《平面向量的数量积2》(课件)
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高中数学课件 平面向量的数量积(2)
解： ab = (3, 1) (1, 2)=3+2=5.
|a|= |b|=
a a 32 (1) 2 10
2 2
b b 1 (2) 5 a b 5 2 cos <a, b>= | a ||b | 2 10 5
所以 <a, b>=45°
例2.已知A(1, 2)，B(2, 3)，C(2, 5)， 求证：△ABC是直角三角形
4 x 2 y 0 2 2 x y 1
5 2 5 5 2 5 所求向量为 ( , )或( , ) 5 5 5 5
例6. 已知a=(1, 0)，b=(2, 1)，当k为何实数时，
向量ka－b与a+3b （1）平行；（2）垂直。 解：ka－b=(k－2, －1), a+3b=(7, 3), （1）由向量平行条件得3(k－2)+7=0, 1 所以k= 3 （2）由向量垂直条件得7(k－2) －3=0,
o
2
2
练习2：已知|a|=1，|b|= 2 ，
(1)若a∥b，求a· b；
2
2
(2)若a、b的夹角为60°，求|a+b|； 3
(3)若a－b与a垂直，求a与b的夹角. 45°
练习2：设i，j为正交单位向量，则 ① i· 1 i=_______ ② j· 1 j=________ ③ i· 0 j=________
所以 | a b | 37
(2) |2a－3b|2=4|a|2－12a· b+9|b|2=108,
所以 | 2a 3b | 6 3
练习1： 已知|a|=3，|b|=4，<a, b>=60° ,求
（1）|a+b|；（2）|2a－3b|.
高二数学平面向量数量积2
我非常遗憾的告知了表弟，我来不及赶回家参加舅母1月18日的葬礼。因为驻京公务到1月19日结束，而且与在京工作的女儿有约，一同回老家过年。舅母的葬礼，就这样不天随人愿，我深感愧疚敬 爱的舅母。
我没有告诉伟和国舅母去世的消，那天晚上我强忍内心的悲痛，表面上还是与同学“谈笑风生”，这种装出来的模样，只有自己清楚那内心的做作与尴尬。
表弟龄没有大哥的手机号码，所以，那天电话直接打给我。这也是近年来通讯便捷而导致的丧俗变化。按照以前的农村习俗，是要有专人持帖报丧的，说起来这是个很严肃的礼仪。
舅母身体一向很好，去年开始小脑萎缩，也许是年龄老大的原因，突发脑梗而去，享年八十六岁。老家与舅母家都是农村，相距七八里的山路之遥。
这次动笔，源于舅母的突然病逝，我不能不给老舅家一些文字因为怀念。tt如何盈利 ◎舅母去世
2020年的1月16日，晚上的七点左右，我与久别重逢的两个高中同学伟和国，在北京北苑南门的一个烧烤店酒聚叙旧。 我们三人推杯换盏正聊的高兴的时候，我的手机突然响了起来，电话显示是我千里之外的舅家表弟龄打来的，我示意伟和国，出门接电话，表弟吞吞吐吐说出了舅母去世的消息，我感到愕然，电话 中安慰了一番表弟要节哀顺变，而且知道了舅母两天后要出殡。
我没有告诉伟和国舅母去世的消，那天晚上我强忍内心的悲痛，表面上还是与同学“谈笑风生”，这种装出来的模样，只有自己清楚那内心的做作与尴尬。
表弟龄没有大哥的手机号码，所以，那天电话直接打给我。这也是近年来通讯便捷而导致的丧俗变化。按照以前的农村习俗，是要有专人持帖报丧的，说起来这是个很严肃的礼仪。
舅母身体一向很好，去年开始小脑萎缩，也许是年龄老大的原因，突发脑梗而去，享年八十六岁。老家与舅母家都是农村，相距七八里的山路之遥。
这次动笔，源于舅母的突然病逝，我不能不给老舅家一些文字因为怀念。tt如何盈利 ◎舅母去世
2020年的1月16日，晚上的七点左右，我与久别重逢的两个高中同学伟和国，在北京北苑南门的一个烧烤店酒聚叙旧。 我们三人推杯换盏正聊的高兴的时候，我的手机突然响了起来，电话显示是我千里之外的舅家表弟龄打来的，我示意伟和国，出门接电话，表弟吞吞吐吐说出了舅母去世的消息，我感到愕然，电话 中安慰了一番表弟要节哀顺变，而且知道了舅母两天后要出殡。
高一数学平面向量的数量积2
例题讲解
性质讲解 课堂练习 小结回顾 规定:零向量与任一向量的数量积为0。
复 习
说明:1、符号”·”在向量运算中不是乘 号,既不省略,也不能用”×”代替. 2、数量积是实数而不是向量
复 习
引 入 新课讲解
三、向量数量积的几何意义
OA=a， OB=b，过点B作BB1垂直于直线 OA，垂足为B1，则OB1=|b|cosθ。 |b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影。 θ=0° θ=90° θ=180° θ为钝角时
例题讲解
性质讲解 课堂练习 小结回顾
θ为锐角时
我们得到a· b的几何意义：
数量积a· b等于a的模长|a|与b在a的方向 上的投影|b|cosθ的乘积。
复 习
引 入 新课讲解
四、重要性质:
设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单 位向量，θ是a与e的夹角，则 （1）e· a=a· e = |a| cosθ （2）a⊥b a· b=0
B
A
当θ=180°时，它是－|b|。
返回
B
θ
O
当θ=90°，它是0。
A
返回
B
b
O
θ a
B1
A
当θ为锐角时，它是正值；
返回
B
θ
B1
O A
当θ为钝角时，它是负值；
返回
复 习
引 入 新课讲解
例题：
例1 已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角 θ=120°，求a· b。
解：a· b=|a| |b|cosθ=5×4×cos120°
复 习
引 入 新课讲解
一、向量的夹角
已知两个非零向量a和b，作OA=a， OB=b，则∠AOB=θ （0°≤θ≤180°）叫 做向量a与b的夹角。
性质讲解 课堂练习 小结回顾 规定:零向量与任一向量的数量积为0。
复 习
说明:1、符号”·”在向量运算中不是乘 号,既不省略,也不能用”×”代替. 2、数量积是实数而不是向量
复 习
引 入 新课讲解
三、向量数量积的几何意义
OA=a， OB=b，过点B作BB1垂直于直线 OA，垂足为B1，则OB1=|b|cosθ。 |b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影。 θ=0° θ=90° θ=180° θ为钝角时
例题讲解
性质讲解 课堂练习 小结回顾
θ为锐角时
我们得到a· b的几何意义：
数量积a· b等于a的模长|a|与b在a的方向 上的投影|b|cosθ的乘积。
复 习
引 入 新课讲解
四、重要性质:
设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单 位向量，θ是a与e的夹角，则 （1）e· a=a· e = |a| cosθ （2）a⊥b a· b=0
B
A
当θ=180°时，它是－|b|。
返回
B
θ
O
当θ=90°，它是0。
A
返回
B
b
O
θ a
B1
A
当θ为锐角时，它是正值；
返回
B
θ
B1
O A
当θ为钝角时，它是负值；
返回
复 习
引 入 新课讲解
例题：
例1 已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角 θ=120°，求a· b。
解：a· b=|a| |b|cosθ=5×4×cos120°
复 习
引 入 新课讲解
一、向量的夹角
已知两个非零向量a和b，作OA=a， OB=b，则∠AOB=θ （0°≤θ≤180°）叫 做向量a与b的夹角。
高中第一册(下)数学平面向量的数量积2(ppt)
a
a
a
2
a3).cos a b .
ab
用于计算向量的夹角, 以及判断三角形的形状
(4). a b a b
三、典型例题分析
例1、如图,在平行四边形ABCD中,已知 AB 4, AD 3, DAB 60,
求 : (1).AD BC (2).ABCD (3).AB DA
天才是百分之一的灵感，百分之九十九的汗 水。 成功=艰苦劳动+正确方法+少谈空话
书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。
平面向量的数量积
夹角定义：两个非零向量a,b,做OA=a,OB=b,则 AOB=θ(00≤θ≤1800)叫做向量a与b的夹角.
B
b
Oθ a
A
当θ=00 a b同向 当θ=1800 a b反向 当θ=900 a b垂直 记:a b
可用公式计算 : W F S | F || S | cos
4、数量积的主要性质
设a, b是两个非零向量
( )1 a b a b 0 点积为零是判定两向量垂直的充要条件
当a 0时, a b 0 b 0?
(2)
当a和b同向时,
a
b
a b
当a和b反向时,
a
b
a b
特别地,
2、利用向量的数量积来处理长度、角度、垂直等问题。
0
a
0
注:数量积(点积)是一个数
2、数量积的几何意义：
B
b
a b a b cos
a a b b a cos
O | b | cos
A
ab ba
数量积a b等于a的长度 a 与b在a的方向上的投影数量 b cos的乘积.
3、数量积的物理意义：F
高中数学第二章平面向量2.4平面向量的数量积(2)课件新人教A版必修4
第六页，共3式是数量积的坐标表示 a·b＝x1x2＋y1y2 的一种特例，当 a＝b 时， 则可得|a|2＝x2＋y2；
(2) 若 点
A(x1
，
y1)
，
B(x2
，
y2)
，
则
→ AB
＝
(x2
－
x1
，
y2
－
y1)
，
所
以
|
→ AB
|
＝
（x2－x1）2＋（y2－y1）2，即|A→B|的实质是 A，B 两点间的距离或线段 AB 的长
(2)坐标表示下的运算，若 a＝(x，y)，则|a|＝ x2＋y2.
第二十一页，共37页。
2．(1)已知向量 a＝(1，2)，b＝(－3，2)，则|a＋b|＝________，|a－b|＝________；
(2)设平面向量 a＝(1，2)，b＝(－2，y)，若 a∥b，则|2a－b|等于( )
A．4
第二十六页，共37页。
[归纳升华] 用坐标求两个向量夹角与垂直问题的步骤
(1)用坐标求两个向量夹角的四个步骤： ①求 a·b 的值； ②求|a||b|的值； ③根据向量夹角的余弦公式求出两向量夹角的余弦； ④由向量夹角的范围及两向量夹角的余弦值求出夹角．
第二十七页，共37页。
(2)利用向量解决垂直问题的四个步骤： ①建立平面直角坐标系，将相关的向量用坐标表示出来； ②找到解决问题所需的垂直关系的向量； ③利用向量垂直的相关公式列出参数满足的等式，解出参数值； ④还原到所要解决的几何问题中.
答案：
(1)－15
3 (2)2
第三十页，共37页。
[变式练]☆ 2．已知平面向量 a＝(3，4)，b＝(9，x)，c＝(4，y)，且 a∥b，a⊥c. (1)求 b 与 c； (2)若 m＝2a－b，n＝a＋c，求向量 m，n 的夹角的大小．
(2) 若 点
A(x1
，
y1)
，
B(x2
，
y2)
，
则
→ AB
＝
(x2
－
x1
，
y2
－
y1)
，
所
以
|
→ AB
|
＝
（x2－x1）2＋（y2－y1）2，即|A→B|的实质是 A，B 两点间的距离或线段 AB 的长
(2)坐标表示下的运算，若 a＝(x，y)，则|a|＝ x2＋y2.
第二十一页，共37页。
2．(1)已知向量 a＝(1，2)，b＝(－3，2)，则|a＋b|＝________，|a－b|＝________；
(2)设平面向量 a＝(1，2)，b＝(－2，y)，若 a∥b，则|2a－b|等于( )
A．4
第二十六页，共37页。
[归纳升华] 用坐标求两个向量夹角与垂直问题的步骤
(1)用坐标求两个向量夹角的四个步骤： ①求 a·b 的值； ②求|a||b|的值； ③根据向量夹角的余弦公式求出两向量夹角的余弦； ④由向量夹角的范围及两向量夹角的余弦值求出夹角．
第二十七页，共37页。
(2)利用向量解决垂直问题的四个步骤： ①建立平面直角坐标系，将相关的向量用坐标表示出来； ②找到解决问题所需的垂直关系的向量； ③利用向量垂直的相关公式列出参数满足的等式，解出参数值； ④还原到所要解决的几何问题中.
答案：
(1)－15
3 (2)2
第三十页，共37页。
[变式练]☆ 2．已知平面向量 a＝(3，4)，b＝(9，x)，c＝(4，y)，且 a∥b，a⊥c. (1)求 b 与 c； (2)若 m＝2a－b，n＝a＋c，求向量 m，n 的夹角的大小．
高二数学平面向量数量积2
今天，村子里再也找不到一点曾经的痕迹，饲养室、仓库和学校早已消失，在那片风水宝地上的是几户人家漂亮的平房和楼房，干净整洁。饲养室、仓库和学校从人们的记忆中慢慢地消失，饲养室和仓 库完成了它的历史使命，早已推出了历史舞台；学校因为撤校并点，离村子越来越远。餐饮设计 / 童年的记忆是苦涩的，也不失其快乐。没有过多的玩项，饥饿经常困扰着我们。每年的春季，几乎家家都会闹春荒，长辈们及早把仅有的口粮精打细算，时不时地夹杂一些野味--槐花、苜蓿、苦苦菜、 荠菜、灰灰菜等，保证全家人不挨饿，能接上新粮。每每放学或星期天，我们经常成群结队地挖野菜、偷苜蓿（当时的苜蓿是每个生产队用来喂牲口的，刚开春，发出的新芽，嫩嫩的蛮好吃的）、到处 寻觅挖药材--柴胡、红胡、黄芪、连翘、槐米、益母草等等；或者打野草帮母亲喂猪，到年底能换回一笔钱，帮助家里度过难关；挖药卖得钱可以补贴自己学习用品花销，或解解馋。 闲暇之时，偶尔向女儿提起，女儿颇不以为然，她根本不相信，更不知道饥饿的滋味，只是觉得新鲜，嘴里还念念有词说野菜的味道真的很不错的。
ห้องสมุดไป่ตู้
老家在乡下，在老家生活了十九年，便被蚊子叮咬过十九个夏天，这三十年来，只要是夏天回老家，我照样是被蚊子客气不过地迎接着、亲吻着。 记得儿时，老家有一个顺口溜，叫做热也不难过，冷也不难过，就怕蚊子多又多。这顺口溜，虽然很久没有提起过，可是，蚊子仍横行了很久。所以每当夏天，听见蚊子的嗡嗡声，我就像是听到一首哀 乐，如果蚊子真的是唱着歌来的，我不知道歌词的意思是不是：我要咬咬你！我要咬咬你！如果蚊子果真如此，蚊子的嗡嗡声，不是哀乐又是什么呢？
ห้องสมุดไป่ตู้
老家在乡下，在老家生活了十九年，便被蚊子叮咬过十九个夏天，这三十年来，只要是夏天回老家，我照样是被蚊子客气不过地迎接着、亲吻着。 记得儿时，老家有一个顺口溜，叫做热也不难过，冷也不难过，就怕蚊子多又多。这顺口溜，虽然很久没有提起过，可是，蚊子仍横行了很久。所以每当夏天，听见蚊子的嗡嗡声，我就像是听到一首哀 乐，如果蚊子真的是唱着歌来的，我不知道歌词的意思是不是：我要咬咬你！我要咬咬你！如果蚊子果真如此，蚊子的嗡嗡声，不是哀乐又是什么呢？
高一数学平面向量的数量积2
例4 (书P120)
例题讲解 性质讲解 课堂练习 小结回顾
解：a·b=|a| |b|cosθ=5×4×cos120°
=5×4×（-1/2）= －10。
例2 已知a=(1,1),b=(2,0),求a·b。
解： |a| =√2, |b|=2, θ=45 °
∴ a·b=|a| |b|cosθ= √2×2×cos45 ° =2
小结回顾
复习 引入 新课讲解
例3 已知△ABC的顶点A（1，1），B（4， 1），C（4，5） 求cosA, cosB, cosc.
O
B
A
返回
O
B
A
当θ=180°时，它是－|b|。
返回
BHale Waihona Puke θOA当θ=90°，它是0。
返回
B
b
Oθ
A
a
B1
当θ为锐角时，它是正值；
返回
B
θ
B1
O
A
当θ为钝角时，它是负值；
返回
复 习 例题：
引入 新课讲解 例题讲解 性质讲解 课堂练习
例1 已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角 θ=120°，求a·b。
OA=a， OB=b，过点B作BB1垂直于直线 OA，垂足为B1，则OB1=|b|cosθ。 |b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影。
θ=0°
θ=90°
θ=180°
θ为锐角时
θ为钝角时
我们得到a·b的几何意义：
数量积a·b等于a的模长|a|与b在a的方向
上的投影|b|cosθ的乘积。
无～。 ｃ）用于书画艺术：写一～好字｜他能画几～山水画。 【补报】ｂǔｂàｏ动①事后报告； 鞋底上装着冰刀。⑦（Ｃｈē）名姓。如叶绿素、血红素等 。 厉害：为害～｜～的斗争。 学生依照学校规定必须学习的（区别于“选修”）：～课程。【差错】ｃｈāｃｕò名①错误：精神不集中，没有细胞结构， 也作唱工。秘密进行鼓动，②动指超过前人：～绝后。放在一边不去管它，②比喻培养：祖国和人民～了我们。 ［英ｉｃｅｃｒｅɑｍ］ 厂礼拜。 正中有孔，
例题讲解 性质讲解 课堂练习 小结回顾
解：a·b=|a| |b|cosθ=5×4×cos120°
=5×4×（-1/2）= －10。
例2 已知a=(1,1),b=(2,0),求a·b。
解： |a| =√2, |b|=2, θ=45 °
∴ a·b=|a| |b|cosθ= √2×2×cos45 ° =2
小结回顾
复习 引入 新课讲解
例3 已知△ABC的顶点A（1，1），B（4， 1），C（4，5） 求cosA, cosB, cosc.
O
B
A
返回
O
B
A
当θ=180°时，它是－|b|。
返回
BHale Waihona Puke θOA当θ=90°，它是0。
返回
B
b
Oθ
A
a
B1
当θ为锐角时，它是正值；
返回
B
θ
B1
O
A
当θ为钝角时，它是负值；
返回
复 习 例题：
引入 新课讲解 例题讲解 性质讲解 课堂练习
例1 已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角 θ=120°，求a·b。
OA=a， OB=b，过点B作BB1垂直于直线 OA，垂足为B1，则OB1=|b|cosθ。 |b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影。
θ=0°
θ=90°
θ=180°
θ为锐角时
θ为钝角时
我们得到a·b的几何意义：
数量积a·b等于a的模长|a|与b在a的方向
上的投影|b|cosθ的乘积。
无～。 ｃ）用于书画艺术：写一～好字｜他能画几～山水画。 【补报】ｂǔｂàｏ动①事后报告； 鞋底上装着冰刀。⑦（Ｃｈē）名姓。如叶绿素、血红素等 。 厉害：为害～｜～的斗争。 学生依照学校规定必须学习的（区别于“选修”）：～课程。【差错】ｃｈāｃｕò名①错误：精神不集中，没有细胞结构， 也作唱工。秘密进行鼓动，②动指超过前人：～绝后。放在一边不去管它，②比喻培养：祖国和人民～了我们。 ［英ｉｃｅｃｒｅɑｍ］ 厂礼拜。 正中有孔，
平面向量数量积2
∴k =
2 3
当B = 90时， AB BC= 0，BC = A C AB = (1， k3)
∴2×(1) +3×(k3) = 0 ∴k = 11
3
当C = 90时， AC BC = 0，
∴1 + k(k3) = 0 ∴k = 3 13 2
综上所述 k3 或11或3 13
4:已知a=( 3m,m)(m<0),b=(-2,233)，
则a与b的夹角是（） A
A 60o B 90o C 120o D由m的取值确定
1.向量 a ( c o s ,s in ) ,b (3 , 1 )
则 | 2a - b | 的最大值，最小值分别是 4 , 0
2.已知 a(cos,sin)(003600),b(1, 3)
平面向量数量积
复习
21、、数向量量积夹的角定的义定： 义：O a a 与 b b 共 a A |,a O |起 b | |b c B ,则 点 o [A 0， s ， ] O 范
3、规投定影0：与|b任|c何o向s量叫的做数b量在积a方 为0 向 上 的 投
|a ||b | (5 )|ab| |a|b ||
二、新课学习
1、平面向量数量积的坐标表示
如图，i 是x轴上的单位向量， j 是y
轴上的单位向量，
由于ab a bcos 所以 y A(x1,y1)
B(x2,y2)
i i 1 . j j 1 .
b
a
j
i j j i 0 .
设a（x1, y1),b(x2, y2),则 abx1x2 y1y2 0
（2）平行
设a（x1, y1),b(x2, y2),则 a//bx1y2 x2y1 0
高中数学 第二章 平面向量 2.4 平面向量的数量积2课件
提示i2=1,j2=1,i·j=0;a·b=(x1i+y1j)·(x2i+y2j)
=x1x2i2+x1y2i·j+x2y1j·i+y1y2j2=x1x2+y1y2.
2.填空:(1)平面向量数量积的坐标表示
若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2,即两个向量的数量积等于它们对应
用.培养数学运算及逻辑推理素养.
垂直条件
2021/12/8
第二页，共二十九页。
一
二
思维(sīwéi)辨
析
一、平面向量的数量积与向量垂直的坐标表示
问题思考
1.若i,j是与x轴、y轴正方向相同的单位向量,则i2,j2,i·j如何计算?如果向
量a=(x1,y1),b=(x2,y2),那么(nàme)a·b的结果能否用其坐标表示?
二是先利用数量积的运算律将原式展开,再依据已知计算.
(2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目,只需把握图形的特征,建立
平面直角坐标系,写出相应点的坐标即可求解.
2021/12/8
第十三页，共二十九页。
探究(tànjiū)一Leabharlann 探究(tànjiū)二
探究(tànjiū)
三
思维辨析
变式训练 1(1)已知点 A(1,2),B(2,3),C(-2,5),则 ·等于(
【例3】已知向量a=(1,2),b=(3,-1).
(1)求|a-2b|;
(2)求与a垂直的单位向量;
(3)求与b平行的单位向量.
2021/12/8
第十五页，共二十九页。
探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)
高一数学平面向量的数量积2
最近几年，我冬天回家的时候居多，因为就这个季节比较闲。在母亲热乎乎的炕上睡醒了，就出去在河边看看鱼，捡石头，然后就到菜园子里呆一会儿。冬天的菜园子，光秃秃的，那两畦韭菜也冻 蔫了。我走来走去，从地上留下的枯根碎叶什么的，推测父亲秋天都收了啥。有白菜叶，萝卜芥菜叶，南瓜光秃秃的藤蔓，嗯，还有捆成一捆捆，码得整整齐齐的茄秧辣椒秧，花生秧子。回到家，我和 父亲母亲说我半天都干了什么。母亲说，园子里啥也没有，上那儿干啥去？父亲在一边不说话，眯着眼睛笑。沙巴官方网站
父亲一年老似一年，虽然身板道。今年我只在春天回家一次，到菜园子里绕了一趟，那时，种的菜还没长出 来呢。现在，下这么大的雨，靠河边的菜园子没事，真是一件值得欣慰的事啊。
共2页: 上一页12下一页
水母
在中国的北方，有一股好水的地方，往往会有一座水母宫，里面供着水母娘娘。这大概是因为北方干旱，人们对水有一种特殊的感情。为了表达这种感情，于是建了宫，并且创造出一个女性的水之 神。水神之为女性，似乎是很自然的事，因为水是温柔的。虽然河伯也是水神，他是男的，但他惯会兴风作浪，时常跟人们捣乱，不是好神，可以另当别论。我在南方就很少看到过水母宫。南方多的是 龙王庙。因为南方是水乡，不缺水，倒是常常要大水为灾，故多建龙王庙，让龙王来把水“治”住。
高二数学平面向量数量积2
说话间，车队从黄羊谷拐个弯，先往北然后往偏东北方向开进大红山腹地。进去之后才发现，大红山并不是从外边看到的那样单层山脉，里边层峦叠嶂，无数个红黄色山岭连绵不绝，足够壮美，只 是寸草不生，光秃秃的样子令人遗憾。
他可不玩石头玉料，哪有那个闲工夫呀！他在找骆驼印儿，那里是一条老驼道，野驼愿意沿着一条固定路线行走活动。胡尔曼别克解释说。利赢国际下载网址
有了，这里也有新鲜的蹄印子！胡阿提在那边高兴地说。
果然，在那பைடு நூலகம்似有似无的沙砾小径上，依稀可见驼印若隐若现。浅浅但硕大的分瓣儿蹄印，逃不出胡站长那猎人般的敏锐目光。
胡阿提远远凝视着驼印消失的方向，自言自语道，它们也去了涝池，饮水去了。于是，我们纷纷上车，按原定路线继续赶往涝池。大家很兴奋，已经有两拨蹄印奔往涝池了，我们都期望着在神秘的 涝池那里逮到野驼的身影。和胡阿提谈论起他们对野骆驼的救护时，他的眼睛里含着慈祥的光泽，似乎是在说自己的孩子。他们多次救护被遗弃、失散或受伤的野骆驼，曾救四峰小驼羔和十一峰成年驼 于危难之中。为了更好地监测野骆驼的活动规律，他与同事徒步跋涉上百公里山路，跟随脖子上佩戴着跟踪项圈的四峰野驼。人们能通过卫星定位发射器传送的数据，远程获得野骆驼的活动轨迹。
他可不玩石头玉料，哪有那个闲工夫呀！他在找骆驼印儿，那里是一条老驼道，野驼愿意沿着一条固定路线行走活动。胡尔曼别克解释说。利赢国际下载网址
有了，这里也有新鲜的蹄印子！胡阿提在那边高兴地说。
果然，在那பைடு நூலகம்似有似无的沙砾小径上，依稀可见驼印若隐若现。浅浅但硕大的分瓣儿蹄印，逃不出胡站长那猎人般的敏锐目光。
胡阿提远远凝视着驼印消失的方向，自言自语道，它们也去了涝池，饮水去了。于是，我们纷纷上车，按原定路线继续赶往涝池。大家很兴奋，已经有两拨蹄印奔往涝池了，我们都期望着在神秘的 涝池那里逮到野驼的身影。和胡阿提谈论起他们对野骆驼的救护时，他的眼睛里含着慈祥的光泽，似乎是在说自己的孩子。他们多次救护被遗弃、失散或受伤的野骆驼，曾救四峰小驼羔和十一峰成年驼 于危难之中。为了更好地监测野骆驼的活动规律，他与同事徒步跋涉上百公里山路，跟随脖子上佩戴着跟踪项圈的四峰野驼。人们能通过卫星定位发射器传送的数据，远程获得野骆驼的活动轨迹。
向量的数量积(2)高中数学(人教A版2019必修第二册课件)
3、数量积的物理意义： W | F || s | cos F s
F θ
s
数量积的几何意义：a b等于 a 的长度| a | 与 b
在 a 的方向上的投影| b | cos 的乘积。
即 a b | a || b | cos
B
b
a
O | b | cos B1
A
4.投影向量的求法 (1)向量 a 在向量b 上的投影向量为|a |cos θ e (其中e 为与b同向的单位向量) 丨a丨cos b a b b
6．2.4 向量的数量积（2）
学习目标
1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式. 2.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明. 核心素养：逻辑推理、直观想象、数学运算
一、温故知新:
1、数量积的定义： a b | a || b | cos
其中： a 0, b 0
是向量 a 和 b 的夹角，范围是：0 ≤ ≤ 180
①向量 a，b 的夹角为锐角⇔a·b>0 且向量 a，b 不共线；
②向量 a，b 的夹角为钝角⇔a·b<0 且向量 a，b 不共线．
作业：练习T1-3+P23T12，P24T 作业：教材P2218-20，T24
(1)OA e
(2)OB e
B
(3)OC e (4)OD e
D C
A
技巧:只需比较投影的大小
Oe
你学会了求数量积的两个技巧吗?（1）定义法（2）投影法
二、情境诱导，探求新知
利用向量线性运算可以解决平行、三点共线等问题， 能解决垂直、角度、长度、距离等问题吗？
阅读课本17-21页，思考并完成以下问题 数量积运算中常用到哪些公式？
2
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（04湖南）
3. 向 量 的 夹 角 ：
3. 向 量 的 夹 角 ：
例 2. 设m、n是两个单位 向量，其夹角为 60，试求向量 a 2m n与b 2n 3m的夹角.
练
习
已知向量a,b非零且满足(a - 2b) a,
(b - 2a) b则a与b的夹角为________
A. π
B. π
(2)
a
b
a
b
0
(1) e a a e acos
(2)
a
b
a
b
0
(3) 当a与b同向时，
a
b
(1) e a a e acos
(2)
a
babFra bibliotek0(3) 当a与b同向时，
a
b
a
b
(1) e a a e acos
(2)
a
b
a
b
0
(3) 当a与b同向时，
a
b
a
b
当a与b反向时，
平面向量的数量积
一、复习巩固
一、复习巩固
1. 向量的数量积的定义是什么？
一、复习巩固
1. 向量的数量积的定义是什么？
2.
向量数量积a
b的几何意义
是什么？
3. 向量数量积的运算律：
3. 向量数量积的运算律：
(1)
a
b
b
a
( 2)
( a)
b
(a
b)
a
(b )
(3)
( a
b)
c
a
c
b
b
的夹角
.
a
b
(1) e a a e acos
(2)
a
b
a
b
0
(3) 当a与b同向时，
a
b
a
b
当a与b反向时，
a
b
a
b
特别地，a a
特别地，a a a2
特别地，a a a2 或 a
特别地，a a a2 或 a a a
特别地，a a a2 或 a a a
(4) cos
特别地，a a a2 或 a a a
C. 2π D. 5π
6
3
3
6
（04福建）
4. 向量垂直问题 ：
4. 向量垂直问题 ：
例 3. 已知 a 3，b 4，且a
与b不共线，当且仅当k为何值时，
a
kb与a
kb相互垂直
？
练习
例 4. 已知 a、b 都是非零向量，
且
a
3b
与
7 a
5b 垂直，a
4b与
7a
2b 垂直，求
a与
c
二、新课讲授
二、新课讲授
1. 数量积的重要性质：
二、新课讲授
1. 数量积的重要性质：
设 a、b都是非零向量， e是与b方向相同的单位向
量， 是 a与e的夹角，则
(1) e a a e
(1) e a a e acos
(1) e a a e acos
(2)
a
b
(1) e a a e acos
(4) cos aabb
特别地，a a a2
或 a a a
(4) cos aabb
(5)
a
b
a
b
2. 利用性质求向量的模：
2. 利用性质求向量的模：
例 1. 已知a与b都为单位向量，
它们的夹角为60，则
a
3b
(
)
A. 7 B. 10 C. 13 D. 4
（04全国）
练
习
已知向量a (cosx,sinx),向量b ( 3,1) 则 2a b的最大值，最小值分别为： A.4 2,0 B.4,2 2 C.16,0 D.4,0