第三节空间点、直线、平面之间的位置关系知识点一平面的基本性质1．公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．2．公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．3．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．4．公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面；推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．1．判断正误(1)两个不重合的平面只能把空间分成四个部分．(×)(2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于A点，记作α∩β＝A.(×)(3)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．(√)(4)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．(×)2．以下四个命题中，正确命题的个数是(B)①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E 共面；③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．A．0 B．1C．2 D．3解析：①显然是正确的，可用反证法证明；②中若A，B，C三点共线，则A，B，C，D，E五点不一定共面；③构造长方体或正方体，如图显然b，c异面，故不正确；④中空间四边形中四条线段不共面．故正确的个数是1.3．如图，α∩β＝l，A、B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过(D)A．点A B．点BC．点C但不过点M D．点C和点M解析：∵AB⊂γ，M∈AB，∴M∈γ.又α∩β＝l，M∈l，∴M∈β.根据公理3可知，M在γ与β的交线上．同理可知，点C也在γ与β的交线上．知识点二直线与直线的位置关系1．空间中两直线的位置关系(1)两直线位置关系的分类(2)公理4和等角定理①公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．②等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．2．异面直线所成的角(1)定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间中任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．(2)范围：⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2.4．已知直线a 和平面α，β，α∩β＝l ，a ⊄α，a ⊄β，且a 在α，β内的射影分别为直线b 和c ，则直线b 和c 的位置关系是( D )A ．相交或平行B ．相交或异面C ．平行或异面D ．相交、平行或异面解析：依题意，直线b 和c 的位置关系可能是相交、平行或异面．5．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为A 1B 1，BB 1的中点，则异面直线AM 与CN 所成角的余弦值为( D )A.13B.23C.15D.25解析：如图，取AB 的中点E ，连接B 1E ，则AM ∥B 1E .取EB 的中点F ，连接FN ，则B 1E ∥FN ，因此AM ∥FN ，连接CF ，则直线FN 与CN 所夹锐角或直角为异面直线AM 与CN 所成的角θ.设AB ＝1，在△CFN 中，CN ＝52，FN ＝54，CF ＝174.由余弦定理得cos θ＝|cos ∠CNF |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪CN 2＋FN 2－CF 22CN ·FN ＝25.故选D.6．下列命题中不正确的是①②.(填序号)①没有公共点的两条直线是异面直线；②分别和两条异面直线都相交的两直线异面；③一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线不可能平行；④一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面．解析：没有公共点的两直线平行或异面，故①错；如果与两异面直线中一条交于一点，则两直线相交，故命题②错；命题③，设两条异面直线为a，b，c∥a，若c∥b，则a∥b，这与a，b异面矛盾，故c，b不可能平行，③正确；命题④正确，若c与两异面直线a，b都相交，a，c可确定一个平面，b，c也可确定一个平面，这样a，b，c共确定两个平面．1．空间中两个角的两边分别对应平行，则两个角相等或互补．2．异面直线的判定：经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线．3．唯一性的几个结论：(1)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．(2)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．(3)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．考向一平面的基本性质【例1】已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证：(1)D，B，F，E四点共面；(2)若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线；(3)DE，BF，CC1三线交于一点．【证明】(1)连接D1B1，如图所示．因为EF是△D1B1C1的中位线，所以EF∥B1D1.在正方体AC1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD，所以EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面．(2)在正方体AC1中，设A1CC1确定的平面为α，又设平面BDEF为β.因为Q∈A1C1，所以Q∈α.又Q∈EF，所以Q∈β.所以Q是α与β的公共点，同理，P是α与β的公共点．所以α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，R∈α，且R∈β.则R∈PQ，故P，Q，R三点共线．(3)∵EF∥BD且EF<BD，∴DE与BF相交，设交点为M，则由M∈DE，DE⊂平面D1DCC1，得M∈平面D1DCC1，同理，点M∈平面B1BCC1.又平面D1DCC1∩平面B1BCC1＝CC1，∴M∈CC1.∴DE，BF，CC1三线交于点M.1.证明不共线的四点共面,即证由这四点组成的两条直线平行或相交.或由三点确定一个平面，再证明第4个点在该平面上.2.证明点共线或线共点的问题，关键是转化为证明点在直线上，也就是利用公理3，证明点在两个平面的交线上，或者选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在该直线上.(1)如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是(D)解析：A，B，C图中四点一定共面，D中四点不共面．(2)如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F，求证：E，F，G，H四点必定共线．证明：因为AB∥CD，所以AB，CD确定一个平面β.又因为AB∩α＝E，AB⊂β，所以E∈α，E∈β，即E为平面α与β的一个公共点．同理可证F，G，H均为平面α与β的公共点，因为若两个平面有公共点，那么它们有且只有一条通过公共点的公共直线，所以E，F，G，H四点必定共线．考向二空间两条直线的位置关系【例2】(1)(2019·益阳、湘潭调研考试)下图中，G，N，M，H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有()A．①③B．②③C．②④D．②③④(2)已知a，b，c为三条不同的直线，且a⊂平面α，b⊂平面β，α∩β＝c，给出下列结论：①若a与b是异面直线，则c至少与a，b中的一条相交；②若a不垂直于c，则a与b一定不垂直；③若a∥b，则必有a∥c.其中正确的结论是________．(填序号)【解析】(1)由题意，可知题图①中，GH∥MN，因此直线GH与MN 共面；题图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；题图③中，连接MG，则GM∥HN，因此直线GH与MN共面；题图④中，连接GN，G，M，N三点共面，但H∉平面GMN，所以直线GH 与MN异面．故选C.(2)若c与a，b均不相交，则有c∥a，c∥b，从而a∥b，这与a，b异面相矛盾，所以①正确；对于②，显然a与b有可能垂直；易知③正确．【答案】(1)C(2)①③(1)要判断空间两条直线的位置关系(平行、相交、异面)，可利用定义及公理4，借助空间想象并充分利用图形进行判断.(2)判断空间直线的位置关系一般有两种方法：一是构造几何体(如正方体、空间四边形等)模型来推断；二是利用排除法.(1)已知a，b，c为三条不重合的直线，已知下列结论：①若a⊥b，a⊥c，则b∥c；②若a⊥b，a⊥c，则b⊥c；③若a∥b，b⊥c，则a⊥c.其中正确的个数为(B)A．0 B．1C．2 D．3(2)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝2ED，CF＝2F A，则EF与BD1的位置关系是(D)A．相交但不垂直B．相交且垂直C．异面D．平行解析：(1)在空间中，若a⊥b，a⊥c，则b，c可能平行，也可能相交，还可能异面，所以①②错，③显然成立．(2)连接D1E并延长交AD于M点，因为A1E＝2ED，可得，M为AD 中点，连接BF并延长交AD于N点，因为CF＝2F A，可得N为AD中点，所以M，N重合．且MEED1＝12，MFFB＝12.所以MEED1＝MFFB，所以EF∥BD1.考向三 异面直线所成的角【例3】 (2018·全国卷Ⅱ)在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为( )A.15B.56C.55D.22【解析】 解法1：如图，连接BD 1，交DB 1于O ，取AB 的中点M ，连接DM ，OM ，易知O 为BD 1的中点，所以AD 1∥OM ，则∠MOD 为异面直线AD 1与DB 1所成角．因为在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，AD 1＝AD2＋DD 21＝2，DM ＝AD 2＋(12AB )2＝52，DB 1＝AB 2＋AD2＋DD 21＝5，所以OM ＝12AD 1＝1，OD ＝12DB 1＝52，于是在△DMO 中，由余弦定理，得cos ∠MOD ＝12＋(52)2－(52)22×1×52＝55，即异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为55，故选C.解法2：以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示．由条件可知D (0,0,0)，A (1,0,0)，D 1(0,0，3)，B 1(1,1，3)，所以AD 1→＝(－1,0，3)，DB 1→＝(1,1，3)，则由向量夹角公式，得cos 〈AD 1→，DB 1→〉＝AD 1→·DB 1→|AD 1→|·|DB 1→|＝225＝55，即异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为55，故选C.【答案】 C用平移法求异面直线所成角的一般步骤 (1)作角——用平移法找(或作)出符合题意的角；(2)求角——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角；(3)结论——设由(2)求出的角的大小为θ，若0°<θ≤90°，则θ即为所求，若90°<θ<180°，则180°－θ即为所求．(1)已知四棱锥P -ABCD 的侧棱长与底面边长都相等，点E 是PB 的中点，则异面直线AE 与PD 所成角的余弦值为( C )A.13B.23C.33D.23(2)如图所示，正三棱锥A -BCD 的底面BCD 与正四面体E -BCD 的底面BCD 重合，连接AE ，则异面直线AE 与CD 所成角的大小为( D )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：(1)如图，设四棱锥P -ABCD 的棱长为1，AC ∩BD ＝O ，则O 是AC 与BD 的中点，连接OE ，又E 是PB 的中点，所以由三角形中位线定理，得OE∥PD，OE＝12PD＝12，则∠AEO或其补角是异面直线AE与PD所成的角．又△P AB是等边三角形，所以AE＝3 2AB＝32.易得OA＝OB＝OC＝OD＝22，在△OAE中，由余弦定理，得cos∠AEO＝AE2＋OE2－OA22AE·OE＝33，即异面直线AE与PD所成角的余弦值为33.(2)由已知得，底面BCD是等边三角形，又AB＝AC＝AD，EB＝EC＝ED，所以点A，E在平面BCD上的射影是△BCD的中心，即AE⊥平面BCD，则异面直线AE与CD所成角的大小为90°.。
芯衣州星海市涌泉学校§空间点、直线、平面之间的位置关系2021高考会这样考1.考察点、线、面的位置关系，考察逻辑推理才能与空间想象才能；2.考察公理、定理的应用，证明点一一共线、线一一共点、线一一共面的问题；3.运用公理、定理和结论证明或者者判断一些空间图形的位置关系．复习备考要这样做1.理解、熟记平面的性质公理，灵敏运用并判断直线与平面的位置关系；2.异面直线位置关系的断定是本节难点，可以结合实物、图形考虑．1．平面的根本性质公理1：假设一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3：假设两个不重合的平面有一个公一一共点，那么它们有且只有一条过该点的公一一共直线．2．直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类(2)异面直线所成的角①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或者者直角)叫做异面直线a，b所成的角(或者者夹角)．②范围：.3．直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况．4．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．5．公理4平行于同一条直线的两条直线互相平行．6．定理空间中假设两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或者者互补．[难点正本疑点清源]1．公理的作用公理1的作用是判断直线是否在某个平面内；公理2及其推论给出了确定一个平面或者者判断“直线一一共面〞的方法；公理3的作用是如何寻找两相交平面的交线以及证明“线一一共点〞的理论根据；公理4是对初中平行线的传递性在空间中的推广．2．正确理解异面直线的定义：异面直线不同在任何一个平面内，没有公一一共点．不能错误地理解为不在某一个平面内的两条直线就是异面直线．1．在以下命题中，所有正确命题的序号是________．①平面α与平面β相交，它们只有有限个公一一共点；②经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；③经过两条相交直线，有且只有一个平面；④假设两个平面有三个不一一共线的公一一共点，那么这两个平面重合；⑤四边形确定一个平面．答案②③④2．正方体各面所在平面将空间分成________部分．答案27解析如图，上下底面所在平面把空间分成三部分；左右两个侧面所在平面将上面的每一部分再分成三个部分；前后两个侧面再将第二步得到的9部分的一局部分成三部分，一一共9×3＝27部分．3．空间四边形ABCD中，各边长均为1，假设BD＝1，那么AC的取值范围是________．答案(0，)解析如下列图，△ABD与△BCD均为边长为1的正三角形，当△ABD与△CBD重合时，AC＝0，将△ABD以BD为轴转动，到A，B，C，D四点再一一共面时，AC＝，故AC的取值范围是0<AC<.4．a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b()A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线答案C解析由得直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，假设b∥c，那么a∥b，与a、b为异面直线相矛盾．5．A、B表示不同的点，l表示直线，α、β表示不同的平面，那么以下推理错误的选项是() A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂αB．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝ABC．l⊄α，A∈l⇒A∉αD．A∈α，A∈l，l⊄α⇒l∩α＝A答案C题型一平面根本性质的应用例1在正方体ABCD—A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC，BD交于点M，求证：点C1，O，M一一共线．思维启迪：证明三点一一共线常用方法是取其中两点确定一直线，再证明其余点也在该直线上．证明如下列图，∵A1A∥C1C，∴A1A，C1C确定平面A1C.∵A1C⊂平面A1C，O∈A1C，∴O∈平面A1C，而O＝平面BDC1∩线A1C，∴O∈平面BDC1，∴O在平面BDC1与平面A1C的交线上．∵AC∩BD＝M，∴M∈平面BDC1且M∈平面A1C，∴平面BDC1∩平面A1C＝C1M，∴O∈C1M，即C1，O，M三点一一共线．探究进步(1)证明假设干点一一共线也可以公理3为根据，找出两个平面的交线，然后证明各个点都是这两平面的公一一共点．(2)利用类似方法也可证明线一一共点问题．如下列图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点．求证：(1)E、C、D1、F四点一一共面；(2)CE、D1F、DA三线一一共点．证明(1)连接EF，CD1，A1B.∵E、F分别是AB、AA1的中点，∴EF∥BA1.又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E、C、D1、F四点一一共面．(2)∵EF∥CD1，EF<CD1，∴CE与D1F必相交，设交点为P，那么由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直线DA.∴CE、D1F、DA三线一一共点．题型二异面直线的断定例2如下列图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、B1C1的中点．问：(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．思维启迪：第(1)问，连接MN，AC，证MN∥AC，即AM与CN一一共面；第(2)问可采用反证法．解(1)不是异面直线．理由如下：连接MN、A1C1、AC.∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点，∴MN∥A1C1.又∵A1A綊C1C，∴A1ACC1为平行四边形，∴A1C1∥AC，∴MN∥AC，∴A、M、N、C在同一平面内，故AM和CN不是异面直线．(2)是异面直线．证明如下：∵ABCD—A1B1C1D1是正方体，∴B、C、C1、D1不一一共面．假设D1B与CC1不是异面直线，那么存在平面α，使D1B⊂平面α，CC1⊂平面α，∴D1、B、C、C1∈α，与ABCD—A1B1C1D1是正方体矛盾．∴假设不成立，即D1B与CC1是异面直线．探究进步(1)证明直线异面通常用反证法；(2)证明直线相交，通常用平面的根本性质，平面图形的性质等．空间四边形ABCD中，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD的中点．求证：(1)BC与AD是异面直线；(2)EG与FH相交．证明(1)假设BC与AD一一共面，不妨设它们所一一共平面为α，那么B、C、A、D∈α.∴四边形ABCD为平面图形，这与四边形ABCD为空间四边形相矛盾．∴BC与AD是异面直线．(2)如图，连接AC，BD，那么EF∥AC，HG∥AC，因此EF∥HG；同理EH∥FG，那么EFGH为平行四边形．又EG、FH是▱EFGH的对角线，∴EG与FH相交．题型三异面直线所成的角例3正方体ABCD—A1B1C1D1中，(1)求AC与A1D所成角的大小；(2)假设E、F分别为AB、AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．思维启迪：(1)平移A1D到B1C，找出AC与A1D所成的角，再计算．(2)可证A1C1与EF垂直．解(1)如下列图，连接B1C，由ABCD—A1B1C1D1是正方体，易知A1D∥B1C，从而B1C与AC所成的角就是AC与A1D所成的角．∵AB1＝AC＝B1C，∴∠B1CA＝60°.即A1D与AC所成的角为60°.(2)如下列图，连接AC、BD，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，AC⊥BD，AC∥A1C1，∵E、F分别为AB、AD的中点，∴EF∥BD，∴EF⊥AC.∴EF⊥A1C1.即A1C1与EF所成的角为90°.探究进步求异面直线所成的角常采用“平移线段法〞，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或者者中点)作平行线平移；补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进展.直三棱柱ABC－A1B1C1中，假设∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，那么异面直线BA1与AC1所成的角等于()A．30°B．45°C．60°D．90°答案C解析如图，可补成一个正方体，∴AC1∥BD1.∴BA1与AC1所成角的大小为∠A1BD1.又易知△A1BD1为正三角形，∴∠A1BD1＝60°.即BA1与AC1成60°的角．点、直线、平面位置关系考虑不全面致误典例：(5分)l1，l2，l3是空间三条不同的直线，那么以下命题正确的选项是() A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3一一共面D．l1，l2，l3一一共点⇒l1，l2，l3一一共面易错分析由于空间点、直线、平面的位置关系是在空间考虑，这与在平面上考虑点、线的位置关系相比复杂了很多，特别是当直线和平面的个数较多时，各种位置关系错综复杂、互相交织，假设考虑不全面就会导致一些错误的判断．解析当l1⊥l2，l2⊥l3时，l1与l3也可能相交或者者异面，故A不正确；当l1∥l2∥l3时，l1，l2，l3未必一一共面，如三棱柱的三条侧棱，故C不正确；l1，l2，l3一一共点时，l1，l2，l3未必一一共面，如正方体中从同一顶点出发的三条棱，故D不正确．答案B温馨提醒(1)平面几何中的一些定理和结论在空间中不一定成立，如“垂直于同一条直线的两条直线互相平行〞在空间中不成立，所以在用一些平面几何中的定理和结论时，必须说明涉及的元素都在某个平面内．(2)解决点、线、面位置关系问题的根本思路：一是逐个判断，利用空间线面关系证明正确的结论，寻找反例否认错误的结论；二是结合长方体模型或者者实际空间位置(如课桌、教室)作出判断，但要注意定理应用要准确、考虑问题要全面细致．构造衬托平面研究直线相交问题典例：(4分)在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，那么在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有________条．审题视角找三条异面直线都相交的直线，可以转化成在一个平面内，作与三条直线都相交的直线．因此可考虑过一条直线及另外一条直线上的一点作平面．进而研究公一一共交线问题．解析方法一在EF上任意取一点M，直线A1D1与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有1个交点N，当M取不同的位置时就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，而直线MN与这3条异面直线都有交点．如下列图．方法二在A1D1上任取一点P，过点P与直线EF作一个平面α，因CD与平面α不平行，所以它们相交，设它们交于点Q，连接PQ，那么PQ与EF必然相交，即PQ为所求直线．由点P的任意性，知有无数条直线与三条直线A1D1，EF，CD都相交．答案无数温馨提醒(1)此题难度不大，但比较灵敏．对平面的根本性质、空间两条直线的位置关系的考察，难度一般都不会太大．(2)误区警示：此题解法较多，但关键在于构造平面，但不少学生不会构造平面，因此失分较多．这说明学生还是缺少空间想象才能，缺少对空间直线位置关系的理解.方法与技巧1．主要题型的解题方法(1)要证明“线一一共面〞或者者“点一一共面〞可先由部分直线或者者点确定一个平面，再证其余直线或者者点也在这个平面内(即“纳入法〞)．(2)要证明“点一一共线〞可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公一一共点，根据公理3可知这些点在交线上，因此一一共线．2．断定空间两条直线是异面直线的方法(1)断定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点B的直线是异面直线．(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或者者证明两线不可能一一共面，从而可得两线异面．3．求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行挪动直线，把异面问题转化为一一共面问题来解决．根据空间等角定理及推论可知，异面直线所成角的大小与顶点位置无关，往往可以选在其中一条直线上(线面的端点或者者中点)利用三角形求解．失误与防范1．全面考虑点、线、面位置关系的情形，可以借助常见几何模型．2．异面直线所成的角范围是(0°，90°]．A组专项根底训练(时间是是：35分钟，满分是是：57分)一、选择题(每一小题5分，一一共20分)1．假设空间中有两条直线，那么“这两条直线为异面直线〞是“这两条直线没有公一一共点〞的() A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件答案A解析假设两条直线无公一一共点，那么两条直线可能异面，也可能平行．假设两条直线是异面直线，那么两条直线必无公一一共点．2．以下命题正确的个数为()①经过三点确定一个平面②梯形可以确定一个平面③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面④假设两个平面有三个公一一共点，那么这两个平面重合．A．0 B．1 C．2 D．3答案C解析经过不一一共线的三点可以确定一个平面，∴①不正确；两条平行线可以确定一个平面，∴②正确；两两相交的三条直线可以确定一个或者者三个平面，∴③正确；命题④中没有说清三个点是否一一共线，∴④不正确．3．设P表示一个点，a、b表示两条直线，α、β表示两个平面，给出以下四个命题，其中正确的命题是()①P∈a，P∈α⇒a⊂α②a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α④α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒P∈bA．①②B．②③C．①④D．③④答案D解析当a∩α＝P时，P∈a，P∈α，但a⊄α，∴①错；a∩β＝P时，②错；如图，∵a∥b，P∈b，∴P∉a，∴由直线a与点P确定唯一平面α，又a∥b，由a与b确定唯一平面β，但β经过直线a与点P，∴β与α重合，∴b⊂α，故③正确；两个平面的公一一共点必在其交线上，故④正确．4.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，过顶点A1与正方体其他顶点的连线与直线BC1成60°角的条数为()A．1 B．2C．3 D．4答案B解析有2条：A1B和A1C1.二、填空题(每一小题5分，一一共15分)5．平面α、β相交，在α、β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定________个平面．答案1或者者4解析假设过四点中任意两点的连线与另外两点的连线相交或者者平行，那么确定一个平面；否那么确定四个平面．6．以下命题中不正确的选项是________．(填序号)①没有公一一共点的两条直线是异面直线；②分别和两条异面直线都相交的两直线异面；③一条直线和两条异面直线中的一条平行，那么它和另一条直线不可能平行；④一条直线和两条异面直线都相交，那么它们可以确定两个平面．答案①②解析没有公一一共点的两直线平行或者者异面，故①错；命题②错，此时两直线有可能相交；命题③正确，因为假设直线a和b异面，c∥a，那么c与b不可能平行，用反证法证明如下：假设c∥b，又c∥a，那么a∥b，这与a，b异面矛盾，故cD∥\b；命题④也正确，假设c与两异面直线a，b都相交，由公理2可知，a，c可确定一个平面，b，c也可确定一个平面，这样，a，b，c一一共确定两个平面．7．(2021·大纲全国)正方体ABCD－A1B1 C1D1中，E为C1D1的中点，那么异面直线AE与BC所成角的余弦值为______．答案解析取A1B1的中点F，连接EF，AF.∵在正方体ABCD－A1B1C1D1中，EF∥B1C1，B1C1∥BC，∴EF∥BC，∴∠AEF即为异面直线AE与BC所成的角．设正方体的棱长为a，那么AF＝＝a，EF＝a.∵EF⊥平面ABB1A1，∴EF⊥AF，∴AE＝＝a.∴cos∠AEF＝＝＝.三、解答题(一一共22分)8．(10分)如下列图，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC綊AD，BE綊FA，G、H分别为FA、FD的中点．(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C、D、F、E四点是否一一共面？为什么？(1)证明由FG＝GA，FH＝HD，可得GH綊AD.又BC綊AD，∴GH綊BC，∴四边形BCHG为平行四边形．(2)解方法一由BE綊AF，G为FA的中点知，BE綊FG，∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG.由(1)知BG綊CH，∴EF∥CH，∴EF与CH一一共面．又D∈FH，∴C、D、F、E四点一一共面．方法二如下列图，延长FE，DC分别与AB交于点M，M′，∵BE綊AF，∴B为MA的中点．∵BC綊AD，∴B为M′A的中点，∴M与M′重合，即FE与DC交于点M(M′)，∴C、D、F、E四点一一共面．9．(12分)如图，在四面体ABCD中作截面PQR，假设PQ、CB的延长线交于M，RQ、DB的延长线交于N，RP、DC的延长线交于K，求证：M、N、K三点一一共线．证明∵M∈PQ，直线PQ面PQR，M∈BC，直线BC面BCD，∴M是平面PQR与平面BCD的一个公一一共点，即M在面PQR与面BCD的交线l上．同理可证N、K也在l上．∴M、N、K三点一一共线．B组专项才能提升(时间是是：25分钟，满分是是：43分)一、选择题(每一小题5分，一一共15分)1.如图，α∩β＝l，A、B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，那么γ与β的交线必通过()A．点AB．点BC．点C但不过点MD．点C和点M答案D解析∵AB⊂γ，M∈AB，∴M∈γ.又α∩β＝l，M∈l，∴M∈β.根据公理3可知，M在γ与β的交线上．同理可知，点C也在γ与β的交线上．2．空间中有三条线段AB、BC和CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是()A．AB∥CDB．AB与CD异面C．AB与CD相交D．AB∥CD或者者AB与CD异面或者者AB与CD相交答案D解析假设三条线段一一共面，假设AB、BC、CD构成等腰三角形，那么直线AB与CD相交，否那么直线AB与CD平行；假设不一一共面，那么直线AB与CD是异面直线，应选D.3．以下四个命题中①不一一共面的四点中，其中任意三点不一一共线；②假设点A、B、C、D一一共面，点A、B、C、E一一共面，那么点A、B、C、D、E一一共面；③假设直线a、b一一共面，直线a、c一一共面，那么直线b、c一一共面；④依次首尾相接的四条线段必一一共面．正确命题的个数是()A．0 B．1 C．2 D．3答案B解析①假设其中有三点一一共线，那么该直线和直线外的另一点确定一个平面．这与四点不一一共面矛盾，故其中任意三点不一一共线，所以①正确．②从条件看出两平面有三个公一一共点A、B、C，但是假设A、B、C一一共线，那么结论不正确；③不正确；④不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形．二、填空题(每一小题5分，一一共15分)4．在图中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或者者所在棱的中点，那么表示直线GH、MN是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号)答案②④解析图①中，直线GH∥MN；图②中，G、H、N三点一一共面，但M∉面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN一一共面；图④中，G、M、N一一共面，但H∉面GMN，因此GH与MN异面．所以图②、④中GH与MN异面．5.如图是正四面体的平面展开图，G、H、M、N分别为DE、BE、EF、EC的中点，在这个正四面体中，①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．答案②③④解析复原成正四面体知GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60°角，DE⊥MN. 6．(2021·)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱CD、CC1的中点，那么异面直线A1M与DN所成的角的大小是________．答案90°解析如图，取CN的中点K，连接MK，那么MK为△CDN的中位线，所以MK∥DN.所以∠A1MK为异面直线A1M与DN所成的角．连接A1C1，AM.设正方体棱长为4，那么A1K＝＝，MK＝DN＝＝，A1M＝＝6，∴A1M2＋MK2＝A1K2，∴∠A1MK＝90°.三、解答题7．(13分)如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，H为直线B1D与平面ACD1的交点．求证：D1、H、O三点一一共线．证明连接BD，B1D1，那么BD∩AC＝O，∵BB1綊DD1，∴四边形BB1D1D为平行四边形，又H∈B1D，B1D平面BB1D1D，那么H∈平面BB1D1D，∵平面ACD1∩平面BB1D1D＝OD1，∴H∈OD1.即D1、H、O三点一一共线．。
