22.3实际问题与二次函数(1)

主备:丁玉波 审核:姜瑞凤 时间 : 编号:2210

课题

22.3.1实际问题与二次函数—桥洞问题 课型 自学互学展示课

学

习

目

标 1．会建立直角坐标系解决实际问题；

2．会解决与桥洞有关的实际问题． 重点 二次函数中的建模思想

难点 二次函数中的建模思想

一、前置作业

1．以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系时，可设这条抛物线的关系式为 ．

2．拱桥呈抛物线形，其函数关系式为y＝－14 x2，当拱桥下水位线在AB位置时，水面宽为12m，这时水面离桥拱顶端的高度h是（ ）

A．3m B．26 m

C．43 m D．9m

3．某公园草坪的防护栏由100段形状相同的抛物线形构件组成，为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m(如图)，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（ ）

A．50m B．100m C．160m D．200m

二、试一试

例1：某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，测得水面宽1．6m，涵洞顶点O到水面的距离为2．4m，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？

跟踪训练：

1、有一抛物线拱桥，已知水位在AB位置时，水面的宽度是 m ，水位上升4 m就达到警戒线CD，这时水面宽是 米．若洪水到来时，水位以每小时0.5 m速度上升，求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶端M处．

例2：某工厂大门是一抛物线形的水泥建筑物，大门底部宽AB=4m，顶部C离地面的高度为4.4m，现有载满货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2.7m，装货宽度为2.4m。这辆汽车能否顺利通过大门?若能，请你通过计算加以说明；若不能，请简要说明理由.

2 0.5

0.4 单位：m Ｏ Ｎ Ｍ

22．3 实际问题与二次函数

第1课时 几何图形的最大面积

1．经历数学建模的基本过程，能分析实际问题中变量之间的二次函数关系．

2．会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值．

3．能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题．

一、情境导入

孙大爷要围成一个矩形花圃．花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为32米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如图所示的矩形ABCD.设AB边的长为x米，矩形ABCD的面积为S平方米．当x为何值时，S有最大值？并求出最大值．

二、合作探究

探究点：最大面积问题

【类型一】利用二次函数求最大面积

小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S(单位：平方米)随矩形一边长x(单位：米)的变化而变化．

(1)求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

(2)当x是多少时，矩形场地面积S最大？最大面积是多少？

解析：利用矩形面积公式就可确定二次函数．(1)矩形一边长为x，则另一边长为60－2x2，从而表示出面积；(2)利用配方法求出顶点坐标．

解：(1)根据题意，得S＝60－2x2·x＝－x2＋30x.自变量x的取值范围是0＜x＜30.

(2)S＝－x2＋30x＝－(x－15)2＋225，∵a＝－1＜0，∴S有最大值，即当x＝15(米)时，S最大值＝225平方米．

方法总结：二次函数与日常生活的例子还有很多，体现了二次函数这一数学模型应用的广泛性．解决这类问题关键是在不同背景下学会从所给信息中提取有效信息，建立实际问题中变量间的二次函数关系．

【类型二】利用二次函数判断面积取值成立的条件 用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为x米，面积为y平方米．

(1)求y关于x的函数关系式；

(2)当x为何值时，围成的养鸡场面积为60平方米？

(3)能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由．

解析：(1)先表示出矩形的另一边长，再利用矩形的面积公式表示出函数关系式；(2)已知矩形的面积，可以转化为解一元二次方程；(3)求出y的最大值，与70比较大小，即可作出判断．

教师姓名何亨通单位名称奎屯市第十中学填写时间2020年8月1日

学科数学年级/册九年级（上）教材版本人教版

课题名称22.3 实际问题与二次函数

难点名称利用二次函数解决利润最大问题。

难点分析从知识角度分析为

什么难利用二次函数的最值解决实际问题。

难点教学方法合作探究式。

教学环节教学过程

导入一、情景导入

在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的实际问题。如繁华的商业城中很多人在买

卖东西。

如果你去买商品，你会选买哪一家呢？如果你是商场经理，如何定价才能使商场获得最大利

润呢？

知识讲解

（难点突破）二、知识讲解

问题1：已知某商品的进价为每件40元，售价是每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如

果调整价格 ，每涨价1元，每星期要少卖出10件。要想获得6090元的利润，该商品应定价为多少

元？

分析：没调价之前商场一周的利润为6000元；

设销售单价上调了x元，那么每件商品的利润可表示为 （20+x）元，每周的销售量可表示为

（300-10x）件，一周的利润可表示为 (20+x)( 300-10x)元，要想获得6090元利润可列方程 (20+x)(

300-10x) =6090 。

问题2：已知某商品的进价为每件40元，售价是每件60元，每星期可卖出300

件。市场调查反映：如调整价格 ，每涨价一元，每星期要少卖出10件。该商品应定价为多少元时，商场能获得最大利润？

问题3：已知某商品的进价为每件40元。现在的售价是每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反

映：如调整价格，每降价一元，每星期可多卖出20件。如何定价才能使利润最大？

问题4：已知某商品的进价为每件40元。现在的售价是每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反

映：如调整价格 ，每涨价一元，每星期要少卖出10件；每降价一元，每星期可多卖出20件。如何

定价才能使利润最大？

解：设每件涨价为x元时获得的总利润为y元.

y =(60-40+x)(300-10x) (0≤x≤30)

1 22.3 实际问题与二次函数同步训练题（1）

一、填空题

1. 对于二次函a数y＝12x2+x－1，当x＝______时，y有最_____值，这个值是________．

2. 在距离地面2m高的某处把一物体以初速度V0（m/s）竖直向上抛出，•在不计空气阻力的情况下，其上升高度s（m）与抛出时间t（s）满足：s＝V0t－12gt2（其中g是常数，通常取10m/s2），若V0＝10m/s，则该物体在运动过程中的最高点距离地面________m．

3. 影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系数．•有研究表明，晴天在某段公路上行驶时，速度为V（km/h）的汽车的刹车距离S（m）可由公式S＝1100V2确定；雨天行驶时，这一公式为S＝150V2．如果车行驶的速度是60km/h，•那么在雨天行驶和晴天行驶相比，刹车距离相差_________米．

4. 二次函数y＝x2＋2x－5取最小值时，自变量x的值是______；

5. 已知二次函数y＝x2－6x＋m的最小值为1，那么m的值是______。

二、选择题

1. 若二次函数y＝mx2－3x+2m－m2的图象经过原点，则m的值是（ ）

A. 1 B. 0 C. 2 D. 0或2

2. 下列各图中有可能是函数y＝ax2+c，(0,0)ayacx的图象的是（ ）

3. 二次函数y＝4x2－x+1的图象与x轴的交点个数是（ ）

A. 0个 B. 2个 C. l个 D. 无法确定

4. 已知二次函数y＝x2－4x－5，若y＞0，则（ ）

A. x＞5 B. －l＜x＜5

C. x＞5或x＜－1 D. x＞1或2x＜－5

三、求下列函数的最大值或最小值。

（1）y＝－x2－4x＋2

（2）y＝x2－5x＋ 1

（3）y＝5x2＋10

（4）y＝－2x2＋8x