《实际问题与二次函数》教学设计

实际问题与二次函数一、学习目标·重点难点1、初步让学生学会用二次函数知识解决实际问题。

2、在问题转化，建摸的过程中，发展合情推理，体会数形结合的思想。

3、通过实际问题，体验数学在生活实际的广泛运用，发展数学思维，激发学生学习热情。

教学重点：用二次函数的知识解决实际问题。

教学难点：建立二次函数数学模型。

教学方法：引导、启发式教学，学生自主学习，合作探索。

二、直击考试·例题解析例1:我们班小红家开了一个商店，某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映:如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件;每降价1元，每星期可多卖出20件，已知该商品的进价为每件40元，如何定价才能使小红的爸爸获得利润最大？分析：1、如何确定函数关系式？2、每件的利润=售价—进价总利润=每件的利润×卖出的总件数3、变量x有范围要求吗？解:调整价格包括涨价和降价两种情况(1)设每件涨价x元，则每件的利润为(60+x-40)元，可卖的商品的件数为(300-10x)，此时每星期商品的利润为y元，于是有y=(60+x-40)(300-10x)=-10x2+100x+6000=-10(x-5)2+6250 (其中0≤x≤30)∴当x=5时，y最大=6250元所以在涨价的情况下，每件涨5元即定价为65元/件时利润最大是6250元。

(2)设每件降价x元，则每件的利润为(60-x-40)元，可卖的商品件数为(300+20x)，此时每星期商品的利润为y元，于是有y=(60-x-40)(300+20x)=-20x2+100x+6000=-20(x-2.5)2+6125 (其中0≤x≤20)∴当x=2.5时，y最大=6125元所以在降价的情况下，每件降价2.5元即定价为57.5元时，利润最大是6125元。

综合(1) (2)可知，商品的定价为65元时才能使小红的爸爸获得利润最大。

由此题可知，做生意也是有很大的学问。

22.3 实际问题与二次函数第1课时 实际问题与二次函数（1）※教学目标※【知识与技能】1.能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系.2.会运用二次函数的知识求出实际问题中的最大(小)值.【过程与方法】通过对“矩形面积”、“销售利润”等实际问题的探究，让学生经历数学建模的基本过程，体会建立数学模型的思想.【情感态度】体会二次函数是一类最优化问题的模型，感受数学的应用价值，增强数学的应用意识.【教学重点】通过解决问题，掌握如何应用二次函数来解决生活中的最值问题.【教学难点】分析现实问题中数量关系，从中构建出二次函数模型，达到解决实际问题的目的. ※教学过程※一、复习导入从地面竖直向上抛出一个小球，小球的上升高度h （单位：m ）与小球的运动时间t （单位：s ）之间的关系式是2305h t t =-（0≤t ≤6）．小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是少？提问 （1）图中抛物线的顶点在哪里？（2）这条抛物线的顶点是否是小球预定的最高点？（3）小球运动至最高点的时间是什么时间？（4）通过前面的学习，你认为小球运行轨迹的顶点坐标是什么？二、探索新知探究1 用总长为60m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积S 随矩形一边长l 的变化而变化.当l 是多少米时，场地的面积S 最大？分析：先写出S 与l 的函数关系式，再求出使S 最大的l 值.矩形场地的周长是60m ，一边长为l m ，则另一边长为 ,场地的面积S= .化简得S= .当l= 时，S 有最大值 .探究2 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？（1）设每件涨价x 元，则每星期售出商品的利润y 随之变化.我们先来确定y 随x 变化的函数解析式.涨价x 元时，每星期少卖10x 件，实际卖出()30010x -件，销售额为()60x +· ()30010x -元，买进商品需付()4030010x -元.因此，所得利润()()()60300104030010y x x x =+---，即2101006000y x x =-++，其中，0≤x ≤30.根据上面的函数，填空：当x= 时,y 最大，也就是说，在涨价的情况下，涨价 元，即定价 元时，利润最大，最大利润是 .（2）在降价的情况下，最大利润是多少？请你参考（1）的讨论，自己得出答案. 由（1）（2）的讨论及现在的销售状况，你知道如何定价能使利润最大了吗？三、巩固练习1.如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB 为x 米，面积为S 平方米. （1）求S 与x 的函数关系式及自变量的取值范围；（2）当x 取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？ 2.鄂州市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量y （千克）是销售单价x （元）的一次函数，且当x =60时 ，y =80；当x =50时，y =100．在销售过程中，每天还要支付其他费用450元．（1）求出y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．（2）求该公司销售该原料日获利W (元)与销售单价x (元)之间的函数关系式．（3）当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？答案：1.(1) ∵ AB 为x 米，篱笆长为24米,∴ 花圃宽为()244x －米.∴ ()()2244424?06?S x x x x x =+<<－=-.（2）当32b x a =-=时，有最大值24364ac b y a -==（平方米）.2.（1）设y kx b =+ .根据题意，得8060,10050.k b k b +⎧⎨=+⎩＝解得2,200.k b ∴2200y x =-+（30 ≤x ≤60）.（2）23022004()()5022606450W x x x x =+=+-----.（3）()2? 2652000W x =+－－.∵30 ≤x ≤60，∴当x =60时,W 有最大值为1950元.∴当销售单价为60元时，该公司日获利最大，为1950元.四、归纳小结通过这节课的学习，你有哪些收获和体会？有哪些地方需要特别注意？※布置作业※从教材习题22.3中选取．※教学反思※二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要模型，也是某些单变量最优化的数学模 型，如最大利润、最大面积等实际问题，因此本课时主要结合这两类问题进行了一些探讨.生活中的最优化问题通过数学模型可抽象为二次函数的最值问题，由于学生对于这一转化过程较难理解，因此教学时教师可通过分步设问的方式让学生逐层深入、稳步推出，让学生自主建立数学模型，在这个过程中，教师可通过让学生画图探讨最值.总之，在本课时的教学过程中，要让学生经历数学建模的基本过程，体验探究知识的乐趣.。

第二十二章二次函数22.3实际问题与二次函数教学设计第2课时一、教学目标1．学会将利润问题转化为利润问题．2．掌握用二次函数的知识解决有关的利润问题．二、教学重点及难点重点：利用二次函数的知识对现实问题进行数学分析，即用数学的方式表示问题以及用数学的方法解决问题．难点：从现实问题中建立二次函数模型．三、教学用具多媒体课件。

四、相关资源《市场调查》动画。

五、教学过程【创设情景，揭示课题】问题某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？【合作探究，形成新知】（1）题目中有几种调整价格的方法？师生活动：教师提出问题，学生回答．小结：调整价格包括涨价和降价两种情况．（2）题目涉及哪些变量？哪一个量是自变量？哪一个量随自变量的变化而变化？哪个量是函数？师生活动：小组合作交流，教师引导学生根据题意设未知数，找出各个量的关系．小结：题目涉及涨价（或降价）与利润两个变量，其中涨价（或降价）是自变量；设每件涨价（或降价）x元，则每星期售出商品的利润y随之变化而变化；y是x的函数．（3）当每件涨价1元时，售价是多少？每星期的销售量是多少？成本是多少？设每件涨价x元，销售额是多少？利润呢？最多能涨多少钱呢？师生活动：一学生回答，全班订正．教师边聆听边板演，不足地方补充总结．小结：当每件涨价1元时，售价是60＋1=61元；每星期销售量是300－10=290件，成本是40元；设涨价x元，销售额是(60＋x)(300－10x)元，利润是y=（60＋x）(300－10x)－40(300－10x)元，即y=－10x2＋100x＋6 000，其中，0≤x≤30，最多能涨30元．（4）当每件降x元时，售价是多少？每星期的销售量是多少？成本是多少？销售额是多少？利润y呢？师生活动：师生一起完成解答．设每件降价x元时，利润最大，则每星期可多卖18x件，实际卖出（300＋18x)件，销售额为(60－x)(300＋18x)元，买进商品需付40(300＋18x)元．因此，所得利润y=(60－x)(300＋18x)－40(300＋18x)．（5）由以上四个问题，你能解决问题了吗？请试试看．解：设每件涨价x元，则每星期少卖10x件，实际卖出(300－10x)件，销售额为(60＋x)(300－10x)元，买进商品需付40(300－10x)元．因此，所得利润为y=(60＋x)(300－10x)－40(300－10x)，即y=－10x2＋100x＋6000，其中，0≤x≤30．当定价为60＋5=65元时，y有最大值6 250元．设每件降价x元时，利润最大，则每星期可多卖18x件，实际卖出（300＋18x)件，销售额为(60－x)(300＋18x)元，买进商品需付40(300＋18x)元，因此，所得利润y=(60－x)(300＋18x)－40(300＋18x)，即y=－18x2＋60x＋6 000，其中0≤x≤20．当定价为x=51605833-=元时，y有最大值6 050元．故要使利润最大，应每件定价为65元．设计意图：通过层层设问，引导学生不断思考，积极探索，让学生感受到数学的应用价值．【例题分析，深化提高】例一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件．市场调查发现：一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件．要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为( )．A．5元B．10元C．0元D．36元【解析】设每件降价的钱数为x元，每天获利y元，则y=(135－x－100)(100＋4x)，即y=－4(x－5)2＋3600．∵－4＜0，∴当x=5时，每天获得的利润最大．故选A．【练习巩固，综合应用】1．出售某种手工艺品，若每个手工艺品获利x元，一天可售出(8－x)个，则当x=元时，一天的利润最大．2．某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出(100-x)件，应如何定价才能使利润最大？3．某汽车租赁公司拥有20辆汽车．据统计，当每辆车的日租金为400元时，每天可全部租出；当每辆车的日租金每增加50元时，每天未租出的车将增加1辆；公司平均每日的各项支出共4 800元．设公司每日租出x辆车时，日收益为y元．(日收益=日租金收入－平均每日各项支出)（1）公司每日租出x辆车时，每辆车的日租金为元(用含x的代数式表示)；（2）当每日租出多少辆车时，租赁公司的日收益最大？最大是多少元？（3）当每日租出多少辆车时，租赁公司的日收益不盈也不亏？参考答案1．4 2．每件65元3．（1）400＋50(20－x )=1 400－50x (0＜x ≤20)．答案：1 400－50x (0＜x ≤20)．（2）根据题意，得y =x (－50x ＋1 400)－4 800=－50x 2＋1 400x －4 800=－50(x －14)2＋5 000．当x =14时，y 有最大值5 000．∴当每日租出14辆车时，租赁公司的日收益最大，最大值为5 000元．（3）要使租赁公司的日收益不盈也不亏，即y =0．也就是－50(x －14)2＋5 000=0．解得x 1=24，x 2=4．∵x =24不合题意，应舍去．∴当每日租出4辆车时，租赁公司的日收益不盈也不亏．设计意图：通过练习，及时反馈学生的学习情况，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力，并使学生从中获得成功的体验．六、课堂小结1．一般地，当a ＞0时，抛物线y =ax 2＋bx ＋c 的顶点是最低点，也就是说，当2b x a=-时，二次函数y =ax 2＋bx ＋c 有最小值244ac b a -． 当a ＜0时，抛物线y =ax 2＋bx ＋c 的顶点是最高点，也就是说，当2b x a=-时，二次函数y =ax 2＋bx ＋c 有最大值244ac b a -． 2．解决二次函数最值问题的一般步骤：（1）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；（2）在自变量的取值范围内，求出二次函数的最大值或最小值．设计意图：总结、归纳学习内容，帮助学生加深对数形结合思想的理解，培养学生的数学应用意识．七、板书设计22.3 实际问题与二次函数（2）1．用二次函数的知识解决利润问题。

《实际问题与二次函数》教学设计方案（第一课时）一、教学目标1. 理解二次函数的概念，掌握其一般形式。

2. 能够根据实际问题建立二次函数模型，解决相关问题。

3. 培养运用二次函数解决实际问题的意识和能力。

二、教学重难点1. 教学重点：理解二次函数的概念，掌握其应用。

2. 教学难点：将实际问题转化为二次函数模型。

三、教学准备1. 准备教学用具：黑板、白板、笔、几何图形模型等。

2. 搜集与二次函数相关的实际问题，制作课件。

3. 布置学生预习课本，准备参与课堂的讨论。

4. 复习一次函数的知识，为新课做铺垫。

四、教学过程：本节课是《实际问题与二次函数》教学设计方案（第一课时），以下是具体的教学过程：1. 导入新课：首先，我会向学生介绍本节课的主题——实际问题与二次函数，并解释二次函数在解决实际问题中的重要性。

通过一些简单的实际问题，引导学生认识到二次函数的应用广泛性，激发他们的学习兴趣。

2. 案例分析：通过具体的案例分析，让学生了解如何将实际问题转化为二次函数问题，以及如何利用二次函数解决实际问题。

案例应该涵盖各种不同类型的实际问题，如销售问题、最值问题、规划问题等，以便学生能够全面掌握。

3. 小组讨论：将学生分成若干小组，让他们讨论身边的实际问题，并尝试将其转化为二次函数问题。

这有助于培养学生的思维能力和团队协作精神。

在讨论过程中，教师需要给予适当的指导，帮助学生解决困惑。

4. 课堂互动：鼓励学生提出自己的问题和观点，与教师和其他同学进行交流。

通过互动环节，教师可以了解学生的学习情况，及时调整教学策略。

5. 总结归纳：在课堂结束前，对所学内容进行总结归纳，强调二次函数在解决实际问题中的关键点和注意事项。

同时，引导学生反思自己的学习成果，鼓励他们将所学知识应用到实际生活中。

6. 布置作业：根据本节课的内容，为学生布置一些相关的作业题，以巩固所学知识。

作业内容应该包括理论题和实践题两种类型，以便学生能够全面掌握二次函数的应用。

22.3 实际问题与二次函数（第3课时）一、内容与内容解析1. 内容构建二次函数模型，利用二次函数的图象与性质解决抛物线形问题.2. 内容解析二次函数是描述现实世界变量关系的重要数学模型，运用二次函数可以解决许多实际问题，例如生活中的抛物线形问题.本节课是在学生学习二次函数的图象和性质的基础上，借助二次函数图象和性质研究抛物线形的实际问题.通过探究抛物线形拱桥问题，引导学生分析问题和解决问题，在解决问题的过程中将数学模型思想逐步细化，体会运用函数观点解决实际问题的作用，体会建立函数模型的过程和方法.基于以上分析，确定本节课的重点是：从实际问题中抽象出抛物线并通过建立平面直角坐标系解决实际问题.二、目标和目标解析1. 目标（1）能够从抛物线形问题中建立二次函数模型.（2）能够利用二次函数模型解决抛物线形问题，体会二次函数在解决实际问题中的作用.2. 目标解析达成目标（1）的标志是：学生会借助平面直角坐标系得到二次函数模型，并体会适当建系可以优化解题.达成目标（2）的标志是：学生通过经历探索抛物线形问题，进一步体验如何从实际问题中抽象出二次函数模型，结合二次函数已有知识综合运用来解决解决实际问题.三、教学问题诊断分析学生已经学习了二次函数的定义、图象和性质，学习了列方程、不等式和函数解决实际问题，这为本节课的学习奠定了基础，但运用二次函数的知识解决实际问题要求学生能选取适当的平面直角坐标系的二次函数模型分析问题和解决问题，对于学生来说，完成这一过程难度较大.基于以上分析，本节课的难点：将实际问题转化成二次函数问题.四、教学过程设计1. 创设情境引出问题情境：展示蕴含抛物线的建筑南宁大桥、南宁永和大桥、凌铁大桥、柳州官塘大桥等，引出课题.设计意图：结合生活背景，让学生体会抛物线与实际生活的联系，激发学生的学习兴趣.2. 复习旧知，做好铺垫设计意图：学生体会解析式与图象的对应关系，感受抛物线与坐标系相对位置不一样，它们所对应的解析式也不一样，体会抛物线（形）与函数解析式（数）的对应关系，为解决探究3中的问题做好铺垫.3. 从形入手，探究问题探究3：如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2 m，水面宽 4 m. 水面下降 1 m，水面宽度增加多少？问题1：同学们通过审题，你发现了哪些重要信息？教师结合希沃白板，将重要信息涉及的图形，从原图中分离出来.问题2：求水面宽度增加多少，需要进行计算，这些计算与抛物线形密切相关，我们应该如何处理？设计意图：引导学生通过建立直角坐标系，构建数学模型（二次函数模型）,并体会直角坐标系是数形结合的重要数学工具.活动：小组合作：运用所学知识，解决这道实际问题.（要求每组有2种不同的建立直角坐标系方法）师生活动：小组汇报，教师点评（结合课本进行点评，注意书写过程中建系是否有文字说明，建系文字说明是否严谨，待定系数法书写是否规范，结论书写是否规范）设计意图：展示学生学生的解题思路，并对学生书写中的易错点进行点评分析.4. 适当建系，优化解题问题3：以上5种不同的建系方法，你觉得哪种简单？为什么？师生活动：学生回答，老师总结.①5种建系方法不同，但结果是相同的，建立不同坐标系，所得到的解析式复杂程度也不一样，由此可见，建立适当的坐标系，可以使抛物线的解析式简单，从而减少运算量；②建立直角坐标系的基本原则：关注图形的对称性，以对称轴为坐标轴；关注特殊点，以特殊点为坐标原点.设计意图：引导学生总结归纳，对解决问题的基本策略进行反思，让学生积累和总结经验，培养学生概括和归纳的能力，养成良好的数学思维习惯.5. 总结提升，提炼方法问题4：你能总结解决抛物线形问题的一般方法和解决步骤吗？抛物线形问题二次函数模型线段长实际问题的解设计意图：使学生对解决此类问题有一个系统化的步骤，强化数学与实际生活的紧密联系，加深“数形结合思想”和“数学建模思想”在解决问题中的重要作用.6. 巩固训练，拓展思维某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线形组成，为了牢固起见，每段护栏中需要间距4dm 加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部5dm（如图），则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（）A、50mB、100mC、160mD、200m设计意图：巩固本节课所学内容，再次体会通过建立二次函数模型解决实际问题的重要性，加深对二次函数的认识，体会数学与实践的联系.7. 小结（1）这节课学习了用什么知识解决哪类问题？（2）解决问题的一般步骤是什么？应注意哪些问题？转译数学方法回译实际问题数学问题数学模型数学模型的解实际问题的解设计意图：通过小结，归纳提升，加强学习反思，帮助学生养成系统整理知识的习惯.8. 作业布置某桥梁建筑公司需在两山之间的峡谷上架设一座公路桥，桥下是一条宽100m的河流，河面距所要架设的公路桥的高度是50m，根据各方面的条件分析，专家认为抛物线是最好的选择，按照专家的建议，设计一座横跨峡谷的公路桥.设计意图：考察学生对本节课所学内容的理解和掌握程度，体会二次函数模型的应用价值.建立直角坐标系线段与坐标相互转化待定系数法抽象人教版《实际问题与二次函数（第3课时）》课例点评南宁市天桃实验学校吴立志本节课教学有六个环节：创设情境，引出问题环节结合生活背景，让学生体会抛物线与实际生活的联系；复习旧知，做好铺垫环节学生体会解析式与图象的对应关系；从形入手，探究问题环节引导学生通过建立直角坐标系，构建数学模型（二次函数模型）；适当建系，优化解题环节引导学生总结归纳，让学生积累和总结经验；总结提升，提炼方法环节使学生对解决此类问题有一个系统化的步骤；巩固训练，拓展思维环节巩固本节课所学内容，加深对二次函数的认识，体会数学与实践的联系；教学过程设计合理，课堂结构完整，教学思路清晰，过程循序渐进，为“抛物线形”的产生提供自然合理的背景，激发学生深入思考，获得解决问题的方案。

《实际问题与二次函数（自由落体问题）》教学设计教学任务分析教学流程安排教学过程设计问题与情境师生活动设计意图[活动1]创设情景引入新课问题：如图，以40m ／s的速度将小球沿与地面成30°角的方向出击时，球的飞行路线将是一条抛物线。

如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h （单位：m）与飞行时间t （单位s）之间具有的关系2520tth-=考虑以下问题：（1）球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？（2）球的飞行高度能否达到20m？如能，需要多少飞行时间？（3）球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？（4）球从飞到落地要用多少时间？通过问题引入，学生能从实际出发建立方程思想这个问题是能和一元二次方程联系到一起的，引导学生建立方程思想将函数问题转化为方程问题来解决[活动2]讲解例题巩固练习问题2从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位m）与小球运动时间t（单位s）之间的关系式是2530tth-=.小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？问题3要修建一个圆形喷水池，池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷通过问题2的探究，培养学生二次函数与实际问题相结合的建模思想，并体会自变量取值范围在实际问题中的作用问题3培养学生能根据实际问题建立适当的坐标系，解水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管应多长？问题4抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2m，水面宽4m。

水面下降1m，水面宽度增加多少？当x＝0时，y＝2.25，也就是说，水管应长2.25米分析如图，以AB的垂直平分线为y轴，以过点O的y轴的垂线为x轴，建立了直角坐标系．这时，拱桥所在的抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，开口向下，所以可设它的函数关系式是)0(2<=aaxy．此时只需抛物线上的一个点就能求出抛物线的函数关系式．解由题意，得点B的坐标为（2，2）又因为点B在抛物线上，将它的坐标代入)0(2<=aaxy，得222⨯=-a所以21-=a因此，函数关系式是221xy-=．当水面下降1m时，水面的纵坐标为y＝－3∴决实际问题问题4可以作为课堂练习，与问题3相同类型板书设计。