90°，故∠FEC=∠EAB，而E是BC中点，从而只需取AB点G，连接EG，则有AG=CE，BG=BE，∠AGE=∠ECF，易得△AGE≌△ECF；（2）①由于AB=BC，所以只要AG=EC就有BG=BE，就同样可得△AGE≌△ECF，于是截取AG=EC，证全等即可；②根据A、D两点的坐标求出抛物线解析式，设出F点的横坐标，纵坐标用横坐标表示，将F点的坐标代入抛物线解析式即可求出坐标．解：（1）如图1，取AB的中点G，连接EG．△AGE≌△ECF．（2）①若点E在线段BC上滑动时AE=EF总成立．证明：如图2，在AB上截取AG=EC．∵AB=BC，∴BG=BE，∴△GBE是等腰直角三角形，∴∠AGE=180°﹣45°=135°，∵CF平分正方形的外角，∴∠ECF=135°，∴∠AGE=∠ECF，而∠BAE+∠AEB=∠CEF+∠AEB=90°，∴∠BAE=∠CEF，∴△AGE≌△ECF，∴AE=EF．②由题意可知抛物线经过A（0，1），D（1，1）两点，∴，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+1，过点F 作FH ⊥x 轴于H ，由①知，FH=BE=CH ，设BH=a ，则FH=a ﹣1，∴点F 的坐标为F （a ，a ﹣1），∵点F 恰好落在抛物线y=﹣x 2+x+1上，∴a ﹣1=﹣a 2+a+1，∴a=（负值不合题意，舍去），点F 的坐标为F （，）. 考点：二次函数综合题．5．见解析【分析】在AB 上找到F 使得AF ＝AD ，易证△AEF ≌△AED ，可得AF ＝AD ，∠AFE ＝∠D ，根据平行线性质可证∠C ＝∠BFE ，即可证明△BEC ≌△BEF ，可得BF ＝BC ，即可解题．【详解】证明：在AB 上找到F 使得AF ＝AD ，∵AE 平分∠BAD ，∴∠EAD ＝∠EAF ，∵在△AEF 和△AED 中，AD AF EAD EAF AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF ≌△AED ，（SAS ）∴AF ＝AD ，∠AFE ＝∠D ，∵AD ∥BC ，∴∠D ＋∠C ＝180°，∵∠AFE ＋∠BFE ＝180°∴∠C ＝∠BFE ，∵BE 平分∠BAD ，∴∠FBE ＝∠C ，∵在△BEC 和△BEF 中，BFE C FBE CBE BE BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BEC ≌△BEF ，（AAS ）∴BF ＝BC ，∵AB ＝AF ＋BF ，∴AB ＝AD ＋BC ，即AD ＝AB ﹣BC ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△AEF ≌△AED 和△BEC ≌△BEF 是解题的关键．6．见解析【分析】在BC 上截取BF ＝AB ，连DF ，根据SAS 可证明△ABD ≌△FBD ，得出DF ＝DA ＝DE ，证明△DCE ≌△DCF ，故∠ECA ＝∠DCB ＝40°．【详解】证明：在BC 上截取BF ＝AB ，连DF ，∵BD 是∠ABC 的平分线，∴∠ABD ＝∠FBD ，在△ABD 和△ＦBD 中，AB FB ABD FBD BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△FBD （SAS ），∴DF ＝DA ＝DE ，又∵∠ACB ＝∠ABC ＝40°，∠DFC ＝180°﹣∠A ＝80°，∴∠FDC ＝60°，∴∠EDC ＝∠ADB ＝180°﹣∠ABD ﹣∠A＝180°﹣20°﹣100°＝60°，在△DCE 和△DCF 中，DF DE FDC EDC DC DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DCE≌△DCF（SAS），∴∠ECA＝∠DCB＝40°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．7．见解析.【分析】延长AD过C作CF垂直AD于F，由条件可证△AFC≌△AEC，得到CF＝CE．再由条件AD＋AB＝2AE可证BE＝DF，所以△CDF≌△CEB，由全等的性质可得∠B＝∠FDC，问题得证．【详解】证明：延长AD过C作CF垂直AD于F，∵AC平分∠BAD，∴∠FAC＝∠EAC，∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴∠AFC＝∠AEC＝90°，AC=AC，∴△AFC≌△AEC(AAS)，∴AF＝AE，CF＝CE，∵AD+AB=2AE，又∵AD＝AF−DF，AB＝AE＋BE，AF＝AE，∴2AE＝AE＋BE＋AE−DF，∴BE＝DF，在△CDF和△CBE中，CF CECFD CEBDF BE⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△CDF≌△CBE（SAS），∴∠B＝∠FDC，∵∠ADC＋∠FDC＝180°，∴∠ADC+∠B=180º．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是牢记三角形全等的判定定理．8．（1）60°；（2）BE+CF的值是定值，3【分析】（1）连接BO，由AB是切线可以得到∠ABO的度数，由△ABC为等边三角形，得到∠OBC 的度数，然后得到∠BOC，根据圆心角与圆周角的关系得到∠BMC的度数.（2）作DH⊥AB于H，DN⊥AC于N，连结AD ，OD，如图2，根据等边三角形三角形的性质得AD平分∠BAC，∠BAC=60°，则利用角平分线性质得DH=DN，根据四边形内角和得∠HDN=120°，由于∠EDF=120°，所以∠HDE=∠NDF，接着证明△DHE≌△DNF得到HE=NF，于是BE+CF=BH+CN，再计算出BH=12BD，CN=12DC，则BE+CF=12BC，于是可判断BE+CF的值是定值，为等边△ABC边长的一半，再计算BC的长即可．【详解】（1）解：如图，连接BO，∵AB是圆的切线，∴∠ABO=90°，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，∴∠CBO=90°-60°=30°，∵BO=CO，∴∠BCO=∠CBO=30°，∴∠BOC=120°，∴∠BMC=1BOC602∠=︒（2）解：BE+CF的值是为定值．理由：作DH⊥AB于H，DN⊥AC于N，连结AD，OD，如图2，∵△ABC为正三角形，D为BC的中点，∴AD 平分∠BAC ，∠BAC=60°，∴DH=DN ，∠HDN=120°，∵∠EDF=120°，∴∠HDE=∠NDF ，在△DHE 和△DNF 中，∴DHE DNF DH DN HDE NDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△DHE ≌△DNF ，∴HE=NF ，∴BE+CF=BH-EH+CN+NF=BH+CN ，在Rt △DHB 中，∵∠DBH=60°，∴BH=12BD ，同理可得CN=12OC ， ∴BE+CF=12DB+12DC=12BC ， ∵∴BC=∴∴BE+CF【点睛】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了等边三角形的性质．9．详见解析【解析】【分析】过点C 分别作CE AB ⊥于E ，CF AD ⊥于F ，由条件可得出△CDF ≌△CEB ，可得∠B=∠FDC ，进而可证明∠B+∠ADC=180°．【详解】证明：过点C 分别作CE AB ⊥于E ，CF AD ⊥于F ，∵AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，CF AD ⊥于F ，∴CF=CE ，在Rt △CDF 与Rt △CEB 中，CF=CE CD=CB ⎧⎨⎩∴CBE CDF ∆∆≌，CBE CDF ∴∠=∠，180ADC CDF ∠+∠=︒，A C 180B D ∴∠+∠=︒ .【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据HL 证明△CDF ≌△CEB 进而得出∠B=∠FDC ．10．详见解析【解析】【分析】延长BD 至N ，使DN=BD ，易得AD 垂直平分BN ，继而证得AE=EN ，则可证得结论．【详解】延长BD 至N ，使DN=BD ，连接AN ．∵AD ⊥BE ，∴AD 垂直平分BN ，∴AB=AN ，∴∠N=∠ABN ，又∵BE 平分∠ABC ，∠ABC=2∠C ，∴∠ABN=∠NBC=∠C ，∴∠NBC=∠C ，∴AN ∥BC ，∴∠C=∠NAC ，∴∠NAC=∠N ，∴AE=EN ，∵BE=EC ，∴AC=BN=2BD ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定、线段垂直平分线的性质以及平行线的判定与性质．注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．。

(完整)全等三角形和角平分线专题讲解和练习题

C EODBA21C EDB A21OA全等三角形专题讲解专题一全等三角形判别方法的应用专题概说：判定两个三角形全等的方法一般有以下4种： 1．三边对应相等的两个三角形全等（简写成“SSS ”)2．两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简写成“SAS"） 3．两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“ASA ”）4．两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“AAS"）而在判别两个直角三角形全等时，除了可以应用以上4种判别方法外，还可以应用“斜边、直角边”，即斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“HL ”）．也就是说“斜边、直角边”是判别两个直角三角形全等的特有的方法，它仅适用于判别两个直角三角形全等．三角形全等是证明线段相等,角相等最基本、最常用的方法，这不仅因为全等三角形有很多重要的角相等、线段相等的特征，还在于全等三角形能把已知的线段相等、角相等与未知的结论联系起来．那么我们应该怎样应用三角形全等的判别方法呢?(1）条件充足时直接应用在证明与线段或角相等的有关问题时，常常需要先证明线段或角所在的两个三角形全等，而从近年的中考题来看，这类试题难度不大，证明两个三角形的条件比较充分．只要同学们认真观察图形，结合已知条件分析寻找两个三角形全等的条件即可证明两个三角形全等．例1 已知:如图1，CE ⊥AB 于点E ，BD ⊥AC 于点D ，BD 、CE 交于点O,且AO 平分∠BAC ．那么图中全等的三角形有___对．图1（2）条件不足,会增加条件用判别方法此类问题实际是指条件开放题，即指题中没有确定的已知条件或已知条件不充分,需要补充使三角形全等的条件．解这类问题的基本思路是：执果索因，逆向思维,逐步分析，探索结论成立的条件,从而得出答案．例2 如图2，已知AB=AD ，∠1=∠2,要使△ABC ≌△ADE,还需添加的条件是（只需填一个）_____．图2（3）条件比较隐蔽时，可通过添加辅助线用判别方法在证明两个三角形全等时,当边或角的关系不明显时,可通过添加辅助线作为桥梁,沟通边或角的关系，使条件由隐变显，从而顺利运用全等三角形的判别方法证明两个三角形全等．例3 已知:如图3，AB=AC,∠1=∠2．求证：AO 平分∠BAC ．分析：要证AO 平分∠BAC ，即证∠BAO=∠BCO,要证∠BAO=∠BCO,只需证∠BAO 和∠BCO 所在的两个三角形全等．而由已知条件知，只需再证明BO=CO 即可．图3GABF DEC ODA CBFCEDBA（4）条件中没有现成的全等三角形时，会通过构造全等三角形用判别方法有些几何问题中，往往不能直接证明一对三角形全等，一般需要作辅助线来构造全等三角形．例4 已知：如图4，在Rt △ABC 中,∠ACB=90º，AC=BC ，D 为BC 的中点，CE ⊥AD 于E ，交AB 于F ，连接DF ．求证：∠ADC=∠BDF ．说明：常见的构造三角形全等的方法有如下三种:①涉及三角形的中线问题时，常采用延长中线一倍的方法，构造出一对全等三角形；②涉及角平分线问题时，经过角平分线上一点向两边作垂线，可以得到一对全等三角形；③证明两条线段的和等于第三条线段时，用“截长补短”法可以构造一对全等三角形．（5）会在实际问题中用全等三角形的判别方法新课标强调了数学的应用价值，注意培养同学们应用数学的意识，形成解决简单实际问题的能力﹒在近年中考出现的与全等三角形有关的实际问题,体现了这一数学理念，应当引起同学们的重视．例5 要在湖的两岸A 、B 间建一座观赏桥，由于条件限制，无法直接度量A ，B 两点间的距离﹒请你用学过的数学知识按以下要求设计一测量方案﹒（1）画出测量图案﹒（2)写出测量步骤（测量数据用字母表示）﹒ 图5 (3)计算A 、B 的距离(写出求解或推理过程，结果用字母表示)﹒分析：可把此题转化为证两个三角形全等．第(1）题,测量图案如图5所示．第（2）题，测量步骤：先在陆地上找到一点O ，在AO 的延长线上取一点C ，并测得OC=OA ，在BO 的延长线上取一点D ，并测得OD=OB,这时测得CD 的长为a ，则AB 的长就是a ．第（3)题易证△AOB ≌△COD ，所以AB=CD ，测得CD 的长即可得AB 的长．解：（1)如图6示．(2)在陆地上找到可以直接到达A 、B 的一点O,在AO 的延长线上取一点C ，并测得OC ＝OA ，在BO 的延长线上取一点D ，并测得OD ＝OB,这时测出CD 的长为a ，则AB 的长就是a ．（3)理由：由测法可得OC=OA ，OD=OB ．又∠COD=∠AOB ，∴△COD ≌△AOB ．∴CD=AB=a ．图6评注：本题的背景是学生熟悉的,提供了一个学生动手操作的机会，重点考查了学生的操作能力,培养了学生用数学的意识﹒练习:1．已知：如图7，D 是△ABC 的边AB 上一点,AB ∥FC ，DF 交AC 于点E ，DE=FE ．求证：AE=CE ．C ED B AAO Q M CPBN A D C PBHF EGAD CBADCFBEA2．如图8，在△ABC 中，点E 在BC 上,点D 在AE 上，已知∠ABD=∠ACD ，∠BDE=∠CDE ．求证：BD=CD ．3．用有刻度的直尺能平分任意角吗？下面是一种方法:如图9所示，先在∠AOB 的两边上取OP=OQ ，再取PM=QN,连接PN 、QM,得交点C ，则射线OC 平分∠AOB ．你能说明道理吗？4．如图10，△ABC 中，AB=AC,过点A 作GE ∥BC ，角平分线BD 、CF 相交于点H ，它们的延长线分别交GE 于点E 、G ．试在图10中找出3对全等三角形,并对其中一对全等三角形给出证明．5．已知:如图11，点C 、D 在线段AB 上，PC=PD ．请你添加一个条件，使图中存在全等三角形,并给予证明．所添条件为__________,你得到的一对全等三角形是△_____≌△_____．6．如图12，∠1=∠2，BC=EF ，那么需要补充一个直接条件_____（写出一个即可）,才能使△ABC ≌△DEF ．7图13，在△ABD 和△ACD 中，AB=AC,∠B=∠C ．求证：△ABD ≌△ACD ．AODCBAFCGBEAF DCB EOED218．如图14，直线AD与BC相交于点O，且AC=BD，AD=BC．求证：CO=DO．9．已知△ABC，AB=AC，E、F分别为AB和AC延长线上的点，且BE=CF，EF交BC于G．求证:EG=GF．10．已知：如图16，AB=AE，BC=ED，点F是CD的中点，AF⊥CD．求证：∠B=∠E．11．如图17，某同学把一把三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块大小形状完全一样的玻璃，那么最省事的办法是(）﹒（A）带①和②去 (B）带①去（C)带②去（D）带③去12．有一专用三角形模具，损坏后，只剩下如图18中的阴影部分，你对图中做哪些数据度量后，就可以重新制作一块与原模具完全一样的模具，并说明其中的道理．13．如图19，将两根钢条AA’、BB’的中点O连在一起,使AA’、BB’可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工件,则A' B'的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OAB的理由是（ )（A)边角边（B）角边角（C）边边边（D）角角边专题二角的平分线从一个角的顶点出发,把一个角分成相等的两个角的射线,叫做这个角的平分线．角的平分线有着重要的作用，它不仅把角分成相等的两部分,而且角的平分线上的点到角两边的距离相等，到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，再加上角的平分线所在的直线是角的对称轴．因此当题目中有角的平分线时，可根据角的平分线性质证明线段或角相等,或利用角的平分线构造全等三角形或等腰三角形来寻找解题思路．(1)利用角的平分线的性质证明线段或角相等F ED CB A 21A FH DCGBEADCBE AF DC BE C E D例6 如图20，∠1＝∠2，AE ⊥OB 于E ， BD ⊥OA 于D ，交点为C ．求证：AC=BC ．说明：本题若用全等方法证明点C 到OA 、OB 距离相等,浪费时间和笔墨，不如直接应用角平分线性质证明，原因在于同学们已经习惯了用全等的方法,不善于直接应用定理，仍去找全等三角形，结果相当于重新证明了一次定理，以后再学新定理,应用时要注意全等定势的干扰，注意采用简捷证法．例7 已知:如图21,△ABC 中, BD=CD ，∠1＝∠2．求证：AD 平分∠BAC ．说明：遇到有关角平分线的问题时，可引角的两边的垂线，先证明三角形全等，然后根据全等三角形的性质得出垂线段相等，再利用角的平分线性质得出两角相等．（2）利用角的平分线构造全等三角形 ①过角平分线上一点作两边的垂线段例8 如图22，AB ∥CD ，E 为AD 上一点，且BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ．求证：AE=ED ．分析：由于角平分线上一点到角的两边的距离相等，而点E 是两条角平分线的交点，因此我们自然想到过点E 分别作AB 、BC 、CD 的垂线段．②以角的平分线为对称轴构造对称图形例9 如图23，在△ABC 中,AD 平分∠BAC,∠C=2∠B ．求证：AB=AC+CD ．分析：由于角平分线所在的直线是这个角的对称轴，因此在AB 上截取AE=AC,连接DE ，我们就能构造出一对全等三角形，从而将线段AB 分成AE 和BE 两段，只需证明BE=CD 就可以了．③延长角平分线的垂线段，使角平分线成为垂直平分线例10 如图24,在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，CE ⊥AD 于E ．求证：∠ACE=∠B+∠ECD ．分析：注意到AD 平分∠BAC ，CE ⊥AD ，于是可延长CE 交AB 于点F,即可构造全等三角形．．（3）利用角的平分线构造等腰三角形如图25,在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，过点D 作DE ∥AB ，DE 交AC 于点E ．易证△AED 是等腰三角形．因此，我们可以过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形．CF E BADQPCBACB AD EA例11 如图26，在△ABC 中，AB=AC,BD 平分∠ABC ，DE ⊥BD 于D ，交BC 于点E ．求证：CD=21BE ．分析：要证CD=21BE ，可将BE 分成两条线段，然后再证明CD 与这两条线段都相等．练习：1．如图27，在△ABC 中，∠B=90º,AD 为∠BAC 的平分线，DF ⊥AC 于F,DE=DC ．求证：BE=CF ．2．已知:如图28，AD 是△ABC 的中线,DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，且BE=CF ．求证：（1）AD 是∠BAC 的平分线；（2）AB=AC ．3．在△ABC 中,∠BAC=60º，∠C=40º，AP 平分∠BAC 交BC 于P,BQ 平分∠ABC 交AC 于Q ．求证：AB+BP=BQ+AQ ．4．如图30，在△ABC 中,AD 平分∠BAC ，AB=AC+CD ．求证：∠C=2∠B ．5．如图31，E 为△ABC 的∠A 的平分线AD 上一点，AB ＞AC ．求证:AB —AC ＞EB-EC ．CB AD 4321C E BADF CE BAD CEBADCBADACBD6．如图32,在四边形ABCD 中，BC ＞BA ，AD=CD ，BD 平分∠ABC ．求证：∠A+∠C=180º．7．如图33所示，已知AD ∥BC ，∠1=∠2,∠3=∠4,直线DC 过点E 作交AD 于点D ，交BC 于点C ．求证：AD+BC=AB ．8．已知,如图34，△ABC 中，∠ABC=90º，AB=BC,AE 是∠A 的平分线,CD ⊥AE 于D ．求证:CD=21AE ．9．△ABC 中，AB=AC,∠A=100º，BD 是∠B 的平分线．求证：AD+BD=BC ．10．如图36，∠B 和∠C 的平分线相交于点F ，过点F 作DE ∥BC 交AB 于点D ，交AC 于点E ，若BD+CE=9，则线段DE 的长为（ )A ．9B ．8C ．7D ．611．如图37，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，AD 交BC 于点D ，且D 是BC 的中点．求证：AB=AC ．A CF E B M D12．已知：如图38，△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，E 是BC 的中点，EF ∥AD ，交AB 于M ，交CA 的延长线于F ．求证：BM=CF ．。

全等三角形与角平分线

实用第四讲全等三角形与角平分线【知识回顾】1全等三角形的性质与判定 2、角平分线的性质与判定【讲解与练习】2 .如图，在平面直角坐标系中，是线段OA 上的动点，从点O 出发,AB 上.已知A 、Q 两点间的距离是（s ）时，△ OCF 、△ FAQ >△ CBQ况 x 轴和 y 轴上，OA=10cm ,0C=6cm . FOA 方向作匀速运动，点 Q 在线段 a 倍.若用（a , t ）表示经过时间t 请写出（a , t ）的所有可能情3. ___________________________________________________________ 如图，已知△ ABC 三个角的平分线交于点 O ,延长BA 到点D ，使AD=AO ，连接DO , 若 BD=BC ，/ ABC=54 °，则/ BCA 的度数为 ° .7.如图，已知五边形 ABCDE 中，/ ABC= / AED=90 ° , AB=CD=AE=BC+DE=2 ，则五边形ABCDE 的面积为 _______________________________________ .1如图，四边形ABCD 中，/ 则AC 长是 cm . 2 ABCD 的面积为24cm ,矩形OABC 的两边分别在以1cm/s 的速度沿O 、F 两点间距离的中有两个三角形全等. 4. 如图所示， AB=AC , AD=AE ，/ BAC= / DAE ，/ 1=24 °，/ 2=36 ° ,则/ 3= __________________ .5. 如图，AC=DB ，/ 仁/2，则△ ABC ◎△ ____________________________ ，/ ABC= / _____________________6.如图，点 D 在BC 上, DE 丄AB 于点E , DF 丄BC 交AC 于点F , BD=CF , BE=CD .若 /AFD=145 ° ，则/ EDF= ____________________________________________ .5的形网络，在网格中画出点 F ,使得△ DEF 与厶ABC 全等，这样的格点个.9. ____________________ 如图，0是厶ABC 一点，且0到三边 AB 、BC 、CA 的距离 OF=OD=OE ,若/ BAC=70 Z BOC= _________ .10. 如图，△ ABC 的周长是12, OB 、OC 分别平分Z ABC 和Z ACB , OD 丄BC 于D ，且OD=3，则△ ABC 的面积是 ____________________11. 如图，OC 平分Z AOB , Z AOC=20 ° , P 为 OC 上一点，PD=PE,OD 工 OE , Z OPE=11012. 如图，△ ABC 中，Z A=60 ° , AB > AC ,两角的平分线 CD 、BE 交于点 O , OF 平分ZBOC 交 BC 于 F , (1)Z BOC=120 ° ; (2)连 AO ，贝U AO 平分Z BAC ; (3) A 、O 、F 三点在同一直线上，(4) OD=OE , ( 5) BD+CE=BC .其中正确的结论是 _____________________________ (填序号).13. 如图1,已知△ ABC 中，AB=AC , Z BAC=90 °，直角Z EPF 的顶点P 是BC 中点，两边PE 、PF 分别交AB 、CA 的延长线于点 E 、F .(1) 求证：AE=CF ;(2) 求证：△ EPF 是等腰直角三角形；(3) 求证：Z FEA+ Z PFC=45 ° ;S ^ABC .8.如图，在5X 三角最多可以画出 (4)求证: S A PFC _ S A PBE = 尹14.如图，△ ACO为等腰直角三角形.(1 )若C (- 1, 3)，求A点坐标；(2)过A作AE丄AC,若/ FEO= / COE，求/ EOF的度数；(3)当厶ACO绕点O旋转时，过C作CN丄y轴，M为AO的中点，/ MNO的大小是否发生变化？15.如图，在△ ABC中，D是边BC上一点，AD平分/ BAC，在AB上截取AE=AC，连接BD=3cm，求线段BC的长.16.如图，在四边形ABCD 中，AC 平分/ DAE，DA // CE，AB=CB .(1)试判断BE与AC有何位置关系？并证明你的结论；(2)若/ DAC=25 °，求/ AEB 的度数.AD平分/ BAC，请利用线段之比可转化为面积之比的思路方法,求证18.如图，△ ABC 中，/ C=60 证：,AD , BE分别平分/ CAB , / CBA、AD、BE交于点P.求(1)/ APB=120 ° ;(2 )点P在/ C的平分线上；(3)AB=AE+BD .19. (1)如图1①，在△ ABC中，/ ABC= / ACB , AB的垂直平分线交AB于点N，交BC 的延长线于点M，若/ BAC=40 °，求/ AMB的度数；(2)如图1②，如果将(1)中的/ BAC的度数改为70°,其余条件不变，再求/ AMB的度数.20.在△ ABC 中, AD是/ BAC的平分线.(1)如图①，求证:S AACD AC(2)如图②，若BD=CD，求证：AB=AC ;(3)如图③，若AB=5 , AC=4 , BC=6 .求BD 的长.2. ________________________________________________________ 如图，在△ ABC 中，AB=AC ，/ BAC=90 ° , AE 是过 A 点的一条直线， CE 丄AE 于E , BD 丄 AE 于 D , DE=4cm , CE=2cm ，贝U BD= .3. 如图，在 Rt △ ABC 中，AC=BC ，/ C=90 ° , AB=8，点F 是AB 边的中点，点 D 、E 分别在AC 、BC 边上运动，且保持 AD=CE ，连接DE 、DF 、EF .在此运动变化的过程中，下列结论中正确的结论是(1 )△ DFE 是等腰直角三角形；(2) 四边形CDFE 不可能为形；(3) DE 长度的最小值是4;(4) 四边形CDFE 的面积保持不变;(5) △ CDE 面积的最大值为 4.4. 在直角坐标系中，如图有厶 ABC ，现另有一点D 满足以A 、B 、D 为顶点的三角形与△ABC 全等，则D 点坐标为 _____________________5. 如图所示，在△ ABC 中，/ A=90 ° , BD 平分/ ABC , AD=2cm , AB+BC=8 , S ^ABC= _____________________ .6. __________________________________________________ 如图，AD 是厶ABC 的角平分线， DF 丄AB ,垂三.【作业】1•“石门福地”小区有一块直角梯形花园，测量则该花园面积为 _________________ 平方米.AB=20 米，/ DEC=90 °，/ ECD=45足为F, DE=DG , △ ADG和厶AED的面积分别为50和38,则厶EDF的面积为.7.如图，在△ ABC 中，/ ABC=90 ° . AB=BC , A (- 4, 0), B (0, 2) I 玖圏1 图2 图3(1)如图1,求点C的坐标；(2)如图2, BC交x轴于点M , AC交y轴于点N，且BM=CM，求证：/ AMB= / CMN ;(3)如图3,若点A不动，点B在y轴的正半轴上运动时，分别以OB、AB为直角边在第一、第二象限作等腰直角厶BOF与等腰直角△ ABE，连接EF交y轴于P点，问当点B在y 轴正半轴上移动时，BP的长度是否变化？若变化请说明理由，若不变化，请求出其长度.&如图，在厶ABC中，已知/ B= / C,AB=AC=10厘米，BC=8厘米，点D为AB的中点.点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A 点运动.(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，则经过1s,A BPD与厶CQP是否全等？请说明理由；(2)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使厶9.如图，AD // BC,/ D=90 ° .(1)如图1,若/ DAB的平分线与/ CBA的平分线交于点P,试问：点P是线段CD的中点吗？为什么？(2)如图2,如果P是DC的中点，BP平分/ ABC，/ CPB=35°，求/ PAD的度数为多10.观察、猜想、探究：在厶ABC 中，/ ACB=2 / B.(1)如图①，当/ C=90 ° , AD为/ BAC的角平分线时，求证：AB=AC+CD ;(2)如图②，当/ CM 90°, AD为/ BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想；(3)如图③，当AD ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明.参考答案与试题解析(1, 4)(丄，5), (0 10)b.解：①当△ COF 和厶FAQ 全等时,OC=AF ，OF=AQ 或 OC=AQ ，OF=AF , •/ OC=6 , OF=t , AF=10 - t , AQ=at ，代入得:::厂或(Mt ，解得2，a=1, ,5);②同理当厶FAQ 和厶CBQ 全等时，必须BC=AF , BQ=AQ ,10=10 - t , 6- at=at ，此时不存在；③因为△ CBQ 最长直角边 BC=10，而△ COF 的最长直角边不能等于10,所以△。

全等三角形与角平分线专题

B AACA 1.如图，已知∠ACB=90°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，DE ⊥AB 于E ，BD=DF 交CA 的延长线于F 点，求证：BE=AE+AF2.如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，过C 作CE ⊥AB 于E ，且AE=12（AB+AD ）。

求∠ABC+∠ADC 的度数3.如图，在△ABC 中，∠ABC=100°，∠ACB=20°，CE 是△ABC 的角平分线，点D 在AC 上，且∠CBD=20°，求∠CED 的度数4.如图，点P 为△AEF 外一点，PA 平分∠EAF ，PD ⊥EF 于D ，且DE=DF ，PB ⊥AE 于B 。

求证：AF-AB=BE5.如图，正方形ABOC ，A （-4,4），点M 、N 分别在AB 、AC 上（1）若∠NMO=∠MOC ，问△AMN 的周长是否变化，若不变，请求其值；（2）若点M 在AB 延长线上，点N 在CA 的延长线上，其它条件不变，问CN 、MN 、BM 三者存在怎样的关系，试证明D①B②B图1B图2图3O 7.分别以△ABC 的AB 、AC 为边向外作等边△ABD 和等边△ACE ，连接CD 、BE 交于F.求证：AF 平分∠DFE8.如图，CA=CB ，CD=CE ，∠ACB=∠DCE=α（1）当α=60°，且点D 在AC 上，连BD 、AE 相交于点G ，如图①，求∠BGA（2）若0°＜α＜90°，如图②，求∠BGC9.如图所示，点A 为∠MON 的角平分线上一点，过A 任作一直线分别与∠MON 的两边交于B 、C 、P 为BC 的中点，过P 作BC 的垂线交OA 于点D. （1）若∠MON=90°，如图1，则∠BDC= ；（2）若∠MON=60°，如图2，则∠BDC= ；（3）若∠MON=α，如图3，则∠BDC= ，请给予证明10.已知：如图，∠ACB 为直角，CM ⊥AB 于点M ，AT 平分∠BAC 交CM 于点D ，交BC 于点T ，过点D 作DE ∥AB 交BC 于点E.求证：CT=EB图①EB P11.如图，P 为△ABC 的BC 边垂直平分线上的一点，且∠PBC=12∠A ，BP 、CP 的延长线分别交AC 、AB 于点D 、E.求证：BE=CD12.已知：△ACB 为等腰直角三角形，点P 在BC 上，以AP 为边长作正方形APEF.（1）如图①，当点P 在BC 上时，求∠EBP ；（2）如图②，当点P 在BC 的延长线上时，求∠EBP.13.已知等腰△ABC 和等腰△ADE 的顶点公共，B 、A 、E 在同一条直线上，∠BAC=∠DAE ，PB=PD ，PC=PE.（1）如图1，若∠BAC=90°，则∠BPC+∠DPE= ；（2）如图2，若∠BAC=α，则∠BPC+∠DPE= ；（3）在图1的基础上将等腰Rt △ABC 绕点A 旋转一个角度，得到图3，则∠BPC+∠DPE= ；并证明你的结论。

全等三角形与角平分线问题

板块考试要求A 级要求B 级要求C 级要求全等三角形的性质及判定会识别全等三角形掌握全等三角形的概念、判定和性质，会用全等三角形的性质和判定解决简单问题会运用全等三角形的性质和判定解决有关问题全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． (5)有对顶角的，对顶角常是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键．知识点睛中考要求第三讲全等三角形与角平分线问题全等三角形的判定方法：(1)边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．(2)角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．(3)边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等．(4)角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．(5)斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．奥数赛点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．重、难点重点：本节的重点是全等三角形的概念和性质以及判定，全等三角形的性质是以后证明三角形问题的基础，也是学好全章的关键。

同时全等三角形的判定也是本章的重点，特别是几种判定方法，尤其是当在直角三角形中时，HL的判定是整个直角三角形的重点例题精讲与角平分线相关的问题角平分线的两个性质：⑴角平分线上的点到角的两边的距离相等；⑵到角的两边距离相等的点在角的平分线上．它们具有互逆性．角平分线是天然的、涉及对称的模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式：1．由角平分线上的一点向角的两边作垂线，2．过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形， 3． OA OB =，这种对称的图形应用得也较为普遍，POB AA BOPA BOP【例1】在ABC ∆中，D 为BC 边上的点，已知BAD CAD ∠=∠，BD CD =，求证：AB AC =．D CBA【例2】已知ABC ∆中，AB AC =，BE 、CD 分别是ABC ∠及ACB ∠平分线．求证：CD BE =．ED CB A【例3】如图，在ABC ∆中，60B ∠=︒，AD 、CE 分别平分BAC ∠、BCA ∠，且AD 与CE 的交点为F ．求证：FE FD =．FBEDCA【例4】如图，已知ABC ∆的周长是21，OB ，OC 分别平分ABC ∠和ACB ∠，OD BC ⊥于D ，且3OD =，求ABC ∆的面积．【补充】如图所示：AB AC =，AD AE =，CD 、BE 相交于点O ．求证：OA 平分DAE ∠．ABCDEO【例5】 (2006年北京中考题)已知ABC ∆中，60A ∠=，BD 、CE 分别平分ABC ∠和ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．OED CBAADOC B【例6】如图，已知E 是AC 上的一点，又12∠=∠，34∠=∠．求证：ED EB =．E DC B A4321【例7】 (06北京中考题)如图所示，OP 是AOC ∠和BOD ∠的平分线，OA OC =，OB OD =．求证：AB CD =． PDBOCA【例8】如图所示，已知ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，E 、F 分别在BD 、AD 上．DE CD =，EF AC =．求证：EF ∥ABFA CD E B【例9】如图所示，AD 是ABC ∆的角平分线，DE 、DF 分别是ABD ACD ∆∆和的高，20DEF ∠=︒，则BAC∠等于________．FEDC BA【例10】 (北京市中考模拟题)如图，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，过C 作CE AB E ⊥于，并且1()2AE AB AD =+，则ABC ADC ∠+∠等于多少？EDCBA【例11】 ⑴(理工附中06～07学年下学期期中考试)在ABC ∆中，96A ∠=，延长BC 到D ，ABC ∠与ACD ∠的角平分线相交于点1A ，1A BC ∠与1ACD ∠的角平分线交于2A ，…，依次类推4A BC ∠与4A CD ∠的角平分线交于5A ，求5A ∠大小．A 2A 1ABC D A B CDEFG ⑵(初二第5届希望杯1试)如右上图，BF 是ABD ∠的角平分线，CE 是ACD ∠角的平分线，BE 与CF 交于G ，若140BDC ∠=，110BGC ∠=，求A ∠的度数．【补充】(“希望杯”竞赛试题)长方形ABCD 中，AB =4，BC =7，∠BAD 的角平分线交BC 于点E ，EF ⊥ED交AB 于F ，则EF =__________．FEDCBA【例12】 (北京市西城区2006年抽样测试八年级(上)附加题，黄冈市数学竞赛试题)如图所示，在ABC ∆中，AD 是BAC ∠的外角平分线，P 是AD 上异于点A 的任意一点，试比较PB PC +与AB AC +的大小，并说明理由．DPC B A【补充】如图所示，AD 是ABC ∆中BAC ∠的外角平分线，CD AD ⊥于D ，E 是BC 的中点，求证DE AB ∥且1()2DE AB AC =+．E DCB A【补充】在ABC ∆中，AB AC >，AD 是BAC ∠的平分线．P 是AD 上任意一点．求证：AB AC PB PC ->-．CD B PA【例13】如图，在ABC ∆中，2B C ∠=∠，BAC ∠的平分线AD 交BC 与D ．求证：AB BD AC +=．DC B A【例14】如图，ABC ∆中，AB AC =，108A ∠=︒，BD 平分ABC ∠交AC 于D 点．求证：BC AC CD =+．AB CD【巩固】已知等腰ABC∆，100A∠=︒，ABC∠的平分线交AC于D，则BD AD BC+=．【例15】如图所示，在ABC∆中，AD是BAC∠的平分线，M是BC的中点，ME AD⊥且交AC的延长线于E，12CE CD=，求证2ACB B∠=∠．EM DCBA【例16】如图所示，在ABC ∆中，AC AB >，M 为BC 的中点，AD 是BAC ∠的平分线，若CF AD ⊥且交AD的延长线于F ，求证()12MF AC AB =-．MFD CB A【例17】如图所示，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，AD AB =，CM AD ⊥于M ，求证2AB AC AM +=．MD CBA【例18】如图，ABC ∆中，AB AC =，BD 、CE 分别为两底角的外角平分线，AD BD ⊥于D ，AE CE ⊥于E ．求证：AD AE =．HG D AB C E【例19】已知：AD 和BE 分别是ABC △的CAB ∠和CBA ∠的外角平分线，CD AD ⊥，CE BE ⊥，求证：⑴DE AB ∥；⑵ ()12DE AB BC CA =++．EBA D C【例20】在ABC ∆中，MB 、NC 分别是三角形的外角ABE ∠、ACF ∠的角平分线，AM BM ⊥，AN CN ⊥垂足分别是M 、N ．求证：MN BC ∥，()12MN AB AC BC =++FEN M CBA【巩固】在ABC ∆中，MB 、NC 分别是三角形的内角ABC ∠、ACB ∠的角平分线，AM BM ⊥，AN CN ⊥垂足分别是M 、N ．求证：MN BC ∥，()12MN AB AC BC =+-NMCBA【例21】在ABC △中，CD 、AE 分别为AB 、BC 边上的高，60B =∠，求证：12DE AC =． CE DB A【例22】如图，180A D ∠+∠=︒，BE 平分ABC ∠，CE 平分BCD ∠，点E 在AD 上．① 探讨线段AB 、CD 和BC 之间的等量关系． ② 探讨线段BE 与CE 之间的位置关系．EDCB A【例23】如图，在ABC ∆中，AB AC =，BD 、AM 分别是ABC ∠、BAC ∠的平分线，DN BC ⊥，GF BD ⊥．求证：14MN BF =．F NM G DCB A【例24】如图所示，90BAC DAE ︒∠=∠=，M 是BE 的中点，AB AC =，AD AE =，求证AM CD ⊥．MECDBA【习题1】在ABC △中，3AB AC =，BAC ∠的平分线交BC 于D ，过B 作BE AD ⊥，E 为垂足，求证：AD DE =．家庭作业C EDBA【习题2】如图，在ABC ∆中，AB BD AC +=，BAC ∠的平分线AD 交BC 与D ．求证：2B C ∠=∠．DC B A【习题3】(04年山东中考题)AD 是ABC ∆的角平分线，BE AD ⊥交AD 的延长线于E ，EF AC ∥交AB 于F ．求证：AF FB =．DECFBA【习题4】如图所示，AD 平行于BC ，DAE=EAB ∠∠，ABE=EBC ∠∠，AD =4，BC =2，那么AB =________．【习题5】ABC ∆中，D 为BC 中点，DE BC ⊥交BAC ∠的平分线于点E ，EF AB ⊥于F EG AC ⊥于G ．求证：BF CG =．EGF DC BA【备选1】(2001年河南省中考题)在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，AB BD AC +=．求:B C ∠∠的值．CD B A【备选2】如图，已知在ABC ∆中，3ABC C ∠=∠，12∠=∠，BE AE ⊥．求证：2AC AB BE -=．21ECBA【备选3】如图所示，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，A ∠的平分线AE 交DC 于E ，求证：当BE 是B ∠的平分线时，有AD BC AB +=．月测备选EB CD A。

角平分线的性质与全等三角形

角平分线的性质与全等三角形一、知识回顾1、角平分线的定义：从一个角的顶点出发把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线。

2、角的平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等。

3、全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。

∵△ABC≌△A＇B＇C＇∴AB=A＇B＇,BC=B＇C＇,AC=A＇C＇; ∠A=∠A＇, ∠B=∠B＇, ∠C=∠C＇二、典型例题例1：下列定理中逆定理不存在的是（）A．角平分线上的点到这个角的两边距离相等B．在一个三角形中，如果两边相等，那么它们所对的角也相等C．同位角相等，两直线平行D．全等三角形的对应角相等分析：把每个选项的逆命题写出，然后利用相关的知识进行证明，不能证明的是错误的，选项D的逆定理是不存在的．解答：A、角平分线上的点到这个角的两边距离相等的逆定理存在，可通过三角形全等来证明，正确；B、在一个三角形中，如果两边相等，那么它们所对的角也相等逆定理存在，可通过证明三角形全等来证明，正确；C、同位角相等，两直线平行的逆定理是平行线的性质定理之一，正确；D、对应角相等的三角形不全等，及其逆命题不正确，也就是逆定理不存在．故选D．___________________________________________________________________________ ___例2：如图，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，且PA平分∠BAC，则△APD与△APE 全等的理由是（）A．SAS B．AASC．SSS D．ASA分析：根据已知条件在三角形中的位置来选择判定方法，本题中有两角及一角的对边对应相等，所以应选择AAS，比较简单．解答：由已知得，AP=AP，∠DAP=∠EAP，∠ADP=∠AEP所以符合AAS判定．故选B．___________________________________________________________________________ ___例3：已知，如图，△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F．下列说法，正确的有（）①DE=DF，②AE=AF，③AD平分∠EDF；④AD⊥BC，⑤图**有3对全等三角形．A．B． 3个C．4个D．5个分析：根据题意可以推出DE=DF，△AED≌△AFD，即可推出说法①②③为正确．解答：∵AD是角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠EAD=∠FAD，∴△AED≌△AFD，∴AE=AF，AD平分∠EDF．故选B．___________________________________________________________________________ ___例4：（2002·四川）以下命题中，真命题是（）①同一平面内的两条直线不平行就相交；②三角形的外角必定大于它的内角；③两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等；④两个全等三角形的面积相等．A．①、③B．①、④C．①、②、④D．②、③、④分析：同一个平面内的两条直线的位置关系：平行、相交；三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角；全等三角形的判定方法：SSS、SAS、AAS、ASA；全等三角形的面积比相等．解答：A、根据平面内两条直线的位置关系，故正确；B、三角形的外角应大于任何一个和它不相邻的内角，故错误；C、不符合全等三角形的判定定理，故错误；D、根据全等三角形的定义，故正确．故选B．___________________________________________________________________________ ___例5：如图，∠1=∠2，∠C=∠D，AC、BD交于E点，下列结论中不正确的是（）A．∠DAE=∠CBE B．CE=DEC．△DEA不全等于△CBE D．△EAB是等腰三角形分析：由题中条件可得，△ABD≌△BAC，由全等可得对应角相等，对应线段相等，即可得△ADE≌△BCE，所以C中说两个三角形不全等是错误的；再由角相等也可得△EAB为等腰三角形，进而可得出结论．解答：∵∠1=∠2，∠C=∠D，且AB为公共边，∴△ABD≌△BAC，∴∠DAB=∠CBA，AD=BC，又∠1=∠2，∴∠DAE=∠CBE，A正确；又AD=BC，∠D=∠C，∴△ADE≌△BCE，C错误；∴CE=DE，B正确；∵∠1=∠2△EAB为等腰三角形，D正确．故C错，选C．三、解题经验角平分线的性质很简单，也比较容易掌握。

初二数学提高题专题复习全等三角形角平分线辅助练习题及答案

初二数学提高题专题复习全等三角形角平分线辅助练习题及答案一、全等三角形角平分线辅助1．（特例感知）（1）如图（1），ABC ∠是O 的圆周角，BC 为直径，BD 平分ABC ∠交O 于点D ，3CD =，4BD =，求点D 到直线AB 的距离．（类比迁移）（2）如图（2），ABC ∠是O 的圆周角，BC 为O 的弦，BD 平分ABC ∠交O 于点D ，过点D 作DE BC ⊥，垂足为点E ，探索线段AB ，BE ，BC 之间的数量关系，并说明理由．（问题解决）（3）如图（3），四边形ABCD 为O 的内接四边形，90ABC ∠=︒，BD 平分ABC ∠，72BD =，6AB =，求ABC 的内心与外心之间的距离．2．直线MN 与直线PQ 垂直相交于点O ，点A 在直线PQ 上运动，点B 在直线MN 上运动．（1）如图1，已知AE BE 、分别是BAO ∠和ABO ∠角的平分线，点A B 、在运动的过程中，AEB ∠的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出AEB ∠的大小．（2）如图2，已知AB 不平行CD AD BC ，、分别是BAP ∠和ABM ∠的角平分线，又DE CE 、分别是ADC ∠和BCD ∠的角平分线，点A B 、在运动的过程中，CED ∠的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出CED ∠的度数．（3）如图3，延长BA 至G ，已知BAO OAG ∠∠、的角平分线与BOQ ∠的角平分线及反向延长线相交于E F 、，在AEF 中，如果有一个角是另一个角的3倍，则ABO ∠的度数为____（直接写答案）3．∠MON=90°，点A ，B 分别在OM 、ON 上运动（不与点O 重合）．（1）如图①，AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线，随着点A、点B的运动，∠AEB=°（2）如图②，若BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于点D①若∠BAO=60°，则∠D=°．②随着点A，B的运动，∠D的大小会变吗？如果不会，求∠D的度数；如果会，请说明理由．（3）如图③，延长MO至Q，延长BA至G，已知∠BAO，∠OAG的平分线与∠BOQ的平分线及其延长线相交于点E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，求∠ABO的度数．4．直线MN与直线PQ垂直相交于点O，点A在射线OP上运动（点A不与点O重合），点B在射线OM上运动（点B不与点O重合）．（1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，①当∠ABO＝60°时，求∠AEB的度数；②点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况：若不发生变化，试求出∠AEB的大小；（2）如图2，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线所在的直线分别相交于E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，请直接写出∠ABO 的度数．5．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，且AE、BE交CD于点E．试说明AD＝AB﹣BC的理由．6．已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC，求证：BC＝AC+CD．∠和7．如图1，点A是直线MN上一点，点B是直线PQ上一点，且MN//PQ．NAB∠的平分线交于点C．ABQ⊥；（1）求证：BC AC（2）过点C作直线交MN于点D（不与点A重合），交PQ于点E,+=；①若点D在点A的右侧，如图2，求证：AD BE AB②若点D在点A的左侧，则线段AD、BE、AB有何数量关系？直接写出结论，不说理由．8．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，M为边BC上的点，连结AM.如果将△ABM 沿直线AM翻折后，点B恰好落在边AC的中点处，求点M到AC的距离.9．如图，在四边形OACB 中，CE OA ⊥于E ，12∠=∠，CA CB =.求证：34180∠+∠=︒；2OA OB OE +=.10．如图，已知：在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，AB=AD ，CE ⊥AD ，交AD 的延长线于E.求证：AB+AC=2AE.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、全等三角形角平分线辅助1．（1）125；（2）2AB BC BE +=，理由见解析；（35 【分析】（1）如图①中，作DF AB ⊥于F ，DE BC ⊥于E ．理由面积法求出DE ，再利用角平分线的性质定理可得DF DE =解决问题；（2）如图②中，结论：2AB BC BE +=．只要证明()DFA DEC ASA ∆≅∆，推出AF CE =，Rt BDF Rt BDE(HL)∆≅∆，推出AF BE =即可解决问题；（3）如图③，过点D 作DF ⊥BA ，交BA 的延长线于点F ，DE ⊥BC ，交BC 于点E ，连接AC ，作△ABC △ABC 的内切圆，圆心为M ，N 为切点，连接MN ，OM ．由（1）（2）可知，四边形BEDF 是正方形，BD 是对角线．由切线长定理可知：610842AN +-==，推出541ON =-=，由面积法可知内切圆半径为2，在Rt OMN ∆中，理由勾股定理即可解决问题；【详解】解：（1）如图①中，作DF AB ⊥于F ，DE BC ⊥于E ．图① BD 平分ABC ∠，DF AB ⊥，DE BC ⊥，DF DE ∴=， BC 是直径，90BDC ∴∠=︒， 2222435BC BD CD ∴=+=+=，1122BC DE BD DC =， 125DE ∴=， 125DF DE =∴=．故答案为125 （2）如图②中，结论：2AB BC BE +=．图②理由：作DF BA ⊥于F ，连接AD ，DC ．BD 平分ABC ∠，DE BC ⊥，DF BA ⊥，DF DE ∴=，90DFB DEB ∠=∠=︒，180ABC ADC ∠+∠=︒，180ABC EDF ∠+∠=︒，ADC EDF ∴∠=∠，FDA CDE ∴∠=∠，90DFA DEC ∠=∠=︒，()DFA DEC ASA ∴∆≅∆，AF CE ∴=，BD BD =，DF DE =，Rt BDF Rt BDE(HL)∴∆≅∆，BF BE ∴=，2AB BC BF AF BE CE BE ∴+=-++=．（3）如图③，过点D 作DF ⊥BA ，交BA 的延长线于点F ，DE ⊥BC ，交BC 于点E ，连接AC ，作△ABC △ABC 的内切圆，圆心为M ，N 为切点，连接MN ，OM ．由（1）（2）可知，四边形BEDF 是正方形，BD 是对角线．图③ 72BD =，∴正方形BEDF 的边长为7，由（2）可知：28BC BE AB =-=，226810AC ∴=+=，由切线长定理可知：610842AN +-==， 541ON ∴=-=，设内切圆的半径为r ，则11111068682222r r r ⨯+⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯⨯ 解得2r ，即2MN =，在Rt OMN ∆中，2222215OM MN ON =+=+=． 5【点睛】本题属于圆综合题，考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．2．（1）不发生变化，∠AEB =135°；（2）不发生变化，∠CED =67.5°；（3）60°或45°【分析】（1）根据直线MN 与直线PQ 垂直相交于O 可知∠AOB =90°，再由AE 、BE 分别是∠BAO 和∠ABO 的角平分线得出∠BAE =12∠OAB ，∠ABE =12∠ABO ，由三角形内角和定理即可得出结论；（2）延长A D 、BC 交于点F ，根据直线MN 与直线PQ 垂直相交于O 可得出∠AOB =90°，进而得出∠OAB+∠OBA=90°，故∠PAB+∠MBA=270°，再由A D、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，可知∠BAD=12∠BAP，∠ABC=12∠ABM，由三角形内角和定理可知∠F=45°，再根据DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线可知∠CDE+∠DCE=112.5°，进而得出结论；（3）由∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E可知∠EAO=12∠BAO，∠EOQ=12∠BOQ，进而得出∠E的度数，由AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线可知∠EAF=90°，在△AEF 中，由一个角是另一个角的3倍分四种情况进行分类讨论．【详解】解：（1）∠AEB的大小不变，∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，∴∠AOB=90°，∴∠OAB+∠OBA=90°，∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，∴∠BAE=12∠OAB，∠ABE=12∠ABO，∴∠BAE+∠ABE=12（∠OAB+∠ABO）=45°，∴∠AEB=135°；（2）∠CED的大小不变．延长A D、BC交于点F．∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，∴∠AOB=90°，∴∠OAB+∠OBA=90°，∴∠PAB+∠MBA=270°，∵A D、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，∴∠BAD=12∠BAP，∠ABC=12∠ABM，∴∠BAD+∠ABC=12（∠PAB+∠ABM）=135°，∴∠F=45°，∴∠FDC+∠FCD=135°，∴∠CDA+∠DCB=225°，∵DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，∴∠CDE+∠DCE=112.5°，∴∠CED =67.5°；（3）∵∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E，∴∠EAO=12∠BAO，∠EOQ=12∠BOQ，∴∠E=∠EOQ-∠EAO=12（∠BOQ-∠BAO）=12∠ABO，∵AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线，∴∠EAF=90°．在△AEF中，∵有一个角是另一个角的3倍，故有：①∠EAF=3∠E，∠E=30°，∠ABO=60°；②∠EAF=3∠F，∠E=60°，∠ABO=120°（舍弃）；③∠F=3∠E，∠E=22.5°，∠ABO=45°；④∠E=3∠F，∠E=67.5°，∠ABO=135°（舍弃）．∴∠ABO为60°或45°．故答案为：60°或45°．【点睛】本题考查的是平行线的判定和性质，三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．3．（1）135°；（2）①45°，②不发生变化，45°；（3）60°或45°【分析】（1）利用三角形内角和定理、两角互余、角平分线性质即可求解；（2）①利用对顶角相等、两角互余、两角互补、角平分线性质即可求解；②证明和推理过程同①的求解过程；（3）由（2）的证明求解思路，不难得出EAF∠=90°，如果有一个角是另一个角的3倍，所以不确定是哪个角是哪个角的三倍，所以需要分情况讨论；值得注意的是，∠MON=90°，所以求解出的∠ABO一定要小于90°，注意解得取舍.【详解】（1）()11801802118090180451352AEB EBA BAE OBA BAO ∠=︒-∠-∠=︒-∠+∠=︒-⨯︒=︒-︒=︒（2）①如图所示AD 与BO 交于点E ，()9060301180307521909030602180180756045OBA DBO NBC DEB OEA OAB D DBE DEB ∠=︒-︒=︒∠=∠=︒-︒=︒∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒②∠D 的度数不随A 、B 的移动而发生变化设BAD α∠=，因为AD 平分∠BAO ，所以2BAO α∠=，因为∠AOB=90°，所以180902ABN ABO AOB BAO α∠=︒-∠=∠+∠=+。

全等三角形角平分线专题

9、如图，AD是△EAC的角平分线， ∠E=90°，DF⊥AC于F，点B为AE 边上一点，连接DB使得DB=DC. 求证：BE=CF.
2010-2011道外区七年级下期末已知点C是∠MAN平分线上一点，∠BCD 的两边CB、CD分别与射线AM、AN相交于 B、D两点，且∠BCD+∠MAN=180°，过点C作CE⊥AB，垂足为E. （1）当点E在线段AB上时，求证：AB-AD=2BE.
3、如图，△ABC的角平分线BM和 CN相交于点P. 求证：AP平分∠BAC.
4、如图，BA∥CD，∠ABC和∠BCD 的平分线交于AD上一点E. 求证：BC=AB+CD.
5、如图，∠B=∠C=90°，M是BC 的中点，DM平分∠ADC. （1）求证：AM平分∠DAB；的角平分线AD和CE相交于点O.求证：AE+CD=AC.
7、如图，在Rt△ABC中，AB=AC, ∠BAC=90°，BD为△ABC的角平分线，CE垂直于BD的延长线于E. 求证：BD=2CE.
2011-2012香坊区七年级下期末已知△ABC中，∠C=3∠B，AF平分 ∠BAC交BC于点F，BD垂直于AF，交AF的延长线于点D.
2010-2011道外区七年级下期末已知点C是∠MAN平分线上一点，∠BCD 的两边CB、CD分别与射线AM、AN相交于 B、D两点，且∠BCD+∠MAN=180°，过点C作CE⊥AB，垂足为E. （2）当点E在线段AB的延长线上时，请直接写出线段AB、AD与BE 之间的数量关系： .
2010-2011道外区七年级下期末已知点C是∠MAN平分线上一点，∠BCD的两边 CB、CD分别与射线AM、AN相交于B、D两点，且∠BCD+∠MAN=180°，过点C作CE⊥AB，垂足为E. （3）在（2）的条件下，若∠MAN=60°，连接BD，作∠ABD的平分线BF交AD 于点F，交AC于点O，连接 DO并延长交AB于点G.BG=2,DF=5, 求线段BD的长.

2023年中考数学常见几何模型全归纳之模型角平分线的基本模型(一)全等类(解析版)

专题07 角平分线的重要模型（一）全等类角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各大模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，本专题就角平分线的全等类模型作相应的总结，需学生反复掌握。

模型1.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段等）【模型解读与图示】已知如图1，OP为AOB∠的角平分线、PM不具备特殊位置时，辅助线的作法大都为在OB上截取ON OM=，连结PN即可.即有OMP∆≌ONP∆，利用相关结论解决问题.图1 图21．（2022·湖北十堰·九年级期末）在△ABC中，△ACB＝2△B，如图①，当△C＝90°，AD为△BAC的角平分线时，在AB上截取AE＝AC，连结DE，易证AB＝AC＋CD．（1）如图②，当△C≠90°，AD为△BAC的角平分线时，线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想；（2）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．【答案】（1）AB AC CD=+；证明见解析；（2）AB AC CD+=；证明见解析．【分析】（1）首先在AB上截取AE＝AC，连接DE，易证△ADE△△ADC（SAS），则可得△AED＝△C，ED＝CD，又由△AED＝△ACB，△ACB＝2△B，所以△AED＝2△B，即△B＝△BDE，易证DE＝CD，则可求得AB＝AC＋CD；（2）首先在BA的延长线上截取AE＝AC，连接ED，易证△EAD△△CAD，可得ED＝CD，△AED＝△ACD，又由△ACBAB∥CD⇒AB+CD=BCFDEBAC＝2△B ，易证DE ＝EB ，则可求得AC ＋AB ＝CD ．【详解】（1）猜想：AB AC CD =+．证明：如图②，在AB 上截取AE AC =，连结DE ，△AD 为ABC 的角平分线时，△BAD CAD ∠=∠，△AD AD =，△()SAS ADE ADC ≌△△， △AED C ∠=∠，ED CD =，△2ACB B ∠=∠，△2AED B ∠=∠．△B EDB ∠=∠，△EB ED =，△EB CD =，△AB AE DE AC CD =+=+．（2）猜想：AB AC CD +=．证明：在BA 的延长线上截取AE AC =，连结ED ．△AD 平分FAC ∠，△EAD CAD ∠=∠．在EAD 与CAD 中，AE AC =，EAD CAD ∠=∠，AD AD =，△EAD CAD ≌△△． △ED CD =，AED ACD ∠=∠．△FED ACB ∠=∠．又2ACB B ∠=∠，FED B EDB ∠=∠+∠，EDB B ∠=∠．△EB ED =．△EA AB EB ED CD +===．△AC AB CD +=．【点睛】此题考查三角形综合题、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．2．（2022·山东烟台·九年级期末）已知在ABC 中，满足2ACB B ∠=∠，(1)【问题解决】如图1，当90C ∠=︒，AD 为BAC ∠的角平分线时，在AB 上取一点E 使得AE AC =，连接DE ，求证：AB AC CD =+．(2)【问题拓展】如图2，当90C ∠≠︒，AD 为BAC ∠的角平分线时，在AB 上取一点E 使得AE AC =，连接DE ，（1）中的结论还成立吗？若成立，请你证明：若不成立，请说明理由．(3)【猜想证明】如图3，当AD 为ABC 的外角平分线时，在BA 的延长线上取一点E 使得AE AC =，连接DE ，线段AB 、AC 、CD 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．【答案】(1)证明见解析(2)成立，证明见解析(3)猜想AB AC CD +=，证明见解析【分析】（1）先根据SAS 定理证出AED ACD ≅，根据全等三角形的性质可得ED CD =，AED ACD ∠=∠，再根据三角形的外角性质可得45B BDE ∠=∠=︒，然后根据等腰三角形的判定可得EB ED =，从而可得EB CD =，最后根据线段和差、等量代换即可得证；（2）先根据SAS 定理证出AED ACD ≅，根据全等三角形的性质可得ED CD =，AED C ∠=∠，再根据三角形的外角性质可得B BDE ∠=∠，然后根据等腰三角形的判定可得EB ED =，从而可得EB CD =，最后根据线段和差、等量代换即可得证；（3）先根据SAS 定理证出AED ACD ≅，根据全等三角形的性质可得ED CD =，AED ACD ∠=∠，从而可得FED ACB ∠=∠，再根据三角形的外角性质可得B BDE ∠=∠，然后根据等腰三角形的判定可得EB ED =，从而可得EB CD =，最后根据线段和差、等量代换即可得证．证明：△AD 为BAC ∠的角平分线，△EAD CAD ∠=∠，在AED 与ACD △中，AE AC EAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△()AED ACD SAS ≅，△ED CD =，AED ACD ∠=∠，又△90ACB ∠=︒，2ACB B ∠=∠，△45B ∠=︒，90AED ∠=︒，△45AED BDE B ∠=∠=∠-︒，△B BDE ∠=∠，△EB ED =，△EB CD =，△AB AE EB AC CD =+=+．（2）解：（1）中的结论还成立，证明如下：△AD 为BAC ∠的角平分线时，△EAD CAD ∠=∠，在AED 与ACD △中，AE AC EAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△()AED ACD SAS ≅，△AED C ∠=∠，ED CD =，△2ACB B ∠=∠，△2AED B ∠=∠，又△AED B EDB ∠=∠+∠，△B EDB ∠=∠，△EB ED =，△EB CD =，△AB AE EB AC CD =+=+．解：猜想AB AC CD+=，证明如下：△AD平分EAC∠，△EAD CAD∠=∠，在AED与ACD△中,AE ACEAD CAD AD AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△()AED ACD SAS≅，△ED CD=，AED ACD∠=∠，如图，△180180AED ACD︒-∠=︒-∠，即FED ACB∠=∠，△2ACB B∠=∠，△2FED B∠=∠，又△FED B EDB∠=∠+∠，△EDB B∠=∠，△EB ED=，△AB AE EB ED CD+===，△AB AC CD+=．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．3．（2022·浙江·九年级期中）（1）如图1，在△ABC中，△ACB＝2△B，△C＝90°，AD为△BAC的平分线交BC 于D，求证：AB＝AC＋CD．（提示：在AB上截取AE＝AC，连接DE）（2）如图2，当△C≠90°时，其他条件不变，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系，直接写出结果，不需要证明．（3）如图3，当△ACB≠90°，△ACB＝2△B ，AD为△ABC的外角△CAF的平分线，交BC的延长线于点D，则线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并加以证明．【答案】（1）见解析；（2）AB＝AC＋CD；（3）AB＝CD﹣AC【分析】（1）在AB上截取AE=AC，连接DE，根据角平分线的定义得到△1=△2．推出△ACD△△AED（SAS）．根据全等三角形的性质得到△AED=△C=90，CD=ED，根据已知条件得到△B=45°．求得△EDB=△B=45°．得到DE=BE，等量代换得到CD=BE．即可得到结论；（2）在AC取一点E使AB=AE，连接DE，易证△ABD△△AED，所以△B=△AED，BD=DE，又因为△B=2△C，所以△AED=2△C，因为△AED是△EDC的外角，所以△EDC=△C，所以ED=EC，BD=EC，进而可证明AB+BD=AE+EC=AC；（3）在AB的延长线AF上取一点E，使得AE=AC，连接DE．证明△ACD△△AED，根据全等三角形的性质得到DE=BE，BE=CD，即可得出结论．【详解】（1）证明：在AB上取一点E，使AE=AC△AD为△BAC的平分线△△BAD=△CAD．在△ACD和△AED中，AE AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△ACD △△AED （SAS ）．△△AED =△C =90°，CD =ED ，又△△ACB =2△B ，△C =90°，△△B =45°． △△EDB =△B =45°．△DE =BE ， △CD =BE ．△AB =AE ＋BE ， △AB =AC ＋CD ．（2）证明：在AB 取一点E 使AC=AE ，在△ACD 和△AED 中，AC AE BAD EAD AD AD ＝＝＝⎧⎪∠∠⎨⎪⎩, △△ACD△△AED ，△△C=△AED ，CD=DE ，又△△C=2△B ，△△AED=2△B ，△△AED 是△EDC 的外角，△△EDB=△B ，△ED=EB ，△CD=EB ，△AB=AC+CD ；（3）猜想：AB =CD ﹣AC证明：在BA 的延长线上取一点E ，使得AE =AC ，连接DE ，在△ACD和△AED中，AC AECAD EADAD AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ACD△△AED（SAS），△△ACD=△AED，CD=DE，△△ACB=△FED，又△△ACB=2△B△△FED=2△B，又△△FED=△B＋△EDB，△△EDB=△B，△DE=BE，△BE=CD，△AB=BE-AE△AB=CD﹣AC．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，关于线段和差关系的证明，通常采用截长补短法. 4．（2022·北京九年级专题练习）在四边形ABDE中，C是BD边的中点．（1）如图（1），若AC平分BAE∠，90ACE∠=︒，则线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系为______；（直接写出答案）（2）如图（2），AC平分BAE∠，EC平分AED∠，若120ACE∠=︒，则线段AB、BD、DE、AE的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明．【答案】（1）AE＝AB＋DE；（2）AE＝AB＋DE＋12BD，证明见解析．【分析】（1）在AE上取一点F，使AF＝AB，由三角形全等的判定可证得△ACB≌△ACF，根据全等三角形的性质可得BC＝FC，∠ACB＝∠ACF，根据三角形全等的判定证得△CEF≌△CED，得到EF＝ED，再由线段的和差可以得出结论；（2）在AE上取点F，使AF＝AB，连结CF，在AE上取点G，使EG＝ED，连结CG，根据全等三角形的判定证得△ACB≌△ACF和△ECD≌△ECG，由全等三角形的性质证得CF＝CG，进而证得△CFG是等边三角形，就有FG＝CG＝12BD，从而可证得结论．【详解】解：（1）如图（1），在AE上取一点F，使AF＝AB．∵AC平分∠BAE，∴∠BAC＝∠FAC．在△ACB和△ACF中，AB AFBAC FACAC AC⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△ACB≌△ACF（SAS）．∴BC＝FC，∠ACB＝∠ACF．∵C是BD边的中点，∴BC＝CD．∴CF＝CD．∵∠ACE＝90°，∴∠ACB＋∠DCE＝90°，∠ACF＋∠ECF＝90°．∴∠ECF＝∠ECD．在△CEF和△CED中，CF CDECF ECDCE CE⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△CEF≌△CED（SAS）．∴EF＝ED．∵AE＝AF＋EF，∴AE＝AB＋DE．故答案为：AE＝AB＋DE；（2）AE＝AB＋DE＋12BD．证明：如图（2），在AE上取点F，使AF＝AB，连结CF，在AE上取点G，使EG＝ED，连结CG．∵C 是BD 边的中点，∴CB ＝CD ＝12BD ．∵AC 平分∠BAE ，∴∠BAC ＝∠FAC ．在△ACB 和△ACF 中，AB AF BAC FAC AC AC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△ACB ≌△ACF （SAS ）．∴CF ＝CB ，∠BCA ＝∠FCA ．同理可证：△ECD ≌△ECG ∴CD ＝CG ，∠DCE ＝∠GCE ．∵CB ＝CD ，∴CG ＝CF ．∵∠ACE ＝120°，∴∠BCA ＋∠DCE ＝180°−120°＝60°．∴∠FCA ＋∠GCE ＝60°．∴∠FCG ＝60°．∴△FGC 是等边三角形．∴FG ＝FC ＝12BD ．∵AE ＝AF ＋EG ＋FG ，∴AE ＝AB ＋DE ＋12BD ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质的运用，能熟练应用三角形全等的判定和性质是解决问题的关键．模型2.角平分线垂两边（角平分线+外垂直）【模型解读与图示】已知如图1，OP 为OAB ∠的角平分线、PM OA ⊥于点M 时，辅助线的作法大都为过点P 作PN OB ⊥即可.即有PM PN =、OMP ∆≌ONP ∆等，利用相关结论解决问题.图1 图2 图3邻等对补模型：已知如图2，AP 是∠CAB 的角平分线，EP =DP辅助线：过点P 作PG ⊥AC 、PF ⊥AB结论：①︒=∠+∠180EPD BAC （D P E A 、、、四点共圆）；②EG DF =；③DF AE AD 2+= 1．（2022·北京·中考真题）如图，在ABC ∆中，AD 平分,.BAC DE AB ∠⊥若2,1,AC DE ==则ACD S ∆=____． D B【答案】1【分析】作DF AC ⊥于点F ，由角平分线的性质推出1DF DE ==，再利用三角形面积公式求解即可．【详解】解：如图，作DF AC ⊥于点F ，△AD 平分BAC ∠，DE AB ⊥，DF AC ⊥，△1DF DE ==， △1121122ACD S AC DF ∆=⋅=⨯⨯=．故答案为：1．【点睛】本题考查角平分线的性质，通过作辅助线求出三角形ACD 中AC 边的高是解题的关键． 2．（2022·山东泰安·中考真题）如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 与内角∠ABC 的平分线BP 交于点P ，若∠BPC ＝40°，则∠CAP ＝（）A ．40°B ．45°C ．50°D ．60°【答案】C 【分析】根据外角与内角性质得出∠BAC 的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP ＝∠FAP ，即可得出答案.【详解】解：延长BA ，作PN ⊥BD ，PF ⊥BA ，PM ⊥AC ，设∠PCD ＝x °，∵CP 平分∠ACD ，∴∠ACP ＝∠PCD ＝x °，PM ＝PN ，∵BP 平分∠ABC ，∴∠ABP ＝∠PBC ，PF ＝PN ，∴PF ＝PM ，∵∠BPC ＝40°，∴∠ABP ＝∠PBC ＝∠PCD ﹣∠BPC ＝（x ﹣40）°，∴∠BAC ＝∠ACD ﹣∠ABC ＝2x °﹣（x °﹣40°）﹣（x °﹣40°）＝80°，∴∠CAF ＝100°，在Rt △PFA 和Rt △PMA 中，{PA PAPM PF ==，∴Rt △PFA ≌Rt △PMA （HL ），∴∠FAP ＝∠PAC ＝50°．故选C ．【点睛】本题考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质和直角三角全等的判定等知识，根据角平分线的性质得出PM ＝PN ＝PF 是解题的关键．3．（2022·江苏扬州·中考真题）如图，在ABCD 中，BE 、DG 分别平分ABC ADC ∠∠、，交AC 于点E G 、．(1)求证：,BE DG BE DG =∥；(2)过点E 作EF AB ⊥，垂足为F ．若ABCD 的周长为56，6EF =，求ABC ∆的面积．【答案】(1)见详解(2)84【分析】（1）由平行四边形的性质证()ABE CDG ASA ∆≅∆即可求证；（2）作EQ BC ⊥，由ΔΔΔABC ABE EBC S S S =+即可求解；（1）证明：在ABCD 中，△//AB CD ，△BAE DCG ∠=∠，△BE 、DG 分别平分ABC ADC ∠∠、，ABC ADC ∠=∠，△ABE CDG ∠=∠，在ABE ∆和CDG ∆中，△ABCD的周长为AB BC+=BE平分∠EQ EF=ABCS S∆∆=4．（2022·河北·九年级专题练习）已知OP平分△AOB，△DCE的顶点C在射线OP上，射线CD交射线OA 于点F，射线CE交射线OB于点G．（1）如图1，若CD△OA，CE△OB，请直接写出线段CF与CG的数量关系；（2）如图2，若△AOB=120°，△DCE=△AOC，试判断线段CF与CG的数量关系，并说明理由．【答案】（1）CF =CG ；（2）CF =CG ，见解析【分析】（1）结论CF =CG ，由角平分线性质定理即可判断．（2）结论：CF =CG ，作CM △OA 于M ，CN △OB 于N ，证明△CMF △△CNG ，利用全等三角形的性质即可解决问题．【详解】解：（1）结论：CF =CG ；证明：△OP 平分△AOB ，CF △OA ，CG △OB ，△CF =CG （角平分线上的点到角两边的距离相等）；（2）CF =CG ．理由如下：如图，过点C 作CM △OA ，CN △OB ，△OP 平分△AOB ，CM △OA ，CN △OB ，△AOB =120°，△CM =CN （角平分线上的点到角两边的距离相等），△△AOC =△BOC =60°（角平分线的性质），△△DCE =△AOC ，△△AOC =△BOC =△DCE =60°，△△MCO =90°-60° =30°，△NCO =90°-60° =30°，△△MCN =30°+30°=60°，△△MCN =△DCE ，△△MCF =△MCN -△DCN ，△NCG =△DCE -△DCN ，△△MCF =△NCG ，在△MCF 和△NCG 中，CMF CNG CM CNMCF NCG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩△△MCF △△NCG （ASA ），△CF =CG （全等三角形对应边相等）．【点睛】本题考查三角形综合题、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握角平分线的性质的应用，熟练证明三角形全等．模型3.角平分线垂中间（角平分线+内垂直）【模型解读与图示】已知如图1，OP 为AOB ∠的角平分线，PM OP ⊥于点P 时，辅助线的作法大都为延长MP 交OB 于点N 即可。

八年级数学第十一章全等三角形综合复习人教新课标版

初二数学第十一章全等三角形综合复习人教新课标版一、学习目标：1. 复习全等形与全等三角形的概念、全等三角形的判定定理，以及角平分线的作图方法和角平分线的性质等知识，建立知识系统；2. 使学生总结寻找全等三角形及其全等条件的方法、归纳常见辅助线的作法，使学生掌握分析问题的方法，提升解题能力。

二、重点、难点：重点：将所学知识科学地组织起来，将其纳入已有的知识结构中。

难点：提升分析问题、解决问题的能力。

三、考点分析：全等三角形是初中几何的重要内容，也是数学中最基础的知识，是研究平面几何的重要工具。

近几年的中考数学试题中，经常将全等与其他知识结合在一起，考查学生综合运用数学知识解决问题的能力，形式多种多样，为全等这一传统的话题增添了新颖的味道。

1. 全等三角形的概念及性质；2. 三角形全等的判定；3. 角平分线的性质及判定。

知识点一：证明三角形全等的思路通过对问题的分析，将解决的问题归结到证明某两个三角形的全等后，采用哪个全等判定定理加以证明，可以按下图思路进行分析：⎧→⎧⎪⎪→⎨⎪⎪⎪→⎩⎪⎪→→⎧⎪⎪→⎧⎪⎪⎨⎨⎪→⎨⎪⎪⎪⎪⎪→⎩⎩⎪⎪→⎧⎪⎨→⎪⎩⎪⎩SAS SSS HL AAS SAS ASA AAS ASA AAS 找夹角已知两边找第三边找直角边为角的对边找任一角找夹角的另一边已知一边一角边为角的邻边找夹边的另一角找边的对角找夹边已知两角找任一对边切记：“有三个角对应相等”和“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等。

例1. 如图，,,,A F E B 四点共线，AC CE ⊥，BD DF ⊥，AE BF =，AC BD =。

求证：ACF BDE ∆≅∆。

思路分析：从结论ACF BDE ∆≅∆入手，全等条件只有AC BD =；由A E B F =两边同时减去EF 得到AF BE =，又得到一个全等条件。

还缺少一个全等条件，可以是CF DE =，也可以是A B ∠=∠。

由条件AC CE ⊥，BD DF ⊥可得90ACE BDF ∠=∠=，再加上AE BF =，AC BD =，可以证明ACE BDF ∆≅∆，从而得到A B ∠=∠。

3--全等三角形中的动点问题专题培优、角平分线题型大全

全等三角形中的动点问题1、如图，已知△ABC中，∠BAC=90゜，AB=AC，点P为BC边上一动点（BP＜CP），分别过B、C作BE⊥AP于E，CF⊥AP于F．（1）求证：EF=CF-BE．（2）若点P为BC延长线上一点，其它条件不变，则线段BE、CF、EF是否存在某种确定的数量关系？画图并直接写出你的结论．2、在△ABC中，AB=AC，点D是射线CB上的一动点（不与点B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．（1）如图1，当点D在线段CB上，且∠BAC=90°时，那么∠DCE= 度；（2）设∠BAC=α，∠DCE=β．①如图2，当点D在线段CB上，∠BAC≠90°时，请你探究α与β之间的数量关系，并证明你的结论；②如图3，当点D在线段CB的延长线上，∠BAC≠90°时，请将图3补充完整，并直接写出此时α与β之间的数量关系3、在等边△ABC的顶点A、C处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以每分钟1米的速度由A向B和由C向A爬行，其中一只蜗牛爬到终点时，另一只也停止运动，经过t分钟后，它们分别爬行到D、E处，请问：（1）如图1，在爬行过程中，CD和BE始终相等吗？（2）如果将原题中的“由A向B和由C向A爬行”，改为“沿着AB和CA的延长线爬行”，EB与CD交于点Q，其他条件不变，蜗牛爬行过程中∠CQE的大小保持不变，请利用图2说明：∠CQE=60°；（3）如果将原题中“由C向A爬行”改为“沿着BC的延长线爬行，连接DE交AC于F”，其他条件不变，如图3，则爬行过程中，DF始终等于EF是否正确？图1 图2 图34、如图，已知△ABC，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点。

①如果点p在线段BC上以3厘米|秒的速度由B点向c点运动，同时，点Q在线段CA上由c点A点运动（1）如点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由（2）若点Q的运动速度与点p的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△COD全等?②如点Q以（2)中的运动速度从点C出发，点P以原来的速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇?角平分线的性质与判定角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.角平分线的判定定理：角的内角到角两边距离相等的点在这个角的平分线上. 角平分线常见辅助线构造全等三角形.例1、如图，在△ABC 中，CD 平分∠ACB ，AC ＝5，BC ＝3.求ACD CBDSS ∆∆例2、如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°,BC ＝AC ，BE 平分∠ABC ， AE ⊥BE .求证：AE ＝12BD例3、如图,在△ABC 中,AB ＞AC ,AD 是∠BAC 的平分线,P 为AC 上任意一点.求证:AB －AC＞DB －DC例4、如图，在△ABC 中，∠B ＝60°，AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线，AD 、CE 相交于点F .⑴请你判断FE 和FD 之间的数量关系，并说明理由； ⑵求证：AE ＋CD ＝AC .第4题图第2题图第5题图第3题图第1题图第5题图第3题图l 2第1题图第7题图提高练习01．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，若CD ＝n ，AB ＝m ，则△ABD 的面积是（）A ．13mnB ．12mn C ． mn D ．2 mn02．如图，已知AB ＝AC ，BE ＝CE ，下面四个结论：①BP ＝CP ；②AD ⊥BC ；③AE 平分∠BAC ；④∠PBC ＝∠PCB .其中正确的结论个数有（）个 A ． 1 B ．2 C ．3 D ．403．如图，在△ABC 中，P 、Q 分别是BC 、AC 上的点，作PR ⊥AB ，PS ⊥AC ，垂足分别是R 、S .若AQ ＝PQ ，PR ＝PS ，下列结论：①AS ＝AR ；②PQ ∥AR ；③△BRP ≌△CSP .其中正确的是（） A ． ①③ B ．②③ C ．①② D ．①②③04．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，则下列四个结论中：①AD 上任意一点到B 、C 的距离相等；②AD 上任意一点到AB 、AC 的距离相等；③AD ⊥BC 且BD ＝CD ；④∠BDE ＝∠CDF .其中正确的是（） A ．②③ B ．②④ C ．②③④ D ．①②③④05．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠CAB ＝30°，∠ACB 的平分线与∠ABC 的外角平分线交于E 点，则∠AEB 的度数为（） A ．50° B ．45° C ．40° D ．35°01．如图，直线l 1、l 2、l 3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有（）A ．一处B ．二处C ．三处D ．四处03．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是△ABC 的平分线，有一个动点P 从A 向B 运动.已知：DC ＝3cm ，DB ＝4cm ，AD ＝8cm .DP 的长为x (cm )，那么x 的范围是__________ 05．如图，已知AB ∥CD ，O 为∠CAB 、∠ACD 的平分线的交点，OE ⊥AC ，且OE ＝2，则两平行线AB 、CD 间的距离等于__________07．如图，点P 是△ABC 两个外角平分线的交点，则下列说法中不正确的是（）A ．点P 到△ABC 三边的距离相等B ．点P 在∠ABC 的平分线上C ．∠P 与∠B 的关系是：∠P ＋12∠B ＝90°D ．∠P 与∠B 的关系是：∠B ＝12∠P如图,在△ABC中,BD是∠ABC的平分线,AD⊥BD,垂足为D一，求证；∠2=∠1+∠C二；若ED∥BC,∠ABD=28°，求∠ADE的度数如图，在△ABC中，BC=AC，∠ACB=90°，D是AC上一点，AE⊥BD交BD的延长线于点E，且AE是BD的一半，求证：BD是∠ABC的角平分线．。

中考数学难点突破与经典模型精讲练全等三角形中的角平分线模型(解析版)

专题08 全等三角形中的角平分线模型【模型展示】特点利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等。

利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。

结论三边对应相等的三角戏是全等三角形（SSS）、全等三角形对应角相等【模型证明】解决方案角平分线+垂直两边型角平分线性质定理：角的平分线上的点作角两边垂直段构成的两个RT三角形全等．【证明】∵ OC为∵AOB的角平分线，D为OC上一点DE∵OA，DF∵OB∵(AAS)OFD△OED△∵DE=DF角平分线+垂直角平分线型构造此模型可以利用等腰三角形的“三线合一”，也可以得到两个全等的直角三角形，进而得到对应边、对应角相等。

这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来。

DFEOCBAOBＮＭＢＣＯ角平分线+平行线如图，P 是∠MON 的平分线上一点，过点 P 作 PQ∠ON ，交 OM 于点 Q 。

结论：∠POQ 是等腰三角形。

【证明】∠PQ ∥ON∴∠PON=∠OPQ又∵OP 是∠MON 的平分线∴∠POQ=∠PON∴∠POQ=∠OPQ∴△POQ 是等腰三角形【题型演练】一、单选题1．已知：如图，BD 为∠ABC 的角平分线，且BD=BC ，E 为BD 延长线上的一点，BE=BA ，过E 作EF∠AB ，F 为垂足，下列结论：∠∠ABD∠∠EBC∠∠BCE+∠BCD=180°∠AD=AE=EC ∠ BA+BC=2BF 其中正确的是（）A ．∠∠∠B ．∠∠∠C ．∠∠∠D ．∠∠∠∠ 【答案】D【分析】易证ABD EBC ∆∆≌，可得BCE BDA ∠=∠，AD=EC 可得∠∠正确；再根据角平分线的性质可求得DAE DCE ∠=∠ ，即∠正确，根据∠可判断∠正确；【详解】∠ BD 为∠ABC 的角平分线，∠ ∠ABD=∠CBD ，∠在∠ABD 和∠EBD 中，BD=BC ，∠ABD=∠CDB ，BE=BA ，∠∠ABD EBC ∆∆≌(SAS)，故∠正确；∠ BD 平分∠ABC ，BD=BC ，BE=BA ，∠ ∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA，∠∠ABD∠∠EBC，∠∠BCE=∠BDA，∠∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠BDC=180°，故∠正确；∠∠BCE=∠BDA，∠BCE=∠BCD+∠DCE，∠BDA=∠DAE+∠BEA，∠BCD=∠BEA，∠∠DCE=∠DAE，∠∠ACE是等腰三角形，∠AE=EC，∠∠ABD∠∠EBC，∠AD=EC，∠AD=AE=EC，故∠正确；作EG∠BC，垂足为G，如图所示：∠ E是BD上的点，∠EF=EG，在∠BEG和∠BEF中BE BE EF EG=⎧⎨=⎩∠ ∠BEG∠∠BEF，∠BG=BF，在∠CEG和∠AFE中EF EG AE CE=⎧⎨=⎩∠∠CEG∠∠AFE，∠ AF=CG，∠BA+BC=BF+FA+BG-CG=BF+BG=2BF，故∠正确；故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形对应边、对应角相等的性质是解题的关键；2．如图，在菱形ABCD 中，AB=BD ，点E 、F 分别是AB 、AD 上任意的点（不与端点重合），且AE=DF ，连接BF 与DE 相交于点G ，连接CG 与BD 相交于点H ．给出如下几个结论：∠∠AED∠∠DFB ；∠S 四边形BCDG 2；∠若AF=2DF ，则BG=6GF ；∠CG 与BD 一定不垂直；∠∠BGE 的大小为定值．其中正确的结论个数为（）A ．4B ．3C ．2D ．1 【答案】B【详解】试题分析：∠∠ABCD 为菱形，∠AB=AD ，∠AB=BD ，∠∠ABD 为等边三角形，∠∠A=∠BDF=60°，又∠AE=DF ，AD=BD ，∠∠AED∠∠DFB ，故本选项正确；∠∠∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°=∠BCD ，即∠BGD+∠BCD=180°，∠点B 、C 、D 、G 四点共圆，∠∠BGC=∠BDC=60°，∠DGC=∠DBC=60°，∠∠BGC=∠DGC=60°，过点C 作CM∠GB 于M ，CN∠GD 于N （如图1），则∠CBM∠∠CDN （AAS ），∠S 四边形BCDG =S 四边形CMGN ，S 四边形CMGN =2S ∠CMG ，∠∠CGM=60°，∠GM=12CG ，，∠S 四边形CMGN =2S ∠CMG =2×12×122，故本选项错误； ∠过点F 作FP∠AE 于P 点（如图2），∠AF=2FD ，∠FP ：AE=DF ：DA=1：3，∠AE=DF ，AB=AD ，∠BE=2AE ，∠FP ：BE=FP ：12AE=1：6，∠FP∠AE ，∠PF∠BE ，∠FG ：BG=FP ：BE=1：6，即BG=6GF ，故本选项正确；∠当点E ，F 分别是AB ，AD 中点时（如图3），由（1）知，∠ABD ，∠BDC 为等边三角形，∠点E ，F 分别是AB ，AD 中点，∠∠BDE=∠DBG=30°，∠DG=BG ，在∠GDC 与∠BGC 中，∠DG=BG ，CG=CG ，CD=CB ，∠∠GDC∠∠BGC ，∠∠DCG=∠BCG ，∠CH∠BD ，即CG∠BD ，故本选项错误；∠∠∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°，为定值，故本选项正确；综上所述，正确的结论有∠∠∠，共3个，故选B ．考点：四边形综合题．3．如图，Rt ACB 中，90ACB ︒∠=，ABC 的角平分线AD 、BE 相交于点P ，过P 作PF AD ⊥交BC 的延长线于点F ，交AC 于点H ，则下列结论：∠135APB ︒∠=；∠PF PA =；∠AH BD AB +=；∠S 四边形23ABDE S ABP =，其中正确的个数是（）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B【分析】根据三角形全等的判定和性质以及三角形内角和定理逐一分析判断即可．【详解】解：∠在∠ABC 中，∠ACB=90°，∠∠CAB+∠ABC=90°∠AD 、BE 分别平分∠BAC 、∠ABC ， ∠∠BAD=12CAB ∠，∠ABE=12ABC ∠ ∠∠BAD+∠ABE=111+=()45222CAB ABC CAB ABC ∠∠∠+∠=︒ ∠∠APB=180°-（∠BAD+∠ABE ）=135°，故∠正确；∠∠BPD=45°，又∠PF∠AD ，∠∠FPB=90°+45°=135°∠∠APB=∠FPB又∠∠ABP=∠FBPBP=BP∠∠ABP∠∠FBP （ASA ）∠∠BAP=∠BFP ，AB=AB ，PA=PF ，故∠正确；在∠APH 与∠FPD 中∠∠APH=∠FPD=90°∠PAH=∠BAP=∠BFPPA=PF∠∠APH∠∠FPD （ASA ），∠AH=FD ，又∠AB=FB∠AB=FD+BD=AH+BD ，故∠正确；连接HD ，ED ，∠∠APH∠∠FPD ，∠ABP∠∠FBP∠APH FPD S S =，ABP FBP S S =，PH=PD ，∠∠HPD=90°，∠∠HDP=∠DHP=45°=∠BPD∠HD∠EP ，∠EPH EPD S S =∠ABP BDP AEP EPD ABDE S S SS S =+++四边形 ()ABP AEP EPH PBD S S S S =+++ABP APH PBD SS S =++ ABP FPD PBD S S S =++ABP FBP S S=+ 2ABPS = 故∠错误，∠正确的有∠∠∠，故答案为：B ．【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的方法有：SSS 、SAS 、AAS 、ASA 、HL ，注意AAA 和SAS 不能判定两个三角形全等．二、填空题4．已知，∠ABC 中，∠BAC ＝120°，AD 平分∠BAC ，∠BDC ＝60°，AB ＝2，AC ＝3，则AD 的长是________．【答案】5【分析】过D 作，DE AC ⊥，DF AB ⊥交AB 延长线于F ，然后根据全等三角形的性质和30︒角直角三角形的性质即可求解．【详解】过D 作，DE AC ⊥，DF AB ⊥交AB 延长线于F ，∠AD 平分BAC ∠，DE AC ⊥，DF AB ⊥，∠DE DF =，90DEC DFB DEA ==︒=∠∠∠，∠360BAC BDC DCE DBA +++=︒∠∠∠∠，12060BAC BDC =︒=︒∠，∠，∠180DCE DBA +=︒∠∠，∠180DBF DBA +=︒∠∠，∠DCE DBF ∠=∠，在DEC 和DFB △中，DCE DBF DEC DFB DE DB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠()DEC DFB AAS △≌△，∠CE BF =，在Rt DEA △和Rt DFA 中，DE DF DA DA =⎧⎨=⎩， ∠()Rt DEA DFA HL △≌△，∠AE AF =，∠,AE AC CE AF AB BF =-=+，∠AC CE AB BF -=+，∠1CE BF AC AB +=-=， ∠12CE BF ==， ∠52AF AB BF =+=， ∠AD 平分BAC ∠， ∠1602DAB BAC ==︒∠∠， ∠18030ADF DAB DFB =︒--=︒∠∠∠，∠25AD AF ==．【点睛】此题考查了全等三角形和角平分线的性质，解题的关键是作出辅助线构造全等三角形．5．如图，∠ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 与内角∠ABC 的平分线BP 交于点P ，若∠BPC ＝50︒，∠CAP ＝______．【答案】40°【分析】过点P 作PF∠AB 于F ，PM∠AC 于M ，PN∠CD 于N ，根据三角形的外角性质和内角和定理，得到∠BAC 度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP=∠FAP ，即可得到答案．【详解】解：过点P 作PF∠AB 于F ，PM∠AC 于M ，PN∠CD 于N ，如图：设∠PCD=x ，∠CP 平分∠ACD ，∠∠ACP=∠PCD=x ，PM=PN ，∠∠ACD=2x ，∠BP 平分∠ABC ，∠∠ABP=∠PBC ，PF=PM=PN ，∠∠BPC ＝50°，∠∠ABP=∠PBC=50PCD BPC x ∠-∠=-︒，∠2(50)ABC x ∠=-︒,∠22(50)100BAC ACD ABC x x ∠=∠-∠=--︒=︒，∠18010080FAC ∠=︒-︒=︒，在Rt∠APF 和Rt∠APM 中，∠PF=PM ，AP 为公共边，∠Rt∠APF∠Rt∠APM （HL ），∠∠FAP=∠CAP ， ∠180402CAP ∠=⨯︒=︒；故答案为：40°；【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质，角平分线的性质，以及全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识进行解题，正确求出80FAC ∠=︒是关键．6．如图所示，ABC 的外角ACD ∠的平分线CP 与ABC ∠的平分线相交于点P ，若36BPC ∠=︒，则CAP ∠=_______．【答案】54︒【分析】如图（见解析），设CBP x ∠=，从而可得2ABC x ∠=，先根据三角形的外角性质可求出72BAC =︒∠，再根据角平分线的性质可得,PM PN PM PE ==，从而可得PN PE =，然后根据直角三角形全等的判定定理与性质可得PAN PAE ∠=∠，最后根据平角的定义即可得．【详解】如图，过点P 分别作PM BD ⊥于点M ，PN BA ⊥于点N ，PE AC ⊥于点E ，设CBP x ∠=，则2ABC x ∠=，36BPC ∠=︒，36DCP BP CBP C x ∠+∴∠=∠=+︒， CP 是ACD ∠的平分线，2272ACD DCP x ∴∠=∠=+︒，272272BAC ACD ABC x x ∴∠=∠-∠=+︒-=︒， BP 是ABC ∠的平分线，PM BD ⊥，PN BA ⊥，PM PN ∴=，同理可得：PM PE =，PN PE ∴=，在Rt ANP 和Rt AEP △中，PN PE PA PA =⎧⎨=⎩， ()Rt ANP Rt AEP HL ∴≅，PAN PAE ∴∠=∠，即PAN CAP ∠=∠，又180PAN CAP BAC ∠+∠+∠=︒，272180CAP ∴∠+︒=︒，解得54CAP ∠=︒，故答案为：54︒．【点睛】本题考查了角平分线的定义与性质、三角形的外角性质、直角三角形全等的判定定理与性质等知识点，通过作辅助线，利用角平分线的性质是解题关键．三、解答题7．如图，ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，过点B 作BE ∠AD ，交AD 延长线于点E ，F 为AB 的中点，连接CF ，交AD 于点G ，连接BG ．（1）线段BE 与线段AD 有何数量关系？并说明理由；（2）判断BEG 的形状，并说明理由．【答案】（1）BE ＝12AD ，见解析；（2）BEG 是等腰直角三角形，见解析【分析】（1）延长BE 、AC 交于点H ，先证明∠BAE ∠∠HAE ，得BE ＝HE ＝12BH ，再证明∠BCH ∠∠ACD ，得BH ＝AD ，则BE ＝12AD ；（2）先证明CF 垂直平分AB ，则AG ＝BG ，再证明∠CAB ＝∠CBA ＝45°，则∠GAB ＝∠GBA ＝22.5°，于是∠EGB ＝∠GAB +∠GBA ＝45°，可证明∠BEG 是等腰直角三角形．【详解】证：（1）BE ＝12AD ，理由如下：如图，延长BE 、AC 交于点H ，∠BE ∠AD ，∠∠AEB ＝∠AEH ＝90°，∠AD 平分∠BAC ，∠∠BAE ＝∠HAE ，在∠BAE 和∠HAE 中，AEB AEH AE AEBAE HAE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∠∠BAE ∠∠HAE （ASA ），∠BE ＝HE ＝12BH ，∠∠ACB ＝90°，∠∠BCH ＝180°﹣∠ACB ＝90°＝∠ACD ，∠∠CBH ＝90°﹣∠H ＝∠CAD ，在∠BCH 和∠ACD 中，BCH ACD BC ACCBH CAD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∠∠BCH ∠∠ACD （ASA ），∠BH ＝AD ，∠BE ＝12AD ．（2）∠BEG 是等腰直角三角形，理由如下：∠AC ＝BC ，AF ＝BF ，∠CF ∠AB ，∠AG ＝BG ，∠∠GAB ＝∠GBA ，∠AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，∠∠CAB ＝∠CBA ＝45°，∠∠GAB ＝12∠CAB ＝22.5°，∠∠GAB ＝∠GBA ＝22.5°，∠∠EGB ＝∠GAB +∠GBA ＝45°，∠∠BEG ＝90°，∠∠EBG ＝∠EGB ＝45°，∠EG ＝EB ，∠∠BEG 是等腰直角三角形．【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等，理解等腰直角三角形的基本性质，并且掌握全等三角形中常见辅助线的作法是解题关键．8．已知：如图，在四边形ABCD 中，BD 平分∠ABC ，∠A +∠C ＝180°，BC ＞BA ．求证：点D 在线段AC 的垂直平分线上．【答案】见解析【分析】在BC 上截取BE ＝BA ，连接DE ，证明∠ABD ∠∠BED ，可得出∠C ＝∠DEC ，则DE ＝DC ，从而得出AD ＝CD 即可证明．【详解】证：如图，在BC 上截取BE ＝BA ，连接DE ，∠BD ＝BD ，∠ABD ＝∠CBD ，∠∠BAD ∠∠BED ，∠∠A ＝∠DEB ，AD ＝DE ，∠∠A +∠C ＝180°，∠BED +∠DEC ＝180°，∠∠C ＝∠DEC ，∠DE ＝DC ，∠AD ＝CD ，∠点D 在线段AC 的垂直平分线上．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，以及垂直平分线的判定等，学会做辅助线找出全等三角形是解题的关键．9．如图所示，在四边形ABCD 中，AC 平分,DAB CD CB ∠=，求证：180B D ∠+∠=．【答案】详见解析【分析】过点C 分别作CE AB ⊥于E ，CF AD ⊥于F ，由条件可得出∠CDF∠∠CEB ，可得∠B=∠FDC ，进而可证明∠B+∠ADC=180°．【详解】证明：过点C 分别作CE AB ⊥于E ，CF AD ⊥于F ，∠AC 平分∠BAD ，CE∠AB 于E ，CF AD ⊥于F ，∠CF=CE ，在Rt∠CDF 与Rt∠CEB 中，CF=CE CD=CB ⎧⎨⎩∠CBE CDF ∆∆≌，CBE CDF ∴∠=∠，180ADC CDF ∠+∠=︒，A C 180B D ∴∠+∠=︒ .【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据HL 证明∠CDF∠∠CEB 进而得出∠B=∠FDC ．10．已知：如图，AC ∠BD ，AE 、BE 分别平分∠CAB 和∠ABD ，点E 在CD 上．用等式表示线段AB 、AC 、BD 三者之间的数量关系，并证明．【答案】AC +BD =AB ，理由见见解析【分析】在BA 上截取BF =BD ，连接EF ，先证得BEF BED ≌，可得到∠BFE =∠D ，再由AC ∠BD ，可得∠AFE =∠C ，从而证得AEF AEC ≌，可得AF =AC ，即可求解．【详解】解：AC +BD =AB ，证明如下：在BA 上截取BF =BD ，连接EF ，如图所示：∠AE 、BE 分别平分∠CAB 和∠ABD ，∠∠EAF =∠EAC ，∠EBF =∠EBD ，在∠BEF 和∠BED 中，BF BD EBF EBD BE BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠BEF BED ≌（SAS ），∠∠BFE =∠D ，∠AC ∠BD ，∠∠C +∠D =180°，∠∠AFE +∠BFE =180°，∠∠AFE +∠D =180°，∠∠AFE =∠C ，在∠AEF 和∠AEC 中，EAF EAC AFE C AE AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠AEF AEC ≌（AAS ），∠AF =AC ，∠AF +BF =AB ，∠AC +BD =AB ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．11．在ABC 中，BE ，CD 为ABC 的角平分线，BE ，CD 交于点F ．（1）求证：1902BFC A ∠=︒+∠；（2）已知60A ∠=︒．∠如图1，若4BD =， 6.5BC =，求CE 的长；∠如图2，若BF AC =，求AEB ∠的大小．【答案】（1）证明见解析；（2）2.5；（3）100°．【分析】（1）由三角形内角和定理和角平分线得出1902FBC FCB A ∠+∠=︒-∠的度数，再由三角形内角和定理可求出BFC ∠的度数，（2）在BC 上取一点G 使BG=BD ，构造BFG BFD ≅△（SAS ），再证明()FEC FGC ASA ≅，即可得BC BD CE =+，由此求出答案；（3）延长BA 到P ，使AP=FC ，构造BFC CAP ≅△（SAS ），得PC=BC ，12P BCF ACB ∠=∠=∠，再由三角形内角和可求40ABC ∠=︒，80ACB ∠=︒，进而可得180()100AEB ABE A ∠=︒-∠+∠=︒．【详解】解：（1）BE 、CD 分别是ABC ∠与ACB ∠的角平分线，11(180)9022FBC FCB A A ∴∠+∠=︒-∠=︒-∠， 1180()180(90)2BFC FBC FCB A ∴∠=︒-∠+∠=︒-︒-∠， 1902BFC A ∴∠=︒+∠，（2）如解（2）图，在BC 上取一点G 使BG=BD ，由（1）得1902BFC A ∠=︒+∠， 60BAC ∠=︒，120BFC ∴∠=︒，∠18060BFD EFC BFC ∠=∠=︒-∠=︒，在BFG 与BFD △中，BF BF FBG FBD BD BG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∠BFG BFD ≅△（SAS ）∠BFD BFG ∠=∠，∠60BFD BFG ∠=∠=︒，∠12060CFG BFG ∠=︒-∠=︒，∠60CFG CFE ∠=∠=︒在FEC 与FGC △中，CFE CFG CF CFECF GCF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()FEC FGC ASA ∴≅，CE CG ∴=，BC BG CG =+，BC BD CE ∴=+；∠4BD =， 6.5BC =，∠ 2.5CE =（3）如解（3）图，延长BA 到P ，使AP=FC ，60BAC ∠=︒，∠180120PAC BAC ∠=︒-∠=︒，在BFC △与CAP 中，120BF AC BFC CAP CF PA =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩， ∠BFC CAP ≅△（SAS ）∠P BCF ∠=∠，BC PC =，∠P ABC ∠=∠，又∠12P BCF ACB ∠=∠=∠， ∠2ACB ABC ∠=∠，又∠180ACB ABC A ∠+∠+∠=︒，∠360180ABC ∠+︒=︒，∠40ABC ∠=︒，80ACB ∠=︒， ∠1202ABE ABC ∠=∠=︒，180()180(2060)100AEB ABE A ∠=︒-∠+∠=︒-︒+︒=︒ 【点睛】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．12．如图，∠ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，CD 平分∠ACB ，BE ∠CD ，垂足E 在CD 的延长线上．求证：BE ＝12CD ．【答案】见解析【分析】分别延长BE 、CA 交于点F ，首先结合题意推出∠CFE ∠∠CBE ，从而得到BE ＝EF ＝12BF ，然后证明∠BF A ∠∠CDA ，得到BF ＝CD ，即可得出结论．【详解】证明：分别延长BE 、CA 交于点F ，∠BE ∠CD ，∠∠BEC ＝∠FEC ＝90°．∠CD 平分∠ACB ，∠∠FCE ＝∠BCE ．在∠CFE 与∠CBE 中，∠∠BEC ＝∠FEC ，∠FCE ＝∠BCE ，CE ＝CE ，∠∠CFE ∠∠CBE ，∠BE ＝EF ＝12BF ．在∠CFE 与∠CAD 中，∠∠F ＋∠FCE ＝∠ADC ＋∠ACD ＝ 90°，∠∠F ＝∠ADC ．在∠BF A 与∠CDA 中，∠∠F ＝∠ADC ，∠BAC ＝∠F AB ，AB ＝AC ，∠∠BF A ∠∠CDA ，∠BF ＝CD ．∠BE ＝12CD ．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，理解角平分线的基本定义，熟练运用角平分线的性质构造辅助线，并且准确判定全等三角形是解题关键．13．如图，在∠ABC 中，∠C ＝90°，AD 是∠BAC 的角平分线，交BC 于点D ，过D 作DE ∠BA 于点E ，点F 在AC 上，且BD ＝DF ．（1）求证：AC ＝AE ；（2）若AB ＝7.4，AF ＝1.4，求线段BE 的长．【答案】（1）见解析；（2）3【分析】（1）证明∠ACD ∠∠AED （AAS ），即可得出结论；（2）在AB 上截取AM =AF ，连接MD ，证∠F AD ∠∠MAD （SAS ），得FD =MD ，∠ADF =∠ADM ，再证Rt ∠MDE ∠Rt ∠BDE （HL ），得ME =BE ，求出MB =AB -AM =6，即可求解．【详解】解：（1）证明：∠AD 平分∠BAC ，∠∠DAC =∠DAE ，∠DE ∠BA ，∠∠DEA =∠DEB =90°，∠∠C =90°，∠∠C =∠DEA =90°，在∠ACD 和∠AED 中，C DEA DAC DAE AD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠ACD ∠∠AED （AAS ），∠AC =AE ；（2）在AB 上截取AM =AF ，连接MD ，在∠F AD 和∠MAD 中，AF AM DAF DAM AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠F AD ∠∠MAD （SAS ），∠FD =MD ，∠ADF =∠ADM ，∠BD =DF ，∠BD =MD ，在Rt ∠MDE 和Rt ∠BDE 中，MD BD DE DE =⎧⎨=⎩， ∠Rt ∠MDE ∠Rt ∠BDE （HL ），∠ME =BE ，∠AF =AM ，且AF =1.4，∠AM =1.4，∠AB =7.4，∠MB =AB -AM =7.4-1.4=6，∠BE ＝12BM ＝3，即BE 的长为3．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线定义、直角三角形的性质、三角形的外角性质等知识；证明∠F AD ∠∠MAD 和Rt ∠MDE ∠Rt ∠BDE 是解题的关键．14．（1）如图1，射线OP 平分∠MON ，在射线OM ，ON 上分别截取线段OA ，OB ，使OA ＝OB ，在射线OP 上任取一点D ，连接AD ，BD ．求证：AD ＝BD ．（2）如图2，在Rt ∠ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝60°，CD 平分∠ACB ，求证：BC ＝AC +AD ．（3）如图3，在四边形ABDE 中，AB ＝9，DE ＝1，BD ＝6，C 为BD 边中点，若AC 平分∠BAE ，EC 平分∠AED ，∠ACE ＝120°，求AE 的值．【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）AE=13【分析】（1）由题意易得∠AOD=∠BOD，然后易证∠AOD∠∠BOD，进而问题可求证；（2）在BC上截取CE=CA，连接DE，由题意易得∠ACD=∠ECD，∠B=30°，则有∠ACD∠∠ECD，然后可得∠A=∠CED=60°，则根据三角形外角的性质可得∠EDB=∠B=30°，然后可得DE=BE，进而问题可求证；（3）在AE上分别截取AF=AB，EG=ED，连接CF、CG，同理（2）可证∠ABC∠∠AFC，∠CDE∠∠CGE，则有∠ACB=∠ACF，∠DCE=∠GCE，然后可得∠ACF+∠GCE=60°，进而可得∠CFG是等边三角形，最后问题可求解．【详解】证明：（1）∠射线OP平分∠MON，∠∠AOD=∠BOD，∠OD=OD，OA＝OB，∠∠AOD∠∠BOD（SAS），∠AD＝BD．（2）在BC上截取CE=CA，连接DE，如图所示：∠∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，∠∠ACD=∠ECD，∠B=30°，∠CD=CD，∠∠ACD∠∠ECD（SAS），∠∠A=∠CED=60°，AD=DE，∠∠B+∠EDB=∠CED，∠∠EDB=∠B=30°，∠DE=BE，∠AD=BE，∠BC=CE+BE，∠BC＝AC+AD．（3）在AE上分别截取AF=AB=9，EG=ED=1，连接CF、CG，如图所示：同理（1）（2）可得：∠ABC∠∠AFC，∠CDE∠∠CGE，∠∠ACB=∠ACF，∠DCE=∠GCE，BC=CF，CD=CG，DE=GE=1，∠C为BD边中点，∠BC=CD=CF=CG=3，∠∠ACE＝120°，∠∠ACB+∠DCE=60°，∠∠ACF+∠GCE=60°，∠∠FCG=60°，∠∠CFG是等边三角形，∠FG=CF=CG=3，∠AE=AF+FG+GE=9+3+1=13．【点睛】本题主要考查三角形全等的性质与判定、角平分线的定义、等腰三角形的性质与判定及等边三角形的性质与判定，解题的关键是构造辅助线证明三角形全等．15．如图，已知∠ABC中，AB=AC，∠A=108°，BD平分∠ABC．求证：BC=AB+CD．【答案】证明见解析【分析】在BC上截取点E，并使得BE=BA，连接DE，证明∠ABD∠∠EBD，得到∠DEB=∠BAD=108°，进一步计算出∠DEC=∠CDE=72°得到CD=CE即可证明．【详解】证明：在线段BC 上截取BE =BA ，连接DE ，如下图所示：∠BD 平分∠ABC ，∠∠ABD =∠EBD ，在∠ABD 和∠EBD 中：AB BE ABD EBD BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∠∠ABD ∠∠EBD (SAS )，∠∠DEB =∠BAD =108°，∠∠DEC =180°-108°=72°，又AB =AC ，∠∠C =∠ABC =(180°-108°)÷2=36°，∠∠CDE =180°-∠C -∠DEC =180°-36°-72°=72°，∠∠DEC =∠CDE ，∠CD =CE ，∠BC =BE +CE =AB +CD ．【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，等腰BC 上截取BE ，并使得BE =BA ，这是角平分线辅助线和全等三角形的应用的一种常见作法．16．如图，ABC 的外角∠DAC 的平分线交BC 边的垂直平分线于P 点，PD∠AB 于D ，PE∠AC 于E ．（1）求证：BD ＝CE ；（2）若AB ＝6cm ，AC ＝10cm ，求AD 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）2【分析】（1）连接BP 、CP ，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得BP CP =，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得 DP EP =，然后利用“HL ”证明Rt BDP ∆和Rt CEP 全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；（2）利用“HL ”证明Rt ADP ∆和Rt AEP 全等，根据全等三角形对应边相等可得AD AE =，再根据AB 、AC 的长度表示出AD 、CE ，然后解方程即可．【详解】（1）证明：连接BP 、CP ，点P 在BC 的垂直平分线上，BP CP ∴=， AP 是DAC ∠的平分线，DP EP ，在Rt BDP ∆和Rt CEP 中，BPCP DP EP ，Rt BDPRt CEP(HL)， BD CE ∴=；（2）解：在Rt ADP ∆和Rt AEP 中，APAP DP EP ，Rt ADPRt AEP(HL)， AD AE ∴=，6AB cm =，10AC cm =，610AD AE ，即610AD AD ，解得AD 2cm =．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．17．如图，ABC ∆的外角ACD ∠的平分线CP 与内角ABC ∠的平分线BP 交于点P ，若40BPC ∠=︒，求CAP ∠的度数．【答案】50°【分析】根据外角与内角性质得出∠BAC 的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP=∠FAP ，即可得出答案．【详解】延长BA ，作PN∠BD ，PF∠BA ，PM∠AC ，设∠PCD=x°，∠CP 平分∠ACD ，∠∠ACP=∠PCD=x°，PM=PN ，∠BP 平分∠ABC ，∠∠ABP=∠PBC ，PF=PN ，∠PF=PM ，∠∠BPC=40°，∠∠ABP=∠PBC=∠PCD -∠BPC=(x -40)°，∠∠BAC=∠ACD -∠ABC=2x°-(x°-40°)-(x°-40°)=80°，∠∠CAF=100°，在Rt∠PFA 和Rt∠PMA 中，PA PA PM PF =⎧⎨=⎩， ∠Rt∠PFA∠Rt∠PMA(HL)，∠∠CAP=∠FAP ，又∠∠CAP+∠PAF=∠CAF ，∠∠CAP =50°．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质和直角三角全等的判定等知识，根据角平分线的性质得出PM=PN=PF 是解决问题的关键．18．四边形ABCD 中，DA DC =，连接BD ．（1）如图1，若BD 平分ABC ∠，求证：180A C ∠+∠=︒．（2）如图2，若BD BC =，150=︒∠BAD ，求证：2DBC ABD ∠=∠．（3）如图3，在（2）的条件下，作AE BC ⊥于点E ，连接DE ，若DA DC ⊥，2BC =，求DE 的长度．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3【分析】（1）过点D 分别作DF BC ⊥于点F ，DE BA ⊥交BA 的延长线于点E ，根据角平分线的性质可得ED FD =，结合已知条件HL 证明Rt DAE ≌Rt DCF △，继而可得C EAD ∠=∠，根据平角的定义以及等量代换即可证明180BAD BCD ∠+∠=︒；（2）过点D 分别作DF BC ⊥于点F ，DE BA ⊥交BA 的延长线于点E ，过点B 作BG DC ⊥，根据含30度角的直角三角形的性质可得12ED AD =，根据三线合一，可得12DG DC =，进而可得DE DG =，根据角平分线的判定定理可推出12ABD DBG DBC ∠=∠=∠，进而即可证明2DBC ABD ∠=∠；（3）先证明四边形DMEF 是矩形，证明△MAD ≌FCD ，进而证明四边形DMEF 是正方形，设ABD α∠=，根据（2）的结论以及三角形内角和定理，求得15α=︒，进而求得30DBC ∠=︒，根据含30度角的直角三角形的性质，即可求得EF ，进而在Rt DEF △中，勾股定理即可求得DE 的长．【详解】（1）如图，过点D 分别作DF BC ⊥于点F ，DE BA ⊥交BA 的延长线于点E ，BD 平分ABC ∠，ED FD ∴=DA DC =，在Rt DAE 与Rt DCF △中AD DC ED FD =⎧⎨=⎩∴Rt DAE ≌Rt DCF △（HL ）C EAD ∴∠=∠180DAB EAD DAB C ∴∠+∠=∠+∠=︒即180BAD BCD ∠+∠=︒（2）如图，过点D 作DE BA ⊥交BA 的延长线于点E ，过点B 作BG DC ⊥，BD BC =11,22DG GC DC DBG CBG DBC ∴==∠=∠=∠150=︒∠BAD，18015030EAD∴∠=︒-︒=︒12ED AD∴=DA DC=ED DG∴=,ED BE DG BG⊥⊥EBD GBD∴∠=∠12ABD DBC∴∠=∠即2DBC ABD∠=∠（3）如图，过点D分别作DF BC⊥于点F，DM EA⊥交EA的延长线于点M，AE BC⊥，,DM ME DF FE⊥⊥∴四边形DMEF是矩形90MDF∴∠=︒90MDA ADF∴∠+∠=︒DA DC⊥90ADC∴∠=︒90ADF FDC∴∠+∠=︒FDC MDA∴∠=∠在△MAD与FCD中MDA FDCDMA DFCDA DC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△MAD≌FCDDM DF∴=，MDA FDC∠=∠∴四边形DMEF是正方形DF EF∴=设ABDα∠=∴22DBC ABD α∠=∠=BD BC =()11802902BDC BCD αα∴∠=∠=︒-=- 90MDA FDC BCD α∴∠=∠=︒-∠=90DAE M MDA α∴∠=∠+∠=︒+150BAD ∠=︒60BAE α∴∠=-在BAE 中9030ABE BAE α∠=︒-∠=︒+23ABE ABD DBC ααα∠=∠+∠=+=15α∴=︒230DBC α∴∠==︒2BD =112122DF BD ∴==⨯= 在Rt DEF △中，1EF DF ==DE ∴==【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，角平分线的性质与判定，三角形内角和定理，三角形的外角性质，勾股定理，正方形的性质与判定，正确的添加辅助线是解题的关键．19．在∠ABC 中，AD 为∠ABC 的角平分线，点E 是直线BC 上的动点．（1）如图1，当点E 在CB 的延长线上时，连接AE ，若∠E ＝48°，AE ＝AD ＝DC ，则∠ABC 的度数为．（2）如图2，AC ＞AB ，点P 在线段AD 延长线上，比较AC +BP 与AB +CP 之间的大小关系，并证明．（3）连接AE ，若∠DAE ＝90°，∠BAC ＝24°，且满足AB +AC ＝EC ，请求出∠ACB 的度数（要求：画图，写思路，求出度数）．【答案】（1）108︒；（2）AC BP AB PC +>+，见解析；（3）44°或104°；详见解析．【分析】（1）根据等边对等角，可得E ADE ∠=∠，DAC C ∠=∠，再根据三角形外角的性质求出=2=48ADE DAC ∠∠︒，由此即可解题；（2）在AC 边上取一点M 使AM =AB ，构造ABP AMP ≅，根据MP MC PC +>即可得出答案；（3）画出图形，根据点E 的位置分四种情况，当点E 在射线CB 延长线上，延长CA 到G ，使AG =AB ，可得GC EC =，可得G GEC ∠=∠，设=2ACB x ∠，则=90G GEC x ∠=∠︒-；根据∠BAC ＝24°，AD 为∠ABC 的角平分线，可得=12BAD DAC ∠∠=︒，可证AGE ABE ≅（SAS ），得出=90ABE G x ∠=∠︒-，利用还有 242ABE x ∠=︒+，列方程90242x x ︒-=︒+；当点E 在BD 上时，∠EAD ＜90°，不成立；当点E 在CD 上时，∠EAD ＜90°，不成立；当点E 在BC 延长线上，延长CA 到G ，使AG =AB ，可得GC EC =，得出G GEC ∠=∠，设=2ACB x ∠，则G GEC x ∠=∠=；∠BAC ＝24°，根据AD 为∠ABC 的角平分线，得出=12BAD DAC ∠∠=︒，证明AGE ABE ≅（SAS ），得出=ABE G x ∠=∠，利用三角形内角和列方程242180x x +︒+=︒，解方程即可．【详解】解：（1）∠AE ＝AD ＝DC ，∠E ADE ∠=∠，DAC C ∠=∠，∠48E ∠=︒，=ADE DAC C ∠∠+∠，∠=2=48ADE DAC ∠∠︒，∠AD 为∠ABC 的角平分线，即=2BAC DAC ∠∠，∠48BAC ∠=︒；∠1804824108ABC ∠=︒-︒-︒=︒（2）如图2，在AC 边上取一点M 使AM =AB ，连接MP ，在ABP 和AMP 中，AB AM BAP MAP AP AP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∠ABP AMP ≅（SAS ），∠BP M P =，∠MP MC PC +>，MC AC AM =-，∠AC AB BP PC -+>，∠AC BP AB PC +>+；（3）如图，点E 在射线CB 延长线上，延长CA 到G ，使AG =AB ，∠AB +AC ＝EC ，∠AG +AC ＝EC ，即GC EC =，∠G GEC ∠=∠，设=2ACB x ∠，则=90G GEC x ∠=∠︒-；又∠BAC ＝24°，AD 为∠ABC 的角平分线，∠=12BAD DAC ∠∠=︒，又∠90DAE ∠︒＝，∠9078BAE BAD ∠︒-∠=︒＝，9078GAE DAC ∠=︒-∠=︒，∠BAE GAE ∠∠＝，在AGE 和ABE △中，AE AE GAE BAE AG AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∠AGE ABE ≅（SAS ），∠=90ABE G x ∠=∠︒-，又∠242ABE BAC ACB x ∠=∠+∠=︒+，∠90242x x ︒-=︒+，解得：22x =︒，∠=2=44ACB x ∠︒；当点E 在BD 上时，∠EAD ＜90°，不成立；当点E 在CD 上时，∠EAD ＜90°，不成立；如图，点E 在BC 延长线上，延长CA 到G ，使AG =AB ，∠AB +AC ＝EC ，∠AG +AC ＝EC ，即GC EC =，∠G GEC ∠=∠，设=2ACB x ∠，则G GEC x ∠=∠=又∠∠BAC ＝24°，AD 为∠ABC 的角平分线，∠=12BAD DAC ∠∠=︒，又∠90DAE ∠︒＝，∠90102BAE BAD ∠︒+∠=︒＝，90102GAE DAC ∠=︒+∠=︒，∠BAE GAE ∠∠＝，在AGE 和ABE △中，AE AE GAE BAE AG AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∠AGE ABE ≅（SAS ），∠=ABE G x ∠=∠，∠242180x x +︒+=︒，解得：52x =︒，∠=2=104ACB x ∠︒．∠∠ACB 的度数为44°或104°．【点睛】本题主要考查了等腰三角形性质、全等三角形判定和性质，角平分线，三角形外角性质，三角形内角和，解一元一次方程，根据角平分线模型构造全等三角形转换线段和角的关系是解题关键．20．如图，已知在四边形ABCD 中，BD 是ABC ∠的平分线，AD CD =．2 求证：180A C ∠+∠=︒．【答案】见解析【分析】方法一，在BC 上截取BE ，使BE AB =，连接DE ，由角平分线的定义可得ABC DBC ∠=∠，根据全等三角形的判定可证ABD △和EBD △全等，再根据全等三角形的性质可得A BED ∠=∠，AD DE =，由AD =CD 等量代换可得DE DC =，继而可得C DEC ∠=∠，由于180BED DEC ∠+∠=︒，可证180A C ∠+∠=︒；方法2，延长BA 到点E ，使BE BC =，由角平分线的定义可得ABD DBC ∠=∠，根据全等三角形的判定可证EBD △和CBD △全等，继而可得E C ∠=∠，DC DE =．由AD CD =，可得DE AD =，继而求得E EAD ∠=∠，由180EAD BAD ∠+∠=︒，继而可得180BAD C ∠+∠=︒；方法3，作DE BC ⊥于点E ，DE BA ⊥交BA 的延长线于点F ，由角平分线的定义可得，由DE BC ⊥，DE BA ⊥，可得90F DEB ∠=∠=︒，根据全等三角形的判定可证FBD 和EBD △全等，继而可得DF DE =，再根据HL 定理可得可证180BAD C ∠+∠=︒．【详解】解：方法1 截长如图，在BC 上截取BE ，使BE AB =，连接DE ，因为BD 是ABC ∠的平分线，所以ABC DBC ∠=∠．在ABD △和EBD △中，因为AB EB ABD DBC BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所以ABD EBD ≅，所以A BED ∠=∠，AD DE =．因为AD CD =，所以DE DC =，所以C DEC ∠=∠．因为180BED DEC ∠+∠=︒，所以180A C ∠+∠=︒．方法2 补短如图，延长BA 到点E ，使BE BC =．因为BD 是ABC ∠的平分线，所以ABD DBC ∠=∠在EBD △和CBD △中，因为BC BE EBD DBC BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，所以EBD CBD ≅，所以E C ∠=∠，DC DE =．因为AD CD =，所以DE AD =，所以E EAD ∠=∠．因为180EAD BAD ∠+∠=︒，所以180BAD C ∠+∠=︒．方法3 构造直角三角形全等作DE BC ⊥于点E ．DE BA ⊥交BA 的延长线于点F因为BD 是ABC ∠的平分线，所以ABD DBC ∠=∠．因为DE BC ⊥，DE BA ⊥，所以90F DEB ∠=∠=︒，在FBD 和EBD △中，因为F DEB ABD DBC BD BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，所以FBD EBD ≅，所以DF DE =．在Rt FAD △和Rt ECD △中，因为DF DE AD DC =⎧⎨=⎩，所以Rt Rt FAD ECD ≅，所以FAD C ∠=∠．因为180FAD BAD ∠+∠=︒，所以180BAD C ∠+∠=︒．21．阅读下面材料：小明遇到这样一个问题:如图一，∠ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，BD 平分∠ABC ，猜想线段AD 与DC 数量关系.小明发现可以用下面方法解决问题:作DE∠BC 交BC 于点E ：(1)根据阅读材料可得AD 与DC 的数量关系为__________.(2)如图二，∠ABC 中，∠A=120°，AB=AC ，BD 平分∠ABC ，猜想线段AD 与DC 的数量关系，并证明你的猜想.(3)如图三，∠ABC 中，∠A=100°，AB=AC ，BD 平分∠ABC ，猜想线段AD 与BD 、BC 的数量关系，并证明你的猜想.【答案】（1）AD ；（2）；（3）BC=AD+BD.【分析】（1）由角平分线的性质可得AD=DE ，根据∠A=90°，AB=AC ，可得∠C=45°，由DE∠BC 可得∠DEC 是等腰直角三角形，可得，进而可得答案；（2）在BC 上截取BE=AB ，连接DE ，利用SAS 可证明∠ABD∠∠EBD ，可得AD=DE ，∠BED=∠A=120°，由等腰三角形的性质可得∠C=30°，利用三角形外角性质可得∠CDE=90°，利用含30°角的直角三角形的性质即可得答案；（3）在BC 上取一点E ，使BE=BD ，作DF∠BA 于F ，DG∠BC 于G ，由角平分线的性质就可以得出DF=DG ，利用AAS 可证明∠DAF∠∠DEG ，可得 DA=DE ，利用外角性质可求出∠EDC=40°，进而可得DE=CE ，即可得出结论．【详解】（1）∠∠A=90°，BD 平分∠ABC ，DE∠BC ，∠DE=AD，∠∠A=90°，AB=AC，∠∠C=45°，∠∠CDE是等腰直角三角形，AD，故答案为（2）如图，在BC上截取BE=AB，连接DE，∠BD平分∠ABC，∠∠ABD=∠DBE，在∠ABD和∠EBD中，AB BEABD DBE BD BD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠ABD∠∠EBD，∠DE=AD，∠BED=∠A=120°，∠AB=AC，∠∠C=∠ABC=30°，∠∠CDE=∠BED-∠C=90°，（3）如图，在BC上取一点E，是BE=BD，作DF∠BA于F，DG∠BC于G，∠∠DFA=∠DGE=90°．∠BD平分∠ABC，DF∠BA，DG∠BC，∠DF=DG．∠∠BAC=100°，AB=AC，∠∠FAD=80°，∠ABC=∠C=40°，∠∠DBC=20°，∠BE=BD，∠∠BED=∠BDE=80°，∠∠FAD=∠BED．在∠DAF和∠DEG中，DFA DGEFAD BED DF=DG∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩，∠∠DAF∠∠DEG（AAS），∠AD=ED．∠∠BED=∠C+∠EDC，∠80°=40+∠EDC，∠∠EDC=40°，∠∠EDC=∠C，∠DE=CE，∠AD=CE．∠BC=BE+CE，∠BC=BD+AD．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质的运用，角平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时合理添加辅助线是解答本题的关键．。

专题06 全等模型-角平分线模型(解析版)

专题06全等模型-角平分线模型角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，本专题就角平分线的几类全等模型作相应的总结，需学生反复掌握。

模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直）【模型解读与图示】条件：如图1，OC 为AOB ∠的角平分线、CA OA ⊥于点A 时，过点C 作CA OB ⊥.结论：CA CB =、OAC ∆≌OBC ∆.图1图2常见模型1（直角三角形型）条件：如图2，在ABC ∆中，90C ∠=︒，AD 为CAB ∠的角平分线，过点D 作DE AB ⊥.结论：DC DE =、DAC ∆≌DAE ∆.（当ABC ∆是等腰直角三角形时，还有AB AC CD =+.）图3常见模型2（邻等对补型）条件：如图3，OC 是∠COB 的角平分线，AC =BC ，过点C 作CD ⊥O A 、CE ⊥OB 。

结论：①180BOA ACB ∠+∠=︒；②AD BE =；③2OA OB AD =+.例1．（2022·北京·中考真题）如图，在ABC ∆中，AD 平分,.BAC DE AB ∠⊥若2,1,AC DE ==则ACD S ∆=____．【答案】1【分析】作DF AC ⊥于点F ，由角平分线的性质推出1DF DE ==，再利用三角形面积公式求解即可．【详解】解：如图，作DF AC ⊥于点F ，∵AD 平分BAC ∠，DE AB ⊥，DF AC ⊥，∴1DF DE ==，∴1121122ACD S AC DF ∆=⋅=⨯⨯=．故答案为：1．【点睛】本题考查角平分线的性质，通过作辅助线求出三角形ACD 中AC 边的高是解题的关键．例2．（2022·山东泰安·中考真题）如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 与内角∠ABC 的平分线BP 交于点P ，若∠BPC ＝40°，则∠CAP ＝（）A ．40°B ．45°C ．50°D ．60°【答案】C 【分析】根据外角与内角性质得出∠BAC 的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP ＝∠FAP ，即可得出答案.【详解】解：延长BA ，作PN ⊥BD ，PF ⊥BA ，PM ⊥AC ，设∠PCD ＝x °，∵CP 平分∠ACD ，∴∠ACP ＝∠PCD ＝x °，PM ＝PN ，∵BP 平分∠ABC ，∴∠ABP ＝∠PBC ，PF ＝PN ，∴PF ＝PM ，∵∠BPC ＝40°，∴∠ABP ＝∠PBC ＝∠PCD ﹣∠BPC ＝（x ﹣40）°，∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝2x°﹣（x°﹣40°）﹣（x°﹣40°）＝80°，∴∠CAF＝100°，在Rt△PFA和Rt△PMA中，{PA PA PM PF==，∴Rt△PFA≌Rt△PMA（HL），∴∠FAP＝∠PAC＝50°．故选C．【点睛】本题考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质和直角三角全等的判定等知识，根据角平分线的性质得出PM＝PN＝PF是解题的关键．例3．（2023·山东·七年级专题练习）如图，∠D＝∠C＝90°，点E是DC的中点，AE平分∠DAB，∠DEA ＝28°，求∠ABE的大小．【答案】28°【分析】过点E作EF⊥AB于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=EF，根据线段中点的定义可得DE=CE，然后求出CE=EF，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可得出BE平分∠ABC，即可求得∠ABE的度数．【详解】如图，过点E作EF⊥AB于F，∵∠D=∠C=90°，AE平分∠DAB，∴DE=EF，∵E是DC的中点，∴DE=CE，∴CE=EF，又∵∠C=90°，∴点E在∠ABC的平分线上，∴BE平分∠ABC，又∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD=180°，∴∠AEB=90°，(1)填空：角平分线的性质定理：角平分线上的点到．符号语言：∵如图1，OP 为COD ∠上的平分线，且，∴．(2)解答：已知：如图2，60AOB ∠=︒，OP 为AOB ∠的平分线，以点P 为顶点的CPD ∠与角的两边相交于点C 、D ，且120CPD ∠=︒．求证：PC PD =．(3)作图：根据以上种情况，再次寻找其它情况，点P P 为AOB ∠的平分线上的点，请你用尺规作图作PE OA ⊥于E ，作PF OB ⊥于F ，90PEC PFD PEO PFO ∴∠=∠=∠=∠=︒，OP 平分AOB ∠，PE PF ∴=，在四边形EOFP 中，60AOB ∠=︒，90PEO PFO ∠=∠=︒，36060290120EPF ∴∠=︒-︒-⨯︒=︒，120CPD ∠=︒ ，CPD EPF ∴∠=∠，CPD EPD EPF EPD ∴∠-∠=∠-∠，CPE DPF ∴∠=∠，PEC PFD ∴≅ （ASA ）PC PD ∴=；（3）证明：如图2，作射线PC ，交OA 于C ，作PCN AOB ∠=∠，反向延长NP ，交OB 于D ，则PC PD =；,（4）解：如图3，当ODP ∠和OCP ∠互补时，PC PD =，理由如下：作PE OA ⊥于E ，作PF OB ⊥于F ，90PEC PFD PEO PFO ∴∠=∠=∠=∠=︒，OP 平分AOB ∠，PE PF ∴=，在四边形EOFP 中，90PEO PFO ∠=∠=︒，360290180EPF AOB ∴∠+∠=︒-⨯︒=︒，180CPD AOB ∠+∠=︒ ，CPD EPF ∴∠=∠，CPD EPD EPF EPD ∴∠-∠=∠-∠，CPE DPF ∴∠=∠，PEC PFD ∴≅ (ASA)PC PD ∴=．【点睛】本题考查全等三角形的判定，角平分线的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直）【模型解读与图示】条件：如图1，OC 为AOB ∠的角平分线，AB OC ⊥，结论：△AOC ≌△BOC ，OAB ∆是等腰三角形、OC 是三线合一等。

数学中考总复习(一轮复习)第17讲全等三角形

第17讲全等三角形【考点总汇】一、全等三角形的性质及判定定理 1•性质(1) _________________________ 全等三角形的对应边，对应角。

(2) ________________________________ 全等三角形的对应边的中线 _______________________ ，对应角平分线 _____________________________________ ，对应边上的高 __________ ，全等三角形的周长 _________ ，面积 _________ 。

2•判定定理(1)三边分别 _________ 的两个三角形全等(简写“边边边”或“ _______ ”)。

微拨炉：已知两边和一角判定三角形全等时，没有“ SSA ”定理，即不能错用成“两边及一边对角相等的两个三角形全等”。

二、角的平分线1•性质：角的平分线上的点到角的两边的距离 ___________ 。

2•判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在 ____________ 。

3•三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离微拨炉： 1•三角形的角平分线是一条线段，不是射线。

2•角的平分线的性质定理和判定定理互为逆定理。

注意分清题设和结论。

高频考点1、全等三角形的判定与性质【范例】如图，在△ ABC 中，AB=CB ，■ ABC =90，D 为AB 延长线上一点，点 E 在BC 边上, 且 BE 二 BD ，连接 AE 、DE 、DC 。

(2)两边和它们的夹角分别________ 的两个三角形全等(简写“边角边”或 ”) (3)两角和它们的夹边分别________ 的两个三角形全等(简写“角边角”或”)(4)斜边和一条直角边分别的两个直角三角形全等(简写“斜边、直角边”或 ”)(1)求证：△ ABE ◎△ CBD(2)若• CAE =30 ［求• BDC 的度数D得分要领：判定全等三角形的基本思路1•已知两边：（1）找夹角（SAS） ; （2）找直角（HL或SAS） ; （3）找第三边（SSS）。

人教版八年级数学上册考点与题型归纳第十二章全等三角形12.3角的平分线性质(含解析)

人教版八年级数学上册考点与题型归纳第十二章全等三角形12.3 三角的平分线性质一：考点归纳考点一、角平分线的定义把一个角分成两个相等的角的射线叫做这个角的平分线。

考点二、三角的平分线性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.（三角形三条角平分线的交点到三边距离相等）考点三、三角的平分线判定角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

考点四、角平分线的尺规作图已知： ∠AOB ,求作： ∠AOB 的角平分线作法：（1）以顶点 O 为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交角两边于点 M 、N ；（2）分别以点 M 、N 为圆心，以大于21 MN 的长度为半径画弧，两弧交与点 P ；（3）连接顶点 O 和点 P ，则射线即 OP 为∠AOB 的角平分线。

如图所示：二：【题型归纳】题型一：角平分线的判定1．在锐角三角形ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BE=CF，求证：AD是∠BAC 的平分线；题型二：、三角的平分线性质2．已知：如图，在Rt ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB，∠1＝∠2，BD＝FD．求证：BE＝FC．考点三、角平分线的尺规作图3．已知：如图，在△ABC中，∠C=90°．（1）作∠B的平分线BM，交AC于点M(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）；（2）若CM=5，AB=12，求△ABM的面积．三：基础巩固和培优一、单选题1．如图，90B C ∠=∠=︒，M 是BC 的中点，DM 平分ADC ∠，且120ADC =∠︒，则MAB ∠的度数为（）A ．30B ．35︒C ．45︒D ．60︒2．如图，在ABC ∆中，50,60ABC ACB ∠=︒∠=︒，点E 在BC 的延长线上，ABC ∠的平分线BD 与ACE ∠的平分线CD 相交于点D ，连接AD ，下列结论中不正确的是（）A ．70BAC ∠=︒B ．35BDC ∠=︒ C ．70ADC ∠=︒D ．55DAC ∠=︒3．如图，在△OAB 和△OCD 中，OA=OB ，OC=OD ，OA ＞OC ，∠AOB=∠COD=40°，连接AC ，BD 交于点M ，连接OM ．下列结论：①AC=BD ；②∠AMB=40°；③OM 平分∠BOC ；④MO 平分∠BMC ．其中正确的是（）A ．①②④B ．②③④C ．①③④D ．①②③④4．如图，已知AB=AC ，BE ⊥AC 于点E ，CF ⊥AB 于点F ，BE 与CF 交于点D ，则下列结论中错误的是（）A ．△ABE ≌△ACFB ．△BDF ≌△CDEC ．点D 是BE 的中点 D ．点D 在∠BAC 的平分线上5．如图，AB=AD ，AC=AE ，∠DAB=∠CAE=50°，以下四个结论：①△ADC ≌△ABE ；②CD=BE ；③∠DOB=50°；④点A 在∠DOE 的平分线上，其中结论正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．46．如图，在ABC 中， ∠ C=90 ° ，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，BC ＝7，DE ＝3．则BD 的长（）A ．4B ．5C ．6D ．107．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AO ，BO 分别平分BAC ∠和ABC ∠，若10AB =，8AC =，6BC =，则点O 到AB 的距离为（）A．2B．1.5C．1D．0.58．如图，在∠MON中，以点O为圆心，任意长为半径作弧，交射线OM于点A，交射线ON于点B，再分别以A，B为圆心，OA的长为半径作弧，两弧在∠MON的内部交于点C，作射线OC，连接AB．若OA＝5，AB＝6，则点B到AC的距离为（）A．4.8B．4C．2.4D．59．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AB=4，AC=3，S△ACD=3，则S△ABD=（）A．3B．4C．9D．1210．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝50°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC长为半径画弧，分别交AB、AC于点E、F；②分别以点E、F为圆心，大于12EF长为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线AG，交BC边于点D．则∠ADC的度数为( )A ．40°B ．55°C ．65°D ．75°二、填空题 11．如图，AD 是△ABC 的角平分线，DF ⊥AB ，垂足为点F ，DE=DG ,若△ADG 和△AED 的面积分别为50和30，则△EDF 的面积为_________．12．如图，∠B =90°，AD 平分∠BAC ，DB =3，则点D 到AC 的距离是________．13．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，AD 平分CAB ∠，BC 10cm =，6BD cm =，则点D 到AB 的距离是___________．14．如图，O 是△ABC 内一点，且O 到三边AB ，BC ，CA 的距离OF ＝OD ＝OE ，若∠BAC ＝80°，则∠BOC的度数为_________．15．如图，ABC 中，A 60∠=︒，AB>AC ，两内角的平分线CD 、BE 交于点O ，OF 平分BOC ∠交BC 于F ，（1）BOC 120∠=︒；（2）连AO ，则AO 平分BAC ∠；（3）A 、O 、F 三点在同一直线上；（4）OD=OE ；（5）BD+CE=BC ．其中正确的结论是__________．（填序号）三、解答题16．已知如图，AB ∥CD ，E 为AD 上一点，且BE ，CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，求证：AE ＝DE17．已知：如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，且DM平分∠ADC．（1）求证：AM平分∠DAB．（2）求证AM⊥DM．18．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB交AB于点E，点F在AC上，BD＝DF．求证：（1）CF＝EB；（2）AB＝AF＋2EB．19．如图，在△ABC中，∠BAD＝∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，AF＝10cm，AC＝14cm，动点E以2cm/s 的速度从A点向F点运动，动点G以1cm/s的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为．（1）求证：在运动过程中，不管取何值，都有S△AED＝2S△DGC；（2）当取何值时，△DFE与△DMG全等；（3）在（2）的前提下，若119126BDDC=，228AEDS cm∆=，求S△BFD．参考答案题型归纳1．证明：∵D是BC 的中点，∴BD=DC，∵DE⊥AB于E ，DF⊥AC于F ，∴△BED与△CFD都是直角三角形，又BE=CF ，∴RT△BED≌RT△CFD（HL ），∴DE=DF，∴AD是∠BAC的平分线（角平分线的判定定理）．2．解：∵∠1＝∠2，∴AD 是BAC ∠的角平分线，∵∠C ＝90°，DE ⊥AB ，∴DE CD =，在Rt BDE △和Rt FDC 中，BD FD DE DC=⎧⎨=⎩， ∴Rt BDE △≌Rt FDC ，∴BE FC =．3．解：（1）∠B 的平分线BM 如图所示：∵BM 平分∠ABC ，∠C=90°，∴MC=MH ，∵CM=5，AB=12，∴MH=5， ∴111253022ABM S AB MH =⋅=⨯⨯=．三：基础巩固和培优1．A解：作MN AD ⊥于N ，90B C ∠=∠=︒，//AB CD ∴，又120ADC ∠=︒，18060DAB ADC ∴∠=︒-∠=︒， DM 平分ADC ∠，MN AD ⊥，MC CD ⊥，MN MC ∴=， M 是BC 的中点，MC MB ∴=，MN MB ∴=，又MN AD ⊥，MB AB ⊥，1302MAB DAB ∴∠=∠=︒，故选：A ．2．C解：A 选项:在ABC ∆中，50,60ABC ACB ︒︒∠=∠=，18070BAC ABC ACB ︒︒∴∠=-∠-∠=，故A 选项不符合题意;B 选项:60ACB ︒∠=，18060120ACE ︒︒︒∴∠=-=， CD 平分ACE ∠，BD 平分ABC ∠，1602DCE ACE ︒∴∠=∠=，1252DBC ABC ︒∠=∠= 602535BDC DCE DBC ︒︒︒∴∠=∠-∠=-=故B 选项不符合题意;C 选项:在ADC ∆中，1801805560ADC DAC ACD ︒︒︒︒∠=-∠-∠=--故C 选项符合题意;D 选项:,BD CD 分别是ABC ∠和ACE ∠的平分线D ∴到AB AC BC ，，的距离相等，AD ∴是ABC ∆的外角平分线，118070552()DAC ︒︒︒∴∠=⨯-=，故D 选项不符合题意．故选C ．3．A【详解】∵∠AOB=∠COD=40°，∴∠AOB+∠AOD=∠COD+∠AOD ，即∠AOC=∠BOD ，在△AOC 和△BOD 中，OA OB AOC BOD OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOC ≌△BOD （SAS ），∴∠OCA=∠ODB ，∠OAC=∠OBD ，AC=BD ，①正确；由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC=∠AOB+∠OBD ，∴∠AMB=∠AOB=40°，②正确；作OG ⊥MC 于G ，OH ⊥MB 于H ，如图2所示：则∠OGC=∠OHD=90°，在△OCG和△ODH中，90OGC OHDOCA ODBOC OD∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△OCG≌△ODH（AAS），∴OG=OH，∴MO平分∠BMC，④正确；∵OA＞OC，∴∠OAC<∠OCA，∵△AOC≌△BOD，∴∠OAC=∠OBD<∠OCA，∵MO平分∠BMC，∴∠OMC=∠OMB，∵∠OMC+∠OCA +∠COM =∠OMB+∠OBD+∠BOM=180︒，∴∠COM<∠BOM，∴MO并不平分∠BOC，③错误；综上，正确的是：①②④；故选：A．4．C解：A、∵AB=AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，∠A=∠A∴△ABE≌△ACF（AAS），正确；B∵△ABE≌△ACF，AB=AC∴BF=CE，∠B=∠C，∠DFB=∠DEC=90°∴△BDF≌△CDE（AAS），正确；C、无法判定，错误；D、∵△ABE≌△ACF，AB=AC∴BF=CE，∠B=∠C，∠DFB=∠DEC=90°∴DF=DE故点D在∠BAC的平分线上，正确；故选：C．5．D【详解】∵∠DAB=∠CAE∴∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC∴∠DAC=∠EAB∵AB=AD，AC=AE∴△ADC≌△ABE∴CD=BE，故①②正确；∵△ADC≌△ABE∴∠ADC =∠ABE设AB与CD交于G点，∵∠AGD =∠BGC∴∠DOB=∠DAB=50°,故③正确；过点A作AF⊥CD于F点，过点A作AH⊥BE于H点，则AF、AH分别是△ADC与△ABE边上的高∵△ADC≌△ABE∴AF=AH∴点A在∠DOE的平分线上，④正确故选D．6．A【详解】解：∵∠ C=90 °，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ， ∴3DE CD ==，∴734BD BC CD =-=-=，故选：A ．7．A解：过点O 分别作AC 、BC 、AB 的垂线分别交于点F 、D 、E ； AO 平分BAC ∠，CAO BAO ∴∠=∠OF AC ⊥，OE AB ⊥OE OF ∴= BO 平分ABC ∠，ABO CBO ∴∠=∠，OD BC ⊥，OE AB ⊥OD OE ∴=OD OE OF ∴==，ABC ACO BCO ABO S S S S ∆∆∆∆=++111222AC OE BC OE AB OE =⋅+⋅+⋅1()2OE AC BC AB =⋅++，8AC =，6BC =，10AB =，1(8610)2ABC S OE ∆∴=⨯++12OE =⋅，90C ∠=︒，11862422ABC S AC BC ∆∴=⋅=⨯⨯=1224OE ∴⋅=，2OE ∴=，∴点O 到AB 的距离为2故选A ．8．A解：由题意可得，OC 为∠MON 的角平分线，∵OA ＝OB ，OC 平分∠AOB ，∴OC⊥AB，设OC与AB交于点D，作BE⊥AC于点E，∵AB＝6，OA＝5，AC＝OA，OC⊥AB，∴AC＝5，∠ADC＝90°，AD＝3，∴CD＝4，∵•2AB CD＝•2AC BE，∴624⨯＝52BE⨯，解得，BE＝4.8，故选：A．9．B解：作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∵AD是∠BAC的平分线，∴DE=DF∴S△ABD：S△ACD=12AB•DE：12AC•DF=AB：AC=4：3∵S△ACD=3∴S△ABD=4．故选：B．10．C【解析】试题分析：由作图方法可得AG是∠CAB的角平分线，∵∠CAB=50°，∴∠CAD=∠CAB=25°，∵∠C=90°，∴∠CDA=90°﹣25°=65°，故选C．二：填空题11．10解：如图，过点D作DH⊥AC于H，∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，∴DF＝DH，在Rt△DEF和Rt△DGH中DE DG DF DH⎧⎨⎩＝＝，∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL），∴S△EDF＝S△GDH，设面积为S，同理Rt △ADF ≌Rt △ADH ，∴S △ADF ＝S △ADH ，即30＋S ＝50−S ，解得S ＝10．12．3.解：如图，过D 作DH AC ⊥于H ， AD 平分90BAC B ∠∠=︒，，DH DB ∴=，3DB =，3DH ∴=，即D 到AC 的距离是3.故答案为：3.13．4cm解：如图，过点D 作DE ⊥AB 于E ，∵∠C=90°，AD 平分∠CAB ，∴DE=CD ，∵BC=10cm ，BD=6cm ，∴CD=BC-BD=10-6=4cm ，∴DE=4cm ．故答案为：4cm ．14．130°解：∵O 到三边AB 、BC 、CA 的距离OF=OD=OE ，∴点O 是三角形三条角平分线的交点，∵∠BAC=80°，∴∠ABC+∠ACB=180°-80°=100°，∴∠OBC+∠OCB=12（∠ABC+∠ACB ）=12×100°=50°，在△OBC 中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB ）=180°-50°=130°．故答案为：130°．15．①②④⑤．解：∵∠A=60°，∴18060120ABC ACB ∠+∠=︒-︒=︒，∴ ()1602ABC ACB ∠+∠=︒， ∵BE 平分∠ABC ，CD 平分∠ACB ， ∴1122EBC ABC DCB ACB ∠=∠∠=∠，， ∴()1602EBC DCB ABC ACB ∠+∠=∠+∠=︒， ∴()180120BOC EBC DCB ∠=︒-∠+∠=︒，∴①正确；过O作OM⊥AB于M，OQ⊥AC于Q，ON⊥BC于N，∵O是∠ABC和∠ACB的角平分线交点，∴OM=ON，ON=OQ，∴OQ=OM，∴O在∠A平分线上，∴②正确；A O F三点共线，如图，若,,，，∴∠=∠+∠∠=∠+∠BOF BAO ABO COF OAC OCA，，BOF COF BAO CAO∠=∠∠=∠∴∠=∠，ABO ACO∴∠=∠，ABC ACB∵AB＞AC，∴∠ABC＜∠ACB，所以：A、O、F不在同一直线上，∴③错误；∵120BOC ∠=︒，∴120DOE ∠=︒，OM ⊥AB ，OQ ⊥AC ，ON ⊥BC ，∴∠AMO=∠AQO=90°，∵∠A=60°，∴∠MOQ=120°，∴∠DOM=∠EOQ ，在OMD 和OQE 中，MOD EOQOMD OQE OM ON∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴OMD OQE ≌（AAS ），∴OE=OD ，∴④正确；在Rt BNO 与Rt BMO 中，BO BOON OM =⎧⎨=⎩∴()Rt BNO Rt BMO HL ≌，BN BM BD DM ∴==+同理，Rt CNO Rt CQO ≌，CN CQ CE EQ∴==-，∴BN CN BD DM CE EQ+=++-，∵DM=EQ，∴BC=BD+CE，∴⑤正确；故答案为：①②④⑤．16证明：如图，过点P作PH⊥AB于H，∵BP平分∠ABC，PD⊥BC，∴PD＝PH，在Rt△BDP和Rt△BHP中BP BP PD PH⎧⎨⎩＝＝，∴Rt△BDP≌Rt△BHP（HL），∴BD＝BH，∵BF＋BE＝2BD，∴BD−BF＝BE−BD，即BH−BF＝BE−BD，∴FH＝DE，在△ODE 和△PHF 中FH DE PDE PHF PD PH ⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝，∴△ODE ≌△PHF （SAS ），∴∠BEP ＝∠PFH ，∵∠BFP ＋∠PFH ＝180°，∴∠BFP ＋∠BEP ＝180°．17.证明：过点E 分别作EG ⊥BC 于G ，EH ⊥CD 于H ，EF ⊥BA 交BA 延长线于F ，则∠AFE=∠DHE=90°，∵BE ，CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，EG ⊥BC ， EH ⊥CD ，EF ⊥BA∴EF=EG ，EG=EH ，∴EF=EH ，∵AB ∥CD ，∴∠FAE=∠D ，在△AFE 和△DHE 中，AFE DHE FAE DEF EH ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△AFE ≌△DHE （AAS ），∴AE=DE ．18．（1）证明见解析；（2）证明见解析．（1）证明：如图：过M作ME⊥AD于E∵DM平分∠ADC，∠C＝90°，ME⊥AD∴MC=ME∵MB=MC∴MB=ME∵∠B＝90°，ME⊥AD∴AM平分∠DAB；（2）证明：∵∠B＝∠C＝90°∴DC//AB∴∠BAD+ ∠ADC=180°∵DM平分∠ADC，AM平分∠DAB∴∠DAM=12∠BAD,∠ADM=12∠ADC,∴∠ADM+∠MAD=12（∠BAD+ ∠ADC）=90°∴∠AMD=90°，即AM⊥DM．19证明：（1）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE=DC ，在Rt △CFD 和Rt △EBD 中，,DF BD CD ED =⎧⎨=⎩， ∴Rt △CFD ≌Rt △EBD （HL ），∴CF=EB ；（2）在△ACD 和△AED 中，90,,CAD EAD ACD AED AD AD ︒∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△AED （AAS ），∴AC=AE ，∴AB=AE+EB=AC+EB=AF+FC+EB=AF+2EB ．20.（1）证明：∵∠BAD ＝∠DAC ，DF ⊥AB ，DM ⊥AC ，∴DF ＝DM ，∵S △AED ＝12AE •DF ，S △DGC ＝12CG •DM ， ∴ADE DGCS S ∆∆＝AE CG ， ∵点E 以2cm /s 的速度从A 点向F 点运动，动点G 以1cm /s 的速度从C 点向A 点运动， ∴AE ＝2tcm ，CG ＝tcm ， ∴AE CG＝2，即ADE DGCS S ∆∆＝2， ∴在运动过程中，不管取何值，都有S △AED ＝2S △DGC ．（2）解：①当0＜t ＜4时，点G 在线段CM 上，点E 在线段AF 上．EF＝10﹣2t，MG＝4﹣t∴10﹣2t＝4﹣t，∴t＝6（不合题意，舍去）；②当4＜t＜5时，点G在线段AM上，点E在线段AF上．EF＝10﹣2t，MG＝t﹣4，∴10﹣2t＝t﹣4，∴t＝143；综上，t＝143．综上所述当t＝143时，△DFE与△DMG全等．（3）解：∵t＝143，∴AE＝2t＝283（cm），∵DF＝DM，∴S△ABD：S△ACD＝AB：AC＝BD：CD＝119：126，∵AC＝14cm，∴AB＝1199（cm），∴BF＝AB﹣AF＝1199﹣10＝299（cm），∵S△ADE：S△BDF＝AE：BF＝283：299，S△AED＝28cm2，∴S△BDF＝293（cm2）．。

全等三角形的应用角平分线专题

角平分线专题 1、如图，BD 是四边形ABCD 中∠ABC 的平分线，∠A ＋∠C ＝180°，求证：DA ＝CD 2、如图，已知△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝100°，∠B 的平分线交AC 于D ，求证：AD ＋BD ＝BC 3、如图，已知△ABC 中，BC ＝AC ，∠C ＝90°， ∠A 的平分线交BC 于D ，求证：AC ＋CD ＝AB4、如图所示，已知AD //BC ，AE 平分∠DAB ，BE平分∠ABC ，直线DC 过点E 交AD 于点D ，交BC于点C ，求证：（1）E 为DC 的中点；（2）AD ＋BC =AB .5、如图，AD ⊥DC ，BC ⊥DC ，E 是DC 上一点，AE平分∠DAB ，BE 平分∠ABC ，求证：点E 是DC 中点。

6、如图四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，∠D ＋∠B =180°，求证：AD ＋AB =2AE ．A BC DA C BD A CB D A D EC B A B CDE D CB A E7、如图，△ABC 中，AD 是∠A 的平分线，E 、F 分别为AB 、AC 上一点，且∠EDF ＋∠BAF =180°，求证：DE =DF .8、如图，已知在△ABC 中，∠B=60°，△ABC 的角平分线AD 、CE 相交于O 点，求证：AE ＋CD=AC.9、如图在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，∠ADC ＋∠ABC ＝180度，CE ⊥AD 于E ，猜想AD 、AE 、AB 之间的数量关系，并证明你的猜想，10、如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，F 在AC 上，且BD ＝DF ，求证：CF ＝EB11、已知：如图，在Rt △ABC 中，AB =AC ，∠BAC =90°，BD 平分∠ABC ，CE ⊥BD 的延长线于E . 求证：BD =2CE .（角分垂，等腰归）12、如图，AF 平分∠BAC ，P 是AF 上任一点，过P 向AB 、AC 作垂线PD 、PE ，D 、E 分别为垂足，连结DE ，求证：AF 垂直平分DE 。

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专题全等三角形与角平分线☞解读考点知识点名师点晴全等三角形全等图形理解全等图形的定义，会识别全等图形全等三角形的判定理解并掌握全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS，并会判定两个三角形全等直角三角形的判定会利用HL判定两个三角形全等角平分线角平分线的性质理解并掌握角平分线的性质角平分线的判定利用角平分线的判定解决有关的实际问题☞2年中考【2015年题组】1．（2015六盘水）如图，已知∠ABC＝∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（）A．∠A＝∠D B．AB＝DC C．∠ACB＝∠DBC D．AC＝BD【答案】D．【解析】试题分析：A．可利用AAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；B．可利用SAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；C．利用ASA判定△ABC≌△DCB，故此选项不符合题意；D．SSA不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意；故选D．考点：全等三角形的判定．2．（2015贵阳）如图，点E，F在AC上，AD=BC，DF=BE，要使△ADF≌△CBE，还需要添加的一个条件是（）A．∠A=∠C B．∠D=∠B C．AD∥BC D．DF∥BE【答案】B．考点：全等三角形的判定与性质．3．（2015义乌）如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB=AD，BC=DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE=∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS【答案】D．【解析】试题分析：在△ADC和△ABC中，∵AD=AB，DC=BC，AC=AC，∴△ADC≌△ABC（SSS），∴∠DAC=∠BAC，即∠QAE=∠PAE．故选D．考点：全等三角形的应用．4．（2015泰州）如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是（）A．1对 B．2对 C．3对 D．4对【答案】D．考点：1．全等三角形的判定；2．线段垂直平分线的性质；3．等腰三角形的性质；4．综合题．5．（2015宜昌）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AD=CD，AB=CB，詹姆斯在探究筝形的性质时，得到如下结论：①AC⊥BD；②AO=CO=12AC；③△ABD≌△CBD，其中正确的结论有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】D．【解析】试题分析：在△ABD与△CBD中，∵AD=CD，AB=BC，DB=DB，∴△ABD ≌△CBD（SSS），故③正确；∴∠ADB=∠CDB，在△AOD与△COD中，∵AD=CD，∠ADB=∠CDB，OD=OD，∴△AOD≌△COD（SAS），∴∠AOD=∠COD=90°，AO=OC，∴AC⊥DB，故①②正确；故选D．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．新定义；3．阅读型．6．（2015宜昌）如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C．考点：全等三角形的判定．7．（2015荆门）如图，点A，B，C在一条直线上，△ABD，△BCE均为等边三角形，连接AE和CD，AE分别交CD，BD于点M，P，CD交BE于点Q，连接PQ，BM，下面结论：①△ABE≌△DBC；②∠DMA=60°；③△BPQ为等边三角形；④MB平分∠AMC，其中结论正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．等边三角形的判定与性质；3．综合题；4．压轴题．8．（2015柳州）如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的点，且AG=CE，AE⊥EF，AE=EF，现有如下结论：①BE=12GE；②△AGE≌△ECF；③∠FCD=45°；④△GBE∽△ECH 其中，正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B．【解析】试题分析：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠DC B=90°，AB=BC，∵AG=CE，∴BG=BE，由勾股定理得：2GE，∴①错误；∵BG=BE，∠B=90°，∴∠BGE=∠BEG=45°，∴∠AGE=135°，∴∠GAE+∠AEG=45°，∵AE⊥EF，∴∠AEF=90°，∵∠BEG=45°，∴∠AEG+∠FEC=45°，∴∠GAE=∠FEC，在△GAE和△CEF中，∵AG=CE，∠GAE=∠CEF，AE=EF，∴△GAE≌△CEF，∴②正确；∴∠AGE=∠ECF=135°，∴∠FCD=135°﹣90°=45°，∴③正确；∵∠BGE=∠BE G=45°，∠AEG+∠FEC=45°，∴∠FEC＜45°，∴△GBE 和△ECH不相似，∴④错误；即正确的有2个．故选B．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．正方形的性质；3．相似三角形的判定与性质；4．综合题．9．（2015柳州）如图，△ABC≌△DEF，则EF= ．【答案】5．【解析】试题分析：∵△ABC≌△DEF，∴BC=EF，则EF=5．故答案为：5．考点：全等三角形的性质．10．（2015盐城）如图，在△ABC与△ADC中，已知AD=AB，在不添加任何辅助线的前提下，要使△ABC≌△ADC，只需再添加的一个条件可以是．【答案】DC=BC或∠DAC=∠BAC．考点：1．全等三角形的判定；2．开放型．11．（2015贵港）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形CDE，连接AE，BE，则∠AEB的度数为．【答案】30°．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．等腰三角形的性质；3．正方形的性质；4．综合题．12．（2015常州）如图是根据某公园的平面示意图建立的平面直角坐标系，公园的入口位于坐标原点O，古塔位于点A（400，300），从古塔出发沿射线OA方向前行300m是盆景园B，从盆景园B向左转90°后直行400m到达梅花阁C，则点C的坐标是．【答案】（400，800）．【解析】试题分析：连接AC，由题意可得：AB=300m，BC=400m，在△AOD和△ACB中，∵AD=AB，∠ODA=∠ABC，DO=BC，∴△AOD≌△ACB（SAS），∴∠CAB=∠OAD，∵B、O在一条直线上，∴C，A，D也在一条直线上，∴AC=AO=500m，则CD=AC=AD=800m，∴C点坐标为：（400，800）．故答案为：（400，800）．考点：1．勾股定理的应用；2．坐标确定位置；3．全等三角形的应用．13．（2015福州）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，连接BM，则BM的长是．．【答案】13考点：1．旋转的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．角平分线的性质；4．等边三角形的判定与性质；5．等腰直角三角形；6．综合题．14．（2015鄂尔多斯）如图，△ABC中，∠C=90°，CA=CB，点M在线段AB上，∠GMB=12∠A，BG⊥MG，垂足为G，MG与BC相交于点H．若MH=8cm，则BG= cm．【答案】4．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．等腰直角三角形；3．综合题．15．（2015长春）如图，在平面直角坐标系中，点P 在函数6y x =（0x >）的图象上．过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为A 、B ，取线段OB 的中点C ，连结PC 并延长交x 轴于点D ．则△APD 的面积为．【答案】6．【解析】试题分析：∵PB ⊥y 轴，PA ⊥x 轴，∴APBD S 矩形=|k|=6，在△PBC 与△DOC 中，∵∠PBC=∠DOC=90°，BC=BC ，∠PCB=∠DCO ，∴△PBC ≌△DOC ，∴S △APD=S 矩形APBO=6．故答案为：6．考点：1．反比例函数系数k 的几何意义；2．全等三角形的判定与性质．16．（2015江西省）如图，OP 平分∠MON ，PE ⊥OM 于E ，PF ⊥ON 于F ，OA=OB ，则图中有对全等三角形．【答案】3．考点：1．全等三角形的判定；2．角平分线的性质；3．综合题．17．（2015贺州）如图，在△ABC中，AB=AC=15，点D是BC边上的一动点（不与B、C重合），∠ADE=∠B=∠α，DE交AB于点E，且tan∠α=34．有以下的结论：①△ADE∽△ACD；②当CD=9时，△ACD与△DBE全等；③△BDE为直角三角形时，BD为12或214；④0＜BE≤245，其中正确的结论是（填入正确结论的序号）．【答案】②③．若△BDE为直角三角形，则有两种情况：（1）若∠BED=90°，∵∠BDE=∠CAD，∠B=∠C，∴△BDE∽△CAD，∴∠CDA=∠BED=90°，∴AD⊥BC，∵AB=AC，∴BD=12BC=12；（2）若∠BDE=90°，如图2，设BD=x，则DC=24－x，∵∠CAD=∠BDE=90°，∠B=∠C=∠α，∴cos∠C=cosB=45，∴154245ACDC x==-，解得：214x=，∴若△BDE为直角三角形，则BD为12或214，故③正确；设BE=x，CD=y，∵△BDE∽△CAD，∴BE CDBD CA=，∴2415x yy=-，∴21524x y y=-，∴215144(12)x y=--，∴15144x≤，∴485x≤，∴0＜BE≤485，∴故④错误；故答案为：②③．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．全等三角形的判定与性质．18．（2015南宁）如图，在▱ABCD中，E、F分别是AB、DC边上的点，且AE=CF，（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）若∠DEB=90°，求证：四边形DEBF是矩形．【答案】（1）证明见试题解析；（2）证明见试题解析．考点：1．平行四边形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．矩形的判定．19．（2015崇左）如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，AD=AE．求证：BE=CD．【答案】证明见试题解析．【解析】试题分析：根据两边及其夹角对应相等可以判断△ADE≌△AEB，再由全等三角形对应边相等可说明结论．证明：在△ADE和△AEB中，∵AB=AC，∠A=∠A，AD=AE，∴△ADE≌△AEB，∴BE=CD．考点：全等三角形的判定与性质．20．（2015来宾）如图，在▱ABCD中，E、F为对角线AC上的两点，且AE=CF，连接DE、BF，（1）写出图中所有的全等三角形；（2）求证：DE∥BF．【答案】（1）△ABC≌△CDA，△ABF≌△△CDE，△ADE≌△CBF；（2）证明见试题解析．考点：1．平行四边形的性质；2．全等三角形的判定与性质．21．（2015百色）如图，AB∥DE，AB=DE，BF=EC．（1）求证：AC∥DF；（2）若CF=1个单位长度，能由△ABC经过图形变换得到△DEF吗？若能，请你用轴对称、平移或旋转等描述你的图形变换过程；若不能，说明理由．【答案】（1）证明见试题解析；（2）能，△ABC先向右平移1个单位长度，再绕点C旋转180°即可得到△DEF．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．几何变换的类型；3．网格型．22．（2015常州）如图，在▱ABCD中，∠BCD=120°，分别延长DC、BC到点E，F，使得△BCE和△CDF都是正三角形．（1）求证：AE=AF；（2）求∠EAF的度数．【答案】（1）证明见试题解析；（2）60°．【解析】试题分析：（1）根据平行四边形的性质得到∠BAD=∠BCD=120°，∠ABC=∠ADC，AB=CD，BC=AD，根据等边三角形的性质得到BE=BC，DF=CD，∠EBC=∠CDF=60°，即可证出∠ABE=∠FDA，AB=DF，BE=AD，由SAS 证明△ABE≌△FDA，得出对应边相等即可；（2）根据全等三角形的性质得到∠AEB=∠FAD，求出∠AEB+∠BAE=60°，得出∠FAD+∠BAE=60°，即可得出∠EAF的度数．试题解析：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD=∠BCD=120°，∠ABC=∠ADC，AB=CD，BC=AD，∵△BCE和△CDF都是正三角形，∴BE=BC，DF=CD，∠EBC=∠CDF=60°，∴∠ABE=∠FDA，AB=DF，BE=AD，在△ABE和△FDA中，∵AB=DF，∠ABE=JIAO FDA，BE=AD，∴△ABE≌△FDA（SAS），∴AE=AF；（2）∵△ABE≌△FDA，∴∠AEB=∠FAD，∵∠ABE=60°+60°=120°，∴∠AEB+∠BAE=60°，∴∠FAD+∠BAE=60°，∴∠EAF=120°﹣60°=60°．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．等边三角形的性质；3．平行四边形的性质．23．（2015乐山）如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点A 落在平面上的F点处，DF交BC于点E．（1）求证：△DCE≌△BFE；（2）若CD=2，∠ADB=30°，求BE的长．【答案】（1）证明见试题解析；（243．试题解析：（1）∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，根据折叠的性质∠ADB=∠BDF，∠F=∠A=∠C=90°，∴∠DBC=∠BDF，∴BE=DE，在△DCE 和△BFE 中，∵∠BEF=∠DEC，∠F=∠C，BE=DE ，∴△DCE≌△BFE；（2）在Rt△BCD 中，∵CD=2，∠ADB=∠DBC=30°，∴BC=23，在Rt△BCD中，∵CD=2，∠EDC=30°，∴DE=2EC，∴222(2)EC EC CD -=，233∴BE=BC﹣433．考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．全等三角形的判定与性质；3．综合题．24．（2015潜江）已知∠MAN=135°，正方形ABCD 绕点A 旋转．（1）当正方形ABCD 旋转到∠MAN 的外部（顶点A 除外）时，AM ，AN 分别与正方形ABCD 的边CB ，CD 的延长线交于点M ，N ，连接MN ． ①如图1，若BM=DN ，则线段MN 与BM+DN 之间的数量关系是；②如图2，若BM≠DN，请判断①中的数量关系是否仍成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（2）如图3，当正方形ABCD旋转到∠MAN的内部（顶点A除外）时，AM，AN分别与直线BD交于点M，N，探究：以线段BM，MN，DN的长度为三边长的三角形是何种三角形，并说明理由．【答案】（1）①MN=BM+DN；②成立；（2）直角三角形．（2）如图3，将△ABM绕点A逆时针旋转90°，得到△ADE，连结NE．由旋转的性质得到DE=BM，AE=AM，∠EAM=90°，∠NDE=90°．先证明△AMN≌△AEN．得到MN=EN．由DN，DE，NE为直角三角形的三边，得到以线段BM，MN，DN的长度为三边长的三角形是直角三角形．②如图2，若BM≠DN，①中的数量关系仍成立．理由如下：延长NC到点P，使DP=BM，连结AP．∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠ABM=∠ADC=90°．在△ABM与△ADP中，∵AB=AD，∠ABM=∠ADP，BM=DP，∴△ABM≌△ADP（SAS），∴AM=AP，∠1=∠2=∠3，∵∠1+∠4=90°，∴∠3+∠4=90°，∵∠MAN=135°，∴∠PAN=360°﹣∠MAN ﹣（∠3+∠4）=360°﹣135°﹣90°=135°．在△ANM与△ANP中，∵AM=AP，∠MAN=∠PAN，AN=AN，∴△ANM≌△ANP（SAS），∴MN=PN，∵PN=DP+DN=BM+DN，∴MN=BM+DN；（2）以线段BM，MN，DN的长度为三边长的三角形是直角三角形．理由如下：如图3，将△ABM绕点A逆时针旋转90°，得到△ADE，连结NE．由旋转的性质得：DE=BM，AE=AM，∠EAM=90°，∠NDE=90°．∵∠MAN=135°，∴∠EAN=360°-∠MAN-∠EAM =135°，∴∠EAN =∠MAN．在△AMN与△AEN中，∵AM=AE，∠MAN=∠EAN，AN=AN，∴△AMN ≌△AEN．∴MN=EN．∵DN，DE，NE为直角三角形的三边，∴以线段BM，MN，DN的长度为三边长的三角形是直角三角形．考点：1．几何变换综合题；2．全等三角形的判定与性质；3．勾股定理的逆定理；4．和差倍分；5．探究型；6．综合题；7．压轴题．【2014年题组】1．（2014年贵州黔西南）如图，已知AB=AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（）A．CB=CD B．∠BAC=∠DAC C．∠BCA=∠DCA D．∠B=∠D=90°【答案】C．考点：全等三角形的判定．2．（2014年湖南益阳）如图，平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能是（）A．AE=CF B．BE=FD C．BF=DE D．∠1=∠2 【答案】A．【解析】试题分析：根据平行四边形的性质以及全等三角形的判定分别作出判断：A、当AE=CF时，构成的条件是SSA，无法得出△ABE≌△CDF，故此选项符合题意；B、当BE=FD时，构成的条件是SAS，可得△ABE≌△CDF，故此选项不符合题意；C、当BF=ED时，由等量减等量差相等得BE=FD，构成的条件是SAS，可得△ABE ≌△CDF ，故此选项不符合题意；D 、当∠1=∠2时，构成的条件是ASA ，可得△ABE ≌△CDF ，故此选项不符合题意．故选A ．考点：1．平行四边形的性质；2．全等三角形的判定．3．（2014年江苏连云港）如图，若△ABC 和△DEF 的面积分别为1S 、2S ，则（）A ．1212S S =B ．1272S S =C ．12S S =D ．1285S S = 【答案】C ．考点：1．全等三角形的判定和性质；2．等底等高三角形的性质．4．（2014年福建福州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC到点F，使12CF BC=．.若AB=10，则EF的长是_______ ．【答案】5．【解析】∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是边AB，AC的中点，AB=10，∴AD=5，AE=EC，12DE BC=，∠AED=90°．∵12CF BC=，∴DE=FC．在Rt△ADE和Rt△EFC中，∵AE=EC，DE=FC，∴Rt△ADE≌Rt△EFC （SAS）．∴EF=AD=5．考点：1．三角形中位线定理；2．全等三角形的判定和性质．5．（2014年湖南长沙）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，AB=DE，BE=CF，AC=6，则DF= __________ ．【答案】6．考点：1．平行的性质；2．全等三角形的判定和性质．6．（2014年湖南常德）如图，已知△ABC三个内角的平分线交于点O，点D在CA的延长线上，且DC=BC，AD=AO，若∠BAC=80°，则∠BCA 的度数为______．【答案】60°．【解析】试题分析：∵△ABC三个内角的平分线交于点O，∴∠ACO=∠BCO．在△COD和△COB中，∵CD=CB，∠OCD=∠OCB，CO=CO，∴△COD≌△COB（SAS）．∴∠D=∠CBO．∵∠BAC=80°，∴∠BAD=100°，∠BAO=40°．∴∠DAO=140°．∵AD=AO，∴∠D=20°．∴∠CBO=20°．∴∠ABC=40°．∴∠BCA=60°．考点：1．角的平分线定义；2．全等三角形的判定和性质；3．等腰三角形的性质．7、（2014年福建福州7分）如图，点E，F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C．求证：∠A=∠D．【答案】证明见试题解析．考点：全等三角形的判定和性质．8．（2014年湖北宜昌）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB．（1）求∠CAD的度数；（2）延长AC至E，使CE=AC，求证：DA=DE．【答案】（1）30°；（2）证明见试题解析．【解析】试题分析：（1）利用“直角三角形的两个锐角互余”的性质和角平分的性质进行解答．（2）由ASA证明△ACD≌△ECD来推知DA=DE．试题解析：解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°．又∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=12∠CAB=30°，即∠CAD=30°．（2）证明：∵∠ACD+∠ECD=180°，且∠ACD=90°，∴∠ECD=90°．∴∠ACD=∠ECD．在△ACD与△ECD中，∵AC=EC，∠ACD=∠ECD，CD=CD，∴△ACD≌△ECD（SAS）．∴DA=DE．考点：1．直角三角形两锐角的关系；2．全等三角形的判定与性质．☞考点归纳归纳 1：全等三角形的性质基础知识归纳：全等三角形的对应边相等，对应角相等基本方法归纳：利用全等三角形的性质解决有关线段相等和角的计算的有关问题注意问题归纳：利用全等三角形的性质时，关键是找准对应点，利用对应点得到相应的对应边以及对应角．【例1】如图，已知△ABC三个内角的平分线交于点O，点D在CA的延长线上，且DC=BC，AD=AO，若∠BAC=80°，则∠BCA的度数为．【答案】60°．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．等腰三角形的性质．归纳 2：全等三角形的判定方法基础知识归纳：三角形全等的判定定理：（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）．基本方法归纳：证明三角形全等的方法有：SSS，SAS，ASA，AAS，还有直角三角形的HL定理．注意问题归纳：对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL 定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）【例2】如图，△ABC和△DEF中，AB=DE、角∠B=∠DEF，添加下列哪一个条件无法证明△ABC≌△DEF（）A．AC∥DF B．∠A=∠D C．AC=DF D．∠ACB=∠F 【答案】C．考点：全等三角形的判定与性质．归纳 3：角平分线基础知识归纳：角平分线上的点到角的两边的距离相等，到角两边距离相等的点在角平分线上．基本方法归纳：角平分线的性质是证明线段相等的重要工具，角平分线的性质经常用来解决点到直线的距离以及三角形的面积问题．注意问题归纳：注意区分角平分线的性质与判定，角平分线的性质和判定都是由三角形全等得到的．【例3】如图所示， AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：DE=DF．【答案】证明见试题解析．考点：1．全等三角形的判定和性质；2．角平分线的性质．☞1年模拟1．（2015届北京市平谷区中考二模）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出A O B AOB'''∠=∠的依据是（）A．（SAS） B．（SSS） C．（AAS） D．（ASA）【答案】B ．【解析】试题分析：由题意可知，利用尺规作图法，可知OC=O ′C ′，OD=O ′D ′，CD=C ′D ′，根据全等三角形的判定定理（SSS ）可得△OCD ≌△O ′C ′D ′，得出A O B AOB '''∠=∠．故选B ．考点：1．全等三角形的判定；2．尺规作图．2．（2015届安徽省安庆市中考二模）如图，等边△ABC 的边AB 上一点P ，作PE ⊥AC 于E ，Q 为BC 延长线上的一点，当PA=CQ 时，连接PQ 交AC 于点D ，下列结论中不一定正确的是（）A ．PD=DQB ．DE=21AC C ．AE=21CQ D ．PQ ⊥AB【答案】D ．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．等边三角形的判定与性质；3．平行线的性质．3．（2015届山东省日照市中考模拟）如图，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为2，若△ABC固定不动，△AFG绕点A 旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E（点D不与点B重合，点E 不与点C重合），设BE=m，CD=n．下列结论：（1）图中有三对相似而不全等的三角形；（2）m•n=2；（3）BD2+CE2=DE2；（4）△ABD≌△ACE；（5）DF=AE．其中正确的有（）A、2个B、3个C、4个D、5个【答案】A ．（5）当AF 与AB 重合时，AE=12AF ，2AF ，得到DF ≠12AF ，于是由AE 与DF 不一定相等；试题解析：（1）△ABE ∽△DAE ，△ABE ∽△DCA ，故（1）错误；（2）∵△ABE ∽△DCA ，∴BE BA AC CD =，由题意可知2， ∴22=，∴m=2n ，∴mn=2；（1＜n ＜2）；故（2）正确；（3）证明：将△ACE 绕点A 顺时针旋转90°至△ABH 的位置，则CE=HB ，AE=AH ，∠ABH=∠C=45°，旋转角∠EAH=90°．连接HD ，在△EAD 和△HAD 中， ∵AE=AH ，∠HAD=∠EAH-∠FAG=45°=∠EAD ，AD=AD ， ∴△EAD ≌△HAD ，∴DH=DE ．又∠HBD=∠ABH+∠ABD=90°， ∴BD2+CE2=DH2，即BD2+CE2=DE2；故（3）正确；（4）若△ABC 固定不动，△AFG 绕点A 旋转，∴∠BAD ≠∠CAE ，∴△ABD 与△ACE 不一定全等，∴（4）错误；（5）当AF与AB重合时，AE=12AF，22AF，∴DF≠12AF，∴AE与DF不一定相等；∴（5）错误．故选A．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．全等三角形的判定与性质；3．等腰直角三角形．4．（2015届山东省济南市平阴县中考二模）如图，在▱ABCD中，E是AD边上的中点，连接BE，并延长BE交CD延长线于点F，则△EDF 与△BCF的周长之比是（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：5 【答案】A．考点：1．平行四边形的性质；2．全等三角形的判定与性质．5．（2015届河北省中考模拟二）如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=3，BC=5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（）A．7.5 B．8 C．15 D．无法确定【答案】A．考点：1．角平分线的性质；2．全等三角形的判定与性质．6．（2015届北京市平谷区中考二模）如图，点A，B，D，E在同一直线上，AB=ED，AC∥EF，∠C=∠F．求证：AC=EF．【答案】证明见解析．【解析】试题分析：根据全等三角形的片对于性质，再由原子条件即可证明△ABC≌△EDF（AAS），推出AC=EF即可．试题解析：证明：∵AC∥EF，∴∠A=∠E．在△ABC和△DEF中，A EC FAB ED∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC≌△EDF．∴AC=EF．考点：全等三角形的判定与性质．7．（2015届北京市门头沟区中考二模）如图，在△ABC中，D为AB 边上一点，F为AC的中点，连接DF并延长至E，使得EF=DF，连接AE和EC．（1）求证：四边形ADCE为平行四边形；（2）如果DF=22，∠FCD=30°，∠AED=45°，求DC的长．【答案】（1）证明见解析；（2）223+．（2）解：如图，过点F作FG⊥DC与G．∵四边形ADCE为平行四边形，∴AE∥CD．∴∠FDG=∠AED=45°，在Rt△FDG中，∠FGD=90°，∠FDG=45°，DF=22，∵cos∠FDG=DGDF，∴DG=GF=cosDF FDG⋅∠=22cos45⋅︒=2．在Rt△FCG中，∠FGC=90°，∠FCG=30°，GF=2，∵tan∠FCG=FG GC，∴223tan tan30FGCGFCG===∠︒，∴DC=DG+GC=223+．考点：1．解直角三角形；2．平行四边形的判定与性质；3．全等三角形的判定与性质．8．（2015届北京市门头沟区中考二模）如图1，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，D是△ABC内部一点，∠ADC=135°，将线段CD绕点C 逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE．（1）①依题意补全图形；②请判断∠ADC和∠CDE之间的数量关系，并直接写出答案；（2）在（1）的条件下，连接BE，过点C作CM⊥DE，请判断线段CM，AE和BE之间的数量关系，并说明理由；（3）如图2，在正方形ABCD中，2，如果PD=1，∠BPD=90°，请直接写出点A到BP的距离．【答案】（1）①作图见解析；②∠ADC+∠CDE=180°；（2）AE=BE+2CM，理由解析；（3312-．（2）线段CM，AE和BE之间的数量关系是AE=BE+2CM，理由如下：∵线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，∴CD=CE，∠DCE=90°，∴∠CDE=∠CED=45°．又∵∠ADC=135°，∴∠ADC+∠CDE=180°，∴A、D、E三点在同一条直线上，∴AE=AD+DE．又∵∠ACB=90°，∴∠ACB－∠DCB=∠DCE－∠DCB，即∠ACD=∠BCE．又∵AC=BC，CD=CE，∴△ACD≌△BCE，∴AD=BE．∵CD=CE，∠DCE=90°，CM⊥DE，∴DE=2CM，∴AE=BE+2CM．（3）点A到BP 31 -考点：1．作图—旋转变换；2．探究型；3．和差倍分；4．全等三角形的判定与性质．9．（2015届安徽省安庆市中考二模）如图，点D是等边△ABC中BC 边上一点，过点D分别作DE∥AB，DF∥AC，交AC，AB于E，F，连接BE，CF，分别交DF，DE于点N，M，连接MN．试判断△DMN的形状，并说明理由．【答案】△DMN为等边三角形，理由见解析．考点：1．等边三角形的判定与性质；2．全等三角形的判定与性质．10．（2015届山东省日照市中考一模）如图，已知，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，E，F分别是CA，CB边的三等分点，将△ECF绕点C逆时针旋转α角（0°＜α＜90°），得到△MCN，连接AM，BN．（1）求证：AM=BN；（2）当MA∥CN时，试求旋转角α的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）1 3．（2）∵MA∥CN，∴∠ACN=∠CAM，∵∠ACN+∠ACM=90°，∴∠CAM+∠ACM=90°，∴∠AMC=90°，∴cosα=13 CM CEAC AC==．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．旋转的性质；3．锐角三角函数的定义．11．（2015届山东省日照市中考模拟）已知四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F．当∠MBN绕B点旋转到AE=CF时（如图1），易证AE+CF=EF；当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．【答案】证明见解析．∴△ABE≌△CBF（SAS）；∴∠ABE=∠CBF，BE=BF；∵∠ABC=120°，∠MBN=60°，∴AE=12BE，CF=12BF；∵∠MBN=60°，BE=BF，∴△BEF为等边三角形；∴AE+CF=12BE+12BF=BE=EF；则△BAE≌△BCK，∴BE=BK，∠ABE=∠KBC，∵∠FBE=60°，∠ABC=120°，∴∠FBC+∠ABE=60°，∴∠FBC+∠KBC=60°，在△KBF和△EBF中，BK BEKBF EBF BF BF⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝∴△KBF≌△EBF，∴KF=EF，∴KC+CF=EF，即AE+CF=EF．图3不成立，AE、CF、EF的关系是AE-CF=EF．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．和差倍分；3．存在型；4．探究型；5．综合题．12．（2015届山东省青岛市李沧区中考一模）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，已知O是AC的中点，AE=CF，DF∥BE．（1）求证：△BOE≌△DOF；（2）若OD=12AC，则四边形ABCD是什么特殊四边形？请证明你的结论．【答案】（1）证明见解析，（2）四边形ABCD是矩形，理由见解析．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．平行四边形的判定与性质；3．矩形的判定；4．探究型．13．（2015届山西省晋中市平遥县九年级下学期4月中考模拟）在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线MN过点A且MN∥BC，过点B为一锐角顶点作Rt△BDE，∠BDE=90°，且点D在直线MN 上（不与点A重合），如图1，DE与AC交于点P，易证：BD=DP．（无需写证明过程）（1）在图2中，DE与CA延长线交于点P，BD=DP是否成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由；（2）在图3中，DE 与AC 延长线交于点P ，BD 与DP 是否相等？请直接写出你的结论，无需证明．【答案】（1）BD=DP 成立．证明见解析；（2）BD=DP ．证明见解析．∵∠1+∠ADB=90°，∠ADB+∠2=90°，∴∠1=∠2．在△BDF 与△PDA 中，⎪⎩⎪⎨⎧︒=∠=∠=∠=∠4521DAP DFB DADF ，∴△BDF ≌△PDA （ASA ），∴BD=DP ．（2）BD=DP ．证明如下：如答图3，过点D 作DF ⊥MN ，交AB 的延长线于点F ，则△ADF 为等腰直角三角形，∴DA=DF ．在△BDF与△PDA中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=︒=∠=∠PDABDFDADFPADF45，∴△BDF≌△PDA（ASA），∴BD=DP．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．等腰直角三角形；3．平行四边形的性质；4．探究型．14．（2015届广东省佛山市初中毕业班综合测试）如图，在△ABC与△ABD中，BC与AD相交于点O，∠1=∠2，CO=DO．求证：∠C=∠D．【答案】证明见解析．考点：全等三角形的判定与性质．15．（2015届江苏省南京市建邺区中考一模）已知：如图，在▱ABCD 中，线段EF分别交AD．AC．BC于点E、O、F，EF⊥AC，AO=CO．（1）求证：△ABF≌△CDE；（2）在本题的已知条件中，有一个条件如果去掉，并不影响（1）的证明，你认为这个多余的条件是（直接写出这个条件）．【答案】（1）证明见解析；（2）EF⊥AC．考点：1．平行四边形的性质；2．全等三角形的判定与性质．16．（2015届河北省中考模拟二）如图，已知正方形ABCD，E是AB 延长线上一点，F是DC延长线上一点，连接BF、EF，恰有BF=EF，将线段EF绕点F顺时针旋转90°得FG，过点B作EF的垂线，交EF 于点M，交DA的延长线于点N，连接NG．。

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