高数下册复习资料
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1 ( y )
f ( x, y)dx
（2）利用极坐标系 使用原则 (1) 积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示( 含圆弧,直线段 )； (2) 被积函数用极坐标变量表示较简单( 含 ( x y ) ,
2 2
I f x, y d
为实数 )
平面薄片的质 量
P147—例 5
法“线“方程：
x x0 y y0 z z0 Fx ( x0 , y 0 , z 0 ) Fy ( x0 , y 0 , z 0 ) Fz ( x0 , y 0 , z 0 )
切平“面”方程：
f x ( x0 , y 0 )( x x0 ) f y ( x0 , y 0 )( y y 0 ) ( z z 0 ) 0
质量=面密度 面积
f ( cos , sin ) d d
D
d
2 ( ) 1 ( )
f ( cos , sin ) d
0 2
0
2
（3）利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性 当 D 关于 y 轴对称时， （关于 x 轴对称时，有类似结论）
空 间 曲 面
n ( Fx ( x0 , y0 , z0 ) , Fy ( x0 , y0 , z0 ) , Fz ( x0 , y0 , z0 ) )
n ( f x ( x0 , y0 ) , f y ( x0 , y0 ) , 1 )
Fx ( x0 , y0 , z0 )( z z0 ) 0
A2 B 2 C 2
线面夹角 s {m, n, p} n { A, B, C}
sin Am Bn Cp A B C 2 m2 n2 p 2
2 2
面面夹角 n1 { A1 , B1 , C1} n2 { A2 , B2 , C2 }
s1 {m1 , n1 , p1} s 2 {m2 , n2 , p2 }
方程名称 一般式 点向式 方程形式及特征 A1 x B1 y C1 z D1 0 A2 x B2 y C 2 z D2 0
Ax By Cz D 0
A( x x0 ) B( y y0 ) C ( z z 0 ) 0
x x0 y y 0 z z 0 m n p
注：一敛、一散之和必发散；两散和、差必发散. 用收敛定义， lim s n 存在
n
3 去掉、加上或改变级数有限项 不改变其收敛性 ○ 4 若级数收敛 则对这级数的项任意加括号后所成 ○
一 般 项 级
数
的级数仍收敛，且其和不变。 常数项级数的基本性质 推论 如果加括号后所成的级数发散 则原来级数 也发散 常数项级数的基本性质 注：收敛级数去括号后未必收敛.
法平“面”方程：
(t 0 ) ( x x0 ) (t 0 ) ( y y0 ) (t 0 )( z z 0 ) 0
切“线”方程： 切向量
y ( x) z ( x)
T (1 , ( x) , ( x))
x x0 y y0 z z0 1 ( x0 ) ( x0 )
P141—例 2 应用该性质更方便
1． 画出积分区域 2． 选择坐标系 标准：域边界应尽量多为坐标轴，被积函数 关于坐标变量易分离 3． 确定积分次序 原则：积分区域分块少，累次积分好算为妙 4． 确定积分限 方法：图示法 先积一条线，后扫积分域
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高等数学（一）教案
期末总复习
5． 计算要简便
2 2 2 2
f ( x, y, z )dv
f ( x, y, z)dV dz d
a
b
r2 ( )
r1 ( )
f ( cos , sin , z ) d
空间立体物的 质量
（3）利用球面坐标
x cos r sin cos y sin r sin sin z r cos
截距式 面面垂直 面面平行 线面垂直
x y z 1 a b c A1 A2 B1 B2 C1C2 0 A1 B1 C1 A2 B2 C 2 A B C m n p
点面距离
m1m2 n1n2 p1 p2 0 m1 n1 p 1 m2 n2 p2
x r cos y r sin z z
P161—例 3
相当于在投影法的基础上直角坐标转换成极坐标
I
三重积分
适用范围:
1 积分区域表面用柱面坐标表示时方程简单；如 旋转体 ○ 2 被积函数用柱面坐标表示时变量易分离.如 f ( x y ) f ( x z ) ○
dv r 2 sin drdd
质量=密度 面积 适用范围:
1 积分域表面用球面坐标表示时方程简单;如，球体，锥体. ○ 2 被积函数用球面坐标表示时变量易分离. 如， f ( x y z ) ○
2 2 2
P165—10-(1)
I d d
1 1
2
2
2 ( , )
第十章 重积分
重积分 计算方法 （1） 利用直角坐标系 X—型 Y—型 二重积分
D
积分类型
典型例题
f ( x, y)dxdy dx
D a
b
2 ( x )
1 ( x)
f ( x, y )dy
P141—例 1、例 3
f ( x, y)dxdy
D
dபைடு நூலகம்
c
dy
2 ( y )
高等数学（一）教案
期末总复习
第八章 向量与解析几何
定义 向量 模
向量代数 定义与运算的几何表达 有大小、有方向. 记作 a 或 AB 向量 a 的模记作 a
在直角坐标系下的表示
a ax i a y j az k ( a x , a y , a z )
ax prjx a, a y prj y a, az prjz a
法平“面”方程：
( x x0 ) ( x0 ) ( y y0 ) ( x0 )( z z 0 ) 0
法向量 切平“面”方程： Fx ( x0 , y0 , z0 )( x x0 ) Fx ( x0 , y0 , z0 )( y y0 )
F ( x, y , z ) 0
Am Bn Cp 0
面面距离
M 0 ( x0 , y 0 , z 0 )
Ax By Cz D 0
Ax By Cz D1 0
d
线线夹角
Ax By Cz D2 0
D1 D2
d
Ax0 By 0 Cz0 D A2 B 2 C 2
期末总复习
空 间 曲 线 ：
x (t )， y (t )， z (t )， ( t )
切“线”方程： 切向量
x x0 y y 0 z z 0 (t 0 ) (t 0 ) (t 0 )
T ( (t 0 ) , (t 0 ) , (t 0 ))
角
叉乘 （向量积）
c a b sin
i a b ax bx
定理与公式
j ay by
k az bz
c ab
为向量 a 与 b 的夹角 向量 c 与 a ， b 都垂直
a b ab 0
垂直 平行
a b a x bx a y by a z bz 0
cos m1m2 n1n2 p1 p2 m n p m n p
2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2
cos
| A1 A2 B1 B2 C1C 2 | A1 B1 C1 A2 B2 C 2
2 2 2 2 2 2
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高等数学（一）教案
a ax 2 a y 2 az 2
c a b ax bx , a y by , az bz
和差
c a b
单位向量
c a－b
a a
ea
a 0 ，则 ea
( ax , a y , az ) ax 2 a y 2 az 2
方向余弦
设 a 与 x, y, z 轴的夹角分别为 ，， ， 则方向余弦分别为 cos ，cos，cos
注意：充分利用对称性，奇偶性
(1) 利用直角坐标 投影
投影法 截面法
b y2 ( x ) a y1 ( x )
P159—例 1
f ( x, y, z )dV dx
dy
z2 ( x , y )
z1 ( x , y )
f ( x, y, z )dz
P160—例 2
（2） 利用柱面坐标
0 I 2 f ( x, y )dxdy D1
计算步骤及注意事项
f ( x, y )对于x是奇函数， 即f ( x, y ) f ( x, y ) f ( x, y )对于x是偶函数， 即f ( x, y ) f ( x, y ) D1是D的右半部分
n0
5 （必要条件） 如果级数收敛 则 lim u 0 ○ n
常 数 项 级 数
交错 级数
莱布尼茨判别法
若 un
cos
ax a
，cos
ay a
，cos
az a
ea ( cos ，cos，cos ) cos2 +cos2 cos2 1
