求圆方程的若干技巧
·非常道·
在式①中, 令x =0, 得y 2+E y +F =0, 圆在y 轴上截距之和为此方程2根之和, 由韦达定理可知y 1+y 2=-E .
由题设, 知-D -E =14.
又此圆过A 、B 2点, 得
2
(-1) +32-D +3E +F =0,
②③④
求圆方程的若干技巧
4+2+4D +2E +F =0,
22
解式②～④所组成的方程组, 得D =-4, E =-10,
F =16. 故所求圆方程为x 2+y 2-4x -10y
+16=0.
◎河北徐静
圆的方程是圆中的基本内容, 也是高考命题的热点, 必须认真掌握. 求圆方程除掌握圆的一般方程、标准方程及待定系数法外, 还要掌握一些技巧才能提高
解题能力. 常用的技巧有以下几种, 现举列说明. 1 巧用平面几何知识
例1 求与x 轴切于点(5, 0) , 并在y
轴上截得的弦长为10的圆的方程.
设圆的方程为
22
(x -a ) +(y -b ) =r 2(r >0) . 因为圆与x 轴相切于点(5, 0) , 所以a =5, r = b , 因为圆在y 轴上截得的弦长为10, 所以a +
2) =r 2. 解得r =5, b =5, 所以b =±52
22
. 故所求圆的方程为(x -5) +(y ±5
=50.
2
准确理解“在x 轴、y 轴上的4个截距之和为
14”的含义, 并能转化为数量关系是求解的
关键.
3 巧用圆系方程
如果圆C 通过2圆C 1:x 2+y 2+D 1x +E 1y +F 1=0和圆C 2:x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2=0的交
22
点, 则圆C 的方程可设为x +y +D 1x +E 1y +F 1+λ(x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2) =0, 若其中一圆换为直线也可以.
例3 求过直线2x +y +4=0和圆x 2+y 2+2x -4y +1=
0的交点, 且有最小面积的圆的方程.
2
由题意可设过直线2x +y +4=0和圆x +y 2+2x -4y +1=0的交点的圆的方程
为x 2+y 2+2x -4y +1+λ(2x +y +4) =0, 化简整理, 配方得
222[x +(1+λ) ]+[y ](λ,
2454
所以当λ时, 此圆半径最小, 即面积最小, 所以所
5
22求圆的方程为(x ) +(y ) .
5554 巧用点圆方程
在平面直角坐标系中, 以定点C (x 0, y 0) 为圆心,
222
半径为r 的圆的方程为(x -x 0) +(y -y 0) =r .
2
若r =0, 则上面标准方程变为(x -x 0) +(y -2
y 0) =0, 此式表示的图形是平面直角坐标系中一个弧立的点C (x 0, y 0) , 常称该图形为“点圆”. 反之“视
2
点为圆”, 即点C (x 0, y 0) 的圆的方程为(x -x 0) +(y
2
-y 0) =0.
2
例4 求过定点A (4, -1) 且与圆(x +1) +2
(y -3) =5相切于点B (1
, 2) 的圆的方程.
设圆心为(a , b ) , 圆与x 轴相切时, 圆的半径r = b ; 圆与y 轴相切时, 圆的半径r = a . ) 2
解法中a 2+=r 2是根据弦心距、半弦长、
2半径的关系得出的, 与弦有关的问题常用此法, 实际上是用了勾股定理.
2 巧用韦达定理
例2 过点A (-1, 3) , B (4, 2) 的圆在x 轴、y 轴上的4个截距之和为14, 求此圆的方程.
分析
为便于求圆在两坐标轴上的截距, 故选用圆的一般方程为宜.
设圆的方程为
x +y +D x +Ey +F =0,
2
2
2
①
在式①中, 令y =0, 得x +D x +F =0, 圆在x
轴上截距之和为此方程2根之和, 由韦达定理知x 1+x 2=-D ;
24
将点B (1, 2) 视为“点圆”, 其方程(x -1) +(y
2
-2) =0, 由圆系理论知所求圆的方程为
2
1948年4月7日, 世界卫生日定名.
·热点追踪·
22
(x +1) +(y -3) +22λ[(x -1) +(y -2) ]=5.
①
又因为该圆过点A (4, -1) , 故将A (4, -1) 代
入式①可求得λ=-2.
再将λ=-2代入所设方程, 即得所求方程为
22
(x -3) +(y -1) =5. 5 巧用对称法
根据2圆成中心对称或轴对称的特征:2圆圆心
成中心对称或轴对称, 半径相等, 而求圆的方程的方法叫做对称法.
此法的基本思路是:求出已知圆C 的圆心关于对称中心(α、β)或对称轴l :Ax +B y +C =0的对称点的坐标, 即所求圆C ′的圆心, 又圆C ′与圆C 的半径相等, 从而得C ′的方程. 例5 已知圆C :x +y +4x -12y +39=0和直线l :3x -4y +5=0, 求圆C 关于直线
l 对称的圆C ′的方程.
已知圆C 的圆心为(-2, 6) , 半径为1, 易求点(-2, 6) 关于l 的对称点为(4, -2) , 则
圆C ′的圆心为(4, -2) , 半径为1.
22
所以, 所求圆方程为C ′:(x -4) +(y +
2) =1.
求对称点的坐标是根据轴对称的性质, 其做法是:(1) 设已知点 A (a , b ) 关于直线l 的对称点A ′(x 0, y 0) , 则线段A A ′的中点在直线l
上;
(2) k AA ′·k l =-1.
据此列方程组可求x 0、y 0的值.
链接练习
1. 已知圆满足:①截y 轴所得的弦长为2;②被x 轴分成2段圆弧, 其弧
长的比为1∶3;③圆心到直线l :x -2y =0的距离为. 求该圆的方程.
5
2. 已知圆经过点A (4, 2) 和B (-2, -6) , 该圆与2坐标轴的4个截距
之和为-2, 求圆的方程.
3. 求经过2圆x 2+y 2-4x +2y =0和x 2+y 2-2y -4=0的交点且圆心在直线2x +4y -1=0上的圆的方程
.
链接练习参考答案
22221.
(x +1) +(y +1) =2或(x -1) +(y -1) =2.
带电粒子在磁场中运动
的多解问题例析
◎江苏桑建冬
带电粒子只在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动, 由于多种原因会使问题形
成多解, 如:带电粒子的电性不确定
、磁场的方向不确定、初速度的方向不确定、临界状态不唯一、运动的周
期性、初速度的大小不确定等等, 下面分析几个典型问题. 1 临界状态不唯一造成多解
带电粒子只在洛伦兹力作用下穿过有界磁场时, 由于粒子运动轨迹是圆,
因此刚好穿越磁场的轨迹有多种可能, 造成多解.
例1 如图1所示, abcd 是一个边长为L 的正方形, 它是磁感应强度为B 的匀强磁场横截面的边界线, 一带正电的粒子从ad 边的中点O 沿与ad 边成45°角且垂直于磁场方向射入, 若该带电粒子所带电荷
图1
22
量为q 、质量为m (重力不计) , 则:如果要使带电粒子从ab 边飞出磁场, 带电粒子的速度必须符合什么条件?
当轨迹圆与bc 边相切时, 是粒子能从ab 边射出磁场区域时轨迹圆半径最大的情况, 设
此时的半径为R 1, 由图2分析可知:
2. x 2+y 2-2x +4y -20=0.
3. x 2+y 2-3x +y -1=0.
(作者单位
:河北省唐山市丰润区新军屯中学)
图2
1938年4月7日, 台儿庄战役胜利结束.
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4.1.1圆的标准方程 一、教学分析 在初中曾经学习过圆的有关知识，本节内容是在初中所学知识及前几节内容的基础上，进一步运用解析法研究圆的方程、它与其他图形的位置关系及其应用。同时，圆是特殊的圆锥曲线，因此，学习了圆的方程，就为后面学习其他圆锥曲线的方程奠定了基础。也就是说，本节内容在教材体系中起到承上启下的作用，具有重要的地位，在许多实际问题中也有着广泛的应用。 由于“圆的方程”一节内容的基础性和应用的广泛性，对圆的标准方程要求层次是“掌握”，为了激发学生的主体意识，培养学生的创造和应用意识，本节内容我采用“引导探究”型教学模式进行教学设计。 二、三维目标 1、掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程，能根据圆的标准方程写出圆的圆心坐标和半径，进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想。 2、用待定系数法和几何法求圆的标准方程，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，形成代数方法处理几何问题的能力。 三、教学重点 圆的标准方程的推导过程和圆的标准方程的应用。 四、教学难点 会根据不同的已知条件，会利用待定系数法和几何法求圆的标准方程。 五、课时安排 1课时 六、教学过程设计
七、板书设计
八、教学反思 圆是学生比较熟悉的曲线，求圆的标准方程是本节课的重点和难点。为此我设置了由浅入深的学习环境，先让学生熟悉圆心、半径与圆的标准方程之间的关系，逐步理解三个参数的重要性，自然形成待定系数法的解题思路，在突出重点的同时突破了难点。利用圆的标准方程由浅入深的解决问题，增强学生应用数学的意识。另外，为了培养学生的理性思维，在例题二中我用一题多解的探究，纵向挖掘知识深度，横向加强知识间的联系，培养了学生创新精神，并且使学生的有效思维量加大，随时对所学知识和方法产生有意注意，能力与知识的形成相伴而行，这样的设计不但突出了重点，更使难点的突破水到渠成。 本设计把学生学习知识的过程转变为学生观察问题、发现问题、分析问题、解决问题的过程，在解决的同时锻炼了思维、提高了能力、培养了兴趣，完成本节的学习任务。 不足之处： 1、对学生研究还不够，对难点的突破还不够。如：例二用待定系数法求圆的标准方程时，学生对求方程组的解还存在疑问，而我在上课的时候忽视了这点，没有及时学生引导如何求解这类方程组。 2、课堂让学生自行探究还不够，大部分还是教师引导比较多。如：例二用几何法解圆的方程时，如果让学生先思考然后把过程写出来之后再进行引导会更好一些。
《圆的一般方程》教案 一、教学目标 (一)知识教学点 使学生掌握圆的一般方程的特点；能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程． (二)能力训练点 使学生掌握通过配方求圆心和半径的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方程，培养学生用配方法和待定系数法解决实际问题的能力． (三)学科渗透点 通过对待定系数法的学习为进一步学习数学和其他相关学科的基础知识和基本方法打下牢固的基础． 二、教材分析 1．重点：(1)能用配方法，由圆的一般方程求出圆心坐标和半径；(2)能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程． (解决办法：(1)要求学生不要死记配方结果，而要熟练掌握通过配方求圆心和半径的方法；(2)加强这方面题型训练．) 2．难点：圆的一般方程的特点． (解决办法：引导学生分析得出圆的一般方程的特点，并加以记忆．) 3．疑点：圆的一般方程中要加限制条件D2+E2-4F＞0． (解决办法：通过对方程配方分三种讨论易得限制条件．) 三、活动设计 讲授、提问、归纳、演板、小结、再讲授、再演板． 四、教学过程 (一)复习引入新课 前面，我们已讨论了圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2，现将展开可得 x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0．可见，任何一个圆的方程都可以写成
x2+y2+Dx+Ey+F=0．请大家思考一下：形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程的曲线是不是圆？下面我们来深入研究这一方面的问题．复习引出课题为“圆的一般方程”． (二)圆的一般方程的定义 1．分析方程x3+y2+Dx+Ey+F=0表示的轨迹 将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0左边配方得： (1) (1)当D2+E2-4F＞0时，方程(1)与标准方程比较，可以看出方程 半径的圆； (3)当D2+E2-4F＜0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0没有实数解，因而它不表示任何图形． 这时，教师引导学生小结方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的轨迹分别是圆、 法． 2．圆的一般方程的定义 当D2+E2-4F＞0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0称为圆的一般方程． (三)圆的一般方程的特点 请同学们分析下列问题： 问题：比较二元二次方程的一般形式 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0． (2) 与圆的一般方程
《圆的一般方程》教学设计 教材分析: 圆的方程这节内容是学习圆锥曲线的基础，由于圆的方程应用及其广泛，所以对圆的一般方程的要求层次是“掌握”，又由于圆的一般方程中含有三个参变数D、E、F,对它的理解带来一定的困难.因而本节的难点是对圆的一般方程的认识，掌握和应用.突破难点的关键是抓住一般方程的特点.结合本节内容的特点，可以向学生渗透多种数学思想方法：:配方法、待定系数法、数形结合的思想、转化的思想、分类讨论的思想、方程的思想，同时对学生的观察类比，创新等多种能力的培养有利，通过求圆的一般方程使学生又进一步熟悉待定系数法的应用. 教学目标： 【知识与能力目标】 1.掌握圆的一般方程公式及其的特点； 2.能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径； 3.能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程. 【过程与方法】 通过对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的条件的探讨，让学生经历知识形成的过程，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力，并使学生掌握通过配方求圆心和半径的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方程的方法. 【情感态度与价值观】 渗透数形结合、转化、分类讨论与方程等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学创新，勇于探索。 教学重难点： 【教学重点】 1.能用配方法，由圆的一般方程求出圆心坐标和半径； 2.能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程． 【教学难点】
会根据不同的条件求圆的标准方程． 课前准备： 课件、学案 教学过程： 一、课题引入： 问题1：圆的标准方程的形式是怎样的？其中圆心的坐标和半径各是什么？ 问题2：若把标准方程(x -a )2+(y -b )2=r 2展开后，会得出怎样的形式？ 问题3：是不是每个形如x 2+y 2+Dx +Ey +F =0的方程表示的曲线都是圆呢？ 二、新课探究： 当2240D E F +->时，方程22 0x y Dx Ey F ++++=叫做圆的一般方 程.,2 2D E ??-- ???为半径. 注：由方程220x y Dx Ey F ++++=得22224224D E D E F x y +-????+++= ? ????? (1) 当2240D E F +-=时，方程只有实数解,22D E x y =- =-. 它表示一个点(,)22D E - -. (2) 当2240D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． (3) 当2240D E F +->时，可以看出方程表示以,22D E ??-- ?? ?为圆心， 为半径的圆. 三、知识应用： 题型一 根据圆的一般方程求圆心半径 例1. 下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径． （1）2x 2+y 2―7y +5=0； （2）x 2―xy +y 2+6x +7y =0； （3）x 2+y 2―2x ―4y +10=0； （4）2x 2+2y 2―5x =0． 【答案】（1）不能表示圆；（2）不能表示圆； （3）不能表示圆；（4）表示圆 ，圆心为5 ,04?? ???，半径为54 . 解:（1）∵方程2x 2+y 2―7y +5=0中x 2与y 2的系数不相同，∴它不能表示圆．
圆的一般方程》教案 一、教学目标 ( 一) 知识教学点 使学生掌握圆的一般方程的特点；能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程． ( 二) 能力训练点 使学生掌握通过配方求圆心和半径的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方程，培养学生用配方法和待定系数法解决实际问题的能力． ( 三) 学科渗透点通过对待定系数法的学习为进一步学习数学和其他相关学科的基础知识和基本方法打下牢固的基础． 二、教材分析 1．重点：(1) 能用配方法，由圆的一般方程求出圆心坐标和半径；(2) 能用 待定系数法，由已知条件导出圆的方程． ( 解决办法：(1) 要求学生不要死记配方结果，而要熟练掌握通过配方求圆心和半径的方法；(2) 加强这方面题型训练．) 2．难点：圆的一般方程的特点． ( 解决办法：引导学生分析得出圆的一般方程的特点，并加以记忆．) 3．疑点：圆的一般方程中要加限制条件D2+E2-4F> 0． ( 解决办法：通过对方程配方分三种讨论易得限制条件．) 三、活动设计 讲授、提问、归纳、演板、小结、再讲授、再演板． 四、教学过程 ( 一) 复习引入新课 前面，我们已讨论了圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 ，现将展开可得x2+y2- 2ax-2by+a 2+b2-r2=0 ．可见，任何一个圆的方程都可以写成 是圆？下面我们来深入研究这一方面的问题．复习引出课题为“圆的一般方程”
x2+y2+Dx+Ey+F=0．请大家思考一下：形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程的曲线是不( 二) 圆的一般方程的定义 1．分析方程x3+y2+Dx+Ey+F=0表示的轨迹 将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0左边配方得： (1) (1) 当D2+E2-4F>0 时，方程(1) 与标准方程比较，可以看出方程 半径的圆； (3) 当D2+E2-4F<0 时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0没有实数解，因而它不表示任何图形． 这时，教师引导学生小结方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的轨迹分别是圆、 法． 2．圆的一般方程的定义 当D2+E2-4F> 0 时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0称为圆的一般方程． ( 三) 圆的一般方程的特点请同学们分析下列问题：问题：比较二元二次方程的一般形式 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=．0 (2) 与圆的一般方程 第 2 页共 6 页
4.1.1《圆的标准方程（第1课时）》教学设计 教材分析： 圆是解析几何中一类重要的曲线，是在学生学习了直线与方程的基础知识之后，知道了在直角坐标系中通过建立方程可以达到研究图形性质，圆的标准方程正是这一知识运用的延续，在学习中使学生进一步体会数形结合的思想，形成用代数方法解决几何问题的能力，是进一步学习圆锥曲线的基础。对于知识的后续学习，具有相当重要的意义。 学情分析： 圆是学生比较熟悉的曲线，初中平面几何对圆的基本性质作了比较系统的研究，本节之前又学习了建立直角坐标系求直线方程的方法，这些都为本节课的学习奠定的必要的基础。再者，经过必修一、必修二的学习，高一学生对高中数学学习的基本方法也有了一定的体验和了解，具备了初步的观察、类比、归纳、概括、表达能力。通过五种直线方程的学习，对坐标系下建立方程进行了反复训练，这些都为本节课的学习做了能力和方法上的准备。 教法分析 为了充分调动学生学习的积极性，本节课采用“问题－探究”教学法，用环环相扣的问题将探究活动层层深入，使教师总是站在学生思维的最近发展区上.启发学生思考问题，理解问题，解决问题。 教学目标： 1．知识与技能 （1）会推导圆的标准方程,掌握圆的标准方程; （2）能根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程; 2．过程与方法 进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力。 3．情感态度与价值观 通过利用已学知识学会分析、解决问题，品尝成功的喜悦，增强学生学习数学的兴趣，并激发学生学习数学的自信心。 教学重点与难点： 1.重点:圆的标准方程的推导过程和圆标准方程特征的理解与掌握。 2.难点： (1)由已知条件求圆的标准方程 (2)判定点和圆的位置关系
§2.1圆的标准方程 教学目标 (一)知识与能力 1.了解确定圆的条件; 2.理解圆的标准方程的推导过程及方程形式,逐步理解用代数方法研究几 何问题; 3.会用圆的标准方程写出圆的半径和圆心坐标,能根据条件写出圆的标准 方程,能选择恰当的坐标系解决与圆有关的实际问题. (二)过程与方法 1.由确定圆的条件推导出圆的标准方程; 2.明确求圆的标准方程的一般步骤. (三)情感态度与价值观 1.渗透数形结合的思想方法; 2.培养学生的思维品质和提高学生的思维能力. 3.培养学生合作交流的意识,培养勤于思考、探究问题的精神. 教学重点 1.已知圆心为(,) C a b,半径为r的圆的标准方程的求法; 2.在求圆的标准方程的过程中,加强对坐标法的理解. 教学难点 根据已知条件,利用待定系数法确定圆的三个参数,, a b r,从而求出圆的标 准方程. 教具准备 制作多媒体,辅助教学. 教学方法 引导、合作、讨论、探究法. 设计思想 设计的根本出发点是促进学生的发展。教师以合作者的身份参与，课堂上建立平等、互助、融洽的关系，师生共同研究，在教学过程中，教师遵循数学发展规律，并依据建构主义教育理论，创设一系列数学实验环境，在情境中让学生观察、类比、猜想、尝试、探索、归纳并引导加以证明，强调主动建构，从深层次加强学生对知识的感知度，使学生能更好地理解和掌握圆的标准方程。 教学过程 (一)课题引入 1.圆的定义①:平面内绕着线段的一个端点旋转一周所组成的图形. (描述性定义) [探究]圆的几何特征(学生讨论) 教师总结:圆的几何特征是圆上任意一点到定点的距离等于定长. 说明:(1)定点叫圆心,定长称为半径; [探究]:确定圆的条件(学生讨论) 教师总结:一个圆的圆心位置和半径一旦给定,那么这个圆就被确定下来了,所以
§2.1 圆的标准方程 教学目标 （ 一 ） 知识与能力 1. 了解确定圆的条件 ; 2. 理解圆的标准方程的推导过程及方程形式 , 逐步理解用代数方法研究几 何问题 ; 3. 会用圆的标准方程写出圆的半径和圆心坐标 , 能根据条件写出圆的标准 方程, 能选择恰当的坐标系解决与圆有关的实际问题 . 二）过程与方法 由确定圆的条件推导出圆的标准方程 ; 明确求圆的标准方程的一般步骤 . 三）情感态度与价值观 渗透数形结合的思想方法 ; 培养学生的思维品质和提高学生的思维能力 . 培养学生合作交流的意识 , 培养勤于思考、探究问题的精神 . 教学重点 1. 已知圆心为 C （a,b ） , 半径为 r 的圆的标准方程的求法 ; 2. 在求圆的标准方程的过程中 , 加强对坐标法的理解 . 教学难点 根据已知条件 ,利用待定系数法确定圆的三个参数 a,b,r ,从而求出圆的标 准方程. 教具准备 制作多媒体 , 辅助教学 . 教学方法 引导、合作、讨论、探究法 . 设计思想 设计的根本出发点是促进学生的发展。 教师以合作者的身份参与， 课堂上建 立平等、互助、融洽的关系，师生共同研究，在教学过程中，教师遵循数学发展 规律，并依据建构主义教育理论， 创设一系列数学实验环境， 在情境中让学生观 察、类比、猜想、尝试、探索、归纳并引导加以证明，强调主动建构，从深层次 加强学生对知识的感知度，使学生能更好地理解和掌握圆的标准方程。 教学过程 （ 一） 课题引入 1.圆的定义①：平面内绕着线段的一个端点旋转一周所组成的图形 . （ 描述性定义 ） ［ 探究］ 圆的几何特征 （学生讨论 ） 教师总结：圆的几何特征是圆上任意一点到定点的距离等于定长 . 说明：（1） 定点叫圆心 ,定长称为半径 ; ［探究］：确定圆的条件 （学生讨论） 教师总结 ： 一个圆的圆心位置和半径一旦给定 , 那么这个圆就被确定下来了 , 所以 ( 1. 2. ( 1. 2. 3.