计数原理基本知识点.doc

计数原理知识点一、分类加法计数原理1. 原理内容- 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N = m + n种不同的方法。

- 推广：完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m_1种不同的方法，在第2类方案中有m_2种不同的方法，……，在第n类方案中有m_n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m_1 + m_2+·s+m_n种不同的方法。

2. 特点- 各类办法之间相互独立，都能独立地完成这件事，且各类方法中的每种方法也相互独立。

3. 示例- 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车。

一天中，火车有3班，汽车有2班。

那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有3 + 2=5种不同的走法。

二、分步乘法计数原理1. 原理内容- 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N = m× n种不同的方法。

- 推广：完成一件事需要n个步骤，做第1步有m_1种不同的方法，做第2步有m_2种不同的方法，……，做第n步有m_n种不同的方法，那么完成这件事共有N = m_1× m_2×·s× m_n种不同的方法。

2. 特点- 各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成。

3. 示例- 从甲地到丙地，要先从甲地到乙地，再从乙地到丙地。

从甲地到乙地有3条路可走，从乙地到丙地有2条路可走，那么从甲地到丙地共有3×2 = 6种不同的走法。

三、排列与组合的基本概念1. 排列- 定义：从n个不同元素中取出m(m≤ n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。

- 排列数：从n个不同元素中取出m(m≤ n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作A_{n}^m。

- 排列数公式：A_{n}^m=(n!)/((n - m)!)=n(n - 1)(n - 2)·s(n - m+1)，其中n!=n×(n - 1)×(n - 2)×·s×2×1，规定0!=1。

计数原理必备知识点总结一、计数原理的基本概念1.1 事件和样本空间在概率论中，事件是指可能发生的结果，样本空间是指所有可能的结果的集合。

在计数原理中，我们通常需要计算在一定条件下事件发生的次数，因此需要对事件和样本空间进行分析和计算。

1.2 事件的互斥和独立在计数原理中，我们需要考虑事件之间的互斥和独立关系。

互斥事件是指两个事件不能同时发生，而独立事件是指两个事件之间没有相互影响。

1.3 条件概率和联合概率在计数原理中，我们需要考虑事件的条件概率和联合概率。

条件概率是指在给定某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率；联合概率是指两个事件同时发生的概率。

1.4 达成事件的概率在计数原理中，我们需要计算事件发生的概率。

达成事件的概率是指在一定条件下事件发生的可能性，通常通过计数原理来进行计算。

二、排列组合2.1 排列在计数原理中，排列是指从给定的元素中选取一定数量的元素进行排列，排列中元素的顺序是重要的。

在计算排列时，通常使用阶乘的方法进行计算。

2.2 组合在计数原理中，组合是指从给定的元素中选取一定数量的元素进行组合，组合中元素的顺序是不重要的。

在计算组合时，通常使用二项式系数的方法进行计算。

2.3 组合公式在计数原理中，我们可以使用组合公式来计算组合的数量。

组合公式是指C（n，k）=n!/(k!(n-k)!)，其中n表示元素的总数，k表示选取的元素的数量。

2.4 排列组合的应用在计数原理中，排列组合的方法具有广泛的应用。

在实际问题中，我们常常需要考虑元素的排列和组合，例如在排列组合中考虑位置的排列和顺序的组合等。

三、二项式系数3.1 二项式定理在计数原理中，二项式定理是指一个式子的平方等于两个式子相乘的和。

例如，（a+b）^2=a^2+2ab+b^2，这就是一个二项式定理的例子。

3.2 二项式系数的计算在计数原理中，我们可以使用二项式系数来计算二项式的展开式。

二项式系数是通过排列组合的方法进行计算的，通常使用组合公式来计算。

(精品计数原理基本知识点计数原理是离散数学中的一个重要分支，用于研究计数和排列组合问题。

它在实际应用中有着广泛的应用，例如密码学、组合优化、统计学等领域。

以下是关于计数原理的基本知识点：1.乘法原理：乘法原理用于计算多个独立事件同时发生的总数。

根据乘法原理，若事件A发生的可能性为m种，事件B发生的可能性为n种，则事件A和B 同时发生的可能性为m×n种。

2.加法原理：加法原理用于计算两个或多个事件分别发生的总数。

根据加法原理，若事件A发生的可能性为m种，事件B发生的可能性为n种，则事件A或B发生的可能性为m+n种。

3.排列：排列是指从一组对象中选择一部分进行排列的方式。

如果有n个对象要排列，只选取其中的k个进行排列，那么排列的可能性总数可以表示为P(n,k)。

排列的计算公式为：P(n,k)=n!/(n-k)!4.组合：组合是指从一组对象中选择一部分对象，不考虑其顺序的方式。

如果有n个对象要选择，只选取其中的k个进行组合，那么组合的可能性总数可以表示为C(n,k)。

组合的计算公式为：C(n,k)=n!/(k!*(n-k)!)5.递推关系：递推关系是计数原理中常用的一种思维方法。

通过建立递推关系，可以从已知的计数问题推导出更复杂的计数问题的解。

例如，在排列和组合中可以使用递推关系快速计算出较大规模的情况。

6.容斥原理：容斥原理用于计算多个集合的交集和并集的大小。

根据容斥原理，若存在n个集合A_1、A_2、..、A_n，那么它们的并集的大小为：A_1∪A_2∪...∪A_n，=Σ，A_i，-Σ，A_i∩A_j，+Σ，A_i∩A_j∩A_k，-...+(-1)^(n-1)，A_1∩A_2∩...∩A_n7.应用举例：计数原理的应用举例有很多，例如密码学中的密码破解问题，通过计算排列或组合的可能性来确定破解密码的策略。

另外，在组合优化问题中，例如旅行商问题(TSP)、集合覆盖问题等，也可以使用计数原理来计算问题的解。

专题42 计数原理【考点预测】知识点1、分类加法计数原理完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的办法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：12n N m m m =+++种不同的方法．事事A事事事事1事事1事事2事事m 1事事事事n事事1事事2事事m nm 1事m n 事事事事事A 事事m 1+m 2+m 3+···+m n 事事事事事事知识点2、分步乘法计数原理完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：12n N m m m =⋅⋅⋅种不同的方法.m 1事m n 事事事事事B 事事m 1×m 2×m 3×···×m n 事事事事事事m 2事m i 事注意：两个原理及其区别分类加法计数原理和“分类”有关，如果完成某件事情有n 类办法，这n 类办法之间是互斥的，那么求完成这件事情的方法总数时，就用分类加法计数原理.分步乘法计数原理和“分步”有关，是针对“分步完成”的问题.如果完成某件事情有n 个步骤，而且这几个步骤缺一不可，且互不影响（独立），当且仅当依次完成这n 个步骤后，这件事情才算完成，那么求完成这件事情的方法总数时，就用分步乘法计数原理.当然，在解决实际问题时，并不一定是单一应用分类计数原理或分步计数原理，有时可能同时用到两个计数原理.即分类时，每类的方法可能运用分步完成；而分步后，每步的方法数可能会采取分类的思想求方法数.对于同一问题，我们可以从不同的角度去处理，从而得到不同的解法（但方法数相同），这也是检验排列组合问题的很好方法.知识点3、两个计数原理的综合应用如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理．【题型归纳目录】题型一：分类加法计数原理的应用 题型二：分步乘法计数原理的应用 题型三：两个计数原理的综合应用 【典例例题】题型一：分类加法计数原理的应用例1．（2022·上海崇明·二模）某学校每天安排4项课后服务供学生自愿选择参加．学校规定： （1）每位学生每天最多选择1项；（2）每位学生每项一周最多选择1次．学校提供的安排表如下：数值表示） 【答案】14【解析】由题知：周一、二、三、四均可选阅读，体育在周一、三、四， 编程在周一、二、四.①若周一选编程，则体育在周三或周四，故为2种， 阅读在剩下的两天中选为2种，共有224⨯=种方案. ②若周二选编程，则体育在周一，周三或周四，故为3种， 阅读在剩下的两天中选为2种，共有326⨯=种方案. ③若周四选编程，则体育在周一或周三，故为2种， 阅读在剩下的两天中选为2种，共有224⨯=种方案. 综上，共有46414++=种方案. 故答案为：14例2．（2022·全国·高三专题练习）已知集合{}1,2,3M =-，{}4,5,6,7N =--，若从这两个集合中各取一个元素作为点的横坐标或纵坐标，则可得平面直角坐标系中第一、二象限内不同点的个数是（ ） A ．18 B ．16C ．14D ．10【答案】C【解析】分两类情况讨论：第一类，从M 中取的元素作为横坐标，从N 中取的元素作为纵坐标，则第一、二象限内的点共有326⨯=（个）；第二类，从M 中取的元素作为纵坐标，从N 中取的元素作为横坐标，则第一、二象限内的点共有248⨯=（个），由分类加法计数原理，所以所求个数为6814+=． 故选：C例3．（2022·全国·高三专题练习）在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（允许数字重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为（ ） A ．10 B ．11 C ．12 D ．7【答案】B【解析】与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类：①与信息0110只有两个对应位置上的数字相同，有24C 6=（个）； ②与信息0110只有一个对应位置上的数字相同，有14C 4=（个）；③与信息0110对应位置上的数字均不相同，有1个．综上，与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息有64111++=（个）． 故选：B例4．（2022·全国·高三专题练习）现有5幅不同的油画，2幅不同的国画，7幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间，则不同的选法共有（ ） A ．7种 B ．9种C ．14种D ．70种【答案】C 【解析】分为三类:从国画中选，有2种不同的选法;从油画中选，有5种不同的选法;从水彩画中选，有7种不同的选法，根据分类加法计数原理，共有5+2+7= 14(种)不同的选法; 故选：C例5．（2022·全国·高三专题练习）从数字1，2，3，4中取出3个数字（允许重复），组成三位数，各位数字之和等于6，则这样的三位数的个数为（ ） A ．7 B ．9C ．10D ．13【答案】C【解析】其中各位数字之和等于6的三位数可分为以下情形： ①由1，1，4三个数字组成的三位数：114，141，411共3个；②由1，2，3三个数字组成的三位数：123，132，213，231，312，321共6个；③由2，2，2三个数字可以组成1个三位数，即222． ∴共有36110++=个，故选：C ．例6．（2022·湖南·株洲市南方中学高三阶段练习）用标有1克，5克，10克的砝码各一个，在一架无刻度的天平上称量重物，如果天平两端均可放置砝码，那么可以称出的不同克数（正整数的重物）有多少种?（ ） A ．10 B ．11C ．12D ．13【答案】A【解析】①当天平的一端放1个砝码，另一端不放砝码时，可以成量重物的克数有1克，5克，10克；②当天平的一端放2个砝码，另一端不放砝码时，可以成量重物的克数有156+=克，11011+=克，51015+=克；③当天平的一端放3个砝码，另一端不放砝码时，可以成量重物的克数有151016++=克 ④当天平的一端放1个砝码，另一端也放1个砝码时，可以成量重物的克数有514-=克，1019-=克，1055-=克；⑤当天平的一端放1个砝码，另一端也放2个砝码时，可以成量重物的克数有105114+-=克，10156+-=克，()10514-+=克；去掉重复的克数后，可称重物的克数有10种， 故选：A例7．（2022·上海嘉定·高三阶段练习）正整数484有个不同的正约数___________. 【答案】9【解析】22484221111211=⨯⨯⨯=⨯设d 为484的正约数，则211i j d =⨯，（i =0，1，2，j =0，1，2） 例如：0i =，0j =时，00211=11=1d =⨯⨯是484的约数，1i =，2j =时，12211=2121=242d =⨯⨯是484的约数，2i =，2j =时，22211=4121=484d =⨯⨯是484的约数，因此，484的正约数个数，即d 的不同取值个数，第一步确定i 的值，有3种可能，第二步确定j 的值，有3种可能，因此d 的取值共有339⨯=种. 故答案为：9.题型二：分步乘法计数原理的应用例8．（2022·云南·高三阶段练习）图中的矩形的个数为（ ）D ．120【答案】C【解析】由题意，矩形的两条邻边确定，矩形就确定，第一步先确定“横边”， 从5个点任选2个点可以组成一条“横边”，共有25C 种情况；第二步再确定“竖边”，共有24C 种情况，所以图中矩形共有2254C C 10660⨯=⨯=.故选：C.例9．（2022·四川·树德怀远中学高三开学考试（理））从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中偶数的个数为（ ） A ．24 B ．18 C ．12 D ．6【答案】C【解析】根据题意，要使组成无重复数字的三位数为偶数，则从0，2中选一个数字为个位数，有2种可能，从1，3，5中选两个数字为十位数和百位数，有23A 326=⨯=种可能，故这个无重复数字的三位数为偶数的个数为2612⨯=． 故选：C ．例10．（2022·福建·高三阶段练习）为了丰富学生的课余生活，某学校开设了篮球、书法、美术、吉他、舞蹈、击剑共六门活动课程，甲、乙、丙3名同学从中各自任选一门活动课程参加，则这3名学生所选活动课程不全相同的选法有（ ） A ．120种 B ．150种 C ．210种 D ．216种【答案】C【解析】依题意，每名同学都有6种选择方法，所以这3名学生所选活动课程不全相同的选法有366210-=种. 故选：C例11．（2022·全国·高三专题练习）核糖核酸RNA 是存在于生物细胞以及部分病毒、类病毒中的遗传信息载体．参与形成RNA 的碱基有4种，分别用A ，C ，G ，U 表示．在一个RNA 分子中，各种碱基能够以任意次序出现，假设某一RNA 分子由100个碱基组成，则不同的RNA 分子的种数为（ ） A ．4100 B ．1004 C ．1002 D ．104【答案】B【解析】每个碱基有4种可能，根据分步乘法计数原理，可得不同的RNA 分子的种数为1004．故A ，C ，D 错误.故选：B.例12．（2022·全国·高三专题练习）某大学食堂备有6种荤菜、5种素菜、3种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，则可以配成不同套餐的种数为（ ） A ．30 B ．14 C ．33 D ．90【答案】D【解析】因为备有6种素菜，5种荤菜，3种汤，所以素菜有6种选法，荤菜有5种选法，汤菜有3种选法，所以要配成一荤一素一汤的套餐，则可以配制出不同的套餐有65390⨯⨯=种 故选：D题型三：两个计数原理的综合应用例13．（2022·江苏·南京市第一中学高三阶段练习）为了进一步提高广大市民的生态文明建设意识，某市规定每年4月25日为“创建文明城生态志愿行”为主题的生态活动日，现有5名同学参加志愿活动，需要携带勾子、铁锹、夹子三种劳动工具，要求每人都要携带一个工具，并且要求：带一个勾子，铁锹至少带2把，夹子至少带一个，则不同的安排方案共有（ ） A ．50种 B ．60种 C ．70种 D ．80种【答案】A【解析】携带工具方案有两类：第一类，1个勾子，1个夹子，3把铁锹，所以携带工具的方案数有3252C A 20=种； 第二类，1个勾子，2个夹子，2把铁锹，所以携带工具的方案数有2253C C 30=种；所以不同的安排方案共有50种， 故选：A例14．（2022·重庆·高三阶段练习）用1，2，3…，9这九个数字组成的无重复数字的四位偶数中，各位数字之和为奇数的共有（ ） A ．600个 B ．540个 C ．480个 D ．420个【答案】A【解析】依题意要使各位数字之和为奇数则可能是3个奇数1个偶数，或3个偶数1个奇数，若为3个奇数1个偶数，则偶数一定排在个位，从4个偶数中选一个排在个位有14C 4=种， 再在5个奇数中选出3个排在其余三个数位，有35A 60=种排法，故有1345C A 240=个数字；若为3个偶数1个奇数，则奇数不排在个位，从5个奇数中选一个排在前三位有1153C A 15=种， 再在4个偶数中选出3个排在其余三个数位，有34A 24=种排法，故有113534C A A 360=个数字；综上可得一共有240360600+=个数字； 故选：A例15．（2022·全国·高三专题练习）用0，1，2，3，4可以组成没有重复数字的四位偶数的个数为（ ） A ．36 B ．48 C ．60 D ．72【答案】C【解析】当个位数为0时，有3424A =个，当个位数为2或4时，有1233236A A =个，所以无重复数字的四位偶数有24+36=60个， 故选：C.例16．（2022·全国·模拟预测）将6盆不同的花卉摆放成一排，其中A ､B 两盆花卉均摆放在C 花卉的同一侧，则不同的摆放种数为（ ） A ．360 B ．480 C ．600 D ．720【答案】B【解析】分类讨论的方法解决如图中的6个位置，① 当C 在位置1时，不同的摆法有55A 120=种；② 当C 在位置2时，不同的摆法有1434C A 72=种； ③ 当C 在位置3时，不同的摆法有23232333A A A A 48+=种；由对称性知C 在4､5､6位置时摆放的种数和C 在3､2､1时相同， 故摆放种数有()21207248480⨯++=. 故选：B.例17．（2022·全国·高三专题练习）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，其中个位､十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有___________.个（用数字作答）. 【答案】144【解析】当个位、十位和百位上的数字为3个偶数的有：3133A C 18=种；当个位、十位和百位上的数字为1个偶数2个奇数的有：11231333312322C C 6C A C A C 12+=种，根据分类计数原理得到共有18126144+=个． 故答案为：144．例18．（2022·全国·高三专题练习）有四张卡片，正面和背面依次分别印有数字“1，0，2，4”和“3，5，0，7”，一小朋友把这四张卡片排成四位整数，则他能排出的四位整数的个数为_________. 【答案】264【解析】当四位整数中无0出现时，则必有5和2，其中1和3二选一，4和7二选一，四个数再进行全排列，故共有114224C C A 96=种选择；当四位整数中出现一个0时，可能是从5和0种选取的，也可能是从2和0种选择的，有12C 种，0可能的位置在个位，十位或百位，从3个位置选择一个，有13C 种，另外1和3二选一，4和7二选一，有12C 12C 种，加上另一个非0数，三个数进行全排列，有33A 种，故共有1111323223C C C C A 144=种选择；当四位整数中出现两个0时，两个0的位置有23C 种选择，另外1和3二选一，4和7二选一，有12C 12C 种，这两个数再进行全排列，有22A 种，共有23C 12C 12C 22A =24种，综上：96+144+24=264种选择 故答案为：264例19．（2022·全国·高三专题练习）有0，1，2，3，4，5六个数字． (1)能组成多少个无重复数字的四位偶数？(2)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的四位数？ (3)能组成多少个无重复数字且比1230大的四位数？ 【解析】（1）由题意组成无重复数字的四位偶数分为三类： 第一类：0在个位时，有35A 个；第二类：2在个位时，首位从1，3，4，5中选定1个，有14A 种，十位和百位从余下的数字中选，有24A 种，共有1244A A ⋅个；第三类：4在个位时，与第二类同理，也有1244A A ⋅个，由分类加法计数原理知，共有3121254444A A A A A 156+⋅+⋅=个无重复数字的四位偶数．（2）组成无重复数字且为5的倍数的四位数分为两类： 个位上的数字是0时，满足条件的四位数有35A 个；个位数上的数字是5时，满足条件的四位数有1244A A ⋅个， 故满足条件的四位数有312544A A A 108+⋅=（个）．（3）组成无重复数字且比1230大的四位数分为四类： 第一类：形如2□□□，3□□□，4□□□，5□□□，共1345A A ⋅个； 第二类：形如13□□，14□□，15□□，共有1234A A ⋅个； 第三类：形如124□，125□，共有1123A A ⋅个； 第四类：形如123□，共有12A 个．由分类加法计数原理知，共有13121114534232A A A A A A A 284⋅+⋅+⋅+=（个）．【方法技巧与总结】要明确完成一件事所包含的内容是如何进行的，若需分类按加法数原理，若需分步按乘法计数原理.分类时要做到“不重不漏”，分步时要做到“步骤完整”.有些计数问题既需要分类，又需要分步，此时要综合运用两个原理.【过关测试】一、单选题 1．（2022·全国·高三专题练习）7个不同型号的行李箱上分别对应贴有不同的标签以作标记，其中恰有3个行李箱标签贴错的种数为（ ） A ．49 B ．70 C ．265 D ．1854【答案】B【解析】第一步，从7个行李箱中挑选3个，有37C 种方法； 第二步，3个行李箱标签贴错的方法有2种，所以恰有3个行李箱标签贴错的种数为372C 70=．故选：B2．（2022·全国·高三专题练习）在一次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有（ ）种 A ．34A B ．34C ．43D ．43⨯【答案】C【解析】由题意四项比赛的冠军依次在甲、乙、丙三人中选取，每项冠军都有3种选取方法，由乘法原理共有433333⨯⨯⨯=种．故A ，B ，D 错误. 故选：C ．3．（2022·全国·高三专题练习）将6封信投入4个邮筒，且6封信全部投完，不同的投法有（ ） A ．64种 B ．46种C ．4种D ．24科【答案】A【解析】将6封信投入4个邮筒，且6封信全部投完，根据乘法原理共有64444444⨯⨯⨯⨯⨯=种 故选：A4．（2022·全国·高三专题练习）某学校推出了《植物栽培》《手工编织》《实用木工》《实用电工》4门校本劳动选修课程，要求每个学生从中任选2门进行学习，则甲､乙两名同学的选课中恰有一门课程相同的选法为（ ） A ．16 B ．24C ．12D ．36【答案】B【解析】甲先从4门课程选择1门，有4种选法，乙再从剩下的3门中选择1门，有3种选法，甲乙再从剩下的2门中共同选择1门，有2种选法，所以根据分步乘法计数原理可得甲､乙两名同学的选课中恰有一门课程相同的选法为43224⨯⨯=种. 故选：B.5．（2022·全国·高三专题练习）某医院从7名男医生（含一名主任医师），6名女医生（含一名主任医师）中选派4名男医生和3名女医生支援抗疫工作，若要求选派的医生中有主任医师，则不同的选派方案数为（ ） A ．350 B ．500 C ．550 D ．700【答案】C【解析】所选医生中只有一名男主任医师的选法有3365C C 200，所选医生中只有一名女主任医师的选法有4265C C 150， 所选医生中有一名女主任医师和一名男主任医师的选法有3265C C 200，故所选医师中有主任医师的选派方法共有200150200550种， 故选：C6．（2022·全国·高三专题练习）用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字且比1000大的四位奇数共有（ ） A ．36个 B ．48个 C ．66个 D ．72个【答案】A【解析】先排末位数，有1和3在末位两种选法，再排千位有3种选法，十位和百位从剩余的3个元素中选两个进行排列有23A 6=种结果， 所以由分步乘法计数原理知共有四位奇数23636⨯⨯=个， 故选：A7．（2022·全国·高三专题练习）“回文联”是对联中的一种，既可顺读，也可倒读．比如，一副描绘厦门鼓浪屿景色的回文联：雾锁山头山锁雾，天连水尾水连天．由此定义“回文数”，n 为自然数，且n 的各位数字反向排列所得自然数n '与n 相等，这样的n 称为“回文数”，如：1221，2413142．则所有5位数中是“回文数”且各位数字不全相同的共有（ ） A ．648个 B ．720个C ．810个D ．891个【答案】D【解析】根据“回文数”的特点，只需确定前3位即可，最高位即万位有9种排法，千位和百位各有10种排法，根据分步乘法计数原理，共有91010900⨯⨯=种排法，其中各位数字相同的共有9种，则所有5位数中是“回文数”且各位数字不全相同的共有9009891-=种. 故选：D.8．（2022·全国·高三专题练习）已知正整数有序数对(),,,a b c d 满足： ①12a b c d +++=；②225a b -=．则满足条件的正整数有序数对(),,,a b c d 共有（ ）组． A ．24 B ．12 C ．9 D ．6【答案】B【解析】由题意知，a b c d ,,,为正整数，故由225a b -=可得()()5a b a b +-=，因为||1a b -≥ ，故||5a b +≤，则满足225a b -=的数为3和2，则有序数对(,)a b 可能为(3,2),(2,3) ， 再由12a b c d +++=可得7c d += ，则(,)c d 的可能有(1,6),(6,1),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3)共6种情况， 故满足条件的正整数有序数对(),,,a b c d 共有2612⨯=组， 故选：B9．（2022·全国·高三专题练习）古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说过：“美的线型和其他一切美的形体都必须有对称形式．”在中华传统文化里，建筑、器物、书法、诗歌、对联、绘画几乎无不讲究对称之美．如图所示的是清代诗人黄柏权的《茶壶回文诗》，其以连环诗的形式展现，20个字绕着茶壶成一圆环，无论顺着读还是逆着读，皆成佳作．数学与生活也有许多奇妙的联系，如2020年02月02日（20200202）被称为世界完全对称日（公历纪年日期中数字左右完全对称的日期）．数学上把20200202这样的对称数叫回文数，若两位数的回文数共有9个（11，22，…，99），则所有四位数的回文数中能被3整除的个数是（ ）A ．27B ．28C ．29D ．30【答案】D【解析】要能被3整除，则四个数的和是3的偶数倍数．满足条件的回文数分为以下几类： 和为6的回文数：1221,2112，3003， 3个．和为12的回文数：3333，2442，4224，1551，5115，6006， 6个．和为18的回文数：1881，8118，2772，7227，3663，6336，4554，5445，9009，9个．和为24的回文数：3993，9339，4884，8448，5775，7557，6666，7个． 和为30的回文数：7887，8778，6996，9669，4个． 和为36的回文数：9999，1个． 故共有3+6+9+7+4+1＝30个． 故选：D 二、多选题10．（2022·全国·高三专题练习）用数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的四位数，则下列说法正确的是（ ） A ．可组成360个不重复的四位数 B ．可组成156个不重复的四位偶数 C ．可组成96个能被3整除的不重复四位数D ．若将组成的不重复的四位数按从小到大的顺序排成一个数列，则第85个数字为2310 【答案】BC【解析】A 选项，有1355300C A =个，错，B 选项，分为两类：0在末位，则有3560A =种，0不在末位，则有11224496C C A =种， ∴共有6096156+=种，对，C 选项，先把四个相加能被3整除的四个数从小到大列举出来，即先选：(0123),,,，(0135),,,、(0234),,,、(0345),,,、(1245),,,， 它们排列出来的数一定可以被3整除，∴共有：134334496C A A ⋅+=种，对，D 选项，首位为1的有3560A =个，前两位为20的有2412A =个，前两位为21的有2412A =个，此时共有60121284++=个，因而第85个数字是前两位为23的最小数，即为2301，错， 故选：BC.11．（2022·全国·高三专题练习）如图，标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点 A 向结点 B 传递消息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示他们有网线相连，则单位时间内传递的信息量可以为（ ）A．18B．19C．24D．26【答案】AB【解析】第一条线路单位时间内传递的最大信息量为3；第二条线路单位时间内传递的最大信息量为4；第三条线路单位时间内传递的最大信息量为6；第四条线路单位时间内传递的最大信息量为6．+++=，因此该段网线单位时间内可以通过的最大信息量为346619故选：AB12．（2022·全国·高三专题练习）某校实行选课走班制度，张毅同学选择的是地理、生物、政治这三科，且生物在B层，该校周一上午选课走班的课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则下列说法正确的是（）C．自习不可能安排在第2节D．自习可安排在4节课中的任一节【答案】BD【解析】由于生物在B层，只有第2，3节有，故分两类：若生物选第2节，则地理可选第1节或第3节，有2种选法，其他两节政治、自习任意选，⨯=种（此种情况自习可安排在第1、3、4节中的某节）；故有224若生物选第3节，则地理只能选第1节，政治只能选第4节，自习只能选第2节，故有1种．+=种．根据分类加法计数原理可得选课方式有415综上，自习可安排在4节课中的任一节．故选：BD.三、填空题13．（2022·江苏·睢宁县菁华高级中学有限公司高三阶段练习）为丰富学生的校园生活，拓宽学生的视野，某学校为学生安排了丰富多彩的选修课，每学期每名同学可任选2门进行学习. 甲同学计划从A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 这7门选修课中任选2门，其中至少从课程B ，D ，E 中选一门，则甲同学的选择方法有______种.【答案】15【解析】根据题意，分2种情况讨论：①、当甲从B ，D ，E 中选1门时，另一门需要在A 、C 、F 、G 中选出，有1134C C 12=种选法，②、当甲从B ，D ，E 中选2门时，有23C 3=种选法，则甲的选择方法有12315+=种， 故答案为：15．14．（2022·全国·高三专题练习）国庆放假期间，4号到7号安排甲乙丙三人值班，其中，乙和丙各值班1天，甲连续值班2天，则所有的安排方法共有________种. 【答案】6【解析】甲的安排方法有3种，即4,5两天值班或5,6两天值班或6,7两天值班，再安排乙与丙两人有22A 2=种安排方法，所以所有的安排方法共有6种.故答案为：615．（2022·全国·高三专题练习）有红、蓝、黄、绿四种颜色的球各6个，每种颜色的6个球分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中任取3个标号不同的球，这3个颜色互不相同且所标数字互不相邻的取法种数为______． 【答案】96【解析】从1、2、3、4、5、6中任取3个标号不同且3个标号数字互不相邻的取法有：135、136、146、246，共4种；3个颜色互不相同的取法有：3343C A 24=种；所以满足题意的取法共有：42496⨯=种.故答案为：96.16．（2022·全国·高三专题练习）如图，一条电路从A 处到B 处接通时，可以有_____________条不同的线路（每条线路仅含一条通路）．【答案】9【解析】依题意按上、中、下三条线路可分为三类，上线路中有2种，中线路中只有1种，下线路中有236⨯=（种)．++=（种）．根据分类计数原理，共有2169故答案为：9．。

计数原理知识点计数原理是数字电路中的重要基础知识，它涉及计数器、时序电路等概念。

在数字系统和计算机中，计数和计时是必不可少的功能。

本文将介绍一些计数原理的基本知识点。

1. 二进制计数系统二进制是一种计数系统，它由0和1两个数字组成。

在二进制计数系统中，每个数字位置上的权重是2的幂次方。

例如，二进制数1101表示的是1 * 2^3 + 1 * 2^2 + 0 * 2^1 + 1 * 2^0 = 13。

2. 计数器计数器是一种用于计数的电路。

它可以根据输入信号的触发来递增或递减其计数值。

计数器通常由触发器和逻辑门构成。

•触发器是用于存储和传输信息的元件。

常见的触发器有D触发器、JK触发器等。

•逻辑门用于控制触发器的工作状态。

常见的逻辑门有与门、或门、非门等。

计数器可以实现多种计数模式，如二进制计数、BCD码计数、循环计数等。

3. 摩尔斯电码计数器摩尔斯电码计数器是一种特殊的计数器，它可以将输入的二进制码转换为摩尔斯电码。

摩尔斯电码是一种用于通信的编码方式，由点（.）和划（-）组成。

摩尔斯电码计数器通常由三个触发器和逻辑门构成。

根据输入的二进制码，计数器可以输出摩尔斯电码。

例如，输入二进制码1011，计数器可以输出摩尔斯电码. …. .-.. .-..。

4. 时序电路时序电路是一种根据时钟信号来控制时序行为的电路。

它通常由时钟、触发器和逻辑门构成。

时序电路可以实现复杂的计时和控制功能。

时序电路可用于实现各种计数器、计时器和状态机等。

它在数字系统和计算机中的应用广泛。

5. 时钟信号时钟信号是时序电路中的重要信号之一。

它用来控制触发器和逻辑门的状态变化。

时钟信号通常是一个周期性方波信号，其频率和占空比决定了电路的工作频率和时序特性。

时钟信号的频率越高，电路的响应速度越快；而占空比的变化可以用来控制电路的工作时间和空闲时间。

时钟信号的设计和优化对于实现高性能的时序电路至关重要。

总结计数原理是数字电路中的重要知识，它涉及二进制计数系统、计数器、摩尔斯电码计数器、时序电路等概念。

计数原理知识点计数原理是概率论中非常重要的一部分，它主要用于解决各种计数问题。

在实际生活中，我们经常会遇到需要计数的情况，比如排列组合、概率统计等。

掌握计数原理的知识，对于解决这些问题至关重要。

本文将从基本概念、排列组合、二项式定理和应用实例等方面介绍计数原理的相关知识点。

一、基本概念。

1.1 排列。

排列是指从给定的n个元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列的方式。

排列通常用P(n,m)表示，计算公式为P(n,m) = n!/(n-m)!。

1.2 组合。

组合是指从给定的n个元素中取出m(m≤n)个元素，不考虑元素的顺序。

组合通常用C(n,m)表示，计算公式为C(n,m) = n!/(m!(n-m)!).1.3 二项式定理。

二项式定理是代数中的一个重要定理，它用于展开任意幂的二项式。

二项式定理的公式为(a+b)^n = C(n,0)a^n + C(n,1)a^(n-1)b + ... + C(n,n)b^n。

二、排列组合。

排列和组合是计数原理中的两个重要概念，它们在实际问题中经常被使用。

2.1 排列的应用。

排列常常用于解决有关顺序的问题，比如从一堆书中选出几本书按照一定的顺序排列，或者从一组人中选出几个人按照一定的顺序站成一排等。

2.2 组合的应用。

组合常常用于解决不考虑顺序的问题，比如从一组人中选出几个人组成一个团队，或者从一组水果中选出几种水果组成一个水果篮等。

三、二项式定理。

二项式定理是代数中的一个重要定理，它在计数原理中也有着重要的应用。

3.1 二项式定理的计数应用。

二项式定理可以用于计算任意幂的展开式，这在一些计数问题中非常有用。

比如，我们可以利用二项式定理来计算某个事件发生k次的概率，或者计算某个排列组合的可能性等。

3.2 二项式定理的实际案例。

在实际生活中，二项式定理也有着广泛的应用。

比如在赌博游戏中，我们可以利用二项式定理来计算各种可能的情况，从而制定合理的策略。

又如在概率统计中，我们可以利用二项式定理来计算各种事件发生的概率，从而做出科学的决策。

基本计数原理知识点总结1. 基本计数原理的概念基本计数原理是指：如果一个任务可以分解成若干个独立的步骤，每个步骤有n个选择，那么整个任务有n1 * n2 * ... * nk种可能的选择。

简单来说，就是如果有n1种方式完成任务A，n2种方式完成任务B，那么完成A和B的方式一共有n1 * n2种。

2. 基本计数原理的应用基本计数原理通常用于解决排列和组合问题。

排列是指从一组元素中按照一定的顺序取出若干个元素，组成一种特定的排列方式。

组合是指从一组元素中不考虑顺序地取出若干个元素，组成一种特定的组合方式。

基本计数原理能够帮助我们快速计算出排列和组合的可能性。

3. 基本计数原理的例题解析举个例子来说明基本计数原理的应用。

假设有一个珠子摆放在环形的项链上，这个项链有6个位置可以放置这个珠子。

那么总共有多少种放置这个珠子的可能性呢？根据基本计数原理，可以得到答案：6种。

因为首先可以选择任意一个位置放置这个珠子，然后再考虑不同位置之间的相对顺序，最终得到总共6种可能的放置方式。

4. 基本计数原理的推广在实际问题中，基本计数原理也可以通过多次使用来计算复杂的排列和组合的可能性。

比如，如果有一个3位数由0到9的数字组成，那么总共有多少种可能的排列呢？根据基本计数原理，可以分别计算出第一位、第二位和第三位的选择可能性，然后将它们相乘，就可以得到总共的排列可能性。

即10 * 10 * 10 = 1000种可能性。

5. 基本计数原理的局限性虽然基本计数原理在计算排列和组合问题中非常有用，但是在某些情况下可能并不适用。

比如，在一些相互依赖的情况下，无法简单地将不同步骤的选择可能性相乘来计算整体的可能性。

这时就需要使用更多的数学工具和技巧来解决问题。

总的来说，基本计数原理是解决排列和组合问题的基础，通过它能够很方便地计算出各种可能的排列和组合的数量。

在实际问题中，只要善于分解任务并且正确地应用基本计数原理，就能够迅速解决各种复杂的排列和组合问题。

计数原理知识点结构图引言计数原理是现代电子技术中的基础知识之一，在数字电路以及计算机组成原理等领域都有重要应用。

本文通过对计数原理的知识点进行整理和归纳，帮助读者理解和掌握计数原理的基本概念、工作原理以及常见的应用场景。

1. 数字电路和计数器基础概念1.1 数字电路数字电路是指由逻辑门组成的电子电路，用于对二进制数据进行处理和操作。

其基本原理是利用逻辑门的开关特性，根据输入信号的组合产生相应的输出信号。

数字电路的基本组成包括门电路、触发器以及计数器等。

1.2 计数器计数器是一种特殊的触发器电路，用于对输入信号进行计数，并根据不同的触发条件产生相应的输出信号。

计数器根据触发器的状态变化，可以分为同步计数器和异步计数器两种类型。

同步计数器是指所有触发器的时钟输入信号均相同，而异步计数器则是具有不同的时钟输入信号。

2. 计数器的工作原理计数器的工作原理是基于触发器电路的状态变化实现的。

当触发器电路的输入条件满足时，触发器状态发生改变，从而引发计数器的计数动作。

计数器的计数动作可以是加1操作，也可以是减1操作，根据具体的应用场景进行调整。

3. 计数器的应用场景计数器在数字电路和计算机组成原理等领域有广泛的应用场景，以下是一些常见的应用案例：3.1 时序控制电路计数器可以用于时序控制电路，根据设定的计数范围和触发条件控制外部设备的工作。

通过设置不同的计数模式和触发条件，可以实现复杂的时序控制功能。

3.2 频率分频器计数器可以用作频率分频器，将高频信号分频为低频信号。

通过设置计数器的计数范围，可以实现对输入信号频率的精确控制。

3.3 地址译码器计数器还可以用于地址译码器的设计。

地址译码器通过将计数器的输出与输入信号进行比较，实现对不同输入信号的选择和处理。

3.4 数据存储器计数器在数据存储器中的应用也很常见。

通过计数器的计数功能，可以实现对数据的顺序存取和读写操作。

结论计数原理是数字电路和计算机组成原理的基础知识之一，通过对计数器的工作原理和应用场景的介绍，我们可以更好地理解和应用计数器的功能。

第一章：计数原理一、两个计数原理3、两个计数原理的区别二、排列与组合1、排列：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。

2、排列数：从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数。

用符号 表示.3、排列数公式： 其中4、组合：一般地，从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。

5、组合数：从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有不同组合的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数。

用符号 表示。

6、组合数公式：其中注意：判断一个具体问题是否为组合问题,关键是看取出的元素是否与顺序有关,有关就是排列,无关便是组合.判断时要弄清楚“事件是什么”.7、性质： mn A m n A ()()()()!!121m n n m n n n n A mn -=+---= .,,*n m N m n ≤∈并且m n C ()()()()!!!!121m n m n m m n n n n C mn -=+---=.,,*n m N m n ≤∈并且mn nm n C C -=mn m n m n C C C 11+-=+三、二项式定理如果在二项式定理中，设a=1,b=x ，则可以得到公式：2、性质：02413512n n n nn n nC C C C C C -=+++=+++=奇数项二项式系数和偶数项二项式系数和：注意事项：相邻问题，常用“捆绑法”不相邻问题，常用“插空法”巩固训练：1、有4个男生和3个女生排成一排，按下列要求各有多少种不同排法：（1）男甲排在正中间；（2）男甲不在排头，女乙不在排尾；（3）三个女生排在一起；（4）三个女生两两都不相邻；2、某城新建的一条道路上有12只路灯，为了节省用电而不影响正常的照明，可以熄灭其中三盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，可以熄灭的方法共有（）3、(1)今有10件不同奖品,从中选6件分成三份, 二份各1件,另一份4件, 有多少种分法?(2) 今有10件不同奖品,从中选6件分给甲乙丙三人,每人二件有多少种分法?4、从6个学校中选出30名学生参加数学竞赛,每校至少有1人,这样有几种选法?5、将8个学生干部的培训指标分配给5个不同的班级，每班至少分到1个名额，共有多少种不同的分配方法？6、对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法有种可能？7、3 名医生和 6 名护士被分配到 3 所学校为学生体检,每校分配 1 名医生和 2 名护士,不同的分配方法共有多少种?8、如图,要给地图A 、B 、C 、D 四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？9、求值与化简：1055845635425215222221)1(⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+C C C C C 求值：。

计数原理知识点知识网络一、两个计数原理1. 分类加法计数原理：完成一件事，有n 类办法， 在第1类办法中有1m 种不同的办法； 在第2类办法中有2m 种不同的方法； .....在第n 类办法中有n m 种不同的方法那么，完成这件事共有n m m m N 21中不同的方法.2. 分步乘法计数原理：完成一件事，需要分成n 个步骤， 做第1步有1m 种不同的方法； 做第2步有2m 种不同的方法； .....做第n 步有n m 种不同的方法那么，完成这件事共有n m m m N 21种不同的方法.3、两个计数原理的区别二、排列与组合 1.排列（1）排列定义：一般地，从n 个不同元素中取出)(n m m 个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。

（2）排列数：从n 个不同元素中取出)(n m m 个元素的所有不同排列的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数。

用符号mn A 表示.（3）排列数公式：其中*,N m n ，并且n m特殊的，当n m 时，即有 nn A 称为n 的阶乘，通常用!n 表示，即 !n A n n2. 组合：（1）组合定义：一般地，从n 个不同元素中取出)(n m m 个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。

（2）组合数：从n 个不同元素中取出)(n m m 个元素的所有不同组合的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数。

用符号mn C 表示。

!!121m n n m n n n n A m n12321 n n n A n n（3）组合数公式：其中*,N m n ，并且n m ， 规定10nC注意：判断一个具体问题是否为组合问题,关键是看取出的元素是否与顺序有关,有关就是排列,无关便是组合.判断时要弄清楚“事件是什么”. （4）组合数的性质：三、二项式定理1. 二项式定理：一般地，对于*N n ，有*)()(222110N n b C b a C b a C b a C a C b a nn n r r n r n n n n n n n n .右边的多项式叫做n b a )( 的二项展开式，它一共有1 n 项，其中r r n r n b a C 叫做二项展开式的第1 r 项（也称通项），用1 r T 表示，即r rn rn r b aC T 1如果在二项式定理中，设x b a ,1，则可以得到公式：*)(1)1(221N n x C x C x C x C x nn n r r n n nn2. 一般地，有如下性质：展开式的二项式系数nn n n C C C b a ,,)(10n （1）对称性）(mn n m n C C（2） （3）m n m n m n C C C 11（4）（5）当n 为偶数时，最大2nnC!!!!121m n m n m m n n n n C mnm n n m n C C mn m n m n C C C 11当n 为奇数时，最大2121 n nn nCC（6） （7）n n n n n C C C 210 （令1,1 b a ）（8）奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和15314202 n n n n n n nC C C C C C （令1,1 b a ）。

高三计数原理知识点一、基本概念计数原理是概率论的一个基本分支，主要研究计数问题。

在概率论和组合数学中，计数原理用于确定某个事件发生的可能性，并通过计算不同情况的组合、排列或选择的方式来解决问题。

下面将介绍一些高三计数原理的基本知识点。

二、排列与组合1. 排列在计数原理中，排列是指从给定对象的集合中选择特定数量的对象，按照一定的顺序进行排列。

排列的计算公式为：nPr = n! / (n - r)!其中，n代表集合中的对象数量，r代表选取的对象数量。

2. 组合组合是指从给定对象的集合中选择特定数量的对象，不考虑顺序。

组合的计算公式为：nCr = n! / (r! * (n - r)!)其中，n代表集合中的对象数量，r代表选取的对象数量。

三、二项式定理二项式定理是计数原理中的重要定理，它描述了将两个项相加的n次幂展开的形式。

二项式定理可以用来计算排列和组合中的项数。

二项式定理的公式为：(a + b)^n = C(n,0) * a^n * b^0 + C(n,1) * a^(n-1) * b^1 + ... + C(n,n) * a^0 * b^n其中，C(n,r)表示从n个对象中选择r个对象的组合数。

四、鸽笼原理鸽笼原理是指将n+1只鸽子放入n个笼子中，那么至少会有一个笼子中有两只或两只以上的鸽子。

这个原理在计数问题中经常被使用，特别是在解决抽屉原理问题时。

鸽笼原理可以简单地表述为：当物体数量超过容器数量时，必定会出现至少一个容器内包含多个物体。

五、应用举例1. 出题排列组合问题小明手中有10个不同的球，他将其中5个排成一排。

请问共有多少种排列方式？解答：根据排列的计算公式，可以得知共有10P5 = 10! / (10 - 5)! = 30240 种排列方式。

2. 场次排列问题某足球比赛有8个球队参加，其中有4个比赛场次。

请问共有多少种比赛场次的安排方式？解答：根据排列的计算公式，可以得知共有8P4 = 8! / (8 - 4)! = 1680 种比赛场次的安排方式。

计数原理知识点计数原理是数字电路中一门基础的理论学科，也是数字逻辑电路设计中的重要组成部分。

它研究的是如何进行数字信号的计数和处理。

计数原理主要包括同步计数器和异步计数器两个部分。

一、同步计数器同步计数器是由触发器和逻辑门构成的。

触发器是最基本的存储单元，常见的有RS触发器、D触发器、JK触发器等。

不同的触发器具有不同的特点和功用。

在同步计数器中，逻辑门用来实现计数器的各种计数方式。

常见的逻辑门有与门、或门、非门、与非门、或非门等。

通过逻辑门的组合和控制，可以实现计数器的不同计数方式，如二进制计数、BCD码计数、格雷码计数等。

同步计数器的特点是同步输入信号和时钟信号的变化有相同的频率和相位关系。

同步计数器的计数是可控的，可以通过控制信号来实现正向计数、负向计数、上下计数等功能。

同时，同步计数器可以实现任意的初始值和终止值，具有较高的灵活性和可编程性。

二、异步计数器异步计数器是由触发器和逻辑门构成的。

不同于同步计数器，异步计数器的触发信号来自前一级计数器而不是时钟信号。

异步计数器的特点是触发信号不依赖于时钟信号，计数不受时钟信号的控制，可以实现不同频率的计数。

异步计数器的计数方式一般为二进制计数，并且可以通过逻辑门的控制实现不同的计数间隔。

异步计数器的设计相对复杂一些，需要考虑到触发器之间的逻辑关系和计数器的稳定性。

但是异步计数器的优点在于可以实现非线性计数、自由计数范围的选择和等间隔计数等功能，适用于特定的计数场合。

三、计数器的应用计数器是数字电路中非常重要的一个部分，其应用涵盖了各个领域。

1. 时序控制：计数器可以用来生成各种序列信号，进行时序控制。

例如，在微处理器中，计数器可以用来控制指令序列的执行，实现诸如数据传输、逻辑运算、算术运算等复杂功能。

2. 频率分频器：计数器可以用来分频输入信号的频率。

通过计数器的计数功能，可以将输入信号的频率降低，实现频率的分频效果。

3. 事件计数：计数器可以用来对事件进行计数。

第一节计数原理、排列与组合考试要求1．理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理，能正确区分“类”和“步”.2.能利用两个原理解决一些简单的实际问题.3.理解排列的概念及排列数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题.4.理解组合的概念及组合数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题．[知识排查·微点淘金]知识点1两个计数原理(1)分类加法计数原理完成一件事可以有n 类不同方案，各类方案相互独立，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有m n种不同的方法．那么，完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n种不同的方法．[微提醒]①每类方法都能独立完成这件事，且每次得到的是最后结果，只需一种方法就可完成这件事.②各类方法之间是互斥的、并列的、独立的.(2)分步乘法计数原理完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有m n种不同的方法．那么，完成这件事共有N＝m1×m2×…×m n种不同的方法．[微提醒]①每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，只有各个步骤都完成了才能完成这件事.②各步之间是相互依存的，并且既不能重复也不能遗漏.知识点2排列与组合(1)排列、组合的定义排列的定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列组合的定义合成一组排列数组合数定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个从n个不同元素中取出m(m≤n)个元元素的所有不同排列的个数素的所有不同组合的个数公式A m n＝n(n－1)…(n－m＋1)＝n！(n－m)！C m n＝A m nA m m＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)m！＝n！m！(n－m)！性质A n n＝n！，0！＝1 C m n＝C n－mn ，C m n＋C m－1n＝C m n＋1[小试牛刀·自我诊断]1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．(×)(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事．(√)(3)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．(×)(4)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．(√)(5)若C x n＝C m n，则x＝m成立．(×)2．(链接教材选修2－3 P24例7)将3张不同的武汉军运会门票分给10名同学中的3人，每人1张，则不同分法的种数是()A．2160B．720C．240 D．120答案：B3．(链接教材选修2－3 P28B组T4)从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，则男女生都有的选法种数是()A．18 B．24C．30 D．36答案：C4．(链接教材选修2－3 P28A组T17)A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果B必须在A的右侧(A，B可以不相邻)，那么不同的排法共有()A．24种B．60种C．90种D．120种答案：B5．(混淆两个计数原理)一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有4个小球，所有这些小球的颜色互不相同，则从两个口袋中各取1个小球，有种不同的取法．答案：20一、基础探究点——两个计数原理的应用(题组练透)1．下图是某项工程的网络图(单位：天)，则从开始节点①到终止节点⑧的路径共有()A．14条B．12条C．9条D．7条解析：选B由图可知，由①→④有3条路径，由④→⑥有2条路径，由⑥→⑧有2条路径，根据分步乘法计算原理可得从①→⑧共有3×2×2＝12条路径．故选B．2．甲、乙、丙三人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下．由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回给甲，则不同的传递方式共有()A．4种B．6种C．10种D．16种解析：选B分两类：甲第一次踢给乙时，满足条件的传递方式有3种(如图)；同理，甲第一次踢给丙时，满足条件的传递方式也有3种．由分类加法计数原理可知，共有3＋3＝6(种)传递方式．3．如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1<a2，且a2>a3，则称这样的三位数为凸数(如120,343,275等)，那么所有凸数的个数为()A．240 B．204C．729 D．920解析：选A若a2＝2，则百位数字只能选1，个位数字可选1或0，“凸数”为120与121，共2个．若a2＝3，则百位数字有两种选择，个位数字有三种选择，则“凸数”有2×3＝6(个)．若a2＝4，满足条件的“凸数”有3×4＝12(个)，…，若a2＝9，满足条件的“凸数”有8×9＝72(个)．所以所有凸数有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240(个)．4．某班一天上午有4节课，每节都需要安排1名教师去上课，现从A，B，C，D，E，F这6名教师中安排4人分别上一节课，第一节课只能从A，B两人中安排一个，第四节课只能从A，C两人中安排一人，则不同的安排方案共有种．解析：①第一节课若安排A，则第四节课只能安排C，第二节课从剩余4人中任选1人，第三节课从剩余3人中任选1人，共有4×3＝12(种)排法．②第一节课若安排B，则第四节课可由A或C上，第二节课从剩余4人中任选1人，第三节课从剩余3人中任选1人，共有2×4×3＝24(种)排法．因此不同的安排方案共有12＋24＝36(种)．答案：36利用两个基本计数原理解决问题的步骤第一步，审清题意，弄清要完成的事件是怎样的；第二步，分析完成这件事应采用分类、分步、先分类后分步、先分步后分类这四种方法中的哪一种；第三步，弄清在每一类或每一步中的方法种数；第四步，根据两个基本计数原理计算出完成这件事的方法种数．二、应用探究点——排列、组合的基本问题(多向思维)[典例剖析]思维点1排列的基本问题[例1]有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．(1)选5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；(4)全体排成一排，女生必须站在一起；(5)全体排成一排，男生互不相邻．解：(1)从7人中选5人排列，有A57＝7×6×5×4×3＝2520(种)．(2)分两步完成，先选3人站前排，有A37种方法，余下4人站后排，有A44种方法，共有A37A44＝5040(种)．(3)解法一：(特殊元素优先法)先排甲，有5种方法，其余6人有A66种排列方法，共有5×A66＝3600(种)．解法二：(特殊位置优先法)首尾位置可安排另6人中的两人，有A26种排法，其他有A55种排法，共有A26A55＝3600(种)．(4)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有A44种方法，再将女生全排列，有A44种方法，共有A44·A44＝576(种)．(5)(插空法)先排女生，有A44种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有A35种方法，共有A44·A35＝1440(种)．排列应用题的分类与解法(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法．(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法．思维点2组合的基本问题[例2](1)某单位拟安排6位员工在今年6月9日至11日值班，每天安排2人，每人值班1天．若6位员工中的甲不值9日，乙不值11日，则不同的安排方法共有() A．30种B．36种C．42种D．48种解析：若甲在11日值班，则在除乙外的4人中任选1人在11日值班，有C14种选法，9日、10日有C24C22种安排方法，共有C14C24C22＝24(种)安排方法；若甲在10日值班，乙在9日值班，余下的4人有C14C13C22＝12(种)安排方法；若甲、乙都在10日值班，则共有C24C22＝6(种)安排方法．所以不同的安排方法共有24＋12＋6＝42(种)．答案：C(2)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为() A．232 B．252C．472 D．484解析：分两类：第一类，含有1张红色卡片，不同的取法共有C14C212＝264(种)；第二类，不含有红色卡片，不同的取法共有C312－3C34＝220－12＝208(种)．由分类加法计数原理知，不同的取法有264＋208＝472(种)．答案：C组合问题的常见类型与处理方法(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中选取．(2)“至少”或“至多”含有几个元素的题型：若直接法分类复杂时，逆向思维，间接求解．[学会用活]1．(2020·全国卷Ⅱ)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有种．解析：将4名同学分成人数为2,1,1的3组有C24＝6种分法，再将3组同学分到3个小区共有A33＝6种分法，由分步乘法计数原理可得不同的安排方法共有6×6＝36种．答案：362.如图，∠MON的边OM上有四点A1，A2，A3，A4，ON上有三点B1，B2，B3，则以O，A1，A2，A3，A4，B1，B2，B3中三点为顶点的三角形的个数为()A．30B．42C．54 D．56解析：选B间接法：先从这8个点中任取3个点，有C38种取法，再减去三点共线的情形即可，即三角形的个数为C38－C35－C34＝42.三、综合探究点——分组与分配问题(思维拓展)[典例剖析][例3] 按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；(3)平均分成三份，每份2本；(4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；(5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本；(6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本．解：(1)6本不同的书分成三份，1份1本 ,1份2本，1份3本 ，分三个步骤，第1步，从6本书中取1本有C 16种分配方法；第2步，从剩余的5本书中取2本有C 25＝10种分配方法，第3步，从剩余的3本书中取3本有C 33种分配方法，所以总共有C 16C 25C 33＝60种分配方法．(2)由(1)可知分组后共有60种方法，分别分给甲、乙、丙后的方法有C 16C 25C 33A 33＝360种．(3)从6本书中选择2本书，有C 26种分配方法；再从剩余4本书中选择2本书，有C 24种分配方法．剩余的就是2本书，有C 22种分配方法，所以有C 26C 24C 22＝90种分配方法．但是，该过程有重复．假如6本书分别为A ，B ，C ，D ，E ，F ，若三个步骤分别选出的是(AB )，(CD )，(EF )，则所有情况为(AB ，CD ，EF )，(AB ，EF ，CD )，(CD ，AB ，EF )，(CD ，EF ，AB )，(EF ，AB ，CD )，(EF ，CD ，AB )．所以分配方式共有C 26C 24C 22A 33＝15种． (4)把(3)中分成的三份书分别分给甲、乙、丙三人，则分配方法为C 26C 24C 22A 33×A 33＝90种．(5)从6本书中选4本书的方法有C 46种，从剩余2本书中选1本书的有C 12种，因为在最后两本书选择中发生了重复，所以总共有C 46C 12A 22＝15种方法． (6)把(5)中分成的三份书分别分给甲乙丙三人即可，即共有C 46C 12A 22×A 33＝90种方法．分组、分配问题的一般解题思路是先分组再分配(1)分组问题属于“组合”问题．①对于整体均分，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以组数的阶乘；②对于部分均分，即若有m 组元素个数相同，则分组时应除以m ！；③对于不等分组，只需先分组，后排列．(2)分配问题属于“排列”问题．①相同元素的“分配”问题，常用的方法是采用“挡板法”；②不同元素的“分配”问题，利用分步乘法计数原理，分两步完成，第一步是分组，第二步是发放；③有限制条件的分配问题常采用分类法求解．[学会用活]3．冬季供暖就要开始，现分配出5名水暖工去3个不同的居民小区检查暖气管道，每名水暖工只去一个小区，且每个小区都要有人去检查，那么分配的方案共有 种．解析：5名水暖工去3个不同的居民小区，每名水暖工只去一个小区，且每个小区都要有人去检查，5名水暖工分组方案为3,1,1和1,2,2，则分配的方案共有⎝⎛⎭⎫C 35C 122＋C 15C 242·A 33＝150(种)．答案：150体育教育[情境素材]为深入践行“绿色、共享、开放、廉洁”的办奥理念，广泛汇聚海内外各界人士的力量，共同举办一届精彩、非凡、卓越的奥运盛会，北京冬奥组委面向全球招募北京2022年冬奥会和冬残奥会赛会志愿者．赛会志愿者将为北京冬奥会和冬残奥会开闭幕式以及各项比赛提供志愿服务，包括12类：对外联络服务、竞赛运行服务、媒体运行与转播服务、场馆运行服务、市场开发服务、人力资源服务、技术运行服务、文化展示服务、赛会综合服务、安保服务、交通服务、其他.2021年全国乙卷第6题以此为背景设计试题，既考查了排列组合的有关知识，又体现了数学在实际生活中的重要作用．[情境命题](2021·全国乙卷)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有()A．60种B．120种C．240种D．480种[思维导引]解法一：根据题意从5名志愿者中任选2人，和其他3名志愿者一起分成4组，再分配4个项目即可得出结论；解法二：先从5名志愿者中选出2人安排1个项目，再将剩下的3名志愿者各安排剩下的3个项目中的一个，即可求解．[解法探究]解法一：若每名志愿者只分配到1个项目，且每个项目至少分配1名志愿者，则必有一个项目分配2名志愿者，所以先从5名志愿者中任选2名志愿者放在一起，再和剩下的3名志愿者一起分配到4个项目中，共有C25A44＝240(种)不同的分配方案．故选C．解法二：先从5名志愿者中任选2名志愿者安排到1个项目中，则有C25C14种不同的方案；再将剩下的3名志愿者安排到剩下的3个项目中，每个项目1名志愿者，则有A33种不同的方案．根据分步乘法计数原理可知，共有C25C14A33＝240(种)不同的分配方案．故选C．[答案] C以北京冬奥会安排志愿者为背景的试题，可以很好的考查排列与组合的有关知识，增强逻辑推理能力．本试题以“分配5名志愿者到4个比赛项目培训”为载体考查了排列与组合的基础知识．[应用](2021·茂名五校联考)电影《夺冠》讲述中国女排姑娘们顽强奋斗、为国争光的励志故事，是一部见证新中国体育改革40年的力作，该影片于2020年9月25日正式上映．在《夺冠》上映期间，一对夫妇带着他们的两个孩子一起去观看该影片．订购的4张电影票恰好在同一排且连在一起．为安全起见，影院要求每个孩子至少有一侧要有家长相邻陪坐，则不同的坐法种数是()A．8B．12C．16 D．20解析：选C将4个座位编号如下，4人的座位可分四种情况：①②③④.①④坐家长、②③坐孩子，①④坐孩子、②③坐家长，①③坐家长、②④坐孩子，①③坐孩子、②④坐家长，所以不同的坐法种数为4A22A22＝16.限时规范训练基础夯实练1．(2021·四川成都月考)宋代学者聂崇义编撰的《三礼图集注》中描述的周王城，“匠人营国，方九里，旁三门，国中九经九纬……”；意思是周王城为正方形，边长为九里，每边都有左中右三个门；城内纵横各有九条路……；则依据此种描述，画出周王城的平面图，则图中共有()个矩形()A．3025B．2025C．1225 D．2525解析：选A要想组成一个矩形，需要找出两条横边、两条纵边，根据分步乘法计数原理，依题意，所有矩形的个数为C211·C211＝3025，故选A．2．某校开展“学党史，感党恩”演讲活动，组建了甲、乙、丙、丁四个演讲组，分别到A，B，C，D四地参加演讲，每组仅去一地，每地仅去一组．其中甲不去B地，乙和丙不去A地也不去B地，则四个演讲组到A，B，C，D四地演讲的不同安排方案共有() A．5种B．4种C．3种D．2种解析：选D因为甲不去B地，乙和丙不去A地也不去B地，所以只能丁去B地，甲只能去A地，乙和丙只能去C地和D地．可能乙去C地，丙去D地，也可能乙去D地，丙去C地，故有两种安排方案．故选D．3．(2021·安徽合肥模拟)某医院有6个医疗小组，每个小组都配备1位主治医师，现根据工作需要，医院准备将其中3位主治医师由原来的小组均相应地调整到其他医疗小组，其余的3位主治医师仍在原来的医疗小组(不做调整)，如果调整后每个医疗小组仍都配备1位主治医师，则调整的不同方案数为()A．36 B．40C．48 D．56解析：选B从6个医疗小组选出3位主治医师，有C36＝20种不同的方法；不妨设这3位主治医师分别为甲、乙、丙，调整即为不在原来的医疗小组，有2种不同的方法．综上，调整的不同方案数为20×2＝40.故选B．4．(2021·福建省南安一中二模)现有一圆桌，周边有标号为1,2,3,4的四个座位，甲、乙、丙、丁四位同学坐在一起探讨一个数学课题，每人只能坐一个座位，甲先选座位，且甲、乙不能相邻，则所有选座方法有()A．6种B．8种C．12种D．16种解析：选B先安排甲，其选座方法有C14种，由于甲、乙不能相邻，所以乙只能坐甲对面，而丙、丁两位同学坐另两个位置的坐法有A22种，所以共有坐法种数为C14·A22＝4×2＝8种．故选B．5．(2021·四川乐至中学月考)某研发机构依次研发六项不同的产品，其中产品a必须排在后三位，产品b，c必须排在一起，则这六项产品的不同安排方案共有() A．120种B．156种C．210种D．226种解析：选A当b, c排在前三位时共有C13A22A22A33＝72种，当b, c排在后三位时共有A22 A22A33＝24种，当b，c排在3,4位时共有A22C12A33＝24种，这项产品的不同安排方案共有72＋24＋24＝120种．故选A．6．(2021·山东泰安二模)如图，洛书(古称龟书)是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．若从四个阴数和五个阳数中随机选取3个数，则选取的3个数之和为奇数的方法数为()A．30 B．40C．42 D．44解析：选B根据题意，4个阴数即4个偶数：2、4、6、8；5个阳数即1、3、5、7、9，从中任选3个，使选出的三个数的和为奇数，共有两种可能：①选出的3个数都是奇数，有C35＝10种选法；②选出的3个数有2个偶数、1个奇数，共有C24C15＝30种选法．综上所述，一共有30＋10＝40种选法．故选B．7．某人民医院召开抗疫总结表彰大会，有7名先进个人受到表彰，其中有一对夫妻．现要选3人上台作报告，要求夫妻两人中至少有1人作报告，若夫妻同时被选，则两人的报告顺序需要相邻，这样不同的报告方案共有()A．80种B．120种C．130种D．140种解析：选D若夫妻中只选一人，则有C12C25A33＝120种不同的方案；若夫妻二人全选，则有C15A22A22＝20中不同方案，故总计有140种不同的方案，故选D．8．(2021·广东实验中学模拟)某校组织A、B、C、D、E五名学生分别上台演讲，若A 必须在B前面出场，且都不能在第3号位置，则不同的出场次序有()种() A．18 B．36C．60 D．72解析：选B因为A在B的前面出场，且A，B都不在3号位置，则情况如下：①A在1号位置时，B有2、4、5三种位置选择，有3A33＝18种次序；②A在2号位置时，B有4,5号两种选择，有2A33＝12种次序；③A在4号位置时，B有5号一种选择，有A33＝6种；故共有18＋12＋6＝36(种)．故选B．9．若在7位男生和3位女生中随机挑选出1人，则所有选法种数是．(用数字作答)解析：在7位男生和3位女生中随机挑选出1人，从7位男生中随机挑选1人，有7种不同方法，从3位女生中随机挑选1人，有3种不同的方法，根据分类加法计数原理，则所有选法种数是7＋3＝10(种)．答案：1010．(2021·上海模拟)第14届国际数学教育大会于7月在上海举办，大会一共进行8天．若有4位学者分别作个人大会报告，一天只能安排一个报告，且第一天和最后一天不安排报告，则不同的安排方案种数为(用数字作答)．解析：根据题意，大会一共进行8天，第一天和最后一天不安排报告，只需在中间的6天中，任选4天，安排4位学者作报告即可，则有A46＝360种安排方法．答案：360综合提升练11．(2021·辽宁实验中学二模)某班级的六名同学计划制作一个关于清明节的宣传栏，每人承担一项工作，现需要一名总负责，两名美工，三名文案，但甲，乙不参与美工，丙不能书写文案，则不同的分工方法有多少种( )A ．11种B ．15种C ．30种D ．9种解析：选B 若丙是美工，则需要从甲、乙、丙之外的三人中再选一名美工，然后从剩余四人中选三名文案，剩余一人是总负责人，共有C 13C 34＝12种分工方法；若丙不是美工，则丙一定是总负责人，此时需从甲、乙、丙之外的三人中选两名美工，剩余三人是文案，共有C 23种分工方法；综上，共有12＋3＝15(种)分工方法，故选B ．12．(2021·湖南高三模拟)某单位在春节七天的假期间要安排值班表，该单位有值班领导3人，值班员工4人，要求每位值班领导至少值两天班，每位值班员工至少值一天班，每天要安排一位值班领导和一位值班员工一起值班，且一人值多天班时要相邻的安排方案有( )A ．249种B ．498种C ．1052种D ．8640种解析：选D 先安排值班领导：选1位值班领导值三天班，则安排3位领导值班共有C 13A 33＝18(种)方案．再安排值班员工：若4名员工中有1名员工值四天班，其他员工各值一天班，则有C 14＝4(种)选法；若1名员工值两天班，另一名员工值三天班，剩余2名员工各值一天班，则有C 14C 13＝12(种)选法；若3名员工各值两天班，1名员工值一天班，则有C 14＝4(种)选法，故安排4名员工值班共有(4＋12＋4)A 44＝480(种)方案．因此，该单位在春节七天的假期间值班表安排方案共有18×480＝8640(种)．故选D ．13．(2021·贵州贵阳一中月考)有6名实习生去3个学校实习，每个学校至少去一人，每人去一个学校，有多少种安排方法( )A ．540B ．630C ．450D ．720解析：选A 6个人分成3组，有(2, 2, 2)，(4, 1, 1)，(3, 2, 1)三种情况，按(2, 2, 2)分组有C 46·C 24·C 22A 33·A 33＝90，按(3, 2, 1)分组有C 36·C 23·C 11·A 33＝360种，按(4, 1, 1)分组有C 46·C 12·C 11A 22·A 33＝90(种)，故一共有540种方法，故选A ．14．(2021·江苏无锡模拟)四色定理又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一．它是于1852年由毕业于伦敦大学的格斯里提出来的，其内容是“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色”．四色问题的证明进程缓慢，直到1976年，美国数学家运用电子计算机证明了四色定理．某校数学兴趣小组在研究给四棱锥P-ABCD的各个面涂颜色时，提出如下的“四色问题”：要求相邻面(含公共棱的平面)不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，那么不同的涂法有()A．36种B．72种C．48种D．24种解析：选B如图所示：底面ABCD的涂色有4种选择，侧面P AB有3种选择，侧面PBC有2种选择．①若侧面PCD与侧面P AB所涂颜色相同，则侧面P AD有2种选择；②若侧面PCD与侧面P AB所涂颜色不同，则侧面P AD有1种选择．综上所述，不同的涂法种数为4×3×2×(2＋1)＝72种．故选B．15．(2021·辽宁沈阳二中模拟)《红楼梦》是中国古代章回体长篇小说，中国古典四大名著之一，一般认为是清代作家曹雪芹所著．《红楼梦》是一部具有世界影响力的人情小说，举世公认的中国古典小说巅峰之作，中国封建社会的百科全书，传统文化的集大成者．《红楼梦》第三十七回中贾探春提议邀集大观园中有文采的人组成海棠诗社．诗社成立目的旨在“宴集诗人於风庭月榭；醉飞吟盏於帘杏溪桃，作诗吟辞以显大观园众姊妹之文采不让桃李须眉．”诗社成员有林黛玉、薛宝钗、史湘云、贾迎春、贾探春、贾惜春、贾宝玉、李纨共8人．若林黛玉、薛宝钗、贾宝玉3人不相邻，共有种排列方法．(用数字作答) 解析：原问题等价于：含a, b, c在内的8个不同元素排成一排，其中a, b, c互不相邻的排列方法有多少种？先将除a, b, c之外的5个元素(小圆圈)排成一排，共有6个空档(小三角)，如图所示．将a，b，c安排到6个空档之中，原来5个元素全排列即可，所以不同的排列方法共有A36A55＝120×120＝14 400(种)．答案：14 40016．(2021·重庆杨家坪中学模拟)某学校，通过心理问卷调查，发现某校高三年级有6位学生心理问题凸显，需要心理老师干预．已知该校高三年级有三位心理老师，每位心理老师至少安排一位学生，至多安排三位学生，问共有种心理辅导安排方法．解析：根据题意，分2步进行分析：①将6位学生分为3组，若每组2人，有C26C24C22 A33＝15种分组方法，若一组3人，一组2人，最后1组1人，有C36C23＝60种分组方法，则共有15＋60＝75(种)分组方法；②将分好的3组安排给3个老师进行心理辅导，有A33＝6种情况，则共有75×6＝450种安排方法．答案：450。