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高中数学极值
摘要：
1.极值的概念与基本性质
2.极值存在的条件
3.求极值的方法
4.极值在高中数学中的应用
正文：
一、极值的概念与基本性质
在高中数学中，极值是函数在某一特定区间内取得的最大值或最小值。
极值是函数图像上的关键点，对于函数的性质和函数图像的形状具有重要意义。
极值有以下基本性质：
1.若函数在某区间上连续，则在该区间内至少有一点取得极值。
2.若函数在某区间上可导，则极值点必为导数为零的点。
二、极值存在的条件
求极值需要满足以下条件：
1.函数在极值点处可导；
2.函数在极值点处的导数等于零；
3.函数在极值点处满足二阶导数测试，即二阶导数大于零时为极小值，小于零时为极大值，等于零时需要结合一阶导数判断。
三、求极值的方法
求极值的方法通常分为以下几个步骤：
1.确定函数的定义域，找到可能的极值点；
2.求函数的导数，找到导数为零的点；
3.求函数的二阶导数，判断极值类型；
4.代入原函数求得极值。
四、极值在高中数学中的应用
极值在高中数学中有广泛的应用，如求解最值问题、函数的单调性、函数的凹凸性等。
学会求极值是解决这些问题的关键。
综上所述，掌握极值的概念与基本性质、极值存在的条件和求极值的方法对于高中数学的学习具有重要意义。
函数极值条件及其应用在数学中，函数极值是指函数在某个区间内取得的最大值或最小值。
函数极值是函数的重要特征之一，它可以帮助我们了解函数的性质和变化规律。
在本文中，我们将介绍函数极值的定义、求解方法以及应用。
函数极值的定义函数极值是指函数在某个区间内取得的最大值或最小值。
如果函数在某个点处取得最大值或最小值，那么这个点就是函数的极值点。
极大值点是指函数在该点处取得最大值，极小值点是指函数在该点处取得最小值。
函数极值的求解方法求解函数极值的方法有很多种，其中最常用的方法是导数法。
导数法是利用函数的导数来求解函数的极值点。
具体步骤如下：1. 求出函数的导数。
2. 将导数等于0的点作为可能的极值点。
3. 利用二阶导数判断这些点是否为极值点。
4. 如果是极值点，则求出函数在该点处的极值。
应用函数极值在数学中有广泛的应用，下面我们将介绍其中的几个应用。
1. 最优化问题最优化问题是指在一定条件下，寻找使某个目标函数取得最大值或最小值的变量值。
这类问题在经济学、管理学、工程学等领域中都有广泛的应用。
例如，在生产过程中，如何使成本最小化，利润最大化等问题都可以通过函数极值来解决。
2. 曲线拟合曲线拟合是指通过一组离散的数据点，寻找一条曲线来描述这些数据点的分布规律。
函数极值可以帮助我们确定曲线的拐点和极值点，从而更好地拟合数据。
3. 优化设计在工程设计中，如何使设计方案更加优化是一个重要的问题。
函数极值可以帮助我们确定设计参数的最优取值，从而实现优化设计。
总结函数极值是函数的重要特征之一，它可以帮助我们了解函数的性质和变化规律。
函数极值的求解方法有很多种，其中最常用的方法是导数法。
函数极值在数学中有广泛的应用，包括最优化问题、曲线拟合和优化设计等。
多元函数的极值与条件极值在数学分析中，极值是一个重要的概念。
对于多元函数而言，我们可以通过求取偏导数或利用拉格朗日乘数法来确定其极值点。
在这篇文章中，我们将探讨多元函数的极值以及条件极值。
一、多元函数的极值在开始讨论多元函数的极值之前，我们先来回顾一元函数的极值。
对于一个实数域上的函数f(x)，如果存在x=a，使得在a的某个去心邻域内，函数值小于（或大于）f(a)，则称f(a)是函数f的一个极大（或极小）值。
同样地，我们可以将这一概念推广到多元函数上。
考虑一个定义在n维欧几里得空间上的函数f(x₁,x₂,...,xₙ)，其中x₁,x₂,...,xₙ是实数。
我们称向量x=(x₁,x₂,...,xₙ)为函数f的一个驻点，如果在x的某个邻域内，函数值在x点取得极值。
对于多元函数，我们需通过求取偏导数来判断其极值点。
偏导数的定义如下：对于函数f(x₁,x₂,...,xₙ)，它在x=(a₁,a₂,...,aₙ)处的偏导数∂f/∂xᵢ (i=1,2,...,n)是当变量xᵢ在点(x₁,x₂,...,xₙ)处以及其他变量a₁,a₂,...,aₙ保持不变时的导数。
求解偏导数后，我们可以通过将偏导数相应的变量取0，得到一组等式，从而解得极值点。
二、多元函数条件极值在实际问题中，我们经常会遇到有约束条件的优化问题，这就引出了条件极值的概念。
对于一个满足一组约束条件的多元函数，我们要在满足条件的前提下，找到它的极值点。
拉格朗日乘数法是求解带有约束条件的多元函数极值的常用方法。
设函数f(x₁,x₂,...,xₙ)的约束条件为g(x₁,x₂,...,xₙ)=0。
首先构建拉格朗日函数L(x₁,x₂,...,xₙ,λ)=f(x₁,x₂,...,xₙ)+λg(x₁,x₂,...,xₙ)，其中λ为拉格朗日乘数。
然后，求解函数L的偏导数∂L/∂xᵢ(i=1,2,...,n)和∂L/∂λ，并将它们置为0。
解这组方程，即可得到满足条件的极值点。
多元函数极值的充分条件马丽君（集宁师范学院 数学系）我们知道，一元函数()y f x =在点0x x =取得极值的充分条件是：函数()f x 在点0x 处具有一阶二阶连续导数，0x 是()f x 驻点，即0()0f x '=。
若0()0(0)f x ''><，则0x 为()f x 的极小值点（或极大值点）对于多元函数()Y f X =，其中12(,,,)n X x x x =，有与上面一元函数取得极值的充分条件相对应的结论。
定义 1.设n 元函数()Y f X =，其中12(,,,)n X x x x =，对各自变量具有一阶连续偏导数，则称12,,,Tn f ff x x x ⎛⎫∂∂∂⎪∂∂∂⎝⎭为()f X 的梯度，记作gradf 。
引理 设n 元函数()f X ，其中12(,,,)n X x x x =，对各自变量具有一阶连续偏导数，则()f X 在点000012(,,,)n X x x x =取得极值的必要条件是：0112(),,,0Tn n X X f ff gradf X x x x ⨯=⎛⎫∂∂∂== ⎪∂∂∂⎝⎭证明：引理成立是显然的，即极值点函数可导，则该点的偏导数等于零。
定义 2.设n 元函数()f X ，对各自变量具有二阶连续偏导数，000012(,,,)n X x x x =是()f X 的驻点，现定义()f X 在点0X 处的矩阵为：222000211212222000202122222000212()()()()()()()()()()f N n n n f X f X f X X X X X X f X f X f X H X X X X X X f X f X f X X X X X X ⎧⎫∂∂∂⎪⎪∂∂∂∂∂⎪⎪⎪⎪∂∂∂⎪⎪=∂∂∂∂∂⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪∂∂∂⎪⎪∂∂∂∂∂⎩⎭由于各二阶偏导数连续，即22(,1,2,,)i j j if fi j n x x x x ∂∂==∂∂∂∂，所以0()f H X 为实对称矩阵。
在数学中，函数条件极值是指在满足特定条件的情况下函数取得的最大值或最小值。
下面是求解函数条件极值的一些常用方法:
1.利用函数的导数求解: 如果函数的导数为零，并且这个点处于单峰或单谷的位置，
那么这个点就是函数的条件极值。
2.利用函数的二阶导数求解: 如果函数的二阶导数的符号在满足特定条件的情况下发
生变化，那么这个点就是函数的条件极值。
3.利用函数的单调性求解: 如果函数在满足特定条件的情况下单调递增或单调递减，
那么函数在这段区间内的端点就是函数的条件极值。
4.利用函数的图像求解: 在满足特定条件的情况下，函数的图像可能存在拐点或者分
界线，这些点就是函数的条件极值。
5.利用数值方法求解: 可以通过暴力枚举或者递归搜索的方法来求解函数的条件极值。
常见的函数条件极值包括函数的极大值、极小值、局部极大值、局部极小值等。
求解函数条件极值时，需要特别注意的是，函数的条件极值不一定是函数的全局极值，也就是说，函数的条件极值可能只是函数在某一特定区间内的极值，而不是整个函数的极值。
此外，在求解函数条件极值时，还需要特别注意条件的具体内容，因为条件的不同会导致函数的条件极值也不同。
例如，如果条件是函数在某一特定区间内单调递增，那么函数在这个区间内的端点就是函数的条件极值；如果条件是函数的导数为零，那么函数的拐点就是函数的条件极值。
为了求解函数条件极值，需要结合函数的性质和条件的具体内容，并运用相应的数学方法来求解。
三元函数极值判别公式
三元函数极值判别公式指的是，对于一个三元函数f(x,y,z)，如果要求其在一定条件下的极值，可以使用以下公式进行判别：若f(x,y,z)在(x0,y0,z0)处取得极值，则必须满足以下条件：
1.偏导数存在且连续；
2.偏导数在(x0,y0,z0)处均为0；
3.二阶偏导数存在且满足以下条件：若D>0，则f(x0,y0,z0)为极值点，且其类型由二阶偏导数确定，即：
（1）当fxx(x0,y0,z0)>0时，f(x0,y0,z0)为极小值；
（2）当fxx(x0,y0,z0)<0时，f(x0,y0,z0)为极大值；
（3）当fxx(x0,y0,z0)=0时，需要进一步判别，可以使用三阶偏导数。
其中，D为二阶主子式，定义为
D=fxx(x0,y0,z0)fyy(x0,y0,z0)-[fxy(x0,y0,z0)]^2。
三元函数极值判别公式可以帮助我们快速准确地求出三元函数在某个点的极值点及其类型，为解决实际问题提供了便利。
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极值的判定条件
极值是函数在某一点上取得的最大值或最小值，判定函数在某一点上的极值需要满足以下条件：
1. 导数为0或不存在：函数在极值点上的导数为0或不存在，即f'(x0)=0或f'(x0)不存在。
2. 导数变号：当函数从单调递增变为单调递减或从单调递减变为单调递增时，函数在该点上取得极值。
3. 二阶导数的符号：当函数在极值点上的二阶导数f''(x0)为正时，函数在该点上取得极小值；当f''(x0)为负时，函数在该点上取得极大值。
需要注意的是，以上三个条件只是判定极值的必要条件，不一定是充分条件。
因此，在判定极值时，还需要进行综合分析，结合函数的图像和实际问题进行判断。
函数的极值条件前言我们处理的各种优化问题可以大致分为两类：有约束的优化问题和无约束的优化问题。
工程优化问题往往都是有约束的，但经过适当的处理可以用无约束的优化方法加以解决。
因此无约束极值点存在的条件是优化理论的基本问题。
关键字：无约束有约束优化求解无约束优化问题的实质是求解目标函数f(x)在n维空间R n中的极值。
我们先来看看一元函数的极值条件。
1.无约束优化问题的极值条件1.1一元函数的极值条件由高等数学可知，任何一个单值、连续、可微的一元函数f(x)在给定区间内某点x=x∗有极值的必要条件，是它在该点处的一阶导数为零，即：f′(x∗)=0即函数的极值必须在驻点处取得。
此条件是必要的，但不是充分的，也就是说驻点不一定就是极值点。
如图1.1-1所示，x=0是驻点，但a b图1.1-1其中图a中的x∗点是极小值点，而图b中的x∗并不是极值点。
驻点是否为极值点，还需要函数在该点的二阶导数来判断。
驻点为极小值点的充分条件是，x∗满足不等式：f′′(x∗)>0驻点为极大值点的充分条件是，x∗满足不等式：f′′(x∗)<0若：f′′(x∗)=0则x∗是否为极值点，还需要逐次检验其更高阶导数的符号。
开始不为零的导数阶数为偶数，则为极值点；若为奇次，则为拐点，而不是极值点。
1.2二元函数的极值条件对于二维无约束优化问题，即对二元函数f(x)=f(x1，x2)来说，若在X∗（x1∗，x2∗）处取得极值，其必要条件是：ðf(x1，x2)ðx1=df(x1，x2∗)dx1|x1=x1∗=0ðf(x1，x2)ðx2=df(x1∗，x2)dx2|x2=x2∗=0写成梯度形式可得：∇f(x)=[ðf(x1，x2)ðx1，ðf(x1，x2)ðx2]T=0为推得二元函数极值存在的充分条件，将二元函数f(x)在驻点x∗=[x1∗，x2∗]T作泰勒二次近似展开，得到近似表达式为：f(x)=f(x∗)+[∇f(x∗)]T(x−x∗)+12(x−x∗)T∇2f(x∗)(x−x∗)因为驻点满足∇f(x∗)=0，故由上式可得：f(x)−f(x∗)=12(x−x∗)T∇2f(x∗)(x−x∗)当f(x)−f(x∗)>0，则由上式可知，应有：12(x−x∗)T∇2f(x∗)(x−x∗)>0此时，x∗为极小值。
而为使上式成立，根据二次型的理论可知，只要Hessian矩阵∇2f(x∗)为正定矩阵。
故由此可得二元函数极小值存在的充分条件为：∇2f(x∗)>0仿此可推得二元函数极大值存在的充分条件为：∇2f(x∗)<01.3多元函数的极值条件由之前对二元函数的极值条件的推导不难将二元函数极值存在的充分必要条件推广至n元函数。
n元函数f(x1，x2，……，x n)在点x∗存在极值的充分必要条件为：条件1：∇f(x∗)=0条件2：当∇2f(x∗)>0时，x∗为极小值点；而当∇2f(x∗)<0时，x∗为极大值点。
条件1为极值存在的必要条件；条件2为极值存在的充分条件。
图1.2-1表示满足极值存在的必要条件的驻点不是极值点而是鞍点的情况。
图1.2-12.有约束优化问题的极值条件求解约束优化问题的极值条件的实质是在所有约束条件所形成的可行域内，求得目标函数的极值点。
因而约束优化问题比无约束优化问题更为复杂。
因为约束优化问题的极值点不仅与目标函数的性态有关，而且还与约束条件的性态密切相关，它可能与目标函数的极值点重合（如图2-1a所示），也可能不是目标函数的极值点（如图2-1b 所示）。
图2-1a表示的是有四个不等式约束的二维约束优化问题。
其目标函数是凸函数，且目标函数的极值点x∗处于可行域内，故x∗即为该约束优化问题的极值点。
图2-1b所示的目标函数和约束函数都是凸图2-1函数。
约束边界g(x)=0与目标函数的等值线x∗点相切，而目标函数的自然极值点隔到了可行域之外。
因此，此约束优化问题的极值点不是目标函数的自然极值点，而是切点x∗。
若目标函数或约束函数的性态不同，致使求解约束优化问题带来许多困难。
为了研究约束优化问题的求解方法，有必要介绍约束优化问题的极值条件。
先阐述等式约束优化问题的极值条件，然后导出不等式约束优化问题的极值条件。
2.1等式约束优化问题的极值条件求解等式优化问题：minf(X)s.t.ℎk(X)=0 (k=1，2，……l)需要导出极值存在的条件，这是求解等式约束优化问题的理论基础。
一般处理这一类问题有两种方法：消元法（降维法）和拉格朗日乘子法（升维法）。
2.1.1消元法二元函数只有一个等式约束的简单情况：minf(x1，x2)s.t.ℎ(x1，x2)=0求解这一问题可采用消元法。
根据等式约束条件将其中一个变量x1表示成另一个变量x2的函数关系x1=φ(x2)，然后将此关系式带入目标函数f(x1，x2)消去x1，变成一元函数F(x2)，这样就将等式约束优化问题转化成了无约束优化问题。
目标函数通过消元法由二元函数变成了一元函数，即由二维变成了一维，达到降维的目的。
同理，对于n维函数：minf(x1，x2，……，x n)s.t.ℎk(x1，x2，……，x n)=0 (k=1，2，……l)由l个约束方程将n个变量中的前l个变量用其余n−l个变量表示：x1=φ1(x l+1，x l+2，……，x n)x1=φ2(x l+1，x l+2，……，x n)……x l=φl(x l+1，x l+2，……，x n)将这些函数关系代入目标函数，从而得到只含x l+1，x l+2，……，x n 共n−l个变量的函数F(x l+1，x l+2，……，x n)，这样就可以利用无约束优化问题的极值条件求解。
消元法是一种间接寻求优化的方法，其实质是利用等式约束消去某些变量，把等式约束优化问题变换成无约束优化问题的一种最简单的方法。
若约束条件是比较简单的函数，消元法是十分方便的，但若约束条件是复杂的多维高次隐函数，这种方法就显得相当不便，有时甚至根本不可能。
2.1.2拉格朗日乘子法拉格朗日乘子法，其实质也是将有约束优化问题转换成无约束优化的问题来求解，同样也是一种间接求解法，但由于引进了一个待定系数（乘子），其结果是简化了数学变化过程，因此是一种更为有效的方法。
拉格朗日乘子法通过增加变量，将等式约束优化问题变成无约束优化问题，所以又称升维法。
先考虑只有一个等式约束的二维优化问题：min f(x)=f(x1，x2)s.t. ℎ(x)=ℎ(x1，x2)=0为推导出此问题的极值条件，引入乘子λ，构造等式约束优化问题的拉格朗日函数：L(x1，x2，λ)=f(x1，x2)+λℎ(x1，x2)从而将约束优化问题转化成无约束优化问题。
可以证明，二者的极值条件是等价的。
而拉格朗日函数极值存在的必要条件为：∂L(x1，x2，λ)∂x1=∂f(x1，x2)∂x1+λ∂ℎ(x1，x2)∂x1=0∂L(x1，x2，λ)∂x2=∂f(x1，x2)∂x2+λ∂ℎ(x1，x2)∂x2=0∂L(x1，x2，λ)∂λ=ℎ(x1，x2)=0为将上述条件推广到有p个等式约束的多维优化问题min f(x) x∈R ns.t.ℎv(x)=0 (v=1，2，…，p)引入p个乘子λv (v=1，2，…，p)，并构造此问题的拉格朗日函数：L(x，λ)=f(x)+∑λvℎv(x)pv=1列出次拉格朗日函数极值存在的必要条件为∂L(x，λ)∂x i =∂f(x)∂x i+∑λv∂ℎv(x)∂x i(i=1，2，…，n)pv=1∂L(x，λ)∂λv=ℎv(x)=0 (v=1，2，…，p)在上述各式中，λ=[λ1，λ2，…，λp]。
若令ℎ(x)=[ℎ1(x)，ℎ2(x)，…，ℎp(x)]T∇ℎ(x)=[∂ℎ1(x)∂x1∂ℎ1(x)∂x2⋯∂ℎ1(x)∂x n ⋮⋱⋮∂ℎp(x)∂x1∂ℎp(x)∂x2⋯∂ℎp(x)∂x n]可将上式简化成梯度和矩阵的形式：∇f(x)+[∇ℎ(x)]Tλ=0ℎ(x)=0此即等式约束优化问题极值存在的必要条件。
为说明等式约束优化问题极值存在的必要条件的几何意义，可将上式写作：−∇f(x)=∑λvℎv(x)pv=1ℎv(x)=0 (v=1，2，…，p)该式中的第一项表明目标函数的负梯度−∇f(x)可表示为约束函数梯度ℎv(x)，(v=1，2，…，p)的线性组合。
其中p为设计点x处的约束曲面的数目。
图2.1.2-1表示了必要条件的几何意义。
其中ℎ1(x)=0与ℎ2(x)=0分别代表两个约束曲面，E为此二约束曲面的交线，显然最优点x∗必在此交线上，∇ℎ1(x∗)与∇ℎ2(x∗)分别为约束函数ℎ1(x)与ℎ2(x)在点x∗处的梯度，即相应的约束曲面在交线E处的法向量。
根据结果式可知，−∇f(x)与∇ℎ1(x∗)、∇ℎ2(x∗)应是线性相关的。
图2.1.2-1这一概念在图上表示为：如果x∗是最优点，目标函数在该点处的负梯度−∇f(x∗)一定要处在由约束函数在该点梯度∇ℎ1(x∗)、∇ℎ2(x∗)做确定的平面P上，这是一个过点x∗且与交线E正交的平面。
如果三个向量−∇f(x∗)、∇ℎ1(x∗)、∇ℎ2(x∗)不在同一平面上，显然不存在上述线性相关条件了。
可以这样来理解：如果−∇f(x∗)不在平面P上，而与平面倾斜一个角度，则−∇f(x∗)在点x∗处的交线E的切线上的投影将不为零，因而沿这个投影方向在交线E上作微小移动时，目标函数值将有所下降，故点x∗就不是最优点了。
这是因为−∇f(x)是目标函数等值面的法向量，它在交线E的x∗处切线上的投影不为零，意味着等值面与交线E在x∗处不相切，x∗处不是切点，所以不是最优点。
2.2不等式约束优化问题的极值条件工程上大多数优化问题都可表示成具有不等式约束条件的优化问题，求解此类问题的实质是在所有约束条件所形成的可行域内求得目标函数的极值点，即约束最优点。
K-T条件是在非线性规划领域中最重要的理论成果之一，通常借助K-T条件来判断和检验约束优化问题中某个可行点是否为约束极值点，即将K-T条件作为确定一般非线性规划问题中某一点是否为极值点的必要条件。
2.2.1 K—T条件对于多元函数不等式约束优化问题：min f(X)s.t.g i(X)≤0(j=1，2，…，m)其中，设计变量X=[x1x2… x i x n]T为n维向量，它受有m个不等式约束的限制。
可用拉格朗日乘子法推导出相应的极值条件：∂f(X∗)∂x i +∑μj∂g i(X∗)∂x i=0 (i=1，2，…，n) mj=1μj g i(X∗)=0 (j=1，2，…，n)μj≥0 (j=1，2，…，n)其中，μ是对应于不等式约束的拉格朗日乘子向量μ=[μ1μ2 … μj …μm ]T，并有μj≥0，这就是著名的K—T条件。
