第2章 控制系统的状态空间描述

第2章 控制系统的时域和频域描述
验证上述解的正确性的方法是将其代入微分方程 中去 。例如,将式（2.37）代入方程（2.35） 中,并根据 Leibnitz法 则 , 得 到
对于矩阵情况,系统描述为
(2.38)
(2.39)
与标量的情况类似,方程两边同时乘以积分因子e-At,得到
第2章 控制系统的时域和频域描述
假设非线性系统的一般形式为
(2. 16)
F(X,U,t)包括系统所有的非线性项 。系统的状态变
量和输入可以表示成
第2章 控制系统的时域和频域描述
(2. 17)
X0为非线性系统的参考点处的状态和输入 。将式
（2. 17）代入式（2.16）,得到
(2. 18)
第2章 控制系统的时域和频域描述
将上式在参考点附近进行一阶Taylor展开,对于其 中第i个等式,其一阶近似为
(2.43)
第2章 控制系统的时域和频域描述
将其转化成离散状态方程形式
X［(k+1)T］=G(T)X(kT)+H(T)U(kT) (2.44) 其中,T是采样周期,G和H是常值矩阵 。为了方便,方程
（2.44）经常写成下面的形式
Xk+1=GXk+Huk
(2.45)
上述方程表示了系统状态随离散时间的迭代关系,如果
第2章 控制系统的时域和频域描述
（3）将上一步的矩阵展开，有
（4）得到Xa关于Xd 的解,将它代入到微分方程中
,可得
第2章 控制系统的时域和频域描述
（5）将新的系统写成标准形式
(2. 15)
第2章 控制系统的时域和频域描述
例2.4 将下面的系统表示成标准的状态方程形式。

Φ(t1 t2 ) e A(t1 t2 ) 1 2 1 k 2 I A(t1 t2 ) A (t1 t2 ) A (t1 t2 ) k 2! k! 1 2 2 1 2 2 ( I At1 A t1 )(I At2 A t2 ) 2! 2! Φ(t1 )Φ(t2 )
12t 2 0 2 2 2 t 1 2! 0 2 2 n t
1 2 2 1 t t 0 1 1 2! 1 2 2 1 2 t 2 t 2! 1 2 2 0 1 n t n t 2!
1
1 2 1 m 1 t t 2! (m 1)! t （2-21） 1 2 1 t 2! t 1 mm
证明 因
12 1 1 0 1 2 ,A A 0 1 1 1 mm 21
x(t ) Φ(t ) x(0),t 0
上式表明齐次状态方程的解，在初始状 态确定情况下，由状态转移矩阵惟一确定，
即状态转移矩阵包含了系统自由运动的全部
信息，完全表征了系统的动态特性。
定义2.1
线性定常系统状态转移矩阵 Φ(t t0 ) 是
满足矩阵微分方程和初始条件
(t t ) AΦ (t t ), t t Φ 0 0 0 Φ (t0 t0 ) I
(2-3)
(t ) b1 2b2t kbk t x
( k 1)

k
Ax (t ) A(b0 b1t b2t bk t )
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
比较上式两边t的同次幂可得

第一章 控制系统的状态空间描述3-1-1 求图示网络的状态空间表达式，选取c u 和L i 为状态变量。

（1）1R 2Ro题3-1-1图1(2）o题3-1-1图2【解】： (1)设状态变量:11c u x =、22c u x =而∙=111c u C i 、∙=222c u C i根据基尔霍夫定律得：1122111)]([c c c c i u R R u u u C u +-+=∙22221c c c u R u C u +=∙整理得[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡210112122221212121211001111x x u y u C R x x C R C R C R C R R R R x x i(2)设状态变量：L i x =1、c u x =2 而∙=c L u C i根据基尔霍夫定律得：c L L i u i L i R u ++⋅=∙整理得[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡21021211001011x x u y u L x x CL L R x x i3-1-2 如图所示电枢电压控制的它励直流电动机，输入为电枢电压a u 输出为电动机角速度ω，电动机轴上阻尼系数为f ，转动惯量J ，试列写状态方程和输出方程。

L题3-1-2图【解】：设状态变量为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡ωa i x x 21 其中a i 为流过电感上的电流，ω电动机轴上的角速度。

电动机电枢回路的电压方程为：b a a a a a e i R i L u +⋅+=∙b e 为电动机反电势。

电动机力矩平衡方程为L D M f J M ++=∙ωω由电磁力矩和反电势的关系，有ωe b c e =，a M D i c M =式中e c 为电动机反电势系数，M c 为电动机的转矩系数。

J 为电动机轴上粘性摩擦系数，f 电动机轴上等效转动惯量。

§2-2-4 矩阵指数函 数求法2例2-3求法3
3.拉氏变换法:Φ(t) eAt L 1[(sI A)1] §2-2 矩阵
指数函数
例
2
4.A
0 2
13,(sI
A)
s 2
1 s 3
求法3例2-4
(sI A)1
1 sI A
adj(sI A)
s2
1 3s 2
s 3
2
1 s
s3
(
s
1)
•
x(t) Ax(t)x,(0) x0
t et et e2t
t
et
2 et
2
e2
t
t et 3 et 4 e2t
两 边 取 拉 氏 变 换:sX(s) x0 AX(s)
(sI A)X(s) x0 X(s)(sI A)1x0
x(t) L 1[(sI A)1]x0
eAt L 1[(sI A)1]
转 移 阵 为 eAt或 eA(tt0 ),其 元 一 般 或 x(t)Φ (t t0 )x(t0 )
为 t的 函 数即, 为 时 变 函 数 阵 ,
意 味 x(t)随 t不 断在 状 态 空
间 转 移 .称 为 状 态 转 移矩 阵 ,
例
:已
知
x
(
0
)
x1 x2
0 0
和
Φ
(
t1
)
则
x
(
t1
)
x1 x2
ab0 ab1t ab2t2 abk1tk1 abktk
比 较 系 数 得:b1 ab0 ax0;
§2-1线性
b2
1 2
a
b1