求二次函数解析式[1]

的图像如图所示，
评析：
刚才采用一般式、顶点式和交点式求解， 通过对比可发现用顶点式和交点式求解比用 一般式求解简便。同时也培养学生一题多思、 一题多解的能力，从不同角度进行思维开放、 解题方法开放的培养。注重解题技巧的养成 训练，可事半功倍。
2、将抛物线 向左平移4个单位， 再向下平移3个单位，求平移后所得抛物线的解析式。 解法：将二次函数的解析式 转化为顶点式得： (1)、由 向左平移4个单位得： （左加右减）
2、已知二次函数与x 轴的交点坐标为（-1，0）, （1，0），点（0，1）在图像上，求其解析式。
解：设所求的解析式为
∵抛物线与x轴的交点坐标为（-1，0）、（1，0） ∴ ∴ 又∵点（0，1）在图像上， ∴ ∴ a = -1 ∴ 即：
四、尝试练习
4、将二次函数 的图像向右平移1个单位， 再向上平移4个单位，求其解析式。 解：∵ 二次函数解析式为
1 2 所求的解析式为： y ( x 2) 1 3
(3)图象与X轴交于(2,0) (-1,0)且过点(0,-2)
解法(一)可设一般式 解法(二)可设交点式
解:∵抛物线与X轴交于点(2,0)(-1,0) ∴设解析式为:y=a(x-2)(x+1) 把点(0,-2)代入 a(0-2)(0+1)=-2 解得 a=1 ∴y=(x-2)(x+1) 即:y=x2-x-2
二次函数的几种解 析式及求法
二次函数解析(常见的三种表示形式)
(1)一般式
2 y ax bx c(a 0)
2 n(a 0)顶点坐标（ y a ( x m ) m, n) (2)顶点式
(3)交点式 y a( x x 1 )( x x 2 )( a 0)

二次函数解析式的求解二次函数的解析式有以下三种表示法：1、 一般式：2,(0)y ax bx c a =++≠ 此种表示法适合于我们知道函数图像上的三点，把三点的坐标代入上式，联接待定系数从而求得函数的解析式。

例1已知二次函数经过(1,2),(2,3),(3,4)A B C 三点，求此二次函数的解析式。

2、 顶点式：2(),(0)y a x m k a =++≠，其中点(,)m k -为二次函数的顶点。

此种表示法适合于知道它的顶点和图像上的另外一点，此时把顶点代入上式，只剩下一个未知系数，此时再把我们知道的另外一点代入，从而求出解析式。

例2已知二次函数的顶点为(4,5)M ，且函数图像经过点(6,8)A ，求此二次函数的解析式。

3、交点式：12()(),(0)y a x x x x a =--≠例3已知函数经过(1,0),(1,0),(3,4)A B C -三点，求此解析式。

特殊的二次函数：1、函数的顶点是坐标系的原点：2(0)y a x a =≠，例如我们学过的函数：221,22y x y x ==，此类函数图像的对称轴是y 轴。

例4已知二次函数图像的顶点是坐标系的原点，且函数图像经过点(2,1)A ,求此二次函数的解析式。

2、函数的顶点在y 轴上：2,(0)y ax c a =+≠，例如我们学过的函数：221y x =+，此类函数图像的对称轴也是y 轴。

例5已知二次函数图像的顶点在y 轴上，且函数经过点(2,1),(3,4)A B ,求此二次函数。

3、函数图像经过原点：2,(0)y ax bx a =+≠例如函数：224y x x =+。

例6已知二次函数经过原点，且过点(3,0),(3,4)A B -,求此二次函数。

例题分析例7如图，已知抛物线与x 交于A(－1，0)、E(3，0)两点，与y 轴交于点B(0，3)。

（1）求抛物线的解析式； （2）设抛物线顶点为D ，求四边形AEDB 的面积； （3）△AOB 与△DBE 是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由。

十种二次函数解析式求解方法二次函数是一个形如y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b和c是实数且a不为0。

解析式是一种表示函数的方式，它可以用来求解函数的性质和方程的解。

下面是十种二次函数解析式求解方法：1. 一般式：二次函数的一般式为y = ax^2 + bx + c。

通过将函数写成一般式，可以快速识别出a、b和c的值，进而求解一些重要的性质，如顶点、轴对称线、开口方向等。

2.标准式：二次函数的标准式为y=a(x-h)^2+k，其中(h,k)为顶点的坐标。

通过将一般式转化为标准式，可以直观地找出顶点的坐标及与x轴的交点。

3.因式分解：有时候，二次函数的解析式可以通过因式分解的方式得到。

例如，对于函数y=x^2-5x+6，我们可以将其因式分解为y=(x-2)(x-3)，从而得到x=2和x=3是方程的解。

4.完全平方：如果二次函数的解析式可以表示为一个完全平方的形式，那么我们可以通过提取出完全平方的方式得到方程的解。

例如，对于函数y=x^2-4x+4，我们可以将其写成y=(x-2)^2的形式，从而得到x=2是方程的解。

5. 配方法：对于一般的二次方程ax^2 + bx + c = 0，我们可以通过配方法将其转化为一个完全平方的形式。

通过配方法，我们可以找到一个常数k使得ax^2 + bx + c = a(x + p)^2 + k，从而得到方程的解析式。

6.求导方法：通过对二次函数求导，我们可以得到函数的导数。

导数可以帮助我们找到函数的最值点和切线，进而求解其他问题。

7.顶点公式：二次函数的顶点公式为(h,k)，其中h=-b/(2a)，k=f(h)。

通过顶点公式，我们可以快速找到二次函数的顶点，进而求解一些重要的性质。

8. 零点公式：二次函数的零点公式为x = (-b ± √(b^2 -4ac))/(2a)。

通过零点公式，我们可以求解二次函数的零点或解方程。

9. 判别式：二次函数的判别式为Δ = b^2 - 4ac。

二次函数解析式求法例举上海市松江区立达中学庄士忠201600二次函数解析式的求法是二次函数知识的重点，也是中考必考内容。

求二次函数解析式的常用方法：（1）一般式：；（2）顶点式：，其中点（m,h）为该二次函数的顶点；（3）交点式：，其中点为该二次函数与x轴的交点。

例1. 已知抛物线经过A，B，C三点，当时，其图象如图1所示。

求抛物线的解析式，写出顶点坐标。

图1分析：由图象可知，抛物线经过A（0，2），B（4，0），C（5，-3）三点，因此，可以借助二次函数一般式求出其解析式，再转化为顶点式，求出顶点坐标。

解：设所求抛物线的解析式为（）。

由图象可知A，B，C的坐标分别为（0，2），（4，0），（5，-3）。

解之，得抛物线的解析式为该抛物线的顶点坐标为。

点评：这道题的一个特点是题中没有直接给出所求抛物线经过的点的坐标，需要从图象中获取信息。

已知图象上三个点时，通常应用二次函数的一般式列方程求解析式。

要特别注意：如果这道题是求“图象所表示的函数解析式”，那就必须加上自变量的取值范围。

例2. 如图2，有一横截面是抛物线的水渠，水渠管理员将一根长1.5m的标杆一端放在水渠底部的A点，另一端露出水面并靠在水渠边缘的B点，标杆有1m浸没在水中，露出水面的部分与水面成的夹角（标杆与抛物线的横截面在同一平面内）。

以水面所在直线为x轴，过点A垂直于水面的直线为y轴，建立如图2所示的直角坐标系，求该水渠横截面抛物线的解析式（结果保留根号）。

图2分析：要求解析式，必须知道抛物线上交点的坐标。

显然，由已知条件可以求出点A 与点B的坐标。

由于点A是所在抛物线的顶点，因此可以用抛物线的顶点式。

解：设AB与x轴交于点C，可知。

过点B作轴于点D设所求水渠横截面抛物线的解析式为。

将点B的坐标代入，有。

解之，得。

因此，该水渠横截面抛物线的解析式为。

点评：解答此类问题的关键在于将实际问题的条件转化成点的坐标，再根据点的特征选择适当的函数表达式。