【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语 1.1 集合的概念与运算文1．集合与元素(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于两种，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*(或N＋)Z Q R2.集合间的基本关系关系自然语言符号语言Venn图子集集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若a∈A，则a∈B)A⊆B(或B⊇A)真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中A B(或B A)集合相等集合A，B中元素相同或集合A，B互为子集A＝B集合的并集集合的交集集合的补集图形符号A∪B＝{x|x∈A或x∈B}A∩B＝{x|x∈A且x∈B}∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}(1)若有限集A中有n个元素，则A的子集个数为2n个，非空子集个数为2n－1个，真子集有2n－1个．(2)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．( ×)(2)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.( ×)(3){x|x≤1}＝{t|t≤1}．( √)(4)对于任意两个集合A，B，关系(A∩B)⊆(A∪B)恒成立．( √)(5)若A∩B＝A∩C，则B＝C.( ×)(6)含有n个元素的集合有2n个真子集．( ×)1．(2015·四川)设集合A＝{x|－1＜x＜2}，集合B＝{x|1＜x＜3}，则A∪B＝____________. 答案(－1,3)解析借助数轴知A∪B＝{x|－1＜x＜3}．2．已知A＝{x|x2－3x＋2<0}，B＝{x|1<x<a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是________．答案a≥2解析因为A＝{x|x2－3x＋2<0}＝{x|1<x<2}⊆B，所以a≥2.3．(2015·陕西改编)设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lg x≤0}，则M∪N＝________.答案[0,1]解析由题意得M＝{0,1}，N＝(0,1]，故M∪N＝[0,1]．4．(教材改编)已知集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，则∁R(A∪B)＝________.答案{x|x≤2或x≥10}解析∵A∪B＝{x|2<x<10}，∴∁R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}．5．已知集合A＝{(x，y)| x，y∈R，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y∈R，且y＝x}，则A∩B 的元素的个数为______．答案 2解析集合A表示圆心在原点的单位圆，集合B表示直线y＝x，易知直线y＝x和圆x2＋y2＝1相交，且有2个交点，故A∩B中有2个元素．题型一集合的含义例1 (1)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是________．(2)已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．答案 (1)5 (2)－32解析 (1)当x ＝0，y ＝0时，x －y ＝0；当x ＝0，y ＝1时，x －y ＝－1； 当x ＝0，y ＝2时，x －y ＝－2；当x ＝1，y ＝0时， x －y ＝1； 当x ＝1，y ＝1时，x －y ＝0；当x ＝1，y ＝2时， x －y ＝－1； 当x ＝2，y ＝0时，x －y ＝2；当x ＝2，y ＝1时， x －y ＝1；当x ＝2，y ＝2时，x －y ＝0.根据集合中元素的互异性知，B 中元素有0，－1，－2,1,2，共5个．(2)由题意得m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3，则m ＝1或m ＝－32，当m ＝1时， m ＋2＝3且2m 2＋m ＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；当m ＝－32时，m ＋2＝12，而2m 2＋m ＝3，故m ＝－32. 思维升华 (1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型集合；(2)集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．(1)设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5}，M ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B }，则M 中的元素个数为_________________________________．(2)设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，ba，b ，则b －a ＝________.答案 (1)4 (2)2解析 (1)因为集合M 中的元素x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B ，所以当b ＝4时，a ＝1,2,3，此时x ＝5,6,7.当b ＝5时，a ＝1,2,3，此时x ＝6,7,8. 所以根据集合元素的互异性可知，x ＝5,6,7,8. 即M ＝{5,6,7,8}，共有4个元素．(2)因为{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，a ≠0， 所以a ＋b ＝0，得ba＝－1， 所以a ＝－1，b ＝1，所以b －a ＝2. 题型二 集合间的基本关系例2 (1)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为________．(2)已知集合A ＝{x |x 2－2 017x ＋2 016<0}，B ＝{x |x <a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是________．答案 (1)4 (2)[2 016，＋∞)解析 (1)由x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2， ∴A ＝{1,2}．由题意知B ＝{1,2,3,4}．∴满足A ⊆C ⊆B 的集合C 可以是{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}共4个． (2)由x 2－2 017x ＋2 016<0，解得1<x <2 016，故A ＝{x |1<x <2 016}，又B ＝{x |x <a }，A ⊆B ，如图所示，得a ≥2 016.思维升华 (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解；(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系．常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题．(1)已知集合A ＝{x |y ＝ln(x ＋3)}，B ＝{x |x ≥2}，则集合A ，B 之间的关系是________．(2)(2015·杭州七校上学期期末联考)已知集合A ＝{x |x ＝x 2－x ，x ∈R }，B ＝{1，m }，若A ⊆B ，则m 的值为________．答案 (1)B A (2)2解析 (1)A ＝{x |x >－3}，B ＝{x |x ≥2}，结合数轴可得B A .(2)由题意，若x ∈A ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 2－2，x ≥0，x 2－2≥0，解得x ＝2.由A ⊆B ，得x ∈B ，所以m ＝2.题型三 集合的基本运算 命题点1 集合的运算例3 (1)设全集U ＝{x ∈N *|x <6}，集合A ＝{1,3}，B ＝{3,5}，则∁U (A ∪B )＝________. (2)已知集合A ＝{x |x －2≥0}，B ＝{x |0<log 2x <2}，则∁R (A ∩B )＝____________. 答案 (1){2,4} (2){x |x <2或x ≥4}解析 (1)由题意可知U ＝{1,2,3,4,5}，A ∪B ＝{1,3,5}，所以∁U (A ∪B )＝{2,4}．(2)∵A ＝{x |x ≥2}，B ＝{x |1<x <4}，∴A ∩B ＝{x |x ≥2}∩{x |1<x <4}＝{x |2≤x <4}，∁R (A ∩B )＝{x |x <2或x ≥4}．命题点2 利用集合运算求参数例4 (1)已知集合A ＝{1,3，m }，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ，则m ＝________.(2)(2015·北京西城区一模)设集合A ＝{0,1}，集合B ＝{x |x >a }，若A ∩B ＝∅，则实数a 的取值范围是________________________________________________________________________． 答案 (1)0或3 (2)a ≥1解析 (1)由A ∪B ＝A 得B ⊆A ，有m ∈A ，所以有m ＝m 或m ＝3，即m ＝3或m ＝1或m ＝0，又由集合中元素的互异性知m ≠1. (2)由A ∩B ＝∅可得，0∉B,1∉B ，则a ≥1.思维升华 (1)一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn 图表示；集合中的元素若是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化．(1)(2015·天津)已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A ＝{2,3,5,6}，集合B＝{1,3,4,6,7}，则集合A ∩(∁U B )＝________.(2)已知集合A ＝{x |x >2或x <－1}，B ＝{x |a ≤x ≤b }，若A ∪B ＝R ，A ∩B ＝{x |2<x ≤4}，则b a＝_________________________________. 答案 (1){2,5} (2)－4解析 (1)由题意知，∁U B ＝{2,5,8}， 则A ∩(∁U B )＝{2,5}．(2)由A ＝{x |x >2或x <－1}，A ∪B ＝R ，A ∩B ＝{x |2<x ≤4}，可得B ＝{x |－1≤x ≤4}，则a ＝－1，b ＝4，故b a＝－4. 题型四 集合的新定义问题 例5 若集合A 具有以下性质： (Ⅰ)0∈A,1∈A ；(Ⅱ)若x ∈A ，y ∈A ，则x －y ∈A ，且x ≠0时，1x∈A .则称集合A 是“好集”．下列命题中： (1)集合B ＝{－1,0,1}是“好集”； (2)有理数集Q 是“好集”；(3)设集合A 是“好集”，若x ∈A ，y ∈A ，则x ＋y ∈A . 其中正确的个数是________． 答案 2解析 (1)集合B 不是“好集”，假设集合B 是“好集”，因为－1∈B,1∈B ，所以－1－1＝－2∈B ，这与－2∉B 矛盾．(2)有理数集Q 是“好集”，因为0∈Q,1∈Q ，对任意的x ∈Q ，y ∈Q ，有x －y ∈Q ，且x ≠0时，1x∈Q ，所以有理数集Q 是“好集”．(3)因为集合A 是“好集”，所以0∈A ，若x ∈A ，y ∈A ，则0－y ∈A ，即－y ∈A ，所以x －(－y )∈A ，即x ＋y ∈A .思维升华 解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；(2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质．已知全集U ＝{a 1，a 2，a 3，a 4}，集合A 是集合U 的恰有两个元素的子集，且满足下列三个条件：①若a 1∈A ，则a 2∈A ；②若a 3∉A ，则a 2∉A ；③若a 3∈A ，则a 4∉A .则集合A ＝________.(用列举法表示) 答案 {a 2，a 3}解析 假设a 1∈A ，则a 2∈A ，则由若a 3∉A ，则a 2∉A 可知，a 3∈A ，与题意不符，∴假设不成立；假设a 4∈A ，则a 3∉A ，则a 2∉A ，且a 1∉A ，与题意不符，∴假设不成立，故集合A ＝{a 2，a 3}(经检验知符合题意)．1．遗忘空集致误典例 设集合A ＝{0，－4}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，x ∈R }．若B ⊆A ，则实数a 的取值范围是________．易错分析 集合B 为方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的实数根所构成的集合，由B ⊆A ，可知集合B 中的元素都在集合A 中，在解题中容易忽视方程无解，即B ＝∅的情况，导致漏解． 解析 因为A ＝{0，－4}，所以B ⊆A 分以下三种情况：①当B ＝A 时，B ＝{0，－4}，由此知0和－4是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的两个根，由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4a ＋12－4a 2－1>0，－2a ＋1＝－4，a 2－1＝0，解得a ＝1；②当B ≠∅且B A 时，B ＝{0}或B ＝{－4}， 并且Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0， 解得a ＝－1，此时B ＝{0}满足题意；③当B ＝∅时，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0，解得a <－1. 综上所述，所求实数a 的取值范围是a ≤－1或a ＝1. 答案 (－∞，－1]∪{1}温馨提醒 (1)根据集合间的关系求参数是高考的一个重点内容．解答此类问题的关键是抓住集合间的关系以及集合元素的特征．(2)已知集合B ，若已知A ⊆B 或A ∩B ＝∅，则考生很容易忽视A ＝∅而造成漏解．在解题过程中应根据集合A 分三种情况进行讨论．[方法与技巧]1．集合中的元素的三个特征，特别是无序性和互异性在解题时经常用到．解题后要进行检验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化．2．对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号能否取到．3．对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图．这是数形结合思想的又一体现．[失误与防范]1．解题中要明确集合中元素的特征，关注集合的代表元素(集合是点集、数集还是图形集)．对可以化简的集合要先化简再研究其关系运算．2．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解．3．解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系．4．Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心．A组专项基础训练(时间：30分钟)1．已知A＝{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}，若1∈A，则实数a＝________.答案0解析若a＋2＝1，则a＝－1，此时(a＋1)2＝0，a2＋3a＋3＝1，与集合元素的互异性矛盾；若(a＋1)2＝1，则a＝0或－2.当a＝0时，a＋2＝2，a2＋3a＋3＝3，A＝{1,2,3}；当a＝－2时，a＋2＝0，a2＋3a＋3＝1，与集合元素的互异性矛盾；若a2＋3a＋3＝1，则a＝－1或a＝－2.当a＝－1时，a＋2＝1，与集合元素的互异性矛盾，当a＝－2时，a＋2＝0，(a＋1)2＝1，与集合元素的互异性矛盾．综上可知，只有a＝0符合要求．2．设集合A＝{1,2,4}，集合B＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈A}，则集合B中的元素个数为_____________________________________．答案 6解析 ∵a ∈A ，b ∈A ，x ＝a ＋b ，∴x ＝2,3,4,5,6,8. ∴B 中共有6个元素．3．(2015·课标全国Ⅰ)已知集合A ＝{x |x ＝3n ＋2，n ∈N }，B ＝{6,8,10,12,14}，则集合A ∩B 中元素的个数为________． 答案 2解析 A ＝{…，5,8,11,14,17，…}，B ＝{6,8,10,12,14}，故集合A ∩B 中有两个元素． 4．已知x ∈R ，y >0，集合A ＝{x 2＋x ＋1，－x ，－x －1}，集合B ＝{－y ，－y2，y ＋1}．若A＝B ，则x 2＋y 2的值为________． 答案 5解析 由x ∈R ，y >0，可知x 2＋x ＋1>0，－y <0，－y 2<0，y ＋1>0，且－x －1<－x ，－y <－y2.因为A ＝B .所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋1＝y ＋1，－x －1＝－y ，－x ＝－y2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.所以A ＝{3，－1，－2}，B ＝{－2，－1,3}，符合条件． 故x 2＋y 2＝12＋22＝5.5．已知集合A ，B 均为全集U ＝{1,2,3,4}的子集，且∁U (A ∪B )＝{4}，B ＝{1,2}，则A ∩(∁U B )＝________. 答案 {3}解析 ∵U ＝{1,2,3,4}，∁U (A ∪B )＝{4}， ∴A ∪B ＝{1,2,3}．又∵B ＝{1,2}，∴{3}⊆A ⊆{1,2,3}， 又∁U B ＝{3,4}，∴A ∩(∁U B )＝{3}．6．设集合A ＝{3，x 2}，B ＝{x ，y }，若A ∩B ＝{2}，则y 的值为____个． 答案 2解析 由A ∩B ＝{2}得x 2＝2，∴x ＝±2，故y ＝2.7．已知集合M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3,5}，P ＝M ∩N ，则P 的子集共有________个． 答案 4解析 ∵M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3,5}， ∴M ∩N ＝{1,3}．∴M ∩N 的子集共有22＝4个．8．已知集合A ＝{x |－1<x <0}，B ＝{x |x ≤a }，若A ⊆B ，则a 的取值范围为__________．答案 [0，＋∞)解析 用数轴表示集合A ，B (如图)，由A ⊆B 得a ≥0.9．已知集合A ＝{x |x 2－2x ＋a >0}，且1∉A ，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－∞，1]解析 ∵1∉{x |x 2－2x ＋a >0}，∴1∈{x |x 2－2x ＋a ≤0}，即1－2＋a ≤0，∴a ≤1.10．已知U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －2＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，B ∩(∁U A )＝∅，则m 的可能取值组成的集合为________． 答案 {0,1，－12}解析 A ＝{－1,2}，B ＝∅时，m ＝0；B ＝{－1}时，m ＝1；B ＝{2}时，m ＝－12.11．已知集合A ＝{(0,1)，(1,1)，(－1,2)}，B ＝{(x ，y )|x ＋y －1＝0，x ，y ∈Z }，则A ∩B ＝________.答案 {(0,1)，(－1,2)}解析 A 、B 都表示点集，A ∩B 即是由A 中在直线x ＋y －1＝0上的所有点组成的集合，代入验证即可．12．已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝______，n ＝________. 答案 －1 1解析 A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}＝{x ∈R |－5<x <1}， 由A ∩B ＝(－1，n )可知m <1，则B ＝{x |m <x <2}，画出数轴，可得m ＝－1，n ＝1.B 组 专项能力提升 (时间：15分钟)13．已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝log 2x }，B ＝{(x ，y )|y ＝x 2－2x }，则A ∩B 的元素有________个． 答案 2解析 在同一直角坐标系下画出函数y ＝log 2x 与y ＝x 2－2x 的图象，如图所示：由图可知y ＝log 2x 与y ＝x 2－2x 图象有两个交点， 则A ∩B 的元素有2个．14．全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－3x ＋2>0}，B ＝{x |x －a ≤0}，若∁U B ⊆A ，则实数a 的取值范围是__________． 答案 [2，＋∞)解析 A ＝{x |x 2－3x ＋2>0}＝(－∞，1)∪(2，＋∞)，B ＝{x |x ≤a }，则∁U B ＝(a ，＋∞)． ∵(a ，＋∞)⊆(－∞，1)∪(2，＋∞)，∴a ≥2. 15．定义在R 上的运算：xy ＝x －52－y.若关于x 的不等式x (x ＋3－a )>0的解集为A ，B＝[－3,3]，若A ∩B ＝∅，则a 的取值范围是________． 答案 [4，＋∞) 解析 x(x ＋3－a )>0⇔x －5x ＋1－a<0.由A ∩B ＝∅得，当x ∈[－3,3]时，x －5x ＋1－a≥0或x ＋1－a ＝0，由于在[－3,3]上，x －5<0，所以x ＋1－a ≤0，即a ≥x ＋1在[－3，3]上恒成立，所以a ≥4.16．已知全集U ＝{－2，－1,0,1,2}，集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝2n －1，x ，n ∈Z ，则∁U A ＝________. 答案 {0}解析 因为A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝2n －1，x ，n ∈Z ， 当n ＝0时，x ＝－2；n ＝1时不合题意；n ＝2时，x ＝2；n ＝3时，x ＝1； n ≥4时，x ∉Z ；n ＝－1时，x ＝－1； n ≤－2时，x ∉Z .故A ＝{－2,2,1，－1}，又U ＝{－2，－1,0,1,2}，所以∁U A ＝{0}．17．已知集合A ＝{x |1≤x <5}，C ＝{x |－a <x ≤a ＋3}．若C ∩A ＝C ，则a 的取值范围是________． 答案 (－∞，－1]解析 因为C ∩A ＝C ，所以C ⊆A .①当C ＝∅时，满足C ⊆A ，此时－a ≥a ＋3，得a ≤－32；②当C ≠∅时，要使C ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧ －a <a ＋3，－a ≥1，a ＋3<5，解得－32<a ≤－1. 综上，a 的取值范围是(－∞，－1]． 18．已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝a }，B ＝{(x ，y )|y ＝b x ＋1，b >0，b ≠1}，若集合A ∩B 只有一个真子集，则实数a 的取值范围是________．答案 (1，＋∞)解析 由于集合B 中的元素是指数函数y ＝b x 的图象向上平移一个单位长度后得到的函数图象上的所有点，要使集合A ∩B 只有一个真子集，那么y ＝b x ＋1(b >0，b ≠1)与y ＝a 的图象只能有一个交点，所以实数a 的取值范围是(1，＋∞)．。
