高一数学平面向量的数量积2

OA= |a|cos90=0.
|a|= 6
Oe
45º A
(1)
|a|= 6
(OA)●e
|a|= 6
(2)
(3) 当q =135º时,
OA= |a|cos135= 6(
2 2
)
= 3 2 .
A (3) Oe
问题2. 非零向量 a 与 b 的数量积 a·b 在什么情
况下为正? 在什么情况下这负? 在什么情况下为零?
6448cosq 27=61,
解得
cosq
=
1 2
,
得 q =120.
8. 已知 |a|=8, |b|=10, |a+b|=16, 求 a 与 b 的夹
角q (精确到1). (可用计算器)
解:
由(|aaa|2a|+2+++b2b2)a2||=a=b1|1+6|6bb得,|2co=s1q6+,
|b
∴又((1a)+式b成)(立a .
b)
= = =
(aaa22++bbb)2,aaa(ab+bb)2b
∴(2)式成立.
例3. 已知 |a|=6, |b|=4, a 与 b 的夹角为 60, 求
(a+2b)·(a3b).
解:
(a
+
2b)(a
3b)
= = =
aa
| |
a a
|2 |2
caccooobsssqqq==|a000|,,,|b|caaaosbbqb
,
0. 0. = 0.
即两向量的夹角为锐角时, 数量积为正, 夹角为钝角时, 数量积为负, 夹角为直角时, 数量积为零.

____a_⊥__b_____，a·b＝______0______．
2019/12/11
4
3．向量的数量积的运算律 已知向量a，b，c和实数λ，则 (1)a·b＝_____b_·a______； (2)(λa)·b＝_____a_·(_λ_b_)___＝_____λ_a_·_b____＝___λ_(_a_·b_)___； (3)(a＋b)·c＝____a_·_c_＋__b_·_c_． 温馨提示：向量a、b的数量积a·b虽与代数中数a、b的乘积ab 形式相似，实质差别很大．实数中的一些运算性质不能随 意 简单地类比到向量的数量积上来．例如，a·b＝0不能推出a＝ 0或b＝0；a·b＝b·c⇒/ a＝c；(a·b)·c＝a·(b·c)也未必成立．
m)．若向量 a，b 的夹角为π6，则实数 m＝____3____． 解析：∵a·b＝(1， 3)·(3，m)＝3＋ 3m， 又 a·b＝ 12＋（ 3）2× 32＋m2×cos π6， ∴3＋ 3m＝ 12＋（ 3）2× 32＋m2×cos π6， ∴m＝ 3.
2019/12/11
8
4．已知 e1，e2 是夹角为23π的两个单位向量，a＝e1－2e2，
2019/12/11
23
∵b·(a＋tb)＝b·a－a|b·b|2b

＝a·b－|b|2·|ab·|b2＝0，
∴b⊥(a＋tb)．
方法归纳
本题是垂直问题的证明，正确利用 a＋tb 的模取最小值 这一条件，对已知进行合理的整理和化简，将证明向量
垂直转化为证明其二者的数量积为 0.
2019/12/11
10 10 .
2019/12/11
20
方法归纳 (1)求向量a，b夹角的流程图：
(2)由于|a|，|b|及a·b都是实数，因此在涉及有关|a|，|b|及 a·b的相应等式中,可用方程的思想求解(或表示)未知量.

1)
AC (2 1，
5 2) (3，
3)
所以 AB AC 1 (3) 1 3 0
于是 AB AC.
所以△ABC是直角三角形．
向量的数量积是否为零，是判断相应的两条直线是否垂直的重要方法之一
三、典型例题
例1 若点A（1，2），B（2，3），C（－2，5），则△ABC是
A
B
O
于是， 2k , k Z
于是，cos( ) cos cos sin si
所以，cos( ) cos
y
x
（1）
终边
y
B
终边

O
（2）
A
x
四、课堂练习
练习 1
(1)已知向量 a＝(－1，2)，b＝(3，2)．

.
a b
5 13
65
a b
三、典型例题
例3 用向量方法证明两角差的余弦公式
cos( ) cos cos sin sin
终边
y
A
证明：角， 的终边与单位圆的交点分别为A，B.则
终边

B
O
x
OA (cos , sin ), OB (cos , sin )
5
【解析】
∵a＋tb＝(2＋t，1＋2t)，∴|a＋tb|＝ （t＋2）2＋（2t＋1）2 ＝

42 9

5 t＋5 ＋5.∴当


4
3 5
t＝－5时，|a＋tb|有最小值 5 .
四、课堂练习
练习 3
已知|a|＝1，b＝(0，2)，且 a·b＝1，则向量 a 与 b 夹角的大小为(

（3） 在运用数量积公式解题时，一定要注意两向量 夹角的范围是 [ 0°，180°]．
例1.已知 | a | 5,| b | 4, a与b的夹角 2 ，求a b.
3
解： a b | a || b | cos 5 4 cos 2
3 5 4( 1)
2
=-10
例2：已知 a 12, b 9, a b 54 2, 求 a 与 b 的夹角.
(3)当向量 与 共线同向时，
；
当向量 与 共线反向时，
.
特别地， a a | a |2 或 | a | a a
(4)
︱cosθ︱≤1
θ=0º θ=180º
四、课堂小结(2分钟)
4、向量数量积的性质 设a,b都是非零向量,则 1)a b a b 0 2）当a, b同向时a b | a || b |；
当a, b反向时a b | a || b |； 特别的a2 a 2 或 a a • a
3）| a b | | a || b |
4）cos = a b 为a，b的夹角 | a || b |
5. 常用︱a︱＝ 求向量的模.
常用
cos
ab ab
求向量的夹角.
五、当堂检测（10分钟）
1、在△ABC 中，∠C＝90°，BC＝12AB，则A→B与B→C的夹角是( C )
已知非零向量 a 与 b，我们把数量| a || b | cos 叫作 a 与 b 的数量积（或内积），记作 a b ，即规定
a b | a || b | cos
夹角
规定：零向量与任意向量的数量积为0，即 a 0 0
思考：向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？
a b | a || b | cos