用二分法求方程的近似解
一、教学内容分析
本节选自《普通高中课程标准实验教科书 ·数学1》人教A版第三单元第一节第二课，主要是分析函数与方程的关系。教材分三步来进行：第一步，从学生认为较简单的一元二次方程与相应的二次函数入手，由具体到一般，建立一元二次方程的根与相应函数的零点的联系。然后推广为一般方程与相应函数的情形；第二步，在用二分法求方程近似解的过程中，通过函数图像和性质来研究方程的解，体现方程和函数的关系；第三步，在函数模型的应用过程中，通过函数模型以及模型的求解，更全面的体现函数与方程的关系，逐步建立起函数与方程的联系。
本节课是这一小节的第二节课，即用二分法求方程的近似解。它以上节课的“连续函数的零点存在定理”为确定方程解所在区间为依据，从求方程近似解这个侧面来体现“方程与函数的关系”；而且在“用二分法求函数零点的步骤”中渗透了算法的思想，为学生后续学习算法的内容埋下伏笔；充分体现新课程“渗透算学方法，关注数学文化以及重视信息技术应用”的理念。求方程近似解其中隐含“逼进”的数学思想，并且运用“二分法”来逼近目标是一种普通而有效的方法，其关键是逼近的依据。
二、学生学习情况分析
同学们有了第一节课的基础，对函数的零点具备基本的认识；而二分法来自生活，是由生活中抽象而来的，只要我们选材得当，能够激发学生的学习兴趣，达到渗透数学思想关注数学文化的目的，学生也能够很容易理解这种方法。其中运用“二分法”进行区间缩小的依据、总结出“运用二分法求方程的近似解”的步骤、将“二分法”运用到生活实际，是需要学生“跳跳”才能摘到的“桃子”。
三、设计理念
本节课倡导积极主动、勇于探索的学习方式，应用从生活实际——理论——实际应用的过程，应用数形结合、图表、信息技术，采用教师引导——学生探索相结合的教学方法，注重提高学生数学的提出问题、分析问题和解决问题的能力，让学生经历直观感知、观察发现、抽象与概括、符号表示、运算求解、数据处理、反思与建构等思维过程。
用二分法求方程的近似解
一、教学内容分析
本节选自《普通高中课程标准实验教科书 ·数学必修一》人教A版第三单元第一节第二课，主要是分析函数与方程的关系。教材分三步来进行：第一步，从学生认为较简单的一元二次方程与相应的二次函数入手，由具体到一般，建立一元二次方程的根与相应函数的零点的联系。然后推广为一般方程与相应函数的情形；第二步，在用二分法求方程近似解的过程中，通过函数图像和性质来研究方程的解，体现方程和函数的关系；第三步，在函数模型的应用过程中，通过函数模型以及模型的求解，更全面的体现函数与方程的关系，逐步建立起函数与方程的联系。
本节课是这一小节的第二节课，即用二分法求方程的近似解。它以上节课的“连续函数的零点存在定理”为确定方程解所在区间为依据，从求方程近似解这个侧面来体现“方程与函数的关系”；而且在“用二分法求函数零点的步骤”中渗透了算法的思想，为学生后续学习算法的内容埋下伏笔；充分体现新课程“渗透算学方法，关注数学文化以及重视信息技术应用”的理念。求方程近似解其中隐含“逼进”的数学思想，并且运用“二分法”来逼近目标是一种普通而有效的方法，其关键是逼近的依据。
二、学生学习情况分析
同学们有了第一节课的基础，对函数的零点具备基本的认识；而二分法来自生活，是由生活中抽象而来的，只要我们选材得当，能够激发学生的学习兴趣，达到渗透数学思想关注数学文化的目的，学生也能够很容易理解这种方法。其中运用“二分法”进行区间缩小的依据、总结出“运用二分法求方程的近似解”的步骤、将“二分法”运用到生活实际，是需要学生“跳跳”才能摘到的“桃子”。
三、设计理念
本节课倡导积极主动、勇于探索的学习方式，应用从生活实际——理论——实际应用的过程，应用数形结合、图表、信息技术，采用教师引导——学生探索相结合的教学方法，注重提高学生数学的提出问题、分析问题和解决问题的能力，让学生经历直观感知、观察发现、抽象与概括、符号表示、运算求解、数据处理、反思与建构等思维过程。
4.5.2
用二分法求方程的近似解
1．二分法的概念
对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
2．用二分法求函数零点近似值的步骤
给定精确度ε，用二分法求函数y＝f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下：
(1)确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)f(b)<0．
(2)求区间(a，b)的中点__c__．
(3)计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：
①若f(c)＝0(此时x0＝c)，则__c__就是函数的零点；
②若f(a)f(c)<0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c；
③若f(c)f(b)<0(此时零点x0∈(c，b))，则令a＝c.
(4)判断是否达到精确度ε：若|a－b|
以上步骤可借助口诀记忆：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？精确度上来判断.
1．已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的零点的个数分别为( )
A．4，4 B．3，4
C．5，4 D．4，3
D 解析：图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右函数值异号的零点有3个，所以可以用二分法求解的零点个数为3，故选D.
2．若函数f(x)在(1，2)内有1个零点，要使零点的近似值满足精确度为0.01，则对区间
(1，2)至少二等分(
)
A．5次 B．6次
C．7次 D．8次
C 解析：设对区间(1，2)至少二等分n次，初始区间长为1.
第1次二等分后区间长为12；
第2次二等分后区间长为122；
第3次二等分后区间长为123；
…
第n次二等分后区间长为12n.
根据题意，得12n＜0.01，
∴n＞log2100.
∵6＜log2100＜7，
∴n≥7.
故对区间(1，2)至少二等分7次．
用二分法求方程的近似解教案
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第31课
用二分法求方程的近似解
．D
2．B
3．D
4．
5．
6．c
7．A
8．
9．设．
（1）由，解得．
（2）由题意可知，
∴解得．
0．设，依题意得
∴，∴．
故当时，原方程的两实根在区间内．
1．令，，则方程有实根等价于直线与抛物线，的图象有交点，而函数，的值域为，∴。
2．解法一：在同一坐标系中，分别画出两个函数和的图象．如下图所示，欲使解区间恰为，则直线必过点，则．
解法二：∵，当时，则．
∴，则，∴．
当时，原不等式的解为，与题意不符，
∴舍去．综上知．
第32课
函数与方程小结与复习（3）
．B
2．A
3．D
4．或
5．（1）∵该二次函数当时有最大值，故可设（），令，则，
所以图象截轴所得的线段长为
，解得，所以该函数的解析式为．
（2）方程可化简为，
∵，所以方程有两个相异的实根．
由于，故方程在内有一根；
，故方程在内有一根，
因此方程的两根分别在区间和内．
（3）解（2）中方程可得两个零点和．
6．c 7．B
8．c
9．由计算器可算得，，，，所以下一个有根区间是．
0．（1）由，则有，
又∵，消去解之得：； ①
又∵方程有实根，即有实根，
故，消去解之得：，； ②
由①②可知，且．
（2），，∴，
从而，
∴，即的符号为正．
1．（1）令，则，
，∴
．
（2）
对任意
，，即，
∴
且，
∴，，∴
,．
⑶∵，，当且仅当时取最大值． ∴
∵
在
上单调，∴或，即或．
2．（1）；（2）；（3）略．
第33课
