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二倍角的正弦、余弦和正切公式(基础)

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二倍角的正弦、余弦和正切公式(基础)
【学习目标】
1．能从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并了解它们之间的内在联系.
2．能熟练运用二倍角公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式．但不要求记忆），能灵活地将公式变形并运用．
3．通过运用公式进行简单的恒等变换，进一步提高运用联系的观点、化归的思想方法处理问题的自觉性，体会换元思想、方程思想等在三角恒等变换中的作用.
【要点梳理】
要点一：二倍角的正弦、余弦、正切公式
1．二倍角的正弦、余弦、正切公式
2sin 22sin cos ()S αααα=⋅
22222cos 2cos sin ()
2cos 1
12sin C αααααα
=-=-=-
222tan tan 2()1tan T αααα=-
要点诠释：
(1)公式成立的条件是：在公式22,S C αα中，角α可以为任意角，但公式2T α中，只有当2k π
απ≠+及()42
k k Z π
πα≠+∈时才成立； (2)倍角公式不仅限于2α是α的二倍形式，其它如4α是2α的二倍、2α是4α的二倍、3α是32
α的二倍等等都是适用的.要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，才能熟练地应用好二倍角公式，这是灵活运用公式的关键. 如：2cos 2sin 2sin α
α
α=；
11sin 2sin cos ()222n n n n Z α
αα++=∈
2．和角公式、倍角公式之间的内在联系
在两角和的三角函数公式βαβαβαβα=+++中，当T C S ,,时，就可得到二倍角的三角函数公式，它们的内在联系如下：
要点二：二倍角公式的逆用及变形
1．公式的逆用
2sin cos sin 2ααα=；1sin cos sin 22
ααα=． 2222cos sin 2cos 112sin cos 2ααααα-=-=-=．
22tan tan 21tan ααα
=-． 2．公式的变形
21sin 2(sin cos )ααα±=±； 降幂公式：221cos 21cos 2cos ,sin 22
αααα+-== 升幂公式：221cos 22cos ,1cos 22sin αααα+=-=
要点三：两角和与差的三角函数公式能够解答的三类基本题型
求值题、化简题、证明题
1．对公式会“正着用”，“逆着用”，也会运用代数变换中的常用方法：因式分解、配方、凑项、添项、换元等；
2．掌握“角的演变”规律，寻求所求结论中的角与已知条件中的角的关系，如 (),2()()ααββααβαβ=-+=++-等等，把握式子的变形方向，准确运用公式，也要抓住角之间的规律(如互余、互补、和倍关系等等)；
3．将公式和其它知识衔接起来使用，尤其注意第一章与第三章的紧密衔接.
【典型例题】
类型一：二倍角公式的简单应用
例1．化简下列各式：
（1）4sin cos 22α
α
；（2）22sin cos 88π
π
-；（3）2tan 37.51tan 37.5︒-︒
． 【思路点拨】逆用二倍角的正弦、余弦和正切公式．。

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二倍角的正弦,余弦,正切公式

二倍角的正弦,余弦,正切公式

§ 3.1.3 二倍角的正弦, 余弦,正切公式
复习
sin sin cos cos sin
cos cos cos sin sin
tan tan tan 1 tan 2 , tan 2
2、已知等腰三角形一个 底角的正弦值 5 为 , 求这个三角形的顶角的 正弦 , 余弦, 13 正切值.
3、化简 :
1 cos 50
0
0 2 0
sin 70 1 cos 160
.
小结
本节我们学习二倍角的正弦、
余弦和正切公式，我们要熟记公式，
在解题过程中要善于发现规律，学 会灵活运用.
作业
课本135页练习
1 例2已知 tan 2 , 求tan的值 3
2 tan 1 解： 2 tan 2 1 tan 3
由此得： tan 6tan 1 0
2
解得： tan 2 5
或 tan 2 5
练习
2(sin 2 1 ) 1、求证 : 1 tan . 1 sin 2 cos 2
我们由此能否得到
的公式呢？（学生自己动手，把上述公式中
看成
即可），
S 2 :
sin 2 2 sin cos
C 2 :
cos 2 cos sin
2 2
2 cos 2 1 1 2 sin 2
T2 :
2 tan tan 2 2 1 tan
举例
5 例1 已知 sin 2 , , 求 sin 13 4 2 4 , cos 4 , tan 4 .
4
解：由 又因为 于是
二倍角的正弦余弦正切公式

二倍角的正弦余弦正切公式


cos2α＝cos2α－sin2α
(C2 α)
tan tan
∵ tan(α + β)＝ 1 tan tan
∴ 当α＝β时, tan2α ＝
tan
2

2 tan 1 tan2
.
(T2 α )
利用sin2α+cos2α=1, 公式C2α还可以变形为： cos2α=2cos2α–1=1 –2sin2α.
引例
把下列各式化为一个角的三角函数形式
(1) 3 sin 1 cos
(2)s2in


2
cos
(3)a sin x b cos x
化asin x bcos x 为一个角的三角
函数形式
asin x bcos x
a2

b2

a
sin x
a2 b2
a
令

况，还可以运用于诸如将4α 作为2α 的2倍，将
α 作为 的2倍，将 α 作为 的2倍，将3α 作为3
2
的2倍等等.
2
4
2
例1.已知sinα ＝ 5 ，α ∈( ,π )，求sin2α ，
cos2α ，tan2α 的1值3 .
2
解：∵sinα＝ 5 ，α∈（ , π ),
13
2
∴cosα ＝－ 1 sin2 1 ( 5 )2 12.
3
2
例3 利用三角公式化简 sin 50 (1 3 tan10 ).
例4 若sin( ) 1 ,求sin( 2 ).
解：（2


）6（
3
2）

6
二倍角的正弦余弦正切公式

二倍角的正弦余弦正切公式

二倍角的正弦余弦正切公式二倍角指的是角度的两倍，即一个角度的两倍。

在三角函数中，我们通常使用θ来代表一个角度，那么二倍角就用2θ表示。

接下来，让我们来看一下二倍角的正弦、余弦和正切公式：1.二倍角的正弦公式：sin(2θ) = 2sinθcosθ这个公式表示了一个角度的二倍角的正弦值与这个角度的正弦值、余弦值的关系。

具体来说，这个公式表明一个角度的二倍角的正弦值等于这个角度的正弦值和余弦值的乘积的2倍。

2.二倍角的余弦公式：cos(2θ) = cos^2θ - sin^2θ= 2cos^2θ - 1= 1 - 2sin^2θ这个公式表示了一个角度的二倍角的余弦值与这个角度的正弦值、余弦值的关系。

具体来说，这个公式有三种等价的形式，它们分别表示一个角度的二倍角的余弦值等于这个角度的余弦值的平方减去正弦值的平方、等于2倍的余弦值的平方减去1、等于1减去2倍的正弦值的平方。

3.二倍角的正切公式：tan(2θ) = 2tanθ / (1 - tan^2θ)这个公式表示了一个角度的二倍角的正切值与这个角度的正切值的关系。

具体来说，这个公式表明一个角度的二倍角的正切值等于角度的正切值的两倍除以1减去角度的正切值的平方。

使用这些二倍角公式可以方便地计算二倍角的三角函数值，从而简化三角函数的计算。

此外，二倍角公式还有很多应用，例如在解三角方程、求和差化积等问题中。

需要注意的是，这些公式只适用于特定的角度范围，通常是0到360度或者0到2π弧度之间。

当角度超过这个范围时，可能需要利用三角函数的周期性质进行转化。

另外，这些公式的推导可以通过三角函数的定义、三角恒等式和半角公式来完成。

总结起来，二倍角的正弦、余弦和正切公式是三角函数中的重要公式，它们可以方便地计算二倍角的三角函数值，简化三角函数的计算，并且在解三角方程、求和差化积等问题中有广泛的应用。

二倍角的正弦、余弦、正切公式

二倍角的正弦、余弦、正切公式


归纳小结
(1)二倍角公式是和角公式的特例，体现了 二倍角公式是和角公式的特例， 二倍角公式是和角公式的特例 将一般化归为特殊的基本数学思想方法。 将一般化归为特殊的基本数学思想方法。 (2)二倍角公式与和角、差角公式一样，反 二倍角公式与和角、 二倍角公式与和角 差角公式一样， 映的都是如何用单角α的三角函数值表示 映的都是如何用单角 的三角函数值表示 复角（ 的三角函数值， 复角（和、差、倍）的三角函数值，结合 前面学习到的同角三角函数关系式和诱导 公式可以解决三角函数中有关的求值、 公式可以解决三角函数中有关的求值、化 简和证明问题。 简和证明问题。
化简 sin 50 (1 + 3 tan10 )
o o
cos10o + 3 sin 10o o 解： 原式 = sin 50 ⋅ o cos10 o o 2 sin 40 = sin 50 ⋅ o cos10 o o 2 sin 40 = cos 40 ⋅ o cos10 o sin 80 = =1 o cos10
［例2］若270°＜α＜360°， 化简：
1 1 + 2 2
求值
1 1 + cos 2α 2 2
（1）cos80°cos40°cos20° （2）sin10°sin30°sin50°sin70°
例3
1+sin2 −cos2 θ θ 求 ： 证 = tanθ 1+sin2 +cos2 θ θ
2
1 + 2 sin θ cos θ − (1 − 2 sin θ ) 证明： 证明：左边 = 2 1 + 2 sin θ cos θ + ( 2 cos θ − 1)
同样对于正切也有这样的结论