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二次函数解决实际问题归纳及练习一、应用二次函数解决实际问题的基本思路和步骤：1、基本思路：理解问题→分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系→用函数关系式表示它们的关系→用数学方法求解→检验结果的合理性；解决最值问题应用题思路区别于一般应用题有两点：①设未知数在“当某某为何值时，什么最大（最小、最省）”的设问中，“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；②问的求解依靠配方法或最值公式而不是解方程。

（1）利用二次函数解决利润最大问题此类问题围绕总利润=单件利润×销售总量，设未知数时，总利润必然是因变量y，而自变量有两种情况：①自变量x是所涨价多少或降价多少；②自变量x是最终销售价格。

例：商场销售M型服装时，标价75元/件，按8折销售仍可获利50%，现搞促销活动，每件在8折的基础上再降价x元，已知每天销售数量y（件）与降价x（元）之间的函数关系式为y=20+4x(x﹥0)①求M型服装的进价②求促销期间每天销售M型服装所获得的利润W的最大值。

（2）利用二次函数解决面积最值例：已知正方形ABCD边长为8，E、F、P分别是AB、CD、AD上的点（不与正方形顶点重合），且PE⊥PF，PE=PF问当AE为多长时，五边形EBCFP面积最小，最小面积多少？2、用二次函数解抛物线形问题常见情形具体方法抛物线形建筑物问题几种常见的抛物线形建筑物有拱形桥洞、涵洞、隧道洞口、拱形门窗等运动路线（轨迹）问题运动员空中跳跃轨迹、球类飞行轨迹、喷头喷出水的轨迹等（1）建立适当的平面直角坐标系，将抛物线形状的图形放到坐标系之中；（2）从已知和图象中获得求二次函数表达式所需条件；（3）利用待定系数法求出抛物线的表达式；（4）运用已求出抛物线的表达式去解决相关问题。

牢记（1）解决这类问题的关键首先在于建立二次函数模型，将实际问题转化为数学问题，其次是充分运用已知的条件利用待定系数法求出抛物线的表达式；（2）把哪一点当作原点建立坐标系，将会直接关系到解题的难易程度或是否可解；（3）一般把抛物线形的顶点作为坐标系的原点建立坐标系，这样得出的二次函数的表达式最为简单。

二次函数的建模 知识归纳：求最值的问题的方法归纳起来有以下几点：1．运用配方法求最值；2．构造一元二次方程，在方程有解的条件下，利用判别式求最值；3．建立函数模型求最值；4．利用基本不等式或不等分析法求最值．一、利用二次函数解决几何面积最大问题1、如图1，用长为18米的篱笆（虚线部分）和两面墙围成矩形苗圃。

(1)设矩形的一边长为x （米），面积为y （平方米），求y 关于x 的函数关系式；(2)当x 为何值时，所围成的苗圃面积最大？最大面积是多少？解：（1）设矩形的长为x （米），则宽为（18- x ）（米）， 根据题意，得： x x x x y 18)18(2+-=-=； 又∵180,0180＜x＜x ＞x ＞∴⎩⎨⎧- （自变量x 的取值范围是关键，在几何类题型中，经常采用的办法是：利用含有自变量的加减代数式的边长来确定自变量的取值范围，例如上式中，18-x ，就是含有自变量的加减代数式，考虑到18-x 是边长，所以边长应该＞0，但边长最长不能超过18，于是有0＜18-x ＜18，0＜x ＜18）（2）∵x x x x y 18)18(2+-=-=中，a= -1＜0，∴y 有最大值， 即当9)1(2182=-⨯-=-=a b x 时， 81)1(41804422max =-⨯-=-=a b ac y 故当x=9米时，苗圃的面积最大，最大面积为81平方米。

点评：在回答问题实际时，一定注意不要遗漏了单位。

2、如图2，用长为50米的篱笆围成一个养鸡场，养鸡场的一面靠墙。

问如何围，才能使养鸡场的面积最大？解：设养鸡场的长为x （米），面积为y （平方米），则宽为（250x-）（米），根据题意，得：x x x x y 2521)250(2+-=-=； 又∵500,02500＜x＜＞x x ＞∴⎪⎩⎪⎨⎧- ∵x x x x y 2521)250(2+-=-=中，a=21-＜0，∴y 有最大值，即当25)21(2252=-⨯-=-=a b x 时，2625)21(42504422max =-⨯-=-=a b ac y 故当x=25米时，养鸡场的面积最大，养鸡场最大面积为2625平方米。

二次函数的应用问题二次函数是一种常见的代数函数，它的一般形式为f(x) = ax² + bx + c，其中a、b、c都是实数且a ≠ 0。

由于二次函数具有抛物线的形状，因此在各种实际问题中都能够找到应用。

本文将介绍二次函数在现实生活中的一些典型应用问题，并通过具体案例来解析解决方法。

问题一：飞行物体高度计算假设有一架飞机以初速度v₀从地面起飞，以固定的加速度a直线上升，问它在时间t后的高度h为多少？解决方法：根据牛顿第二定律，加速运动下飞机在t时刻的速度v可以表示为v = v₀ + at，高度h可以表示为h = v₀t + 1/2at²。

将其中的v带入，得到h = v₀t + 1/2a(v - v₀)，代入飞机起飞时速度为0的条件，可得到简化的高度公式h = 1/2at²。

这就是一个二次函数，其中a为加速度，t为时间。

问题二：物体抛射问题假设有一个人以速度v₀把一个物体从一定高度h₀抛出，考察物体的运动轨迹。

解决方法：物体的垂直位移可以通过二次函数来表示。

首先，垂直方向上的受力只有重力，因此物体在下落过程中的运动可以描述为s = -1/2gt² +v₀t + h₀，其中s为垂直位移，g为重力加速度。

而在水平方向上，物体保持匀速运动，所以可以通过s = v₀x来描述其水平位移，其中x为时间。

问题三：最优化问题对于一个二次函数f(x) = ax² + bx + c，如何确定其在定义域内的最大值或最小值。

解决方法：对于给定的二次函数f(x)，可以通过求取其导数f'(x)来确定最大值或最小值的位置。

当f'(x) = 0时，函数取得极值。

根据二次函数的性质，若a > 0，f(x)开口向上，则该极值为最小值；若a < 0，f(x)开口向下，则该极值为最大值。

问题四：实际应用问题二次函数还有很多其他实际应用，比如经济学中的成本、利润和产量问题，物理学中的速度、加速度和位移问题，以及几何学中的抛物线问题等等。

实际问题与二次函数引言：二次函数是高中数学中的重要内容，它在实际问题中有着广泛的应用。

本文将从几个实际问题入手，探讨二次函数在解决这些问题中的作用和应用。

第一部分：抛物线与物体运动问题一：一个物体从地面上以初速度v0竖直向上抛出，忽略空气阻力，求物体的运动轨迹。

解决方法：根据物体竖直上抛运动的运动方程，可以得到物体的高度y与时间t的关系为y=-gt^2/2+v0t，其中g是重力加速度。

这个运动方程正好是一个二次函数，它的图像是一个抛物线，描述了物体的运动轨迹。

问题二：一个人从桥上向下抛掷物体，求物体的最大高度和落地点。

解决方法：根据物体竖直抛体运动的运动方程，可以得到物体的高度与时间的关系为y=-gt^2/2+v0t，其中g是重力加速度，v0是初速度。

我们可以通过求解二次函数的顶点，得到物体的最大高度和落地点的位置。

第二部分：二次函数与开口方向问题三：一块矩形花坛，长边是20米，宽边是10米，现在要在花坛四周修建一圈高度为h的围墙，求围墙的最小高度h。

解决方法：假设围墙的高度为h，围墙的长度为L，围墙的宽度为W。

根据题意，可以得到L=2(20+2h)，W=2(10+2h)，围墙的面积为S=LW。

我们可以将围墙的面积S表示为关于h的二次函数，然后求解这个二次函数的最小值，即可得到围墙的最小高度h。

第三部分：二次函数与最值问题问题四：某公司生产某种产品，每生产x单位的产品需要花费C(x)=80x+2000元，售价为p(x)=0.1x^2+2000元，求使得利润最大的生产数量。

解决方法：利润等于售价减去成本，即P(x)=p(x)-C(x)=0.1x^2-80x。

我们可以求解二次函数P(x)的最大值，得到使得利润最大的生产数量。

问题五：某人在银行存款10000元，银行的年利率为r%，每年计息一次，求多少年后存款会翻倍。

解决方法：存款的本利和可以表示为S(t)=10000(1+r/100)^t，其中t为年数。

用二次函数解决生活问题二次函数是反映现实世界中变量间的数量关系和变化规律的常见的数学模型．将实际问题中的变量关系转化成二次函数后，就可以利用二次函数的图象和性质加以解决，其关键是从实际问题中抽象出数学模型．一、以现实的生活为背景，通过对投掷、跳水、跳远、拱桥、隧道等“抛物线”的探究，建立合理的平面直角坐标系，利用待定系数确定二次函数的表达式例1 如图1，一位运动员在距篮圈中心水平距离4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运动的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3.05米．求抛物线的关系式．分析：由函数图象的对称轴为y 轴，故可设篮球运行的路线所对应的函数关系式为y =ax 2+k （a ≠0，k ≠0）．解：设函数关系式为y =ax 2＋k （a ≠0），由题意可知，A 、B 两点坐标为（1.5，3.05），（0，3.5）．则21.5 3.053.5.a k k ⎧+=⎨=⎩，解得a =－0.2，∴抛物线对应的函数关系式为y =-0.2x 2＋3.5．例2 如图2，三孔桥截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同．正常水位时，大孔水面宽度AB ＝20米，顶点M 距水面6米（即MO ＝6米），小孔顶点N 距水面4.5米（NC ＝4.5米）．当水位上涨刚好淹没小孔时，借助图3中的直角坐标系，求此时大孔的水面宽度EF ．分析：观察图3的图象可知抛物线的对称轴为y 轴，顶点为（0，6），故可设函数关系式为y =ax 2＋6．又因为AB ＝20，所以OB ＝10，故B （10，0）又在抛物线上，可代入求值．解：设抛物线所对应的函数关系式为y =ax 2＋6．依题意，得B （10，0）．∴a ×102＋6＝0．解得a =－0.06．即y =－0.06x 2＋6．当y =4.5时，－0.06x 2＋6=4.5，解得x =±5．∴DF ＝5，EF ＝10．即水面宽度为10米．二、在几何图形中，利用图形的面积、相似三角形等有关知识获得y 与x 的关系式 例3 如图4，用长为l2 m 的篱笆，一边利用足够长的墙围出一块苗圃．围出的苗圃是五边形ABCDE ，AE ⊥AB ，BC ⊥AB ，∠C =∠D =∠E ．设CD =DE =xm ，五边形ABCDE 的面积为Sm 2．问当x 取什么值时，S 最大?并求出S 的最大值．分析：本题可通过对图形的适当分割，转化为比较熟悉的三角形、特殊四边形的面积问题来解决．解：连结EC ，作DF ⊥EC ，垂足为F ． 图4 图 2 图3 图1∵∠DCB =∠CDE =∠DEA ，∠EAB =∠CBA =90°，∴∠DCB =∠CDE =∠DEA =120°．∵DE =CD ，∴∠DEC =∠DCE =30°，∴∠CEA =∠ECB =90°．∴四边形EABC 为矩形，∴∴AE =6－DE =6－x ，DF =12x ，EC =x 3． ∴S =)60(364332<<+-x x x ． 故当4)433(236=-⨯=x 时，312=最大S m 2． 关于二次函数的实际应用，体现在生活中的方方面面。

二次函数的应用案例总结二次函数是一种常见的数学函数形式，它的形式为：y = ax^2 + bx + c。

在现实生活中，二次函数可以用于解决各种问题，包括物理、经济、工程等领域。

本文将总结几个常见的二次函数应用案例，以展示二次函数的实际应用。

案例一：物体自由落体的高度模型假设一个物体从高处自由落体，忽略空气阻力，我们可以用二次函数来表示物体的高度与时间之间的关系。

设物体初始高度为H，加速度为g，时间为t。

根据物理定律，物体的高度可以表示为：h(t) = -0.5gt^2 + H。

这个二次函数模型可以帮助我们计算物体在任意时间点的高度，并可以用于预测物体何时落地。

案例二：销售收入和定价策略假设一个公司生产和销售某种产品，销售价格为p（单位：元），销售量为q（单位：件）。

二次函数可以用于建立销售收入与定价策略之间的模型。

设定售价的二次函数为：R(p) = -ap^2 + bp + c，其中a、b、c为常数。

我们可以通过分析二次函数的图像、求解极值等方法，确定最佳售价，以使得销售收入最大化。

案例三：桥梁设计中的弧线形状在桥梁设计中，常常需要确定桥梁的弧线形状，以使得车辆在桥上行驶时感到平稳。

二次函数可以用来描述桥梁的曲线形状。

设桥梁的弧线形状为y = ax^2 + bx，其中x表示桥梁长度的一半，y表示桥梁的高度。

通过调整参数a和b，可以得到不同形状的弧线，以满足设计要求。

案例四：市场需求和价格关系分析在经济学中，二次函数可以用于建立市场需求与价格之间的关系模型。

设市场需求量为D，价格为p。

根据经济理论，市场需求可以表示为：D(p) = ap^2 + bp + c，其中a、b、c为常数。

通过分析二次函数的图像、求解极值等方法，可以研究市场需求和价格之间的关系，得出不同价格下的市场需求量。

综上所述，二次函数在物理、经济、工程等领域中具有广泛的应用。

通过建立二次函数模型，我们可以更好地理解和解决各种实际问题。

知识点一利用二次函数解决最大利润问题某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）。

设每件商品的售价上涨x元，每个月的销售利润为y元，那么涨价后：（1）每件商品的售价可以表示为________________。

（2）每件商品的利润可以表示为________________。

（3）销售可以表示为________________。

（4）每个月的销售利润为y=________________。

（5）x的取值范围为________________。

（6）当x=_____________元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是___________元。

知识点二确定最值的方法（1）配方法：将cax(的形式，当自变量x=___________时，y=2)-y+bxhy+ax+=2化成k有最大（小）值为___________。

y+=2的顶点是最高（低）点，当x=___________时，二次函数+（2）公式法：抛物线cbxax有最大（小）值为___________。

【例1】某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每天最高产量为40只，且生产x只的玩具熊猫成本为R元，售价每只为P元，且R，P与x的关系式分别为x170-P2=。

R30=，x500+（1）假设每天获得利润为y元，请写出y与x之间的函数关系式。

（2）请你利用（1）中得出的函数关系式对每天的生产情况与利润之间的关系进行分析。

同步训练：（学生做）1.某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用．根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元．设每个房间的房价每天增加x元（x为10的整数倍）．（1）设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）设宾馆一天的利润为w元，求w与x的函数关系式；（3）一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？2.红星食品厂独家生产具有地方特色的某种食品，产量y1(万千克)与销售价格x(元／千克)(2≤x≤10)满足函数关系式y1=0.5x+11．经市场调查发现：该食品市场需求量y2(万千克)与销售价格x(元／千克)(2≤x≤10)的关系如图所示．当产量小于或等于市场需求量时，食品将被全部售出；当产量大于市场需求量时，只能售出符合市场需求量的食品，剩余食品由于保质期短将被无条件销毁．(1)求y2与x的函数关系式；(2)当销售价格为多少时，产量等于市场需求量?(3)若该食品每千克的生产成本是2元，试求厂家所得利润W(万元)与销售价格x(元／千克)(2≤x≤10)之间的函数关系式．3.某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：10500=-+．y x（1）设李明每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？（成本＝进价×销售量）知识点三利用二次函数解决最大（小）面积问题如图所示，在一个直角三角形的内部做一个长方形ABCD。

二次函数的实际问题二次函数是数学中的一个重要概念，在实际问题中有着广泛的应用。

通过二次函数可以描述并解决各种实际问题，例如物体的运动轨迹、金融领域的利润分析等。

本文将通过几个不同的实际问题，来说明二次函数在各个领域中的应用。

问题一：投掷运动考虑一个常见的物理问题，即投掷运动。

假设有一个物体从地面上以初始速度v₀竖直向上抛出，受到重力的作用下落。

我们希望能够描述物体的运动轨迹，并找到物体在空中的最高点和落地点。

首先，我们可以建立一个二次函数来表示物体的高度y与时间t之间的关系。

假设物体的初始高度为h₀，则物体的高度可以表示为：y(t) = -gt² + v₀t + h₀其中g表示重力加速度。

通过这个二次函数，我们可以计算出物体的运动轨迹，以及物体在空中的最高点和落地点的时间和高度。

问题二：利润分析在金融领域中，我们经常需要对企业的利润进行分析和预测。

假设一个企业的销售额与广告投入之间存在某种关系，我们可以建立一个二次函数来描述销售额与广告投入之间的关系。

假设销售额为P，广告投入为x，则二次函数可以表示为：P(x) = ax² + bx + c其中a、b、c为常数。

通过这个二次函数，我们可以分析销售额与广告投入之间的关系，并找到使得利润最大化的最优广告投入额。

问题三：物质衰变在化学领域中，物质的衰变速率也可以用二次函数来描述。

假设一个物质的衰变速率与时间的关系可以用二次函数表示：R(t) = -kt² + bt + c其中k、b、c为常数。

通过这个二次函数，我们可以分析物质的衰变速率与时间之间的关系，并预测物质的衰变情况。

总结：通过以上三个实际问题的例子，我们可以看到二次函数在不同领域中的应用之广泛。

二次函数可以方便地描述并解决各种实际问题，例如物体的运动轨迹、企业的利润分析以及物质的衰变情况等。

掌握二次函数的概念和应用，对我们理解和解决实际问题具有重要意义。

本文通过具体的实际问题，说明了二次函数的应用。

利用二次函数解决实际问题类型一：利用二次函数解决面积最值（面积优化问题）1、某广告公司设计一幅周长为20 m的矩形广告牌，设矩形的一边长为x m，广告牌的面积为S m2．(1)写出广告牌的面积S与边长x的函数关系式；(2)当x为何值时，广告牌面积S 最大？最大值为几？2、如图，有长为24 m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度a为10 m)，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．(1)如果要围成面积为45 m2的花圃，AB的长是多少米？(2)能围成面积比45 m2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．3、用48米长的竹篱笆围建一矩形养鸡场,养鸡场一面用砖砌成,另三面用竹篱笆围成,并且在与砖墙相对的一面开2米宽的门(不用篱笆),问养鸡场的边长为多少米时,养鸡场占地面积最大?最大面积是多少?4、明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个1米宽的门（木质）．花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积最大？☆类型二、利用二次函数解决利润最值问题（利润优化问题）1、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降低多少元时，商场平均每天盈利最多？利润最多为多少元？▲2、（讨论）某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在某一时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件. 请你帮助分析:销售单价是多少时,可以获利最多?最大利润为多少？3、某种粮大户去年种植优质水稻360亩，今年计划增加承租x（100≤x≤150）亩。