点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用

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. 专业资料分享 . “点差法”巧解椭圆中点弦题型

一、重要结论及证明过程

在椭圆12222byax（a＞b＞0）中，若直线l与椭圆相交于M、N两点，点),(00yxP是弦MN的中点，弦MN所在的直线l的斜率为MNk，则2200abxykMN.

证明：设M、N两点的坐标分别为),(11yx、),(22yx，则有)2(.1)1(,1222222221221byaxbyax

)2()1(，得.02222122221byyaxx.2212121212abxxyyxxyy

又.22,21211212xyxyxxyyxxyykMN .22abxykMN

同理可证，在椭圆12222aybx（a＞b＞0）中，若直线l与椭圆相交于M、N两点，点),(00yxP是弦MN的中点，弦MN所在的直线l的斜率为MNk，则2200baxykMN.

二、典型例题

1 、设椭圆方程为1422yx，过点)1,0(M的直线l交椭圆于点A、B，O为坐标原点，点P满足)(21OBOAOP，点N的坐标为21,21.当l绕点M旋转时，求：

（1）动点P的轨迹方程； （2）||NP的最大值和最小值.

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. 专业资料分享 . 2 、在直角坐标系xOy中，经过点)2,0(且斜率为k的直线l与椭圆1222yx有两个不同的交点P和Q.（1）求k的取值范围；

点差法解决中点弦问题

考向一 利用点差法求中点弦所在直线方程

1、已知椭圆𝐶:𝑥23+𝑦2=1内有一条以点𝑃(1,13)为中点的弦𝐴𝐵，则直线𝐴𝐵的方程为 .

【答案】3𝑥+3𝑦−4=0

【解析】设𝐴(𝑥1，𝑦1)，𝐵(𝑥2，𝑦2)，则𝑥1+𝑥22=1，𝑦1+𝑦22=1

由𝐴，𝐵在椭圆上可得𝑥123+𝑦12=1，𝑥223+𝑦22=1,

两式相减可得，(𝑥1−𝑥2)(𝑥1+𝑥2)3+(𝑦1−𝑦2)(𝑦1+𝑦2)1=0∴𝐾𝐴𝐵=𝑦1−𝑦2𝑥1−𝑥2=−(𝑥1+𝑥2)3（𝑦1+𝑦2）=−23⋅23=−1

直线𝐴𝐵的方程为𝑦−13=−1(𝑥−1)即3𝑥+3𝑦−4=0.

2、已知双曲线2𝑥2−𝑦2=2，则以点𝐴(2,3)为中点的双曲线的弦所在的直线方程为______.

【答案】4𝑥−3𝑦+1=0

【解析】设以A（2，3）为中点的弦两端点为P1（x1，y1），P2（x2，y2），则x1+x2＝4，y1+y2＝6．

又2𝑥12−𝑦12=2，①2𝑥22−𝑦22=2，②

①﹣②得：2（x1+x2）（x1﹣x2）＝（y1+y2）（y1﹣y2），

又由对称性知x1≠x2，∴A（2，3）为中点的弦所在直线的斜率k=𝑦1−𝑦2𝑥1−𝑥2=2（𝑥1+𝑥2）𝑦1+𝑦2=2×46=43，

所以中点弦所在直线方程为y﹣3＝43（x﹣2），即4𝑥−3𝑦+1=0．故答案为：4𝑥−3𝑦+1=0．

3、椭圆𝑥236+𝑦29=1和点𝑃(4,2)，直线𝑙经过点𝑃且与椭圆交于𝐴,𝐵两点．当𝑃点恰好为线段𝐴𝐵的中点时，求𝑙的方程．

【答案】𝑥+2𝑦−8=0.

【解析】

由P的坐标，可得1636+49<1，可得P在椭圆内，设𝐴(𝑥1,𝑦1)，𝐵(𝑥2,𝑦2)，

直线与椭圆的位置关系之中点问题

一、知识点

1） 已知弦的中点坐标，利用点差法求弦所在直线的斜率；

2） 利用点差法求证：22ABOMbkka；

3） 利用点差法解决有关中点的问题．

二、教学过程

1 点差法

引例：已知椭圆22:143xyC，求以(1,1)P为中点的弦所在的直线方程．

分析1：设直线1(1)ykx，即1ykxk入椭圆方程22143xy，得到

222(43)8(1)4(1)120kxkkxk，

设弦的两端点1122(,),(,)AxyBxy，则1228(1)243kkxxk，得34k

所以所求的直线方程为3470xy

分析2：设设弦的两端点1122(,),(,)AxyBxy，则22113412xy，22223412xy，两式相减得：

121212123()()4()()0xxxxyyyy，所以121234yykxx，下同上

一般：

若椭圆2222:1(0)xyCabab上的弦AB的中点为00(,)Mxy，则仿上可知2020ABxbkay，这种方法称为点差法；

说明：

1） 通过点差法，我们可有弦的中点坐标直接求出弦的斜率，进一步我们可以发现关系：22ABOMbkka，揭示了两个斜率的关系。（并且可以发现与“若P为椭圆上任意一点，,MN为椭圆上关于原点对称的两个定点，则22PMPNbkka”道理想通）

2）点差法，先设弦端点的坐标，再将点的坐标代入椭圆方程，两式相减，利用两点的斜率公式，中点的坐标公式综合得到，这是一种与求弦长不同的处理方式，一般直线与椭圆位置关系的处理上一种是设直线方程，与椭圆联立方程的方法我们称为“线参数法”，一种是设点的坐标不联立方程的方法称为“点参数法”． 2 应用练习

1 椭圆2222:1(0)xyCabab上的弦AB的中点为(1,1)M，又34ABk，求椭圆的离心率．

数学

篇与中点弦有关的问题是有关圆锥曲线中的弦以及弦的中点问题.解答此类问题，通常需运用点差法.运用点差法解答与中点弦有关问题的步骤为：1.设出弦的两个端点的坐标：A(x1，y1)、B(x2，y2)；2.将两点的坐标代入圆锥曲线方程中，并将两式相减，得出含有x1＋x2、y1＋y2的式子；3.联立直线与圆锥曲线的方程得到一元二次方程，由根与系数的关系求得x1＋x2、y1＋y2；4.根据直线的斜率公式k=y1-y2x1-x2以及中点的坐标公式，建立中点和直线的斜率之间的联系；5.建立有关x1＋x2、y1＋y2的关系式，求得问题的答案.解答简单的中点弦问题，有时可省略第三步.下面举例加以说明.例1.若抛物线C：y2=x上存在不同的两点关于直线l：y=m()x-3对称，求实数m的取值范围.解：当m=0时，满足题意；当m≠0时，设抛物线C上关于直线l:y=m()x-3对称的两点分别为P()x1,y1，Q()x2,y2，中点M()x0,y0，可得y21=x1，y22=x2，将上述两式作差得：kPQ=y1-y2x1-x2=12y0，因为kPQ=-1m，可得y0=-m2，又中点M()x0，y0在直线l：y=m()x-3上，所以y0=m()x0-3，解得x0=52，因为中点M在抛物线y2=x的内部，所以y20b>0中的一条弦，该弦不垂直于x轴，AB的中点为P，O为椭圆的中心，证明：直线AB和直线OP的斜率之积是定值.证明：设A()x1,y1，B()x2,y2，且x1≠x2，可得x21a2+y21b2=1，x22a2+y22b2=1，将两式作差得：y1-y2x1-x2=-b2()x1+x2a2()y1+y2，得kAB=-b2()x1+x2a2()y1+y2，又kOP=y1+y2x1+x2，则kAB=-b2a2∙1kOP，得kAB∙kOP=-b2a2，该值为定值，即直线AB和直线OP的斜率之积是定值.解答本题主要运用了点差法.通过将两式作差，求得直线AB的斜率，并根据中点坐标公式和斜率公式求出直线OP的斜率，从而证明结论.例3.已知双曲线的方程为x2-12y2=1，过点B()1,1能否作直线l，使得l与双曲线分别交于P，Q两点，且PQ的中点为B.如果存在，请求出它的方程；若不存在，请说明理由.解：假设直线l存在，且P()x1，y1，Q()x2，y2，由中点公式可得x1+x2=2，y1+y2=2，由题意可得x21-12y21=1，x22-12y22=1，将两式作差可得2()x1-x2-()y1-y2=0，则直线l的斜率k=y1-y2x1-x2=2，因为P，Q，B三点在直线l上，所以直线l的方程为：y=2x-1，将y=2x-1与x2-12y2=1联立可得：2x2-4x+3=0，该方程没有实数根，因此不存在直线l.解答本题，需先通过作差求得直线PQ的斜率，然后根据P、Q、B三点在直线l上，求得直线l的方程，再根据直线与双曲线有交点，运用一元二次方程的根的判别式判断出是否存在直线l.虽然点差法是解答与中点弦有关问题的重要方法，但在运用时需注意两点：（1）运用根与系数的关系解题时易产生漏解；（2）有些直线的斜率不存在，需单独进行讨论.（作者单位：江苏省响水县第二中学）考点透视