随机过程 随机质点到达分布

Байду номын сангаас
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4、 随机质点的到达时间的期望与方差 n n (2) D[τ n ] = 2 (1) E[τ n ] = λ λ n −1 +∞ +∞ λ ( λt ) tf τ (t )dt = ∫ t (1) 因为 E[τ n ] = ∫ e −λt dt
0
n
0
+∞ ( λ t ) n −1 − λ t + ∞ te =− + n∫ 0 0 ( n − 1)! n + ∞ λ ( λt ) n −1 −λt n = e dt = λ 0 ( n − 1)! λ
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证明（ ：） 1 Fτ n (t ) = P(τ n ≤ t )
( λ t ) − λt = P ( N (t ) ≥ n) = ∑ e (t ≥ 0) k! k =n k n −1 ( λ t ) - λt
∞ k
= 1− ∑
为τn的分布函数 .
k =0
k!
e
t>0
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（2）第n个随机质点到达时间τn的概率密度为
d ⎡ −λt ⎛ ( λt ) 2 = − ⎢e ⎜ + 1 + λt + ⎜ dt ⎢ 2! ⎝ ⎣
d ⎡ − λt (t ) = − ⎢e dt ⎣
∑
n −1
k =0
( λt ) n −1 ⎞⎤ ⎟ + ⎥ ⎟ ( n − 1)! ⎠⎥ ⎦
(λt) ⎤ ⎥ k! ⎦
k
( n − 1)!
( n − 1)!
n
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第n个与第n + 1个乘客到达的时间间隔为τ n +1 − τ n ⎧ λ (λ t ) n −1 − λt e ⎪ fτ n (t ) = ⎨ (n − 1) ! ⎪0 ⎩
由 τ n的密度为 t >0 t≤0
而 ∴
n Eτ n = = 2 .5 λ n +1 n 1 E (τ n + 1 − τ n ) = − = = 0 .4 2 .5 2 .5 2 .5
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易见 {N(t),t≥0}是连续时间参数计数过程，故此 得出的到达时间τn为连续型随机变量，它具有 确定的分布函数与概率密度.
2、 关系
⎧ 1 事件 A = {τ n ≤ t }发生 N (t ) = ∑ I (τ n ≤ t ), 其中 I (τ n ≤ t ) = ⎨ n =1 ⎩ 0 事件 A = {τ n ≤ t }没有发生
n(n + 1)
λ
2
λ
λ
λ
可见，若已知质点到达过程是强度为λ的泊松过程 时，则等待的质点越多，波动值D(τn)也越大。
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例：
N ( t ) ∼ π (3 t )
( 3 × 5 ) 7 − 3× 5 1 5 7 −15 (1) P ( N ( 5 ) = 7 ) = = e e 7! 7 !
(2)
τ n 表 第 n个 乘 客 到 达 的 时 间
(n − 1)! ( λ t ) n −1 − λ t e dt ( n − 1)!
∫
即第n个随机质点到达的平均等待时间E(τn)等于n/λ.
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2 (2) 由于E[τ n ] = ∫ t 2 fτ n (t )dt = ∫ t 0 0
+∞
+∞
n−1 t λ λ ( ) 2
(n − 1)!
λ(λt)n−1 t
15 k − 15 P (τ 3 ≤ 3) = P ( N (3) ≥ 3) = ∑ e k =3 k !
10
∞
例：在[0,t）时段内乘客到达某售票处的书名为强度是2.5（人/min) 的泊松过程，试求/1）在5分钟内有10位乘客到达的概率；（2）第 10位乘客在5分钟到达售票处的概率；（3）相邻两乘客到达售票处 的平均时间间隔。
(2.5 × 5)10 − 2.5× 5 12.510 − 12.5 P ( N (5) = 10) = e = e 10! 10 !
(2)
τ n 表第n个乘客到达的时间
12.5k −12.5 P (τ 10 ≤ 5) = P ( N (5) ≥ 10) = ∑ e k =10 k !
∞
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(3)
∞
P(τ n ≤ t) = P(N(t) ≥ n)
P(N(t) =k) = P(N(t) ≥k) −P(N(t) ≥k +1) = P(τk ≤t) −P(τk+1 ≤t)
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3 、随机质点的到达时间的分布函数与概率密度
设{N(t),t≥0}是强度为λ的泊松过程，N (t)表示[0, t)内随机质点出现的个数，τn 表示第n个质点到达服 务点的时刻, n=1,2,...,由概率论定义，其分布函数 为： n −1 ⎧ ( λ t ) k -λt
⎪1 − Fτ n ( t ) = ⎨ ⎪0 ⎩
∑
k =0
k!
e
t >0
t ≤0
其概率密度函数为
fτ n ⎧ λ ( λ t ) n −1 − λ t e ⎪ ( t ) = ⎨ ( n − 1)! ⎪0 ⎩ t>0 t≤0
这种分布通常称为参数为n,λ的Γ分布Γ (n,λ) ，或 称为埃尔朗(Erlang)分布。
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P(N(t) =k) = P(N(t) ≥k) −P(N(t) ≥k +1) = P(τk ≤t) −P(τk+1 ≤t)
k (λ t )i - λ t (λ t )i - λ t = (1 − ∑ e ) − (1 − ∑ e ) i! i! i=0 i=0 k −1
(λ t ) k - λ t e = k!
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1 随机质点的到达时间(等待时间)
设{N(t),t≥0}是一泊松过程，若用N (t)表示在 [0, t)时段内到达某“服务台”或“观测站”的“随机质 点”数，以τn, n=1,2,…表示第n个质点到达“服务 台”的时刻，因为到达时间是随机发生的，故τn是随 机变量 如第n位顾客在某时刻τn到达服务台 第n位旅客在时刻τn到达飞机场
(n − 1)!
e −λt dt
(λt)n−1 t 2 −λt e =− (n − 1)!
+∞ 0 +
(n + 1)
λ
∫
+∞
0
e−λt dt
=
(n + 1)
2 + n ( n 1 ) n n 2 2 所以 D[τ n ] = E[τ n ] − [E(τ n )] = − 2 = 2 2
λ
E (τ n ) =
fτ n
2 n−1 2 n−1 n−2 ⎡ ⎤ ( t ) ( t ) λ λ ⎡ λ λ t ⋅t ⎤ −λt −λt = λe ⎢1+λt + + + ⎥− e ⎢λ + + + ⎥ 2! (n −1)!⎦ ! (n − 2)! ⎦ ⎣ ⎣ 1 n −1 λ ( λ t ) n −1 − λ t (λt) e = λ e − λt = t≥0