2019届高考数学专题09线性规划

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1页 培优点九 线性规划

1．简单的线性规划问题应注意取点是否取得到

例1：已知实数x，y满足24240xyxyy，则32zxy的最小值是（ ）

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】C

【解析】不等式组对应的可行域如图所示：

由当动直线322zyx过2,0时，z取最小值为6，故选C．

2．目标函数为二次式

例2：若变量x，y满足120xxyxy，则22zxy的最大值为（ ）

A．10 B．7 C．9 D．10

【答案】D

【解析】目标函数22zxy可视为点到原点距离的平方，

所以只需求出可行域里距离原点最远的点即可，作出可行域，

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2页

观察可得最远的点为1,3B，所以2max10zOB．

3．目标函数为分式

例3：设变量x，y满足约束条件22022010xyxyxy，则11ysx的取值范围是（ ）

A．31,2 B．1,12 C．1,2 D．1,22

【答案】D

【解析】所求11ysx可视为点,xy与定点1,1连线的斜率．

从而在可行域中寻找斜率的取值范围即可，

可得在1,0处的斜率最小，即min011112k，

在0,1处的斜率最大，为max11201k，

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3页 结合图像可得11ysx的范围为1,22．故选D．

4．面积问题

例4：若不等式组03434xxyxy所表示的平面区域被直线4ykx分成面积相等的两部分，则k的值为（ ）

A．73 B．37 C．173 D．317

【答案】C

【解析】在坐标系中作出可行域，

如图所示为一个三角形，动直线4ykx为绕定点0,4的一条动直线，

设直线交AC于M，若将三角形分为面积相等的两部分，则ABMBCMSS△△，

观察可得两个三角形高相等，所以AMMC，即M为AC中点，

联立直线方程可求得40,3A，1,1C，则17,26M，代入直线方程可解得173k．

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一、单选题

1．若实数x，y满足0010xyxy，则zxy的最大值为（ ）

A．2 B．1 C．0 D．1

【答案】B

【解析】由图可知，可行域为封闭的三角区域，

由zxy在y轴上的截距越小，目标函数值越大，

所以最优解为1,0，所以z的最大值为1，故选B．

2．已知实数x，y满足线性约束条件3023004xyxyx，则其表示的平面区域的面积为（ ）

A．94 B．274 C．9 D．272

【答案】B

【解析】满足约束条件3023004xyxyx，如图所示：

对点增分集训 .

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可知14x范围扩大，实际只有03x，

其平面区域表示阴影部分一个三角形，其面积为132733224S．故选B．

3．已知实数x，y满足122022xyxyxy，若zxay只在点43,处取得最大值，则a的取值范围是（ ）

A．1, B．2, C．1, D．12,

【答案】C

【解析】由不等式组122022xyxyxy作可行域如图，

联立22 1xyxy，解得43C,,当0a时，目标函数化为zx，

由图可知，可行解43,使zxay取得最大值，符合题意； .

6页 当0a时，由zxay，得1zyxaa，此直线斜率大于0，

当在y轴上截距最大时z最大，

可行解43,为使目标函数zxay的最优解，1a符合题意；

当0a时，由zxay，得1zyxaa，此直线斜率为负值，

要使可行解43,为使目标函数zxay取得最大值的唯一的最优解，

则10a，即0a．

综上，实数a的取值范围是1,．故选C．

4．已知实数x，y满足约束条件222020xxyxy，则5xzy的取值范围为（ ）

A．2433, B．4233,

C．3324U,, D．3342U,,

【答案】C

【解析】画出不等式表示的可行域，如图阴影三角形所示，

由题意得22A,，24B,．

由5xzy得105yzx，

所以1z可看作点xy,和50P,连线的斜率，记为k， .

7页 由图形可得PAPBkkk，

又202253PAk，404253PBk，所以2433k，

因此32z或34z，所以5xzy的取值范围为3324U,,．故选C．

5．若实数x，y满足约束条件22390xyxyx，则22zxy的最大值是（ ）

A．10 B．4 C．9 D．10

【答案】D

【解析】由实数x，y满足约束条件22390xyxyx作出可行域，如图：

∵03A,，02C,，∴OAOC，

联立2 239xyxy，解得31B,，

22xy的几何意义为可行域内动点与原点距离的平方，其最大值2223110OB．

故选D．

6．已知点12A,，若动点Pxy,的坐标满足02xyxxy，则AP的最小值为（ ）

A．2 B．1 C．22 D．5

【答案】C .

8页 【解析】作出可行域如图：

观察图象可知，AP最小距离为点A到直线20xy的距离，

即max1222211AP，故选C．

7．x，y满足约束条件20220220xyxyxy，若zyax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（ ）

A．12或1 B．2或12 C．2或1 D．2或1

【答案】D

【解析】由题意作出约束条件20220220xyxyxy，平面区域，

将zyax化为yaxz，z相当于直线yaxz的纵截距，

由题意可得，yaxz与22yx或与2yx平行， .

9页 故2a或1-；故选D．

8．若x，y满足不等式组40240

4xyxyx，则215yx成立的概率为（ ）

A．1556 B．1116 C．58 D．38

【答案】A

【解析】作出不等式组40240

4xyxyx表示的平面区域，如图所示：

因为011yyxx表示点,Pxy与定点1,0连线的斜率，

所以215yx成立的点,Pxy只能在图中ADE△的内部（含边界），

所以由几何概型得：215yx成立的概率为ADEABCSS△△，

由104xyx，得40A,，由2104xyx，得44B,，

由40240xyxy，得4833C,，由21510yxxy，解得181077D,，

由2154yxx，解得42E,，所以141644233ABCS△，1181042277ADES△， .

10页 所以215yx成立的概率为1015716563ADEABCSS△△，故选A．

9．若x，y满足不等式组20510080xyxyxy，则32zxy的最小值为（ ）

A．7 B．6 C．265 D．4

【答案】C

【解析】画出可行城如图所示，

目标函数可化为1322zyx，共图象是对称轴为3x的两条射线，

由3 5100xxy得2z取得最小值时的最优解为3135xy．

即min132633255z．故选C．

10．已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组0222xyxy给定．若()Mxy,为D上动点，点A的坐标为2,1．则zOMOAuuuvuuv的最大值为（ ）

A．42 B．32 C．4 D．3

【答案】C

【解析】如图所示：2zOMOAxyuuuvuuv，即2yxz， .

11页 首先做出直线0l：2yx，将0l平行移动，

当经过B点时在y轴上的截距最大，从而z最大．

因为2,2B，故z的最大值为4．故选C．

11．若不等式组20510080xyxyxy所表示的平面区域内存在点00xy,，使0020xay成立，则实数a的取值范围是（ ）

A．1, B．,1 C．,1 D．1,

【答案】B

【解析】作出不等式20510080xyxyxy，可行域如图：

∵平面区域内存在点00,Mxy，满足0020xay，