第二章 随机信号及其统计描述

第二章 随机信号及其统计描述
本章简要阐述了随机过程的基本概 念、统计描述方法，介绍了高斯噪声和 白噪声及其统计特性。
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2.1随机过程

随机过程是随机变量概念的扩展。 如接收机的噪声电压就是随时间而随 机变化的。这种随时间而变化的随机变 量就是随机过程。
2
t
t
图2.1 接收机输出的噪声电压波形
…
t
t 2 t1

称这两个随机过程是联合广义平稳随机 过程。
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（4）广义平稳随机过程自相 关函数的性质 1

性质1：自相关函数是偶函数，即
RX ( ) RX ( )

性质2：在 0 时有最大值，即
RX (0) RX ( )
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（4）广义平稳随机过程自相 关函数的性质 2
图2.2 平稳随机过程的自相关函数和自协方差函数
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2．随机过程的各态历经性 1
设平稳随机过程 X (t )，它的时间均值定义 为 1 T mx lim T x(t )dt T 2T x 其中，(t )为随机过程 X (t ) 的任一样本。 时间相关函数定义为

1 T Rx ( ) lim x(t ) x(t )dt T 2T T

性质3：随机过程 X (t ) 满足条件 X (t ) X (t T， ) 则称它为周期为T的周期性随机过程，周期性 随机过程的自相关函数同样具有周期性，即
RX ( ) RX ( T )

性质4：如果随机过程 X (t ) 不含周期分量，那 么 2 lim R X ( ) m X
严格平稳随机过程的自相关函数也是与 时刻 t1 和 t 2 无关，仅为时间间隔 的函 数。
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（2）宽平稳随机过程

X 定义：若随机过程是二阶矩过程， (t )的数 学期望是与时间无关的常量，而自相关 函数仅与时间间隔 有关，即
mX (t ) mX
RX (t1 , t2 ) RX ( )
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2.1.1 随机过程的概念


定义1：设随机试验E的样本空间为S {e} 对其中每一个元素 ei i 1， ） 都以某 （ 2， 种法则确定一个样本函数 x(t，ei ) ，由 全部元素 {e} 所确定的一簇样本函数 X (t，e) 称为随机过程，简记为 X (t ) 。 定义2：设有一个随机过程 X (t ) ，若对 ti 2， X 于每一个固定的时刻 （i 1， ） ， (ti ) 是一个随机变量，则 X (t ) 称为随机过程。
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2.1.2 随机过程的统计描述

用统计特性描述随机过程的方法分为两 大类:


一类是多维概率密度函数和分布函数的描述 方法； 另一类是随机过程的数字特征。
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1．随机过程的概率分布 1


随机过程 X (t ) 的一维概率分布函数 FX ( x1 , t1 ) PX (t1 ) x1 随机过程 X (t )的一维概率密度函数

自相关函数描述了随机过程在任意两个不同时刻取 值之间的相关程度。 互相关函数
RXY (t1 , t2 ) EX (t1 )Y (t2 )


x1 y2 f XY ( x1 , y2 , t1 , t2 )dx1dy2
互相关函数描述了两个随机过程之间的统计关联特 性。
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2．随机过程的各态历经性 2

定义：设 X (t )是一个平稳随机过程， （1）如果时间均值依概率1等于集合平均，即
mx m X

P
则称 X (t )的均值具有各态历经性（也叫遍历性）。 （2）如果时间相关函数依概率1等于集合相关函数， P 即 Rx ( ) R X ( ) 则称 X (t )的相关函数具有各态历经性。 （3）如果平稳随机过程的均值和自相关函数都具有各 态历经性，则称为广义各态历经过程。
2 X 2 2

它描述了随机ຫໍສະໝຸດ 程的诸样本相对于数学期望 的平均偏离程度。
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2．随机过程的数字特征 2

3．相关函数 自相关函数
RX (t1 , t2 ) EX (t1 ) X (t2 )


x1 x2 f X ( x1 , x2 , t1 , t2 )dx1dx2
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1.独立性1

定义：如果X (t ) 和Y (t )任意n+m维联合概 率密度函数满足
f X ( x1 , x2 ,, xn , t1 , t 2 ,t n ) fY ( y1 , y2 , ym , t1 , t 2 ,t m )
FX ( x1 , t1 ) f X ( x1 , t1 ) x1

一维概率分布函数和一维概率密度函数给出了 随机过程最简单的概率分布特性，只能描述随 机过程在任一孤立时刻取值的统计特性，而不 能反映出随机过程各个时刻的内在联系。
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1．随机过程的概率分布2

随机过程 X (t ) 的二维概率分布函数
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（1）严格平稳随机过程 1

定义：如果随机过程 X (t ) 的任意n维分布不随 时间起点的不同而变化，即当时间平移任意常 数 t 时，其n维概率密度不变化，则称 X (t ) 是 严格平稳的随机过程（或狭义平稳随机过程）。 应满足下述关系式：
f X ( x1 , x2 ,, xn , t1 t , t2 t ,, tn t ) f X ( x1 , x2 ,, xn , t1 , t2 ,, tn )
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2．随机过程的数字特征 3

4．协方差函数 自协方差函数
C X (t1 , t2 ) EX (t1 ) mX (t1 )X (t2 ) mX (t2 )

x m
1
X
(t1 )x2 mX (t2 ) f X ( x1 , x2 , t1 , t2 )dx1dx2
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2．随机过程的各态历经性 3


用数学语言来说，随机过程的各态历经性就是 关于（充分长的）时间的均值依概率收敛于集 合均值。具有各态历经性的随机过程就称之为 各态历经过程。 各态历经性的物理意义是指随机过程的任一样 本在足够长的时间内，都先后经历了这个随机 过程的各种可能的状态，即每个样本都可以作 为有充分代表性的典型样本。
FX ( x1 , x2 , t1 , t2 ) P{ X (t1 ) x1 , X (t2 ) x2 }

随机过程 X (t )的二维概率密度函数
FX ( x1 , x2 , t1 , t 2 ) f X ( x1 , x2 , t1 , t 2 ) x1x2

二维概率分布函数和二维概率密度函数比一维 包含了更多的信息，可以描述随机过程在任两 个时刻取值之间的关联。但它还是不能完整的 反映出随机过程的全部信息。
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（1）严格平稳随机过程4

应用于二维概率密度函数
t t1
t2 t1
f X ( x1 , x2 , t1 , t2 ) f X ( x1 , x2 ,0, )

严格平稳随机过程的二维概率密度函数 仅与时间间隔 有关，而与时刻 t1 和 t 2 无关，故可简记为 f X ( x1 , x2 , )

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（4）广义平稳随机过程自相 关函数的性质 3 性质5： R (0) EX (t ) m

2 X 2 X 2 X
2 性质6 ： RX ( ) C X ( ) mX
RX ( )
2 2 X mX
C X ( )
2 X 2 mX
0 （a）

0

（b）

2 X (t ) E X (t ) m X (t )2






x m X (t )2 f X ( x, t )dx




2 [ x m X ]2 f X ( x ) dx X
严格平稳随机过程的数学期望和方差也 都是与时间无关的常量。
表示随机过程在任意两个时刻起伏值之间的 平均相关程度。
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2．随机过程的数字特征 4

互协方差函数
C XY (t1 , t2 ) EX (t1 ) mX (t1 )Y (t2 ) mY (t2 )

x m
1
X
(t1 ) y2 mY (t2 ) f XY ( x1 , y2 , t1 , t2 )dx1dy2

n+m维联合概率密度函数定义为
f XY ( x1 , x2 ,, xn , y1 , y2 , , ym , t1 , t 2 , t n , t1 , t 2 , t m ) FXY ( x1 , x2 , , xn , y1 , y2 , ym , t1 , t 2 , t n , t1 , t 2 , t m ) x1x2 xn y1y2 ym
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2.1.4 随机过程的独立性、相关性和正交性

X (t )和Y (t )的n+m维联合概率分布函数定义
为
FXY ( x1 , x2 ,, xn , y1 , y2 , ym , t1 , t2 ,tn , t1, t2 ,tm ) PX (t1 ) x1 , X (t2 ) x2 ,, X (tn ) xn , Y (t1 ) y1 , Y (t2 ) y2 ,, Y (tm ) ym

n值越大，用随机过程的n维概率分布函数和n 维概率密度函数来描述随机过程的统计特性也 就越完善
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