螺杆压缩机转子型线设计方法

２０１２年第２期（总２３２期）　

’…　’　’　’　…’　设计研究　；文章编号．　。２９　（２ｏ１　）０　。０ｏｏ１聊　

．　◆…◆　◆　◆　◆◆◆　

１　引言　螺杆压缩机转子型线设计方法　

徐健，余宾宴，　余小玲，冯全科　（西安交通大学能源与动力工程学院，陕西西安７１００４９）　

摘要：采用齿廓法线法，逐步演示螺杆压缩机转子型线的设计过程，并对复盛型线进行详细推导，验证　了齿廓法线法在螺杆转子型线设计中的可靠便捷，从而得到了优于以往解析包络法的型线设计方法。　关键词：螺杆转子；型线设计；齿廓法线法　中图分类号：ＴＨ４５５　文献标志码：Ａ　

Ｓｔｕｄｙ　ｏｎ　Ｒｏｔｏｒ　Ｐｒｏｆｉｌｅ　Ｄｅｓｉｇｎ　ｏｆ　Ｓｃｒｅｗ　Ｃｏｍｐｒｅｓｓｏｒｓ　

ＸＵ　Ｊｉａｎ，ＹＵ　Ｂｉｎ—ｙａｎ，ＹＵ　Ｘｉａｏ－ｌｉｎｇ，ＦＥＮＧ　Ｑｕａｎ－ｋｅ　（Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆＥｎｅｒｇｙ　ａｎｄ　Ｐｏｗｅｒ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，尉　］ｉａｏｔｏｎｇ　ｎ　ｅ　，Ｘｉ￣ｔｎ　７１００４９，Ｃｈｉｎａ）　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ，ｔｈｅ　ｔｏｏｔｈ　ｐｒｏｆｉｌｅ　ｎｏｒｍａｌ　ｌｉｎｅ　ｍｅｔｈｏｄ　ｉｓ　ｕｓｅｄ　ｔｏ　ｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｅ　ｔｈｅ　ｄｅｓｉｇｎ　ｐｒｏｃｅｓｓ　ｏｆ　ｒｏｔｏｒ　ｐｒｏｆｉｌｅ　ｏｆ　ｓｃｒｅｗ　ｃｏｍｐｒｅｓｓｏｒｓ　ｓｔｅｐ・ｂｙ・ｓｔｅｐ　ａｎｄ　ｔｏ　ｄｅｒｉｖｅ　ｔｈｅ　Ｆｕｓｈｅｎｇ　Ｐｒｏｆｉｌｅ　ｉｎ　ｄｅｔａｉｌ．Ｉｔ　ｐｒｏｖｅｓ　ｔｈｅ　ｒｅｌｉａｂｌｅ　ａｎｄ　ｃｏｎｖｅｎｉｅｎｔ　ｏｆ　ｔｏｏｔｈ　ｐｒｏｆｉｌｅ　ｎｏｒｍａｌ　ｌｉｎｅ　ｍｅｔｈｏｄ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｄｅｓｉｇｎ　ｏｆ　ｓｃｒｅｗ　ｒｏｔｏｒ　ｐｒｏｆｉｌｅ．Ｔｈｅｎ　ｔｈｅ　ｐｒｏｆｉｌｅ　ｄｅｓｉｇｎ　ｍｅｔｈｏｄ　ｓｕｐｅｒｉｏｒ　ｔｏ　ｔｈｅ　ｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌ　ｅｎｖｅｌｏｐｅ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｍｅｔｈｏｄ　ｉｓ　ｏｂｔａｉｎｅｄ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｓｃｒｅｗ　ｒｏｔｏｒ；ｐｒｏｆｉｌｅ　ｄｅｓｉｇｎ；ｔｏｏｔｈ　ｐｒｏｆｉｌｅ　ｎｏｒｍａｌ　ｌｉｎｅ　ｍｅｔｈｏｄ　

螺杆压缩机由于结构简单、维护方便及可靠性　高等优点，被广泛应用于气动、制冷空调及石化等工　

业领域，是目前市场上主要的压缩机种之一。一对　相互啮合的转子是螺杆压缩机的核心部件，转子副　的型线决定了压缩机的性能。转子型线的不断更新　改进，结合转子加工能力的进步，是螺杆压缩机性能　

大幅提高和市场份额迅速扩大的根本原因。因此，　螺杆转子的型线设计一直是国内外研究的热点和重　点，各种特征的新型线也被接踵推出。　

转子型线设计是压缩机运行性能和转子加工性　能等诸问题的研究基础，目前广泛采用解析包络法　来推导型线的啮合方程　－４ｊ，其来源均都可追溯到　

前苏联Ｓａｋｕｎ所著的文献［５］。解析包络法的原理　

为微分几何中提出的相互啮合的２个齿面在接触点　处成切触关系，运动学上的物理意义就是切点处的　

相对运动速度一定要在公切线方向，即与公法线垂　直。采用解析包络法求解型线方程的啮合条件时，　

需先将一个转子上的已知型线坐标转换到另一个转　

收稿日期：２０１２—０２—２９　子的坐标系内，然后再通过对得到的曲线簇方程连　续进行偏微分计算而得到。通常解析几何法需定义　

繁复的坐标系及冗长的坐标转换关系式，计算过程　虽清晰却繁冗复杂，不适于采用现代计算软件中矩　

阵模块进行运算。　

螺杆转子属于齿轮的一种，其特点为型线组成　

段的数量较多，故齿轮原理中的理论和研究方法均　

可应用于转子型线的推导和研究中。本文引入齿轮　

原理中的齿廓法线法，结合坐标变换的矩阵表示，详　细介绍螺杆转子型线的推导过程和方法；并以复盛　

型线为例，列举确定各型线段的主要处理过程和手　

段，演示转子型线的现代设计方法。　

２转子型线设计理论基础　

２．１　Ｗｉｌｌｉｓ法则　螺杆压缩机的螺杆转子是由端面的平面齿形经　

过螺旋扫描而成，故三维齿面实际上是二维半，即可　

一以将二维的端面齿形结合其绕轴回转运动来研究三　

维空间上的齿形及其啮合问题。这个特征使得齿形　

研究大为简化，在型线推导过程中，可以完全引入传　

统齿轮原理所基于的二维平面。

　压缩机技术　２０１２年第２期　

齿廓啮合的基本原理，即Ｗｉｌｌｓ定理，可以完整　

表述如下　：共轭齿廓在传动的任意瞬时，他们在　接触点的公法线必然通过该瞬时的瞬心点Ｐ。Ｐ点　

在联心线上，而　

Ｏ２Ｐ　ｔＯ１　．　—０１—Ｐ　一０）２　１　

在欧美学术界普遍引用的齿轮几何学体系中，　齿廓啮合的基本原理基于Ｌｅｗｉｓ定理，表述如下　ｊ：　

共轭齿形必须是这样的，它们在切触点处的公法线　与回转中心Ｏ　Ｏ：相交，并且将该线分为两段Ｏ　，和　

Ｏ：，，并满足方程（１），式中　、ｔＯ　分别表示两共轭　齿的角速度。显然，Ｗｉｌｌｉｓ定理和Ｌｅｗｉｓ定理是一致　

的，也是齿廓法线法的理论依据，其来源均来自１９　世纪中叶剑桥大学的Ｒｏｂｅ￣Ｗｉｌｌｉｓ教授的著作　ｊ。　

如图１所示，２个螺杆转子的瞬心线就是图示　

的２个外切圆，这也是最常见的齿轮瞬心线形式，故　齿廓的瞬时瞬心点固定在其公切点上，即图中的点　

Ｐ。∑　、∑：为分别以Ｏ　、Ｏ　为回转中心，以∞．、ｔＯ：　为角速度旋转的２个齿廓，　为第１个啮合点，此时　两齿廓的公法线为　。在以式（１）确定的比率下，　

∑　、∑：分别旋转到∑　、∑　，　为第２个啮合点，　Ｍ　Ｐ则为此时两齿廓的公法线。可见，共轭齿廓的　

公法线必定通过瞬时瞬心点。以上就是齿廓法线法　

的图示表达，在螺杆转子齿形求解中，可逆向应用上　述法则，从而求解经过一定转角后的公共接触点，从　

而求得共轭齿形。　

、＼　

＼　１　ｏｇ互　。　

／　

图１齿廓啮合基本原理　２．２坐标系及基于矩阵的坐标变换　设计或确定螺杆转子的型线，最常见的处理方　法，是将不同的基本曲线组合在一起，大致形成所需　的形状。这种方法所构成转子型线的特点是，某个　转子（阴转子或阳转子）首先由确定的基本曲线组　合完毕，而对应的另一个转子则由包络啮合原理确　定求得。这个过程包括２个步骤，即包络条件求取　

和坐标变换，本文将采用矩阵方程来实现坐标变化。　图２螺杆转子坐标系　图２是螺杆转子设计计算中所采用的坐标系，　其中Ｏ　Ｙ　表示固接于固定坐标系的机架坐标系，　Ｏ　Ｙ。表示固接于阳转子的坐标系，Ｏ　Ｙ：表示固　

接于阴转子的坐标系；ｒｊ。、ｒｊ２分别表示阳、阴转子的　节圆半径，Ａ为中心距。阳、阴转子的齿形分别在坐　

标系Ｏ　。Ｙ。和Ｏ　：Ｙ　中确定。现有的螺杆压缩机　教材资料口　均采用解析几何中的解析式表达，　

将图２中的Ｏ。　。Ｙ。和Ｏ：　：Ｙ：分别叫阳、阴转子动坐　

标系，而将起始时（　＝　＝０）的相对平行于机架　坐标Ｏｆｘｆｙｆ的坐标系０　。Ｙ　和０　２Ｙ　分别叫阳、阴　

转子静坐标系。于是，从阳转子的某齿形段推导对　应啮合的阴转子的齿形段，需要经历从阳转子动坐　标系到阳转子静坐标系、从阳转子静坐标系到机架　

坐标系、从机架坐标系到阴转子静坐标系、从阴转子　静坐标系到阴转子动坐标系这四步。每一步都有冗　

长的解析表达式，容易出错；而以矩阵方程来表示的　

坐标变换可以通过前后坐标系的坐标轴所夹的方向　余弦和坐标系原点的相对位置直接给出。图２中从　

０。　。Ｙ。到０　Ｙ：的坐标变换基于矩阵方程　

２＝Ｍ２１　１　ｒ　ｃｏｓ（　１＋咖２）　一ｓｉｎ（咖１＋　２）Ａｃｏｓ６２］　

１＝Ｉ　ｓｉｎ（　１＋咖２）　ｃ０ｓ（咖１＋　２）　Ａｓｉｎ￣２　ｌ　ｌ　０　０　１　ｊ　

一　一　一　一　，¨　西，一ｔＯ２一　１一Ｚ１　

式中ｚ　、ｚ　分别为阳、阴转子的齿数。同理，从　

Ｏ：　：Ｙ　到Ｏ。　。Ｙ　的坐标变换基于矩阵方程　

１＝Ｍ１２ｒ２　

ｒ　ｃｏｓ（咖１＋　２）　ｓｉｎ（咖１＋咖２）　一Ａｃｏｓ６１］　

２＝ｌ—ｓｉｎ（６１＋咖２）ｃｏｓ（￣１＋　２）　Ａｓｉｎ６　Ｉ　（３）　ｌ　

０　０　１　ｊ　

求解啮合线时，则需从坐标系Ｏ　Ｙ　转换到　２０１２年第２期　徐健，等：螺杆压缩机转子型线设计方法　

０　Ｙ，，采用如下变换　

ｒｆ　Ｍｎ　１　’　

『－∞　咖，　咖　ｒｊ　］　

ｎ＝Ｉ　ｓｉｎ￣ｂ１　ｃｏｓｃｋ１　０　Ｉ　（４）　ｌ　

０　０　１　ｊ　

２．３齿廓法线法　

齿廓法线法是齿轮啮合理论中基于Ｗｉｌｌｉｓ定理　

的一种曲线包络条件的求解方法，即在已知曲线所　在的坐标系内，接触点的公法线必然通过其瞬时瞬　

心点，即瞬时回转中心。即可表示为　

：　（５）　Ｎｄ　Ｎ　＼’　

方程（５）中的各表达式均落在坐标系０　Ｙ。　中，接触点（　，Ｙ。）与对应的瞬时回转中心（　，】，１）　

连线的矢量方向与接触点的法向一致。　，Ⅳｖ　为　接触点法向量的水平和垂直分量，由下式确定　

尼　（６）　∞懿］　Ⅳ１＝ｌ—ａｓｉｎｔ　Ｉ　（９）　ｌ　０　ｊ　

由图２可得，阳转子坐标系中，瞬时回转中心的　坐标表示如下　’　１＝一ｒｊｌｃｏｓ　１　Ｙ１＝ｒｊ１　ｓｉｎ６１　（１Ｏ）　将方程（７）、（９）、（１Ｏ）代人方程（５），可得　

一（　１—０）一ａｃｏｓｔ＋ｒｊｌｃｏｓ（￣ｌ　ｂｓｉｎｔ—ｒｊｌ　ｓｉｎｔｋ１　一一一　一—＿－＝　一　

进一步化简得　

叫－　ｂ２＿ａ２　

ｂｃｏｓｔ）　ｃ　Ｌ　￣／（口ｓｉｎ　）　＋（　．Ｊ　

方程（１１）是啮合条件的数学表达，即建立了被　包络曲线的曲线参数ｔ和回转角　（ｔ）的一一映射　关系。将方程（７）代人方程（２），就得到了在坐标系　０　Ｙ　中的椭圆弧包络曲线的方程表达　

式中ｒ　（ｔ）为所求齿廓型线的矢量方程，前面的　

微分项为该齿廓在接触点处的切向量，ｋ。为齿轮轴　线的单位向量，两者叉乘即可求得接触点的法向量。　ｒ２（　）：　／　‘　

Ｐ一　～＼　＼　＼｛　ｌ、１　五　

、　：　Ｄ１　

图３型线组成段（椭圆）定义　下面以最常见的椭圆弧为例，详细说明如何应　用齿廓法线法求解对应的椭圆弧包络弧线。首先将　

椭圆弧段置于图３所示位置，则在坐标系０。　。Ｙ。　中，该曲线表示如下　

ｒ一（ｒｔ１一ａ）一ａｃｏｓｔ］　ｒ１（ｔ）＝ｌ　ｂｓｉｎｔ　Ｉ　（７）　ｌ　

１　ｊ　

式中ｒ　——齿顶圆半径　

ｎ、６——椭圆的长、短半轴长。则其切向量、　

法向量分别为　

ｒａｓｉｎｔ］　＝　㈩　（＿（，　…）ｃ０ｓ（（１＋　）　ｔ））一　

￣ｓ，ｎｔｓｉｎ（（一＋　㈤）　。ｓ（　）　

ｃ　㈣ｓｔ　ｓｉｎ（（　＋　，）＋　

眦。ｓ（（１＋　㈤　ｎ（　）　

１　（１２）　

圆弧作为椭圆的一种特殊形式，在螺杆压缩机　的转子型线中得到了最为广泛的应用，如果将椭圆　

方程中的ａ、ｂ都定义为ｒ，即圆半径，则方程（７）、　（１１）、（１２）分别简化为如下各方程　

厂一（ｒｔ１一ｒ）一ｒｃｏｓｔ］　ｒ１（ｔ）＝ｌ　ｒｓｉｎｔ　Ｉ　（１３）　Ｌ－　１　ｊ　

卜　ｎ（　）　）　

＿（ｒｌ１＿ｒ）ｃｏｓ（（　＋　）　））一　

ｒｃｏｓ　ｔ－（－＋　㈤）　。ｓ（　）　

一ｒｔｌ－ｒ　ｎ（（　＋　）　）＋　

ｒｓｉｎ　ｔ－（　＋　㈤）　ｉｎ（　）　

ｌ　（１５）