计数原理公开课

排列与组合的联系
当m=n时，排列数A_{n}^{n} = n!， 组合数C_{n}^{n} = 1。
05
计数原理的练习题与解析
基础练习题
题目
从5名学生中选3名参加知 识竞赛，共有多少种不同 的选法？
解析
这是一个典型的组合问题 ，通过组合公式 $C_{n}^{m}=frac{n!}{m! (n-m)!}$，我们可以计算 出从5名学生中选3名的组 合数为 $C_{5}^{3}=frac{5!}{3!2! }=10$。
综合练习题
题目
在3名男生和4名女生中任取3人参加比赛，其中男生2人、女生1人的概率为多少？
解析
这是一个典型的古典概型问题。首先计算基本事件总数$n=C_{7}^{3}=35$，然后计算男生2人、女生 1人的基本事件数$m=C_{3}^{2}C_{4}^{1}=18$，所以男生2人、女生1人的概率为 $p=frac{m}{n}=frac{18}{35}$。
分步计数原理的实例
实例一
从上海到南京需要经过苏州和常州两个城市，从上海到苏州有3种交通方式，从苏州到常州有2种交通方式，从常 州到南京有2种交通方式，那么从上海到南京共有$3 times 2 times 2 = 12$种不同的交通方式。
实例二
一个简单的四则运算题目，如计算$(a+b)(c+d)$，需要先分别计算括号内的加法，再将两个加法结果相乘，因此 共有$m_1=2$种加法方式（加法或减法）和$m_2=2$种乘法方式（乘法或除法），所以共有$N=2 times 2 = 4$种不同的运算方式。
04
排列与组合
排列的定义与计算方法
排列的定义
从n个不同元素中取出m个元素（ m≤n），按照一定的顺序排成一列 ，称为从n个不同元素中取出m个元 素的一个排列。

例4：小明写了三封不同的信，到邮局 去寄时，发现有并排四只不同的邮筒， 那么他不同的投信方法有多少种？
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课堂小结
两大原理：
1、分类加法计数原理： 针对的是“分类”问题.各类方法相互独立。
2、分步乘法计数原理： 针对的是“分步”问题。每步相互依存。
两种思想：
1、类比思想：由加法原理类比得到乘法原理
正解 9
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【2】在一次运动会上有4项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中 产生，那么不同的夺冠情况共有种. 错解 把4个冠军，排在甲、乙、丙三个位置上，
故有 A=43 24(种).
错解分析 错解是没有理解乘法原理的概念，盲目地套用公式. 正解 4项比赛的冠军依次在甲、乙、丙三人中选取，每项冠军
都有3种选取方法，由乘法原理共有3×3×3×3= =3841（种）.
1011分类加法计数原理分步乘法计数原理完成一件事共有n类方案关键词分类区别1完成一件事共分n个步骤关键词分步区别2区别3每类方案的任何一个方法都能独立地完成这件事情任何一步都不能独立完成这件事只有各个步骤都完成了才能完成这件事相加相乘12例1
引言
由100个碱基可以 组成多少种RNA分 子，你知道它是怎 么算出来的吗？
（1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？
解（：1）从书架上任取一本书，有三类方法： 第1类办法是：从第1层取1本计算机书，有4种方法； 第2类办法是：从第2层取1本文艺书，有3种方法； 第3类办法是：从第3层取1本体育书，有2种方法； 根据分类加法计数原理，不同取法的种数是：
N 4329
答：从书架上任取1本书，有9种不同的取法.
（种）.根据A点和 B1点两处灯泡的颜色相同或不相同分为两类:
(1)A, B颜1 色相同，则B处有3种，C处有1种，则共有3×1=3种;

①该问题中要完成的“一件事”是什么？②如何完成这件事呢？
按照规则生成一个汽车牌照序号
分类
10×10×10×10×10=100000
100000+1200000+5760000=7060000
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
区别
完成一件事，共有n类方法，关键词是“分类” ．
完成一件事，共有n个步骤，关键词是“分步” ．
本质一样，乘法原理可以看成是加法原理的简化，类似于数的运算中乘法是加法的简化．
解决实际问题时常常需要两个原理结合应用．
教材P158 A组第5,6题，B组第1题．
答：满足条件的密码的个数分别为10000和1110000．
问题（1）中要完成的一件事是什么？
确定1个字节的8个二进制位上的数字
根据分步乘法计数原理，1个字节最多可以表示不同字符的个数是2×2×2×2×2×2×2×2=28=256．
<6763
2个字节最多可以表示不同字符的个数是28×28=256×256=65536．
每类方法都能独立完成这件事，且每类方法得到的都是最后结果，只需一种方法就可以完成这件事．
任何一，才能完成这件事．
各类方法之间是互斥的、并列的、独立的．
各步之间是关联的、独立的，“关联”确保不遗漏，“独立”确保不重复．
联系
都是求完成一件事情的方法种数．
要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用2个字节表示．
5封信投到3个信箱
3封信投到5个信箱
5个人报名3项比赛
3项冠军从5个人中选
其中，序号的编码规则为：（1）由10个阿拉伯数字和除O，I之外的24个英文字母组成；（2）最多只能有2个英文字母.如果某地级市发牌机关采用5位序号编码，那么这个发牌机关最多能发放多少张汽车号牌？

“每一步”与“完成这件事”有什么关系？
“每一步”都不能独立“完成这件事”．
从甲地经乙地到丙地，共有多少种不同的方法？
共有（种）不同的方法．
完成这件事要分几步？每一步有几种方法？ 分两步： 第一步：先选上衣，有种不同方法； 第二步：再选裤子，有种不同方法．“每一步”与“完成这件事”有什么关系？ “每一步”都不能独立“完成这件事”．完成这件事，共有多少种不同的方法？ 共有（种）不同的方法．
考虑选择分“类”还是分“步”：分类计数原理中每种方法都可以解决这件事情；分步计算原理中连续几个步骤合起来共同完成一件事情．
解：（1）选出名代表有两类方式：第一类：从男生中选出名代表，有种不同的选法；第二类：从女生中选出名代表，有种不同的选法．根据分类计数原理，共有不同的选法种数是．
某班共有男生名、女生名，从该班选出学生代表参加校学生代表大会．（1）若学校分配给该班名代表，则有多少种不同的选法？（2）若学校分配给该班名代表，且男、女生代表各名，则有多少种不同的选法？
解：(1)从个年级共名学生中选出名代表，共种选法．(2)从每个年级中各选人，根据分步计数原理知，共种选法．
结构框图
教材第56页练习第1，2，3题．
各个步骤相互依存，各个步骤都完成才算完成这件事．
分步计数原理针对“分步”问题
分类计数原理针对 “分类”问题
某班共有男生名、女生名，从该班选出学生代表参加校学生代表大会．（1）若学校分配给该班名代表，则有多少种不同的选法？（2）若学校分配给该班名代表，且男、女生代表各名，则有多少种不同的选法？
解：（2）选出男、女生代表各名，可以分成两个步骤完成：第一步：选名男生代表，有种不同的选法；第二步：选名女生代表，有种不同的选法．根据分步计数原理，选出男、女生代表各名，共有不同的选法种数是．答：选出名代表有种不同的选法；选出男、女生代表各名，有种不同的选法．