概率统计及随机过程：3.1 二维随机变量及其分布 (2)

第三章 二维随机变量及其分布 一、 二维随机变量及其联合分布设Ω为某实验的样本空间，X 和Y 是定义在Ω上的两个随机变量，则称有序随机变量对（X,Y ）为比如，研究某地区人口的健康状况可能取身高和体重两个参数作为随机变量；打靶弹着点选取横纵坐标。

§3.1.1联合分布函数定义1：设（X ，Y ）为二维随机变量，对任意实数χ，y为（X ，Y ）的分布函数或称为X 与Y 几何上，F （χ，y ）表示（X ，Y ）落在平面直角坐标系中以（χ,y ）为顶点左下方的无穷矩形内的概率（见图） y 二维随机变量（X ，Y ）的分布函数F （x,y 1°F(x,y)对每个自变量是单调不减的，即若x1<x2，则有F(x1,y)≤F(x2,y); 若y1<y2，则有F(x,y1)≤F(x,y2).2°0≤F(x,y)≤1且 F(x,-∞)=F(-∞,y)=F(-∞,-∞)=0,F(+∞,+∞)=13° F(x,y)对每个自变量是右连续的，即 F （x+0,y ）= F （x,y ）, F （x,y+0）= F （x,y ） 4° 对任意x1≤x2, y1≤y2有 F(x2,y2)-F(x1,y2)- F(x2,y1)+F(x1,y1)≥0事实上，由图可见(见右图)F(x2,y2)-F(x1,y2)- F(x2,y1)+F(x1,y1)例1设（X ，Y ）的分布函数为解：由性质4°可得X，Y）的所有可能取值为有限对或可列对，则称（X，Y设（X，Y）的所有可能取值为（xi,yj）,i ,j=1,2,……P{X=xi,Y=yj }=pij,i,j=1,2,……，为（X，Y）的分布律，或称为X与Y 用表格表示:性质 1. pij≥0,一切i,j,2. 显然，（X，Y）落在区域D内的概率应为由此便得（X，Y）的分布函数与分布律之间关系为例2两封信随机地向编号为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ的四个邮筒内投，令 X表示投入Ⅰ号邮筒内的信件数； Y 表示投入Ⅱ号邮筒内的信件数。

第三章二维随机变量引入二维随机变量目的、用处: 在第二章中,我们讨论了用一个随机变量描述试验结果以及随机变量的概率分布问题.但在实际和理论研究中,有许多随机试验,仅用一个随机变量描述不够用.需要引入二维、三维、n维随机变量描述其规律性.例如,对平面上的点目标进行射击,弹着点A的位置需要用横坐标X和纵坐标Y才能确定.由于X和Y 的取值都是随着试验结果而变化.因此X和Y都是随机变量, 弹着点A 的位置是)X.,(Y又如空中飞行的飞机(其重心)需要用三个随机变量Z,才能确X,Y定它的位置.等等.因此需要考虑多个随机变量及其取值规律问题.定义:设试验E 的样本空间为}{e S =,而)(e X X i i =是定义在}{e S =上的随机变量,n i ,,2,1⋅⋅⋅=,把n 个随机变量n X X X ,,,21⋅⋅⋅构成的有序随机变量组),,,(21n X X X ⋅⋅⋅称为n 维随机变量(或n维随机向量);对任意实数n x x x ,,,21⋅⋅⋅，函数),,,(21nx x x F ⋅⋅⋅},,,{2211nn x X x X x X P ≤⋅⋅⋅≤≤= 称为n 维随机变量),,,(21n X X X ⋅⋅⋅的分布函数或称为n 个随机变量nX X X ,,,21⋅⋅⋅的联合分布函数.第一节 随机向量与联合分布一. 定义和基本性质定义1 设试验E 的样本空间为}{e S =,而)(),(e Y Y e X X ==是定义在}{e S =上的两个随机变量.称由这两个随机变量组成的向量),(Y X 为二维随机变量或二维随机向量.例如 掷两颗骰子,观察出现的点数.设X 为第一颗骰子出现的点数,Y 为第二颗骰子出现的点数,Y X ,为定义在}6,,2,1,|),{(⋅⋅⋅==j i j i S上的两个随机变量,),(Y X 为二维随机变量,它描述了掷两颗骰子出现的点数情况.对任意实数y x ,,随机事件})(,)(|{},{y e Y x e X S e y Y x X ≤≤∈=≤≤有概率.定义 2 设),(Y X 为二维随机变量, 对任意实数y x ,,二元函数},{),(y Y x X P y x F ≤≤=})(,)(|{y e Y x e X S e P ≤≤∈=,称为二维随机变量),(Y X 的分布函数,或称为随机变量X 和Y 的联合分布函数.记},|),{(y v x u v u D ≤≤=，则},{),(y Y x X P y x F ≤≤=}),{(D Y X P ∈=分布函数},{),(y Y x X P y x F ≤≤=的性质：),(y x F 的定义域+∞<<∞-x ，+∞<<∞-y ；（1）1),(0≤≤y x F ，且},{lim ),(lim ),(y Y x X P y x F x F y y ≤≤==-∞-∞→-∞→ 0)(==φP ，0},{lim ),(lim ),(=≤≤==-∞-∞→-∞→y Y x X P y x F y F x x 0},{lim ),(lim ),(=≤≤==-∞-∞-∞→-∞→-∞→-∞→y Y x X P y x F F y x y x },{lim ),(lim ),(y Y x X P y x F F y x y x ≤≤==+∞+∞+∞→+∞→+∞→+∞→ 1)(==S P ；（2）),(y x F 对x 或对y 单调不减，即 ),(),(2121y x F y x F x x ≤⇒<，（由},{},{21y Y x X y Y x X ≤≤⊂≤≤及概率的单调性），),(),(2121y x F y x F y y ≤⇒<；（3）),(y x F 对x 或对y 右连续，即有),(),(lim ),(0y x F y x x F y x F x =∆+=+→∆+，),(),(lim ),(0y x F y y x F y x F y =∆+=+→∆+； （4）对任意实数2121,y y x x <<有},{02121y Y y x X x P ≤<≤<≤ ),(),(),(),(12211122y x F y x F y x F y x F --+=， 事实上},{2121y Y y x X x ≤<≤<},{22y Y x X ≤≤= },({21y Y x X ≤≤-}),{121y Y x X x ≤≤<+，},{2121y Y y x X x P ≤<≤< },{22y Y x X P ≤≤= },{(21y Y x X P ≤≤-}),{121y Y x X x P ≤≤<+ )),(),((),(),(11122122y x F y x F y x F y x F ---= ),(),(),(),(12211122y x F y x F y x F y x F --+=.可以证明:凡满足上述性质)4(~)1(的二元函数),(y x F 必定是某个二维随机变量的分布函数.例1 设二维随机变量),(Y X 的分布函数为)2arctan )(arctan (),(y c x b a y x F ++=, (1) 确定常数c b a ,,;(2) 求}0,0{>>Y X P .解(1) 利用分布函数的性质)2)(2(),(1ππ++=+∞+∞=c b a F , )2)(arctan (),(0π-+=-∞=c x b a x F ,由x 的任意性得,0)2(=-πc , 2π=c , )2arctan )(2(),(0y c b a y F +-=-∞=π,由y 的任意性得,0)2(=-πb , ,2π=b 从而21π=a ,2π=b ;(2) }0,0{}0,0{+∞<<+∞<<=>>Y X P Y X P)0,(),0()0,0(),(+∞-+∞-++∞+∞=F F F F4121212211222=⋅⋅-⋅⋅-⋅⋅+=πππππππππ. 例2设二维随机变量),(Y X 的分布函数为⎩⎨⎧>>--=--其它,00,0),)((),(2y x e b e a y x F y x , (1) 确定常数b a ,;(2) 求}2,0{≤>Y X P .解 (1) 利用分布函数的性质b a F ⋅=+∞+∞=),(1,))(1(),(lim ),0(00y x e b a y x F y F -→--===+, 由0>y 的任意性,得 1,01==-a a ,所以 1,1==b a ;(2)}2,0{}2,0{≤<-∞+∞<<=≤>Y X P Y X P),()2,0(),0()2,(-∞+∞---∞++∞=F F F F000)1(12----⋅=-e 21--=e .二. 二维离散型随机变量定义 3 若二维随机变量()Y X ,的所有取值为有限对或可列对⋅⋅⋅=,2,1,),,(j i y x j i ,则称()Y X ,是离散型随机变量.记{},,2,1,,, ====j i p y Y x X P ijj i 称它为二维离散型随机变量()Y X ,的(概率)分布律,或称为X 和Y 的联合(概率)分布律.分布律的表示法:(1)公式法,(2)列表法.例如 随机变量()Y X ,的分布律为二维离散型随机变量()Y X ,的(概率)分布律具有下列基本性质:(1){},,2,1,,0, =≥===j i y Y x X P p ji ij (2)1,=∑j i ijp .利用分布律可计算概率定理 设()Y X ,的分布律为{},,2,1,,, ====j i p y Y x X P ij j i则随机点()Y X ,落在平面上任一区域D 内的概率为∑∈=∈D y x ijj i p D Y X P ),(}),{(, 其中和式是对所有使D y x ji ∈),(的j i ,求和;特别有},{),(y Y x X P y x F ≤≤= }),{(D Y X P ∈=∑∈=D y x ijj i p ),(∑≤≤=y y x x ij j i p.例1 甲、乙两盒内均有3只晶体管,其中甲盒内有1只正品,2只次品; 乙盒内有2只正品,1只次品.第一次从甲盒内随机取出2只管子放入乙盒内; 第二次从乙盒内随机取出2只管子.以Y X ,分别表示第一、二次取出的正品管子的数目. 试求),(Y X 的分布律以及},),{(D Y X P ∈其中}2|),{(:22≥+y x y x D .解 根据题意知,X 的可能取值为0,1;Y 的可能取值为0,1,2.因此, ),(Y X 的可能取值为(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2).),(Y X 是离散型随机变量.}0{=X 表示从甲盒内取出2只次品管子放入乙盒内,此时乙盒内有2只正品,3只次品,利用乘法公式可得}0|0{}0{}0,0{==⋅====X Y P X P Y X P30325232322=⋅=C C C C , }0|1{}0{}1,0{==⋅====X Y P X P Y X P3062513122322=⋅=C C C C C , }0|2{}0{}2,0{==⋅====X Y P X P Y X P30125222322=⋅=C C C C , }1{=X 表示从甲盒内取出1只正品和1只次品管子放入乙盒内,此时乙盒内有3只正品,2只次品,利用乘法公式可得}1|0{}1{}0,1{==⋅====X Y P X P Y X P3022522231211=⋅=C C C C C , }1|1{}1{}1,1{==⋅====X Y P X P Y X P3012251312231211=⋅=C C C C C C , }1|2{}1{}2,1{==⋅====X Y P X P Y X P3062523231211=⋅=C C C C C , 于是得),(Y X 的分布律为}),{(D Y X P ∈}2,0{===Y X P}2,1{}1,1{==+==+Y X P Y X P30193063012301=++= . 例2 某射手在射击中,每次击中目标的概率为)10(<<p p ,射击进行到第二次击中目标为止,X 表示第一次击中目标时所进行的射击次数, Y 表示第二次击中目标时所进行的射击次数,试求二维随机变量),(Y X 的分布律.解 设=kA 第k 次射击时击中目标, 根据题意,p A P k=)(,⋅⋅⋅=,2,1k , 且⋅⋅⋅⋅⋅⋅,,,,21kA A A 相互独立, jj i i i A A A A A A j Y i X 1111},{-+-⋅⋅⋅⋅⋅⋅===, 所以),(Y X 的分布律为},{j Y i X P ==)()()()()()(1111j j i i i A P A P A P A P A P A P -+-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=22)1(--=j p p ,1,,2,1-⋅⋅⋅=j i ;⋅⋅⋅=,3,2j .例 3 接连不断地掷一颗匀称的骰子,直到出现点数大于2为止, 以X 表示掷骰子的次数.以Y 表示最后一次掷出的点数.求二维随机变量),(Y X 的分布律.解 依题意知,X 的可能取值为⋅⋅⋅,3,2,1;Y 的可能取值为3,4,5,6 设=kB 第k 次掷时出1点或2点,=kj A 第k 次掷时出j 点, 则62)(=kB P ,61)(=kj A P , S A A A A B k k k k k =++++6543,===},{j Y i X “掷骰子i 次,最后一次掷出j 点,前)1(-i 次掷出1点或2点”ij i A B B 11-⋅⋅⋅=,(各次掷骰子出现的点数相互独立)于是),(Y X 的分布律为11)31(6161)62(},{--⋅=⋅===i i j Y i X P , ⋅⋅⋅=,2,1i ,6,5,4,3=j .(例如11)31(6161)62(}3,{--⋅=⋅===i j Y i X P )三. 二维连续型随机变量定义 4 设二维随机变量()Y X ,的分布函数为()y x F ,,若有非负可积函数()y x f ,,使得对任意实数y x ,,恒有()dudv v u f y x F y x⎰⎰∞-∞-=,),( ⎰⎰≤≤=yv x u dudv v u f ),( ,则称()Y X ,是二维连续型随机变量,称函数()y x f ,为连续型随机变量()Y X ,的概率密度, 或称为随机变量X 和Y 的联合概率密度.()Y X ,的概率密度()y x f ,具有下列基本性质:(1) ()0,≥y x f , +∞<<∞-y x , ;(2) ()1),(,=+∞+∞=⎰⎰+∞∞-+∞∞-F dxdy y x f . 反之,可以证明,若二元函数()y x f ,满足上面两条基本性质,那么它一定是某个二维随机变量()Y X ,的概率密度.显然,如果概率密度()y x f ,在点()y x ,处连续,则有()y x f y x F ,2=∂∂∂ . 利用概率密度计算概率定理 设()Y X ,的概率密度为()y x f ,,则有(1)⎰⎰=≤<≤<b a d cdydx y x f d Y c b X a P ),(},{,(2)设D 为平面上任一区域, ⎰⎰=∈Ddxdy y x f D Y X P ),(}),{( .例 3 设二维随机变量()Y X ,具有概率密度⎩⎨⎧>≤≤=-其它,00,20,),(2y x ae y x f y, (1)确定常数a ;(2)求分布函数),(y x F ;(3)求}{X Y P ≤解（1）由概率密度的性质()dy ae dx dxdy y x f y⎰⎰⎰⎰+∞-+∞∞-+∞∞-==0220,1a a e a y =⋅=-=∞+-212|)21(202， 即得1=a ；（2）()dudv v u f y x F y x⎰⎰∞-∞-=,),( ， （A ）当0,20>≤≤y x 时，dv e du y x F y vx ⎰⎰-=020),()1(2|)21(202yy v e x e x ---=-= ， （B ）当0,2>>y x 时dv e du y x F y v⎰⎰-=0220),( )1(|)21(2202yy v e e ---=-=， （C ）当0<x 或0≤y 时，对y v x u ≤≤,有0),(=v u f ，()0,),(==⎰⎰∞-∞-dudv v u f y x F y x于是得所求分布函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>->≤≤-=--其它,00,2),1(0,20),1(2),(22y x e y x e x y x F yy ；（3）设}|),{(x y y x D ≤=，}0,20|),{(1x y x y x D ≤≤≤≤=， }),{(}{D Y X P X Y P ∈=≤⎰⎰=D dxdy y x f ),(⎰⎰=1),(D dxdy y x f dx e dy e dx xx y )1(212200220---==⎰⎰⎰ )21212(21|)21(214202-+=+=--e e x x )3(414-+=e . 四. 常用的二维连续型随机变量有下面两种:(1)均匀分布若随机变量()Y X ,概率密度为()⎪⎩⎪⎨⎧∈=其它,0),(,1,D y x A y x f ,其中A 为有界区域D 的面积.则称()Y X ,在区域D 上服从均匀分布. 记为())(~,D U Y X .(2)二维正态分布若随机变量()Y X ,概率密度为),(y x f 221121ρσπσ-=2112[)1(21exp{⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⋅σμρx 22112σμσμρ---y x ]}222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+σμy 其中ρσσμμ,,,,2121均为常数,且 +∞<<∞-1μ,+∞<<∞-2μ 1||,0,021<>>ρσσ,则称随机变量()Y X ,服从参数为ρσσμμ,,,,2121的二维正态分布,记作 );,;,(~),(222211ρσμσμN Y X . 上述五个参数的意义将在第五章中说明.第二节 边沿分布函数(或边缘分布函数)概念:设随机变量()Y X ,的分布函数为),(y x F ,分量X 的分布函数记为)(x F X ,称)(x F X 为()Y X ,关于X 的边沿分布函数; 分量Y 的分布函数记为)(y F Y , 称)(y F Y 为()Y X ,关于Y 的边沿分布函数.边沿分布函数的计算公式:},{}{)(+∞<≤=≤=Y x X P x X P x F X},{lim y Y x X P y ≤≤=+∞→ ),(lim y x F y +∞→=),(+∞=x F , },{}{)(y Y X P y Y P y F Y≤+∞<=≤= },{lim y Y x X P x ≤≤=+∞→),(lim y x F x +∞→= ),(y F +∞=.已知联合分布函数),(y x F ,可以计算出边沿分布函数)(),(y F x F Y X ;但由Y X ,的分布函数)(),(y F x F YX ,一般无法确定联合分布函数),(y x F .例1设二维随机变量()Y X ,的分布函数为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>->≤≤-=--其它,00,2),1(0,20),1(2),(22y x e y x e xy x F yy , 求()Y X ,关于X 和关于Y 的边沿分布函数.解 ()Y X ,关于X 的边沿分布函数)(x F X ),(lim ),(y x F x F y +∞→=+∞= ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=-≤≤=-<==-+∞→-+∞→+∞→2,1)1(lim 20,2)1(2lim 0,00lim 22x e x x e x x yy y y y⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤≤<=2,120,2,0x x x x ;()Y X ,关于Y 的边沿分布函数)(y F Y ),(lim ),(y x F y F x +∞→=+∞= ⎩⎨⎧>-=-≤==--+∞→+∞→0,1)1(lim 0,00lim 22y e e y y y x x ⎩⎨⎧>-≤=-0,10,02y e y y.。

二维随机变量一、 二维随机变量及分布函数1定义:由随机变量,X Y 构成的有序数),(Y X ，称),(Y X 为二维随机变量或二维随机向量.注：(),X Y 在几何上，二维随机变量可看作平面上的随机点的坐标． 2定义:设),(Y X 是二维随机变量, 对任意实数y x ,, 二元函数称为二维随机变量),(Y X 的分布函数或称为随机变量X 和Y 的联合分布函数. 3二元分布函数的几何意义4随机点(,)X Y 落在矩形区域: 1212,x X x y Y y <≤<≤内的概率为1212{,}P x X x y Y y <≤<≤＝22122111(,)(,)(,)(,)F x y F x y F x y F x y --+ 5分布函数(,)F x y 的性质:（1） ,1),(0≤≤y x F 且对任意固定的,y ,0),(=-∞y F 对任意固定的,0),(,=-∞x F x(2) ),(y x F 关于x 和y 均为单调不减函数, 即对任意固定的,y 当),,(),(,1212y x F y x F x x ≥>对任意固定的,x 当);,(),(,1212y x F y x F y y ≥>(3) ),(y x F 关于x 和y 均为右连续, 即 ).0,(),(),,0(),(+=+=y x F y x F y x F y x F4（）对任意的 11221212(,),(,),,x y x y x x y y <<有注：上述四条性质是二维随机变量分布函数的最基本的性质，即任何二维随机变量的分布函数都具有这四条性质；更进一步地，我们还可以证明：如果某一二元函数。

具有这四条性质，那么，它一定是某一二维随机变量的分布函数．破坏之一，则不是。

二、 二维离散型随机变量及其概率分布1定义：若二维随机变量),(Y X 只取有限对或可数对值, 则称),(Y X 为二维离散型随机变量.结论：),(Y X 为二维离散型随机变量当且仅当Y X ,均为离散型随机变量. 2定义：若二维离散型随机变量),(Y X 所有可能的取值为),(j i y x ,,2,1, =j i 则称 为二维离散型随机变量),(Y X 的概率分布(分布律), 或Y X 与的联合概率分布(分布律).有时也将联合概率分布用表格形式来表示, 并称为联合概率分布表: 3二维离散型随机变量联合分布律的性质：1)()()12i j i j =对任意的，，，，，{}0ij i j p P X x Y y ===≥，2)1ij i j p =∑，4二维离散型随机变量的联合分布函数设二维离散型随机变量(,)X Y 的联合概率分布为()12ij p i j =，，，于是，(,)X Y 的联合分布函数为(,){, }F x y P X x Y y =≤≤=注：对离散型随机变量而言, 联合概率分布不仅比联合分布函数更加直观, 而且能够更加方便地确定),(Y X 取值于任何区域D 上的概率，即∑∈=∈D y x ijj i p D Y X P ),(}),{(,特别地, 由联合概率分布可以确定联合分布函数:例1:从一只装有3只黑球和2只白球的口袋中取球两次，每次任取一只，不放回，令0,1, ,X ⎧=⎨⎩第一次取出白球第一次取出黑球, 0,1, ,Y ⎧=⎨⎩第二次取出白球第二次取出黑球求),(Y X 的概率分布．解 ),(Y X 的所有可能取值为(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),例2：设随机变量Y 服从参数为1λ=的指数分布，随机变量k X 定义如下：0,(1,2)1,k Y k X k Y k ≤⎧==⎨>⎩求12X X 和的联合概率分布.解：Y 的分布函数为1,0()0,0y e y F y y -⎧->=⎨≤⎩ 所以12,X X 的联合概率分布为三、二维连续型随机变量及其概率密度1定义：设),(Y X 为二维随机变量,),(y x F 为其分布函数, 若存在一个非负的二元函数),(y x f , 使对任意实数),(y x , 有 (,)(,),yx F x y f u v dudv -∞-∞=⎰⎰则称),(Y X 为二维连续型随机变量, 并称),(y x f 为),(Y X 的概率密度(密度函数), 或Y X ,的联合概率密度(联合密度函数). 2概率密度函数),(y x f 的性质:(3) 设G 是xOy 平面上的区域,点),(Y X 落入G 内的概率为(4) 若),(y x f 在点),(y x 连续, 则有 ).,(),(2y x f yx y x F =∂∂∂ 3在几何上(,)z f x y =表示空间的一个曲面，{(,)}P x y G ∈的值等于以 G 为底，以曲面(,)z f x y =为顶的柱体体积四、二维均匀分布设G 是平面上的有界区域,其面积为A .若二维随机变量),(Y X 具有概率密度函数⎪⎩⎪⎨⎧∈=其它,0),(,1),(G y x A y x f ，则称),(Y X 在G 上服从均匀分布. 例3：设二维随机变量),(Y X 的密度函数为()200,0x yke x y f x y --⎧>>=⎨⎩，其它⑴求常数k ；(2)分布函数(),F x y (3){}11P X Y ><， {}(4)0102P X Y <<<<求， (5) {}P X Y <解：（1）()1f x y dxdy +∞+∞-∞-∞=⎰⎰，200x y k e dxdy +∞+∞--=⎰⎰ (){}(2)F x y P X x Y y =≤≤，，, ()000x y F x y ≤≤=当或时，，。