计数原理教材分析

第六章计数原理单元复习（第2课时）一、教材分析本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第三册》第六章《计数原理》，本章主要学习了分类加法计数原理与分步乘法计数原理；然后，从一般到特殊，学习了两类特殊的计数问题——排列与组合，并用两个计数原理推导出排列数公式与组合数公式；最后，作为一个应用，根据多项式的乘法运算法则和计数原理推导了二项式定理，并研究了二项式系数的一些性质.本节课主要复习和巩固二项式定理，并学习简单的应用.二、学情分析高二（6）班是理科重点班，数学基础较好.从学生整体而言，能理解数学新的内容一一计数原理，并能处理简单的计数原理问题.具备了一定的分析问题，解决问题，概括问题等能力。

通过生活情境问题，进一步掌握本节课的数学思想和方法，从特殊到一般，从一般到特殊来理解本节课的复习内容.三、教学目标1.理解两个计数原理和组合与二项式定理的形成与联系；2.会用二项式定理去处理简单的数学问题；3.通过本节课复习二项式定理来体验“从特殊到一般”、“从一般到特殊”的核心素养，提高自己观察、分析、概括和数学运算的核心素养.四、教学重难点重点：应用二项式定理解决实际问题.难点：具体问题转化为二项式定理，并运用本章内容去处理问题，以简驭繁.五、教学方法启发，引导，自主，探究，总结.六、教学过程（一）本章知识结构设计意图：通过引导回顾本章学习的主要内容去发现知识间的联系，加强数学知识间的联系，是深入理解和掌握知识的重要方法并提高概括能力.（二）复习旧知，提出问题1二项式定理(Q+b)n=Cθσn+C^a n-1b+・・・+CAa n fbk+…+CJib n(n∈N*)(1)二项式系数:Cjtk=Oj,…,n∙(2)二项展开式的通项：7k+ι=Cnθn~k b k,k=1,2√∙∙,n.2.二项式系数的性质(1)对称性首末两端“等距离”的二项式系数相等.Ct=Ckk,k<n f k=0,1,2,…，n(2)增减性与最大值中间项以前逐渐增大，中间项以后逐渐减小.n-1n+ι当n为奇数时，中间两项与最大.当n为偶数时，中间一项$最大.(3)各二项式系数和：以+啜+鬣+•・・+印=2九.奇数项二项式系数之和：以+鬣+・・・二2九-1.偶数项二项式系数之和：&+%+・・・=2-1.设计意图：总结回顾本章主要学习的基本知识，熟记知识点为进一步学习它们的应用打好基础，体现学生掌握基本知识点的核心素养.(三)例题讲解探究我们每天多努力1%,30天后，比现在的你优秀多少呢?求(1-0.01)3°的近似值(精确到0.0设计意图：由“一般”到“特殊”，通过数学知识让学生每天努力学习的必要性，加强德育教育的核心素养.例1(1+2%2)(1+%)4的展开式中的系数为A.12B.16C.20D.24设计意图：通过所学知识，提高学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理的核心素养以及特殊到一般，具体到抽象的核心素养.例2求(%2+3%+1)5的展开式中％2的系数.探究(a+b+c)∖n ∈N*的展开式通项.设计意图：掌握多项式展开的基本原理，会用不同的途径来处理简单的数学问题，体现转化和运算以及特殊到一般的核心素养.365 (1+0.01) ≈37.8 不积胜步，无以至千里;不积小流，无以成江海.(精确到0.1)（四）课堂小结多项式展开式中特定项问题：1.利用二项式定理或二项展开式的通项；2.通过多项式展开的原理，再由分类加法计数原理和分步乘法计数原理及组合的含义找到具体项.（五）作业布置1必做题：教材复习参考题6中综合运用第7,8题.3.选做题：教材复习参考题综合题第1,2题4.拓广探索:（%+a2+—F a m）n m,nEN*的展开式通项设计意图：进一步巩固本节课复习的二项式定理，反馈效果，分层次不同发展.（六）板书设计计数原理复习（第2课时）1.二项式定理（Q+b）n=Cθαn+C^a n-1b+…+C^a n~k b k+・・・+C^b n（n∈N*）T∕c+1=C^a n~k b k,k=1,2,∙∙∙,n2•例1例2（a+b+c）”,n∈N*的展开式通项.（七）本章总结知识内容1.分类加法计数原理与分步乘法计数原理2.排列与组合3.二项式定理思想方法1特殊到一般，一般到特殊4.分类讨论5.转化与化归6.函数与方程设计意图：通过本章的学习，获得了哪些新的知识和思想方法，并在今后学习和实际问题中加以应用.（八）教学反思在章小结课的教学中，学生可能遇到的问题（或困难、障碍）是综合应用计数原理，产生这一问题的原因是不能根据问题的特征选择对应的原理。

计数原理教材分析北京市陈经纶中学黎宁计数问题是数学中的重要研究对象之一，分类加法计数原理、分步乘法计数原理是解决计数问题的最基本、最重要的方法，它们为解决很多实际问题提供了思想和工具。

本章知识内容包括 1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理计数，1.2排列与组合，1.3二项式定理。

了解计数与现实生活的联系，会解决简单的计数问题。

PPT一、知识结构与要求1．本章知识框图2.内容及要求1．1分类加法计数原理、分步乘法计数原理通过实例，总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理；能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题。

1.2 排列与组合通过实例，理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式，并能解决简单的实际问题。

1.3 二项式定理能用计数原理证明二项式定理；会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。

上述“内容和要求”与以往“教学大纲”基本一致，不同之处有二：一是“教学大纲”要求“掌握组合数的两个性质，并能用它解决一些简单的应用问题”，而这里没有这个内容和要求。

二是老教材中分类、分步计数原理建议2课时，排列4课时，组合5课时，二项式定理4课时；而新教材两个原理4课时，排列与组合6课时，二项式定理3课时，相对的分类、分步计数原理的地位加强了。

二、课时安排1．本章有三节内容，共14课时，具体分配如下（供参考）：1．1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理------约4课时1．2 排列与组合------------------------------约6课时1．3 二项式定理------------------------------约3课时小结与复习------------------------------------约1课时三、本章的重点和难点（1）重点：两个计数原理，排列、组合的意义及排列数、组合数计算公式，二项式定理．两个计数原理是最基本而重要的．（2）难点：正确运用两个计数原理以及排列、组合概念分析和解决问题．由于计数问题与学生熟悉的代数问题有些不同，常常涉及一些复杂的关系，很容易造成分析过程中的逻辑混乱，而且在解决问题时还常常发生分不清排列还是组合、重复或遗漏计算等情况．为了突破难点，教科书始终把两个计数原理的理解放在突出位置，并给学生提供辨别容易混淆的概念、用不同思路分析和解决问题的机会．四、教材分析及教学建议1.分类加法计数原理和分步乘法计数原理两个原理是处理计数问题的两种基本思想方法．在面对一个复杂的计数问题时，通过分类或分步将它分解为若干个简单计数问题，在解决这些简单问题的基础上，将它们整合起来而得到原问题的答案，可以达到以简驭繁、化难为易的效果．首先要帮助学生理解两个计数原理中的“完成一件事情”。

《计数原理》教材分析理工附中刘柱一、“课标”与“大纲”在整体定位上的区别1．章节名称变化《排列、组合和二项式定理》→《计数原理》2．新课标定位“新标准”表述：3．本单元内容仍为高考中重点考察的内容二、知识结构三、“课标”教材与“大纲”教材的区别1. 在排列定义的理解上，强调“占位”的角度理解“顺序”。

2. 增加了“相邻”问题的例题和练习的题型。

3. 对排列数及组合数的公式及性质要求上，强调理解以及在应用过程中会利用公式进行计算，相对淡化形式复杂的变形与证明。

4. 从实际应用的角度，增加了用计算器计算排列数或组合数的例题和练习。

四、教材分析及建议1.1基本计数原理(1) 从最朴素的数数问题引入，不可忽视“穷举”法。

穷举法一般有树图法和列表法。

例 （P10巩固与提高11）某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元,70元的单片软件和盒装磁盘.根据需要,软件至少买3片,磁盘至少买2盒,则不同的选购方式共有多少种?（2）明确本章重点要解决的计数问题的特征——“做一件事，有多少种不同的方法？” 例。

已知集合{}3,2,1=A ，{}c b a B ,,=，那么从A 到B 的映射共有多少个？（3）分类加法计数原理和分步乘法计数原理是计数的两个基本原理，是本章内容的核心。

要求学生通过大量实例来很好地理解，并能熟练地应用。

切不可认为知识简单，一带而过。

(4) 正确理解“分类”和“分步”，正确认识如何分类和如何分步。

1.2排列与组合（1） 对于排列及组合的定义不仅要求学生理解，最好要求学生能够记忆，要求学生能够结合实例解释。

（2） 对于排列数和组合数的计算公式，应重视它们在计数方面的应用，不必过多地进行在证明或解方程等方面的进行训练。

（3） 对组合数的两个性质,侧重从实际意义上去理解，淡化证明。

（4） 应始终注重处理好三个关系：分步与分类，有序与无序，元素与位置。

（5） 不重不漏地分类，合理地进行分步，引导学生形成正确的思考习惯（6） 自然地处理分类与分步的关系。

《计数基本原理》高二数学教案《计数基本原理》高二数学教案作为一无名无私奉献的教育工作者，就不得不需要编写教案，教案是实施教学的主要依据，有着至关重要的作用。

我们应该怎么写教案呢？以下是帮大家整理的《计数基本原理》高二数学教案，供大家参考借鉴，希望可以帮助到有需要的朋友。

一、教材分析1、教材的地位和作用计数的基本原理包括分类计数及分步计数原理，这两个原理是学习排列组合的基础,是推导排列数、组合数的重要理论，同时也给出了分析解决排列与组合问题的思维方法。

因此，在整章书中的作用非常重要。

2、教材的重点、难点和关键教学重点：分类计数原理及分步计数原理的区别及应用教学难点：对复杂事件的分类及分步。

二、学情分析和学法指导学情分析：学生基础差，学习主动性差，缺乏学习兴趣。

基于以上情况，我设计了如下的学法指导。

学法指导：从培养学生的兴趣入手，使学生在学习过程中学会观察问题、探究问题，自主归纳总结进而得出结论。

三、教学目标分析根据以上两点，我制定了如下的教学目标：1、知识目标：掌握计数的基本原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题。

2、能力目标：通过计数基本原理的理解和运用，提高学生分析问题和解决问题的能力，开发学生的逻辑思维能力。

3、情感目标通过各种贴近学生生活的`素材，激发学生学习兴趣，培养学生爱国热情.四、教学方法在课堂上，让学生积极主动参与是关键。

正所谓：“学问之道，问而得，不如求得之深固也”学习任何东西最好的途径是让自己去发现。

本节课采用启发式的教学方法，启发学生积极思考，积极探索，创设一个以学生为主体，教师为主导，师生互动、合作交流、共同探索的教与学的情境。

最后我来具体谈一谈这一堂课的教学过程：根据上述情况，我设计了如下六个环节的教学过程。

五、教学过程1、创设情境——引入课题首先，我会给出以下一组图片激发学生的学习兴趣及爱国热情。

看到图片，有的学生马上脱口而出：“中国女排”。

我说：“对，这正是中国女排在去年的雅典奥运会上夺冠的画面，好，现在假使你是一名统计员，我给出如下比赛规则：分成两个小组，每个小组6支队伍进行循环赛，决出4强，再由这四支对进行淘汰赛，那么请问，夺冠的中国女排总共进行了多少场比赛?这时，学生觉得这个问题很困难。

《分类计数原理与分步计数原理》教学设计课题：分类计数原理与分步计数原理课型：新授课一、教材分析1、教材的地位与作用《分类加法计数原理与分步乘法计数原理》，是高中数学人教A版选修2-3第一章第一节课。

分类加法计数原理和分步乘法计数原理是排列、组合的基础，学生对这两个原理的理解，掌握和运用，成为学好本章的一个关键。

2、教学目标（1）知识目标掌握计数的两个基本原理,并能正确的用它们分析和解决一些简单的问题.（2）能力目标通过计数基本原理的理解和运用,提高学生分析问题和解决问题的能力,开发学生的逻辑思维能力.（3）情感目标培养学生勇于探索、勇于创新的精神，面对现实生活中复杂的事物和现象，能够作出正确的分析，准确的判断，进而拿出完善的处理方案，提高实际的应变能力。

3、重点、难点重点：分类计数原理与分步计数原理难点：正确运用分类计数原理与分步计数原理二、学情分析1、认知水平：已有使用计数原理的生活经验，但缺少思维上升，将通过再现生活情境帮助自我建构；2、心理特点：他们热爱数学，但缺少数学自信，让他们在体验生活应用和实践的成功乐趣，从而爱上数学，爱上学习；3、能力水平：动手操作能力强，但抽象思维能力弱，将通过体验性，过程性来实现。

三、教法分析科学合理的教学方法能使教学效果事半功倍，达到教与学的和谐完美统一。

基于此，我准备采用的教法：是启发引导，学生讨论相结合的方法，这样可以充分调动学生的积极性，增强同学们的参与机会，让学生在学中思，在思中学，培养学生的数学观察猜想能力，启迪学生的探索灵感。

让学生有一个直观的感受，然后在教师的引导下让学生形成感性认识。

通过设问，让学生充分进行讨论，逐步引导学生形成概念。

四、学法指导“授人与鱼，不如授人与渔”。

教给学生方法比教给学生知识更重要，本节课注重调动学生积极思考、主动探索，运用观察分析讨论总结的学习方法。

五、教学过程设计（一）提出课题――引入新课首先,提出本节课的课题：分类加法计数原理与分步乘法计数原理。

基本计数原理教案基本计数原理教案主要包括以下步骤：一、教材分析●地位和作用：基本计数原理是学习排列组合的基础，是推导排列数、组合数的重要理论，同时也给出了分析解决排列与组合问题的思维方法。

●重点、难点和关键：分类计数原理及分步计数原理的区别及应用。

二、学情分析和学法指导学生基础差，学习主动性差，缺乏学习兴趣。

从培养学生的兴趣入手，使学生在学习过程中学会观察问题、探究问题，自主归纳总结进而得出结论。

三、教学目标●知识目标：掌握计数的基本原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题。

●能力目标：锻炼学生的观察能力和解决问题的能力。

●情感目标：培养学生对数学的兴趣和好奇心，建立自信心。

四、教学方法课堂上应积极引导学生进行思考和讨论，鼓励学生提问和发表自己的观点，以便更好地帮助他们掌握知识和提高能力。

五、教学过程●提出问题：从实例出发，提出有关排列与组合的问题，引导学生思考如何用计数原理来解决。

●讲解原理：详细解释分类计数原理和分步计数原理的定义和适用范围，对比两者的异同点。

●实例解析：通过具体的例子，让学生更好地理解如何运用计数原理来解决实际问题。

●总结反思：回顾分类计数原理和分步计数原理的主要内容，总结解题思路和方法，反思在解题过程中遇到的困难和问题。

●布置作业：根据教学内容和学生的学习情况，布置适当的练习题或思考题，巩固所学的知识。

六、教学评估通过课堂表现、作业完成情况、小组讨论等方式对学生的学习效果进行评估，及时发现问题并进行针对性的指导。

同时也可以设置一些测试题或小测验来检验学生对知识的掌握程度。

选修2-3第一章计数原理第一节基本计数原理（第一课时）课型：新授课第一章计数原理第1节两个基本计数原理一、教材分析本节课《分类计数原理与分步计数原理》是人教版普通高中课程标准试验教科书（选修2-3)第一章第一节的内容，是本章后续知识的基础,对后续内容的学习有着举足轻重的作用,另外本节课涉及的分步、分类的思想是解决实际问题的最有效武器，是人们思考问题的最根本方法.二、学情分析高二学生已具备一定的数学知识和方法，能很容易的接受两个原理的内容，并应用原理解决一些简单的实际问题，这些形成了学生思维的“最近发展区”．虽然学生已经具备了一定的归纳、类比能力，但在数学的应用意识与应用能力方面尚需进一步培养．另外，学生的求知欲强，参与意识，自主探索意识明显增强，对能够引起认知冲突，表现自身价值的学习素材特别感兴趣。

但合作交流意识欠缺，有待加强.三、教学目标⑴知识与技能目标①掌握分类计数原理与分步计数原理的内容②能根据具体问题的特征选择分类计数原理与分步计数原理解决一些简单实际问题．⑵过程与方法目标①通过具体问题情境总结出两个计数原理，并通过实际事例学生感悟两个原理的应用并最终学会应用②通过“学生自主探究、合作探究，师生共究”更深刻的理解分类计数与分步计数原理，并应用它们解决实际问题⑶情感、态度、价值观目标树立学生积极合作的意识，增强数学应用意识,激发学生学习数学的热情和兴趣. 四、教学重难点分析教学重点：分类计数原理与分步计数原理的掌握教学难点：根据具体问题特征选择分类计数原理与分步计数原理解决实际问题．五、教法、学法分析1、教法分析：①启发探究法：这种方法有利于学生对知识进行主动建构；有利于突出重点，突破难点；有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性。

②分组讨论法：有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题，调动学生的积极性。

2、学法分析：本节课要求学生自主探究，学会用类比的思想解决问题，树立学生的合作交流意识.根据教材内容以及学情分析本节课主要教给学生“用眼看，用脑想，用手画，动口说，善提炼，勤专研”的问题式自主式学习方法.六、教学过程【学情分析】1.认知基础分析：学生在初中学习过用列举法或树状图来解决一些计数问题，已经具备了一定的归纳、类比能力，也能解决一些简单的实际问题，这些形成了学生思维的“最近发展区”。

《计数原理》（教学设计）《计数原理》教学设计基于物联网的智慧教室，它包括了活动的连体课桌椅、平板电脑、灵活切换的双屏投影设备；超星学习通平台、APP；任务驱动视频、微课视频；可操作的Storyline课后作业资源包。

智慧教室学习通平台+APP 课中微课视频课后微课视频任务驱动视频StoryLine作业资源包7.教法学法教法：运用了创设情境和问题引导教学法，秉承着以学生为主体、教师为主导、项目为主线的原则，并充分运用信息化手段辅助。

学法：采用了任务驱动法、合作学习法和归纳学习法，最大限度地发挥学生主体地位。

8.教学流程1.教师在“学习通”平台上创建班级，邀请学生加入，并发布通知，内容为：下周，全班同学将去A市地铁公司下属的地铁站见习，由老师带领学生统一出发。

路线如下：由于需要制定计划，现请同学们查询整个出行过程共有几种不同的方法。

2.根据学生讨论中存在的困惑，提出以下两个问题：（1）调查由本市到A市火车站有几种出行方式（自驾除外）？每种出行方式有几个班次？（2）调查由某酒店到A市地铁公司有几种不同的出行方式？根据课前任务导入：昨晚我已将任务发到学习通上，请同学们帮忙查询出行方式。

接下来我在学习通平台上抽一位同学，来分享一下他的查询结果。

那么，我们一共有几种不同的方法呢？引出分类计数原理的概念：一般地，完成一件事有，有n类方式。

第1类有k1种方法，第2类有k2种方法，⋯，第n类有k n种方法，那么完成这件事的方法共有N=k1+k2+⋯+k n（种），这个计数原理叫做分类计数原理，又叫做加法原理。

特点：各个方法相互独立，一步到位，用加法。

13minDAY 2：学生由某酒店到A市地铁公司。

经调查，线路如下：那么，从酒店到地铁公司总共有几种不同的出行方式呢？我请同学分享一下昨晚的查询结果。

教师：放映PPT，选学生分享昨晚的查询结果，并将答案填入幻灯片中。

学生：回答问题并思考总共有多少种不同方案。

让学生呈现昨晚的调查结果，是对课前任务的一种反馈，同时，由学生来汇报可增加真实感。

§1.1基本计数原理教学设计1、三维目标:知识与技能：(1)理解分类加法计数原理；(2)理解分步乘法计数原理；(3)会应用两个计数原理解决简单的实际问题.过程与方法：培养学生的归纳概括能力；情感、态度与价值观：引导学生形成“自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式2、教学重点:初步理解分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理),并能根据具体的问题特征,选择分类加法原理或分步乘法原理解决一些简单的实际问题.3、教学难点:根据具体的问题特征,正确选择分类加法原理或分步乘法原理解决一些简单的实际问题.教学过程：【情境创设】人造天体的编号规则：（1）发射年份+四位编码；（2）四位编码前三位为阿拉伯数字,第四位为英文字母；（3）前三位数字不能同时为0；（4）英文字母不得选用I，O ；（字母I, O易与数字1,0混淆）按照这样的编号规则，2013年发射的人造天体，所有可能的编码有多少种?【设计意图】:从这个具体例子出发来，引起学生解决这个比较复杂的问题的兴趣，产生学会解决这个问题方法的欲望。

一、分类加法计数原理的引入与讲解师生活动:问题1：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？问题2：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车．一天中，火车有10班，汽车有14班．那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法?【教师设疑】以上两个计数问题的共同特点是什么呢？【探究】【形成结论】分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m 种不同的方法，在第2类方案中有n 种不同的方法. 那么完成这件事共有n m N +=种不同的方法.例1、在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A,B 两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：A 大学B 大学 生物学 数学 化学 会计学 医学 信息技术学 物理学 法学 工程学如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？分析：由于这名同学在 A , B 两所大学中只能选择一所，而且只能选择一个专业，又由于两所大学没有共同的强项专业，因此符合分类加法计数原理的条件．解：这名同学可以选择 A , B 两所大学中的一所．在 A 大学中有 5 种专业选择方法，在 B 大学中有 4 种专业选择方法．又由于没有一个强项专业是两所大学共有的，因此根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择共有 5+4=9（种）.变式: 若还有C 大学，其中强项专业为：新闻学、金融学、人力资源学.那么，这名同学可能的专业选择共有多少种？.【教师设问1】如果完成一件事有三类不同方案，在第1类方案中有1m 种不同的方法，在第2类方案中有2m 种不同的方法，在第3类方案中有3m 种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？【教师设问2】如果完成一件事情有类不同方案，在每一类中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？【概念归纳】完成一件事情，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法……在第n 类办法中有nm 种不同的方法.那么完成这件事共有nm m m N +⋅⋅⋅++=21种不同的方法.理解分类加法计数原理：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事 二、分步乘法计数原理的引入与讲解 师生活动:问题3 从甲地到丙地，要从甲地先乘火车到乙地，再于次日从乙地乘汽车到丙地。

选修2-3第一章《计数原理》教材分析计数原理是数学的重要研究对象，分类加法计数原理、分步乘法计数原理是解决计数原理问题的最基本、最重要的方法，也称为基本计数原理，它们为解决很多实际问题提供了思想和工具.本章在整个高中数学中占有重要地位以计数问题为主要内容的排列与组合，属于现在发展很快且在计算机领域获得广泛应用的组合数学的最初步知识，它不仅有着许多直接应用，是学习概率理论的准备知识，而且由于其思维方法的新颖性与独特性，它也是培养学生思维能力的不可多得的好素材.作为初中一种多项式乘法公式推广二项式定理，不仅使前面组合等一、内容分析1．本章从学习加法原理和乘法原理开始，应该说，这两个基本原理在本章的学习中占有重要地位；其作用并不限于用来推导排列数、组合数公式，实际上其解决问题的思想方法贯穿在整个学习的始终：当将一个较复杂的问题通过分类进行分解时，用的是加法原理；当将它通过分步进行分解时，用的是乘法原理此基础上，研究排列与组合，运用归纳法导出排列数公式与组合数公式，并提出随后研究的二项式定理，在本章中起着承上启下的作用：它不仅将前面的组合的学习深2．排列、组合是两类特殊而重要的计数原理，而解决它们的基本思想和工具就是两个计数原理.教材从简化运算的角度提出排列和组合的学习任务，通过具体的实例得出排列和组合的概念、排列数公式、组合数公式及其在解决问题中的应用.3．二项式定理的学习过程是应用两个计数原理解决问题的典型过程，教材主要是运用组合数两个性质推导出二项式定理，同时通过对二项式系数的性质的学习，深化对组合数的认识.二、教学要求12.理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数计算公式，并能用它们解决3.掌握二项式定理和二项展开式的性质三、考点诠释（1）两个原理（分类计数原理、分步计数原理）分类和分步的区别，关键是看事件能否完成，事件完成了就是分类；必须要连续若干步才能完成的则是分步.分类要用加法原理将种数相加；分步要用乘法原理，分步后再将种数相乘.（2）两个概念（排列、组合）排列与组合是既有联系又有区别的两类问题，它们都是从n 个不同元素中任取m 个不同元素.但是前者要求将元素排成一个顺序，后者对此不做要求.若不理解排列问题和组合问题的区别，在分析实际问题时就会犯错误.（3）两类基本公式排列数公式 !(1)(2)(1)()!m n n A n n n n m n m =---+=- 规定：0！=1 组合数公式 )!(!!m n m n A A C m m m n mn-== 特别地：10==n n n C C （4）两类基本性质排列性质：11-++=m nm n m n mA A A 组合性质：性质1.m n n m n C C -=, 性质2.11-++=m nm n m n C C C 在解决排列组合的计算或证明以及解方程，解不等式等问题时，经常用排列数公式、组合数公式以及组合数的两个性质.解这类题的关键是准确、熟练地运用这些公式及性质，但是在使用公式时要注意：计算题与证明题的类型不同，要求选择公式的形式就不同.排列数公式与组合数公式都有两种形式：乘积形式和阶乘形式前者多用于数字计算，后者多用于证明恒等式，同时要注意公式的倒用，即由)!(!!m n m n -写出m n C . 排列数m n A 与组合数m n C 里的m 、n 的关系是 )(N n m n m ∈≤、牢记：0！=1；.1;!;;;1;11100======n n n n n n n nC n A n C n A C A（5）排列组合的综合应用排列与顺序有关，或者说与所有顺序有关.组合与顺序无关，或者说与一种顺序有关.例如：从1、2、3、4四个数字中任取3个不同的数字，可组成多少个不同的三位数？这是排列问题，有34A 个，而组成的三位数中个位、十位、百位上的数字递增的三位数有多少个？这是一种确定的顺序，是组合问题34C 个不同的三位数.按元素的性质分类，按事件发生的连续过程分步，是处理排列组合问题的基本数学思想方法，要注意题设中“至少”、“至多”等限制词的意义.处理排列组合的综合性问题，一般的思想方法是对于要取出的元素不是一次完成的排列问题，要注意先选取元素，直到把应取的元素都取出来后，再进行排在排列问题中，某几个元素必须在某几个固定位置，某几个元素不能在某几个位置，某几个元素必须在一起，某几个元素互不相邻等，是排列中的几种基本类型.在组合问题中，某些元素必须在内，某些元素都不在内，某些元素恰有一个在内，某些元素至少有一个在内，某些元素至多有一个在内等，是组合的几种基本类型.（6）二项式定理的有关概念第一、对通项要注意以下几点:①它表示二项展开式中的任意项，只要n 与r 确定，该项也随之确定.②公式表示的是第r+1项，而不是第r 项.③公式中a 、b 的位置不能颠倒，它们的指数和一定为n.第二、要注意区分，展开式的第r+1项的二项式系数与第r+1项的系数是两个不同的概念，千万不能混在一起.（7）二项式系数的性质①展开式中与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等.②若二项式的幂指数是偶数，则展开式的中间一项即第12+n 项的二项式系数最大；若二项式系数的幂指数是奇数，则展开式的中间两项即第（121+-n ）项和第（121++n ）项的二项式系数相等且最大. ③展开式的所有二项式系数的和等于n 2.即n n n n n nC C C C 2210=++++ ④展开式中的奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.即 +++=+++531420n n n n n nC C C C C C =12-n 注意：①用二项式定理进行幂的近似计算时，首先要将幂的底数拆成两项，构造二项式；其次要根据题设的精确度选取展开的项数.②利用二项式定理证明整除性问题，也应灵活处理底数，使之符合需要.③赋值法是解决二项展开式中有关系数问题的重要手段，许多复杂的与系数有关的问题均可以通过正确的、简单的赋值得到解决.四、教学建议1.在深刻理解的基础上，严格要求按照两个原理去做.分类计数原理和分步计数原理是两个基本原理，它们既是推导排列数公式、组合数公式的基础，也是解决排列、组合问题的主要依据，并且还常需要直接运用它们去解决问题，这两个原理贯穿排列、组合学习过程的始终.搞好排列、组合问题的教学从这两个原理入手带有根本性.分类计数原理是对完成一件事的所有方法的一个划分，依分类计数原理解题，首先明确要做的这件事是什么，其次分类时要根据问题的特点确定分类的标准，最后在确定的标准下进行分类.分类要注意不重复、不遗漏，保证每类办法都能完成这件事.分步计数原理是指完成一件事的任何方法要按照一定的标准分成几个步骤，必须且只需连续完成这几个步骤后才算完成这件事，每步中的任何一种方法都不能完成这件事.从以上的分析可以看出，分类计数原理和分步计数原理的地位是有区别的，分类计数原理更具有一般性，解决复杂问题时往往需要先分类，每类中再分成几步.在排列、组合教学的起始阶段，不能嫌罗嗦，教师一定要先做出表率并要求学生严格按原理去分析问题.只有这样才能使学生认识深刻、理解到位、思路清晰，才会做到分类有据、分步有方，为排列、组合的学习奠定坚实的基础.2. 指导判定与顺序有无关系，分清排列与组合排列与组合都是研究从一些不同元素中任取元素，或排成一排或并成一组，并求有多少种不同方法的问题.排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关.与顺序有关的是排列问题，与顺序无关是组合问题，顺序对排列、组合问题的求解特别重要.排列与组合的区别，从定义上来说是简单的，但在具体求解过程中学生往往感到困惑，分不清到底与顺序有无关系.下面几种方法可供参考.(1) 指导学生根据生活经验和问题的内涵领悟其中体现出来的顺序.教的秘诀在于度，学的真谛在于悟，只有学生真正理解了，才能举一反三、融会贯通.(2) 能列举出某种方法时，让学生通过交换元素位置的办法加以鉴别.(3) 学生易于辨别组合、全排列问题，而排列问题就是先组合后全排列.在求解排列、组合问题时，可引导学生找出两定义的关系后，按以下两步思考：首先要考虑如何选出符合题意要求的元素来，选出元素后再去考虑是否要对元素进行排队，即第一步仅从组合的角度考虑，第二步则考虑元素是否需全排列，如果不需要，是组合问题；否则是排列问题.3. 引导联系现实情景，正确领会问题的实质排列、组合问题大都来源于同学们生活和学习中所熟悉的情景，解题思路通常是依据具体做事的过程，用数学的原理和语言加以表述.也可以说解排列、组合题就是从生活经验、知识经验、具体情景的出发，正确领会问题的实质，抽象出“按部就班”的处理问题的过程.据笔者观察，有些同学之所以学习中感到抽象，不知如何思考，并不是因为数学知识跟不上，而是因为平时做事、考虑问题就缺乏条理性，或解题思路是自己主观想象的做法（很可能是有悖于常理或常规的做法）.要解决这个问题，需要师生一道在分析问题时要根据实际情况，怎么做事就怎么分析，若能借助适当的工具，模拟做事的过程，则更能说明问题.久而久之，学生的逻辑思维能力将会大大提高.4.倡导一题多解优化解法，交流合作互相启发排列、组合问题解题方法比较灵活，问题思考的角度不同，就会得到不同的解法.若选择的切入角度得当，则问题求解简便，否则会变得复杂难解.教学中既要注意比较不同解法的优劣，更要注意提醒学生体会如何对一个问题进行认识思考，才能得到最优方法.排列与组合方法数比较多，无法逐一进行验证.为了防止重复、避免遗漏，除了一题多解之外，另一种切实有效的办法是倡导同学之间的交流与合作.排列、组合问题的分析与解答的过程不长，且逻辑性强，特别有利于语言交流.交流与合作不仅仅是解出题目、对答案，还要根据自己的理解说明分类还是分步的理由，每类或每步中.m n A 、m n C 及n 、m 取值的理由，不断反思自己的思考过程，让别的同学能在你思考的基础上进一步的思考，看清问题的其他方面.这样相互启发、多角度的考虑，定会加深对问题的理解，激发学习的兴趣.。

计数原理说课稿梅川高中邢建利尊敬各位专家，老师们大家好！今天我要说课的内容是《计数原理》。

我将从以下几个方面说课。

一、教材分析：1 教材地位和作用：本节是人教版选修2—3第一章第一节。

两个计数原理是人们在大量实践的基础上归纳出来的基本规律，它来源于生活服务于生活，体现了数学的魅力。

另一方面，两个计数原理也是学生对必修概率知识的一个巩固，是排列组合问题的基础，所以每年高考都是以一个选择题或者填空题来考察这两个原理的应用。

2教学目标计数原理共安排两课时，这是第一课时。

根据新课程标准，本节教材的地位和作用，以及学生的认知规律和实际情况，制定了如下教学目标。

知识与技能：通过实例归纳出分类计数原理和分步计数原理，能根据具体问题的特征选择恰当的原理解决一些简单的实际问题。

过程与方法：由实际问题推导出两个原理，再回归实际问题的解决这一过程，学生体验到发现数学，运用数学的过程。

情感态度与价值观：体会知识来源生活，并为生活服务的道理，以此激发学生学习数学的兴趣。

体现数学实际应用和理论相结合的统一美。

3教学重点与难点根据对本节教材地位作用的认识，以及教学目标的确定，我确定了本节课的重点和难点。

重点：分类加法原理与分步乘法计数原理概念的推导及简单应用。

难点：正确运用和区分分类加法原理与分步乘法计数原理。

二、学情分析：在目前学生如果遇到与计数有关问题，基本采用列举法，在初中概率学中也学过树状图，也可解决这种问题。

但当这个数很大时，列举法就很难实施。

另一方面，学生数学基础相对欠缺，学习兴趣不浓。

所以课堂教学要根据实际情况三、教法与学法分析：1 教学方法结合本节教材及学生的认知情况，本节课我采用了问题驱动，由浅入深，层层深入的教学方法。

2 学法指导根据教材内容以及学情分析本节课主要让给学生自主探究，合作交流，类比归纳的自主式学习方法。

3 教学辅助手段：为了提高课堂效率，节省板书时间，充分利用多媒体教学。

四、教学环节：我设计了七个环节，依次计划用时1分钟，6分钟，8分钟，7分钟，9分钟，, 10分钟，,2分钟共用时43分钟，留2分钟给学生消化课堂内容。

高中新课标选修（2-3）计数原理教材解读一、分类加法计数原理1．原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m 种不同的方法，在第2类方案中有n 种不同的方法．那么完成这件事共有N m n =+种不同的方法．2．特点：两类方案中的任何一类的任何一种方法都能够完成这件事，并且两类方案中所有方法互不相同．2类方案中有2m 种不同的方法，…，在第n 类方案中有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =+++种不同的方法．4．注意事项：完成这件事的任何一种方法必属于某一类，并且分别属于不同两类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，即做到“不重不漏”，才能用分类计数原理．二、分步乘法计数原理1．原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m 种不同的方法，做第2步有n 种不同的方法．那么完成这件事共有N m n =⨯种不同的方法．2．特点：两个步骤缺一不可，并且经过两个步骤恰好完成这件事．3．一般结论：完成一件事需要n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =⨯⨯⨯种不同的方法．4．注意事项：在分步乘法计数原理中，完成一件事分为若干个有联系的步骤，只有前一个步骤完成后，才能实行下一个步骤．当各个步骤都依次完成后，这件事才算完成．但每个步骤中能够有多种不同的方法，而这些方法之间是相互独立的．三、区别与联系1．区别：在分类计数中，完成一件事，每一类中的每一种方法都能够达到目的，即都能够完成这件事．在分步计数中，完成一件事，只有各个步骤都完成，才算完成此事．2．联系：（1）都是探讨完成一件事情的方法种数，即计数问题．（2）两个原理在处理问题时相互交织、互相渗透．四、特别提示1．理解分类加法计数原理，要注意以下三点：（1）清楚完成“一件事”的含意，即知道做“一件事”，或完成一个“事件”在每个题中的具体所指；（2）解决“分类”问题用分类加法计数原理．需要分类的事件不妨叫做“独立事件”，即完成事件通过途径A ，就不必再通过途径B 就能够完成，每类办法都能够完成这件事．注意各类之间的独立性和并列性，否则，不独立会出现重复，不并列会出现遗漏；（3）每个问题中，标准不同，分类也不同．分类的基本要求是，每一种方法必属于某一类（不漏），任意不同类的两种方法是不同的（不重复）．2．理解分步乘法计数原理，要注意以下三点：（1）清楚完成“一件事”的含意，即知道完成一个事件，在每个题中需要经过哪几个步骤；（2）“分步”用乘法原理，需要分成若干个步骤，每个步骤都完成了，才算完成了一个事件，不妨称此为“相关事件”．要注意各步骤之间的连续性；（3）每个问题中，标准不同，分步也不同．分步的基本要求是完成一件事，必须且只需连续做完几步，既不漏步也不重复，二是两个步骤的方法之间是无关的，不能互相替代．。

基本计数原理说课稿尊敬的各位评委、老师：大家好！今天我说课的内容是“基本计数原理”。

下面我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教法与学法、教学过程以及教学反思这几个方面来展开我的说课。

一、教材分析“基本计数原理”是高中数学选修 2-3 第一章计数原理的起始内容，是学习排列组合的基础。

本节课主要介绍了分类加法计数原理和分步乘法计数原理，这两个原理是解决计数问题的最基本、最重要的方法，贯穿了整个计数原理的始终。

教材通过丰富的实例引入两个原理，让学生在具体情境中体会和理解它们的含义，同时注重原理的应用，通过例题和习题让学生掌握用两个原理解决计数问题的方法和步骤。

二、学情分析学生在之前的学习中已经接触过一些简单的计数问题，如列举法等，但对于较为复杂的计数问题还缺乏系统的认识和有效的解决方法。

同时，学生的抽象思维能力和逻辑推理能力还有待进一步提高，对于两个原理的理解和应用可能会存在一定的困难。

三、教学目标1、知识与技能目标（1）理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理。

（2）能正确运用两个原理解决一些简单的计数问题。

2、过程与方法目标（1）通过实例分析，培养学生的抽象概括能力和逻辑思维能力。

（2）通过问题解决，让学生体会从特殊到一般、从具体到抽象的思维方法。

3、情感态度与价值观目标（1）让学生感受数学与实际生活的密切联系，激发学生学习数学的兴趣。

（2）培养学生严谨的治学态度和勇于探索的精神。

四、教学重难点1、教学重点（1）分类加法计数原理和分步乘法计数原理的理解。

（2）运用两个原理解决计数问题。

2、教学难点（1）正确区分分类和分步。

（2）灵活运用两个原理解决复杂的计数问题。

五、教法与学法1、教法（1）情境教学法：通过创设丰富的情境，让学生在实际问题中感受两个原理的应用。

（2）启发式教学法：通过设置问题，引导学生思考，启发学生的思维。

（3）讲练结合法：在讲解原理的同时，通过例题和练习让学生巩固所学知识。