5.7用二元一次方程组确定一次函数表达式

2015-2016学年度八年级数学上册教学工作计划一、学生基本情况分析八年级是初中学习过程中的关键时期，学生基础的好坏，直接影响到将来是否能升学。

八（五）班有少数同学基础特差，问题较严重，如杨子萧，肖培涛等。

要在本期获得理想成绩，老师和学生都要付出努力，查漏补缺，充分发挥学生学习主体作用，注重方法，培养能力。

在学生所学知识的掌握程度上，整个班级对简单的基础知识还不能有效的掌握，成绩较差，学生仍然缺少大量的推理题训练，推理的思考方法与写法上均存在着一定的困难，对几何有畏难情绪，相关知识学得不很透彻。

在学习态度上，绝大部分学生上课能全神贯注，积极的投入到学习中去，少数几个学生对数学处于一种放弃的心态，课堂作业，大部分学生能认真完成，少数学生需要教师督促，这一少数学生也成为老师的重点牵挂对象，课堂家庭作业，学生完成的质量要打折扣；学生的学习习惯养成还不理想，预习的习惯，进行总结的习惯，自习课专心致至学习的习惯，主动纠正(考试、作业后)错误的习惯，比较多的学生不具有，需要教师的督促才能做，陶行知说：教育就是培养习惯，这是本期教学中重点予以关注的。

二、教材分析第一章《勾股定理》的主要内容是勾股定理的探索和应用。

其中勾股定理的应用是本章教学的重点。

第二章《实数》主要内容是平方根、立方根的概念和求法，实数的概念和运算。

本章的内容虽然不多，但在初中数学中占有十分重要的地位。

本章的教学重点是平方根和算术平方根的概念和求法，教学难点是算术平方根和实数两个概念的理解。

第三章《位置与坐标》主要讲述平面直角坐标系中点的确定，会找出一些点的坐标。

第四章《一次函数》的主要内容是介绍函数的概念，以及一次函数的图像和表达式，学会用一次函数解决一些实际问题。

其中一次函数的图像的表达式是本章的重点和难点第五章《二元一次方程组》要求学会解二元一次方程组，并用二元一次方程组来解一些实际的问题第六章《数据的代表》主要讲述平均数和中位数、众数的概念，会求平均数和能找出中位数及众数。

两点之间线段最短、中点的概念 及表示、做一条线段等于已知线 段
角、顶点，平角、周角定义。度 分秒的转化、方位角的直接表示 。 度量法、叠合法。角分线的定义 及表示 多边形、对角线、正多边形、圆 、圆弧、圆心角，已知份数算圆 心角 一元一次方程定义、方程的解， 等式的基本性质
移项、去括号、去分母 体积、周长等量关系 成本、利润、利润率 用表格整理数据 用线段图整理数据
性质和判定，
1.1不等关系
不等式
第二章一 元一次不 等式（组
1.2不等式的基本性质 1.3不等式的解集 1.4一元一次不等式
图形表示、103×97
1.6完全平方公式
1.7整式的除法
单÷单、多÷单
相交线、平行线、对顶角、补角
2.1两条直线的位置关系
、余角、同角或等角的补（余） 角相等、垂直、垂足、垂线段最
第二章相
交线与平 行线 2.2探索直线平行的条件
短。网格中画垂线。 同位角、过直线外一点有且只有 一条直线与这条直线平行，平行 于同一条直线的两条直线平行。
3.1确定位置
第三章位 置的确定
3.2平面直角坐标系
3.3轴对称与坐标变化
八年级上册
勾股定理，网格计算面积建立等 量关系、用几何法验证勾股定理 勾股数、直角三角形的判定 蚂蚁路线、用尺子验证直角、用 方程的思想解决问题。 估算，无理数 算术平方根定义、平方根定义、 开平方
比较大小
实数、数轴上画实数 定义、最简二次根式。 方位角+距离、经纬度。电影院 象限及点坐标，坐标轴上点坐标 特点、建立直角坐标系 关于坐标轴对称的点的特征
三角形定义、表示，三角形三个 内角的和等于180°、直角、锐角 、钝角三角形定义、直角三角形 两个锐角互余。三角形任意两边 之和（差）大（小）于第三边。 三角形中线、重心，角分线，高 线。交于一点 全等图形，全等图形及三角形的 性质、

二元一次方程（组）与一次函数（基础）【学习目标】1.理解二元一次方程与一次函数的关系；2.能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解；3.能利用二元一次方程组确定一次函数的表达式.【要点梳理】【高清课堂：391660 一次函数与一次方程（组），知识要点】要点一、二元一次方程与一次函数的关系1.任何一个二元一次方程(0,)ax by c a b c +=≠、为常数都可以变形为-(0,)a c y x a b c b b=+≠、为常数即为一个一次函数，所以每个二元一次方程都对应一个一次函数.2.我们知道每个二元一次方程都有无数组解，例如：方程5x y +=我们列举出它的几组整数解有0,5;x y =⎧⎨=⎩5,0;x y =⎧⎨=⎩2,3x y =⎧⎨=⎩，我们发现以这些整数解为坐标的点（0，5），（5，0），（2，3）恰好在一次函数y ＝5+-x 的图像上，反过来，在一次函数x y -=5的图像上任取一点，它的坐标也适合方程5x y +=.要点诠释：1.以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图像上；2.一次函数图像上的点的坐标都适合相应的二元一次方程；3.以二元一次方程的解为坐标的所有点组成的图像与相应一次函数的图像相同.要点二、二元一次方程组与一次函数1. 二元一次方程组与一次函数每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标.要点诠释：1.两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点.如一次函数5y x =-与21y x =-图象的交点为(2，3)，则23x y =⎧⎨=⎩就是二元一次方程组521x y x y +=⎧⎨-=⎩的解. 2.当二元一次方程组无解时，方程组中两方程未知数的系数对应成比例，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.如二元一次方程组无解，则一次函数35y x =-与31y x =+的图象就平行，反之也成立.3.当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立.2. 图像法解二元一次方程组求二元一次方程组的解，可以转化为求两条直线的交点的横纵坐标（即二元一次方程组的图像解法.）所以，解二元一次方程组的方法有：代入消元法、加减消元法和图像法三种.要点诠释：利用图像法求二元一次方程组的解是近似解，要得到准确解，一般还是用代入消元法和加减消元法解方程组.相反，求两条直线的交点坐标可以转化为求这两条直线对应的函数表达式联立的二元一次方程组的解.要点三、用二元一次方程组确定一次函数表达式待定系数法：先设出函数表达式，再根据所给的条件确定表达式中未知数的系数，从而得到函数表达式的方法，叫做待定系数法.利用待定系数法解决问题的步骤：1.确定所求问题含有待定系数解析式.2.根据所给条件, 列出一组含有待定系数的方程.3.解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决.【典型例题】类型一、二元一次方程与一次函数1、一次函数的图象如图所示，则与此一次函数对应的二元一次方程为（）A．x﹣3y=3 B．x+3y=3 C．3x﹣y=1 D．3x+y=1【答案】A【解析】直线过点（3，0），（0，﹣1）．代入y=kx+b，得到二元一次方程组解方程组得到．∴一次函数解析式为，移向，并将系数化为1得到所对应的二元一次方程x﹣3y=3．【总结升华】每个二元一次方程都对应一个一次函数，因此当求出一次函数的解析式时即也就求出了相应二元一次方程.举一反三：【变式】已知3=x ，2-=y 和0=x ，1=y 是二元一次方程03=++by ax 的两个解，则一次函数b ax y +=的解析式为（ ）A.、32--=x y B 、x y = C.、3+-=x y D 、 33--=x y【答案】D类型二、二元一次方程组与一次函数2、（2016•临清市二模）如图，已知函数y=ax +b 和y=kx 的图象交于点P ，则根据图象可得，关于x 、y 的二元一次方程组的解是（ ）A ．B ．C ．D ．【思路点拨】由图可知：两个一次函数的交点坐标为（﹣3，1）；那么交点坐标同时满足两个函数的解析式，而所求的方程组正好是由两个函数的解析式所构成，因此两函数的交点坐标即为方程组的解．【答案】C.【解析】解：函数y=ax +b 和y=kx 的图象交于点P （﹣3，1），即x=﹣3，y=1同时满足两个一次函数的解析式．所以关于x ，y 的方程组的解是．【总结升华】本题考查了一次函数与二元一次方程组，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．举一反三：【变式】（2015春•昌乐）在教学活动中我们知道，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线，如图，已知直线y=ax ﹣6过点P （﹣4，﹣2），则关于x 、y 的方程组的解是 ．【答案与解析】解：∵x=﹣4时，y=x=﹣2，∴点P（﹣4，﹣2）在直线y=x上，∴方程组的解为．故答案为．3、（2014•东莞模拟）在同一坐标系中画出函数y=2x+1和y=﹣2x+1的图象，并利用图象写出二元一次方程组的解．【思路点拨】利用两点法作出两直线的图象，交点坐标即为方程组的解．【答案与解析】解：如图，两直线的交点坐标为（0，1），所以，方程组的解是．【总结升华】用一次函数图象解方程是解二元一次方程组的又一解法，反映了一次函数与二元一次方程组之间的联系，能直观地看到怎样用图形来表示方程组的解.类型三、用二元一次方程组确定一次函数表达式4、某游泳池内现存水1890（m3），已知该游泳池的排水速度是灌水速度的2倍．假设在换水时需要经历“排水﹣﹣清洗﹣﹣灌水”的过程，其中游泳池内剩余的水量y（m3）与换水时间t（h）之间的函数关系如图所示．根据图象解答下列问题：（1）根据图中提供的信息，求排水的速度及清洗该游泳池所用的时间；（2）求灌水过程中的y（m3）与换水时间t（h）之间的函数关系式，写出函数的定义域．【思路点拨】（1）由图象可知，该游泳池5个小时排水1890（m3），根据速度公式求出即可，求出灌水的速度和时间即可求出清洗该游泳池所用的时间；（2）设灌水过程中的y（m3）与换水时间t（h）之间的函数关系式是y=kt+b．将（11，0），（21，1890）代入y=kt+b求出即可．【答案与解析】解：（1）∵由图象可知，该游泳池5个小时排水1890（m3），∴该游泳池排水的速度是1890÷5=378（m3/h），由题意得该游泳池灌水的速度是378×=189（m3/h），由此得灌水1890m3需要的时间是1890÷189=10（h），∴清洗该游泳池所用的时间是21﹣5﹣10=6（h），（2）设灌水过程中的y（m3）与换水时间t（h）之间的函数关系式是y=kt+b．将（11，0），（21，1890）代入y=kt+b，得，解得：k=189，b=﹣2079，即灌水过程中的y（m3）与时间t（h）之间的函数关系式是y=189t﹣2079，（11＜t≤21）．【总结升华】本题考查了一次函数的应用，主要考查学生能否把实际问题转化成数学问题，题目比较典型，是一道比较好的题目．举一反三：【变式】为保护学生视力，课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的，研究表明：假设课桌的高度为ycm，椅子的高度为xcm，则y应是x的一次函数，下表列出两套符合条件的课桌椅的高度：第一套第二套椅子高度xcm 40.0 37.0桌子高度ycm 75.0 70.2（1）请确定y与x的函数关系式？（2）现有一把高39cm的椅子和一张高为78.2的课桌，它们是否配套？为什么？【答案】解：（1）设y=kx+b．根据题意得．解得．∴y=1.6x+11；（2）椅子和课桌不配套．∵当x=39时，y=1.6×39+11=73.4≠78.2，∴椅子和课桌不配套．。

妙招确定一次函数的表达式【摘要】一般情况下学生是利用二元一次方程组求一次函数表达式，在此基础上我们针对不同题型总结几种妙招，可减少运算量提高正确率。

【关键词】一次函数表达式妙招九年义务教育教科书（五·四学制）数学七年级上册（以下简称课本）第六章第2节的课题是一次函数，课本在148页写道：若两个变量x，y之间的对应关系可以写成y=kx+b（k,b为常数,k≠0）的形式，则称y是x的一次函数。

特别的，当b=0时，称y是x的正比例函数。

接下来第4节的课题是确定一次函数的表达式。

根据2011年版中华人民共和国教育部制定的义务教育数学课程标准（简称黄皮书）30页第2条一次函数课程中六条内容的前两条：（1）结合具体情况体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的表达式；（2）会利用待定系数法确定一次函数的表达式。

显而易见，对于尚未学习二元一次方程组的七年级学生而言，要迅速准确地确定一次函数的表达式，课本160页习题6.6被冠以数学理解第3题（见下文原题）的方法，就像旱地里的及时雨，特别好用，我们称之为妙招。

原题：某一次函数图象过点(1,3)、(2,5)，小明说，在式子y=kx+b中，x每增加1，y增加了k。

x从1变成2时，函数值从3变成5增加了2，因此该一次函数中k的值是2。

小明这种确定k的方法有道理吗？说说你的认识。

小明的方法从数值上看，当x=1,y=3时，3=k+b；当x=2,y=5时，5=2k+b；于是5-3=(2k+b)-(k+b),故k=2.从一次函数y=kx+b（k,b为常数，k≠0）中k的意义来看，就是自变量x每增加一个单位时，函数值y的变化值。

这个方法不仅适用于通过图象确定k值，也适用于一次函数应用题，我们认为是值得推广的妙招。

纵观威海市近五年来的中考试卷，结合近年来全国部分省市的中考试卷，我们总结归纳出以下几类确定一次函数表达式的问题，针对不同题型，尝试用妙招解答。

一、平行直线k相同确定一次函数的表达式题1.（2018年天津市初中毕业生学业考试16题）将直线y=x向上平移2个单位长度，平移后直线的解析式为_________。