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计数原理学案（孙平公开课）1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理（学案）学习目标(1)通过实例，总结出分类加法计数原理和分步乘法计数原理；（2）根据具体问题的特点，可以选择分类加法计数或分步乘法计数的原理来解决一些简单的实际问题际问题；（3）在“分类”和“逐步”计数的过程中体验这两个原则的区别和联系；（4）认识到数学源于生活，服务于生活学习重点和难点1.要点：总结分类加法计数和分步乘法计数的原理，并能应用于解决简单的实际问题；2.难点：正确理解“完成一件事”的含义；能够根据实际问题的特点正确区分“点”类”或“分步”．学习过程（一）课前预习：自学、思考、练习1.分类加法计数原理：完成一件事有两种不同的方案。
第一种方案有m种不同的方法，第二种方案有N种不同的方法，两种不同的方法。
2.推广分类加法和计数原则：____________________________________________________________________________3．分步乘法计数原理完成一件事有两个步骤。
有m种不同的方法来完成第一步，N种不同的方法来完成第二步，所以有两种方法来完成这件事，两种不同的方法。
4.逐步乘法和计数原理的推广：__________________________________________________________________________（二）知识建构引例1:假如我们从湖州到杭州去旅游，查看了交通信息后，发现明天适合我们乘坐的火车有3班，普通客车有2班。
乘坐这些交通工具从湖州到杭州，请问我们共有多少种不同的走法？引文2：教室座位号（如“a”、“B”、“0”、“1”）可以用大写英文字母或阿拉伯数字编码多少个不同的数字？探究1：你能说说以上两个引例中问题的共同特征吗？问题2：你能总结一下解决这些问题的一般规则吗？1______________________原则：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法．那么完成这件事共有_____________种不同的方法．例1变体：如果我们从湖州旅行到杭州，在检查交通信息后，我们可以乘坐直达列车或普通巴士，或者乘坐快车。
杨海燕--《计数原理》教案公开课教案章节一：排列与组合1. 教学目标(1) 让学生理解排列和组合的概念。
(2) 让学生掌握排列和组合的计算方法。
(3) 培养学生解决实际问题的能力。
2. 教学内容(1) 排列的概念和计算方法。
(2) 组合的概念和计算方法。
(3) 排列和组合在实际问题中的应用。
3. 教学方法(1) 讲授法：讲解排列和组合的概念、计算方法。
(2) 案例分析法：分析实际问题，引导学生运用排列和组合知识解决问题。
4. 教学步骤(1) 导入：通过生活中的实例，引出排列和组合的概念。
(2) 讲解：讲解排列和组合的计算方法。
(3) 练习：让学生完成一些排列和组合的练习题。
(4) 案例分析：分析实际问题，引导学生运用排列和组合知识解决问题。
5. 教学评价(1) 课堂练习：检查学生对排列和组合知识的掌握程度。
(2) 课后作业：布置一些实际问题，让学生运用排列和组合知识解决。
教案章节二：概率论基本概念1. 教学目标(1) 让学生理解概率的基本概念。
(2) 让学生掌握概率的计算方法。
(3) 培养学生运用概率知识解决实际问题的能力。
2. 教学内容(1) 随机事件、必然事件和不可能事件的概念。
(2) 概率的计算方法：古典概率、条件概率、独立事件的概率。
(3) 概率论在实际问题中的应用。
3. 教学方法(1) 讲授法：讲解概率的基本概念和计算方法。
(2) 案例分析法：分析实际问题，引导学生运用概率知识解决问题。
4. 教学步骤(1) 导入：通过生活中的实例，引出概率的基本概念。
(2) 讲解：讲解概率的计算方法。
(3) 练习：让学生完成一些概率的练习题。
(4) 案例分析：分析实际问题，引导学生运用概率知识解决问题。
5. 教学评价(1) 课堂练习：检查学生对概率知识的掌握程度。
(2) 课后作业：布置一些实际问题，让学生运用概率知识解决。
教案章节三：图论基本概念1. 教学目标(1) 让学生理解图论的基本概念。
(2) 让学生掌握图的表示方法和基本性质。
分类加法计数原理与分步乘法计数原理
熊向前208班
【教材分析】“分类加法计数原理和分步乘法计数原理”是人教A版高中数学课标教材选修2-3“第一章计数原理”第1.1节的内容，教学需要安排4个课时，本节课为第1课时．两个计数原理不仅是继续学习排列、组合和二项式定理的理论依据，更是处理计数问题的两种基本思想方法，在本章中是奠基性的知识．两个计数原理的灵魂是划归与转化的思想、分类与整合的思想和特殊与一般的思想的具体化身．从数学本质的角度看，以退为进，以简驭繁，是理解和掌握两个计数原理的关键，运用两个计数原理是知识转化为能力的催化剂．
【学情分析】在高中数学《必修2》中学习“古典概型”时，已学会了用列举法解决最简单的计数问题；同时在学习和生活中，学生已经不自觉地会使用“分类”和“分步”的方法来思考和解决问题，这些都是学生学习两个计数原理的认知基础．两个计数原理虽简单朴素，易学好懂，但如何让学生借助已有的数学活动经验，抽象概括出两个计数原理，并领悟其中重要的数学思想方法，则是本课必须要突破的难点．为此，抓住以下两个要点尤为重要：一是要通过典型丰富的实例来帮助学生完成归纳提炼的过程，加强学生应用两个计数原理解决问题的意识——这是有效提升学生抽象概括能力的契机；二是要在解决问题的过程中，始终突出两个计数原理的核心要素，即弄清“完成一件事”的含义和区分“分步”与“分类”的特征——这是如何选择两个计数原理的关键．
【教学目标】知识与技能：理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理；会利用两个原理分析和解决一些简单的实际问题．过程与方法：通过诱导，探索得出结论，培养学生的理解能力和抽象概括能力；通过知识应用培养学生的分析和解决问题的能力．情感、态度与价值观：通过实例引入体会数学来源生活，并为生活服务，激发学生学习本章的兴趣；通过探索与发现的过程，使学生体会数学研究的成功与快乐，学会提出问题、分析问题、解决问题，激发学生勇于探索，敢于创新的精神，优化学生的思维品质．
【教学重点】归纳出两个计数原理，并能初步用其解决一些简单的实际问题．
【教学难点】准确区分“分类”和“分步”．
【教学方法】本节课是概念原理课的教学典范．采用问题式教学为主，辅以启发式、探究式、自助式、讨论式的教学方式．
【教学用具】粉笔、多媒体等．
【教学过程】
1．创设情境，提出问题
“日”字加一笔能够组成多少个常见的汉字？（田、申、甲、由、电、旧、旦、白、目共9个．）我们将这种方法数的计算问题都称之为计数问题．生活中还有很多计数问题，如：（1）座子上有多少本书？（2）教室里面坐了多少个人？（3）从甲、乙、丙中选一个人当班
长，有多少种？（4）某地区的车牌号为“鄂A+2个大写字母+3个数学”（其中字母不能为O 或I ），问这样的车牌号有多少种？
【设计意图】以一个有趣的语文问题引出计数问题，激发学生的求知欲，前三个可以直接数或者用列举法，最后一个无法用已有的知识来解决，从而让学生认识到学习计数原理的重要性，提高学生主动参与学习的积极性，并感受到数学来源于生活并服务于生活．
2．实例探究，归纳原理
探究一
问题1：(1)小明要从佛山到北京，一天中飞机有3班，火车有2班，一天中乘坐这些交通工具从佛山到北京共有多少种不同的方法？（3+2=5种）
(2)用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？（阿拉伯数字为0、1、2……9）（26+10=36种）．
问题2：这两个计数问题有什么共同特征呢？你能根据这些特征概括出一个规律吗？ 分类加法计数原理：如果完成一件事有两类不同方案，在第一类方案中有种不同的方法，在第二类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有N m n =+种不同的方法．
注意：这里的关键词是“完成一件事”、“分类”、“加法”，每类中的任一种方法都能独立完成这件事．
【设计意图】通过两个典型的实例概括获得分类计数问题的特征，从中抽象出分类加法计数原理．学生回答，教师注意引导学生概括得到“分类”“加法”上，要让学生独立思考、自主探究，使他们体会到知识获得的过程，体会从从特殊到一般地数学思想．
例1 在填写高考志愿时，一名高中毕业生了解到，A ，B 两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：
A 大学
B 大学
生物学 数 学
化 学 会计学
医 学 信息技术学
物理学 法 学
工程学
如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？
变式：上述问题中，再增加一所C 大学：新闻学、金融学、人力资源学，如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？
推广：如果完成一件事情有3类不同方案，第1类方案中有m 1种不同方法，第2类方案中有m 2种不同方法，第3类方案中有m 3种不同方法，那么完成这件事情有
m 1+ m 2+ m 3种不同的方法。
一般地，如果完成一件事有n 类不同方案，在第1类方案中有m 1种不同的方法，在第2类中有m 2种不同的方法…，在第类中有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有种12n N m m m =+++ 不同方法． 【设计意图】巩固概念，学会运用原理解决简单的问题，例1给生成加法原理的一般形式搭建一个脚手架，从例题到变式再到推广由浅入深，循序渐进．
探究二
问题3：（1）小明先从佛山到上海，火车有3班，一天后再从上海到北京，飞机有2班。
小明乘坐这些交通工具从佛山经上海到北京共有多少种不同的走法？
（2）用大写英文字母A 、B 、C 、D 、E 、F 中的一个和1～9九个阿拉伯数字中的一个，组成形如A1，B2的方式给宿舍编号，总共能编出多少个不同的号码?
问题4：类比加法计数原理，归纳问题3和问题4的共同特点，我们可以得出什么结论？ 分步乘法计数原理：如果完成一件事需要两个步骤，第一步有m 种不同的方法，第2步有n 种不同的方法，那么完成这件事共有N m n =⨯种不同的方法．
这里的关键词是完成一件事，分步，乘法，每步中的任一种方法都不能独立的完成这件事，只有各个步骤都完成才算做完这件事情．
【设计意图】从加法原理过渡到乘法原理，让学生检验分步相乘的合理性与简洁性．让学生从感性体验上升到理性认识，通过独立思考、自主探究归纳出原理．
例2 某班有男生30名，女生24名，现要从中选出男、女生各一名代表班级参加公益活动，共有多少种不同的选法？
变式：某班有男生30名，女生24名，任课老师10名，现要从中选出男、女生各一名代表班级参加公益活动，还要从中选派1名老师作领队，组成代表队，共有多少种不同选法？ 推广：一般地，如果完成一件事要n 个步骤，第1步有1m 种不同的方法，第2步有2m 种不同的方法…，第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有种12n N m m m =⨯⨯⨯ 不同方法．
【设计意图】由于有了加法原理的一般形式的研究过程，这里可以直接引导学生运用类比得到乘法原理的一般形式．
问题5：分类加法计数原理与分步乘法计数原理的相同点和不同点是什么?
3．演练反馈，巩固提升
例3 书架第1层放有4本不同的数学书,第2层放有3本不同的语文书,第3层放有2本不同的化学书．
（1）从书架的第1，2，3层各取一本书，有多少种不同取法？
（2）从书架中任取1本书，有多少种不同的取法？
变式：从书架中取2本不同种类的书，有多少种不同的取法？
解题关键：①完成一件什么事情？②完成这件事有什么要求？③如何完成这件事，是“分类”还是“分步”？
【设计意图】设问循序渐进，突出强调解题时，弄清完成一件事的要求至关重要，只有这样才能正确区分“分类”和“分步”（区分的关键是对“完成一件事”的理解）．针对性练习：如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地有3条路；从甲地到丙地有4条路可以走，从丙地到丁地有2条路。
从甲地到丁地共有多少种不同地走法？
【学以致用】某地区的车牌号为“鄂A+2个大写字母+3个数学”（其中字母不能为O或I），问这样的车牌号有多少种？
【设计意图】运用乘法原理解决生活中的实际问题，同时与课前提出的问题相呼应．4、归纳小结，认知升华
你在本节课学到了什么？1.解决计数问题的基本方法：列举法、两个计数原理;2.选择两个原理解题的关键是：根据题目，弄清完成一件事的要求至关重要，只有这样才能正确区分“分类”和“分步”．
【设计意图】学生在谈收获的同时，就是学生主动建构知识的过程，加深了对本章知识的理解和思想方法的掌握．
5．随堂检测
1、某校高一有6个班，高二有8个班，从中选择1个班级担任周一早晨的升旗任务，一共有多少种不同选法？
2、某商场有6个门，某人从其中的任意一个门进入商场，再从其他的门出去，共有多少种不同的进出商场的方式？
3. 【2016全国卷2】如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（）（A）24 （B）18 （C）12 （D）9
6．课后检测，拓展铺垫
（1）阅读作业：阅读教材第6页至第10页；
（2）书面作业：教材第6页练习1，2，教材第10页练
习1
（3）（思考题）2014高考改革方案——改革考试科目设置：“考生总成绩由统一高考的语文、数学、外语3个科目成绩和高中学业水平考试中的3个科目成绩组成．计入总成绩的高中学业水平考试科目，由考生根据报考高校要求和自身特长，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物等6个科目中自主选择．”如果按照这样的报考要求，某位考生可以有多少种不同的选择？
附：板书设计（略）。
