高一函数单调性与最值求法

人教A版高一是下必修第一册：函数的单调性和最值1．函数的单调性(1)单调递增、单调递减：(2)函数的单调性及单调区间：①当函数f(x)在它的定义域上单调递增(减)时,我们就称它是增(减)函数.②如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间.(3)常见函数的单调性：(4)单调函数的运算性质：若函数f(x)，g(x)在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质：①f(x)与f(x)+C(C为常数)具有相同的单调性.②若a为常数，则当a>0时，f(x)与a f(x)具有相同的单调性；当a<0时，f(x)与a f(x)具有相反的单调性.③若f(x)恒为正值或恒为负值，a为常数，则当a>0时，f(x具有相反的单调性；当a<0时，f(x具有相同的单调性.④若f(x)≥0，则f(x)与⑤在f(x)，g(x)的公共单调区间上，有如下结论：f(x)g(x)f(x)+g(x)f(x)-g(x)增增增不能确定单调性增减不能确定单调性增减减减不能确定单调性减增不能确定单调性减⑥当f(x)，g(x)在区间D上都是单调递增(减)的，若两者都恒大于零，则f(x)g(x)在区间D上也是单调递增(减)的；若两者都恒小于零，则f(x)g(x)在区间D上单调递减(增).(5)复合函数的单调性判定：对于复合函数f(g(x))，设t=g(x)在(a,b)上单调，且y=f(t)在(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上也单调.t=g(x)y=f(t)y=f(g(x))增增增增减减减增减减减增2．函数单调性的判断(1)函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性.(2)函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.【考点1函数单调性的判断及单调区间的求解】【例1.1】（23-24高一上·天津和平·期中）函数=+1的单调递减区间为（）A．(0,1]B．[−1,1]C．[−1,0)∪(0,1]D．[−1,0)，(0,1]【例1.2】（23-24高一上·广东广州·期中）已知函数=r2K1，则函数（）A．在−2,+∞上单调递增B．在−2,+∞上单调递减C．在1,+∞上单调递增D．在1,+∞上单调递减【变式1.1】（23-24高一上·陕西西安·期中）已知函数=2−5+6，则函数的单调递增区间是（）A．−∞+∞C．2,3,+∞D．−∞,23【变式1.2】（2023高三·全国·专题练习）已知函数=op的定义域为R，对任意1，2且1≠2，12>−1，则下列说法正确的是（）A．=op+是增函数B．=op+是减函数C．=op是增函数D．=op是减函数【考点2利用函数的单调性求参数】【例2.1】（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）函数=2+B+在(−∞,1)上是单调函数，则的取值范围是（）A．(−∞,−2]B．(−∞,−2)C．[−2,+∞)D．(−2,+∞)【例2.2】（23-24高三上·天津河东·阶段练习）设命题G“函数=2−1+为递减函数”，命题G“<0”，则P是Q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【变式2.1】（23-24高一上·海南海口·阶段练习）若函数op=2+2r r1在[1,+∞)上是增函数，则实数的取值范围是（）A．(−∞,4]B．[0,1]C．(−∞,5]D．[1,2]【变式2.2】（23-24高一上·北京·期中）已知函数=−2−B−5,≤1,>1是R上的增函数，则的取值范围是（）A．−∞,−2B．−∞,0C．−3,−2D．−3,−2【考点3利用函数的单调性比较大小】【例3.1】（23-24高一上·福建福州·期中）函数=为定义在上的单调增函数，若≠0，则（）A．>2B．2>C．2+>D．2+>+1【例3.2】（23-24高二下·黑龙江·开学考试）=2021×202320232，=20282027，则（）20222，=2022×2024A．<<B．<<C．<<D．<<【变式3.1】（23-24高一上·河北邢台·阶段练习）已知2−=+2，且在0,2上单调递减，则1，2）A．<1<B．1<C．<1<D．<<1【变式3.2】（2024高一·全国·专题练习）已知函数=4−2，若0<1<2<3≤212）<<<<3<2<12<3<1【考点4利用函数的单调性解不等式】【例4.1】（23-24高一上·甘肃白银·期中）函数是定义在0,+∞上的增函数，则满足2−1<的的取值范围是（）3【例4.2】（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）函数是定义在0,+∞上的增函数，则不等式> 8−16）A．2,B．−∞+∞D．2,+∞【变式4.1】（23-24高一上·全国·课后作业）已知是定义在(−∞,0]上的增函数，且−2=3，则满足2−3<3的x的取值范围是（）A．−∞C．−∞,3【变式4.2】（23-24高一上·河北邢台·阶段练习）已知定义在0,+∞上的函数满足2=4，对任意的1,2∈0,+∞，且1≠2，121+2<122+221恒成立，则不等式−3> 2−6的解集为（）A．3,7B．−∞,5C．5,+∞D．3,51．函数的最大（小）值(1)函数的最大（小）值：(2)利用函数单调性求最值的常用结论：①如果函数y =f (x )在区间[a ,b ]上单调递增，在区间[b ,c ]上单调递减，那么函数y =f (x ),x ∈[a ,c ]在x=b 处有最大值f (b )，如图(1)所示；②如果函数y =f (x )在区间[a ,b ]上单调递减，在区间[b ,c ]上单调递增，那么函数y =f (x ),x ∈[a ,c ]在x=b 处有最小值f (b )，如图(2)所示.2．求函数最值的三种基本方法：(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.【考点1求函数的最值】【例1.1】（23-24高一上·广东江门·期中）函数=2K1r1，∈3,5的最大值是（）A．54B．32C．1D．2【例1.2】（23-24高一上·北京·期中）函数op =−s ≤1,2,>1.的最小值为（）A．−1B．0C．1D．2【变式1.1】（23-24高一上·湖北·期中）已知函数=2K1，∈−2,1∪1,6，则函数（）A．有最小值，无最大值B．有最大值，无最小值C．既有最小值又有最大值D．既无最小值，又无最大值【变式1.2】（23-24高一上·重庆·期末）已知函数op=+4(>0)，记该函数在区间[−1,p(>1)上的最大值与最小值的差值为op，则op的最小值为（）A．17−2B．1C．13D．17−4【考点2利用函数的单调性求值域】【例2.1】（23-24高一上·湖北·阶段练习）函数=2−2+3≥2的值域是（）A．{U>0}B．{U≥2}C．{U≤1}D．{U≥3}【例2.2】（23-24高一上·湖北宜昌·阶段练习）函数=r1K3在区间2,4上的值域为（）A．−3,5B．−5,3C．−∞,−3∪5,+∞D．−∞,−3∪5,+∞【变式2.1】（23-24高一上·江西·期中）函数=5K12+，∈−4,−2∪−2,1的值域是（）A．−∞+∞∪5,+∞C．−∞∪+∞2【变式2.2】（23-24高一上·河南商丘·期中）已知o1−2p=−1−2，则函数的值域为（）A．1,+∞2+∞C．−∞D．−∞,1【考点3根据函数的最值求参数】【例3.1】（23-24高一上·广东茂名·期中）已知>0，若函数=+有最小值为4，则=（）A．2B．4C．−2D．−4【例3.2】（23-24高一上·河南郑州·期中）若函数=B2+1在1,2上的最大值与最小值的差为3，则实数a的值是（）A．1B．−1C．1或−1D．0【变式3.1】（23-24高一上·北京·期中）已知函数=−2−2+3在区间s2上的最大值为154，则等于（）A．32B．12C．−12D．12或−32【变式3.2】（23-24高一上·广东广州·阶段练习）定义一种运算min s=s≤s>，设=min4+ 2−2,−为常数，且∈[−3,3]，则使函数的最大值为4的的值可以是（）A．−2或4B．6C．4或6D．−4一、单选题1．（23-24高一上·北京·期中）下列函数中，在区间0,+∞上是减函数的是（）A．=−3+2B．=3C．=2−1D．=−12．（23-24高一上·湖南衡阳·期中）若≥4，则函数=+3K1的最小值是（）A．23B．23+1C．4D．53．（23-24高一上·江西抚州·期中）函数=−1的单调递减区间是（）A．−∞,0B．1D．1,+∞4．（23-24高一上·北京·期中）函数op=22−−1−1≤≤1的值域是（）A．0，1B．−98， 1C．1，2D．−98， 2 5．（23-24高一上·江苏无锡·期中）已知函数=2−1,≤1B2−+2,>1的最小值是−1，则实数a的取值范围是（）∞+∞6．（23-24高一上·四川南充·阶段练习）已知函数op=2+2（>0），在区间[s+∞)上单调递增，则实数b的取值范围为（）A．≥1B．≥213C．≥2D．0<≤27．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）如图是函数=,∈−4,3的图象，则下列说法正确的是（）A．在−4,−1和1,3上单调递减B．在区间−1,3上的最大值为3，最小值为-2C．在−4,1上有最大值2，有最小值-1D．当直线=与函数=,∈−4,3图象有交点时−2<<38．（2024高一上·全国·专题练习）已知2−=+2，且在0,2上单调递减，则1，52 72）A．52<1<72B．1<5272C．72<1<52D．72<52<1二、多选题9．（23-24高一上·新疆·阶段练习）（多选题）下列四个函数中，在0,+∞上为增函数的是（）A．=3−1B．=2−3C．=−1r1D．=−10．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）设函数op=+(≠0)，则（）A．当>0时，函数op有最小值为2B．当<0时，函数op是增函数C．当>0,=4时，函数op有最小值为4D．存在正实数，使得函数op在[s+∞)上单调递增三、填空题11．（23-24高一上·北京·期中）已知函数=2−在−∞,3上单调递减，则实数的取值范围是．12．（23-24高一上·山西大同·阶段练习）已知op是定义在R上的增函数，且o2−2)<o−p，则的取值范围是．四、解答题13．（23-24高一上·贵州·阶段练习）已知函数=2+14.(1)利用函数的单调性定义证明在1,+∞上单调递增；(2)若>1，试比较，2−14．（23-24高三上·山东菏泽·阶段练习）已知定义在0,+∞上的函数对任意正数s都有B= +，当>1时，>0，(1)求1的值；(2)证明：用定义证明函数在0,+∞上是增函数；15．（23-24高一上·重庆·期末）已知定义在(0,+∞)上的函数op满足oB)=op+op−2023，且对任意>1,op<2023．(1)证明：op在(0,+∞)上单调递减；(2)解不等式op+o−2)>4046．16．（23-24高一上·北京·期中）已知函数op=B+的图像经过点o1,3),o2,0).(1)求函数的解析式；(2)判断函数在(0,+∞)上的单调性并证明；(3)当∈时，的最小值为3，求的值.人教A版高一是下必修第一册：函数的单调性和最值答案1．函数的单调性(1)单调递增、单调递减：(2)函数的单调性及单调区间：①当函数f(x)在它的定义域上单调递增(减)时,我们就称它是增(减)函数.②如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间.(3)常见函数的单调性：(4)单调函数的运算性质：若函数f(x)，g(x)在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质：①f(x)与f(x)+C(C为常数)具有相同的单调性.②若a为常数，则当a>0时，f(x)与a f(x)具有相同的单调性；当a<0时，f(x)与a f(x)具有相反的单调性.③若f(x)恒为正值或恒为负值，a为常数，则当a>0时，f(x具有相反的单调性；当a<0时，f(x具有相同的单调性.④若f(x)≥0，则f(x)与⑤在f(x)，g(x)的公共单调区间上，有如下结论：f(x)g(x)f(x)+g(x)f(x)-g(x)增增增不能确定单调性增减不能确定单调性增减减减不能确定单调性减增不能确定单调性减⑥当f(x)，g(x)在区间D上都是单调递增(减)的，若两者都恒大于零，则f(x)g(x)在区间D上也是单调递增(减)的；若两者都恒小于零，则f(x)g(x)在区间D上单调递减(增).(5)复合函数的单调性判定：对于复合函数f(g(x))，设t=g(x)在(a,b)上单调，且y=f(t)在(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上也单调.t=g(x)y=f(t)y=f(g(x))增增增增减减减增减减减增2．函数单调性的判断(1)函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性.(2)函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.【考点1函数单调性的判断及单调区间的求解】【例1.1】（23-24高一上·天津和平·期中）函数=+1的单调递减区间为（）A．(0,1]B．[−1,1]C．[−1,0)∪(0,1]D．[−1,0)，(0,1]【解题思路】由对勾函数的单调性求解即可.【解答过程】函数=+1为对勾函数，由对勾函数的性质知，函数=+1的单调递减区间为：[−1,0)，(0,1].不能选C，因为不满足减函数的定义.故选：D.【例1.2】（23-24高一上·广东广州·期中）已知函数=r2K1，则函数（）A．在−2,+∞上单调递增B．在−2,+∞上单调递减C．在1,+∞上单调递增D．在1,+∞上单调递减【解题思路】先将op分离常数得op=1+3K3，再根据反比例函数的性质进行求解即可.【解答过程】op=r2K1=K1+3K1=1+3K1(≠1)，所以函数op的图象可由反比例函数=3的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到.因为=3在(−∞,0)和(0,+∞)上单调递减，所以op=r2K1在(−∞,1)和(1,+∞)上单调递减.故选：D.【变式1.1】（23-24高一上·陕西西安·期中）已知函数=2−5+6，则函数的单调递增区间是（）A．−∞+∞C．2,3,+∞D．−∞,23【解题思路】作出函数的图象，可得出函数的单调递增区间.【解答过程】因为函数=2−5+6的对称轴为直线=52，由2−5+6=0可得=2或=3，作出函数=2−5+6的图象如下图所示：由图可知，函数的单调递增区间为2,3,+∞.故选：C.【变式1.2】（2023高三·全国·专题练习）已知函数=op的定义域为R，对任意1，2且1≠2，12>−1，则下列说法正确的是（）A．=op+是增函数B．=op+是减函数C．=op是增函数D．=op是减函数12>−1进行变化，构造新函数op=op+，根据增、减函数的定义即可.【解答过程】不妨令1<2，∴1−2<0,∵12>−1⇔o1)−o2)<−(1−2)⇔o1)+1<o2)+2，令op=op+，∴o1)<o2)，又1<2，∴op=op+是增函数．故选:A.【考点2利用函数的单调性求参数】【例2.1】（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）函数=2+B+在(−∞,1)上是单调函数，则的取值范围是（）A．(−∞,−2]B．(−∞,−2)C．[−2,+∞)D．(−2,+∞)【解题思路】根据二次函数的单调性判断.【解答过程】因为函数=2+B开口向上，对称轴为=−2，所以函数=2+B+在−∞,−∴−2≥1，解得≤−2，所以的取值范围是−∞,−2.故选：A.【例2.2】（23-24高三上·天津河东·阶段练习）设命题G“函数=2−1+为递减函数”，命题G“<0”，则P是Q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解题思路】求出为真时，的取值范围，与命题中的取值范围比较，即可得出答案.【解答过程】由为真，即函数=2−1+为递减函数，则应有2−1<0，所以<12.又<所表示的范围大于不等式<0所表示的范围，所以，P是Q的必要不充分条件.故选：B.【变式2.1】（23-24高一上·海南海口·阶段练习）若函数op=2+2r r1在[1,+∞)上是增函数，则实数的取值范围是（）A．(−∞,4]B．[0,1]C．(−∞,5]D．[1,2]【解题思路】变形换元得到=+K1，∈2,+∞，考虑−1<0，−1=0和−1>0三种情况，结合对勾函数性质得到不等式，求出实数的取值范围.【解答过程】op=2+2r r1=+1+K1r1，令+1=∈2,+∞，故=+K1，∈2,+∞，当−1<0，即<1时，=+K1在2,+∞上单调递增，满足要求，当−1=0，即=1时，=在2,+∞上单调递增，满足要求，当−1>0，即>1时，由对勾函数性质得到=+K1在−1,+∞上单调递增，故0<−1≤2，解得1<≤5，综上，实数的取值范围是−∞,5.故选：C.【变式2.2】（23-24高一上·北京·期中）已知函数=−2−B−5,≤1,>1是R上的增函数，则的取值范围是（）A．−∞,−2B．−∞,0C．−3,−2D．−3,−2【解题思路】根据函数在各段单调递增且断点左侧的函数值不大于右侧的函数值得到不等式组，解得即可.【解答过程】因为函数=−2−B−5,≤1,>1是R上的增函数，所以<0−2≥1−1−−5≤，解得−3≤≤−2，即的取值范围是−3,−2.故选：D.【考点3利用函数的单调性比较大小】【例3.1】（23-24高一上·福建福州·期中）函数=为定义在上的单调增函数，若≠0，则（）A．>2B．2>C．2+>D．2+>+1【解题思路】根据单调性判断．【解答过程】op是增函数，<0时，<2，op<o2p；=1时，2=，o2)=op；≠0，因此2+>，o2+p>op；0<<1时，2+<+1，o2+p<o+1)，故选：C．【例3.2】（23-24高二下·黑龙江·开学考试）=2021×202320232，=20282027，则（）20222，=2022×2024A．<<B．<<C．<<D．<<【解题思路】构造函数op=(K1)(r1)2=1−12,>0,易得单调递增，即可得到结果.【解答过程】因函数op=(K1)(r1)2=1−12在(0,+∞)上单调递增，故o2022)<o2023)，即<<1,=20282027>1,即<<故选:A.【变式3.1】（23-24高一上·河北邢台·阶段练习）已知2−=+2，且在0,2上单调递减，则1，2）A．<1<B．1<C．<1<2D．1【解题思路】根据2−=+2得到【解答过程】因为2−=+2，所以=因为在0,2上单调递减，所以=<1<=故选：A.【变式3.2】（2024高一·全国·专题练习）已知函数=4−2，若0<1<2<3≤212）<<<<3<2<12<3<1【解题思路】构造=在0,2上是减函数，利用单调性可得答案.【解答过程】设==为0,+∞上为增函数，42−1在0,2上为减函数，根据复合函数单调性得=0,2上是减函数，若0<22，3<2<1故选：C．【考点4利用函数的单调性解不等式】【例4.1】（23-24高一上·甘肃白银·期中）函数是定义在0,+∞上的增函数，则满足2−1<的的取值范围是（）【解题思路】根据函数的单调性，可得关于x的不等式，即可求得答案.【解答过程】由题意知函数是定义在0,+∞上的增函数，则由2−1<0≤2−1<13，解得12≤<23，即∈故选：D.【例4.2】（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）函数是定义在0,+∞上的增函数，则不等式> 8−16）A．2,B．−∞+∞D．2,+∞【解题思路】根据定义域以及单调性列出关于的不等式组，由此求解出解集.【解答过程】∵函数是定义在0,+∞上的增函数，∴有>08−16>0>8−16，解得2<<167，∴不等式>8−16的解集为2,故选：A．【变式4.1】（23-24高一上·全国·课后作业）已知是定义在(−∞,0]上的增函数，且−2=3，则满足2−3<3的x的取值范围是（）A．−∞3C．−∞,3【解题思路】根据函数的单调性进行求解即可.【解答过程】因为−2=3，所以由2−3<3⇒2−3<−2，因为是定义在(−∞,0]上的增函数，所以有2−3≤02−3<−2⇒<12，故选：A.【变式4.2】（23-24高一上·河北邢台·阶段练习）已知定义在0,+∞上的函数满足2=4，对任意的1,2∈0,+∞，且1≠2，121+2<122+221恒成立，则不等式−3> 2−6的解集为（）A．3,7B．−∞,5C．5,+∞D．3,5【解题思路】根据题意，得到1−2<0，令=在0,+∞上单调递减，>2，结合2=2，得到−3>2，即可求解.【解答过程】由题意知：121+2<122+221，可得21−21−11−221−221−12<0，且1,20,+∞，即1−2<0令=1<2，可得1−2<012>0，1>2在0,+∞上单调递减，则不等式−3>2−6，且−3>0>2，因为2=2=2，所以−3>2，则0<−3<2，解得3<<5，所以不等式−3>2−6的解集为3,5.故选：D.1．函数的最大（小）值(1)函数的最大（小）值：(2)利用函数单调性求最值的常用结论：①如果函数y=f (x )在区间[a ,b ]上单调递增，在区间[b ,c ]上单调递减，那么函数y =f (x ),x ∈[a ,c ]在x=b 处有最大值f (b )，如图(1)所示；②如果函数y =f (x )在区间[a ,b ]上单调递减，在区间[b ,c ]上单调递增，那么函数y =f (x ),x∈[a ,c ]在x=b 处有最小值f (b )，如图(2)所示.2．求函数最值的三种基本方法：(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.【考点1求函数的最值】【例1.1】（23-24高一上·广东江门·期中）函数=2K1r1，∈3,5的最大值是（）A．54B．32C．1D．2【解题思路】先分离常数，再利用函数单调性求解最值即可.【解答过程】=2K1r1==2−3r1，而=2K1r1的图象由函数=−3图象向左平移1个单位再向上平移2个单位得到，所以=2K1r1在3,5上单调递增，所以当=5时，函数=2K1r1，∈3,5有最大值为32.故选：B.【例1.2】（23-24高一上·北京·期中）函数op =−s ≤1,2,>1.的最小值为（）A．−1B．0C．1D．2【解题思路】根据函数的单调性求解．【解答过程】由已知≤1时op=−是减函数，o1)=−1，此时op≥−1，>1时，op=2是增函数，且op>1，所以op min=o1)=−1，故选：A．【变式1.1】（23-24高一上·湖北·期中）已知函数=2K1，∈−2,1∪1,6，则函数（）A．有最小值，无最大值B．有最大值，无最小值C．既有最小值又有最大值D．既无最小值，又无最大值【解题思路】画出函数图像，根据图像得到答案.【解答过程】函数=2K1的图像时是由=2向右平移1个单位形成，画出函数图像，如图所示：根据图像知，函数在−2,1∪1,6上既无最小值，又无最大值.故选：D.【变式1.2】（23-24高一上·重庆·期末）已知函数op=+4(>0)，记该函数在区间[−1,p(>1)上的最大值与最小值的差值为op，则op的最小值为（）A．17−2B．1C．13D．17−4【解题思路】根据op=+4(>0)的单调区间，分1<≤2、≥3、2<≤≤<3讨论即可.【解答过程】因为op=+4(>0)在0,2单调递减，在2,+∞单调递增，若−1>0≤2，即1<≤2时，则op在[−1,p上单调递减，所以op=o−1)−op=4oK1)−1，此时op的最小值为1．若−1≥2，即≥3，则op在[−1,p上单调递增，所以op=op−o−1)=1−4，此时op的最小值为13．若>2且o−1)≥op，即2<≤则op在[−1,2]上单调递减，在[2,p上单调递增，所以op=o−1)−o2)=−5+4K1，此时op的最小值为17−4．若<3且op≥o−1)，即≤<3，则op在[−1,2]上单调递减，在[2,p上单调递增，所以op=op−o2)=+4−4，此时op的最小值为17−4．综上，op的最小值为17−4．故选：D.【考点2利用函数的单调性求值域】【例2.1】（23-24高一上·湖北·阶段练习）函数=2−2+3≥2的值域是（）A．{U>0}B．{U≥2}C．{U≤1}D．{U≥3}【解题思路】根据二次函数单调性分析求解.【解答过程】因为函数=2−2+3开口向上，对称轴为=1，则=2−2+3在2,+∞内单调递增，且当=2时，则=3，可知函数的最小值为3，所以值域为3,+∞，即值域为b≥3.故选：D.【例2.2】（23-24高一上·湖北宜昌·阶段练习）函数=r1K3在区间2,4上的值域为（）A．−3,5B．−5,3C．−∞,−3∪5,+∞D．−∞,−3∪5,+∞【解题思路】将函数=r1K3分离常数，再利用函数的单调性求解.【解答过程】函数=r1K3=1+4K3，易得函数在2,3上单调递减，在3,4上单调递减，当=2时，J−3；当=4时，=5；所以函数的值域为−∞,−3∪5,+∞.故选：D.【变式2.1】（23-24高一上·江西·期中）函数=5K12+，∈−4,−2∪−2,1的值域是（）A．−∞C．−∞∪+∞【解题思路】利用分离常数法，结合函数的单调性求解即可．【解答过程】=5K12+=5−11r2，当∈−4,−2时，单调递增，≥−4=212，当∈−2,1时，单调递增，≤1=43，故函数=5K12+，∈−4,−2∪−2,1的值域是−∞∪+∞．故选：C．【变式2.2】（23-24高一上·河南商丘·期中）已知o1−2p=−1−2，则函数的值域为（）A．1,+∞2+∞C．−∞D．−∞,1【解题思路】利用换元法求得的解析式，进而结合二次函数的性质求解即可.【解答过程】设=1−2≥0，则=−122+12，∴op=−122+12−，∴=−122−+12=−+12+1，≥0，∵函数在0,+∞上单调递减，∴当=0时，max=12，∴函数=的值域为−∞故选：C.【考点3根据函数的最值求参数】【例3.1】（23-24高一上·广东茂名·期中）已知>0，若函数=+有最小值为4，则=（）A．2B．4C．−2D．−4【解题思路】根据题意，分=0，<0与>0讨论，再结合基本不等式代入计算，即可得到结果.【解答过程】当=0时，=在∈0,+∞单调递增，无最小值；当<0时，因为=在∈0,+∞单调递增，=在∈0,+∞单调递增，则=+在∈0,+∞单调递增，无最小值；当>0时，=+≥=2，当且仅当=时，即=时，等号成立，所以2=4，则=4，符合要求.故选：B.【例3.2】（23-24高一上·河南郑州·期中）若函数=B2+1在1,2上的最大值与最小值的差为3，则实数a的值是（）A．1B．−1C．1或−1D．0【解题思路】本题考查二次函数在给定区间最值问题，将2系数与0比较分类讨论函数在区间1,2的单调性即可求解.【解答过程】当=0时，=1，为常值函数，显然不合题意，舍去；当>0时，=B2+1为开口向上，对称轴为y轴的二次函数，所以它在区间1,2严格增，所以max−min=⋅22+1−⋅12+1=3=3，所以=1;当<0时，=B2+1为开口向下，对称轴为y轴的二次函数，所以它在区间1,2严格减，所以max−min=⋅12+1−⋅22+1=−3=3，所以=−1;故选：C.【变式3.1】（23-24高一上·北京·期中）已知函数=−2−2+3在区间s2上的最大值为154，则等于（）A．32B．12C．−12D．12或−32【解题思路】求得函数的对称轴，对分类讨论，结合二次函数的性质，即可求解.【解答过程】由函数=−2−2+3=−(+1)2+4，对称轴的方程为=−1，当≤−1时，则=−1时，函数取得最大值4，不满足题意；当−1<≤2时，可函数在区间s2上单调递减，所以当=时，函数取得最大值，最大值为=−2−2+3=154，解得=−12或=−32（舍去）.故选：C.【变式3.2】（23-24高一上·广东广州·阶段练习）定义一种运算min s=s≤s>，设=min4+ 2−2,−为常数，且∈[−3,3]，则使函数的最大值为4的的值可以是（）A．−2或4B．6C．4或6D．−4【解题思路】根据定义，先计算=4+2−2在∈−3,3上的最大值，然后利用条件函数op最大值为4，确定的取值即可．【解答过程】=4+2−2=−−12+5在∈−3,3上的最大值为5，所以由4+2−2=4，解得=2或=0，所以∈0,2时，=4+2−2>4，所以要使函数op最大值为4，则根据定义可知，当≤1时，即=2时，2−=4，此时解得=−2，符合题意；当>1时，即=0时，0−=4，此时解得=4，符合题意；故=−2或4.故选：A.一、单选题1．（23-24高一上·北京·期中）下列函数中，在区间0,+∞上是减函数的是（）A．=−3+2B．=3C．=2−1D．=−1【解题思路】用函数单调性定义可判断得结果.【解答过程】选项A：任取1>2>0，则1−2=−31+2−−32+2=32−1，又2−1<0，所以1−2<0，即1<2，所以函数=−3+2在0,+∞为减函数，故A正确；选项B：任取1>2>0，则1−2=13−23=1−212+12+22，又1−2>0,12+12+22>0，所以1−2>0，即1>2，所以函数=3在0,+∞为增函数，故B错误；选项C：任取1>2>0，则1−2=12−1−22−1=12−22=1−21+2，又1−2>0,1+2>0，所以1−2>0，即1>2，所以函数=2−1在0,+∞为增函数，故C 错误；选项D：任取1>2>0，则1−2=−−=1−212，又1−2>0,12>0，所以1−2>0，即1>2，所以函数=−1在0,+∞为增函数，故D错误；故选：A.2．（23-24高一上·湖南衡阳·期中）若≥4，则函数=+3K1的最小值是（）A．23B．23+1C．4D．5【解题思路】先对已知函数变形，令=−1，则=+从而可求出其最小值.【解答过程】=+3K1=−1+3K1+1，令=−1，则≥3，设=+3+1，∈3,+∞，任取1,2∈3,+∞，且1<2，则o1)−o2)=1+31+1−2+32+1=1−2+31−32=(1−2)+3(2−1)12=(1−2)21−312，因为1,2∈3,+∞，且1<2，所以1−2<0，21−312>0，所以(1−2)21−312<0，所以o1)−o2)<0，即o1)<o2)，所以在3,+∞上单调递增，所以min=3=5.故选：D.3．（23-24高一上·江西抚州·期中）函数=−1的单调递减区间是（）A．−∞,0B．1D．1,+∞【解题思路】根据函数解析式，作出函数图象，可得答案.【解答过程】解析：=−1,≥0−−1,<0，作出图象，可以得到函数的单调递减区间是故选：B.4．（23-24高一上·北京·期中）函数op=22−−1−1≤≤1的值域是（）A．0，1B．−98， 1C．1，2D．−98， 2【解题思路】根据函数单调性求出值域.【解答过程】op=22−−1−98，因为−1≤≤1，所以在1上单调递增，又o1)=2−1−1=0，o−1)=2+1−1=2，故op=22−−1在−1≤≤1上的值域为−98， 2.故选：D.5．（23-24高一上·江苏无锡·期中）已知函数=2−1,≤1B2−+2,>1的最小值是−1，则实数a的取值范围是（）∞+∞【解题思路】先根据端点处的函数值，然后讨论>0以及<0,=0，即可得出实数a的取值范围.【解答过程】由已知可得≤1,=2−1,显然op在−∞,0上单调递减，在0,1上单调递增，所以op在=0处取得最小值，0=0−1=−1，当>1时，op=B2−+2开口向上，对称轴为=12，当>0,12>1，即0<<12时，op在1,+∞上单调递增，所以op在=12处取得最小值=8K14≥−1，解得112≤<12；当>0,0<12≤1，即≥12时，op=B2−+2，则op在1,+∞上单调递增，所以op在=1处取得最小值，1=−1+2≥−1，解得≥12；当<0时，op=B2−+2开口向下，则op在1,+∞上必存在比−1小的值，不满足题意；当=0时，op=−+2，易得o4)=−2<−1，不满足题意；综上，≥112.故选：A.6．（23-24高一上·四川南充·阶段练习）已知函数op=2+2（>0），在区间[s+∞)上单调递增，则实数b的取值范围为（）A．≥1B．≥213C．≥2D．0<≤2【解题思路】利用定义法得到1,2∈(0,1)时，函数op单调递减，1,2∈(1,+∞)时，op单调递增，从而得到≥1.【解答过程】任取1,2∈(0,+∞)，1<2，故2−1=22+22−12−21=2−12+1−=2−1当1,2∈(0,1)时，2+1∈0,2∈0,1，故122+1∈0,2，故2−1=2−1<0，2<1，故函数op单调递减；当1,2∈(1,+∞)时，2+∞，12∈1,+∞，故122+1∈2,+∞，故2−1=2−1>0，2>1函数op单调递增；又op在区间[s+∞)上单调递增，所以≥1.故选：A.7．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）如图是函数=,∈−4,3的图象，则下列说法正确的是（）A．在−4,−1和1,3上单调递减B．在区间−1,3上的最大值为3，最小值为-2C．在−4,1上有最大值2，有最小值-1D．当直线=与函数=,∈−4,3图象有交点时−2<<3【解题思路】根据函数图象，结合函数的基本性质，逐项判断，即可得出结果.【解答过程】A选项，由函数op图象可得，在[−4,−1]上单调递减，在[−1,1]上单调递增，在[1,3]上单调递减，故A正确；B选项，由图象可得，函数op在区间(−1,3)上的最大值为3，无最小值，故B错；C选项，由图象可得，函数op在[−4,1]上有最大值3，有最小值−2，故C错；D选项，由图象可得，为使直线=与函数op的图象有交点，只需−2≤≤3，故D错.故选：A.8．（2024高一上·全国·专题练习）已知2−=+2，且在0,2上单调递减，则1，）A．<1<B．1<C．<1<D．<<1【解题思路】利用已知的函数性质，把比较函数值的大小转化到同一个单调区间上的函数值比较大小的问题来解决.【解答过程】因为2−=+2，所以=因为在0,2上单调递减，所以=<1<=故选：A.二、多选题9．（23-24高一上·新疆·阶段练习）（多选题）下列四个函数中，在0,+∞上为增函数的是（）A．=3−1B．=2−3C．=−1r1D．=−【解题思路】利用基本初等函数的单调性逐项判断，可得出合适的选项.【解答过程】对于A选项，函数=3−1在0,+∞上为增函数，A满足条件；对于B选项，函数=2−3在0,+∞上为增函数，B不满足条件；对于C选项，函数=−1r1在0,+∞上为增函数，C满足条件；对于D选项，当>0时，=−=−，则函数=−在0,+∞上为减函数，D不满足条件.故选：AC.10．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）设函数op=+(≠0)，则（）A．当>0时，函数op有最小值为2B．当<0时，函数op是增函数C．当>0,=4时，函数op有最小值为4D．存在正实数，使得函数op在[s+∞)上单调递增【解题思路】选项A，举特殊情况<0时，op=+没有最小值；选项B，函数op在=0处不连续，函数op不是增函数；选项C，利用基本不等式求出最小值即可；选项D，对的取值分类讨论，其中>0时，利用复合函数和对勾函数寻找正实数判断单调性即可.【解答过程】函数op=+(≠0)的定义域是{U≠0}，对于选项A，当<0时，在区间(0,+∞)上函数=和=都单调递增，故op=+(≠0)在区间(0,+∞)上单调递增，此时函数op没有最小值，选项A错误；对于选项B，定义域是{U≠0}，函数op在=0处不连续，函数op不是增函数，选项B错误；对于选项C，>0,=4，则+4≥=4（=2时等号成立），函数op有最小值为4，选项C 成立；对于选项D，当<0时，op=+(≠0)在区间(0,+∞)上单调递增，此时存在正实数，使得函数op 在[s+∞)上单调递增；当>0时，设≤1<2，o1)−o2)=(1+1)−(2+2)=(1−2)(12−p12，由≤1<2得：1−2<0，12>>0，1−>0，所以o1)−o2)<0，o1)<o2)成立，op=+(≠0)在区间[s+∞)上单调递增，此时存在正实数，使得函数op在[s+∞)上单调递增；选项D正确；故选：CD.三、填空题11．（23-24高一上·北京·期中）已知函数=2−在−∞,3上单调递减，则实数的取值范围【解题思路】将函数写成分段函数，即可得到函数的单调区间，依题意可得2≥3，解得即可.【解答过程】因为=2−=2−s≥2−<2，所以+∞上单调递增，在−∞。

函数单调性引入对于二次函数f (x )=x 2，我们可以这样描述“在区间（0，+∞）上，随着x 的增大，相应的f (x )也随着增大”；在区间（0，+∞）上，任取两个x 1，x 2，得到f (x 1)=x 12，f (x 2)=x 22，当x 1<x 2时，有f (x 1)<f (x 2).这时，我们就说函数f (x )=x 2在区间（0，+∞）上是增函数.一、 函数单调性的判断与证明 1、函数增减性的定义一般地，设函数f (x )的定义域为I ：如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说函数在区间D 上是增函数（increasing function ）如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么就说函数在区间D 上是减函数（decreasing function ）.【例1】下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( )A ．f (x )＝3－xB ．f (x )＝x 2－3xC ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x | 【解析】选C 当x >0时，f (x )＝3－x 为减函数；当x ∈⎝⎛⎭⎫0，32时，f (x )＝x 2－3x 为减函数，当x ∈⎝⎛⎭⎫32，＋∞时，f (x )＝x 2－3x 为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1x ＋1为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数．故选C.【例2】判断函数g (x )＝－2xx －1在(1，＋∞)上的单调性．【解】任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2，则g (x 1)－g (x 2)＝－2x 1x 1－1－－2x 2x 2－1＝2(x 1－x 2)(x 1－1)(x 2－1)， 因为1<x 1<x 2，所以x 1－x 2<0，(x 1－1)(x 2－1)>0，因此g (x 1)－g (x 2)<0，即g (x 1)<g (x 2)． 故g (x )在(1，＋∞)上是增函数． 【例3】 求下列函数的单调区间．(1)f (x )＝3|x |； (2)f (x )＝|x 2＋2x －3|； (3)y ＝－x 2＋2|x |＋1.【解】(1)∵f (x )＝3|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ， x ≥0，－3x ， x <0.图象如图所示．f (x )在(－∞，0]上是减函数， 在[0，＋∞)上是增函数． (2)令g (x )＝x 2＋2x －3＝(x ＋1)2－4.先作出g (x )的图象，保留其在x 轴及x 轴上方部分，把它在x 轴下方的图象翻到x 轴上方就得到f (x )＝|x 2＋2x －3|的图象，如图所示． 由图象易得：函数的递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞)； 函数的递减区间是(－∞，－3]，[－1,1]．(3)由于y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x ＜0，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x －1)2＋2，x ≥0，－(x ＋1)2＋2，x ＜0. 画出函数图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]， 单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)． 【例4】求函数y ＝x 2＋x －6的单调区间． 【解】令u ＝x 2＋x －6，y ＝x 2＋x －6可以看作有y ＝u 与u ＝x 2＋x －6的复合函数．由u ＝x 2＋x －6≥0，得x ≤－3或x ≥2.∵u ＝x 2＋x －6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数， 而y ＝u 在(0，＋∞)上是增函数． ∴y ＝x 2＋x －6的单调减区间为(－∞，－3]，单调增区间为[2，＋∞)．【例5】证明：函数f (x )=x 3+x 在R 上是增函数【变式1】利用函数单调性的定义，证明函数f (x )=√x 在区间 [0,+∞)上是增函数。

函数的单调性及应用1、定义：对于给定区间D 上的函数f (x )，若对于D 上的任意两个值x 1,x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<(>)f (x 2),则称f (x )是D 上的增（减）函数，区间D 称为f (x )的增（减）区间．2、证明函数单调性的步骤：证明函数单调性应该按下列步骤进行：第一步：取值 第二步：作差变形 第三步：定号 第四步：判断下结论3、现在已经学过的判断函数单调性的方法；数值列表法（不常用），图象法，定义法．题型一：用定义证明函数的单调性例1、判断函数f (x )=－x 3+1在(－∞,0)上是增函数还是减函数，并证明你的结论；如果x ∈（0，＋∞），函数f (x )是增函数还是减函数？所以f(x)在(－∞,0)上是减函数题型二：图象法对单调性的判断例2：指出下列函数的单调区间：是减函数，证明如下：上，在解：)0(1)(3-∞+-=x x f ))(()1()1()()(22221123231211x x x x x x x x x f x f ++-=+--+-=- 2121,,)0(x x x x <-∞且上任取，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=222211243)2()(x x x x x 043)2(,02222112>++>-x x x x x 又)()(,0)()(2121x f x f x f x f >>-∴即()()2211223y x y x x =-=-++题型三：利用已知函数单调性进行判断例3：判断函数 在(1，+∞)上的单调性．结论1：y ＝f (x ) (f (x ) 恒不为0），与 )(1x f y = 的单调性相反． 例4：设f (x )在定义域A 上是减函数，试判断y ＝3－2f (x )在A 上的单调性，并说明理由． 解：y=3－2f (x )在A 上是增函数，因为：任取x 1，x 2∈A ，且x 1<x 2,由f (x )在A 上为减函数，所以f (x 1)>f (x 2),故－2 f (x 1)<－2f (x 2) 所以3－2 f (x 1)<3－2f (x 2)即有y 1<y 2,由定义可知，y ＝3－2f (x )在A 上为增函数．结论2： y ＝f (x )与y ＝kf (x ) 当k >0时，单调性相同；当k <0时，单调性相反．结论3：若f (x )与g (x )在R 上是增函数，则f (x )+g (x )也是增函结论4：若f (x ) 在R 上是增函数， g (x )在R 上是减函数，则f (x ) －g (x )也是增函数．结论5：若f (x )(其中f (x )>0)在某个区间上为增函数，则)1()(,)(>n x f x f n n 也是增函数． 结论6：复合函数f [g (x )]由f (x )和g (x )的单调性共同决定．它们之间有如下关系：题型四：函数单调性解题应用例1：已知函数y=x 2－2ax ＋a 2－1在(－∞，1)上是减函数，求a 的取值范围． x x x y 4)2(22++=222412)41(2)4424(1y x x u x x =++->=+-∴-+∞解：，（而当时，为正数且增函数，递减，故原函数（＋）在，）上为减函数．2221y x ax a =-+-解：解此类由二次函数单调性求参数范围的题，最好将二次函数的图象画出来，通过图象进行分析，可以将抽象的问题形象化．练习：如果f (x )=x 2－(a －1)x +5在区间（0.5，1）上是增函数，那么f (2)的取值范围是什么？答案：[7，＋∞）例2：已知x ∈[0，1]，则函数 x x y --+=122 的最大值为_______ 最小值为_________ 利用函数的单调性求函数的值域，这是求函数值域和最值的又一种方法．例3：已知：f (x )是定义在[－1，1]上的增函数，且f (x －1)<f (x 2－1)求x 的取值范围．注： 在利用函数的单调性解不等式的时候，一定要注意定义域的限制．保证实施的是等价转化．例4：已知f (x )在其定义域R ＋上为增函数，f (2)=1，f (xy )=f (x )+f (y )解不等式,f (x )+f (x －2) ≤3 21120]1,0[)()(]1,0[)(]1,0[)(1)(22)(max min ===∴-=∴-=+=y x y x x g x f y x g x f x x g x x f 时，当－＝时，当上的增函数，是上的减函数是上的增函数，是则解：令可转化为不等式组解：依题意，)1x ()1(2-<-f x f ⎪⎩⎪⎨⎧-<-≤-≤-≤-≤-1111111122x x x x ⎪⎩⎪⎨⎧><≤≤≤≤∴1020202x x x x 或21≤<∴x 3)2()4()8(2)2()2()4()()()(=+=∴=+=∴+=f f f f f f y f x f xy f 解：解此类题型关键在于充分利用题目所给的条件，本题就抓住这点想办法构造出f (8)=3,这样就能用单调性解不等式了．题型五：复合函数单调区间的求法例1：设y=f (x )的单增区间是(2，6)，求函数y=f (2－x )的单调区间．)8()2(2f x x f ≤-由题意有⎪⎩⎪⎨⎧≤->->∴82020R )(2x x x x x f 上的增函数为＋ (]42，解得∈x 上是单调递减的。

(2)有时，在不等式一边没有符号“f”时，需转化为 含符号“f”的形式．如若已知f(a)＝0，f(x－b)<0，则f(x －b)<f(a)．
突破点一
突破点二
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函数的单调性与最值 结 束
应用(三) 求参数的取值范围 [例 4] (1)如果函数 f(x)＝ax2＋2x－3 在区间(－∞，4)上是单
突破点一
突破点二
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函数的单调性与最值 结 束
(2)若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与 f(x)单调性相反；
(3)在公共定义域内，函数y＝f(x)(f(x)≠0)与y＝－f(x)， y＝f1x单调性相反；
(4)在公共定义域内，函数y＝f(x)(f(x)≥0)与y＝ fx 单 调性相同；
因为函数 t＝x2－2x－3 的图象的对称轴为 x＝1，所以函数 t
在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增．
所以函数 f(x)的单调递增区间为[3，＋∞)． [答案] B
突破点一
突破点二
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函数的单调性与最值 结 束
[易错提醒] (1)单调区间是定义域的子集，故求单调区间时应树立
某个区间D上的任意两个自变量x1，x2
定义 当x1<x2时，都有
当x1<x2时，都有
_f(_x_1_)<__f(_x_2_) ，那么就说函数 f_(_x_1)_>_f_(x_2_)，那么就说函数
f(x)在区间D上是增函数 f(x)在区间D上是减函数
图象 描述
自左向右看图象是_上__升__的 自左向右看图象是下__降__的
B．[1,4]
C．[4，＋∞)