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第5章大数定律及中心极限定理一、选择题1．设随机变量序列相互独立且都服从参数为1的泊松分布，令，则随机变量序列一定（）。
A．满足切比雪夫大数定律B．不满足切比雪夫大数定律C．满足辛钦大数定律D．不满足辛钦大数定律【答案】A【解析】相互独立，其期望、方差都存在且，符合切比雪夫大数定律成立的三个条件，即①相互独立；②期望、方差都存在；③对任何，方差都小于一个共同常数。
因此满足切比雪夫大数定律。
由于不一定完全相同，因此不能确定是否同分布，（要求，此时同分布；不全相同，不同分布），故不能确定其是否一定满足辛钦大数定律。
2．设随机变量，，…，，…相互独立，且服从参数为的泊松分布，服从期望值为的指数分布，则随机变量序列，，…，，…一定满足（）。
A．切比雪夫大数定律B．伯努利大数定律C．辛钦大数定律D．中心极限定理【答案】A【解析】，…不是同分布，因此不能满足辛钦大数定律、伯努利大数定律和中心极限定理。
进一步分析，，因此对任何n=1，2，…，都有，即，…相互独立，期望、方差都存在且对所有，，符合切比雪夫大数定律成立的条件。
3．设随机变量序列X1，…，X n，…相互独立，则根据辛钦大数定律，当n→∞吋，依概率收敛其数学期望，只要{X n，n≥1}（）。
A．有相同的数学期望B．服从同一离散型分布C．服从同一泊松分布D．服从同一连续型分布【答案】C【解析】ABD三项，由辛钦大数定律可知，随机变量序列｛，≥1}必须是：“独立同分布且数学期望存在”，A项缺少同分布条件，BD两项虽然服从同一分布但不能保证期望存在。
4．设随机变量X1，…，X n，…相互独立，记Y n=X2n－X2n－1（n≥1），概括大数定律，当n→∞时,依概率收敛到零，只要{X n，n≥l}满足（）。
A．数学期望存在B．有相同的数学期望与方差C．服从同一离散型分布D．服从同一连续型分布【答案】B【解析】ACD三项，由于相互独立，所以相互独立，A项“缺少同分布”条件，CD两项“缺少数学期望存在”的条件，因此都不满足辛钦大数定律。
概率论与数理统计_浙江大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.随机变量X~N(1,4)，则P(X>2)=【图片】.参考答案:正确2.在（0，1）区间独立随机地抽取100个数【图片】，则以下结果正确的是参考答案:近似服从N(5, 1/12)3.设随机变量X服从参数为3的泊松分布，则【图片】.参考答案:正确4.两个独立总体【图片】均未知，从中抽取容量分别为4和6的样本,【图片】为样本均值，【图片】为样本方差，若【图片】则【图片】，又查表知【图片】,则在显著水平为0.05下检验假设【图片】，以下结果正确的是参考答案:P_值＝0.6174，所以不拒绝原假设。
5.设(X,Y)的联合分布律如下表所示，且X与Y相互独立，则a,b,c满足【图片】参考答案:b=2a=2c6.设(X,Y)的联合分布律如下表所示，则以下结果正确的是【图片】参考答案:X与Y不独立7.甲乙两人独立地在（0，1）区间内随机取一数，分别记为X,Y，则以下结果正确的是参考答案:X与Y相互独立8.设(X,Y)的联合分布律如下表所示，则P(X=1)=P(X=2).【图片】参考答案:错误9.设(X,Y)的联合分布律如下表所示，则P(Y=0)=P(Y=1)=2P(Y=2).【图片】参考答案:正确10.设进入某公众服务中心的顾客每人接受服务时间X（单位：分钟）服从参数为1/6（E(X)=6）的指数分布，随机观察100个人的服务时间，结果记为【图片】，设【图片】,假设每人的服务时间是相互独立的.利用切比雪夫不等式，可得【图片】的下界为16/25.参考答案:正确11.设X与Y相互独立，均服从参数为1的指数分布，则以下结果正确的是参考答案:E(X+Y)=212.设(X,Y)的联合概率密度为【图片】则X与Y不独立且不相关.参考答案:错误13.设X与Y相互独立，X服从参数为1/2的0-1分布，Y服从参数为3/4的0-1分布，则E(XY)=参考答案:3/814.设随机变量X~B(3, 0.4)，【图片】, 则P(Y=1)的值为参考答案:63/12515.随机选9个高血压患者，分别测量他们早上起床时的收缩压X(毫米汞柱)与服药后的收缩压Y(毫米汞柱)，得到9对数据【图片】则【图片】与【图片】是来自两个独立总体的样本。
第一章 概率论的基本概念1. 写出下列随机试验的样本空间.(1)记录一个小班一次数学考试的平均分数(充以百分制记分).解: }100 , ,1 ,0|{n i ni S ⋅⋅⋅==, 其中n 为小班人数. (2)同时掷三颗骰子, 记录三颗骰子点数之和;解: S ={3, 4, ⋅⋅⋅ , 18}.(3)生产产品直到得到10件正品为止, 记录生产产品的总件数;解: S ={10, 11, 12, ⋅⋅⋅ , n , ⋅⋅⋅ }.(4)对某工厂出厂的产品进行检查, 合格的记上“正品”, 不合格的记上“次品”, 如连续查出2个次品就停止检查, 或检查4个产品, 停止检查, 记录检查的结果.解: S ={00, 100, 0100, 0101, 1010, 0110,1100, 0111, 1011, 1101, 1110, 1111},其中0表示次品, 1表示正品.(5)在单位圆内任意取一点, 记录它的坐标;解: S ={(x , y )|x 2+y 2<1}.(6)将一尺之棰成三段, 观察各段的长度.解: S ={(x , y , z )|x >0, y >0, z >0, x +y +z =1}, 其中x , y , z 分别表示第一、二、三段的长度.2. 设A , B , C 为三事件, 用A , B , C 的运算关系表示下列各事件.(1)A 发生, B 与C 不发生;解: 表示为: A ⎺B ⎺C 或A -(AB +AC )或A -(B ⋃C ).(2)A , B 都发生, 而C 不发生;解: 表示为: AB ⎺C 或AB -ABC 或AB -C .(3)A , B , C 中至少有一个发生;解: 表示为: A +B +C .(4)A , B , C 都发生;解: 表示为: ABC(5)A , B , C 都不发生;解: 表示为: ⎺A ⎺B ⎺C 或S - (A +B +C)或C B A ⋃⋃(6)A , B , C 中不多于一个发生;解: 即A , B , C 中至少有两个同时不发生相当于⎺A ⎺B , ⎺B ⎺C ,⎺A ⎺C 中至少有一个发生.故表示为: ⎺A ⎺B +⎺B ⎺C +⎺A ⎺C .(7)A , B , C 中不多于二个发生;解: 相当于: ⎺A , ⎺B , ⎺C 中至少有一个发生.故表示为: ⎺A +⎺B +⎺C 或ABC .(8)A , B , C 中至少有二个发生.解: 相当于: AB , BC , AC 中至少有一个发生.故表示为: AB +BC +AC .3. 设A , B 是两事件且P (A )=0.6, P (B )=0.7. 问: (1)在什么条件下P (AB )取得最大值, 最大值是多少？(2)在什么条件下P (AB )取得最小值, 最小值是多少？解: (1)因为P (AB )=P (A )+P (B )-P (A ⋃B ), 且P (A )<P (B )≤P (A ⋃B ), 所以当A ⊂B 时, P (A ⋃B )=P (B ), P (AB )取到最大值, 最大值为P (AB )=P (A )=0.6.(2)当A ⋃B =S 时, P (AB )取到最小值, 最小值为P (AB )=0.6+0.7-1=0.3.4. 设A , B , C 是三事件, 且P (A )=P (B )=P (C )=1/4, P (AB )=P (BC )=0, P (AC )=1/8. 求A , B , C 至少有一个发生的概率. 解: P (A , B , C 至少有一个发生)=P (A +B +C )=P (A )+P (B )+P (C )-P (AB )-P (BC )-P (AC )+P (ABC ) =(3/4)-(1/8)+0=5/8.5. 在一标准英语字典中有55个由两个不同的字母所组成的单词, 若从26个英文字母中任取两个字母予以排列, 问能排成上述单词的概率是多少？解: 记A 表“能排成上述单词”. 因为从26个任选两个来排列, 排法有226A 种. 每种排法等可能. 字典中的二个不同字母组成的单词: 55个, 所以1301155)(226==A A P .6. 在房间里有10人. 分别佩戴从1号到10号的纪念章, 任选3人记录其纪念章的号码.(1)求最小的号码为5的概率;解: 记“三人纪念章的最小号码为5”为事件A . 因为10人中任选3人为一组: 选法有310C 种, 且每种选法等可能. 又事件A相当于: 有一人号码为5, 其余2人号码大于5. 这种组合的种数有251C ⨯. 所以1211)(31025=⨯=C C A P .(2)求最大的号码为5的概率.解: 记“三人中最大的号码为5”为事件B , 同上, 10人中任选3人, 选法有310C 种, 且每种选法等可能, 又事件B 相当于: 有一人号码为5, 其余2人号码小于5, 选法有241C ⨯种, 所以2011)(31024=⨯=C C B P . 7. 某油漆公司发出17桶油漆, 其中白漆10桶、黑漆4桶, 红漆3桶. 在搬运中所有标签脱落, 交货人随意将这些标签发给顾客, 问一个定货4桶白漆, 3桶黑漆和2桶红漆顾客, 能按所订颜色如数得到定货的概率是多少？解: 记所求事件为A .在17桶中任取9桶的取法有310C 种, 且每种取法等可能. 取得4白3黑2红的取法有2334410C C C ⨯⨯, 故2431252)(6172334410=⨯⨯=C C C C A P .8. 在1500个产品中有400个次品, 1100个正品, 任意取200个.(1)求恰有90个次品的概率;解: 用A 表示取出的产品恰有90个次品. 在1500个产品中任取200个, 取法有2001500C 种, 每种取法等可能. 200个产品恰有90个次品, 取法有110110090400C C 种. 因此2001500110110090400)(C C C A P =. (2)至少有2个次品的概率.解: 用B 表示至少有2个次品. B 0表示不含有次品, B 1表示只含有一个次品. 同上, 200个产品不含次品, 取法有2001100C 种,200个产品含一个次品, 取法有19911001400C C 种. 因为⎺B =B 0+B 1且B 0, B 1互不相容, 所以P (B )=1-P (⎺B )=1-[P (B 0)+P (B 1)]20015002001100199110014001C C C C +-=.9. 从5双不同鞋子中任取4只, 这4只鞋子中至少有2只配成一双的概率是多少？解: 样本空间所含的样本点数为410C , 用A 表示4只全中至少有2支配成一对, 则⎺A 表示4只全不配对. ⎺A 所包含的样本点数为4452⨯C (先从5双鞋中任取4双, 再从每双中任取一只). 因此2182)(410445=⋅=C C A P , 21132181)(1)(=-=-=A P A P .10. 在11张卡片上分别写上Probabitity 这11个字母, 从中任意连抽7张, 求其排列结果为Abitity 的概率.解: 所有可能的排列构成样本空间, 其中包含的样本点数为711P . 用A 表示正确的排列, 则A 包含的样本点数为411111*********=C C C C C C C , 则0000024.04)(711==P A P .11. 将3个球随机地放入4个杯子中去, 求杯子中球的最大个数分别为1, 2, 3.解: 记A i 表示杯中球的最大个数为i 个( i =1, 2, 3). 三只球放入四只杯中, 放法有43种, 每种放法等可能. 对A 1: 必须三球放入三杯中, 每杯只放一球. 放法4×3×2种. 故1664234)(31=⨯⨯=A P . 对A 2: 必须三球放入两杯, 一杯装一球, 一杯装两球. 放法有3423⨯⨯C 种. 故169434)(3232=⨯⨯=C A P . 对A 3: 必须三球都放入一杯中. 放法有4种.16144)(33==A P . 12. 将50只铆钉随机地取来用在10个部件, 其中有3个铆钉强度太弱, 每个部件用3只铆钉, 若将三个强度太弱的铆钉都装在一个部件上, 则这个部件强度就太弱, 问发生一个部件强度太弱的概率是多少？解: 记A 表示10个部件中有一个部件强度太弱.把随机试验E 看作是用三个钉一组, 三个钉一组去铆完10个部件(在三个钉的一组中不分先后次序. 但10组钉铆完10个部件要分先后次序)对E : 铆法有323344347350C C C C ⨯⨯⨯ 种, 每种装法等可能.对A : 三个次钉必须铆在一个部件上. 这种铆法数为10)(32334434733⨯⨯⨯C C C C ,故 00051.01960110][)(32334735032334434733==⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=C C C C C C C A P .13. 已知3.0)(=A P , P (B )=0.4, 5.0)(=B A P , 求)|(B A B P ⋃.解: 7.0)(1)(=-=A P A P , 6.0)(1)(=-=B P B P ,B A AB B B A AS A ⋃=⋃==)(. 注意Φ=))((B A AB . 故有 2.05.07.)()()(=-=-=B A P A P AB P .再由加法定理8.05.06.07.0)()()()(=-+=-+=⋃B A P B P A P B A P ,于是 25.08.02.0)()()()]([)|(==⋃=⋃⋃=⋃B A P AB P B A P B A B P B A B P .14. 已知41)(=A P , 31)|(=A B P , 21)|(=B A P , 求P (A ⋃B ). 解: 根据条件概率)()|()()()()|(B P A B P A P B P AB P B A P ==, 61213141)|()|()()(=⨯==B A P A B P A P B P . 根据乘法公式1214131)()|()(=⨯==A P A B P AB P . 根据加法公式311216141)()()()(=-+=-+=⋃AB P B P A P B A P .15. 掷两颗骰子, 已知两颗骰子点数之和为7, 求其中有一颗为1点的概率(用两种方法).解法一: (在缩小的样本空间SB 中求P (A |B ), 即将事件B 作为样本空间, 求事件A 发生的概率).掷两颗骰子的试验结果为一有序数组(x , y )(x , y =1, 2, 3, 4, 5,6)并且满足x +y =7, 则样本空间为S ={(x , y )| (1, 6 ), (6, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 4), (4, 3)},每种结果(x , y )等可能.A ={掷二骰子, 点数和为7时, 其中有一颗为1点}, 故 3162)(==A P . 解法二: 用公式)()()|(B P AB P B A P =. S ={(x , y )| x =1, 2, 3, 4, 5, 6; y =1, 2, 3, 4, 5, 6}, 每种结果均可能.A =“掷两颗骰子, x , y 中有一个为1点”,B =“掷两颗骰子, x +y =7”.则 6166)(2==B P , 262)(=AB P , 故 31626162)()()|(2====B P AB P B A P . 16. 据以往资料表明, 某3口之家, 患某种传染病的概率有以下规律:P {孩子得病}=0.6,P {母亲得病|孩子得病}=0.5,P {父亲得病|母亲及孩子得病}=0.4.求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率.解: 令A ={孩子得病}, B ={母亲得病}, C ={父亲得病}, 则 P (A )=0.6, P (B |A )=0.5, P (C |AB )=0.4,所以 P (⎺C|AB )=1-P (C |AB )=1-0.4=0.6.P (AB )=P (A )P (B |A )=0.6×0.5=0.3,所求概率为P (AB ⎺C )=P (AB )·P (⎺C|AB )=0.3×0.6=0.18.17. 已知在10只晶体管中有2只次品, 在其中取两次, 每次任取一只, 作不放回抽样, 求下列事件的概率:(1)两只都是正品;(2)二只都是次品(记为事件B );(3)一只是正品, 一只是次品(记为事件C );(4)第二次取出的是次品(记为事件D );解: 设A i ={第i 次取出的是正品)(i =1, 2).(1)452897108)|()()(12121=⨯==A A P A P A A P . (2)45191102)|()()(12121=⨯==A A P A P A A P . (3))()()(21212121A A P A A P A A A A P +=⋃)|()()|()(121121A A P A P A A P A P +=45169810292108=⨯+⨯=. (4))()(21212A A A A P A P +=519110292108)|()()|()(121121=⨯+⨯=+=A A P A P A A P A P .18. 某人忘记了电话号码的最后一个数字, 因而他随机地拨号, (1)求他拨号不超过三次而接通所需的电话的概率; (2)若已知最后一个数字是奇数, 那么此概率是多少？解: 设A i ={第i 次拨号拨对}(i =1, 2, 3), A ={拨号不超过3次而拨通}, 则321211A A A A A A A ++=, 且三种情况互斥, 所以 )|()|()()|()()()(2131211211A A A P A A P A P A A P A P A P A P ++=. 于是(1)103819810991109101)(=⨯⨯+⨯+=A P . (2)53314354415451)(=⨯⨯+⨯+=A P .19. (1)设甲袋中装有n 只白球, m 只红球, 乙袋中装有N 只白球, M 只红球, 今从甲袋中任取一只球放入乙袋中, 再从乙袋中任意取一只球, 问取到白球的概率是多少？解: 用A 1表示“从甲袋中取得白球放入乙袋”, A 2表示“从甲袋中取得红球放入乙袋”. 再记B 表“再从乙袋中取得白球”. 因为 B =A 1B +A 2B 且A 1, A 2互斥,所以 P (B )=P (A 1)P (B |A 1)+P (A 2)P (B |A 2)111++⨯+++++⨯+=M N N m n m M N N m n n )1)(()(+++++=N M n m n N m n .19. (2)第一只盒子装有5只红球, 4只白球; 第二只盒子装有4只红球, 5只白球. 先从第一盒子中任取2只球放入第二盒中去, 然后从第二盒子中任取一只球, 求取到白球的概率. 解: 记C 1为“从第一盒子中取得2只红球”. C 2为“从第一盒子中取得2只白球”. C 3为“从第一盒子中取得1只红球, 1只白球”, D 为“从第二盒子中取得白球”, 显然C 1, C 2, C 3两两互斥, C 1⋃C 2⋃C 3=S , 由全概率公式, 有P (D )=P (C 1)P (D|C 1)+P (C 2)P (D|C 2)+P (C 3)P (D|C 3)995311611711529141529242925=⋅⋅+⋅+⋅=C C C C C C C .20. 某种产品的高标为“MAXAM”, 其中有2个字母已经脱落, 有人捡起随意放回, 求放回后仍为“MAXAM”的概率. 解: 设A 1, A 2, ⋅⋅⋅ , A 10分别表示字母MA , MX , MA , MM , AX , AA , AM , XA , XM , AM 脱落的事件, 则101)(=i A P (i =1, 2, ⋅⋅⋅ , 10), 用B 表示放回后仍为“MAXAM”的事件, 则21)|(=i A B P (i =1, 2, ⋅⋅⋅ , 10), 1)|()|(64==A B P A B P , 所以由全概公式得5311011101821101)|()()(101=⨯+⨯+⨯⨯==∑=i i i A B P A P B P .21. 已知男子有5%是色盲患者, 女子有0.25%是色盲患者. 今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人, 恰好是色盲患者, 问此人是男性的概率是多少？解: A 1={男人}, A 2={女人}, B ={色盲}, 显然A 1⋃A 2=S , A 1 A 2=∅. 由已知条件知21)()(21==A P A P ,%5)|(1=A B P ,%25.0)|(2=A B P . 由贝叶斯公式, 有)|()()|()()|()()()()|(22111111A B P A P A B P A P A B P A P B P B A P B A P +== 2120100002521100521100521=⋅+⋅⋅=.22. 一学生接连参加同一课程的两次考试. 第一次及格的概率为p , 若第一次及格则第二次及格的概率也为p ; 若第一次不及格则第二次及格的概率为2p . (1)若至少一次及格则他能取得某种资格, 求他取得该资格的概率. (2)若已知他第二次已经及格, 求他第一次及格的概率.解: A i ={他第i 次及格}(i =1, 2).已知P (A 1)=P (A 2|A 1)=p , 2/)|(12p A A P =.(1)B ={至少有一次及格}, 则21}{A A B ==两次均不及格,所以 )|()(1)(1)(1)(12121A A P A P A A P B P B P -=-=-=)]|(1)][(1[1121A A P A P ---=22123)21)(1(1p p p p -=---=. (2)由乘法公式, 有P (A 1A 2)=P (A 1)P (A 2| A 1)=p 2.由全概率公式, 有)|()()|()()(1211212A A P A P A A P A P A P +=222)1(2p p p p p p +=⋅-+⋅=. 于是 1222)|(2221+=+=p p p p p A A P .23. 将两信息分别编码为A 和B 传递出去, 接收站收敛到时, A 被误收作B 的概率为0.02, 而B 被误收作A 的概率为0.01, 信息A 与信息B 传送的频繁程度为2:1, 若收站收到的信息是A , 问原发信息是A 的概率是多少？解: 设B 1, B 2分别表示发报台发出信号“A ”及“B ”, 又以A 1有A 2分别表示收报台收到信号“A ”及“B ”. 则有32)(1=B P , 31)(2=B P , P (A 1|B 1)=0.98, P (A 2|B 1)=0.08, P (A 1|B 2)=0.01, P (A 2|B 2)=0.91,从而由Beyes 公式得)|()()|()()|()()|(2121111111B A P B P B A P B P B A P B P A B P i += 19719601.03198.03298.032=⨯+⨯⨯=.24. 有两箱同种类的零件, 第一箱装50只, 其中10只一等品; 第二箱装30只, 其中18只一等品, 今从两箱中任挑出一箱, 然后从该箱中取零件两次, 每次任取一只, 作不放回抽样. 试求(1)第一次取到的零件是一等品的概率; (2)第一次取到的零件是一等品的条件下, 第二次取到的也是一等品的概率. 解: (1)记A i ={在第i 次中取到一等品}(i =1, 2), B ={挑到第i 箱}. 则有4.03018215121)|()()|()()(2121111=⨯+⨯=+=B A P B P B A P B P A P . (2))|()()|()()(2212121121B A A P B P B A A P B P A A P +=19423.030182129175121499=⨯⨯+⨯⨯=, 4856.04.019423.0)()()|(12112===A P A A P A A P .25. 某人下午5:00下班, 他所积累的资料表明: 到家时间 5:35~5:39 5:40~5:44 5:45~5:49 5:50~5:54 5:54之后的, 试求他是乘地铁回家的概率.解: 设A ={乘地铁}, B ={乘汽车}, C ={在5:47到家}, 由题意, AB =∅, A ⋃B =S .已知P (A )=0.5, P (C|A )=0.45, P (C|B )=0.2, P (B )=0.5, 由贝叶斯公式有)()|()()|()()|()()()|()|(B P B C P A P A C P A P A C P C P A P A C P C A P +== 6923.05.02.05.045.05.045.0=⨯+⨯⨯=.26. (1)设有4个独立工作的元件1, 2, 3, 4. 它们的可靠性分别为p 1, p 2, p 3, p 4, 将它们按图1-3的方式联接, 求系统的可靠性.解: 记A i 表示第i正常.因为A =A 1A 2A 3+A 1A 4两种情况不互斥, 所以P (A )=P (A 1A 2A 3)+P (A 1A 4)-P (A 1A 2A 3 A 4) (加法公式) =P (A 1)P (A 2)P (A 3)+P (A 1)P (A 4)-P (A 1)P (A 2)P (A 3)P (A 4) =p 1p 2p 3+p 1p 4-p 1p 2p 3p 4 (A 1, A 2, A 3, A 4独立).26. (2)设有5独立工作的元件1, 2, 3, 4, 5, 它们的可靠性均为p , 将它们按图1-4的方式联接, 求系统的可靠性. 解: 记A i 表示第i 个元件正常工作(i =1, 2, 3, 4, 5), B 表示系统正常, 则)()(2345453121A A A A A A A A A A P B P ⋃⋃⋃=)()()()(2345453121A A A P A A P A A A P A A P +++= )()()(432154215321A A A A P A A A A P A A A A P ---)()()(5432543215431A A A A P A A A A A P A A A A P --- )()(45432154321A A A A A P A A A A A P -+24222522p p p p +-+=.27. 如果一危险情况C 发生时, 一电路闭合并发出警报, 我们可以借用两个或多个开关并联以改善可靠性. 在C 发生时这些开关每一个都应闭合, 且至少一个开关闭合了, 警报就发出, 如果两个这样开关并联接, 它们每个具有0.95的可靠性(即在情况C 发生时闭合的概率). (1)这时系统的可靠性(即电路闭合的概率)是多少？(2)如果需要有一个可靠性至少为0.9999的系统, 则至少需要用多少只开关并联？这里各开关闭合与否都是相互独立的.解: (1)设A i 表示第i 个开关闭合, A 表示电路闭合, 于是A =A 1⋃A 2. 由题意当两个开关并联时P (A )=0. 96. 再由A 1, A 2的独立性得P (A )=P (A 1⋃A 2)=P (A 1)+P (A 2)-P (A 1A 2)=P (A 1)+P (A 2)-P (A 1)P (A 2)=2⨯0.96-(0.96)2=0.9984.(2)设至少需要n 个开关闭合, 则∏==≥-=--=⋃=ni i i n i A P A P A P 1419999.004.01)](1[1)()(, 即 0.04n ≤0.00001,所以 58.304.0lg 00001.0lg =≥n , 故至少需要4只开关联.28. 三个独立地去破译份密码, 已知各人能译出的概率分别为1/5, 1/3, 1/4, 问三个中至少有一个能将此密码译出的概率是多少？解: 设A , B , C 分别表示{第一、二、三人独立译出密码}, D 表示{密码被译出}, 则)(1)()(C B A P C B A P D P ⋃⋃-=⋃⋃=)()()(1)(1C P B P A P C B A P -=⋂⋂-=534332541=⨯⨯-=.29. 设第一个盒子装有3只蓝球, 2只绿球, 2只白球；第二个盒子装有2只蓝球, 3只绿球, 4只白球. 独立地分别在两只盒子中各取一只球.(1)求至少有一只蓝球的概率;(2)求有一只蓝球一只白球的概率;(3)已知至少有一只蓝球, 求有一只蓝球一只白球的概率. 解: 记A 1, A 2, A 3分别表示是从第一只盒子中取到一只蓝球, 一只绿球, 一只白球, B 1, B 2, B 3分别表示是从第二只盒子中取到一只蓝球, 一只绿球, 一只白球. 则A i 与B i 独立(i =1, 2, 3).(1)所求概率为9592739273)()()()(111111=⨯-+=-+=⋃B A P B P A P B A P . (2)所求概率为)()()()()(13311331B P A P B P A P B A B A P +=⋃631692729473=⨯+⨯=. (3)所求概率为P (A 1B 3⋃A 3B 1| A 1⋃B 1)=P (A 1B 3| A 1⋃B 1)+P (A 3B 1| A 1⋃B 1))())(()())((111113111131B A P B A B A P B A P B A B A P ⋃⋃+⋃⋃= )())()())(11131311131131B A P B A B A A P B A P B B A B A P ⋃⋃+⋃⋃= 35169/563/16)()()(111331==⋃+=B A P B A P B A P .30. A , B , C 三人在同一办公室工作, 房间有三部电话, 据统计知, 打给A , B , C 的电话的概率分别为2/5, 2/5, 1/5. 他们三人常因工作外出, A , B , C 三人外出的概率分别为1/2, 1/4, 1/4, 设三人的行动相互独立, 求:(1)无人接电话的概率;(2)被呼叫人在办公室的概率;若某一时间段打进3个电话, 求:(3)这3个电话打给同一人的概率;(4)这3个电话打给不同人的概率;(5)这3个电话都打给B , 而B 却都不在的概率. 解: 设A 1, B 1, C 1分别表示A , B , C 三个人外出的事件, A , B , C 分别表示打给三个人的电话的事件.(1)P (无人接电话)=P (A 1B 1C 1)=P (A 1)P (B 1)P (C 1)321414121=⨯⨯=. (2)用D 表示被呼叫人在办公室的事件, 则C C B B A AD 111++=,)()(111C C B B A A P D P ++=)()(()()()(111C P C P BP P B P A P A P ++=2013514352435221=⨯+⨯+⨯=.(3)用E 表示3个电话打给同一个人的事件, E 1, E 2, E 3分别表示3个电话是打给A , B , C , 则E =E 1+E 2+E 3,)()()()(321E P E P E P E P ++=12517)51()52()52(333=++=.(4)用F 表示3个电话打给不同的人的事件, 则F 由六种互斥情况组成, 每种情况为打给A , B , C 的三个电话, 每种情况的概率为1254515252=⨯⨯, 于是 1252412546)(=⨯=F P . (5)由于是知道每次打电话都给B , 其概率是1, 所以每一次打给B 电话而B 不在的概率为41, 且各次情况相互独立, 于是 P (3个电话都打给B , B 都不在的概率)641)41(3==.31. 袋中装有m 只正品硬币, n 只次品硬币(次品硬币的两面均印有国徽). 在袋中任取一只, 将它投掷r 次, 已知每次都得到国徽. 问这只硬币是正品的概率为多少？解: 用A 表示出现r 次国徽的事件, B 表示任取一只是正品的事件, 则r r nm n n m m B A P B P B A P B P A P 1)21()|()()|()()(⨯+++=+=,)()|()()|(A P B A P B P A B P =r n m m2⋅+=.32. 设一枚深炸弹击沉一潜水艇的概率为1/3, 击伤的概率为1/2, 击不中的概率为1/6, 并设击伤两次也会导致潜水艇下沉, 求施放4枚深炸能击沉潜水艇的概率.解: 用A 表示施放4枚深炸击沉潜水艇的事件, 则433446131]21)61()61[(1)(1)(-=⨯+-=-=C A P A P .33. 设根据以往记录的数据分析, 某船只运输某种物品损坏的情况共有三种: 损坏2%(这一事件记为A 1), 损坏10%(事件A 2), 损坏90%(事件A 3), 且知P (A 1)=0.8, P (A 2)=0.15, P (A 3)=0.05, 现在从已被运输的物品中随机地取3件, 发现这3件都是好的(这一事件记为B ), 试分别求P (A 1|B ), P (A 2|B ), P (A 3|B )(这里设物品件数很多, 取出一件后不影响后一件是否是好品的概率). 解: 因为B 表取得三件好物品.B =A 1B +A 2B +A 3B , 且三种情况互斥,由全概率公式, 有P (B )=P (A 1)P (B|A 1)+P (A 2)P (B|A 2)+P (A 3)P (B|A 3) =0.8×(0.98)3+0.15×(0.9)3+0.05×(0.1)3=0.8624,8731.08624.0)98.0(8.0)()|()()()()|(31111=⨯===B P A B P A P B P B A P B A P , 1268.08624.0)9.0(15.0)()|()()()()|(32222=⨯===B P A B P A P B P B A P B A P , 0001.08624.0)1.0(05.0)()|()()()()|(33333=⨯===B P A B P A P B P B A P B A P .34. 将A , B , C 三个字母一一输入信道, 输出为原字母的概率为α, 而输出为其它一字母的概率都是(1-α)/2. 今将字母串AAAA , BBBB , CCCC 之一输入信道, 输入AAAA , BBBB , CCCC 的概率分别为p 1, p 2, p 3 (p 1+p 2+p 3=1), 已知输出为ABCA , 问输入的是AAAA 的概率是多少？(设信道传输每个字母的工作是相互独立的. )解: 用A , B , C 分别表示输入信号为AAAA , BBBB , CCCC ,用H 表示输出信号为ABCA . 由于每个字母的输出是相互独立的, 于是有4)1(]2/)1[()|(2222αααα-=-=A H P , 8)1(]2/)1[()|(33αααα-=-=B H P , 8)1(]2/)1[()|(33αααα-=-=C H P . 又P (A )=p 1, P (B )=p 2, P (C )=p 3, 由贝叶斯公式得)()|()()|()()|()()|()|(C P C H P B P B H P A P A H P A P A H P H A P ++= 33231221228)1(8)1(4)1(4)1(p p p p ⋅-+⋅-+⋅-⋅-=αααααααα ))(1(223211p p p p +-+=ααα.。
数学类考研浙江大学《概率论与数理统计》考研真题与复习笔记第一部分考研真题精选一、选择题1设A，B，C为三个随机事件，且P（A）＝P（B）＝P（C）＝1/4，P（AB）＝0，P（AC）＝P（BC）＝1/12，则A，B，C中恰有一个事件发生的概率为（）。
[数一2020研]A．3/4B．2/3C．1/2D．5/12【答案】D查看答案【解析】只发生A事件的概率：只发生B事件的概率：只发生C事件的概率：A，B，C中恰有一个事件发生的概率：故选择D 项。
2设A ，B 为随机事件，则P （A ）＝P （B ）的充分必要条件是（ ）。
[数一2019研]A ．P （A ∪B ）＝P （A ）＋P （B ） B ．P （AB ）＝P （A ）P （B ）C ．P （A B ＿）＝P （B A ＿） D ．【答案】C 查看答案【解析】选项A 只能说明事件A 与事件B 不相容，选项B 只能说明事件A与事件B 相互独立，并不能说明P （A ）＝P （B ），对选项D 来说，若令B ＝A ＿，等式恒成立，亦不能说明P （A ）＝P （B ），故选C 。
3若A ，B 为任意两个随机事件，则（ ）。
[数一、数三2015研] A ．P （AB ）≤P （A ）P （B ） B ．P （AB ）≥P （A ）P （B ）C ．P （AB ）≤（P （A ）＋P （B ））/2D ．P （AB ）≥（P （A ）＋P （B ））/2【答案】C 查看答案【解析】由于AB ⊂A ，AB ⊂B ，按概率的基本性质，有P （AB ）≤P （A ）且P （AB ）≤P （B ），从而P （AB ）≤（P （A ）＋P （B ））/2，故选C 项。
4设事件A ，B 相互独立，P （B ）＝0.5，P （A －B ）＝0.3则P （B －A ）＝（ ）。
[数一、数三2014研]B．0.2C．0.3D．0.4【答案】B查看答案【解析】P（A－B）＝0.3＝P（A）－P（AB）＝P（A）－P（A）P（B）＝P（A）－0.5P（A）＝0.5P（A），故P（A）＝0.6，P（B－A）＝P（B）－P （AB）＝0.5－0.5P（A）＝0.2。
浙江⼤学概率论与数理统计课后习题以及详解答案浙⼤第四版（⾼等教育出版社）第⼀章概率论的基本概念1.[⼀] 写出下列随机试验的样本空间（1）记录⼀个⼩班⼀次数学考试的平均分数（充以百分制记分）（[⼀] 1）=n n nn o S 1001, ，n 表⼩班⼈数（3）⽣产产品直到得到10件正品，记录⽣产产品的总件数。
（[⼀] 2）S={10，11，12，………，n ，………}（4）对某⼯⼚出⼚的产品进⾏检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出⼆个次品就停⽌检查，或检查4个产品就停⽌检查，记录检查的结果。
查出合格品记为“1”，查出次品记为“0”，连续出现两个“0”就停⽌检查，或查满4次才停⽌检查。
（[⼀] (3)）S={00，100，0100，0101，1010，0110，1100，0111，1011，1101，1110，1111，} 2.[⼆] 设A ，B ，C 为三事件，⽤A ，B ，C 的运算关系表⽰下列事件。
（1）A 发⽣，B 与C 不发⽣。
表⽰为：CB A 或A － (AB+AC )或A － (B ∪C )（2）A，B都发⽣，⽽C不发⽣。
表⽰为：CAB或AB－ABC或AB－C（3）A，B，C中⾄少有⼀个发⽣表⽰为：A+B+C（4）A，B，C都发⽣，表⽰为：ABC（5）A，B，C都不发⽣，表⽰为：CA或S－B(A+B+C)或CA?B（6）A，B，C中不多于⼀个发⽣，即A，B，C中⾄少有两个同时不发⽣相当于CA,,中⾄少有⼀个发⽣。
故表⽰为：BBACA++。
BBCAC（7）A，B，C中不多于⼆个发⽣。
相当于：CB,中⾄少有⼀个发⽣。
故表⽰为：ABCA,+A或+BC （8）A，B，C中⾄少有⼆个发⽣。
相当于：AB，BC，AC中⾄少有⼀个发⽣。
故表⽰为：AB+BC+AC6.[三] 设A，B是两事件且P (A)=0.6，P (B)=0.7. 问(1)在什么条件下P (AB)取到最⼤值，最⼤值是多少？（2）在什么条件下P (AB)取到最⼩值，最⼩值是多少？解：由P (A) = 0.6，P (B) = 0.7即知AB≠φ，（否则AB = φ依互斥事件加法定理，P(A∪B)=P (A)+P (B)=0.6+0.7=1.3>1与P (A∪B)≤1⽭盾）.从⽽由加法定理得P (AB)=P (A)+P (B)－P (A∪B) (*)（1）从0≤P(AB)≤P(A)知，当AB=A，即A∩B时P(AB)取到最⼤值，最⼤值为P (AB )=P (A )=0.6，（2）从(*)式知，当A ∪B=S 时，P (AB )取最⼩值，最⼩值为 P (AB )=0.6+0.7－1=0.3 。
第二部分课后习题第1章概率论的基本概念1．写出下列随机试验的样本空间S：（1）记录一个班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）；（2）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数；（3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出了2件次品就停止检查，或检查了4件产品就停止检查，记录检查的结果；（4）在单位圆内任意取一点，记录它的坐标．解：（1）以n表示该班的学生数，总成绩的可能取值为0，1，2，3，…，100n，试验的样本空间为（2）设在生产第10件正品前共生产了k件不合格品，样本空间为或写成（3）采用0表示检查到一件次品，以1表示检查到一件正品，例如0110表示第一次与第四次检查到次品，而第二次与第三次检查到的是正品，样本空间可表示为（4）取一直角坐标系，则有，若取极坐标系，则有2．设A，B，C为三个事件，用A，B，C的运算关系表示下列各事件：（1）A发生，B与C不发生；（2）A与B都发生，而C不发生；（3）A，B，C中至少有一个发生；（4）A，B，C都发生；（5）A，B，C都不发生；（6）A，B，C中不多于一个发生；（7）A，B，C中不多于两个发生；（8）A，B，C中至少有两个发生．解：以下分别用表示（1），（2），…，（8）中所给出的事件．一个事件不发生即为它的对立事件发生，例如事件A不发生即为发生．（1）A发生，B与C不发生，表示A，，同时发生，故或写成；（2）A与B都发生而C不发生，表示A，B，同时发生，故或写成；（3）①方法1由和事件的含义知，事件即表示A，B，C中至少有一个发生，故；②方法2事件“A，B，C至少有一个发生”是事件“A，B，C都不发生”的对立事件，因此，；③方法3事件“A，B，C中至少有一个发生”表示三个事件中恰有一个发生或恰有两个发生或三个事件都发生，因此，又可写成（4）；（5）；（6）“A，B，C中不多于一个发生”表示A，B，C都不发生或A，B，C中恰有一个发生，因此，；又“A，B，C中不多于一个发生”表示“A，B，C中至少有两个不发生”，亦即，，中至少有一个发生，因此又有；又“A，B，C中不多于一个发生”是事件G＝“A，B，C中至少有两个发生”的对立事件．而事件G可写成，因此又可将写成（7）“A，B，C中不多于两个发生”表示A，B，C都不发生或A，B，C中恰有一个发生或A，B，C中恰有两个发生．因此又“A，B，C中不多于两个发生”表示A，B，C中至少有一个不发生，亦即中至少有一个发生，即有；又“A，B，C中不多于两个发生”是事件“A，B，C三个都发生”的对立事件，因此又有；（8），也可写成．3．（1）设A，B，C是三个事件，且P（A）＝P（B）＝P（C）＝，P（AB）＝P（BC）＝0，P（AC）＝，求A，B，C至少有一个发生的概率．（2）已知P（A）＝，P（B）＝，P（C）＝，P（AB）＝，P（AC）＝，P（BC）＝，P（ABC）＝，求，，，，，的概率．（3）已知P（A）＝，（i）若A，B互不相容，求；（ii）若P（AB）＝，求．解：（1）由，已知，故，得，所求概率为．（2）记，由加法公式（3）（i）；（ii）．4．设A、B是两个事件（1）已知，验证A＝B；（2）验证事件A和事件B恰有一个发生的概率为P（A）＋P（B）－2P（AB）．解：（1）假设，故有，则,即AS＝SB，故有A＝B．（2）A，B恰好有一个发生的事件为，其概率为5．10片药片中有5片是安慰剂（1）从中任意抽取5片，求其中至少有2片是安慰剂的概率；（2）从中每次取一片，作不放回抽样，求前3次都取到安慰剂的概率．解：（1）p＝1－P（取到的5片药片均不是安慰剂）－P（取到的5片药片中只有1片是安慰剂），即p（2）．6．在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任选3人记录其纪念章的号码．（1）求最小号码为5的概率；（2）求最大号码为5的概率．解：在房间里任选3人，记录其佩戴的纪念章的号码，10人中任选3人共有＝种选法，此即为样本点的总数．以A记事件“最小的号码为5”，以B记事件“最大的号码为5”．（1）因选到的最小号码为5，则其中一个号码为5且其余两个号码都大于5，它们可从6～10这5个数中选取，故，从而；（2）同理，，故．7．某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶、红漆3桶，在搬运中所有标签脱落，交货人随意将这些油漆发给顾客．问一个订货为4桶白漆、3桶黑漆和2桶红漆的顾客，能按所订颜色如数得到订货的概率是多少？解：以S表示：在17桶油漆中任取9桶给顾客．以A表示事件“顾客取到4桶白漆、。
第四部分模拟试题浙江大学《概率论与数理统计》（第4版）配套模拟试题及详解（一）一、选择题（1～8小题，每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。
）1．设A、B、C为事件，Ρ（ABC）＞0，则Ρ（AB|C）＝Ρ（A|C）Ρ（B|C）充要条件是（）。
A．Ρ（A|C）＝Ρ（A）B．Ρ（B|C）＝Ρ（B）C．Ρ（AB|C）＝Ρ（AB）D．Ρ（B|AC）＝Ρ（B|C）【答案】D【解析】指在事件C发生的条件下，事件A与B独立，故“在C发生的条件下，A发生与否不影响B发生的概率”，即P（B|AC）＝P（B|C），D项正确。
也可以通过计算来确定选项。
事实上，ABC三项分别是A与C、B与C、AB与C独立的充要条件。
2．设随机变量和相互独立且均服从下列分布：，，则下列随机变量中服从二项分布的是（）。
A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意知，的可能取值为－2，0，2，故的可能取值为0，1，2，且，。
3．设随机变量X l,X2,X3,X4均服从分布B（1，），则（）。
A．X1＋X2与X3＋X4同分布B．X1－X2与X3－X4同分布C．（X1，X2）与（X3，X4）同分布D．同分布【答案】D【解析】显然同服从分布。
A、B、C三项均不正确，可以举反例如下：设表1，表2显然均服从但（X，X2）与（X3，X4）不同分布。
而即X1＋X2与X3＋X4不同分布。
，即X1－X2与X3－X4不同分布。
4．设相互独立的两随机变量X和Y，其中而Y具有概率密度，则P{X＋Y}的值为（）。
A．B．C．D．【答案】A【解析】X取值只能为X＝0或X＝1，将X＝0和X＝1看成完备事件组，用全概率公式得，5．假设随机变量X与Y的相关系数为，则=1的充要条件是（）。
A．Y=aX＋b（a>0）B．cov（X，Y）=1，DX=DY=1C．cov（X，Y）=，D．D（X＋Y）=（＋）【答案】D【解析】显然A、B、C三项是=1的充分条件但不是必要条件，因此选D项。
第4章随机变量的数字特征一、选择题1．设随机变量不相关，且，则（）．[数一2015研]A．－3B．3C．－5D．5【答案】D【解析】随机变量不相关，因此．进而得故选D项．2．设总体，，，…，为来自该总体的简单随机样本，为样本均值，则（）．[数三2015研]A．B．C．D．【答案】B【解析】根据样本方差的性质，有从而故选B项．3．设连续型随机变量相互独立，且方差均存在，的概率密度分别为，随机变量的概率密度为，随机变量，则（）．[数一2014研]A．B．C．D．【答案】D【解析】4．将长度为lm的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为（）．[数一2012研]A．1B．C．－D．－1【答案】D【解析】假设木棒两段长度分别为x，y，有x＋y＝1即y＝1－x，故x，y是线性关系，且相关系数为－l．5．设随机变量X与Y相互独立，且EX与EY存在．记U＝max{X，Y}，V＝min{X，Y}，则E（UV）等于（）．[数一2011研]A．EU·E VB．EX·E YC．EU·E YD．EX·EV【答案】B【解析】UV＝max{X，Y}min{X，Y），而无论X与Y的关系如何，UV＝XY．从而二、填空题1．设随机变量X服从标准正态分布X～N（0,1），则＝______．[数一、数三2013研]【答案】【解析】由X～N（0,1）及随机变量函数的期望公式知2．设二维随机变量（X，Y）服从正态分布，则＝______．[数一、数三2011研]【答案】【解析】由题设知，（X，Y）～，从而X，Y的相关系数为0，所以，由二元正态分布的性质知X，Y独立，所以3．设随机变量X的概率分布为P（X＝k）＝（k＝0，1，2，…），则＝_______．[数一2010研]【答案】2【解析】，所以X服从参数为1的泊松分布，于是，故4.设，，，为来自总体的简单随机样本，统计量，则＝_____．[数三2010研]【答案】【解析】三、解答题1．设随机变量X的分布为，在给定的条件下，随机变量服从均匀分布。
1解：该试验的结果有9个：（0，a ），（0，b ），（0，c ），（1，a ），（1，b ），（1，c ），（2，a ），（2，b ），（2，c ）。
所以，（1）试验的样本空间共有9个样本点。
（2）事件A 包含3个结果：不吸烟的身体健康者，少量吸烟的身体健康者，吸烟较多的身体健康者。
即A 所包含的样本点为（0，a ），（1，a ），（2，a ）。
（3）事件B 包含3个结果：不吸烟的身体健康者，不吸烟的身体一般者，不吸烟的身体有病者。
即B 所包含的样本点为（0，a ），（0，b ），（0，c ）。
2、解 （4）（1）ABBC AC 或ABC ABC ABC ABC ； （5）（2）ABBC AC （6）（提示：题目等价于A ，B ，C 至少有2个发生，与（1）相似）； （7）（3）ABC ABC ABC ；（8）（4）AB C 或ABC ；（9）（提示：A ，B ，C 至少有一个发生，或者A B C ，，不同时发生）；3（1）错。
依题得,但，故A 、B 可能相容。
（2）错。
举反例 （3）错。
举反例 （4）对。
证明：由,知,即A 和B 交非空，故A 和B 一()()()()0=-+=B A p B p A p AB p 空集≠B A ()6.0=A p ()7.0=B p ()()()()()3.03.1>-=-+=B A p B A p B p A p AB p定相容。
4、解（1）因为A B ，不相容，所以A B ，至少有一发生的概率为：()()()=0.3+0.6=0.9P A B P A P B =+(2) A B ， 都不发生的概率为：()1()10.90.1P A B P A B =-=-= ；（3）A 不发生同时B 发生可表示为：AB ，又因为A B ，不相容，于是()()0.6P A B P B == ；5解：由题知,. 因得，故A,B,C 都不发生的概率为.6、解 设A ={“两次均为红球”}，B ={“恰有1个红球”}，C ={“第二次是红球”} 若是放回抽样，每次抽到红球的概率是：810，抽不到红球的概率是：210，则 （1）88()0.641010P A =⨯=； ()3.0=BC AC AB p ()05.0=ABC P ()()()()()ABC p BC p AC p AB p BC AC AB p 2-++= ()()()()4.023.0=+=++ABC p BC p AC p AB p ()()C B A p C B A p -=1()()()()()()()()[]ABC p BC p AC p AB p C p B p A p +++-++-=1()05.04.02.11+--=15.0=（2）88()210.321010P B =⨯⨯-=（）； （3）由于每次抽样的样本空间一样，所以：8()0.810P C == 若是不放回抽样，则（1）2821028()45C P A C ==；（2）118221016()45C C P B C ==； （3）111187282104()5A A A A P C A +==。
