《常考二级结论及其应用》理科版

常考二级结论及其应用纵观中学数学教材,基本上是由题组成的(除了部分概念的介绍),而高考试题大部分都源于教材.编教材离不开题,授课离不开题,学数学离不开题,考试更离不开题.实际上高考试题大都是通过对教材例题和习题加工、改造、引申、推广而成的,不仅如此,试题的表现方式和语言表达也尽可能与教材保持一致,使考生有一种似曾相识的感觉,所以我们要仔细琢磨,把教材上的题研究到位.结合高考真题,最终我们独创了“题型+模型”的全新教学法,本篇将把高考试题中经常出现而且教材上有所体现的部分二级结论呈现给大家,部分结论对学生的解题有很好的指导作用,同时对演算结果有精准的验证作用,以便同学们在解答高考题时做到准确、快捷.

结论一

图2-11.子集、交集、并集、补集之间的一个关系式:A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B⇔A∩∁IB=∅⇔∁IA∪

B=I,其中I为全集.

(1)当

A=B时,显然成立;

(2)当

A⫋B时,Venn图如图2-1所示,结论正确.

2.子集个数的问题:若一个集合A含有n(n∈N*)个元素,则集合A的子集有2n个,非空子集有

2n-1个.真子集有2n-1个,非空真子集有2n-2个.

理解:A的子集有2n个,从每个元素的取舍来理解,例如每个元素都有两种选择,则n个元素共有2n种选择.该结论需要掌握并会灵活应用

.

例1 设集合A=(x,y)x24+y216=1{},B={(x,y)|y=3x},则A∩B的子集的个数是(

).

A.4B.3C.2D.1变式1 已知集合A=x|x2-3x+2=0,x∈R{},B=x|0

⊆C⫋B的集合C的个数为(

)

.

A.1B.2C.3D.4

例2 已知M,N为集合I的非空子集,且M,N不相等,若

N∩∁IM=∅,则M∪N=

( ).

A.MB.NC.ID.∅变式1 设集合A={x|x2-6x+5=0},B={x|ax-1=0},若A∩B=B,则由实数a的所有可

能取值组成的集合C为(

).

A.1,15{}B.12,13{}C.0,1,15{}D.0,12,13{}󰢝󰬌󰽗󱆓2 结论二交、并、补(且、或、非)之间的关系(德·摩根定律).(1)集合形式:∁I(A∩B)=∁IA()∪∁IB(),∁I(A∪B)=∁

IA()∩∁IB

();

(2)命题形式:􀱑(p∧q)=(􀱑p)∨(􀱑q),􀱑(p∨q)=(􀱑p)∧(􀱑q).

例3 设全集

U={a,b,c,d},集合A={a,b},B={b,c,d},则∁UA()∪∁UB()=.

变式1 已知全集U=A∪B中有m个元素,∁UA()∪∁UB()中有n个元素.若A∩B非空,则

A∩B的元素个数为(

).

A.mnB.m+nC.n-mD.m-n

变式2 写出下列命题的否定.

(1)命题p∨q:A=0或B=0;

(2)命题p∧q:A=0且B=0.

结论三奇函数的最值性质:已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数,则对任意的x∈D,都有f(x)+

f(-x)=0.特别地,若奇函数f(x)在定义域Df上有最值,则f(x)max+f(x)min=0,且若0∈Df,

则f(0)=0.

证明:因为f(x)为奇函数,所以∀x∈D,-x∈D,且f(-x)=-f(x),即f(x)+f(-x)=0.

若0∈Df,令x=0,则有f(0)+f(-0)=0,即f(0)=0.

若奇函数f(x)在Df上有最值,设f(x)max=f(x0),则f(x0)≥f(x)(x∈D),

所以f(-x0)=-f(x0)≤-f(x)=f(-x)(-x∈D),即f(x)min=f(-x0).

由f(x0)+f(-x0)=0,得f(x)max+f(x)min=0.

例4 设函数f(x)=(x+1)(x-4)+tanxx2-4的最大值为

M,最小值为m,则M+m=.

变式1 已知函数f(x)=ln1+9x2-3x()+1,则f(lg2)+flg12æèçöø÷=( ).

A.-1B.0C.1D.2变式2 对于函数f(x)=asinx+bx+c(其中a,b∈R,c∈Z),选取a,b,c的一组值计算f

(1)和

f(-1),所得出的正确结果一定不可能 是( ).

A.4和6B.3和1C.2和4D.1和2

临门一脚(含密押三套卷)(理科版)3 结论四若函数y=f(x)是定义在非空数集D上的单调函数,则存在反函数y=f-1(x).特别地,y=ax与y=logax(a>0且a≠1)互为反函数,两函数图像在同一直角坐标系内关于直线y=x对称,即

(x0,f(x0))与(f(x0),x0)分别在函数y=f(x)与反函数y=f-1(x)的图像上

.

例5 设点P在曲线y=12ex上,点Q在曲线y=ln(2x)上,则|PQ|的最小值为(

).

A.1-ln2B.2(1-ln2)C.1+ln2D.2(1+ln2)变式1 若x1满足2x+2x=5,x2满足

2x+2log2(x-1)=5,则x1+x2=(

)

.

A.52B.3C.72D.4

结论五

函数周期性问题:已知定义在R上的函数f(x),若对任意的x∈R,总存在非零常数T,使得f(x+

T)=f(x),则称f(x)是周期函数,T为其一个周期.

除周期函数的定义外,还有一些常见的与周期函数有关的结论如下:(1)如果f(x+a)=-f(x)(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a;

(2)如果f(x+a)=1f(x)(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a;(3)如果f(x+a)+f(x)=c(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a;(4)如果f(x)=f(x+a)+f(x-a)(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期

T=6a.

证明:(1),(2),(3)略

.

(4)若f(x)=f(x+a)+f(x-a)①

则f(x+a)=f(x+2a)+f(x)②

①+②得,f(x)+f(x+a)=f(x+a)+f(x-a)+f(x+2a)+f

(x),

即f(x-a)+f(x+2a)=0,f(x+2a)=-f(x-a),所以f(x+6a)=f[(x+4a)+2a]=

-f[(x+4a)-a]=-f(x+3a)=-f[(x+a)+2a]=f[(x+a)-a]=f

(x).

故f(x)是周期函数,其中的一个周期

T=6a.

例6 已知函数

f(x)满足:f(5)=14,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)(x,y∈R

),

则f(2015)=.

变式1 定义在R上的函数f(x)满足f(x)=log2(1-x)(x≤0)f(x-1)-f(x-2)(x>0){,则f

(2017)

=

( ).

A.-1B.0C.1D.2

变式2 已知定义在R上的函数f(x)满足fx+32æèçöø÷=-f(x),且f(-2)=f(-1)=-1,f

(0)

=

2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2016)+f(2017)=( ).

A.-2B.-1C.0D.1

常考二级结论及其应用

󰢝󰬌󰽗󱆓4 结论六

复合函数单调性:已知函数y=f[g(x)]是定义在D上的函数,若f(x)与g

(x)的单调性相

同,则y=f[g(x)]在D上是增函数;若f(x)与g(x)的单调性相反,则y=f[g(x)]在D上是减函数,即“同增异减”.特别地,若f(x)是定义域D上的单调函数,且方程f[f(x)]=x在D上有解为x0,则f(x0)=x0

.

例7 对于定义域为[0,1]的连续函数f(x),如果同时满足以下3个条件:

(1)对任意的x∈[0,1]总有f(x)≥0;

(2)f(1)=1;(3)若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,都有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立.则称函数f(x)为理

想函数.若函数f(x)为理想函数,假定存在x0∈[0,1],使得f(x0)∈[0,1],且f[f(x0)]=x0.求证:f(x0)=x

0

.

变式1 设函数f(x)=ex+x-a(a∈R,e为自然对数的底数).若曲线y=sinx上存在点(x

0

,

y0)使得f(f(y0))=y0

,则a的取值范围是( ).

A.[1,e]B.[e-1,1]C.[1,1+e]D.[e-1,e+1]

变式2 若函数y=loga(x2-ax+1)(a>0且a≠1)在(1,2)上为增函数,则实数a的取值范围是

.

结论七

二次函数解析式的三种表达式.二次函数f(x)=

ax2+bx+c(一般式)ax+b2aæèçöø÷2+4ac-b24a(a≠0,x∈R

)(顶点式)

a(x-x1)(x-x2

)(双根式)

ìîíï

ï

ïï

.

二次函数的性质.(1)当a>0时,f(x)在-∞,-b2aæèçùûúú上为减函数,在-b2a,+∞éëêêö

ø÷上为增函数,

且在x=-b2a处取得最小值为f-b2aæèçöø÷=4ac-b2

4a,无最大值;

(2)当a<0时,f(x)在-∞,-b2aæèçùûúú上为增函数,在-b2a,+∞éëêêö

ø÷上为减函数,

且在x=-b2a处取得最大值为f-b2aæèçöø÷=4ac-b2

4a,无最小值;

(3)对称轴为x=-b2a,若f(x1)=f(x2),则

x

1+x2=-

b

a.

(4)抛物线y=f(x)与y轴的交点为(0,c).

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