高中不等式知识点总结(2020年九月整理).doc

高中基本不等式基础知识点
1. 不等式的基本概念：
不等式是一种数学表达式，用来表示两个数之间的大小关系。

它由两个数和一个不等号组成，如：a>b，表示a大于b。

2. 不等式的性质：
（1）交换律：如果a>b，则b<a；
（2）结合律：如果a>b，c>d，则a+c>b+d；
（3）分配律：如果a>b，c>0，则ac>bc；
（4）反转律：如果a>b，则1/a<1/b。

3. 不等式的解法：
（1）求解一元一次不等式：
解法：将不等式中的等号两边同时除以同一个非零数，然后比较结果，即可得出解。

（2）求解一元二次不等式：
解法：将不等式中的等号两边同时除以同一个非零数，然后求出不等式的两个根，再比较结果，即可得出解。

高中不等式知识点的归纳总结高中不等式知识点的归纳总结引言：不等式是高中数学中的重要内容，它在数学问题和实际应用中具有广泛的应用。

掌握不等式的基本概念和解题方法对于学生的数学能力发展至关重要。

本篇文章将对高中不等式的各个知识点进行归纳总结，并提供相关的解题技巧和实例，帮助读者在学习和应用不等式时更加深入理解。

一、不等式基本概念1. 不等式符号：大于、小于、大于等于、小于等于符号的含义和表示方法。

2. 不等式的解集：解集表示不等式中使不等式成立的数值范围。

3. 解不等式的方法：加减法、乘除法、绝对值法等常用的解不等式的方法。

二、一元一次不等式1. 一元一次不等式的定义和性质：介绍一元一次不等式形式、性质和解集的概念。

2. 一元一次不等式的解法：从加减法、乘除法到绝对值法的详细解题步骤和注意事项。

3. 实际问题中的应用：将实际问题转化为一元一次不等式，并求解实际问题。

三、一元二次不等式1. 一元二次不等式的定义和性质：介绍一元二次不等式形式、性质和解集的概念。

2. 一元二次不等式的解法：使用图像法、符号法、区间法等方法解一元二次不等式。

3. 实际问题中的应用：将实际问题转化为一元二次不等式，并求解实际问题。

四、多项式不等式1. 多项式不等式的定义和性质：介绍多项式不等式的定义、性质和解集的概念。

2. 多项式不等式的解法：使用图像法、符号法、区间法等方法解多项式不等式。

3. 实际问题中的应用：将实际问题转化为多项式不等式，并求解实际问题。

五、绝对值不等式1. 绝对值不等式的定义和性质：介绍绝对值不等式的定义、性质和解集的概念。

2. 绝对值不等式的解法：使用绝对值定义、分情况讨论、不等式的性质等方法解绝对值不等式。

3. 实际问题中的应用：将实际问题转化为绝对值不等式，并求解实际问题。

结论：高中不等式知识点的归纳总结对于学生的数学学习和应用具有重要的指导意义。

通过本文的介绍，读者可以清晰地了解不等式的基本概念、解题方法和实际应用，并通过解题实例加深对不等式知识点的理解和掌握。

高中不等式知识点高中阶段，不等式是数学中的重要内容之一。

不等式不仅在数学中有广泛的应用，也在生活中有很多实际意义。

下面我将重点介绍高中阶段学习不等式的一些重要知识点。

1. 不等式的基本性质：(1) 加减性质：对于不等式两边同时加减同一个数，不等号的方向保持不变；(2) 乘除性质：如果同一个正数或同一个负数同时乘或除不等式两边，不等号方向不变，如果同一个正数乘或除不等式两边，不等号的方向保持不变，如果同一个负数乘或除不等式两边，不等号的方向发生改变；(3) 倒置性质：不等号两边同时倒置，不等号的方向也要倒置。

2. 不等式的解集表示法：(1) 常用解集表示法：使用不等号来表示解集，如x>2表示x 大于2；(2) 区间表示法：使用数轴上的区间来表示解集，如[2, +∞)表示大于或等于2的所有实数。

3. 一元一次不等式：一元一次不等式指的是只含有一个未知数（一元）和一次方程的不等式。

对于一元一次不等式的求解，可以进行类似于方程的运算，通过移项和化简得出解集。

4. 一元二次不等式：一元二次不等式指的是含有一个未知数（一元）以及二次项（平方项）的不等式。

对于一元二次不等式的求解，可以通过变换成二次方程，求出方程的解集，再用数轴上的区间来表示解集。

5. 系统不等式：系统不等式指的是多个不等式组成的一个问题。

对于系统不等式的求解，可以通过图像法，通过画出各个不等式的直线图像，找出满足全部条件的交集部分来表示解集。

6. 约束条件的不等式：在一些实际问题中，不仅有不等式的限制条件，还有其他的约束条件。

对于这种情况，需要将不等式的解集与其他条件进行比较来确定最终的解集。

不等式作为数学中的重要内容，不仅仅是应试的一部分，更是对学生逻辑思维和数学思考能力的考验。

通过学习不等式，可以培养学生的分析问题和解决问题的能力，使他们在解决实际问题时能够灵活运用数学知识。

在生活中，不等式也有很多实际应用，如求解最大值、最小值问题、经济学中的供求关系等等。

高考不等式知识点总结高考数学中不等式是一个非常重要的知识点，占据着较大的比重。

下面是对高考数学中不等式知识点的完整总结：一、基本概念和性质1.不等关系：对于实数a和b，如果a=b，则称a等于b；如果a≠b，则称a不等于b。

当a不等于b时，可以断定a大于b（记作a>b），或者a小于b（记作a<b）。

2.不等式：不等式是由不等关系得到的等式，包括大于等于不等式（a≥b）和小于等于不等式（a≤b）。

3.基本性质：(1)若a>b且b>c，则a>c；(2) 若a>b且c>0，则ac>bc；(3) 若a>b且c<0，则ac<bc；(4)若a>b且c≥0，则a+c>b+c；(5)若a>b且c≤0，则a+c>b+c。

4.解不等式：与解方程类似，解不等式是指寻找满足不等式的解的过程。

5.不等式的性质：对于不等式两边同时加减一个相同的数，不等号方向不变；对于不等式两边同时乘除一个同号的数，不等号方向不变；对于不等式两边同时乘除一个异号的数，不等号方向改变。

二、一元一次不等式1.解一元一次不等式：求解一元一次不等式的关键是确定x的取值范围。

在解过程中，可以通过加减法、乘除法保持不等式不变。

2.不等式组：由多个不等式组成的方程组，称为不等式组。

求解不等式组的关键是确定每个不等式的集合和并集。

三、一元二次不等式1.解一元二次不等式：求解一元二次不等式的关键是确定不等式的根及开口方向。

可以根据系数的正负、零点的位置和变号法等来确定解的范围。

2.二次函数与一元二次不等式：通过对一元二次不等式的解法，可以进一步理解和应用二次函数的性质。

四、绝对值不等式1.绝对值不等式的性质：对于绝对值不等式，可以利用绝对值的性质将其拆分为多个实数的不等式。

2.解绝对值不等式的关键是分情况讨论。

将绝对值不等式中的绝对值拆分出来，分别讨论绝对值内外的情况，从而得到解的范围。

2一、不等式及其解法：《不等式》知识点1. 一元二次不等式： 化标准式（即二次项系数为正） ⇒ “大于取两边，小于取中间”如：解不等式（1） x 2 + 2x - 3 ≤ 0 ；（2） - x 2 + 2x + 1 ≤ 0 解：（1）原不等式等价于 (x + 3)(x - 1) ≤ 0 ， 方程(x + 3)(x - 1) = 0 的根为- 3 ，1 故解集为{x }- 3 ≤ x ≤ 1}. （2）原不等式等价于 x 2 - 2x - 1 ≥ 0 ， 方程 x 2 - 2x - 1 = 0 的根为1+ ，1 - ，故解集为{x }x ≤ 1 - 2或x ≥ 1 + 2}.2. 高次不等式：“穿根法”. 化标准式（即每一项的 x 系数为都为正） ⇒ 穿根 （从右上方出发，依次穿过每个根，如遇“重根”，奇穿偶回）(x + 2)(x - 1)(x - 1)2 如：解不等式（1） x (x + 1)(x - 1) ≤ 0 ； （2） x - 3≥ 0 ； （3） (x + 1)(x + 2) < 0 解：（1）解集为{x x < -1或0 ≤ x ≤ 1}； （2）解集为{x - 2 ≤ x ≤ 1或x > 3； （3）解集为[-2,-1]3. 分式不等式：移项⇒ 通分. 如：解不等式 2 ≤ 1. 解：移项后 2 - 1 ≤ 0 ，通分后 2 - x≤ 0 ，化标准式为 x - 2 ≥ 0 ，故解集为{x x < 0或x ≥ 2} x x x x4. 绝对值不等式： x < a (a > 0) 的解集为{x - a < x < a }；x > a (a > 0) 的解集为{x x > a 或x < -a } 二、1．重要不等式： a 2 + b 2 ≥ 2ab (a , b ∈ R ) ,当且仅当 a = b 时，等号成立变形： ab ≤ a 2 + b 2 2应用： a 2 + b 2 为定值时，求 ab 的最大值.2．基本不等式： ≤ a + b 2(a > 0, b > 0) 当且仅当 a = b 时，等号成立 变形一： a + b ≥ 2 a + b 变形二： ab ≤ ( )2 2应用： ab 为定值时，求 a + b 的最小值.应用： a + b 为定值时，求 ab 的最大值. 注：利用基本不等式求最值的条件：一正、二定、三相等.三、线性规划问题 1. 能画出二元一次不等式组表示的平面区域.2. 相关概念：约束条件、目标函数、可行域、可行解、最优解.3. 目标函数常见类型：（1） 求线性目标函数 z = Ax + By 的最值时，先令 z = 0 ，画出直线l ： Ax + By = 0 ，①若 B > 0 ，则l 向上平移， z 变大，向下平移， z 变小；②若 B < 0 ，则l 向上平移， z 变小，向下平移， z 变大y - b （2） “斜率型”目标函数 z =x - a ， z 表示可行域内动点(x , y ) 与定点(a , b ) 连线的斜率.（3）“距离型”目标函数 z = (x - a )2 + ( y - b )2 = ( 的距离的平方. (x - a )2 + ( y - b )2 )2 ， z 表示可行域内动点(x , y ) 到定点(a , b )2 ab ab。

不等式知识点总结不等式是数学中的一个重要概念，它在解决各种数学问题和实际生活中的优化问题中都有着广泛的应用。

下面我们来对不等式的相关知识点进行一个全面的总结。

一、不等式的定义用不等号（大于>、小于<、大于等于≥、小于等于≤）连接两个数或代数表达式的式子，叫做不等式。

例如：3x ＋ 2 ＞ 5 ，y 1 ≤ 4 等都是不等式。

二、不等式的基本性质1、对称性：如果 a ＞ b ，那么 b ＜ a ；如果 a ＜ b ，那么 b ＞ a 。

例如：若 5 ＞ 3 ，则 3 ＜ 5 。

2、传递性：如果 a ＞ b 且 b ＞ c ，那么 a ＞ c ；如果 a ＜ b 且 b＜ c ，那么 a ＜ c 。

比如：已知 7 ＞ 5 ，5 ＞ 3 ，则 7 ＞ 3 ；若 2 ＜ 4 ，4 ＜ 6 ，则 2＜ 6 。

3、加法性质：如果 a ＞ b ，那么 a ＋ c ＞ b ＋ c ；如果 a ＜ b ，那么 a ＋ c ＜ b ＋ c 。

例如：因为 8 ＞ 5 ，所以 8 ＋ 2 ＞ 5 ＋ 2 ，即 10 ＞ 7 。

4、乘法性质：如果 a ＞ b 且 c ＞ 0 ，那么 ac ＞ bc ；如果 a ＜ b 且 c ＞ 0 ，那么ac ＜ bc 。

如果 a ＞ b 且 c ＜ 0 ，那么 ac ＜ bc ；如果 a ＜ b 且 c ＜ 0 ，那么ac ＞ bc 。

例如：若 3 ＞ 1 ，且 2 ＞ 0 ，则 3×2 ＞ 1×2 ，即 6 ＞ 2 ；若 3 ＞ 1 ，但－2 ＜ 0 ，则 3×（－2) ＜ 1×（－2) ，即－6 ＜－2 。

三、一元一次不等式1、定义：含有一个未知数，且未知数的次数是 1 的不等式叫做一元一次不等式。

例如：2x 5 ＞ 0 。

2、解法：去分母（若有分母）。

去括号。

移项：将含有未知数的项移到一边，常数项移到另一边。

合并同类项。

系数化为 1 ：注意当系数为负数时，不等号方向要改变。

选修4--5知识点1、不等式的基本性质①（对称性）a b b a >⇔>②（传递性）,a b b c a c >>⇒>③（可加性）a b a c b c >⇔+>+（同向可加性）d b c a d c b a +>+⇒>>,（异向可减性）d b c a d c b a ->-⇒<>,④（可积性）bc ac c b a >⇒>>0,⑤（同向正数可乘性）0,0a b c d ac bd >>>>⇒> （异向正数可除性）0,0a b a b c d c d >><<⇒>⑥（平方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>⇒>∈>且 ⑦（开方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>⇒>∈>且 ⑧（倒数法则）b a b a b a b a 110;110>⇒<<<⇒>>2、几个重要不等式 ①()222a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. 变形公式：22.2a b ab +≤②（基本不等式） 2a b ab +≥ ()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）.变形公式： 2a b a b +≥ 2.2a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭ 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”. ③（三个正数的算术—几何平均不等式）33a b c abc ++≥()a b c R +∈、、（当且仅当a b c ==时取到等号）.④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈，（当且仅当a b c ==时取到等号）.⑤3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>> （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑥0,2b a ab a b >+≥若则（当仅当a=b 时取等号）0,2b a ab a b <+≤-若则（当仅当a=b 时取等号） ⑦b a n b n a m a m b a b <++<<++<1，（其中000)a b m n >>>>，， 规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小. ⑧220;a x a x a x a x a >>⇔>⇔<->当时，或 ⑨绝对值三角不等式.a b a b a b -≤±≤+ 3、几个着名不等式 ①平均不等式：2211222a b a b ab a b --++≤≤≤+，,a b R +∈（，当且仅当a b =时取""=号）.（即调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均）.变形公式：②幂平均不等式：③二维形式的三角不等式：④二维形式的柯西不等式：22222()()()(,,,).a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈当且仅当ad bc =时，等号成立. ⑤三维形式的柯西不等式：⑥一般形式的柯西不等式：⑦向量形式的柯西不等式：设,αβ是两个向量，则,αβαβ⋅≤当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使k αβ=时，等号成立.⑧排序不等式（排序原理）：设1212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤为两组实数.12,,...,n c c c 是12,,...,n b b b 的任一排列，则12111122......n n n n n a b a b a b a c a c a c -+++≤+++1122....n n a b a b a b ≤+++（反序和≤乱序和≤顺序和），当且仅当12...n a a a ===或12...n b b b ===时，反序和等于顺序和.⑨琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数）若定义在某区间上的函数()f x ,对于定义域中任意两点1212,(),x x x x ≠有12121212()()()()()().2222x x f x f x x x f x f x f f ++++≤≥或则称f(x)为凸（或凹）函数.4、不等式证明的几种常用方法常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等.常见不等式的放缩方法： ①舍去或加上一些项，如22131()();242a a ++>+ ②将分子或分母放大（缩小）， 如211,(1)kk k <- 211,(1)k k k >+ 2212,21k k k k k k =⇒<++- *12(,1)1k N k k k k >∈>++等.5、一元二次不等式的解法求一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或 2(0,40)a b ac ≠∆=->解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数.二判：判断对应方程的根.三求：求对应方程的根.四画：画出对应函数的图象.五解集：根据图象写出不等式的解集.规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.6、高次不等式的解法：穿根法.分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集.7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则()0()()0()()()0()0()0()f x f x g x g x f x g x f x g x g x >⇔⋅>⋅≥⎧≥⇔⎨≠⎩ （<≤“或”时同理）规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解 ⑴2()0()(0)()f x f x a a f x a ≥⎧>>⇔⎨>⎩⑵2()0()(0)()f x f x a a f x a ≥⎧<>⇔⎨<⎩ ⑶2()0()0()()()0()0()[()]f x f x f x g x g x g x f x g x >⎧≥⎧⎪>⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩或 ⑷2()0()()()0()[()]f x f x g x g x f x g x ≥⎧⎪<⇔>⎨⎪<⎩ ⑸()0()()()0()()f x f x g x g x f x g x ≥⎧⎪>⇔≥⎨⎪>⎩ 规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解.9、指数不等式的解法：⑴当1a >时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔>⑵当01a <<时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔< 规律：根据指数函数的性质转化.10、对数不等式的解法⑴当1a >时, ()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩⑵当01a <<时, ()0log ()log ()()0.()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩规律：根据对数函数的性质转化.11、含绝对值不等式的解法： ⑴定义法：(0).(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩ ⑵平方法：22()()()().f x g x f x g x ≤⇔≤⑶同解变形法，其同解定理有： ①(0);x a a x a a ≤⇔-≤≤≥ ②(0);x a x a x a a ≥⇔≥≤-≥或 ③()()()()()(()0)f xg x g x f x g x g x ≤⇔-≤≤≥④()()()()()()(()0)f x g x f x g x f x g x g x ≥⇔≥≤-≥或规律：关键是去掉绝对值的符号.12、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集.13、含参数的不等式的解法解形如20ax bx c ++>且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有： ⑴讨论a 与0的大小；⑵讨论∆与0的大小；⑶讨论两根的大小.14、恒成立问题⑴不等式20ax bx c ++>的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：①当0a =时 0,0;b c ⇒=>②当0a ≠时00.a >⎧⇒⎨∆<⎩ ⑵不等式20ax bx c ++<的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：①当0a =时0,0;b c ⇒=<②当0a ≠时00.a <⎧⇒⎨∆<⎩ ⑶()f x a <恒成立max ();f x a ⇔<()f x a ≤恒成立max ();f x a ⇔≤⑷()f x a >恒成立min ();f x a ⇔>()f x a ≥恒成立min ().f x a ⇔≥15、线性规划问题常见的目标函数的类型：①“截距”型：;z Ax By =+ ②“斜率”型：y z x =或;y b z x a -=-③“距离”型：22z x y =+或22;z x y =+22()()z x a y b =-+-或22()().z x a y b =-+-在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问题简单化.。

数学高中不等式知识点总结高中不等式是数学中的重要内容，在数学学习中有着重要的地位。

不等式作为数学中的一个概念，与等式类似，是数学中一种重要的推理等式。

不等式能够用来描述数的大小关系，包含等于、大于、小于、不等于等关系。

高中不等式的知识点主要包括：不等式的定义、解不等式的方法、不等式的性质、不等式方程的解法以及不等式的应用等。

1.不等式的定义：不等式是数学中用不等号表示的一种数的大于或小于关系。

不等式中的”不等号“主要包括大于号（>）、小于号（<）、大于等于号（≥）、小于等于号（≤）、不等于号（≠）等。

2.不等式的解法：解不等式的方法主要有图形法和代数法两种。

（1）图形法：可以借助图形来得到不等式的解集。

如在数轴上标明不等式的解集。

（2）代数法：借助数学运算的性质，对不等式进行等价变形，得出不等式的解集。

解不等式时常用的运算性质有：加减、乘除等。

- 加减性：如果将一个不等式的两边都加上或减去一个相同的数，不等式的大小关系保持不变。

即如果a > b，则有a + c > b + c（其中c为常数），同样，如果a < b，则有a + c < b+ c。

- 乘除性：如果将一个不等式的两边都乘以或除以一个正数，不等式的大小关系保持不变。

即如果a > b 且c > 0，则有ac > bc，同样，如果a > b 且c < 0，则有ac < bc。

3.不等式的性质：不等式在数学中有一些特殊的性质。

（1）加法性：如果一个不等式两边都加上相同的正数，不等式的大小关系不变。

（2）乘法性：如果一个不等式两边都乘以相同的正数，不等式的大小关系不变。

但若两边都乘以或除以一个负数，则不等号方向会发生改变。

（3）传递性：如果a > b 且 b > c，则有a > c。

同样，如果a < b 且 b < c，则有a < c。

4.不等式方程的解法：不等式方程是不等式和等式相结合的方程，解不等式方程时可以先将不等式方程转化为等式方程，再根据等式方程的解法求解。

高中不等式知识点总结摘要：一、不等式的基本概念1.不等式的定义2.不等式的符号表示二、不等式的基本性质1.对称性2.传递性3.可加性4.乘法原则三、常见不等式的解法1.作差比较法2.作商比较法3.韦达定理四、实际应用1.生活中的应用2.数学中的应用正文：一、不等式的基本概念不等式是数学中的一种基本概念，用于表示两个数的大小关系。

不等式的定义很简单，就是一个比较式，用符号">"或"<"来表示大小关系。

例如，x > y表示x大于y，x < y表示x小于y。

二、不等式的基本性质不等式有许多基本性质，这里我们介绍四个常见的性质。

1.对称性：如果x > y，则y < x。

这就是说，不等式两边同时改变符号，不等式的方向不会改变。

2.传递性：如果x > y，且y > z，则x > z。

这就是说，如果一个数大于另一个数，而另一个数又大于第三个数，那么第一个数一定大于第三个数。

3.可加性：如果x > y，且a > 0，则x + a > y + a。

这就是说，如果一个数大于另一个数，而加上的一个正数，那么第一个数一定大于第二个数。

4.乘法原则：如果x > y，且m > 0，则x * m > y * m。

这就是说，如果一个数大于另一个数，而乘上的一个正数，那么第一个数一定大于第二个数。

三、常见不等式的解法有许多方法可以解不等式，这里我们介绍三种常用的方法。

1.作差比较法：如果x > y，则x - y > 0。

我们可以通过作差来比较两个数的大小。

2.作商比较法：如果x > y，则x / y > 1。

我们可以通过作商来比较两个数的大小。

3.韦达定理：如果x > y，则(x + y) / 2 > (x - y) / 2。

我们可以通过韦达定理来比较两个数的大小。

完整版)高中数学不等式知识点总结1、不等式的基本性质不等式有以下基本性质：①对称性：a>b等价于b<a。

②传递性：a>b。

b>c则a>c。

③可加性：a>b等价于a+c>b+c，其中c为任意实数。

同向可加性：a>b，c>d，则a+c>b+d。

异向可减性：a>b，cb-d。

④可积性：a>b，c>0则ac>bc，a>b，c<0则ac<bc。

⑤同向正数可乘性：a>b>0，c>d>0则ac>bd。

异向正数可除性：a>b>0，0bc。

a>b>0，则a^n>b^n，其中n为正整数且n>1.⑦开方法则：a>b>0，则√a>√b。

⑧倒数法则：a>b>0，则1/a<1/b。

2、几个重要不等式以下是几个重要的不等式：a/b+b/a>=2，当且仅当a=b时取等号。

a^2+b^2>=2ab，当且仅当a=b时取等号。

a+b/2>=√ab，当且仅当a=b时取等号。

a+b+c/3>=∛abc，当且仅当a=b=c时取等号。

a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca，当且仅当a=b=c时取等号。

a+b+c>=3√abc，当且仅当a=b=c时取等号。

a/b+b/c+c/a>=3，当且仅当a=b=c时取等号。

a-b|<=|a-c|+|c-b|，对任意实数a,b,c成立。

3、几个著名不等式以下是几个著名的不等式：a-b|<=√(a^2+b^2)，对任意实数a,b成立。

a+b)/2<=√(a^2+b^2)，对任意实数a,b成立。

a+b/2<=√(a^2+1)√(b^2+1)，对任意实数a,b成立。

a+b)/2<=√(a^2-ab+b^2)，对任意实数a,b成立。

a+b)/2>=√ab，对任意正实数a,b成立。

高中不等式知识点总结一、知识点1.不等式性质比较大小方法：(1)作差比较法(2)作商比较法不等式的基本性质①对称性：a > bb > a②传递性: a > b, b > ca > c③可加性: a > b a + c > b + c④可积性: a > b, c > 0ac > bc;a > b, c < 0ac < bc;⑤加法法则: a > b, c > d a + c > b + d⑥乘法法则：a > b > 0, c > d > 0 ac > bd⑦乘方法则：a > b > 0, an > bn (n∈N)⑧开方法则：a > b > 0,2.算术平均数与几何平均数定理：(1)如果a、b∈R,那么a2 + b2 ≥2ab(当且仅当a=b时等号)(2)如果a、b∈R+,那么(当且仅当a=b时等号)推广：如果为实数，则重要结论1)如果积xy是定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2;(2)如果和x+y是定值S，那么当x=y时，和xy有最大值S2/4。

3.证明不等式的常用方法：比较法：比较法是最基本、最重要的方法。

当不等式的两边的差能分解因式或能配成平方和的形式，则选择作差比较法;当不等式的两边都是正数且它们的商能与1比较大小，则选择作商比较法;碰到绝对值或根式，我们还可以考虑作平方差。

综合法:以已知或已证明的不等式为基础，根据不等式的性质推导出待证明的不等式。

平均不等式常用于综合法的标度。

分析方法:不等式两边的关系不够清晰。

通过寻找不等式成立的充分条件，对待证明的不等式进行逐步转化，直到找到一个容易证明或已知成立的结论。

4.不等式的解法(1) 不等式的有关概念同解不等式:如果两个不等式有相同的解集，那么这两个不等式称为同解不等式。

同解变形:当一个不等式转化为另一个不等式时，如果这两个不等式是同解不等式，那么这种变形称为同解变形。

n a 不等式知识点归纳:一、不等式的概念与性质1、实数的大小顺序与运算性质之间的关系：a > b ⇔ a - b > 02、不等式的性质： （1） a > b ⇔ b < aa <b ⇔ a - b < 0 ， a < b ⇔ b > a a = b ⇔ a - b = 0 〔反对称性〕（2） a > b , b >c ⇒ a > c ， a < b , b < c ⇒ a < c 〔传递性〕（3） a > b ⇒ a + c > b + c ，故a + b > c ⇒ a > c - b 〔移项法那么〕推论： a > b , c > d ⇒ a + c > b + d 〔同向不等式相加〕（4） a > b , c > 0 ⇒ ac > bc ， a > b , c < 0 ⇒ ac < bc 推论 1： a > b > 0, c > d > 0 ⇒ ac > bd 推论 2： a > b > 0 ⇒ a n > b n 推论 3： a > b > 0 ⇒ > 不等式的性质是解、证不等式的根底，对于这些性质，关键是正确理解和熟练运用，要弄清每一个条件和结论，学会对不等式进行条件的放宽和加强。

3、常用的根本不等式和重要的不等式〔1〕 a ∈ R , a 2 ≥ 0, a ≥ 0 当且仅当a = 0, 取“=〞 〔2〕 a , b ∈ R , 那么a 2 + b 2 ≥ 2ab 〔3〕 a , b ∈ R + ，那么a + b ≥ 2〔4〕 a 2 + b 22 ≤ ( a + b )2 24、最值定理:设 x , y > 0,由x + y ≥ 2〔1〕如积 xy = P (定值〕，那么积x + y 有最小值2〔2〕如积 x + y = S (定值〕，那么积xy 有最大值〔即:积定和最小，和定积最大。

1．不等式的解法（1）同解不等式（(1)与（2）与同解，（3；2．一元一次不等式3．一元二次不等式或分4．分式不等式分式不等式的等价变形：)()(xgxf>0⇔f(x)·g(x)>0，)()(xgxf≥0⇔⎩⎨⎧≠≥⋅)()()(xgxgxf。

5．简单的绝对值不等式解绝对值不等式常用以下等价变形：|x|<a⇔x2<a2⇔－a<x<a(a>0)，|x|>a⇔x2>a2⇔x>a或x<－a(a>0)。

一般地有：|f(x)|<g(x)⇔－g(x)<f(x)<g(x)，|f(x)|>g(x)⇔f(x)>g (x)或f(x)<g(x)。

67．对数不等式1）时，精品文档精品文档（28．线性规划（1）平面区域一般地，二元一次不等式0Ax By C ++>在平面直角坐标系中表示0Ax By C ++=某一侧所有点组成的平面区域。

我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线。

当我们在坐标系中画不等式0A x B y C ++≥所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把直线画成实线。

说明：由于直线0Ax By C ++=同侧的所有点的坐标(,)x y 代入Ax By C ++，得到实数符号都相同，所以只需在直线某一侧取一个特殊点00(,)x y ，从00Ax By C ++的正负即可判断0Ax By C ++>表示直线哪一侧的平面区域。

特别地，当0C ≠时，通常把原点作为此特殊点。

（2）有关概念引例：设2z x y =+，式中变量,x y 满足条件4335251x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，求z 的最大值和最小值。

由题意，变量,x y 所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域。

由图知，原点(0,0)不在公共区域内，当0,0x y ==时，20z x y =+=，即点(0,0)在直线0l ：20x y +=上，作一组平行于0l 的直线l ：2x y t +=，t R ∈，可知：当l 在0l 的右上方时，直线l 上的点(,)x y 满足20x y +>，即0t >，而且，直线l 往右平移时，t 随之增大。

完整版高中数学不等式知识点总结第一篇：基本不等式和二元平均数不等式一、基本不等式：基本不等式又称柯西不等式，是数学中重要的基本工具，对于解决不等式问题有重大意义。

基本不等式的形式如下：$$(a_1^2 + a_2^2 + … + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + … + b_n^2) \geqslant (a_1b_1 + a_2b_2 + … + a_nb_n)^2$$其中$a_1,a_2,…,a_n$ 和$b_1,b_2,…,b_n$ 是任意实数。

基本不等式的证明过程多种多样，这里给出一种简单易懂的证明方法：设$x=a_1b_1+a_2b_2+…+a_nb_n$，则 $x^2$ 可以表示为：$$x^2={(a_1b_1+a_2b_2+…+a_nb_n)}^2$$$$={a_1}^2{b_1}^2+{a_2}^2{b_2}^2+…+{a_n}^2{b_n}^ 2+2a_1b_1a_2b_2+2a_1b_1a_3b_3+…+2a_{n-1}b_{n-1}a_nb_n$$又因为：$${a_1}^2+{a_2}^2+…+{a_n}^2\geqslant2a_1a_2+2a_1a_3+…+2a_{n-1}a_n$$$${b_1}^2+{b_2}^2+…+{b_n}^2\geqslant2b_1b_2+2b_1b_3+…+2b_{n-1}b_n$$因此：$${a_1}^2{b_1}^2+{a_2}^2{b_2}^2+…+{a_n}^2{b_n}^2 \geqslant 2a_1b_1a_2b_2+2a_1b_1a_3b_3+…+2a_{n-1}b_{n-1}a_nb_n$$故：$$x^2={a_1}^2{b_1}^2+{a_2}^2{b_2}^2+…+{a_n}^2{b_ n}^2+2a_1b_1a_2b_2+2a_1b_1a_3b_3+…+2a_{n-1}b_{n-1}a_nb_n$$$$\leqslant({a_1}^2+{a_2}^2+…+{a_n}^2)({b_1}^2+{ b_2}^2+…+{b_n}^2)$$即为所求基本不等式。

不等式基本知识概念1、不等式的基本性质①（对称性）a b b a >⇔>②（传递性）,a b b c a c >>⇒>③（可加性）a b a c b c >⇔+>+（同向可加性）d b c a d c b a +>+⇒>>,（异向可减性）d b c a d c b a ->-⇒<>,④（可积性）bc ac c b a >⇒>>0,bc ac c b a <⇒<>0,⑤（同向正数可乘性）0,0a b c d ac bd >>>>⇒> （异向正数可除性）0,0a b a b c d c d >><<⇒>⑥（平方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>⇒>∈>且 ⑦（开方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>⇒>∈>且 ⑧（倒数法则）b a b a b a b a 110;110>⇒<<<⇒>>2、几个重要不等式 ①()222a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. 变形公式：22.2a b ab +≤②（基本不等式） 2a b ab +≥ ()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）.变形公式： 2a b a b +≥ 2.2a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭ 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.③（三个正数的算术—几何平均不等式）33a b c abc ++≥()a b c R +∈、、（当且仅当a b c ==时取到等号）.④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈，（当且仅当a b c ==时取到等号）.⑤3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>> （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑥0,2b a ab a b >+≥若则（当仅当a=b 时取等号）0,2b a ab a b <+≤-若则（当仅当a=b 时取等号） ⑦b a n b n a m a m b a b <++<<++<1，（其中000)a b m n >>>>，，规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小. ⑧220;a x a x a x a x a >>⇔>⇔<->当时，或22.x a x a a x a <⇔<⇔-<< ⑨绝对值三角不等式.a b a b a b -≤±≤+3、几个著名不等式 ①平均不等式：2211222a b a b ab a b --++≤≤≤+，,a b R +∈（，当且仅当a b =时取""=号）.（即调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均）.变形公式：222;22a b a b ab ++⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭ 222().2a b a b ++≥ ②幂平均不等式：222212121...(...).n n a a a a a a n +++≥+++③二维形式的三角不等式：22222211221212()()x y x y x x y y +++≥-+-1122(,,,).x y x y R ∈④二维形式的柯西不等式：22222()()()(,,,).a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈当且仅当ad bc =时，等号成立. ⑤三维形式的柯西不等式：2222222123123112233()()().a a ab b b a b a b a b ++++≥++⑥一般形式的柯西不等式： 2222221212(...)(...)n n a a a b b b ++++++21122(...).n n a b a b a b ≥+++⑦向量形式的柯西不等式： 设,αβ是两个向量，则,αβαβ⋅≤当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使k αβ=时，等号成立.⑧排序不等式（排序原理）：设1212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤为两组实数.12,,...,n c c c 是12,,...,n b b b 的任一排列，则12111122......n n n n n a b a b a b a c a c a c -+++≤+++1122....n n a b a b a b ≤+++（反序和≤乱序和≤顺序和），当且仅当12...n a a a ===或12...n b b b ===时，反序和等于顺序和.⑨琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数）若定义在某区间上的函数()f x ,对于定义域中任意两点1212,(),x x x x ≠有12121212()()()()()().2222x x f x f x x x f x f x f f ++++≤≥或则称f(x)为凸（或凹）函数.4、不等式证明的几种常用方法常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等. 常见不等式的放缩方法： ①舍去或加上一些项，如22131()();242a a ++>+ ②将分子或分母放大（缩小）， 如211,(1)kk k <- 211,(1)k k k >+ 2212,21k k k k k k =⇒<++- *12(,1)1k N k k k k >∈>++等.5、一元二次不等式的解法求一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或 2(0,40)a b ac ≠∆=->解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数.二判：判断对应方程的根.三求：求对应方程的根.四画：画出对应函数的图象.五解集：根据图象写出不等式的解集.规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.6、高次不等式的解法：穿根法.分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集.7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则()0()()0()()()0()0()0()f x f x g x g x f x g x f x g x g x >⇔⋅>⋅≥⎧≥⇔⎨≠⎩ （<≤“或”时同理）规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解 ⑴2()0()(0)()f x f x a a f x a ≥⎧>>⇔⎨>⎩⑵2()0()(0)()f x f x a a f x a ≥⎧<>⇔⎨<⎩ ⑶2()0()0()()()0()0()[()]f x f x f x g x g x g x f x g x >⎧≥⎧⎪>⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩或 ⑷2()0()()()0()[()]f x f x g x g x f x g x ≥⎧⎪<⇔>⎨⎪<⎩ ⑸()0()()()0()()f x f x g x g x f x g x ≥⎧⎪>⇔≥⎨⎪>⎩ 规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解.9、指数不等式的解法：⑴当1a >时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔>⑵当01a <<时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔< 规律：根据指数函数的性质转化.10、对数不等式的解法⑴当1a >时, ()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩⑵当01a <<时, ()0log ()log ()()0.()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩规律：根据对数函数的性质转化.11、含绝对值不等式的解法： ⑴定义法：(0).(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩ ⑵平方法：22()()()().f x g x f x g x ≤⇔≤⑶同解变形法，其同解定理有： ①(0);x a a x a a ≤⇔-≤≤≥ ②(0);x a x a x a a ≥⇔≥≤-≥或 ③()()()()()(()0)f xg x g x f x g x g x ≤⇔-≤≤≥ ④()()()()()()(()0)f x g x f x g x f x g x g x ≥⇔≥≤-≥或规律：关键是去掉绝对值的符号.12、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集.13、含参数的不等式的解法解形如20ax bx c ++>且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有： ⑴讨论a 与0的大小；⑵讨论∆与0的大小；⑶讨论两根的大小.14、恒成立问题⑴不等式20ax bx c ++>的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：①当0a =时 0,0;b c ⇒=> ②当0a ≠时00.a >⎧⇒⎨∆<⎩ ⑵不等式20ax bx c ++<的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：①当0a =时0,0;b c ⇒=< ②当0a ≠时00.a <⎧⇒⎨∆<⎩ ⑶()f x a <恒成立max ();f x a ⇔<()f x a ≤恒成立max ();f x a ⇔≤⑷()f x a >恒成立min ();f x a ⇔>()f x a ≥恒成立min ().f x a ⇔≥15、线性规划问题常见的目标函数的类型：①“截距”型：;z Ax By =+ ②“斜率”型：y z x =或;y b z x a -=-③“距离”型：22z x y =+或22;z x y =+ 22()()z x a y b =-+-或22()().z x a y b =-+-在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问题简单化.。