山东省菏泽市2015-2016学年高二上学期期末考试数学(文)试卷(A)

南京市2015－2016学年度第一学期高二期末调研数学卷2016.01一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共42分．1．命题：“ x ∈Q ，x 2－8＝0”的否定是▲．2．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线y 2＝2px 经过点(4，2)，则实数p ＝▲．3．在平面直角坐标系xOy 中，圆x 2＋y 2－6x ＋8y ＋21＝0的半径为▲．4．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2－y 2＝1的渐近线方程是▲．5．已知p ：0＜m ＜1，q ：椭圆x 2m ＋y 2＝1的焦点在y 轴上，则p 是q 的▲条件（用“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”或“既不充分也不必要”填空）．6．函数f (x )＝x ＋sin x 的图象在点O (0，0)处的切线方程是▲．7．已知实数x ，y≥1，≥0，＋y ≤2，则z ＝x －2y 的最大值是▲．8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以正方形ABCD 的两个顶点A ，B 为焦点，且过点C 、D 的双曲线的离心率是▲．9．函数f (x )＝xex （e 为自然对数的底数）的最大值是▲．10．在平面直角坐标系xOy 中，已知点O (0，0)，A (3，0)，动点P 满足2PO ＝PA ，则点P的轨迹方程是▲．11．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y 2＝4x 上一点P 到点A (3，0)的距离等于它到准线的距离，则PA ＝▲．12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝3x ，y ＝0，x ＝t (t ＞0)围成的△OAB 的面积为S (t )，则S (t )在t ＝2时的瞬时变化率是▲．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x ＋y ＋m ＝0和圆M ：x 2＋y 2＝9．若圆M 上存在点P ，使得P 到直线l 的距离为2，则实数m 的取值范围是▲．14．已知函数y ＝x 3－3x 在区间[a ，a ＋1](a ≥0)上的最大值与最小值的差为2，则满足条件的实数a 的所有值是▲．xO y A B CD(第8题)二、解答题：本大题共6小题，共计58分．15．（本题满分8分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C过点(0，2)，其焦点为F1(－5，0)，F2(5，0)．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知点P在椭圆C上，且PF1＝4，求△PF1F2的面积．16．（本题满分10分）已知集合A＝{x|1＜x＜3}，集合B＝{x|x2－ax＜0}．（1）若a＝2，求A∩B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数a的取值范围．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M 经过点A (1，0)，B (3，0)，C (0，1)．（1）求圆M 的方程；（2）若直线l ：mx －2y －(2m ＋1)＝0与圆M 交于点P ，Q ，且MP →·MQ →＝0，求实数m 的值．18．（本题满分10分）A 、B 两地相距300km ，汽车从A 地以v km/h 的速度匀速行驶到B 地（速度不超过60km/h ）．已知汽车每小时．．．的运输成本由固定成本和可变成本组成，固定成本为250元，可变成本（单位：元）与速度v 的立方成正比，比例系数为11000．设全程的运输成本为y 元．（1）求y 关于v 的函数关系；（2）为使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？已知函数f(x)＝ln x．（1）若直线y＝2x＋p(p∈R)是函数y＝f(x)图象的一条切线，求实数p的值．（2）若函数g(x)＝x－mx－2f(x)(m∈R)有两个极值点，求实数m的取值范围．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2m＋8＋y2m＝1(m＞0)的离心率为63．（1）求m的值；（2）设点A为椭圆C的上顶点，问是否存在椭圆C的一条弦AB，使直线AB与圆(x－1)2＋y2＝r2(r＞0)相切，且切点P恰好为线段AB的中点？若存在，求满足条件的所有直线AB的方程和对应的r的值；若不存在，说明理由．南京市2015－2016学年度第一学期高二期末调研数学参考答案及评分标准一、填空题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）1．∀x ∈Q ，x 2－8≠02．123．24．y ＝±x 5．充要6．y ＝2x7．28．2＋19．1e10．x 2＋y 2＋2x －3＝011．312．2313．[－52，52]14．0和3－1二、解答题（本大题共6小题，共58分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．解（1）由题意可知，c ＝5，b ＝2，所以a 2＝b 2＋c 2＝9，……………………2分所以椭圆C 的标准方程为x 29＋y 24＝1．……………………4分（2）方法（一）由（1）可知，F 1F 2＝25，PF 1＋PF 2＝6，又PF 1＝4，所以PF 2＝2，…………………6分所以PF 12＋PF 22＝F 1F 22，所以PF 1⊥PF 2，所以△PF 1F 2的面积为12×PF 1·PF 2＝4．……………………8分方法（二）由（1）可知e ＝53，设P (x 0，y 0)，因为PF 1＝4，所以3＋53x 0＝4，解得x 0＝35，…………………6分代入方程得15＋y 024＝1，解得|y 0|＝45，所以△PF 1F 2的面积为12×25×45＝4．……………………8分16．解（1）当a ＝2时，B ＝{x |0＜x ＜2}．………………………3分所以A ∩B ＝{x |1＜x ＜2}．………………………5分（2）a ＝0时，B ＝∅，a ＜0时，B ＝{x |a ＜x ＜0}，a ＞0时，B ＝{x |0＜x ＜a }．…………7分因为“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，所以A ⊆B ，所以a ≥3，即实数a 的取值范围为[3，＋∞)．……………………10分17．解（1）方法（一）设圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，＋F＋1＝0，D＋F＋9＝0，＋F＋1＝0，…………………………2分＝－4，＝－4，＝3．所以圆M的方程x2＋y2－4x－4y＋3＝0．……………………4分方法（二）线段AC的垂直平分线的方程为y＝x，线段AB的垂直平分线的方程为x＝2，＝x，＝2，解得M(2，2)．……………………2分所以圆M的半径r＝AM＝5，所以圆M的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝5．……………………4分（2）因为·＝0，所以∠PMQ＝π2．又由（1）得MP＝MQ＝r＝5，所以点M到直线l的距离d＝102．………………………8分由点到直线的距离公式可知，|2m－4－2m－1|m2＋4＝102，解得m＝±6．………………………10分18．解（1）由题意知y＝(v31000＋250)×300v＝300(v21000＋250v)（0＜v≤60）．……………………4分（2）设f(v)＝v21000＋250v，v＞0，则f′(v)＝v500－250v2，由f′(v)＝0得，v＝50，……………………6分当0＜v＜50时，f′(v)＜0，当50＜v＜60时，f′(v)＞0，…………………8分所以v＝50时，f(v)取得最小值，即y取得最小值．答：为使全程运输成本最小，汽车应以50km/h速度行驶．………………10分19．解（1）方法（一）由题意知f ′(x )＝1x．设切点的坐标为(x 0，ln x 0)，则1x 0＝2，解得x 0＝12，所以切点的坐标为(12，－ln2)，代入直线y ＝2x ＋p ，解得p ＝－1－ln2．……………………4分方法（二）f ′(x )＝1x，设切点的坐标为(x 0，ln x 0)，则切线的方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，即y ＝1x 0·x ＋ln x 0－1，又切线方程为y ＝2x ＋p ，2，ln x 0－1，解得p ＝－1－ln2．…………………4分（2）函数g (x )的定义域为(0，＋∞)，且g ′(x )＝1＋m x 2－2x ＝x 2－2x ＋mx 2．………………6分由题意可知，关于x 的方程x 2－2x ＋m ＝0有两个不相等的正根x 1，x 2，…………………8分＞0，4－4m ＞0，解得0＜m ＜1．即实数m 的取值范围是(0，1)．…………………10分20．解（1）由题意a 2＝m ＋8，b 2＝m ，所以c 2＝a 2－b 2＝8．又椭圆的离心率为63，所以8m ＋8＝23，解得m ＝4．…………………3分（2）由（1）知椭圆C 的方程为x 212＋y 24＝1，所以A (0，2)．假设存在椭圆C 的一条弦AB 满足条件．方法（一）当AB 斜率不存在时，AB 的方程为x ＝0，显然符合题意，此时P (0，0)，r ＝1．……………………4分当AB 斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋2，P (x 0，y 0)，x 2＋3y 2＝12，y ＝kx ＋2，消去y ，整理得，(1＋3k 2)x 2＋12kx ＝0，解得x ＝0或x ＝－12k1＋3k 2，……………………6分所以x 0＝－6k1＋3k 2，y 0＝21＋3k2．由21＋3k 2－0－6k 1＋3k 2－1×k ＝－1，得3k 2＋4k ＋1＝0，解得k ＝－1或k ＝－13．………………………9分所以直线AB ：y ＝－x ＋2，r ＝22，或直线AB ：y ＝－13x ＋2，r ＝102．综上，存在这样的弦AB ．直线AB ：x ＝0，r ＝1；直线AB ：y ＝－x ＋2，r ＝22；直线AB ：y ＝－13x ＋2，r ＝102．……………………10分方法（二）设P (x 0，y 0)，则B (2x 0，2y 0－2)．因为B 在椭圆C 上，所以(2x 0)2＋3(2y 0－2)2＝12，即x 20＋3(y 0－1)2＝3，所以x 20＋3y 20－6y 0＝0．①……………………5分设M (1，0)，则MP ⊥AB ，所以·＝0，即2x 0(x 0－1)＋(2y 0－4)y 0＝0，x 20＋y 20－x 0－2y 0＝0．②…………………7分0＝0，0＝0，0＝0，0＝2，(舍)0＝32，0＝32，0＝32，0＝12．当点P 为(0，0)时，直线AB 方程为x ＝0，r ＝1；当点P 为(32，32)时，直线AB 方程为y ＝－13x ＋2，r ＝102．当点P 为(32，12)时，直线AB 方程为y ＝－x ＋2，r ＝22．综上，存在这样的弦AB ．直线AB ：x ＝0，r ＝1；直线AB ：y ＝－x ＋2，r ＝22；直线AB ：y ＝－13x ＋2，r ＝102．……………………………10分。

2015-2016学年山东省临沂二十四中高二（上）期末数学试卷（理科）一.选择题（每小题5分，共50分）1．（5分）下列不等式中成立的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b，则a2＞b2C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2D．若a＜b＜0，则＞2．（5分）已知△ABC中，b=2，c=，三角形面积S=，则A等于（）A．30°B．60°C．60°或150°D．60°或120°3．（5分）经过点且与双曲线有共同渐近线的双曲线方程为（）A．B．C．D．4．（5分）下列有关命题的说法错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件C．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题D．对于命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0．则￢p：∀x∈R，均有x2+x+1≥0 5．（5分）在等差数列{a n}中，若a4+a6+a8+a10+a12=120，则2a10﹣a12的值为（）A．20B．22C．24D．286．（5分）在△ABC中，若sin2A=sinB•sinC且（b+c+a）（b+c﹣a）=3bc，则该三角形的形状是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．等边三角形7．（5分）如图，F1、F2分别是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，以坐标原点O为圆心，|OF1|为半径的圆与该双曲线左支交于A、B两点，若△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为（）A．B．2C．﹣1D．1+8．（5分）已知空间四边形OABC，M、N分别是对边OA、BC的中点，点G在MN上，且，=，=，=，=x+y+z，则x的值为（）A．B．C．D．9．（5分）数列{a n}，满足对任意的n∈N+，均有a n+a n+1+a n+2为定值．若a7=2，a9=3，a98=4，则数列{a n}的前100项的和S100=（）A．132B．299C．68D．9910．（5分）已知不等式的解集为{x|a＜x＜b}，点A（a，b）在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则的最小值为（）A．B．8C．9D．12二、填空题（每题5分，共25分）11．（5分）若=（1，λ，2），=（2，﹣1，1），与的夹角为60°，则λ的值为．12．（5分）若命题“存在x∈R，使得2x2﹣3ax+9＜0成立”为假命题，则实数a 的取值范围是．13．（5分）已知点A（﹣2，1），y2=﹣4x的焦点是F，P是y2=﹣4x上的点，为使|PA|+|PF|取得最小值，P点的坐标是．14．（5分）在平面直角坐标系中，不等式组所表示的平面区域的面积是9，则实数a的值为．15．（5分）有下列命题：①若a＞b，则ac2＞bc2；②等比数列{a n}中，a n＞0，a4a5=9，则log3a1+log3a2+…+log3a8=8；③在△ABC中，a、b分别是角A、B所对的边，若a＜b，则sinA＜sinB；④当x∈（1，2）时，不等式x2+mx+4＜0恒成立，则m的取值范围是（﹣∞，﹣4）．其中所有真命题的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）锐角△ABC中，边a，b是方程x2﹣2x+2=0的两根，角A，B满足sinAcosB+cosAsinB=，求：（Ⅰ）角C的大小；（Ⅱ）边c的长度及△ABC的面积．17．（12分）已知抛物线C：y2=4x与直线y=2x﹣4交于A，B两点．（1）求弦AB的长度；（2）若点P在抛物线C上，且△ABP的面积为12，求点P的坐标．18．（12分）已知等差数列{a n}满足a1+a2+a3=a5=9，等比数列{b n}满足0＜b n+1＜b n，b1+b2+b3=，b1b2b3=（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=a n•b n，试求数列{c n}的前n项和S n．19．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，0是AC与BD的交点，SO⊥平面ABCD，E是侧棱SC的中点，直线SA和AO所成角的大小是45°．（Ⅰ）求证：直线SA∥平面BDE；（Ⅱ）求二面角D﹣SB﹣C的余弦值．20．（13分）某公司因业务发展需要，准备印制如图所示的宣传彩页，宣传彩页有三幅大小相同的三个画面组成，每个画面的面积都是200cm2，这三个画面中都要绘制半径为5cm的圆形图案，为美观起见，每两个画面之间要留1cm 的空白，三幅画周围要留2cm页边距，如图，设一边长x，所选用的彩页纸张面积为S（Ⅰ）试写出所选用彩页纸张面积S关于x的函数解析式及其定义域（Ⅱ）为节约纸张，即使所选用的纸张面积最小，应选用长宽分别为多少的纸张？21．（14分）已知F1，F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过F2（2，0）与x轴垂直的直线交椭圆于点M，且|MF2|=3．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知点P（0，1），问是否存在直线1与椭圆交于不同的两点A，B，且AB 的垂直平分线恰好过P点？若存在，求出直线l斜率的取值范围；若不存在，请说明理由．2015-2016学年山东省临沂二十四中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题（每小题5分，共50分）1．（5分）下列不等式中成立的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b，则a2＞b2C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2D．若a＜b＜0，则＞【解答】解：对于A，若a＞b，c=0，则ac2=bc2，故A不成立；对于B，若a＞b，比如a=2，b=﹣2，则a2=b2，故B不成立；对于C，若a＜b＜0，比如a=﹣3，b=﹣2，则a2＞ab，故C不成立；对于D，若a＜b＜0，则a﹣b＜0，ab＞0，即有＜0，即＜，则＞，故D成立．故选：D．2．（5分）已知△ABC中，b=2，c=，三角形面积S=，则A等于（）A．30°B．60°C．60°或150°D．60°或120°【解答】解：∵△ABC中，b=2，c=，三角形面积S=，∴S=bcsinA=，即×2×sinA=，∴sinA=，A∈（0°，180°），∴A=60°或120°．故选：D．3．（5分）经过点且与双曲线有共同渐近线的双曲线方程为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可得：设所求双曲线为，把点代入，解得λ=2，∴所示的双曲线方程为，即故选：D．4．（5分）下列有关命题的说法错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件C．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题D．对于命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0．则￢p：∀x∈R，均有x2+x+1≥0【解答】解：命题“若x2﹣3x+2=0则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”故A为真命题；“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件．故B为真命题；若p∧q为假命题，则p、q存在至少一个假命题，但p、q不一定均为假命题，故C为假命题；命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0．则非p：∀x∈R，均有x2+x+1≥0，故D为真命题；故选：C．5．（5分）在等差数列{a n}中，若a4+a6+a8+a10+a12=120，则2a10﹣a12的值为（）A．20B．22C．24D．28【解答】解：由a4+a6+a8+a10+a12=（a4+a12）+（a6+a10）+a8=5a8=120，解得a8=24，且a8+a12=2a10，则2a10﹣a12=a8=24．故选：C．6．（5分）在△ABC中，若sin2A=sinB•sinC且（b+c+a）（b+c﹣a）=3bc，则该三角形的形状是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．等边三角形【解答】解：若sin2A=sinB•sinC，则a2=bc．又（b+c+a）（b+c﹣a）=3bc，∴b2+c2﹣a2=bc，∴cosA==，∴A=60°．再根据a2=bc以及b2+c2﹣a2=bc，可得（b﹣c）2=0，∴b=c，故该三角形的形状是等边三角形，故选：D．7．（5分）如图，F1、F2分别是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，以坐标原点O为圆心，|OF1|为半径的圆与该双曲线左支交于A、B两点，若△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为（）A．B．2C．﹣1D．1+【解答】解：连结AF1，∵F1F2是圆O的直径，∴∠F1AF2=90°，即F1A⊥AF2，又∵△F2AB是等边三角形，F1F2⊥AB，∴∠AF2F1=∠AF2B=30°，因此，Rt△F1AF2中，|F1F2|=2c，|F1A|=|F1F2|=c，|F2A|=|F1F2|=c．根据双曲线的定义，得2a=|F2A|﹣|F1A|=（﹣1）c，解得c=（+1）a，∴双曲线的离心率为e==+1．故选：D．8．（5分）已知空间四边形OABC，M、N分别是对边OA、BC的中点，点G在MN上，且，=，=，=，=x+y+z，则x的值为（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示，，=，，，，∴=，=，与=x+y+z比较，则x=．故选：C．9．（5分）数列{a n}，满足对任意的n∈N+，均有a n+a n+1+a n+2为定值．若a7=2，a9=3，a98=4，则数列{a n}的前100项的和S100=（）A．132B．299C．68D．99【解答】解：对任意的n∈N+，均有a n+a n+1+a n+2为定值，∴（a n+1+a n+2+a n+3）﹣（a n+a n+1+a n+2）=0，故a n+3=a n，∴{a n}是以3为周期的数列，故a1=a7=2，a2=a98=4，a3=a9=3，∴S100=（a1+a2+a3）+…+（a97+a98+a99）+a100=33（2+4+3）+a1=299．故选：B．10．（5分）已知不等式的解集为{x|a＜x＜b}，点A（a，b）在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则的最小值为（）A．B．8C．9D．12【解答】解：不等式⇔（x+2）（x+1）＜0，解得﹣2＜x＜﹣1．∴不等式的解集为{x|﹣2＜x＜﹣1}，∴a=﹣2，b=﹣1．∵点A（﹣2，﹣1）在直线mx+ny+1=0上，∴﹣2m﹣n+1=0，化为2m+n=1．∵mn＞0，∴==5+=9，当且仅当m=n=时取等号．∴的最小值为9．故选：C．二、填空题（每题5分，共25分）11．（5分）若=（1，λ，2），=（2，﹣1，1），与的夹角为60°，则λ的值为﹣17或1．【解答】解：∵=（1，λ，2），=（2，﹣1，1），∴||=，||=，•=4﹣λ，又与的夹角为60°，∴cos60°===，解得：λ=﹣17或1．故答案为：﹣17或112．（5分）若命题“存在x∈R，使得2x2﹣3ax+9＜0成立”为假命题，则实数a 的取值范围是[﹣2，2] ．【解答】解：命题“∃x∈R，使2x2﹣3ax+9＜0成立”是假命题，即“2x2﹣3ax+9≥0恒成立”是真命题．△=9a2﹣72≤0，解得﹣2≤a≤2，故答案为：[﹣2，2]13．（5分）已知点A（﹣2，1），y2=﹣4x的焦点是F，P是y2=﹣4x上的点，为使|PA|+|PF|取得最小值，P点的坐标是．【解答】解：过P作PK⊥l（l为抛物线的准线）于K，则|PF|=|PK|，∴|PA|+|PF|=|PA|+|PK|．∴当P点的纵坐标与A点的纵坐标相同时，|PA|+|PK|最小，此时P点的纵坐标为1，把y=1代入y2=﹣4x，得x=﹣，即当P点的坐标为（﹣，1）时，|PA|+|PF|最小．故答案为：．14．（5分）在平面直角坐标系中，不等式组所表示的平面区域的面积是9，则实数a的值为1．【解答】解：由图象可知不等式对应的平面区域为三角形BCD．由解得，即C（﹣2，2）．由题意知a＞﹣2．由得，即D（a，﹣a）．由得，即B（a，a+4），所以|BD|=|2a+4|=2a+4，C到直线x=a的距离d=a﹣（﹣2）=a+2，所以三角形BCD的面积为，即（a+2）2=9，解得a=1或a=﹣5（舍去）．故答案为：1．15．（5分）有下列命题：①若a＞b，则ac2＞bc2；②等比数列{a n}中，a n＞0，a4a5=9，则log3a1+log3a2+…+log3a8=8；③在△ABC中，a、b分别是角A、B所对的边，若a＜b，则sinA＜sinB；④当x∈（1，2）时，不等式x2+mx+4＜0恒成立，则m的取值范围是（﹣∞，﹣4）．其中所有真命题的序号是②③．【解答】解：对于①，若a＞b，c=0，则ac2=bc2，则①错；对于②，等比数列{a n}中，a n＞0，a4a5=9，则a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=9，log3a1+log3a2+…+log3a8=log3（a1a2…a8）=log394=8，则②对；对于③，在△ABC中，a、b分别是角A、B所对的边，若a＜b，则2RsinA＜2RsinB，即sinA＜sinB，则③对；对于④，当x∈（1，2）时，不等式x2+mx+4＜0恒成立，即有﹣m＞x+，又（x）′=1﹣在1＜x＜2上小于0，即有4＜x＜5，则﹣m≥5，即有m ≤﹣5．则④错．故答案为：②③三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）锐角△ABC中，边a，b是方程x2﹣2x+2=0的两根，角A，B满足sinAcosB+cosAsinB=，求：（Ⅰ）角C的大小；（Ⅱ）边c的长度及△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）由sinAcosB+cosAsinB=，得sin（A+B）=…2分∵△ABC为锐角三角形，∴A+B=120°，∴∠C=60°…5分（Ⅱ）∵a，b是方程x2﹣2x+2=0的两根，∴a+b=2，ab=2…7分∴c2=a2+b2﹣2abcosC=（a+b）2﹣3ab=12﹣6=6…9分∴c=…10分=absinC==…12分∴S△ABC17．（12分）已知抛物线C：y2=4x与直线y=2x﹣4交于A，B两点．（1）求弦AB的长度；（2）若点P在抛物线C上，且△ABP的面积为12，求点P的坐标．【解答】解：（1）设A（x1，y1）、B（x2，y2），由得x2﹣5x+4=0，△＞0．由韦达定理有x1+x2=5，x1x2=4，∴|AB|==，所以弦AB的长度为3．（2）设点，设点P到AB的距离为d，则，=••=12，即．∴S△PAB∴，解得y o=6或y o=﹣4∴P点为（9，6）或（4，﹣4）．18．（12分）已知等差数列{a n}满足a1+a2+a3=a5=9，等比数列{b n}满足0＜b n+1＜b n，b1+b2+b3=，b1b2b3=（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=a n•b n，试求数列{c n}的前n项和S n．【解答】解：（Ⅰ）∵等差数列{a n}满足a1+a2+a3=a5=9，∴a2=3，==2，a1=3﹣2=1，∴a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1．＜b n，b1+b2+b3=，b1b2b3=，∵等比数列{b n}满足0＜b n+1∴0＜q＜1，b2=，∴，即3q2﹣10q+3=0，由0＜q＜1，解得q=，∴b1=1，b3=，∴b n=1×=（）n﹣1．（Ⅱ）∵c n=a n•b n=（2n﹣1）•（）n﹣1，∴S n=1•（）0+3•+5•（）2+…+（2n﹣1）•（）n﹣1，①S n=1•+3•（）2+5•（）3+…+（2n﹣1）•（）n，②①﹣②，得S n=1+2•[+（）2+（）3+…+（）n﹣1）=1+2×=1+1﹣，∴S n=3﹣．19．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，0是AC与BD的交点，SO⊥平面ABCD，E是侧棱SC的中点，直线SA和AO所成角的大小是45°．（Ⅰ）求证：直线SA∥平面BDE；（Ⅱ）求二面角D﹣SB﹣C的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：连接OE，∵四边形ABCD是正方形，∴OC=OA，又E是侧棱SC的中点，∴OE∥SA．又SA⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，∴直线SA∥平面BDE；（II）解：建立如图所示的空间直角坐标系，∵∠SAO=45°．∴D，B，S，C．=，=，=．设平面SBC的法向量=（x，y，1），则，∴，取=（﹣1，1，1）．取平面SBD的法向量为=．===．∴二面角D﹣SB﹣C的余弦值为．20．（13分）某公司因业务发展需要，准备印制如图所示的宣传彩页，宣传彩页有三幅大小相同的三个画面组成，每个画面的面积都是200cm2，这三个画面中都要绘制半径为5cm的圆形图案，为美观起见，每两个画面之间要留1cm 的空白，三幅画周围要留2cm页边距，如图，设一边长x，所选用的彩页纸张面积为S（Ⅰ）试写出所选用彩页纸张面积S关于x的函数解析式及其定义域（Ⅱ）为节约纸张，即使所选用的纸张面积最小，应选用长宽分别为多少的纸张？【解答】解：（Ⅰ）设一边长xcm，则另一边长cm，∵这三个画面中都要绘制半径为5cm的圆形图案，∴，∴10≤x≤20，所选用彩页纸张面积S=（3x+6）（+4）=624+6（2x+）（10≤x≤20）；（Ⅱ）S=624+6（2x+）≥624+6×2=864，当且仅当2x=，即x=10时取等号，∴x=10时，所选用的纸张面积最小，此时，应选用长宽分别为36cm，24cm．21．（14分）已知F1，F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过F2（2，0）与x轴垂直的直线交椭圆于点M，且|MF2|=3．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知点P（0，1），问是否存在直线1与椭圆交于不同的两点A，B，且AB 的垂直平分线恰好过P点？若存在，求出直线l斜率的取值范围；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由题意可得：，解得c=2，a=4，b2=12．∴椭圆的标准方程为．（2）假设存在直线1与椭圆交于不同的两点A，B，且AB的垂直平分线恰好过P点．则直线l的斜率存在，设l方程为：y=kx+t，A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点N（x0，y0）．联立，化为（3+4k2）x2+8ktx+4t2﹣48=0，△=64k2t2﹣4（3+4k2）（4t2﹣48）＞0，化为：12+16k2＞t2．∴x1+x2=，x1x2=．∴x0==，y0=kx0+t=．∴k PN==，∵PN⊥l，∴•k=﹣1，化为：t=﹣3﹣4k2．代入△＞0，可得12+16k2＞（﹣3﹣4k2）2．化为16k4+8k2﹣3＜0，解得：，即．因此存在直线1与椭圆交于不同的两点A，B，且AB的垂直平分线恰好过P点．直线l的斜率范围是．。

2015-2016学年山东省潍坊中学高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）抛物线y=﹣x2的准线方程为（）A．x=B．x=C．y=D．y=﹣2．（5分）若命题p：∀x∈R，2x2+1＞0，则￢p是（）A．∀x∈R，2x2+1≤0B．∃x∈R，2x2+1＞0C．∃x∈R，2x2+1＜0D．∃x∈R，2x2+1≤03．（5分）c≠0是方程ax2+y2=c表示椭圆或双曲线的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．不充分不必要条件4．（5分）与曲线共焦点，而与双曲线共渐近线的双曲线方程为（）A．B．C．D．5．（5分）下列说法正确的是（）A．命题“若a＞b，则a2＞b2”的否命题是“若a＜b，则a2＜b2”B．命题“若a＞b，则a2＞b2”的逆命题是“若a≤b，则a2≤b2”C．命题“∀x∈R，cosx＜1”的否定命题是“∃x0∈R，cosx0≥1”D．命题“∀x∈R，cosx＜1”的否定命题是“∃x0∈R，cosx0＞1”6．（5分）已知A，B，C为不共线的三点，则“”是“△ABC是钝角三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）若椭圆与双曲线有相同的焦点F1、F2，P是两曲线的一个交点，则△F1PF2的面积是（）A．4B．2C．1D．8．（5分）已知椭圆=1过点P（2，1）作弦且弦被P平分，则此弦所在的直线方程为（）A．2x﹣y﹣3=0B．2x﹣y﹣1=0C．x+2y﹣1=0D．x+2y﹣4=0 9．（5分）已知命题p：若m＞0，则关于x的方程x2+x﹣m=0有实根．q是p的逆命题，下面结论正确的是（）A．p真q真B．p假q假C．p真q假D．p假q真10．（5分）已知椭圆的左焦点为F1，右焦点为F2．若椭圆上存在一点P，满足线段PF2相切于以椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段PF2的中点，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共5小题；每小题5分，共25分，把答案填在题中模线上．11．（5分）“a＞b＞0”是“a2＞b2”的条件．12．（5分）若曲线的焦点为定点，则焦点坐标是．13．（5分）已知数列{a n}是等比数列，命题p：“若公比q＞1，则数列{a n}是递增数列”，则在其逆命题、否命题和逆否命题中，假命题的个数为．14．（5分）设抛物线C：y2=2x的焦点为F，直线l过F与C交于A，B两点，若|AF|=3|BF|，则l的方程为．15．（5分）下列判断：（1）命题“若q则p”与“若￢p则￢q”互为逆否命题；（2）“am2＜bm2”是“a＜b”的充要条件；（3）“矩形的两条对角线相等”的否命题是假命题；（4）命题“∅⊆{1，2}”为真命题，其中正确的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（12分）已知命题p：方程的图象是焦点在y轴上的双曲线；命题q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根；又p∨q为真，￢q为真，求实数m 的取值范围．17．（12分）在△ABC中满足条件acosB+bcosA=2ccosC，（1）求∠C；（2）若c=2，求三角形ABC面积的最大值．18．（12分）A、B、C是我军三个炮兵阵地，A在B的正东方向相距6千米，C 在B的北30°西方向，相距4千米，P为敌炮阵地．某时刻，A发现敌炮阵地的某信号，由于B、C比A距P更远，因此，4秒后，B、C才同时发现这一信号（该信号的传播速度为每秒1千米）．若从A炮击敌阵地P，求炮击的方位角．19．（12分）设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x 满足．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．20．（13分）已知数列{a n}为等差数列，a3=5，a7=13，数列{b n}的前n项和为S n，且有S n=2b n﹣1．1）求{a n}、{b n}的通项公式；2）若c n=a n b n，{c n}的前n项和为T n，求T n．21．（14分）已知椭圆=1（a＞b＞0）上的点P到左、右两焦点F1，F2的距离之和为2，离心率为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过右焦点F2的直线l交椭圆于A、B两点．（1）若y轴上一点满足|MA|=|MB|，求直线l斜率k的值；（2）是否存在这样的直线l，使S的最大值为（其中O为坐标原点）？△ABO若存在，求直线l方程；若不存在，说明理由．2015-2016学年山东省潍坊中学高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）抛物线y=﹣x2的准线方程为（）A．x=B．x=C．y=D．y=﹣【解答】解：∵抛物线y=﹣x2的标准方程为x2=﹣y，∴抛物线y=﹣x2的准线方程为y=．故选：C．2．（5分）若命题p：∀x∈R，2x2+1＞0，则￢p是（）A．∀x∈R，2x2+1≤0B．∃x∈R，2x2+1＞0C．∃x∈R，2x2+1＜0D．∃x∈R，2x2+1≤0【解答】解：由题意∀x∈R，2x2+1＞0，的否定是∃x∈R，2x2+1≤0故选：D．3．（5分）c≠0是方程ax2+y2=c表示椭圆或双曲线的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．不充分不必要条件【解答】解：方程ax2+y2=c表示双曲线，则c≠0，反之若a=1，c=1，则不能表示椭圆或双曲线．故c≠0是方程ax2+y2=c表示椭圆或双曲线的必要不充分条件．故选：B．4．（5分）与曲线共焦点，而与双曲线共渐近线的双曲线方程为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意知椭圆焦点在y轴上，且c==5，双曲线的渐近线方程为y=±x，设欲求双曲线方程为，则，解得a=4，b=3，所以欲求双曲线方程为．故选：D．5．（5分）下列说法正确的是（）A．命题“若a＞b，则a2＞b2”的否命题是“若a＜b，则a2＜b2”B．命题“若a＞b，则a2＞b2”的逆命题是“若a≤b，则a2≤b2”C．命题“∀x∈R，cosx＜1”的否定命题是“∃x0∈R，cosx0≥1”D．命题“∀x∈R，cosx＜1”的否定命题是“∃x0∈R，cosx0＞1”【解答】解：命题“若a＞b，则a2＞b2”的否命题是“若a≤b，则a2≤b2”，故A 错误；命题“若a＞b，则a2＞b2”的逆命题是“若a2＞b2，则a＞b”，故B错误；命题“∀x∈R，cosx＜1”的否定命题是“∃x0∈R，cosx0≥1”，故C正确，D错误；故选：C．6．（5分）已知A，B，C为不共线的三点，则“”是“△ABC是钝角三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：如图，（1）若，则cos＞0；∴∠A＞90°，即△ABC是钝角三角形；（2）若△ABC为钝角三角形，则∠A不一定为钝角；∴不一定得到；∴是△ABC为钝角三角形的充分不必要条件．故选：A．7．（5分）若椭圆与双曲线有相同的焦点F1、F2，P是两曲线的一个交点，则△F1PF2的面积是（）A．4B．2C．1D．【解答】解：由题意设两个圆锥曲线的焦距为2c，椭圆的长轴长2，双曲线的实轴长为2，由它们有相同的焦点，得到m﹣n=2．不妨设m=5，n=3，椭圆的长轴长2，双曲线的实轴长为2，不妨令P在双曲线的右支上，由双曲线的定义|PF1|﹣|PF2|=2①由椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2②①2+②2得|PF1|2+|PF2|2=16又|F1F2|=4，∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，则△F1PF2的形状是直角三角形△PF1F2的面积为•PF1•PF2=（）（）=1故选：C．8．（5分）已知椭圆=1过点P（2，1）作弦且弦被P平分，则此弦所在的直线方程为（）A．2x﹣y﹣3=0B．2x﹣y﹣1=0C．x+2y﹣1=0D．x+2y﹣4=0【解答】解：设以点A（2，1）为中点的弦与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=4，y1+y2=2，分别把A（x1，y1），B（x2，y2）代入椭圆方程=1，可得，，两式相减可得（x1+x2）（x1﹣x2）+4（y1+y2）（y1﹣y2）=0，∴4（x1﹣x2）+8（y1﹣y2）=0，∴k==﹣，∴点A（2，1）为中点的弦所在直线方程为y﹣1=﹣（x﹣2），整理，得：x+2y﹣4=0．故选：D．9．（5分）已知命题p：若m＞0，则关于x的方程x2+x﹣m=0有实根．q是p的逆命题，下面结论正确的是（）A．p真q真B．p假q假C．p真q假D．p假q真【解答】解：P：当m＞0时，△=4+4m≥0，此时方程x2+x﹣m=0有实根，故p 为真命题q：p的逆命题：若x2+x﹣m=0有实根，则△=4+4m≥0，解可得m≥﹣1，q为假命题故选：C．10．（5分）已知椭圆的左焦点为F1，右焦点为F2．若椭圆上存在一点P，满足线段PF2相切于以椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段PF2的中点，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，设以椭圆的短轴为直径的圆与线段PF2相切于M点，连接OM，PF2；∵M，O分别是PF2，F1F2的中点；∴MO∥PF1，且|PF1|=2|MO|=2b；OM⊥PF2；∴PF1⊥PF2，|F1F2|=2c；∴；根据椭圆的定义，|PF1|+|PF2|=2a；∴；∴；两边平方得：a2﹣2ab+b2=c2﹣b2，c2=a2﹣b2代入并化简得：2a=3b，∴；∴；即椭圆的离心率为．故选：A．二、填空题：本大题共5小题；每小题5分，共25分，把答案填在题中模线上．11．（5分）“a＞b＞0”是“a2＞b2”的充分不必要条件．【解答】解：由“a＞b＞0”利用不等式的性质可得“a2＞b2”成立，故充分性成立．但由“a2＞b2”不能推出“a＞b＞0”，如a=﹣3、b=﹣1时，故必要性不成立．故答案为充分不必要．12．（5分）若曲线的焦点为定点，则焦点坐标是（0，±3）．【解答】解：曲线的焦点为定点，当a﹣4 和a+5符号相同时，曲线表示焦点在y轴上的椭圆，c==3，故焦点坐标是（0，±3）．当a﹣4 和a+5符号相反时，曲线表示焦点在y轴上的双曲线，标准方程为，双曲线的标准方程为，∴焦点在y轴上，c==3，故焦点坐标是（0，±3）．故答案为：（0，±3）．13．（5分）已知数列{a n}是等比数列，命题p：“若公比q＞1，则数列{a n}是递增数列”，则在其逆命题、否命题和逆否命题中，假命题的个数为4．【解答】解：原命题p：“在等比数列{a n}中，若公比q＞1，则数列{a n}是递增数列”，例如，当数列为，﹣2，﹣4，﹣8，…，q=2，但是数列为递减数列，故原命题为假命题；逆命题是：“在等比数列{a n}中，若数列{a n}递增数列”，则“公比q＞1”，例如，当数列为，﹣1，﹣，﹣，…，q=，但是数列为递增数列，是假命题；否命题是：“在等比数列{a n}中，若公比q≤1，则数列{a n}不是递增数列，是假命题；逆否命题是：“在等比数列{a n}中，若数列{a n}不是递增数列”，则“公比q≤1”，是假命题；综上，命题p及其逆命题，否命题和逆否命题中，假命题有4个．故答案为：414．（5分）设抛物线C：y2=2x的焦点为F，直线l过F与C交于A，B两点，若|AF|=3|BF|，则l的方程为．【解答】解：由y2=2x，得F（，0），设AB所在直线方程为y=k（x﹣），代入y2=2x，得k2x2﹣（k2+2）x+k2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=1+，x1x2=结合|AF|=3|BF|，x1+=3（x2+）解方程得k=±．∴直线L的方程为．故答案为：15．（5分）下列判断：（1）命题“若q则p”与“若￢p则￢q”互为逆否命题；（2）“am2＜bm2”是“a＜b”的充要条件；（3）“矩形的两条对角线相等”的否命题是假命题；（4）命题“∅⊆{1，2}”为真命题，其中正确的序号是（1）（3）（4）．【解答】解：根据逆否命题的定义（1）正确；∵m=0时m2=0，若a＜b 则am2＜bm2为假命题，故（2）不正确；∵否命题：不是矩形的四边形的对角线不相等，故（3）正确；∵∅是任何集合的子集，∴（4）正确；故答案是（1）（3）（4）三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（12分）已知命题p：方程的图象是焦点在y轴上的双曲线；命题q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根；又p∨q为真，￢q为真，求实数m 的取值范围．【解答】解：∵方程是焦点在y轴上的双曲线，∴，即m＞2．故命题p：m＞2；…（3分）∵方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根，∴△=[4（m﹣2）]2﹣4×4×1＜0，即m2﹣4m+3＜0，∴1＜m＜3．故命题q：1＜m＜3．…（6分）∵又p∨q为真，¬q为真，∴p真q假．…（8分）即，此时m≥3；…（11分）综上所述：{m|m≥3}．…（12分）17．（12分）在△ABC中满足条件acosB+bcosA=2ccosC，（1）求∠C；（2）若c=2，求三角形ABC面积的最大值．【解答】解：（1）由题意得sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC，即sinC=2sinCcosC，故，∵∠C∈（0，π），∴…（6分）（2）∵cosC==，∴ab=a2+b2﹣4≥2ab﹣4，即ab≤4，等号当a=b时成立，=absinC≤=…12分∴S△ABC18．（12分）A、B、C是我军三个炮兵阵地，A在B的正东方向相距6千米，C 在B的北30°西方向，相距4千米，P为敌炮阵地．某时刻，A发现敌炮阵地的某信号，由于B、C比A距P更远，因此，4秒后，B、C才同时发现这一信号（该信号的传播速度为每秒1千米）．若从A炮击敌阵地P，求炮击的方位角．【解答】解：以线段AB的中点为原点，正东方向为x轴的正方向建立直角坐标系，则依题意|PB|﹣|PA|=4∴P在以A、B为焦点的双曲线的右支上．这里a=2，c=3，b2=5．其方程为…（3分）又|PB|=|PC|，∴P又在线段BC的垂直平分线上…（5分）由方程组解得即…（8分）由于，可知P在A北30°东方向．…（10分）19．（12分）设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x 满足．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=1时，p：{x|1＜x＜3}，q：{x|2＜x≤3}，又p∧q为真，所以p真且q真，由得2＜x＜3，所以实数x的取值范围为（2，3）（2）因为￢p是￢q的充分不必要条件，所以q是p的充分不必要条件，又p：{x|a＜x＜3a}（a＞0），q：{x|2＜x≤3}，所以解得1＜a≤2，所以实数a的取值范围是（1，2]20．（13分）已知数列{a n}为等差数列，a3=5，a7=13，数列{b n}的前n项和为S n，且有S n=2b n﹣1．1）求{a n}、{b n}的通项公式；2）若c n=a n b n，{c n}的前n项和为T n，求T n．【解答】解：（1）∵{a n}是等差数列，且a3=5，a7=13，设公差为d．∴，解得∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1（n∈N*）在{b n}中，∵S n=2b n﹣1当n=1时，b1=2b1﹣1，∴b1=1当n≥2时，由S n=2b n﹣1及S n﹣1=2b n﹣1﹣1，得b n=2b n﹣2b n﹣1，∴b n=2b n﹣1∴{b n}是首项为1公比为2的等比数列∴（n∈N*）（2）∵，∴①②①﹣②得==1+4（2n﹣1﹣1）﹣（2n﹣1）•2n=﹣3﹣（2n﹣3）•2n∴（n∈N*）21．（14分）已知椭圆=1（a＞b＞0）上的点P到左、右两焦点F1，F2的距离之和为2，离心率为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过右焦点F2的直线l交椭圆于A、B两点．（1）若y轴上一点满足|MA|=|MB|，求直线l斜率k的值；的最大值为（其中O为坐标原点）？（2）是否存在这样的直线l，使S△ABO若存在，求直线l方程；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ），∴…（1分）∵，∴，∴b2=a2﹣c2=2﹣1=1…（2分）椭圆的标准方程为…（3分）（Ⅱ）已知F2（1，0），设直线的方程为y=k（x﹣1），A（x1，y1）B（x2，y2）联立直线与椭圆方程，化简得：（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0∴，…（4分）∴AB的中点坐标为…（5分）（1）k=0时，满足条件，此时AB的中垂线为x=0；当k≠0时，∵|MA|=|MB|，∴，整理得2k2﹣3k+1=0，解得k=1或…（7分）（2）直线l斜率不存在时，直线方程为x=1，代入椭圆方程，此时y=±，S△=，ABO=|y1﹣y2|=•直线l斜率不存在时时，S△ABO∵k∈R，k≠0，∴，∴综上，∴满足题意的直线存在，方程为x=1．…（14分）。

2015-2016学年上学期高二期末数学（理）试题时间：120分钟 总分：150分一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1. 某单位有老人28 人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体状况的，需从他们中间抽取一个容量为36样本，则年人、中年人、青年人分别各抽取的人数是 （ ） A ．6，12，18 B ．7，11，19 C ．6，13，17 D ．7，12，172.直线x+3y+1=0的倾斜角是( )A ．6π B ．3πC ．23π D ．56π3.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（ ） A ．3 B ．11 C ．38 D ．1234.设l 是直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是( ) A ．若l∥α，l∥β，则α∥β B ．若l∥α，l⊥β，则α⊥β C ．若α⊥β，l⊥α，则l∥β D ．若α⊥β，l∥α，则l⊥β5.以两点(3,1)A --和(5,5)B 为直径端点的圆的方程是( )A ．22(1)(2)25x y -+-=B ．22(1)(2)25x y +++=C ．22(1)(2)100x y +++=D ．22(1)(2)100x y -+-= 6.如图， 一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的侧面积为( )A ．2B ．6 C． D． 7. 下列命题中是错误命题的个数有( ) ①对立事件一定是互斥事件；②A、B 为两个事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)； ③若事件A 、B 、C 两两互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1； ④若事件A 、B 满足P(A)＋P(B)＝1，则A ，B 是对立事件． 8.下列说法正确的是（ ）A ．命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x =，则1x ≠” B ．若命题2:,210p x R x x ∃∈-->，则命题2:,210p x R x x ⌝∀∈--< C ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题 D ．“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件9.方程02=+ny mx 与)0(122>>=+n m ny mx 的曲线在同一坐标系中的示意图可能是（ ）10.已知平面区域1||1{(,)0,{(,)01y x y x x y y M x y y x +⎧⎫-+⎧⎫⎪⎪Ω==⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭≤≤≥≥≤，向区域Ω内随机投一点P ，点P 落在区域M 内的概率为（ ） A ．14 B ．13C ．12D ．23 11.在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，若AB=，则AB 1与C 1B 所成的角的大小为( )A ．60°B ．90°C ．75°D ．105°12.双曲线的中心在坐标原点O ，A 、C 分别为双曲线虚轴的上、下顶点，B 是双曲线的左顶点，F 是双曲线的左焦点，直线AB 与FC 相交于D ，若双曲线离心率为2，则BDF ∠的余弦值为( ) ABC二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13.右表是某单位1-4月份水量（单位：百吨）的一组数据：由散点图可知， 用水量y 与月份x 之间有较强的线性相关关系，其线性回归直线方程是a x y+-=7.0ˆ，由此可预测该单位第5个月的用 水量是 百吨.14.已知O （0，0，0），A （﹣2，2，﹣2），B （1，4，﹣6），C （x ，﹣8，8），若OC ⊥AB ，则x=__________；若O 、A 、B 、C 四点共面，则x=__________．15.已知抛物线24y x =-的焦点F 和点(3,3)A -，P 为抛物线上一点，则PA PF +的最小值等于_____________．16.如右图，设A B C D 、、、是半径为1的球面上的四个不同点，且满足0AB AC ⋅=，0AC AD ⋅= ，0AD AB ⋅=，用123S S S 、、分别表示△ABC 、△ACD 、△ABD 的面积，则123S S S ++的最大值是 .三、解答题（本题共6道小题,第1题10分,第2题12分,第3题12分,第4题12分,第5题12分,第6题12分,共70分）17.已知命题p ：方程11222=--m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，命题q ：双曲线1522=-mx y 的离心率)2,1(∈e ，若q p ,只有一个为真，求实数m 的取值范围．18.已知直线l 1：3x+4y ﹣2=0和l 2：2x ﹣5y+14=0的相交于点P ．求： （1）过点P 且平行于直线2x ﹣y+7=0的直线方程； （2）过点P 且垂直于直线2x ﹣y+7=0的直线方程．19.某班50名学生在一次数学测试中，成绩全部介于50与100之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[50，60），第二组[60，70），…，第五组[90，100]．如图所示是按上述分组方法得到的频率分布直方图． （1）若成绩大于或等于60且小于80，认为合格，求该班在这次数学测试中成绩合格的人数；（2）从测试成绩在[50，60）∪[90，100]内的所有学生中随机抽取两名同学，设其测试成绩分别为m 、n ，求事件“|m﹣n|＞10”概率．20.在平面直角坐标系xOy 中，曲线261y x x =-+与坐标轴的交点都在圆C 上．（1）求圆C 的方程； （2）若圆C 与直线0x y a -+=交于A ，B 两点，且,OA OB ⊥求a 的值．21. 如图，已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD 为蓌形，PA ⊥平面ABCD,∠ABC=60°，E 是BC 的中点，F 是PC 上的一点. （1）若PB ∥平面AEF ，试确定F 点位置；（2）在（1）的条件下，若直线PB 与平面PAD 所成角的正弦值为46，求二面角E-AF-C 的余弦值．22.在直角坐标系xoy 上取两个定点A 1（﹣2，0），A 2（2，0），再取两个动点N 1（0，m ），N 2（0，n ），且mn=3．（1）求直线A 1N 1与A 2N 2交点的轨迹M 的方程；（2）已知点A （1，t ）（t ＞0）是轨迹M 上的定点，E ，F 是轨迹M 上的两个动点，如果直线AE 的斜率k AE 与直线AF 的斜率k AF 满足k AE +k AF =0，试探究直线EF 的斜率是否是定值？若是定值，求出这个定值，若不是，说明理由．2015-2016学年上学期高二期末数学（理）试题试卷答案1.A2.D3.B4.B5.A6.C7.D8.C9.A 10.C 11.B 12.C13.1.75 14.16； 8 15.5 16.217.若P 真，则120m m ->>，解得103m <<…………2分 若q 真，则 5145m+<< ，解得015m <<…………4分 若p 真q 假，则103015m m m ⎧<<⎪⎨⎪≤≥⎩或，解集为空集；…………7分 p 假q 真，则103015m m m ⎧≤≥⎪⎨⎪<<⎩或，解得1531<≤m …………9分故1531<≤m …………10分18.解：由解得，即点P 坐标为P （﹣2，2），直线2x ﹣y +7=0的斜率为2…4分（1）过点P 且平行于直线2x ﹣y +7=0的直线方程为y ﹣2=2（x +2）即2x ﹣y +6=0；……8分 （2）过点P 且垂直于直线2x ﹣y +7=0的直线方程为即x +2y ﹣2=0．……12分19.解：（1）由直方图知，成绩在[60，80）内的人数为：50×10×（0.018+0.040）=29．所以该班在这次数学测试中成绩合格的有29人．…………………………6分（2）由直方图知，成绩在[50，60）内的人数为：50×10×0.004=2，设成绩为x 、y 成绩在[90，100]的人数为50×10×0.006=3，设成绩为a 、b 、c ， 若m ，n ∈[50，60）时，只有xy 一种情况，若m ，n ∈[90，100]时，有ab ，bc ，ac 三种情况，事件“|m ﹣n |＞10”所包含的基本事件个数有6种 ∴．………………………………12分20.解（1）曲线162+-=x x y 与y 轴的交点为（0，1），与x 轴的交点为（).0,223(),0,223-+ 故可设C 的圆心为（3，t ），则有,)22()1(32222t t +=-+解得t =1.则圆C 的半径为.3)1(322=-+t 所以圆C 的方程为.9)1()3(22=-+-y x ……6分 （2）设A （11,y x ），B （22,y x ），其坐标满足方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+-.9)1()3(,022y x a y x ，消去y ，得到方程 .012)82(222=+-+-+a a x a x 由已知可得，判别式.0416562>--=∆a a因此 21212214,2a a x x a x x -++=-= ①由于OA ⊥OB ，可得,02121=+y y x x 又,,2211a x y a xy +=+=所以.0)(222121=+++a x x a x x ② 由①，②得1-=a ，满足,0>∆故.1-=a ………………………………12分21. 解：（1）连结AF ，EF ，由PB ∥平面AEF ，PB ⊂平面PBC ，平面PBC ∩平面AEF =EF ，所以PB ∥EF .又在△PBC 中，E 是BC 的中点，所以F 为PC 的中点. ………4分（2）由四边形ABCD 为菱形，∠ABC =60°，可得△ABC 为正三角形.因为E 为BC 的中点，所以AE ⊥BC .又BC ∥AD ，因此AE ⊥AD .因为PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥AE .所以AE ，AD ，AP 两两垂直.……6分 以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，设AB =2，AP =a ，则A （0，0，0），B （3，-1，0），C （3，1，0），D （0，2，0），P （0，0，a ），E （3，0，0），F （22123a，，），所以PB =（3，-1，-a ），且AE =(3，0，0）为平面PAD 的法向量，设直线PB 与平面PAD 所成的角为θ，由sin θ=|cos ＜PB ，AE ＞|=|AE ||PB |∙=3432a +=46…………8分 解得a =2 所以 AE ＝（3,0,0）， AF ＝（23，21，1）设平面AEF 的一法向量为m =(x 1,y 1,z 1)，则00m AE m AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，因此111130,31022x x y z ⎧=⎪⎨++=⎪⎩， 取z 1=-1，则m=(0,2,-1), …………10分因为BD ⊥AC ，BD ⊥PA ，PA ∩AC =A ，所以BD ⊥平面AFC ，故BD 为平面AFC 的一法向量.又BD =（-3,3,0），所以cos ＜m ,BD ＞=155||512m BD m BD ⋅==⋅⨯. 因为二面角E -AF -C 为锐角，所以所求二面角的余弦值为515. …………12分22.解：（1）依题意知直线11A N 的方程为：①………………1分直线A 2N 2的方程为：②………………………………2分设Q （x ，y ）是直线A 1N 1与A 2N 2交点，①×②得由mn =3整理得……………………………………5分∵N 1，N 2不与原点重合∴点A 1（﹣2，0），A 2（2，0）不在轨迹M 上， ∴轨迹M 的方程为（x ≠±2）…………………………6分（2）∵点A （1，t ）（t ＞0）在轨迹M 上∴解得，即点A 的坐标为……7分设k AE =k ，则直线AE 方程为：，代入并整理得设E （x E ，y E ），F （x F ，y F ），∵点在轨迹M 上，∴…………③，④……………………9分又k AE +k AF =0得k AF =﹣k ，将③、④式中的k 代换成﹣k ， 可得，…………………………10分∴直线EF 的斜率∵∴即直线EF 的斜率为定值，其值为…………………………12分。