2023年高考数学(文科)一轮复习——等差数列及其前n项和

第18练 等差数列及其求和学校____________ 姓名____________ 班级____________一、单选题1．在公差不为零的等差数列{}n a 中，若1233++m a a a a =，则m =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B 【详解】∵2132+a a a =，则12323++3m a a a a a == ∵2m = 故选：B ．2．2022年4月26日下午，神州十三号载人飞船返回舱在京完成开舱．据科学计算，运载“神十三”的“长征二号”F 遥十三运载火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2千米，以后每秒钟通过的路程都增加2千米，在达到离地面380千米的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间大约是（ ） A ．10秒 B ．13秒 C ．15秒 D ．19秒【答案】D 【详解】设每秒钟通过的路程构成数列{}n a ， 则{}n a 是首项为2，公差为2的等差数列，由求和公式有()221380n n n n n +-=+=，解得19n =． 故选：D.3．已知在等差数列{}n a 中，4820a a +=,712a =，则9a =（ ） A ．8 B ．10C ．14D ．16【答案】D 【详解】 设公差为d ，则1113720612a d a d a d +++=⎧⎨+=⎩，解得102a d =⎧⎨=⎩，所以91816a a d =+=. 故选：D.4．5G 基站建设是众多“新基建”的工程之一，截至2021年7月底，A 地区已经累计开通5G基站300个，未来将进一步完善基础网络体系，加快推进5G 网络建设．已知2021年8月该地区计划新建50个5G 基站，以后每个月比上一个月多建40个，预计A 地区累计开通4640个5G 基站要到（ ） A ．2022年10月底 B ．2022年9月底 C ．2022年8月底 D ．2022年7月底【答案】B 【详解】由题意得，2021年8月及之后该地区每个月建设的5G 基站数量为等差数列，则公差为40， 假设要经过k 个月，则()1504046403002k k k -+⋅=-，解得：14k =，所以预计A 地区累计开通4640个5G 基站要到2022年9月底， 故选：B ．5．在等差数列{}n a 中，234+=a a ，568a a +=，则4a =（ ） A ．4 B ．72C ．3D ．2【答案】C 【详解】因为()()()()235626354412a a a a a a a a a +++=+++==，所以43a =. 故选：C ．6．已知等差数列{an }的前n 项和为Sn ，若13260S =，则2811a a a ++的值为（ ） A ．60 B ．120 C ．180 D ．260【答案】A 【详解】设等差数列{an }的公差为d ， 因为13260S =，所以11312132602a d ⨯+=， 所以1620a d +=，所以2811111171031860a a a a d a d a d a d ++=+++++=+=， 故选：A.7．已知等差数列{}n a 中，1732,4,n a a a S ==为数列{}n a 的前n 项和，则10S =（ ） A ．115B ．110C ．110-D ．115-【答案】D 【详解】设数列{}n a 的公差为d ，则由734a a =得264(22)d d +=+，解得3d =-，101(1)10910102(3)11522n n S a d -⨯=+=⨯+⨯-=-． 故选：D ．8．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，其中346,10S S ==，数列{}n b 满足11b =，且1n n n b a b ++=，则数列{}n b 的通项公式为（ ）A ．222n +B ．222n n -+C ．22nD ．222n n ++【答案】B 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ， 因为346,10S S ==，所以1132362434102a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪+=⎪⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩，所以1(1)11n a a n d n n =+-=+-=， 因为1n n n b a b ++=， 所以1n n n b b a n +-==，所以211b b -=，322b b -=，433b b -=，……，11n n b b n --=-， 所以1(1)123(1)2n n n b b n --=+++⋅⋅⋅+-=， 因为11b =，所以2(1)2122n n n n n b --+=+=， 故选：B9．在数列{}n a 中，设其前n 项和为n S ，若11a =-，21a =，()211nn n a a +-=+-，则10S 等于（ ） A ．25 B ．20 C ．15 D ．10【答案】B 【详解】由()211nn n a a +-=+-可知：当n 为奇数时，2n n a a +=，当n 为偶数时，22n n a a +-=， 所以奇数项成常数列，偶数项成等差数列，且公差为2故()()10135792468105415152202S a a a a a a a a a a ⨯=+++++++++=-⨯+⨯+⨯=故选：B10．已知等差数列{}n a 的公差为d ，且0d ≠，且1a 、3a 、13a 成等比数列，若11a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和．则2143n n S a ++的最小值为（ ）A ．4B ．3 C．2 D ．113【答案】D 【详解】由已知可得23113a a a =，即()212112d d +=+，可得220d d -=，0d ≠，解得2d =，()()1112121n a a n d n n ∴=+-=+-=-，所以，()122n n n a a S n +==， 2221421473221n n S n n a n n +++==+++，令271n n b n +=+，则()()()2221177362112n n n n n n b b n n n n +++++--=-=++++，当1n =时，10nnb b ，即12b b >，当2n ≥时，10n n b b +->，即23b b <<，所以，数列{}n b 中，2b 最小，故2143n n S a ++的最小值为22711213+=+. 故选：D. 二、多选题11．公差为d 的等差数列{}n a 满足25a =，6830a a +=，则下面结论正确的有（ ） A ．d ＝2B ．21n a n =+C ．21111141n a n n ⎛⎫=+ ⎪-+⎝⎭D ．211n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的前n 项和为()41n n +【答案】ABD 【详解】 由题意得，268530a a a =⎧⎨+=⎩，即11521230a d a d +=⎧⎨+=⎩， 解得132a d =⎧⎨=⎩，所以21n a n =+，故A 、B 正确；得212(22)4(1)n a n n n n -=+=+，故211111()14(1)41n a n n n n ==⋅--++，故C 错误；所以数列21{}1n a -的前n 项和为 11111111(1)(1)42231414(1)nn n n n -+-++-=-=+++，故D 正确. 故选：ABD.12．已知等差数列{an }的公差为d ，前n 项和为Sn ，且91011S S S =<，则（ ） A ．d ＜0 B ．a 10＝0 C ．S 18＜0 D ．S 8＜S 9【答案】BC 【详解】910S S = ，101090a S S ∴=-= ，所以B 正确又1011S S < ,111110100a S S a d ∴=-=+> ,0d ∴> ,所以A 错误 1090,0,0a d a =>∴<11818118910918()9()9()902a a S a a a a a +==+=+=<，故C 正确 9989890,,a S S a S S <=+∴> ,故D 错误故选：BC 三、填空题13．已知数列{}n a 的前n 项和为()0n n S S ≠，1331n n a a +=+，1n =，2，3，…，则35a S =______．【答案】15##0.2【详解】因为1331n n a a +=+， 所以113n n a a +-=，所以数列{}n a 是以13为公差的等差数列，所以333155315()552a a a a a S a ===+，故答案为：1514．已知等差数列{}n a 满足412a a a =+，且10a ≠，则513a a a =+______． 【答案】1 【详解】因为412a a a =+，所以1113a d a a d +=++，即12a d =. 因为10a ≠，则0d ≠，所以51131146126a a d da a a a d d+===+++. 故答案为：1 四、解答题15．已知数列{}n a 为公差不为零的等差数列，其前n 项和为n S ，1712a a +=，525S =. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)令[]2log n n c a =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，求1220c c c +++的值．【答案】(1)2n a n =+(2)61 【解析】(1)设数列{}n a 为公差为d ，1712a a +=，525S =，∵()111612545252a a d a d ⎧++=⎪⎨⨯+=⎪⎩∵13,1a d ==∵数列{}n a 的通项公式为2n a n =+ (2)2n a n =+，则13a =，20162232a <=<，当()22log log 21n n c a n ⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦==+=，则224n ≤+<，可得1n =， 当()22log log 22n n c a n ⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦==+=，则428n ≤+<，可得26n ≤<， 当()22log log 23n n c a n ⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦==+=，则8216n ≤+<，可得614n ≤<，当()22log log 24n n c a n ⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦==+=，则16232n ≤+<，可得1431n ≤<，此时1420n ≤≤.所以，1,12,263,6144,1420n n n c n n =⎧⎪≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≤≤⎩，故1220124384761c c c +++=+⨯+⨯+⨯=16．已知数列{}n a 满足1221(2)nn n a a n -=+-≥，且15a =，2n n na b λ+=，11n n n c b b +=.(1)求实数λ，使得数列{}n b 为等差数列；(2)在（1）的条件下，设数列{}n c 的前n 项和为n T ，求n T 的取值范围【答案】(1)1λ=-(2)1162n T ≤<【解析】(1)若存在实数λ,使得数列{}n b 为等差数列,则1122n n n n a a λλ--++-必是与n 无关的常数 又1112211122222n n n n n n n n n na a a a λλλλλ---++----+-===- 所以1λ=-,经检验,符合题意 所以1λ=- (2)由（1）知数列{}n b 是等差数列,其首项为2,公差为1,则1n b n =+ 所以111(1)(2)12n c n n n n ==-++++所以111111111233412222n T n n n =-+-++-=-<+++ 又n T 递增所以11111122236n T T n =-=-=+ 所以1162n T <。

专题7.4 数列求和（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1．结合具体问题的计算，考查等差、等比数列的通项公式与前n 项和公式，凸显数学运算的核心素养． 2．与实际应用问题、数学文化相结合，考查数列的应用，凸显数学建模的核心素养． 3.考查各种数列的求和，凸显逻辑推理、数学运算及数学应用等核心素养.【知识点展示】（一）数列的求和公式1. 等差数列的前和的求和公式：. 2．等比数列前n 项和公式 一般地，设等比数列的前项和是，当时，qq a S n n --=1)1(1或11n n a a qS q -=-；当1q =时，1na S n =（错位相减法）. 3. 常见数列前项和①重要公式：（1）123n ++++=（2）()13521n ++++-=n 11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+123,,,,,n a a a a n =n S 123n a a a a ++++1≠q n 1nk k ==∑2)1(+n n 1(21)nk k =-=∑2n（3）（4） ②等差数列中，m n m n S S S mnd +=++；③等比数列中，n mm n n m m n S S q S S q S +=+=+.（二）几种数列求和的常用方法(1)分组求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．(2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消(注意消项规律)，从而求得前n 项和．裂项时常用的三种变形： ①111(1)1n n n n =-++；②1111()(21)(21)22121n n n n =--+-+；=(3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n 项和即可用错位相减法求解．(4)倒序相加法：如果一个数列{a n }与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解．(5)并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解．例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12 ＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.【常考题型剖析】题型一：公式法求和例1.（2021·全国高二单元测试）数学中有各式各样富含诗意的曲线，螺旋线就是其中比较特别的一类．螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”．小明对螺旋线有着浓厚的兴趣，用以下方法画出了如图所示的螺旋线．具体作法是：先作边长为1的正三角形ABC ，分别记射线AC ，BA ，CB 为1l ，2l ，3l ，以C 为圆心、CB 为半径作劣弧1BC 交1l 于点1C ；以A 为圆心、1AC 为半径作劣弧11C A 交2l 于点1A ；以B 为31nk k ==∑2333)1(2121⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+++n n n 21nk k ==∑)12)(1(613212222++=++++n n n n圆心、1BA 为半径作劣弧11A B 交3l 于点1B ，依此规律，就得到了一系列圆弧形成的螺旋线．记劣弧1BC 的长，劣弧11C A 的长，劣弧11A B 的长，…依次为1a ，2a ，3a ，…，则129a a a +++=______．【答案】30π 【分析】根据给定条件，确定这些劣弧的半径从小到大排成一列得等差数列，再利用前n 项和公式计算即得. 【详解】依题意，这些劣弧的半径从小到大排成一列得等差数列，首项为1，公差为1，则第n 个劣弧的半径长为n ， 因每个劣弧的圆心角均为2π3，于是得第n 个劣弧的弧长2π2π33n n a n =⋅=，所以()1292π2π91012930π332a a a ⨯+++=+++=⨯=． 故答案为：30π例2．（2017·北京·高考真题（文））已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足a 1=b 1=1,a 2+a 4=10,b 2b 4=a 5． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求和：13521n b b b b -++++…．【答案】（1）an =2n −1.（2）312n - 【解析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）设等差数列的公差为d ，代入建立方程进行求解；（Ⅱ）由{}n b 是等比数列，知{}21n b -依然是等比数列，并且公比是2q ，再利用等比数列求和公式求解. 试题解析：（Ⅰ）设等差数列{an }的公差为d . 因为a 2+a 4=10，所以2a 1+4d =10. 解得d =2. 所以an =2n −1.（Ⅱ）设等比数列的公比为q .因为b 2b 4=a 5，所以b 1qb 1q 3=9.解得q 2=3. 所以2212113n n n b b q---==.从而21135213113332n n n b b b b ---++++=++++=. 【总结提升】关键是明确数列类型，正确计算公式所需元素，选用公式加以计算. 题型二：分组求和与并项求和例3.（2022·四川省内江市第六中学模拟预测（理））已知数列{}n a 满足12a =，24a =，2(1)3+-=-+nn n a a ，则数列{}n a 的前20项和为___________. 【答案】330 【解析】 【分析】分别讨论n 为奇数时，数列{}21n a -的通项公式与n 为偶数时，数列{}2n a 的通项公式，再利用分组求和法代入求和即可. 【详解】由题意，当n 为奇数时，2(1)32n n a a +-=-+=， 所以数列{}21n a -是公差为2，首项为2的等差数列， 所以2122(1)2n n a n -=+-=， 当n 为偶数时，2134n n a a +-=+=，所以数列{}2n a 是公差为4，首项为4的等差数列， 所以244(1)4n n n a =+-=，()()20122013192420......S a a a a a a a a a =+++=+++++++10(220)10(440)(2420)(4840)33022++=+++++++=+=， 故答案为：330例4.（2016·天津·高考真题（文））已知{}n a 是等比数列，前n 项和为()n S n N *∈，且6123112,63S a a a -==.（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若对任意的,n n N b *∈是2log n a 和21log n a +的等差中项，求数列(){}21nn b -的前2n 项和.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）22n【解析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）先由，解得，分别代入616(1)631a q S q-==-，得，；（Ⅱ）先根据等差中项得，再利用分组求和法求和：.试题解析：（Ⅰ）解：设数列的公比为，由已知，有，解得2,1q q ==-或.又由6611631q S a q-=⋅=-，知，所以61126312a -⋅=-，得，所以.（Ⅱ）解：由题意，得，即是首项为，公差为的等差数列. 设数列的前项和为，则例5．（2018·天津高考真题（文））设{a n }是等差数列，其前n 项和为S n （n ∈N *）；{b n }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为T n （n ∈N *）．已知b 1=1，b 3=b 2+2，b 4=a 3+a 5，b 5=a 4+2a 6． （Ⅰ）求S n 和T n ；（Ⅱ）若S n +（T 1+T 2+…+T n ）=a n +4b n ，求正整数n 的值． 【答案】(Ⅰ)()12n n n S +=，21nn T =-；(Ⅱ)4. 【解析】（I ）设等比数列{}n b 的公比为q ，由b 1=1，b 3=b 2+2，可得220q q --=．因为0q >，可得2q，故12n n b -=．所以，122112nn n T -==--．设等差数列{}n a 的公差为d ．由435b a a =+，可得134a d +=．由5462b a a =+，可得131316,a d +=从而11,1a d ==，故n a n =，所以，(1)2n n n S +=． （II ）由（I ），有131122(12)(222)=2 2.12n nn n T T T n n n +⨯-+++=+++--=---由12()4n n n n S T T T a b ++++=+,可得11(1)2222n n n n n n ++++--=+， 整理得2340,n n --=解得1n =-（舍），或4n =．所以n 的值为4． 【总结提升】分组转化法求和的常见类型(1)若n n n a b c ±＝，且{}{}n n b c ，为等差或等比数列，则可采用分组求和法求{n a }的前n 项和． (2)通项公式为,n n n b n a c n ⎧⎨⎩为奇数＝，为偶数的数列，其中数列{}{}n n b c ，是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．主要有分段型（如,2,n nn n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数），符号型（如2(1)n n a n =-），周期型（如πsin 3n n a =）. 提醒：注意在含有字母的数列中要对字母进行分类讨论． 题型三：裂项相消法求和例6．（2017·全国·高考真题（理））等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则11nk kS ==∑____________． 【答案】21nn + 【解析】 【详解】设等差数列的首项为1a ，公差为d ，由题意有1123434102a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩ ， 数列的前n 项和()()()111111222n n n n n n n S na d n --+=+=⨯+⨯=，裂项可得12112()(1)1kS k k k k ==-++， 所以1111111122[(1)()()]2(1)223111nk k n S n n n n ==-+-++-=-=+++∑． 例7.（2023·全国·高三专题练习）数列{}n a 的各项均为正数，n S 为其前n 项和，对于任意的*N n ∈，总有n a ，n S ，2n a 成等差数列，又记21231n n n b a a ++=⋅，数列{}n b 的前n 项和n T =______．【答案】69nn + 【解析】 【分析】先根据等差中项可得22n n n S a a =+，再利用n a 和n S 的关系可得11n n a a --=，进而求得n a n =，所以212311111()(21)(23)22123n n n b a a n n n n ++===-⋅++++，利用裂项相消求和即可.【详解】由对于任意的*N n ∈，总有n a ，n S ，2n a 成等差数列可得：22n n n S a a =+，当2n ≥时可得21112n n n S a a ---=+，所以22111222n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+--，所以22110n n n n a a a a -----=，所以11()(1)0n n n n a a a a --+--=， 由数列{}n a 的各项均为正数， 所以11n n a a --=，又1n =时20n n a a -=，所以11a =，所以n a n =， 212311111()(21)(23)22123n n n b a a n n n n ++===-⋅++++，1111111111()()235572123232369n nT n n n n =-+-+-=-=++++. 故答案为：69n n +.例8. （2018·天津·高考真题（理））设{}n a 是等比数列，公比大于0，其前n 项和为()*n S n N ∈，{}n b 是等差数列.已知11a =，322a a =+，435a b b =+，5462a b b =+.（I ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（II ）设数列{}n S 的前n 项和为()*n T n N ∈，（i ）求n T ；（ii ）证明()()()()22*122122n nk k k k T b b n N k k n ++=+=-∈+++∑. 【答案】(Ⅰ)12n n a -=，n b n =；(Ⅱ)（i ）122n n T n +=--.（ii ）证明见解析.【解析】【详解】分析：（I ）由题意得到关于q 的方程，解方程可得2q =，则12n n a -=.结合等差数列通项公式可得.n b n =（II ）（i ）由（I ），有21nn S =-，则()112122nk n n k T n +==-=--∑.（ii ）因为()()()212221221k k k k k T b b k k k k ++++=-++++，裂项求和可得()()()22122122n nk k k k T b b k k n ++=+=-+++∑. 详解：（I ）设等比数列{}n a 的公比为q.由1321,2,a a a ==+可得220q q --=.因为0q >，可得2q =，故12n n a -=.设等差数列{}n b 的公差为d ，由435a b b =+，可得13 4.b d += 由5462a b b =+，可得131316,b d += 从而11,1,b d == 故.n b n =所以数列{}n a 的通项公式为12n n a -=，数列{}n b 的通项公式为.n b n =（II ）（i ）由（I ），有122112nn n S -==--，故()()1112122122212nnnkkn n k k T n n n +==⨯-=-=-=-=---∑∑.（ii ）因为()()()()()()()()1121222222212121221k k k k k k k k k k T b b k k k k k k k k k +++++--+++⋅===-++++++++， 所以()()()32432122122222222123243212n n n nk k k k T b b k k n n n ++++=+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪⎪+++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑. 【总结提升】1.裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．2.消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项． 题型四：错位相减法求和例9. （2020·天津·高考真题）已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，()()115435431,5,4a b a a a b b b ===-=-． （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，求证：()2*21n n n S S S n ++<∈N ；（Ⅲ）对任意的正整数n ，设()21132,,,.n nn n n n n a b n a a c a n b +-+⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数求数列{}n c 的前2n 项和．【答案】（Ⅰ）n a n =，12n n b -=；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）465421949n n n n +--+⨯. 【解析】 【分析】(Ⅰ)由题意分别求得数列的公差、公比，然后利用等差、等比数列的通项公式得到结果； (Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论首先求得数列{}n a 前n 项和，然后利用作差法证明即可；(Ⅲ)分类讨论n 为奇数和偶数时数列的通项公式，然后分别利用指数型裂项求和和错位相减求和计算211nk k c -=∑和21nk k c =∑的值，据此进一步计算数列{}n c 的前2n 项和即可.【详解】(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q . 由11a =，()5435a a a =-，可得d =1.从而{}n a 的通项公式为n a n =.由()15431,4b b b b ==-， 又q ≠0，可得2440q q -+=，解得q =2，从而{}n b 的通项公式为12n n b -=.(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得(1)2n n n S +=， 故21(1)(2)(3)4n n S S n n n n +=+++，()()22211124n S n n +=++， 从而2211(1)(2)02n n n S S S n n ++-=-++<，所以221n n n S S S ++<.(Ⅲ)当n 为奇数时，()111232(32)222(2)2n n n n n n n n a b n c a a n n n n-+-+--===-++，当n 为偶数时，1112n n n n a n c b -+-==，对任意的正整数n ，有222221112221212121k k nnnk k k c k k n --==⎛⎫=-=- ⎪+-+⎝⎭∑∑， 和223111211352321444444nnk kn n k k k n n c -==---==+++++∑∑① 由①得22314111352321444444n k n n k n n c +=--=+++++∑ ② 由①②得22111211312221121441444444414n nk n n n k n n c ++=⎛⎫- ⎪--⎝⎭=+++-=---∑， 由于11211121221121156544144334444123414n n n n n n n n ++⎛⎫- ⎪--+⎝⎭--=-⨯--⨯=-⨯-， 从而得：21565994nk nk n c =+=-⨯∑. 因此，2212111465421949n nnnk k k nk k k n c c c n -===+=+=--+⨯∑∑∑. 所以，数列{}n c 的前2n 项和为465421949n nn n +--+⨯. 例10.（2017·天津·高考真题（文））已知{}n a 为等差数列，前n 项和为*()n S n N ∈，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2334111412,2,11b b b a a S b +==-=. （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列2{}n n a b 的前n 项和*()n N ∈.【答案】（Ⅰ）32n a n =-. 2n n b =.（Ⅱ）2(34)216n n +-+.【解析】 【详解】试题分析：根据等差数列和等比数列通项公式及前n 项和公式列方程求出等差数列首项1a 和公差d 及等比数列的公比q ，写出等差数列和等比孰劣的通项公式，利用错位相减法求出数列的和，要求计算要准确.试题解析：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q .由已知2312b b +=，得()2112b q q +=，而12b =，所以260q q +-=.又因为0q >，解得2q =.所以，2n n b =.由3412b a a =-，可得138d a -=①.由11411S b =，可得1516a d +=②，联立①②，解得11,3a d ==，由此可得32n a n =-.所以，{}n a 的通项公式为32n a n =-，{}n b 的通项公式为2n n b =.（Ⅱ）解：设数列2{}n n a b 的前n 项和为n T ，由262n a n =-，有()2342102162622n n T n =⨯+⨯+⨯++-⨯， ()()2341242102162682622n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯，上述两式相减，得()23142626262622n n n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯ ()()()12121246223421612nn n n n ++⨯-=---⨯=----.得()234216n n T n +=-+.所以，数列2{}n n a b 的前n 项和为()234216n n +-+.例11.（2018·浙江·高考真题）已知等比数列{an }的公比q >1，且a 3+a 4+a 5=28，a 4+2是a 3，a 5的等差中项．数列{bn }满足b 1=1，数列{（bn +1−bn ）an }的前n 项和为2n 2+n ．（Ⅰ）求q 的值；（Ⅱ）求数列{bn }的通项公式．【答案】（Ⅰ）2q；（Ⅱ）2115(43)()2n n b n -=-+⋅. 【解析】【分析】分析:（Ⅰ）根据条件、等差数列的性质及等比数列的通项公式即可求解公比；（Ⅱ）先根据数列1{()}n n n b b a +-前n 项和求通项，解得1n n b b +-，再通过叠加法以及错位相减法求n b .【详解】详解：（Ⅰ）由42a +是35,a a 的等差中项得35424a a a +=+，所以34543428a a a a ++=+=，解得48a =. 由3520a a +=得1820q q ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 因为1q >，所以2q .（Ⅱ）设()1n n n n c b b a +=-，数列{}n c 前n 项和为n S .由11,1,, 2.n nn S n c S S n -=⎧=⎨-≥⎩解得41n c n =-. 由（Ⅰ）可知12n n a ，所以()111412n n n b b n -+⎛⎫-=-⋅ ⎪⎝⎭， 故()21145,22n n n b b n n --⎛⎫-=-⋅≥ ⎪⎝⎭，()()()()11123221n n n n n b b b b b b b b b b ----=-+-++-+- ()()23111454973222n n n n --⎛⎫⎛⎫=-⋅+-⋅++⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 设()22111371145,2222n n T n n -⎛⎫⎛⎫=+⋅+⋅++-⋅≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()2211111137494522222n n n T n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅++-⋅+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以()2211111134444522222n n n T n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅+⋅++⋅--⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 因此()211443,22n n T n n -⎛⎫=-+⋅≥ ⎪⎝⎭，又11b =，所以()2115432n n b n -⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭.【温馨提醒】1.使用“错位相减法”的方法步骤：2.特别提醒：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.3.在历年高考命题中，“错位相减法”为高频考查内容.题型五：倒序相加法求和例12．（2022·湖南岳阳·二模）德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称，在历史上有很大的影响.他幼年时就表现出超人的数学天赋，10岁时，他在进行123100++++的求和运算时，就提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法.已知某数列通项21002101n n a n -=-，则12100...a a a +++=（ ） A ．98B ．99C ．100D ．101 【答案】C 【解析】【分析】观察要求解的式子，根据给的数列的通项公式，计算101n n a a -+是否为定值，然后利用倒序相加的方法求解即可.【详解】 由已知，数列通项21002101n n a n -=-，所以10121002(101)100210010224202221012(101)101210110122101n n n n n n n a a n n n n n -------+=+=+==------， 所以91110029398012n n a a a a a a a a -+=+=+==+，所以12100...502100a a a +++=⨯=.故选：C.例13．（2022·黑龙江齐齐哈尔·三模（文））已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1211121n n S S S n ++⋅⋅⋅+=+，设函数()1cos π2f x x =+，则32021122022202220222022a a a a f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭______． 【答案】20212##1010.5 【解析】【分析】 根据1211121n n S S S n ++⋅⋅⋅+=+可求n S ，从而可求n a .易验证()()11f x f x +-=，故可采用倒序相加法求题设式子的值．【详解】 ∵1211121n n S S S n ++⋅⋅⋅+=+①， ∴当2n ≥时，()12121111n n S S S n--++⋅⋅⋅+=②， ①－②得()121n S n n =+，∴()()122n n n S n +=≥； 当1n =时，111S =，∴11S =，此时()12n n n S +=仍然成立， ∴()()*12n n n S n +=∈N ． ∴当n =1时，111a S ==；当2n ≥时，()()11122n n n n n n n a S S n -+-=-=-=， 当n =1时，上式也成立，故n a n =()*n ∈N ． 由于()()()111cos πcos ππ122f x f x x x +-=++-+=， 设32021122022202220222022a a a a S f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 12320212022202220222022f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭则1202122020202112202220222022202220222022S f f f f f f ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦2021=， ∴20212S =． 故答案为：20212． 【总结提升】注意观察数列（函数）特征：如果一个数列{a n}与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解．。

第3节 等比数列及其前n 项和考试要求 1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式.3.了解等比数列与指数函数的关系.1.等比数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列.数学语言表达式：a na n －1＝q (n ≥2，q 为非零常数).(2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项.那么Ga ＝b G，即G 2＝ab . 2. 等比数列的通项公式及前n 项和公式(1)若等比数列{a n }的首项为a 1，公比是q ，则其通项公式为a n ＝a 1q n －1； 通项公式的推广：a n ＝a m q n －m .(2)等比数列的前n 项和公式：当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q 1－q .3.等比数列的性质已知{a n }是等比数列，S n 是数列{a n }的前n 项和. (1)若k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则有a k ·a l ＝a m ·a n .(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m .(3)当q ≠－1，或q ＝－1且n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…仍成等比数列，其公比为q n .1.若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则数列{c ·a n }(c ≠0)，{|a n |}，{a 2n}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1an ，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 也是等比数列.2.由a n ＋1＝qa n ，q ≠0，并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0.3.在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形而导致解题失误.4.三个数成等比数列，通常设为xq ，x ，xq ；四个符号相同的数成等比数列，通常设为x q 3，xq ，xq ，xq 3.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)等比数列的公比q 是一个常数，它可以是任意实数.( ) (2)三个数a ，b ，c 成等比数列的充要条件是b 2＝ac .( )(3)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n，则其前n 项和为S n ＝a （1－a n ）1－a.( )(4)数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列.( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)× 解析 (1)在等比数列中，q ≠0.(2)若a ＝0，b ＝0，c ＝0满足b 2＝ac ，但a ，b ，c 不成等比数列. (3)当a ＝1时，S n ＝na .(4)若a 1＝1，q ＝－1，则S 4＝0，S 8－S 4＝0，S 12－S 8＝0，不成等比数列. 2.(2021·北京一模)已知等比数列{a n }的公比q ＝－2，前6项和S 6＝21，则a 6＝( ) A.－32 B.－16C.16D.32答案 D解析 因为q ＝－2，S 6＝21，则有S 6＝a 1[1－（－2）6]1＋2＝a 1（－63）3＝－21a 1＝21，即a 1＝－1，所以a 6＝a 1q 5＝(－1)×(－2)5＝32.3.(2021·全国甲卷)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若S 2＝4，S 4＝6，则S 6＝( ) A.7 B.8 C.9 D.10答案 A解析 易知S 2，S 4－S 2，S 6－S 4构成等比数列，由等比中项得S 2(S 6－S 4)＝(S 4－S 2)2，即4(S 6－6)＝22，所以S 6＝7.4.若{a n }是公比为q (q ≠0)的等比数列，记S n 为{a n }的前n 项和，则下列说法不正确的是( )A.若a 1＞0，0＜q ＜1，则{a n }为递减数列B.若a 1＜0，0＜q ＜1，则{a n }为递增数列C.若q ＞0，则S 4＋S 6＞2S 5D.若b n ＝1a n，则{b n }是等比数列答案 C解析 A ，B 显然是正确的；C 中，若a 1＝1，q ＝12，则a 6＜a 5，即S 6－S 5＜S 5－S 4，故C 错误； D 中，b n ＋1b n ＝a n a n ＋1＝1q (q ≠0)，∴{b n }是等比数列.5.(2022·全国百校大联考)已知在等比数列{a n }中，a 1a 3a 11＝8，则a 2a 8＝________. 答案 4解析 设公比为q ，则a n ＝a 1q n －1， 则a 1·a 1q 2·a 1q 10＝8，所以a 31q 12＝8，所以a 1q 4＝2， 所以a 2a 8＝a 1q ·a 1q 7＝a 21q 8＝(a 1q 4)2＝4.6.(易错题)已知在等比数列{a n }中，a 3＝7，前三项之和S 3＝21，则公比q 的值是________.答案 1或－12解析 当q ＝1时，a 3＝7，S 3＝21，符合题意； 当q ≠1时，⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝7，a 1（1－q 3）1－q ＝21，得q ＝－12.综上，q 的值是1或－12.考点一 等比数列基本量的运算1.已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5＝3a 3＋4a 1，则a 3＝( ) A.16 B.8 C.4 D.2答案 C解析 设等比数列{a n }的公比为q ， 由a 5＝3a 3＋4a 1得q 4＝3q 2＋4，得q 2＝4. 因为数列{a n }的各项均为正数，所以q ＝2. 又a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 1(1＋q ＋q 2＋q 3) ＝a 1(1＋2＋4＋8)＝15， 所以a 1＝1，所以a 3＝a 1q 2＝4.2.(2020·全国Ⅱ卷)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若a 5－a 3＝12，a 6－a 4＝24，则S na n＝( )A.2n －1B.2－21－nC.2－2n －1D.21－n －1答案 B解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则q ＝a 6－a 4a 5－a 3＝2412＝2.所以S n a n＝a 1（1－2n ）1－2a 12n －1＝2n －12n －1＝2－21－n . 3.设S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若a 1＝13，a 24＝a 6，则S 5＝________. 答案1213解析 由a 24＝a 6得(a 1q 3)2＝a 1q 5，整理得q ＝1a 1＝3.所以S 5＝a 1（1－q 5）1－q ＝13（1－35）1－3＝1213.4.(2020·新高考海南卷)已知公比大于1的等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＝8. (1)求{a n }的通项公式；(2)求a 1a 2－a 2a 3＋…＋(－1)n －1a n a n ＋1. 解 (1)设{a n }的公比为q (q >1)， 且a 2＋a 4＝20，a 3＝8.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＋a 1q 3＝20，a 1q 2＝8消去a 1，得q ＋1q ＝52，则q ＝2，或q ＝12(舍).因此q ＝2，a 1＝2， 所以{a n }的通项公式a n ＝2n .(2)易知(－1)n －1a n a n ＋1＝(－1)n －1·22n ＋1， 则数列{(－1)n －122n ＋1}公比为－4.故a 1a 2－a 2a 3＋…＋(－1)n －1·a n a n ＋1 ＝23－25＋27－29＋…＋(－1)n －1·22n ＋1 ＝23[1－（－4）n ]1＋4＝85[1－(－4)n ]＝85－(－1)n ·22n ＋35.感悟提升 1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解.2.等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，当q ＝1时，{a n }的前n 项和S n ＝na 1；当q ≠1时，{a n }的前n 项和S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q1－q .考点二 等比数列的判定与证明例1 S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知a 4＝9a 2，S 3＝13，且公比q >0. (1)求a n 及S n ；(2)是否存在常数λ，使得数列{S n ＋λ}是等比数列？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由. 解 (1)易知q ≠1，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝9a 1q ，a 1（1－q 3）1－q＝13，q >0，解得a 1＝1，q ＝3，∴a n ＝3n －1，S n ＝1－3n 1－3＝3n －12.(2)假设存在常数λ，使得数列{S n ＋λ}是等比数列，∵S 1＋λ＝λ＋1，S 2＋λ＝λ＋4，S 3＋λ＝λ＋13， ∴(λ＋4)2＝(λ＋1)(λ＋13)，解得λ＝12， 此时S n ＋12＝12×3n ，则S n ＋1＋12S n ＋12＝12×3n ＋112×3n ＝3，故存在常数λ＝12，使得数列{S n ＋12}是以32为首项，3为公比的等比数列. 感悟提升 1.证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.2.在利用递推关系判定等比数列时，要注意对n ＝1的情形进行验证. 训练1 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＋S n ＝n . (1)设c n ＝a n －1，求证：{c n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式. (1)证明 ∵a n ＋S n ＝n ①， ∴a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1②. ②－①得a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝1， 所以2a n ＋1＝a n ＋1，∴2(a n ＋1－1)＝a n －1，又a 1＋a 1＝1， 所以a 1＝12，∴a 1－1＝－12≠0， 因为a n ＋1－1a n －1＝12，∴c n ＋1c n ＝12.故{c n }是以c 1＝a 1－1＝－12为首项，12为公比的等比数列. (2)解 由(1)知c n ＝－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n.∵c n ＝a n －1，∴a n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n.考点三 等比数列的性质及应用 角度1 项与和的性质例 2 (1)若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1a 10＝9，则log 9a 1＋log 9a 2＋…＋log 9a 10＝( ) A.6 B.5 C.4D.1＋log 352(2)(2021·衡水模拟)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10＝1，S 30＝7，则S 40＝________. 答案 (1)B (2)15解析 (1)log 9a 1＋log 9a 2＋…＋log 9a 10＝log 9[(a 1a 10)·(a 2a 9)·(a 3a 8)·(a 4a 7)·(a 5a 6)]＝log 995＝5，故选B.(2)∵等比数列{a n }的前n 项和为S 10＝1，S 30＝7， ∴S 10、S 20－S 10、S 30－S 20、S 40－S 30成等比数列， 即1、S 20－1、7－S 20、S 40－7成等比数列，∴(S 20－1)2＝1×(7－S 20)，解得S 20＝3或S 20＝－2(舍)， 所以1、2、4、S 40－7成等比数列， 所以S 40－7＝8，解得S 40＝15. 角度2 等比数列的最值例3 数列{a n }的前n 项和为S n ，且3a n ＋S n ＝4(n ∈N *)，设b n ＝na n ，则数列{b n }的项的最大值为( ) A.8164 B.2716C.32D.2答案 B解析 由条件可知：3a n ＋S n ＝4，3a n －1＋S n －1＝4(n ≥2).相减，得a n ＝34a n －1. 又3a 1＋S 1＝4a 1＝4，故a 1＝1. 则a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －1，b n ＝n ⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －1.设{b n }中最大的项为b n ，则⎩⎪⎨⎪⎧b n ≥b n －1，b n ≥b n ＋1.即⎩⎨⎧n ⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －1≥（n －1）⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －2，n ⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －1≥（n ＋1）⎝ ⎛⎭⎪⎫34n.解之得3≤n ≤4.∴{b n }的项的最大值为b 3＝b 4＝2716.感悟提升 (1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n 项和公式的变形.根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.(2)涉及等比数列的单调性与最值的问题，一般要考虑公比与首项的符号对其的影响.训练2 (1)公比不为1的等比数列{a n }满足a 5a 6＋a 4a 7＝8，若a 2a m ＝4，则m 的值为( ) A.8B.9C.10D.11(2)(2022·成都诊断)已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 8－2S 4＝5，则a 9＋a 10＋a 11＋a 12的最小值为( ) A.25B.20C.15D.10(3)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝________. 答案 (1)B (2)B (3)73解析 (1)∵公比不为1的等比数列{a n }满足a 5a 6＋a 4a 7＝8，∴a 5a 6＝a 4a 7＝4，由a 2a m ＝4， ∴2＋m ＝5＋6＝11，解得m ＝9. (2)在正项等比数列{a n }中，S n >0， 因为S 8－2S 4＝5，则S 8－S 4＝5＋S 4， 易知S 4，S 8－S 4，S 12－S 8是等比数列， 所以(S 8－S 4)2＝S 4·(S 12－S 8)，所以S 12－S 8＝（S 4＋5）2S4＝25S 4＋S 4＋10≥225S 4·S 4＋10＝20(当且仅当S 4＝5时取等号) 因为a 9＋a 10＋a 11＋a 12＝S 12－S 8，所以a 9＋a 10＋a 11＋a 12的最小值为20. (3)法一 由等比数列的性质知，S 3，S 6－S 3，S 9－S 6仍成等比数列， 由已知得S 6＝3S 3，所以S 6－S 3S 3＝S 9－S 6S 6－S 3，即S 9－S 6＝4S 3，S 9＝7S 3，所以S 9S 6＝73.法二 因为{a n }为等比数列，由S 6S 3＝3，设S 6＝3a ，S 3＝a ，所以S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等比数列，即a ，2a ，S 9－S 6成等比数列，所以S 9－S 6＝4a ，解得S 9＝7a ，所以S 9S 6＝7a 3a ＝73.等比数列前n 项和性质的延伸在等比数列{a n }中，S n 表示{a n }的前n 项和，{a n }的公比为q ， 1.当S n ≠0时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…成等比数列(n ∈N *). 2.S n ＋m ＝S n ＋q n S m ，特别地S 2n ＝S 奇＋qS 奇.例 (1)已知等比数列{a n }共有2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝________.(2)已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为________.答案 (1)2 (2)3116解析 (1)由题设，S 偶＝S 奇－80，S 2n ＝－240.∴⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋qS 奇＝－240，qS 奇＝S 奇－80，∴⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＝－80，q ＝2.(2)设等比数列{a n }的公比q ，易知S 3≠0.则S 6＝S 3＋S 3q 3＝9S 3，所以q 3＝8，q ＝2.所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1，公比为12的等比数列，其前5项和为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝3116.1.设b ∈R ，数列{a n }的前n 项和S n ＝3n ＋b ，则( )A.{a n }是等比数列B.{a n }是等差数列C.当b ＝－1时，{a n }是等比数列D.当b ≠－1时，{a n }是等比数列答案 C解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋b ，当n ≥2，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋b )－(3n －1＋b )＝2·3n －1，当b ＝－1时，a 1＝2适合a n ＝2·3n －1，{a n }为等比数列.当b ≠－1时，a 1不适合a n ＝2·3n －1，{a n }不是等比数列.2.已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q 等于( )A.－12B.－2C.2D.12答案 D 解析 由题意知q 3＝a 5a 2＝18，即q ＝12. 3.(2022·郑州模拟)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2＝－8，a 7＝14，则S 6＝( )A.－212B.152C.212D.632 答案 C解析 设等比数列{a n }公比为q ，则a 7＝a 2q 5，又a 2＝－8，a 7＝14，∴q ＝－12，故a 1＝16，又S n ＝a 1（1－q n ）1－q， 即S 6＝16×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1261－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝16×636432＝212.4.(2021·安庆三模)某工厂生产A 、B 、C 三种产品的数量刚好构成一个公比为q (q ≠1)的等比数列，现从全体产品中按分层随机抽样的方法抽取一个样本容量为260的样本进行调查，其中C 产品的数量为20，则抽取的A 产品的数量为( )A.100B.140C.180D.120答案 C解析 ∵A 、B 、C 三种产品的数量刚好构成一个公比为q 的等比数列，C 产品的数量为20，∴A 产品的数量为20q 2，B 产品的数量为20q， ∵样本容量为260，∴20q 2＋20q ＋20＝260，解得q ＝13或－14(舍去)，q ＝13，则A 产品的数量为20q 2＝2019＝180，故选C.5.(2021·全国甲卷)等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n .设甲：q ＞0，乙：{S n }是递增数列，则( )A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件答案 B解析 当a 1＜0，q ＞1时，a n ＝a 1q n －1＜0，此时数列{S n }递减，所以甲不是乙的充分条件.当数列{S n }递增时，有S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝a 1q n ＞0，若a 1＞0，则q n ＞0(n ∈N *)，即q ＞0；若a 1＜0，则q n ＜0(n ∈N *)，不存在这样的q ，所以甲是乙的必要条件.综上，甲是乙的必要条件但不是充分条件.6.(2021·西安调研)已知数列{a n }为各项均为正数的等比数列，S n 是它的前n 项和，若a 1a 7＝4，且a 4＋2a 7＝52，则S 5＝( )A.32B.31C.30D.29 答案 B解析 由a 1a 7＝a 24＝4，且a n >0，得a 4＝2，又a 4＋2a 7＝52，所以a 4(1＋2q 3)＝52，解得q ＝12，从而a 1＝16.故S 5＝16⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝31.7.(2022·郑州期末)朱载堉(1536－1611)是中国明代一位杰出的律学家、数学家和历学家，他的著作《律学新说》中制作了最早的“十二平均律”.十二平均律是目前世界上通用的把一组音(八度)分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”，即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍.设第三个音的频率为f 1，第七个音的频率为f 2，则f 2f 1＝______.答案 213解析 由题意知，可以将每个音的频率看作等比数列{a n }中的项，一共13项，且a n ＋1a n ＝q ，∵最后一个音是最初那个音的频率的2倍，∴a 13＝2a 1，即a 1q 12＝2a 1，可得q 12＝2，∴f 2f 1＝a 7a 3＝a 1q 6a 1q 2＝q 4＝(q 12)13＝213， ∴f 2f 1＝213. 8.(2021·河南六市联考)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝7，S 6＝63，则a 1＝________.答案 1解析 由于S 3＝7，S 6＝63知公比q ≠1，又S 6＝S 3＋q 3S 3，得63＝7＋7q 3.∴q 3＝8，q ＝2.由S 3＝a 1（1－q 3）1－q ＝a 1（1－8）1－2＝7，得a 1＝1. 9.(2022·上海外国语附中月考)设数列{x n }满足log a x n ＋1＝1＋log a x n (a ＞0，a ≠1)，若x 1＋x 2＋…＋x 100＝100，则x 101＋x 102＋…＋x 200＝________. 答案 100a 100解析 ∵log a x n ＋1＝1＋log a x n (a ＞0，a ≠1)，则1＝log a x n ＋1－log a x n ＝log a x n ＋1x n， ∴x n ＋1x n＝a ， ∴数列{x n }是公比为a 的等比数列，∵x 1＋x 2＋…＋x 100＝100，∴x 101＋x 102＋…＋x 200＝a 100(x 1＋x 2＋…＋x 100)＝100a 100.10.等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3.(1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为{a n }的前n 项和.若S m ＝63，求m .解 (1)设数列{a n }的公比为q ，由题设得a n ＝q n －1.由已知得q 4＝4q 2，解得q ＝0(舍去)，q ＝－2或q ＝2. 故{a n }的通项公式为a n ＝(－2)n －1或a n ＝2n －1.(2)若a n ＝(－2)n －1，则S n ＝1－（－2）n 3. 由S m ＝63得(－2)m ＝－188，此方程没有正整数解. 若a n ＝2n －1，则S n ＝2n －1.由S m ＝63得2m ＝64，解得m ＝6.综上，m ＝6.11.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足2S n ＝－a n ＋n (n ∈N *).(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －12为等比数列； (2)求数列{a n －1}的前n 项和T n .(1)证明 2S n ＝－a n ＋n ，当n ≥2时2S n －1＝－a n －1＋n －1，两式相减，得2a n ＝－a n ＋a n －1＋1，即a n ＝13a n －1＋13.∴a n －12＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －1－12， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －12为等比数列.(2)解 由2S 1＝－a 1＋1，得a 1＝13， 由(1)知，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －12是以－16为首项，13为公比的等比数列. ∴a n －12＝－16⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ， ∴a n ＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋12， ∴a n －1＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －12， ∴T n ＝－16⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 1－13－n 2 ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1－n 2. 12.若正项等比数列{a n }满足a n a n ＋1＝22n (n ∈N *)，则a 6－a 5的值是( )A. 2B.－16 2C.2D.16 2 答案 D解析 设正项等比数列{a n }的公比为q ＞0，∵a n a n ＋1＝22n (n ∈N *)，∴a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝22（n ＋1）22n ＝4＝q 2，解得q ＝2， ∴a n a n ＋1＝a 2n ×2＝22n ，a n ＞0，解得a n ＝22n －12，则a 6－a 5＝2112－292＝162，故选D.13.(2022·长沙模拟)已知等比数列{a n }中，a 2＝2，a 5＝14，则满足a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1≤212成立的最大正整数n 的值为________.答案 3解析 已知{a n }为等比数列，设其公比为q ，由a 5＝a 2·q 3得，2·q 3＝14，q 3＝18，解得q ＝12，又a 2＝2，∴a 1＝4.∵a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝q 2＝14，∴数列{a n a n ＋1}也是等比数列，其首项为a 1a 2＝8，公比为14. ∴a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝323(1－4－n )≤212，从而有⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ≥164. ∴n ≤3.故n max ＝3.14.(2022·合肥质量检测)已知公比不为1的等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝5，且a 1，a 3，a 2构成等差数列.(1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为{a n }的前n 项和，求使S k ＞238成立的最大正整数k 的值.解 (1)设公比为q .由题意得a 1＋a 2＝2a 3，∴a 1(1＋q －2q 2)＝0，又∵a 1≠0，∴q ＝－12或1(舍)，∵a 1＋a 3＝5，∴a 1(1＋q 2)＝5，∴a 1＝4，∴a n ＝4·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1.(2)S n ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝83⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n . ∵S k ＞238，∴83⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k ＞238， ∴564＜－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k，显然，k 为奇数，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＞564＞464＝⎝ ⎛⎭⎪⎫124. 解得k ≤3，所以满足条件的最大正整数k 的值为3.。

第2节等差数列及其前n 项和最新考纲 1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式; 3•能在具体的问题情境中识别数列的等差关系， 并能用等差数列的有关知识解决 相应的问题；4.了解等差数列与一次函数的关系.I 基础摻断丨回归教材，夯实基础知识梳理1. 等差数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么 这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差^公差通常用字母 d表示.数学语言表达式：a n +1 — a n — d(n € N ， d 为常数)，或a n — a n -1 — d(n 》2， d 为常 数).一 a + b ⑵若a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a ，b 的等差中项，且A —=丁.2. 等差数列的通项公式与前n 项和公式(1)若等差数列｛a n ｝的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n — a 1 + (n - 1)d .通项公式的推* a n — a m + (n — m)d(m ，n € N ). (2)等差数列的前n 项和公式 项).3. 等差数列的有关性质已知数列｛a n ｝是等差数列，S 是｛a n ｝的前n 项和.*(1)若 m + n — p + q(m ，n ，p ，q € N )，则有 a m + a n — a p + a q .S n —n (a 1 + a n )2 n (n — 1) 2d(其中n € N *，a 1为首项, d 为公差，a n 为第n(2)等差数列｛a n｝的单调性：当d>0时，｛a n｝是递增数列；当d v0时，｛a n｝是递减数列；当d —0时，｛a n｝是常数列.⑶若｛a n｝是等差数列，公差为d,则a k, a k+ m, a k+2m,…（k, m€ N ）是公差为md 的等差数列.（4）数列S m, S2m- S m, S3m- Mm ,…也是等差数列.4 •等差数列的前n项和公式与函数的关系数列｛a n｝是等差数列？ S n= An2+ Bn （A, B为常数）.5 •等差数列的前n项和的最值在等差数列｛a n｝中，a i> 0, d v 0,贝U S n存在最大值；若a iv 0, d> 0,贝U S n存在最小值.［常用结论与微点提醒］1 .用定义法证明等差数列应注意“从第2项起”，如证明了a n+1-a n= d（n》2）时，应注意验证a2-a i是否等于d,若a2-a i^d,则数列｛a n｝不为等差数列.2. 利用二次函数性质求等差数列前n项和最值时，一定要注意自变量n是正整数.诊断自测1. 思考辨析（在括号内打“V”或“X”）（1）数列｛a n｝为等差数列的充要条件是对任意n€ N*，都有2a n+i二a n+ a n+2.（）（2）等差数列｛a n｝的单调性是由公差d决定的.（）⑶已知数列｛a n｝的通项公式是a n= pn+ q（其中p, q为常数），则数列｛a n｝一定是等差数列.（）（4）数列｛a n｝为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数.（）⑸等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.（）解析（4）若公差d = 0,则通项公式不是n的一次函数.（5）若公差d = 0,则前n项和不是二次函数.答案（1）2⑵V ⑶V （4）X ⑸X2. 在等差数列｛a n｝中，若a2= 4, a4 = 2,则a6等于（）A. - 1B. 0C. 1D. 6解析由等差数列的性质，得a6 = 2a4-a2= 2X2-4 = 0,选B.答案B3. （2017全国I卷）记S n为等差数列｛a n｝的前n项和.若a4 + a5 = 24, S6 = 48, 则｛a n｝的公差为（）A. 1 B . 2 C. 4 D . 8a4 + a5 = 24,解析设｛a n｝的公差为d,由SISs= 48,2a i + 7d = 24,得丫解得d = 4.6a i + 15d= 48,答案C4. （2018宁波十校适应性考试）等差数列｛a n｝的公差d v0,且aja^,则数列｛a n｝的前n项和S n取得最大值时的项数n是（）A. 8 或9 B . 9 或10C. 10或11 D . 11 或12解析由题意知，a〔=i a17，又因为d v 0,所以a1 = —a17,故a1 = —8d, a9= 0, a n= a1 + （n—1）d= （n —9）d,当a n> 0 时，n W 9,所以当n = 8 或9 时，S n 取最大值. 答案A5. （必修5P68A8 改编）在等差数列｛a n｝中，若a3 + a4 + a5 + a6+ a7= 450,则a2+ a8= ________ .解析由等差数列的性质，得a3 + a4 + a5 + a6 + a7= 5a5= 450, •••a5= 90,二a2 + a8 = 2a5= 180.答案1806. （2018湖州调研）设等差数列｛a n ｝的公差是d ,前n 项和是S n .若 ◎ = 1, a 5= 9, 贝U 公差 d = ___ , S n= _____ .、 a 5 — a 1 n （n — 1） 2 解析 公差 d = = 2,前 n 项和 S n = n a 1+ 2 d = n +n （n —1） = n.5— 1 2答案2 n 2 I 考点突破丨分类讲练■、以俺求沱考点一等差数列基本量的运算【例11 (1)(2016全国I 卷)已知等差数列｛a n ｝前9项的和为27, a 10= 8,则ae o =() A . 100B . 99C . 98D . 97⑵(2017全国川卷)等差数列｛a n ｝的首项为1,公差不为0若a 2, a s , a 6成等比数 列，则｛a n ｝前6项的和为( )A . — 24B . — 3C . 3D . 8〔9a 1+ 36d = 27,解析 (1)设等差数列｛a n ｝的公差为d ,由已知，得, a 1 + 9d = 8,所以血=一 1,¥ 所以 a 100= a 1 + 99d =— 1 + 99= 98.l d = 1,X. 1(2)等差数列中a1 = 1,根据题意得即(a i + 2d)2= (a i + d)(a i + 5d),解得d = — 2, d = 0(舍去).6X 5 6 X 5所以数列｛a n ｝的前6项和为6a i + —d = 1X 6 + 〒 X (— 2)= — 24. 答案(1)C (2)A规律方法 (1)等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a i , a n , d , n ,知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题.•76a aa(2) 数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a i和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.【训练11 (1)(—题多解)设等差数列｛a n｝的前n项和为S n, 83= 6, &= 12,贝U S6= .⑵(2015浙•江卷)已知｛a n｝是等差数列，公差d不为零.若a2, a s, a?成等比数列,且 2a i + a 2= 1,贝U a i = _________ , d = ________ . 解析(1)法一 设数列｛a n ｝的首项为a i ,公差为d ,由S 3= 6,53= 3a i + 3d = 6,a i = 0,S 4= 12,可得解得54= 4a i + 6d = 12, d = 2,即 S 6= 6a 1+ 15d = 30.法二 由｛a n ｝为等差数列，故可设前n 项和S n = An 2 + Bn ,= 9A + 3B = 6,由 S 3= 6, S 4= 12,可得I S 4= 16A + 4B = 12,即 S n = n 2— n ,贝U S 6 = 36 — 6 = 30.2 2⑵因为 a 2, a 3, a 7 成等比数列，所以a 3= a 2a 7, 即 (a 〔 + 2d) = (a 〔+ d)(a 1 + 6d), 2=3, d =— 1.考点二 等差数列的判定与证明(变式迁移)【例2】(经典母题)若数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,且满足a n + 2S n Sn -1= 0(n 》2), 1a 1 = 2*(1) 求证：1成等差数列； (2) 求数列｛a n ｝的通项公式.(1) 证明 当 n 》2 时，由 a n + 2S h S n -1 = 0, 1 1得 S n — S n -1 = — 2S n S n -1,所以&—= 2 ,S n S n —1又S =1 = 2,故1是首项为2,公差为2的等差数列. 1 1(2) 解 由(1)可得 S n = 2n , • S n = 当n 》2时,解得21B =—2由于 d M 0,二 a 1 = — 3d , 2a 1 +a = 1, ••• 2a 1 + a 1+ d = 1, 即卩 3a 1 + d = 1,二 a 1 2一3an —®-1 — 2n -2 (n -1) 2n (n -1) 2n (n -1)-n — 1,n — 1 — n当n = 1时, 1a 1—不适合上式. a n 1 2n (n - 1)，nA 2.1【变式迁移1】 将本例条件“ a n + 2SS -1 — 0(n 》2), a 1—㊁”改为“ S n (S n - a n ) + 2a n — 0(n >2), a 〔 — 2”，冋题不变，试求解. (1)证明 当--S n [S n — (S n — S n -1)] + 2(S n — S n -1)= 即 S n S n -1 + 2(Sn — S n -1)— 0. 1 1 1「1 1 1 即 Sn S n -1 2.又 S 1 a 1 2.S 是以首项为2，公差为1的等差数列. 1 n 2故数列(2)解 由(1)知S ； — 2，- S n — n ，当 n A 2 时， 2n (n -1)当n — 1时，a 1 — 2不适合上式，a n — S h -S n -1 —n — 1,故an — i一 、小-3 , n 》2・ 【变式迁移2】 已知数列｛a n ｝满足2a n -1 — a n a n -1 — 1(n 》2), a 1 = 2,证明数列 1a n -1 是等差数列，并求数列｛a n ｝的通项公式.1解当 n A 2 时，a n — 2 — ,a n -11 1 — 1 1 — 1 1 — a n -1 1 a n — 1 a n -1 — 11a n -1 — 1 彳 1a n -1 — 1 a n -1 — 1 a n -1 — 1 a n -1a n -1—卅—K 常数). a n —1 — 11 -- ~ — 1 + （n 一 1） x 1 = n , a n — 1 n + 1 /. a n =n •规律方法 等差数列的四种判断方法:(1) 定义法：对于n 》2的任意自然数，验证a n — a n —1为同一常数. (2) 等差中项法：验证2a n — 1 — a n + a n — 2(n 》3, n € N )都成立. (3) 通项公式法：验证a n — pn + q.(4) 前n 项和公式法：验证S n =An 2+ Bn •后两种方法只能用来判断是否为等差数 列，而不能用来证明等差数列，主要适合在选择题中简单判断.【训练2】(2017江苏卷)对于给定的正整数 k ,若数列｛a n ｝满足：a n -k + a n — k +1 + •••+ a n -1+ a n +1 +…+ a n + k -1+ a n +k — 2ka n ,对任意正整数 n(n>k)总成立，则称 数列｛a n ｝是“ P(k)数列”.(1) 证明：等差数列｛a n ｝是“P(3)数列”；(2) 若数列｛a n ｝既是“ P(2)数列”，又是“ P(3)数列”，证明：｛a n ｝是等差数列. 证明(1)因为｛a n ｝是等差数列，设其公差为d ， 则 a n = a 〔+ (n — 1)d ， 从而，当n 》4时，a n — k + a n +k = a 1 + (n — k — 1)d + a 1 + (n + k — 1)d —2a 1 + 2(n — 1)d = 2a n ， k = 1， 2， 3，所以 a n —3+ a n —2 + a n — 1 + a n +1 + a n + 2+ a n +3 — 6a n ， 因此等差数列｛a n ｝是“P(3)数列”.⑵数列｛a n ｝既是“ P(2)数列”，又是“ P(3)数列”，因此， 当 n 》3 时，a n —2 + a n — 1 + a n +1 + a n + 2— 4a n ，① 当 n 》4 时，a n—3 + a n—2+ a n —1 + a n +1 + a n +2 + an+ 3— 6a n .②以首项为1,公差为1的等差数列.•••数a n由①知，a n-3 + a n-2—4a n-1 —(a n+ a n +1)，③a n +2 + a n +3= 4a n +1 — (a n — 1 + a n ) •④ 将③④代入②，得a n -1+ a n +1 = 2a n ,其中n 》4, 所以a 3, a ；, a 5,…是等差数列，设其公差为 d '. 在①中，取 n = 4,贝U a 2 + a 3 + a 5 + a 6= 4a 4, 所以 a 2= a 3 — d',在①中，取 n = 3,贝U a 1 + a 2 + a 4+ a 5= 4a 3, 所以 a 1 = a 3 — 2d ', 所以数列｛a n ｝是等差数列.考点三等差数列的性质及应用【例3】(1)设S n 是等差数列｛a n ｝的前n 项和，若a 1 + a 3+ a 5 = 3,则Ss =( )A . 5B . 7C . 9D . 11S； 1 S 8⑵(2018浙江名校三联)已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,且&=3,则觅=(3) 已知S 是等差数列｛a n ｝的前n 项和，若a i = — 2 014, ? 0；；- 2 008=6,则S 20仃= ________ .解析 (1) T ｛a n ｝为等差数列，.••a i + a 5= 2a 3，得 3a 3= 3,所以 a 3 = 1, A & =(2) 因为S n 为等差数列｛a n ｝的前n 项和，所以S ；, S 8 — S ;, S 12 — S s , Si 6—S 12也成S ； 1 S 8等差数列，而 S ；= 3,所以 S 8= 3S ；,则(S 8— S ；) — S ;= S ；,则得 S 16= 10S ；,所以S 8 3_ = 10.(3) 由等差数列的性质可得|也为等差数列.S^ 014 S 2 008设其公差为 d ,则2 01；— 2 008= 6d = 6, A d = 1. 故 S017= 1 + 2 016d = — 2 014+ 2 016= 2,1- 31- 25 (a i + a 5)2=5a 3= 5,故选 A.A S2 017= 2X 2 017= 4 034.答案(1)A (2)A (3)4 034规律方法等差数列的性质是解题的重要工具.(1) 在等差数列｛a n｝中，数列S m, S2m一S m , S3m一S2m也成等差数列.(2) 在等差数列｛a n｝中，数列詈也成等差数列.【训练3】(1)若一个等差数列前3项的和为34,最后3项的和为146,且所有项的和为390,则这个数列的项数为()A. 13B. 12C. 11D. 10⑵在等差数列｛a n｝中，若a3 + a4 + a5 + a6 + a7= 25,则a2 + a8 = _______ .解析(1)因为印+ a2+ a3 34, a n -2 + a n— 1 + a n146, a1+ a2 + a3 + a n—2+ a n— 1 + a n= 34 + 146= 180,又因为a1 + a n= a2 + a n—1 = a3 + a n—2,所以3(a1 + a n) = 180,从而a1 + a n= 60,n (a1 + a n) n x 60所以Sn= 2 = —2—= 390，即n= 13.(2)因为｛a n｝是等差数列，所以a3 + a7= a4 + a s = a2 + a8 = 2a5, a3 + a4 + a5 + a6 + a7=5a5= 25,即卩a5= 5, a2 + a8 = 2a5= 10.答案(1)A (2)10考点四等差数列前n项和及其最值【例4】(1)(一题多解)等差数列｛a n｝的前n项和为S n,已知a1= 13, S3= S11,当S n最大时，n的值是()A. 5 B . 6 C. 7 D . 8⑵设数列｛a n｝的通项公式为a n = 2n —10(n€ N*),则閔| + |a2| +…+曲5匸解析(1)法一由S3= S11，得a4 + a5+ ^ + an = 0,根据等差数列的性质，可得a7 + a8 = 0.根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到a7>0, a8<0，故n=7时S n最大.法—-由S s= S11,可得3a i + 3d= 11a i + 55d，把a i= 13代入，得d= —2,故Sn2=13n-n(n—1)=—n + 14n.根据二次函数的性质，知当n= 7时S n最大.⑵由a n = 2n—10(n€ N )知｛a n｝是以一8为首项，2为公差的等差数列，又由a n =2n—10> 0 得n> 5,二n< 5 时，a n< 0,当n>5 时，a n>0, •，•田|+ |a2|+…+ |a15| =—(a1 + a2 + a3 + a4)+ (a5+ a6 + …+ a15)= 20+ 110= 130.答案(1)C (2)130规律方法求等差数列前n项和的最值，常用的方法：(1)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；⑵利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；(3) 将等差数列的前n项和S n= An2+ Bn (A, B为常数)看作二次函数，根据二次函数的性质求最值.【训练4】(1)设等差数列｛a n｝的前n项和为S n, a1>0且a6=9，则当S取最大a5 II 值时，n的值为()A. 9B. 10C. 11D. 12⑵(2018金丽衢十二校二联)已知公差为d的等差数列｛a n｝的前n项和为S n,若有确定正整数n。

第35讲 等差数列及其前n 项和学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________【基础巩固】1．（2022·浙江·杭师大附中模拟预测）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，547,29,198n n a a S -===，则n =（ ） A ．10 B ．11 C ．12 D ．13【答案】B【分析】根据等差数列的通项的性质和前n 项和公式求解. 【详解】因为()()15422n n n n a a n a a S -++==， 又547,29,198n n a a S -===， 所以18198n =， 所以11n =， 故选：B ．2．（2022·湖北武汉·模拟预测）设公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，452a a =，则74S S =（ ）A ．74B ．-1C ．1D ．54【答案】C【分析】利用等差中项5462a a a =+，6572a a a =+及等差数列前n 项和的性质即可求解. 【详解】解：在等差数列{}n a 中，5462a a a =+，452a a =，故60a =， 又6572a a a =+，故75a a =-， 则745674S S a a a S =+++=，故741S S =. 故选：C.3．（2022·福建·莆田华侨中学模拟预测）2022年4月26日下午，神州十三号载人飞船返回舱在京完成开舱．据科学计算，运载“神十三”的“长征二号”F 遥十三运载火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2千米，以后每秒钟通过的路程都增加2千米，在达到离地面380千米的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间大约是（ ） A ．10秒 B ．13秒 C ．15秒 D ．19秒【答案】D【分析】根据题意和等差数列的定义可知每秒钟通过的路程构成数列{}n a ，结合等差数列的前n 项求和公式计算即可.【详解】设每秒钟通过的路程构成数列{}n a ， 则{}n a 是首项为2，公差为2的等差数列，由求和公式有()221380n n n n n +-=+=，解得19n =． 故选：D.4．（2022·福建省德化第一中学模拟预测）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若728S =，则237a a a ++的值为（ ） A ．8 B ．10 C ．12 D ．14【答案】C【分析】根据等差数列的求和公式，求得44a =，结合等差数列的性质，化简得到27433a a a a =++，即可求解.【详解】因为728S =，由等差数列的性质和求和公式得17747()7282a a S a +===，即44a =， 则112374393(3)312a d a a a a a d =+=+==++. 故选：C.5．（2022·海南海口·二模）设公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()9353m S a a a =++，则m =（ ）A ．9B ．8C ．7D ．6【答案】C【分析】根据等差数列的前n 项和的性质及等差数列通项公式化简可得.【详解】因为()9353m S a a a =++，又959S a =，所以()53593m a a a a =++，所以3553m a a a a ++=，即352m a a a +=， 设等差数列{}n a 的公差为d ， 则1112(1)2(4)a d a m d a d +++-=+， 所以(+1)8m d d =，又0d ≠， 所以18m +=， 所以7m =． 故选：C.6．（2022·全国·高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，,,,AA BB CC DD ''''是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中1111,,,DD CC BB AA 是举，1111,,,OD DC CB BA 是相等的步，相邻桁的举步之比分别为11111231111,0.5,,DD CC BB AAk k k OD DC CB BA ====．已知123,,k k k 成公差为0.1的等差数列，且直线OA 的斜率为0.725，则3k =（ ）A ．0.75B ．0.8C ．0.85D ．0.9【答案】D【分析】设11111OD DC CB BA ====，则可得关于3k 的方程，求出其解后可得正确的选项. 【详解】设11111OD DC CB BA ====，则111213,,CC k BB k AA k ===， 依题意，有31320.2,0.1k k k k -=-=，且111111110.725DD CC BB AA OD DC CB BA +++=+++，所以30.530.30.7254k +-=，故30.9k =，故选：D7．（2022·重庆·二模）等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，若5m a =，则m S 的最大值为（ ） A ．3 B ．6 C ．9 D ．12【答案】C【分析】先利用等差数列的通项公式得到首项，再利用等差数列的前n 项和公式和一元二次函数求其最值. 【详解】设等差数列{}n a 的首项为1a ， 因为5m a =，且2d =， 所以1+2(1)5a m -=， 解得172a m =-， 则1()(122)=22m m m a a m m S +-= 2(3)99m =--+≤，即3m m S =时取最大值为9. 故选：C.8．（2022·重庆八中模拟预测）已知等差数列{}n a 与等差数列{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且1n n S nT n =+，那么87a b 的值为（ ） A ．1312B ．1413C ．1514D ．1615【答案】C【分析】设等差数列{}n a 、{}n b 的公差分别为1d 、2d ,由题意利用等差数列的性质求出它们的首项、公差之间的关系,可得结论.【详解】设等差数列{}{},n n a b 的公差分别为1d 和2.d11111,12n n S S a n T n T b =∴==+,即1112a b = 2112122223S a d T b d +∴==+,即11232b d d =- ① 311312333334S a d T b d +∴==+,即21143d d b =- ①由①①解得1211,.d d b d ==11811712111771526614d d a a d b b d d d ++∴===++故选：C 9．（2022·广东·华南师大附中三模）已知数列{}n a 满足()213nn n a a ++-=，11a =，22a =，数列{}n a 的前n项和为n S ，则30S =（ ） A ．351 B ．353 C ．531 D ．533【答案】B【分析】根据题意讨论n 的奇偶，当n 为奇数时，可得23n n a a +-=，按等差数列理解处理，当n 为偶数时，可得23n n a a ++=，按并项求和理解出来，则30S 按奇偶分组求和分别理解处理． 【详解】依题意，()213nn n a a ++-=， 显然，当n 为奇数时有23n n a a +-=，即有313a a -=，533a a -=，…，21213n n a a +--=， 令21n n b a -=，故13n n b b +-=，所以数列{}n b 是首项为1，公差为3的等差数列， 故32n b n =-；当n 为偶数时有23n n a a ++=，即423a a +=，643a a +=，…，2223n n a a ++=， 于是，()()3013292430S a a a a a a =+++++++()()()12152462830b b b a a a a a =+++++++++⎡⎤⎣⎦14315273330233532+=⨯++⨯=+=， 故选：B ．10．（多选）（2022·河北沧州·二模）已知数列{}n a 满足()1121,(1)n n n a a a n n ++==--+，记{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ）A ．4850100a a += B ．50464a a -= C ．48600S = D ．49601S =【答案】BCD【分析】由条件可得当n 为奇数时，211n n a a a +===；当n 为偶数时，22n n a a n ++=，然后可逐一判断.【详解】因为()1121,(1)n n n a a a n n ++==--+，所以当n 为奇数时，211n n a a a +===；当n 为偶数时，22n n a a n ++=.所以485096a a +=，选项A 错误；又因为464892a a +=，所以50464a a -=，选项B 正确； ()()()481354724684648S a a a a a a a a a a ⎡⎤=+++++++++++⎣⎦()()24612241226462426002+⨯=⨯+⨯+++=+⨯=故C 正确4948496001601S S a =+=+=，选项D 正确.故选：BCD11．（多选）（2022·湖北·华中师大一附中模拟预测）记数列{}n a 是等差数列，下列结论中不恒成立的是（ ）A ．若120a a +>，则230a a +>B ．若130a a +<，则20a <C ．若12a a <，则2a >D ．若10a <，则()()21230a a a a --> 【答案】ACD【分析】根据等差数列通项公式及等差中项，结合基本不等式即可求解. 【详解】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则对于A ，由数列{}n a 是等差数列及120a a +>，所以可取123101a a a ===-，，，所以230a a +>不成立，故A 正确；对于B ，由数列{}n a 是等差数列，所以13202a a a +<=，所以20a <恒成立，故B 不正确；对于C, 由数列{}n a 是等差数列，12a a <可取123321a a a =-=-=-，，，所以2a C 正确；对于D ，由数列{}n a 是等差数列，得()()221230a a a a d --=-≤，无论1a 为何值，均有()()21230a a a a --≤所以若10a <，则()()21230a a a a -->恒不成立，故D 正确. 故选：ACD.12．（2022·北京·101中学三模）已知等差数列{}n a 中2341,25a a a =-+=，则20222020a a -=_______． 【答案】4【分析】设出公差，利用等差数列通项公式基本量计算得到方程组，求出公差，求出答案.【详解】设公差为d ，则()11112235a d a d a d +=-⎧⎨+++=⎩，解得：132a d =-⎧⎨=⎩，所以2022202024a a d -==故答案为：413．（2022·山东青岛·二模）将等差数列中的项排成如下数阵，已知该数阵第n 行共有12n -个数，若12a =，且该数阵中第5行第6列的数为42，则n a =___________.a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 ……【答案】2n【分析】利用等比数列前n 项和公式确定42为数列中的第几项，可以求出公差，从而确定等差数列的通项公式.【详解】解：设公差为d ， 因为该数阵第n 行共有12n -个数， 则前4行共有()41121512⨯-=-个数，所以第5行第6列数为2142a =，则2114222211211a a d --===--， 所以2(1)22n a n n =+-⨯=． 故答案为：2n ．14．（2022·辽宁·抚顺一中模拟预测）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12113S a =，则5a =______，9S =______．【答案】 0 0【分析】根据等差数列的求和公式，化简可得12d a =，代入12113S a =即可求出14a d =-，根据等差数列的通项公式和求和公式，即可求出答案.【详解】等差数列{}n a 中，12111112663330S a d a a d =+==+， 所以111266330a d a d +=+， 即14a d =-，所以5140a a d =+=，9590S a == 故答案为：①0；①0.15．（2022·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）2022年北京冬奥会开幕式始于24节气倒计时，它将中国人的物候文明、传承久远的诗歌、现代生活的画面和谐统一起来.我国古人将一年分为24个节气，如图所示，相邻两个节气的日晷长变化量相同，冬至日晷长最长，夏至日晷长最短，周而复始.已知冬至日晷长为13.5尺，芒种日晷长为2.5尺，则一年中夏至到立冬的日晷长的和为______尺【答案】60【分析】因为相邻两个节气的日晷长变化量相同，所以每个节气的日晷长构成等差数列，所以夏至到立冬的日晷长的和可以用等差数列求和公式得到.【详解】因为相邻两个节气的日晷长变化量相同，所以每个节气的日晷长构成等差数列， 设冬至日晷长13.5尺为1a ，则芒种日晷长2.5尺为12a ，所以1211121a a d -==--， 所以夏至日晷长为1.5尺，记夏至日晷长1.5尺为1b ，小暑为2b ，大暑为3b ，……，立冬为10b则121010(101)101.51602b b b ⋅-+++=⋅+⋅=. 故答案为：60.16．（2022·重庆八中模拟预测）在等差数列{}n a 中，261028a a a ++=，则数列{}n a 的前13项和为______． 【答案】26【分析】由等差数列的通项公式得12+6a d =，再代入求和公式()13113+6S a d =可求得答案. 【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，因为261028a a a ++=，()()()111+++5+2+98d d a a a d ∴=， 12+6a d ∴=，则()131113(131)13+13+6262S a d a d ⨯-===， 故答案为：26．17．（2022·广东·模拟预测）已知{}n a 和{}n b 均为等差数列，若12456,9a b a b ==+=，则78a b +的值是__________. 【答案】6【分析】利用等差数列的性质计算即可得解. 【详解】解：因为{}n a 和{}n b 均为等差数列， 所以1742852,2a a a b b b +=+=， 所以()1728452a a b b a b +++=+， 即781229a b ++=⨯，所以786a b +=. 故答案为：6.18．（2022·江苏泰州·模拟预测）已知等差数列{n a }的前n 项和是n S ，180S >，190S <，则数列{|n a |}中值最小的项为第___项． 【答案】10【分析】根据题意判断等差数列{n a }的90a >，100a <，9100a a >->，由此可判断数列{||}n a 的项的增减情况，进而确定答案.【详解】由题意得：119191019()1902a a S a +===<，①100a <，()1180990S a a =+>，①90a >，9100a a >->，①910a a >，故等差数列{n a }为递减数列，即公差为负数， 因此{||}n a 的前9项依次递减，从第10项开始依次递增， 由于910a a >，①{|n a |}最小的项是第10项， 故答案为：1019．（2022·湖北·大冶市第一中学模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，111a =-，29a =-，且()11222n n n S S S n +-+=+≥．(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)已知11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【解】(1)由题意得：由题意知()()112n n n n S S S S +----=，则()122n n a a n +-=≥又212a a -=，所以{}n a 是公差为2的等差数列，则()11213n a a n d n =+-=-； (2)由题知()()11112132112213211n b n n n n ⎛⎫==- ⎪----⎝⎭则1111111111211997213211211211n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++-+++-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦12122n n =- 20．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）在“①1n n a a +>，31044a a =，4915a a +=；①765S a =，23a =；①2(3)n S n n =+”三个条件中任选一个，补充到下面的横线上，并解答．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且__________． (1)求{}n a 的通项公式； (2)若11n n n b a a +=，求{}n b 的前n 项和为n T ，求证：12n T <． 【解】(1)若选择①，因为1n n a a +>，31044a a =，4915a a +=，31049a a a a +=+， 解得34a =，1011a =，设公差为d ，则有1324a a d +==，101911a a d =+=， 解得12a =，1d =， 所以1n a n =+．若选择①，设公差为d ，74675S a a ==， 即()()117355a d a d +=+，结合213a a d =+=，解得12a =，1d =， 所以1n a n =+．若选择①，当1n =时，112a S ==； 当2n ≥时，1(3)(1)(2)122n n n n n n n a S S n -+-+=-=-=+， 当1n =时亦满足上式， 所以1n a n =+． (2)证明：由（1）得11111(1)(2)12n n n b a a n n n n +===-++++， 所以1111111123341222n T n n n =-+-++-=-+++， 因为102n >+，（*N n ∈），所以111222n -<+，所以12n T <． 【素养提升】1．（2022·浙江省江山中学模拟预测）已知sin ,sin ,sin x y z 依次组成严格递增的等差数列，则下列结论错误．．的是（ ）A ．tan ,tan ,tan x y z 依次可组成等差数列B ．cos ,cos ,cos x y z 依次可组成等差数列C ．cos ,cos ,cos x z y 依次可组成等差数列D ．cos ,cos ,cos z x y 依次可组成等差数列【答案】B 【分析】取,0,66x y z ππ=-==，即可判断A ；利用反证法，假设cos ,cos ,cos xy z 依次可组成等差数列，则有2cos coscos y x z =+，2sin sin sin y x z =+，两式相加，整理即可判断B ；取sin 0,sin x y z ===CD.【详解】解：对于A ，当,0,66x y z ππ=-==时，此时11sin ,sin 0,sin 22x y z =-==依次组成严格递增的等差数列，则tan tan 0,tan x y z ===依次组成等差数列，故A 正确； 对于B ，假设cos ,cos ,cos x y z 依次可组成等差数列， 则有2cos cos cos y x z =+， 又因2sin sin sin y x z =+，两式平方相加得()422cos cos sin sin x z x z =++， 则()cos 1x z -=，故2x z k π-=，所以2,Z x k z k π=+∈， 所以()sin sin 2sin x k z z π=+=，与题意矛盾，所以cos ,cos ,cos x y z 依次不可能组成等差数列，故B 错误；对于C ，当sin 0,sin 33x y z =-==11cos ,cos ,cos 133x z y =-==，则cos ,cos ,cos x z y 为等差数列，故C 正确；对于D ，当sin 0,sin 33x y z =-==若11cos ,cos ,cos 133z x y =-==，则cos ,cos ,cos z x y 为等差数列，故D 正确.故选：B.2．（2022·辽宁·渤海大学附属高级中学模拟预测）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()552sin 2350a a +--=，()201820182sin 2370a a +--=，则下列结论正确的是（ ）A ．20222022S =，且52018a a >B ．20222022S =-，且52018a a <C ．20224044S =-，且52018a a >D ．20224044S =，且52018a a <【答案】C【分析】根据题意构造函数()2sin 3f x x x =-，确定函数的奇偶性及单调性，进而根据()()520182,2f a f a ++的关系即可确定答案.【详解】设函数()2sin 3f x x x =-，则()f x 为奇函数，且()2cos 30f x x '=-<，所以()f x 在R 上递减，由已知可得()()552sin 2321a a +-+=-，()()201820182sin 2321a a +-+=，有()521f a +=-，()201821f a +=，所以()()5201822f a f a +<+，且()()5201822f a f a +=-+，所以520185201822a a a a +>+⇒>，且()5201822a a +=-+，所以520184a a +=-， 120222022520182022()1011()40442a a S a a +==+=-.故选：C.3．（多选）（2022·江苏·南京市江宁高级中学模拟预测）已知两个等差数列{}n a 和{}n b ，其公差分别为1d 和2d ，其前n 项和分别为n S 和n T ，则下列说法正确的是（ ）A ．若为等差数列，则112d a =B ．若{}n n S T +为等差数列，则120d d +=C ．若{}n n a b 为等差数列，则120d d ==D ．若*n b N ∈，则{}n b a 也为等差数列，且公差为12d d【答案】ABD【分析】对于A ，利用 对于B ，利用()2211332S T S T S T +=+++化简可得答案；对于C ，利用2211332a b a b a b =+化简可得答案；对于D ，根据112n n b b a a d d +-=可得答案.【详解】对于A ，因为为等差数列，所以即 化简得()21120d a -=，所以112d a =，故A 正确；对于B ，因为{}n n S T +为等差数列，所以()2211332S T S T S T +=+++， 所以()11121111122223333a d b d a b a d b d +++=+++++， 所以120d d +=，故B 正确；对于C ，因为{}n n a b 为等差数列，所以2211332a b a b a b =+， 所以11121111122()()(2)(2)a d b d a b a d b d ++=+++， 化简得120d d =，所以10d =或20d =，故C 不正确；对于D ，因为11(1)n a a n d =+-，且*n b N ∈，所以11(1)n b n a a b d =+-()112111a b n d d =++--⎡⎤⎣⎦，所以()()1111211n b a a b d n d d =+-+-，所以()()()11111211112111n n b b a a a b d nd d a b d n d d +-=+-+-----12d d =，所以{}n b a 也为等差数列，且公差为12d d ，故D 正确. 故选：ABD4．（多选）（2022·福建南平·三模）如图，在平面直角坐标系中的一系列格点(),i i i A x y ，其中1,2,3,,,i n =⋅⋅⋅⋅⋅⋅且,i i x y ∈Z .记n n n a x y =+，如()11,0A 记为11a =，()21,1A -记为20a =，()30,1A -记为31,a =-⋅⋅⋅，以此类推；设数列{}n a 的前n 项和为n S .则（ ）A ．202242a =B ．202287S =-C ．82n a n =D ．()245312n n n n S ++=【答案】ABD【分析】由图观察可知第n 圈的8n 个点对应的这8n 项的和为0，则2440n n S +=，同时第n 圈的最后一个点对应坐标为(),n n ，设2022a 在第k 圈，则k 圈共有()41k k +个数，可判断前22圈共有2024个数，2024a 所在点的坐标为()22,22，向前推导，则可判断A ，B 选项；当2n =时，16a 所在点的坐标为()2,2--，即可判断C 选项；借助2440n n S +=与图可知22222244144245454544n n n n n nn n n n n n S S S a a a++++++++=-=+++，即n 项之和，对应点的坐标为()1,+n n ，()1,1n n +-，…，()1,1n +，即可求解判断D 选项. 【详解】由题，第一圈从点()1,0到点()1,1共8个点，由对称性可知81280S a a a =+++=；第二圈从点()2,1到点()2,2共16个点，由对称性可知248910240S S a a a -=+++=，即 240S =，以此类推，可得第n圈的8n 个点对应的这8n 项的和为0，即()214482n nn n SS ++⨯==，设2022a 在第k 圈，则()()888168412k k k kk ++++==+，由此可知前22圈共有2024个数，故20240S =，则()2022202420242023S S a a =-+，2024a 所在点的坐标为()22,22，则2024222244a =+=，2023a 所在点的坐标为()21,22，则2023212243a =+=，2022a 所在点的坐标为()20,22，则2022202242a =+=，故A 正确；()()20222024202420230444387S S a a =-+=-+=-，故B 正确；8a 所在点的坐标为()1,1，则8112a =+=，16a 所在点的坐标为()2,2--，则16224a =--=-，故C 错误；22222244144245454544n n n n n nn n n n n n S S S aaa++++++++=-=+++，对应点的坐标为()1,+n n ，()1,1n n +-，…，()1,1n +，所以()()()()()245111112122n n S n n n n n n n n +=+++++-++++=+++++()()2123122n n n n n ++++==，故D 正确.故选：ABD5．（2022·湖北·荆门市龙泉中学一模）在数列{}n a 中，11a =，()11nn n a a n ++-=，*N n ∈，则4a =_______；{}n a 的前2022项和为_______．【答案】 3 1023133【分析】求出数列前若干项，根据其特性，分别求和后再可解即可. 【详解】由()11nn n a a n ++-=，得()11nn n a n a +=--，又11a =，所以()21112a a =--=，()232210a a =--=，()343313a a =--=，()454411a a =--=，()565516a a =--=，()676610a a =--=，()787717a a =--=，()898811a a =--=，()91099110a a =--=，()1011101010a a =--=，()11121111111a a =--=，()1213121211a a =--=，()13141313114a a =--=，⋯；因为202250542=⨯+， 所以，明显可见，规律如下： 159132021,,,,,a a a a a ，成各项为1的常数数列，其和为1506506⨯=， 2610142022,,,,,a a a a a ，成首项为2，公差为4的等差数列，其和为25065055062450625120722⨯⨯+⨯=⨯=， 3711152019,,,,,a a a a a ，成各项为0的成常数数列，其和为05050⨯=，4812162020,,,,,a a a a a ，成首项为3，公差为4的等差数列，其和为505504505345105552⨯⨯+⨯=， 故202250651207205105551023133S =+++=. 故答案为：①3；①1023133.6．（2022·湖南·长郡中学模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和2n S n an =+（a 为常数），则20222021a a -=________；设函数()8sin()cos()g x x x x ππ=+-且()()()12918g a g a g a +++=，则5a =__________.【答案】 2；14【分析】根据数列前n 项和与第n 项的关系、等差数列的定义、等差数列的性质，结合辅助角公式、构造函数法，利用导数的性质进行求解即可.【详解】当*2,N n n ≥∈时，221(1)(1)21n n n a S S n an n a n n a -=-=+----=+-，当1n =时，显然成立，因为当*2,N n n ≥∈时，12n n a a --=，数列{}n a 为等差数列，且公差2d =，所以202220212a a -=.又因为111()8sin πcos π8π8π2444g x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=-=--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.令()8πh t t t =，因为()8π)(8π)()h t t t t t h t -=--=-=-， 所以()h t 为奇函数，因为()8cos π0h t t =+>'，所以()h t 在R 上单调递增. 由题意得()()()1292220g a g a g a -+-++-=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦，因为数列{}n a 是公差不为0的等差数列，其中129a a a <<<，则129111444a a a -<-<<-，假设1911044a a ⎛⎫⎛⎫-+-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1919191111110444444a a h a h a h a h a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫->--⇒->--⇒-+-> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.因为1928374651111111112,444444444a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-=-+-=-+-=-+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以1291110444h a h a h a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.假设1911044a a ⎛⎫⎛⎫-+-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，同理可得1291110444h a h a h a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，综上，19195111104424a a a a a ⎛⎫⎛⎫-+-=⇒+=⇒= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：2；14。