高一数学《函数的单调性与最值》第二课时教案(20200220101629)

3.1.1单调性与最值（一）学习目标：理解增函数、减函数、单调区间、单调性等概念，掌握增（减）函数的证明和判别, 学会运用函数图象理解和研究函数的性质。

学习重点：掌握运用定义或图象进行函数的单调性的证明和判别。

学习难点：理解概念。

学习过程：一、复习准备：1.引言：函数是描述事物运动变化规律的数学模型，那么能否发现变化中保持不变的特征呢？2. 观察下列各个函数的图象，并探讨下列变化规律：①随x的增大，y的值有什么变化？②能否看出函数的最大、最小值？③函数图象是否具有某种对称性？3. 画出函数f(x)= x＋2、f(x)= x2的图像。

（小结描点法的步骤：列表→描点→连线）二、讲授新课：1.教学增函数、减函数、单调性、单调区间等概念：①根据f(x)＝3x＋2、f(x)＝x2(x>0)的图象进行讨论：a.随x的增大，函数值怎样变化？b.当x1>x2时，f(x1)与f(x2)的大小关系怎样？②.一次函数、二次函数和反比例函数，在什么区间函数有怎样的增大或减小的性质？③定义增函数：设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数④探讨：仿照增函数的定义说出减函数的定义；→区间局部性、取值任意性⑤定义：如果函数f(x)在某个区间D上是增函数或减函数，就说f(x)在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D叫f(x)的单调区间。

⑥讨论：图像如何表示单调增、单调减？所有函数是不是都具有单调性？单调性与单调区间有什么关系？⑦一次函数、二次函数、反比例函数的单调性2.学习增函数、减函数的证明：例1．将进货单价40元的商品按50元一个售出时，能卖出500个，若此商品每个涨价1元，其销售量减少10个，为了赚到最大利润，售价应定为多少？1、例题讲解例1如图是定义在区间[－5，5]上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？例2．判断函数21y x =-在区间[2，6] 上的单调性三、巩固练习： 1.求证f(x)＝x ＋x1的(0,1)上是减函数，在[1,+∞]上是增函数。

函数的单调性与最值教案一、教学目标：1. 理解函数单调性的概念，能够判断简单函数的单调性。

2. 掌握利用单调性求函数的最值的方法。

3. 能够运用函数的单调性和最值解决实际问题。

二、教学内容：1. 函数单调性的定义与判断方法。

2. 利用单调性求函数的最值。

3. 函数单调性和最值在实际问题中的应用。

三、教学重点与难点：1. 函数单调性的判断方法。

2. 利用单调性求函数的最值。

四、教学方法与手段：1. 采用讲授法，讲解函数单调性的定义与判断方法。

2. 利用数形结合法，结合图形讲解函数的单调性和最值。

3. 运用实例法，分析实际问题中的函数单调性和最值。

五、教学过程：1. 引入：通过举例，让学生感受函数的单调性和最值在实际问题中的重要性。

2. 讲解：讲解函数单调性的定义与判断方法，结合图形进行分析。

3. 练习：让学生练习判断一些简单函数的单调性。

4. 讲解：讲解如何利用单调性求函数的最值，结合实例进行分析。

5. 练习：让学生练习求解一些函数的最值。

6. 总结：总结本节课的主要内容，强调函数单调性和最值在实际问题中的应用。

7. 作业布置：布置一些有关函数单调性和最值的练习题，巩固所学知识。

六、教学拓展：1. 引导学生思考函数单调性与其他数学概念的联系，如导数、极限等。

2. 探讨函数单调性在高等数学中的应用，如微分方程、最优化问题等。

七、案例分析：1. 分析实际问题，引导学生运用函数的单调性和最值解决实际问题。

2. 举例说明函数单调性和最值在经济学、物理学、工程学等领域的应用。

八、课堂互动：1. 组织学生进行小组讨论，分享各自在练习中的心得体会。

2. 邀请学生上台展示自己的解题过程，互相学习和交流。

九、教学评价：1. 课堂讲解：评价学生对函数单调性和最值的理解程度。

2. 练习作业：评价学生运用函数单调性和最值解决实际问题的能力。

十、教学反思：1. 反思本节课的教学内容、教学方法是否适合学生的学习需求。

2. 针对学生的学习情况，调整教学策略，提高教学效果。

第二章函数2.3函数的单调性和最值第2课时1．知识目标(1)利用图象判断函数的单调性、寻找函数的单调区间．(2)掌握函数的单调性的定义，用定义证明函数的单调性，作差结果符号的判断方法．(3)熟悉常见函数（绝对值函数、二次函数、分段函数等）的单调性及简单应用．2．核心素养目标(1)通过函数单调性的概念的学习和简单的应用，体会数形结合、分类讨论等基本的数学思想方法．(2)提高学生的数学运算和直观想象能力．教学重点：利用函数的图象判断单调性、寻找函数单调区间．教学难点：对函数单调性概念中关键词的理解．PPT课件．一、导入新课问题1：初中学习了一次函数y=kx+b的图象和性质，当自变量x变化时，函数值f(x)随之怎样变化？师生活动：教师引导学生观察图象的升降，学生观察图像并说出自己对图象的直观认识．预设的答案：当k>0时，直线是由左向右上升，即函数值y随自变量x的增大而增大；当k<0时，直线由左向右下降，即函数值y随自变量x的增大而减小．设计意图：在函数图象的观察中获取函数单调性的直观认识．问题2：二次函数、反比例函数的函数值是如何变化的？师生活动：引导学生从“形变”过渡到“数变”；从定性分析到定量分析，学生思考并回答．预设的答案：不同函数，其图象上升、下降规律不同；且同一函数在不同区间上的变化规律也不同；比如二次函数2y x =，当0x >时，函数值随着自变量的变大而变大；当0x <时，函数值随着自变量的变大而变小．设计意图：体会同一函数在不同区间上的变化差异．教师引语：用增大或减小来刻画一个函数在一个区间的变化是非常重要的，这一节课我们一起来学习函数的单调性，并板书课题．二、新知探究问题3：如图所示，是某个函数的图象，说出在各个区间，函数值f (x )随自变量x 的值的变化情况．师生活动：学生观察图像并做出回答．预设的答案：在区间[−6，−5]，[−2，1]，[3，4.5]，[7，8]上，函数值f (x )都是随x 的值的增大而增大；在区间(−5，−2)，(1，3)，(4.5，7)，(8，9]上，函数值f (x )都是随x 的值的增大而减小．设计意图：让学生观察具体的函数图象“上升、下降”的特征，加强学生对函数的单调性的直观认识．追问：怎样用数学符号语言表达函数值f (x )在区间[]65--，上随x 的值增大而增大呢？师生活动：先让学生从具体到抽象尝试概括，教师进行启发，最后得到符号表示只要12<x x ，就有12()()f x f x <．预设的答案：对任意的[]12,6,5x x ∈--，若12x x <，则12()()f x f x <；或则对任意的[]12,6,5x x ∈--，若12x x >，则12()()f x f x >．教师总结：我们借助数学符号语言，给出了一个与“无限”相关的变化规律的定量描述，即任取1x ，2x ，把“无穷”问题转化为了可操作的有限过程，这就是数学抽象的力量．设计意图：通过师生的合作、交流，突破增函数符号化这一难点；高一的学生符号化能力较弱，但是单调性的定义这一抽象过程尤为重要；这为以后学习其它知识的符号化学习提供了经验，同时也提升了学生的数学抽象素养．教师总结：函数值f (x )在区间[]65--，上随x 值的增大而增大，我们称y =f (x )在区间[]65--，上是增函数或递增的． 问题4：对于函数(),f x x I ∈，若在区间I 上存在两个实数12,x x ，当12x x <时，有()()12f x f x <，那么能否说函数()f x 在区间I 上是增函数？若不正确，请给出一个反例．师生活动：先由学生独立完成并交流，再由教师给出严格的单调性定义表述．预设的答案：不正确；对于函数2()f x x =满足12,(1)(2)f f -<-<，显然2()f x x=在区间]12⎡-⎣，上不是增函数． 追问1：类比函数f (x )在区间[]65--，是增函数的符号化语言，你能给出“定义域为D 的函数()f x 在定义域的某个区间I 上单调递增”的符号化语言表述吗？师生活动：先由学生独立完成并交流，再由教师给出严格的单调性定义表述．预设的答案：如果对于任意的12,x x I ∈，当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2)，那么就称函数y =f (x )在区间I 上是增函数或递增的；当函数()f x 在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数(increasing function)；增函数的图象是上升的．设计意图：通过师生的合作、交流，突破增函数符号化这一难点．高一的学生符号化能力较弱，但是单调性的定义这一抽象过程尤为重要，这为以后学习其它知识的符号化提供了经验，同时也提升了学生的数学抽象素养．追问2：类似地，你能不能给出“定义域为D 的函数()f x 在定义域的某个区间I 上单调递减”的符号化语言表述？预设的答案：如果对于任意的12,x x I ∈，当x 1<x 2时，都有f(x 1)>f(x 2)，那么就称函数y =f (x )在区间I 上是减函数或递减的；当函数()f x 在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数(Decreasing function)；减函数的图象是下降的．教师总结：函数y =f (x )在区间I 上是增函数（减函数），那么就称函数在区间I 上是单调函数，或称在区间I 上具有单调性，区间I 称为函数y =f (x )的单调区间；如二次函数f (x )=x 2在区间[0,)+∞上是单调增函数（单调递增），区间[0,)+∞是函数f (x )=x 2的单调增区间．设计意图：这个环节是本节课的重点，也是难点，其核心是通过从具体到抽象的过程，让学生学会用严格的符号语言刻画“在区间I 上，当x 增大时，相应的()f x 随之减小”．从图象到定性再到定量的不断精确化的过程中，通过问题串，设法引出“任意”，引导学生体会用“任意”和刻画“无限”的力量．在这里渗透由特殊到一般的数学思想方法，后面给出一般增函数的定义就更加自然了．问题5：你能写出函数()1f x x=和函数()2f x x =-的单调区间吗？ 师生活动：先由学生思考并交流，教师帮助完善．预设的答案：函数()1f x x=在()0-∞，，[0)+∞，上单调递减；函数()2f x x =-在()0-∞，上调递增，在[0)+∞，上单调递增． 设计意图：通过学生自己举反例是深化理解概念的重要方式，注意培养学生数学表达的严谨性和规范性．追问：能否说()1f x x=在定义域内单调递减？为什么？ 师生活动：先由学生思考并交流，教师帮助完善．预设的答案：函数1y x=的定义域为(-,0)(0,)∞+∞，由图象可知，在两个区间上函数都是单调递减的，但不能说成“函数在定义域内递减”或“函数的单调递减区间是+∞∞和区间(0,)∞+∞”，这不符合减函数的定义；只能说“函数在区间(-,0)(-,0)(0,)上都是递减的”．设计意图：这个辨析是为了区分“单调递增”与“增函数”、“单调递减”与“减函数”等概念，也是为了引导学生体会函数的单调性是对定义域内的某个区间而言的，是函数的局部性质．函数在某个区间上单调，并不意味着函数在整个定义域内都是单调的．问题6：“函数在区间I上单增”与“函数的单增区间是I”两种叙述含义相同吗？举例说明．+∞，则对预设的答案：含义不同，如函数f(x)=x2−2ax−1的单调递增区间为[2,)+∞上单调递增，则对称轴a≤2．称轴a=2；函数f(x)=x2−2ax−1在区间[2,)问题7：(1)如图所示是函数y＝－x2－2x；y＝－2x＋1，x∈[－1，＋∞)；y＝f(x)的图象，观察这三个图象，你能归纳出它们的共同特征吗？(2)在函数y＝f(x)的图象上任取一点A(x，y)，设点C的坐标为(x0，y0)，谁能用数学符号解释函数y＝f(x)的图象有最高点C？(3)形如上述问题中函数y＝f(x)的图象上最高点C的纵坐标就称为函数y＝f(x)的最大值．谁能给出函数最大值的定义？(4)函数最大值的定义中f(x)≤M即f(x)≤f(x0)，这个不等式反映了函数y＝f(x)的函数值具有什么特点？其图象又具有什么特征？(5)函数最大值的几何意义是什么？(6)函数y=－2x＋1，x∈(－1，+∞)有最大值吗？为什么？(7)点(－1，3)是不是函数y＝－2x＋1，x∈(－1，＋∞)的最高点？(8)求函数最值你发现了什么值得注意的地方？师生活动：小组讨论，教师来回巡视指导．预设的答案：(1)函数y＝－x2－2x的图象有最高点A，函数y＝－2x＋1，x∈[－1,＋∞)的图象有最高点B，函数y＝f(x)的图象有最高点C；也就是说，这三个函数的图象的共同特征是都有最高点．(2)由于点C是函数y＝f(x)图象上的最高点，则点A在点C的下方，即对定义域内任意x，都有y≤y0，即f(x)≤f(x0)；也就是对函数y＝f(x)的定义域内任意x，均有f(x)≤f(x0)成立．(3)一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足；①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M；那么称M是函数y＝f(x)的最大值．(4)f(x)≤M反映了函数y＝f(x)的所有函数值不大于实数M；这个函数的特征是图象有最高点，并且最高点的纵坐标是M．(5)函数最大值的几何意义：函数图象上最高点的纵坐标．(6)函数y＝－2x＋1，x∈(－1，＋∞)没有最大值，因为函数y＝－2x＋1，x∈(－1，＋∞)的图象没有最高点．(7)不是，因为该函数的定义域中没有－1．(8)讨论函数的最大值，要坚持定义域优先的原则；函数图象上有最高点时，这个函数才存在最大值；最高点必须是函数图象上的点．设计意图：小组合作讨论解决问题，提升学生合作意识；同时数形结合增强学生对函数最大值概念的理解．问题8：(1)类比函数的最大值，请你给出函数的最小值定义及其几何意义吗？(2)你认为讨论函数最小值应注意什么？师生活动：让学生思考函数最大值的定义，利用定义来类比定义．最高点类比最低点，不等号“≤”类比不等号“≥”．函数的最大值和最小值统称为函数的最值．预设的答案：(1)函数最小值的定义是：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足；①对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M．那么称M是函数y＝f(x)的最小值．函数最小值的几何意义：函数图象上最低点的纵坐标．(2)讨论函数的最小值，也要坚持定义域优先的原则；函数图象上有最低点时，这个函数才存在最小值；最低点必须是函数图象上的点．设计意图：让学生类比函数最大值的概念、特征得出函数最小值的概念、特征，提升学生自我解决问题的能力．三、巩固练习例1设f (x )=1x (x <0)，画出函数f (x +3)(x <−3)的图象，并通过图象直观判断它的单调性．师生活动：先让学生独立思考，共同讨论研究思路，教师展示图像的平移变换． 预设的答案：解：函数f (x +3)=1x+3(x <−3)，其图象是函数f (x )=1x 的图象向左平移3个单位得到，如图所示；该函数在区间(,3)-∞-上单调递减． 设计意图：掌握利用图象划分函数单调区间的方法．例2根据函数图象直观判断y =|x −1|的单调性，并求出函数的最值．师生活动：教师引导思考如何作图，学生观察图像得到函数的增减区间．预设的答案：解：函数1,111,1x x y x x x -≤⎧=-=⎨->⎩， 画出该函数的图象，如图所示，函数在区间(],1-∞上是减函数，在区间[)1,+∞上是增函数，函数的最小值min 0y =，无最大值．设计意图：掌握利用图象划分函数单调区间的方法．【课堂练习】1．函数2()3||2f x x x =-++单调减区间是__________，函数的最大值为__________． 师生活动：学生独立完成作图并展示交流，教师点评指导．预设的答案：去绝对值，可得函数2232()32x x f x x x ⎧-++=⎨--+⎩，，00x x ≥<， 当0x ≥时，函数2()32f x x x =-++的单调递减区间为32⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，， 当0x <时，函数2()32f x x x =--+的单调递减区间为3,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 故函数的最大值为417． 综上，函数2232,()32,x x f x x x ⎧-++=⎨--+⎩00x x ≥<的单调递减区间为30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦，函数的最大值为417． 设计意图：强化作图意识，增强学生对函数单调性和最值的理解．2．对于,a b R ∈，记{},,,,a a b max a b b a b ≥⎧=⎨<⎩函数(){1,3}()f x max x x x R =+-∈的最小值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 师生活动：学生独立完成，小组合作讨论，并安排小组代表回答，教师鼓励学生使用多种方法解决问题．预设答案：B ．{}1,1()max 1,33,1x x f x x x x x +≥⎧=+-=⎨-<⎩， 当1≥x 时，()1f x x =+，显然当1≥x 时，有()(1)2f x f =≥，当1x <时，()3f x x =-，显然当1x <时，有()(1)2f x f >=，因此函数()max{1,3}()f x x x x R =+-∈的最小值是2．设计意图：利用一次函数解析式求函数最值．四、归纳小结问题9：本节课我们学习了哪些内容？判断函数单调性时，应把握好哪些关键问题？ 结合本节课的学习过程，你对函数性质的研究方法有什么体会？师生活动：学生思考并回答，教师进行归纳．预设答案：(1)增函数、减函数的定义．(2)要特别注意定义中“定义域内某个区间”“属于”“任意”“都有”这几个关键词语．设计意图：①让学生准确叙述单调递增、单调递减、增函数、减函数的定义，通过举例使学生进一步把握函数单调性的要点．②引导学生进一步理解单调性是函数的局部性质、初步掌握如何对12()()f x f x -进行代数变形．③使学生体会“从定性到定量”的研究思路，即通过图象及自然语言刻画得到函数性质的定性刻画，再用符号语言进行定量刻画，从而使函数性质得到严谨的数学表达．作业布置：教材P62页习题2-3，A 组第1、2题，B 组第2、3题．五、目标检测设计1．函数2()11f x x =-+的单调增区间是__________． 设计意图：巩固由函数图像观察函数的单调区间．2．函数2()34f x x mx =-+在[5,)-+∞上是增函数，在(,5]-∞-上是减函数，则(1)f -=_________．设计意图：巩固函数增减区间概念．4．若函数2()4f x x ax =-+在[]13，内不单调，则实数a 的取值范围是__________． 设计意图：由函数单调性求参数范围．5．已知函数2(),(0,)1x f x x x =∈+∞+． (1)判断函数的单调性，并用定义法证明；(2)若(21)(1)f m f m ->-，求实数m 的取值范围．设计意图：强化函数单调性的规范证明．参考答案：1．答案：30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦． 解析：去绝对值，可得函数2232()32x x f x x x ⎧-+=⎨++⎩，，00x x ≥<，当0x ≥时，函数2()32f x x x =-+的单调递减区间为30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 当0x <时，函数2()32f x x x =++的单调递减区间为3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦， 综上，函数2232()32x x f x x x ⎧-+=⎨++⎩，，00x x ≥<的单调递减区间为30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦． 2．答案：(−∞,−1)，(−1,＋∞)． 解析：因为2()11f x x =-+， 所以f (x )的图象是由2y x =-的图象沿x 轴向左平移1个单位，然后沿y 轴向上平移一个单位得到，2y x=-的单调增区间为(−∞，0)，(0，＋∞)， 故f (x )的单调增区间是(−∞，−1)，(−1，＋∞)．3．答案：－23．解析：由于函数2()34f x x mx =-+在[5,)-+∞上是增函数，在(,5)-∞-上是减函数， 所以5,306m m =-=-， 所以2()3304f x x x =++，故(1)330423f -=-+=-．4．答案：13(,)22．解析：由题意得函数2()4f x x ax =-+的对称轴为2x a =，因为函数()f x 在[]1,3上不单调， 所以123a <<，即1322a <<． 故实数a 的取值范围是：13(,)22． 5．解：(1)()21222()2+,(0,)111x x f x x x x x +--===∈+∞+++， 该函数由函数()2f x x =-向左平移一个单位，再向上平移2个单位即可得到，如图所示；11由图可知，函数在(0,)x ∈+∞单增，现证明如下；设120x x <<，则121222()2+,()2+11f x f x x x --==++， 故()()()()()212112122221111x x f x f x x x x x --=-=++++， 由于120x x <<，210x x ->，所以()()210f x f x ->，即()()21f x f x >， 故2()1x f x x =+在(0,)x ∈+∞上单调递增； (2)若(21)(1)f m f m ->-，2()1x f x x =+在(0,)x ∈+∞上单调递增， 所以21010211m m m m ->⎧⎪->⎨⎪->-⎩，解得213m <<． 故实数m 的取值范围为213m <<．。

第2讲 函数的单调性与最值【2019年高考会这样考】1．利用函数的单调性求单调区间．2．利用函数的单调性求最值和参数的取值范围．【复习目标】本节复习时，首先回扣课本，应从“数”与“形”两个角度来把握函数的单调性和最值的概念，重点解决： (1)函数单调性的判断及其应用；(2)求函数的最值；再者复习时也必须精心准备，对常见题型的解法要熟练掌握。

基础梳理1．函数的单调性 (1)单调函数的定义设函数f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1＜x 2时，①若()()21x f x f <，则f (x )在区间D 上是增函数；②若 ()()21x f x f >，则f (x )在区间D 上是减函数．(2)单调性、单调区间的定义若函数f (x )在区间D 上是 增函数 或 减函数 ，则称函数f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做f (x )的单调区间． 2．函数的最值前提 设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足 条件 ① 对于任意x ∈I ，都有f (x )≤M ； ②存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M ① 对于任意x ∈I ，都有f (x )≥M ； ②存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M 结论 M 为最大值M 为最小值函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制．例如函数y ＝1x 分别在(－∞，0)，(0，＋∞)内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域即(－∞，0)∪(0，＋∞)内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)，不能用“∪”连接． 两种形式设任意x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1＜x 2，那么①f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数；f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＜0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．②(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数；(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＜0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．四种方法函数单调性的判断(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论．(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数．授课时间 检测平均分(3)导数法：利用导数研究函数的单调性． (4)图象法：利用图象研究函数的单调性． 五 问一问自己(1)“函数在区间()b a ,上单调增”与“函数的递增区间是(b a ,”就一回事吗？NO(2)求值域有哪些方法？你能够说出6种以上吗？直接法、反函数法、配方法、换元法、均值不等式法，判别式法、单调函数法、三角代换法、复合函数法、导数法。

高一数学函数的单调性教案2教学目标1．使学生明白得函数单调性的概念，并能判定一些简单函数在给定区间上的单调性．2．通过函数单调性概念的教学，培养学生分析问题、认识问题的能力．通过例题培养学生利用定义进行推理的逻辑思维能力．3．通过本节课的教学，渗透数形结合的数学思想，对学生进行辩证唯物主义的教育．教学重点与难点教学重点：函数单调性的概念．教学难点：函数单调性的判定．教学过程设计一、引入新课师：请同学们观看下面两组在相应区间上的函数，然后指出这两组函数之间在性质上的要紧区别是什么？（用投影幻灯给出两组函数的图象．）第一组：第二组：生：第一组函数，函数值y随x的增大而增大；第二组函数，函数值y随x的增大而减小．师：（手执投影棒使之沿曲线移动）对．他（她）答得专门好，这正是两组函数的要紧区别．当x变大时，第一组函数的函数值都变大，而第二组函数的函数值都变小．尽管在每一组函数中，函数值变大或变小的方式并不相同，但每一组函数却具有一种共同的性质．我们在学习一次函数、二次函数、反比例函数以及幂函数时，就曾经依照函数的图象研究过函数的函数值随自变量的变大而变大或变小的性质．而这些研究结论是直观地由图象得到的．在函数的集合中，有专门多函数具有这种性质，因此我们有必要对函数这种性质作更进一步的一样性的讨论和研究，这确实是我们今天这一节课的内容．（点明本节课的内容，既是曾经有所认识的，又是新的知识，引起学生的注意．）二、对概念的分析（板书课题：函数的单调性）师：请同学们打开课本第51页，请××同学把增函数、减函数、单调区间的定义朗读一遍．（学生朗读．）师：好，请坐．通过刚才阅读增函数和减函数的定义，请同学们摸索一个问题：这种定义方法和我们刚才所讨论的函数值y随自变量x的增大而增大或减小是否一致？假如一致，定义中是如何样描述的？生：我认为是一致的．定义中的“当时，都有”描述了y随x的增大而增大；“当时，都有”描述了y随x的增大而减少．师：说得专门正确．定义中用了两个简单的不等关系“”和“或”，它刻划了函数的单调递增或单调递减的性质．这确实是数学的魅力！（通过教师的情绪感染学生，激发学生学习数学的爱好．）师：现在请同学们和我一起来看刚才的两组图中的第一个函数和的图象，体会这种魅力．（指图说明．）师：图中关于区间[a，b]上的任意，，当时，都有，因此在区间[a，b]上是单调递增的，区间[a，b]是函数的单调增区间；而图中关于区间[a，b]上的任意，，当时，都有，因此在区间[a，b]上是单调递减的，区间[a，b]是函数的单调减区间．（教师指图说明分析定义，使学生把函数单调性的定义与直观图象结合起来，使新旧知识融为一体，加深对概念的明白得．渗透数形结合分析问题的数学思想方法．）师：因此我们能够说，增函数就其本质而言是在相应区间上较大的自变量对应……（不把话说完，指一名学生接着说完，让学生的思维始终跟着老师．）生：较大的函数值的函数．师：那么减函数呢？生：减函数就其本质而言是在相应区间上较大的自变量对应较小的函数值的函数．（学生可能回答得不完整，教师应指导他说完整．）师：好．我们刚刚以增函数和减函数的定义作了初步的分析，通过阅读和分析你认为在定义中我们应该抓住哪些关键词语，才能更透彻地认识定义？（学生思索．）学生在高中时期以至在以后的学习中经常会遇到一些概念（或定义），能否抓住定义中的关键词语，是能否正确地、深入地明白得和把握概念的重要条件，更是学好数学及其他各学科的重要一环．因此教师应该教会学生如何深入明白得一个概念，以培养学生分析问题，认识问题的能力．（教师在学生思索过程中，再一次有感情地朗读定义，并注意在关键词语处适当加重语气．在学生感到无从下手时，给以适当的提示．）生：我认为在定义中，有一个词“给定区间”是定义中的关键词语．师：专门好，我们在学习任何一个概念的时候，都要善于抓住定义中的关键词语，在学习几个相近的概念时还要注意区别它们之间的不同．增函数和减函数差不多上对相应的区间而言的，离开了相应的区间就全然谈不上函数的增减性．请大伙儿摸索一个问题，我们能否说一个函数在x=5时是递增或递减的？什么缘故？生：不能．因为现在函数值是一个数．师：对．函数在某一点，由于它的函数值是唯独确定的常数（注意这四个字“唯独确定”），因而没有增减的变化．那么，我们能不能脱离区间泛泛谈论某一个函数是增函数或是减函数呢？你能否举一个我们学过的例子？生：不能．比如二次函数，在y轴左侧它是减函数，在y轴右侧它是增函数．因而我们不能说是增函数或是减函数．（在学生回答问题时，教师板演函数的图像，从“形”上感知．）师：好．他（她）举了一个例子来关心我们明白得定义中的词语“给定区间”．这说明函数的单调性是函数在某一个区间上的性质，但这不排斥有些函数在其定义域内差不多上增函数或减函数．因此，今后我们在谈论函数的增减性时必须指明相应的区间．师：还有没有其他的关键词语？生：还有定义中的“属于那个区间的任意两个”和“都有”也是关键词语．师：你答的专门对．能说明一下什么缘故吗？（学生不一定能答全，教师应给予必要的提示．）师：“属于”是什么意思？生：确实是说两个自变量，必须取自给定的区间，不能从其他区间上取．师：假如是闭区间的话，能否取自区间端点？生：能够．师：那么“任意”和“都有”又如何明白得？生：“任意”确实是指不能取特定的值来判定函数的增减性，而“都有”则是说只要，就必须都小于，或都大于．师：能不能构造一个反例来说明“任意”呢？（让学生摸索片刻．）生：能够构造一个反例．考察函数，在区间[-2，2]上，假如取两个特定的值，，明显，而，，有，若由此判定是[-2，2]上的减函数，那就错了．师：那么如何来说明“都有”呢？生：在[-2，2]上，当，时，有；当，时，有，这时就不能说，在[-2，2]上是增函数或减函数．师：好极了！通过分析定义和举反例，我们明白要判定函数y=f（x）在某个区间内是增函数或减函数，不能由特定的两个点的情形来判定，而必须严格依照定义在给定区间内任取两个自变量，，依照它们的函数值和的大小来判定函数的增减性．（教师通过一系列的设问，使学生处于积极的思维状态，从抽象到具体，并通过反例的反衬，使学生加深对定义的明白得．在概念教学中，反例常常关心学生更深刻地明白得概念，锤炼学生的发散思维能力．）师：反过来，假如我们已知f（x）在某个区间上是增函数或是减函数，那么，我们就能够通过自变量的大小去判定函数值的大小，也能够由函数值的大小去判定自变量的大小．即一样成立则专门成立，反之，专门成立，一样不一定成立．这恰是辩证法中一样和专门的关系．（用辩证法的原理来说明数学知识，同时用数学知识去明白得辩证法的原理，如此的分析，有助于深入地明白得和把握概念，分清概念的内涵和外延，培养学生学习的能力．）三、概念的应用例1 图4所示的是定义在闭区间[-5，5]上的函数f（x）的图象，依照图象说出f（x）的单调区间，并回答：在每一个单调区间上，f（x）是增函数依旧减函数？（用投影幻灯给出图象．）生甲：函数y=f（x）在区间[-5，-2]，[1，3]上是减函数，因此[-5，-2]，[1，3]是函数y=f（x）的单调减区间；在区间[-2，1]，[3，5]上是增函数，因此[-2，1]，[3，5]是函数y=f（x）的单调增区间．生乙：我有一个问题，[-5，-2]是函数f（x）的单调减区间，那么，是否可认为（-5，-2）也是f（x）的单调减区间呢？师：问得好．这说明你想的专门认真，摸索问题专门严谨．容易证明：若f（x）在[a，b]上单调（增或减），则f（x）在（a，b）上单调（增或减）．反之不然，你能举出反例吗？一样来说．若f（x）在[a，b]上单调（增或减），且[，][a，b]，则f（x）在[，]（增或减）．反之不然．例2 证明函数f（x）=3x+2在（-∞，+∞）上是增函数．师：从函数图象上观看函数的单调性因此形象，但在理论上不够严格，专门是有些函数不易画出图象，因此必须学会依照解析式和定义从数量上分析辨认，这才是我们研究函数单调性的差不多途径．（指出用定义证明的必要性．）师：如何样用定义证明呢？请同学们摸索后在笔记本上写出证明过程．（教师巡视，并指定一名中等水平的学生在黑板上板演．学生可能会对如何比较和的大小关系感到无从入手，教师应给以启发．）师：关于和我们如何比较它们的大小呢？我们明白对两个实数a，b，假如a＞b，那么它们的差a-b就大于零；假如a=b，那么它们的差a—b就等于零；假如a＜b，那么它们的差a-b就小于零，反之也成立．因此我们可由差的符号来决定两个数的大小关系．生：（板演）设，是（-∞，+∞）上任意两个自变量，当时，，因此f（x）是增函数．师：他的证明思路是清晰的．一开始设，是（-∞，+∞）内任意两个自变量，并设（边说边用彩色粉笔在相应的语句下划线，并标注“①→设”），然后看，这一步是证明的关键，再对式子进行变形，一样方法是分解因式或配成完全平方的形式，这一步可概括为“作差，变形”（同上，划线并标注”②→作差，变形”）．但美中不足的是他没能说明什么缘故＜0，没有用到开始的假设“”，不要以为其显而易见，在那个地点一定要对变形后的式子说明其符号．应写明“因为x1＜x2，因此，从而＜0，即．”这一步可概括为“定符号”（在黑板上板演，并注明“③→定符号”）．最后，作为证明题一定要有结论，我们把它称之为第四步“下结论”（在相应位置标注“④→下结论”）．这确实是我们用定义证明函数增减性的四个步骤，请同学们记住．需要指出的是第二步，假如函数y=f（x）在给定区间上恒大于零，也能够小．（对学生的做法进行分析，把证明过程步骤化，能够形成思维的定势．在学生刚刚接触一个新的知识时，思维定势对明白得知识本身是有益的，同时对学生养成一定的思维适应，形成一定的解题思路也是有关心的．）调函数吗？并用定义证明你的结论．师：你的结论是什么呢？上差不多上减函数，因此我觉得它在定义域（-∞，0）∪（0，+∞）上是减函数．生乙：我有不同的意见，我认为那个函数不是整个定义域内的减函数，因为它不符合减函数的定义．比如取x1∈（-∞，0），取x2∈（0，+∞），明显成立，而，，明显有，而不是，因此它不是定义域内的减函数．生：也不能如此认为，因为由图象可知，它分别在（-∞，0）和（0，+∞）上差不多上减函数．域内的增函数，也不是定义域内的减函数，它在（-∞，0）和（0，+∞）每一个单调区间内差不多上减函数．因此在函数的几个单调增（减）区间之间不要用符号“∪”连接．另外，x=0不是定义域中的元素，现在不要写成闭区间．上是减函数．（教师巡视．对学生证明中显现的问题给予点拔．可依据学生的问题，给出下面的提示：（1）分式问题化简方法一样是通分．（2）要说明三个代数式的符号：k，，．要注意在不等式两边同乘以一个负数的时候，不等号方向要改变．对学生的解答进行简单的分析小结，点出学生在证明过程中所显现的问题，引起全体学生的重视．）四、课堂小结师：请同学小结一下这节课的要紧内容，有哪些是应该专门注意的？（请一个思路清晰，善于表达的学生口述，教师可从中给予提示．）生：这节课我们学习了函数单调性的定义，要专门注意定义中“给定区间”、“属于”、“任意”、“都有”这几个关键词语；在写单调区间时不要轻易用并集的符号连接；最后在用定义证明函数的单调性时，应该注意证明的四个步骤．五、作业1．课本P53练习第1，2，3，4题．数．．（*）+b＞0．由此可知（*）式小于0，即．课堂教学设计说明函数的单调性是函数的一个重要性质，是研究函数时经常要注意的一个性质．同时在比较几个数的大小、对函数作定性分析、以及与其他知识的综合应用上都有广泛的应用．对学生来说，函数的单调性早已有所知，然而没有给出过定义，只是从直观上接触过这一性质．学生对此有一定的感性认识，对概念的明白得有一定好处，但另一方面学生也会觉得是差不多学过的知识，感受乏味．因此，在设计教案时，加强了对概念的分析，期望能够使学生认识到看似简单的定义中有许多值得去推敲、去琢磨的东西，其中甚至包含着辩证法的原理．另外，对概念的分析是在引进一个新概念时必须要做的，对概念的深入的正确的明白得往往是学生认知过程中的难点．因此在本教案的设计过程中突出对概念的分析不仅仅是为了分析函数单调性的定义，而且想让学生对如何学会、弄明白一个概念有初步的认识，同时在以后的学习中学有所用．还有，使用函数单调性定义证明是一个难点，学生刚刚接触这种证明方法，给出一定的步骤是必要的，有利于学生明白得概念，也能够对学生把握证明方法、形成证明思路有所关心．另外，这也是以后要学习的不等式证明方法中的比较化的差不多思路，现在提出要求，对今后的教学作一定的铺垫．。

1.3.1 第二课时 函数的最大（小）值一、教学目标（一）核心素养教材以二次函数2()f x x =图象为例,观察出函数图象的最低点(0,0),这给我们提供了一种求函数最值的方法“图象观察法”,这也是一种最直接,最直观的方法.结合上一课时函数的单调性,学生通过函数图象,研究函数性质,寻求最值.在实际生活中,常遇到最值问题,我们是通过建立函数模型来进行研究,体现了数学与社会生活紧密联系.本节课,在探究函数的最值问题中,不断培育学生的数学运算、数学抽象、数学建模等数学核心素养.（二）学习目标1.通过函数图象,理解函数最大（小）值及几何意义．2.结合函数单调性求最大（小）值．3.函数最大（小）值的实际问题中的应用．（三）学习重点1.理解函数最大（小）值的概念及几何意义．2.求函数的最大（小）值．（四）学习难点结合函数单调性求最大（小）值．二、教学设计（一）课前设计1.预习任务一般地,设函数()f x 的定义域为I ,如果存在实数M 满足:（1）对任意的x I ∈,都有______;（2）存在0x I ∈,使得_______,那么我们称M 是函数()y f x =的最____值. 详解:()f x M ≤;0()f x M =;大或 ()f x M ≥;0()f x M =;小．2．预习自测（1）作函数22y x x =-+的图象,指出函数是否有的最值？若有,请求出最值．详解:有最大值,无最小值;最大值为1．(二)课堂设计1.知识回顾（1）常见初等函数的图象．（2）函数的单调性．2.问题探究探究一 通过函数图象,函数最高（低）点的位置特征及几何意义●活动① 学生作函数y x =,1y x=,2y x =图象,观察图象的最高（低）点生:y x =图象上下无限延伸,没有最高点,也没有最低点;1y x=图象上下无限延伸,没有最高点,也没有最低点,且中间断开; 2y x =图象往上无限延伸,没有最高点,最低点在(0,0)处;师:结合图像观察结论,能否阐述函数图象最高（低）点的位置特质及几何意义？ 生:2y x =图象最低点在(0,0)处.仔细观察发现,位置特征:最低点位于函数图象上,不是图像外的其他点;几何意义:函数图象上所有点在坐标系中的位置都高于它或和它一样高（最低点本身）.【设计意图】观察图象易找到最高（低）点,教学时对最高（低）点的位置特征、几何意义进行探究,展现数学概念生成的过程,培养学生严谨的逻辑推理能力. ●活动② 图象的最高（低）点所体现的函数对应关系本质师:点之间位置高度的如何量化,更显数学的严谨性.由第一课时函数单调性推导,我们在描述()f x 随着x 的增大而增大,任取点11(,)A x y 到22(,)B x y ,其中12x x <刻画x 的增大,因此,我们是借助于点的坐标来探究.同学们可以想一想:在坐标系中,图象的点的高度,是由构成图象点的纵坐标决定的.师:下面以2y x =图象最低点在(0,0)O 为例,探究函数对应关系本质图象上其他点的位置不低于点O⇔图象上任意点(,)Q x y 位置不低于点(0,0)O⇔任意点(,)Q Q Q x y 的纵坐标Q y 的值与(0,0)O 纵坐标O y 的值关系:Q O y y ≥;而任意点(,)Q Q Q x y 的横坐标Q x 的值与(0,0)O 横坐标O x 的关系:,Q O x x R ∈（定义域） ⇔定义域R 内,寻求纵坐标的最小值因此,我们可以下结论:函数图象的最高（低）点(,)Q Q Q x y 的实质是:函数在定义域内任取x 所对应的y 值小于或等于（大于或等于）该点的函数值Q y ;也可以这样描述,函数整个定义域I 内的函数值y 在Q x x =处有最大（小）值Q y ,称Q y 为函数的最大（小）值.关系流程如图:【设计意图】从图象的最高（低）点的“形”,如何过渡到最大（小）值这个“数”,是教学设计的重点.我们从最高（低）点的位置特征,几何意义分析,让学生充分认识到点的坐标,是图象的构成元素点的数量体现,对“形”的认识自然过渡到“数”的分析.点的坐标由横、纵坐标组成,在坐标系中图象上的点投影在x 轴所覆盖的范围、y 轴所覆盖的范围,分别对应了函数的定义域和值域.最高（低）点的横、纵坐标,在坐标系中该点投影在x 轴是其横坐标取值、y 轴上是其纵坐标取值,与其他点投影到y 轴上的值相比较,是最大（小）值,同时该点横、纵坐标分别对应了定义域内某个值,值域内的最大（小）值.●活动③函数最大（小）值的概念师:由以上的推导,我们能否生成函数最大（小）值的概念?生:存在某个值使得所有函数值都比它大（小）也可相等．师:由几何特征,这个值在值域中吗？请继续完善．生:这个值在值域中.值域中存在某个值,使得所有函数值都比它大（小）． 师:函数定义域优先,值域中某个值是否有一个x 与之对应？生:至少有一个x 与之对应,即存在性．师:一般地,设函数()f x 的定义域为I ,如果存在实数M 满足:（1）对任意的x I ∈,都有()f x M ≤（()f x M ≥）;（2）存在0x I ∈,使得0()f x M =,那么我们称M 是函数()y f x =的最大（小）值.【设计意图】学生要充分认识图象的最高（低）点的位置、该点坐标形式、坐标的对应实质这三者之间的联系,才能从“形”的位置特征及几何意义,到“数”对应方式,呈现了函数最大（小）值概念的生成过程.探究二 结合函数单调性求最大（小）值●活动①由图象观察函数最值．例1已知函数()11f x x x =++-．（1）画出()f x 的图象;（2）根据图象写出()f x 的最小值．【知识点】函数单调性 最值．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】（1）解:()11f x x x =++-2,12,112,1x x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩其图象如图所示:（2）由图象,得函数()f x 的最小值为2.【思路点拨】画出函数()y f x =的图象,依据函数最值的几何意义,借助图象写出最值．【答案】（1）略;（2）2.同类训练 如图为函数()y f x =,[4,7]x ∈-的图象,指出它的最大值、最小值．【知识点】函数单调性．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】观察函数图象可以知道,图象上位置最高的点是(3,3),最低的点是( 1.5,2)--,所以当3x =时取得最大值,最大值是3;当 1.5x =-时取得最小值,最小值是－2.【思路点拨】从左至右观察图象,在最高（低）点对应的纵坐标值,为函数的最大（小）值.【答案】3,-2．【设计意图】考查学生如何观察函数最值●活动②利用函数单调性求最值例2:求函数21y x =-在区间[2,6]上的最大值和最小值． 【知识点】函数单调性 最值．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】解:12,[2,6]x x ∀∈,且12x x <211212122()22()()11(1)(1)x x f x f x x x x x --=-=----， 12,[2,6]x x ∈,12(1)(1)0x x ∴-->．12x x <,120x x ∴->,12()()0f x f x ∴->,即12()()f x f x >．21y x ∴=-是区间[2,6]上的减函数． 因此,函数21y x =-在区间[2,6]的两个端点分别取得最大值与最小值,即在2x =时取得最大值,最大值为2,在6x =时取得最小值,最小值为0.4．【思路点拨】由图象可观察函数单减,在2x =处有最大值,在6x =处有最小值.在实际解答题中,能说明函数的单调性应先证明,再求最值．【答案】2，0.4．同类训练 求函数4()f x x x=+在[1,2]x ∈上的最大值与最小值． 【知识点】函数单调性．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】解:12,[1,2]x x ∀∈,且12x x <，则121212121212444()()()()()x x f x f x x x x x x x x x --=+-+=-． 12x x <,120x x ∴-<，1212,[1,2](1,4)x x x x ∈∴∈，，1212401x x x x ∴-＜，＞，1212()()0()().f x f x f x f x ∴-＞，即＞4()f x x x∴=+在[1,2]x ∈上是减函数． 从而函数的最大值是(1)145f =+=,最小值是(2)224f =+=．【思路点拨】由函数单调性求最值．【答案】5,4．【设计意图】求函数最值时,首先判定函数在给定区间的单调性,结合函数图象,在区间的端点值处取得最值.●活动③二次函数的最值问题例3求函数2()22f x x ax =-+在[2,4]上的最小值．【知识点】二次函数图象性质．【数学思想】数形结合思想、分类讨论思想．【解题过程】解:函数2()22f x x ax =-+的对称轴是x a =，当2a <时,()f x 在[2,4]上单增,min ()(2)64f x f a ==-，当4a >时,()f x 在[2,4]上单减,min ()(4)188f x f a ==-，当24a ≤≤时,2min ()()2f x f a a ==-．综上所述2min64,2()2,24188,4a a f x a a a a -<⎧⎪=-≤≤⎨⎪->⎩【思路点拨】二次函数在闭区间上求最值,关键是根据图象的对称轴相对于所给区间的位置来确定,对于含字母系数的二次函数的最值,要注意分类讨论.【答案】2min 64,2()2,24188,4a a f x a a a a -<⎧⎪=-≤≤⎨⎪->⎩同类训练 求函数2()22f x x x =-+在[,1]t t +上的最小值．【知识点】二次函数图象性质．【数学思想】数形结合思想、分类讨论思想．【解题过程】解:函数2()22f x x x =-+的对称轴是1x =．当110t t +<⇒<时,()f x 在[,1]t t +上单减,2min ()(1)1f x f t t =+=+； 当1t >时,()f x 在[,1]t t +上单增,2min ()()22f x f t t t ==-+；当1101t t t ≤≤+⇒≤≤时,min ()(1)1f x f ==．综上所述2min21,0()1,0122,1t t f x t t t t ⎧+<⎪=≤≤⎨⎪-+>⎩【思路点拨】二次函数在闭区间上求最值,关键是根据图象的对称轴相对于所给区间的位置来确定,对于含字母系数的二次函数的最值,要注意分类讨论.【答案】2min 21,0()1,0122,1t t f x t t t t ⎧+<⎪=≤≤⎨⎪-+>⎩例4 函数2()34f x x x =--的定义域为[0,]m （0m >）,值域为25[,4]4--,求m 的取值范围.【知识点】二次函数图象性质．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】解:2()34(4)(1)f x x x x x =--=-+如图min 325()()24f x f ==-,错误！未找到引用源。

第2课时函数的最大值、最小值一般地，设y＝f(x)的定义域为A.如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f(x)≤f(x0)，那么称f(x0)为y＝f(x)的最大值，记为y max＝f(x0)．2．函数的最小值一般地，设y＝f(x)的定义域为A.如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f(x)≥f(x0)，那么称f(x0)为y＝f(x)的最小值，记为y min＝f(x0)．思考：函数的最值与值域是一回事吗？[提示]不是．最值与值域是不同的，值域是一个集合，而最值只是这个集合中的一个元素．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f(x)＝－x2≤1总成立，故f(x)的最大值为 1.( )(2)若函数f(x)在定义域内存在无数个x使得f(x)≤M成立，则f(x)的最大值为M. ( )(3)函数f(x)＝x的最大值为＋∞.( )[答案](1)×(2)×(3)×[提示](1)×.因为在定义域内找不到x使得x2＝－1成立．(2)×.因为“无数”并非“所有”，故不正确．(3)×.“＋∞”不是一个具体数．2.函数f (x )在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值是_________．[答案] －13．已知函数f (x )＝|x |，x ∈[－1,3]，则f (x )的最大值是____________．3 [根据函数图象可知，f (x )的最大值为3.]4．函数y ＝2x 2＋2，x ∈N *的最小值是__________．[答案] 45．函数y ＝1x 在[2,6]上的最大值与最小值之和等于__________．23 [函数y ＝1x在区间[2,6]上是减函数，当x ＝2时取得最大值12，当x ＝6时取得最小值16，12＋16＝23.] 利用图象求函数的最值思路点拨：先整理化简函数关系式，写成分段函数的形式，作出图象，再找最高点和最低点即可．[解] 原函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋1，－2≤x ≤－1，3，－1<x ≤2，2x －1，2<x ≤4，图象如图．故函数的最小值为3，最大值为7.用图象法求最值的一般步骤(1)已知函数f (x )＝2x 在区间[1,2]上的最大值为A ，最小值为B ，则A －B ＝________.(2)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ，0≤x ≤1，2，1<x <2，3，x ≥2的最大值是________． (1)1 (2)3 [(1)f (x )＝2x在[1,2]上的图象是单调递减的，∴A ＝f (1)＝2，B ＝f (2)＝1，∴A －B ＝1.(2)作出f (x )的图象如图所示，∴f (x )max ＝3.]利用单调性求函数的最值【例2】 已知函数f (x )＝xx －1.(1)用函数单调性定义证明f (x )＝x x －1在(1，＋∞)上是单调减函数；(2)求函数f (x )＝xx －1在区间[3,4]上的最大值与最小值．思路点拨：(1)利用单调性的定义证明．(2)利用(1)的结论求最值．[解] (1)证明：设x 1，x 2为区间(1，＋∞)上的任意两个实数，且1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－1－x 2x 2－1＝x 2－x 1x 1－1x 2－1， 因为1<x 1<x 2.所以x 2－x 1>0，x 1－1>0，x 2－1>0，所以f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)．故函数f (x )＝xx －1在(1，＋∞)上为单调递减函数．(2)由上述(1)可知，函数f (x )＝x x －1在[3,4]上为单调递减函数， 所以在x ＝3时，函数f (x )＝x x －1取得最大值32； 在x ＝4时，函数f (x )＝x x －1取得最小值43. (变条件)求函数f (x )＝xx －1在[－4，－3]上的最值．[解] 任取x 1，x 2∈[－4，－3]且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－1－x 2x 2－1＝x 2－x 1x 1－1x 2－1. ∵x 1，x 2∈[－4，－3]，∴x 1－1<0，x 2－1<0.又x 1<x 2，∴x 2－x 1>0，∴f (x 1)－f (x 2)>0，∴f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在[－4，－3]上单调递减，∴f (x )max ＝f (－4)＝45， f (x )min ＝f (－3)＝34，∴f (x )在[－4，－3]上最大值为45，最小值为34. 1．当函数图象不好作或无法作出时，往往运用函数单调性求最值．2．函数的最值与单调性的关系(1)若函数在闭区间[a ，b ]上是减函数，则f (x )在[a ，b ]上的最大值为f (a )，最小值为f (b )；(2)若函数在闭区间[a ，b ]上是增函数，则f (x )在[a ，b ]上的最大值为f (b )，最小值为f (a )；(3)求最值时一定要注意所给区间的开闭，若是开区间，则不一定有最大(小)值． 二次函数求值域1.如图是函数f (x )＝(x －1)2－1的图象，说明当定义域分别为[－1,0]，⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3和[0,3]时，f (x )的单调性． [提示] f (x )在[－1,0]上单调递减；在⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3上单调递增； 在[0,1]上单调递减，在(1,3]上单调递增． 2．结合图象说明当定义域分别为上述三个区间时，f (x )的最值．[提示] 结合图象的单调性，可得x ∈[－1,0]时，f (x )max ＝f (－1)＝3，f (x )min ＝f (0)＝0. x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3时，f (x )max ＝f (3)＝3，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－34.x ∈[0,3]时，f (x )max ＝f (3)＝3，f (x )min ＝f (1)＝－1.3．通过探究2，分析函数f (x )取最值时的x 与对称轴的距离有什么关系？[提示] 通过观察图象，可以发现，①当对称轴不在区间内部时，两个最值均在端点处取得且离对称轴近的端点对应的函数值较小，较远的端点对应的函数值较大．②当对称轴在区间内部时，对称轴对应函数的最小值，最大值在离对称轴较远的端点处取得．因此，我们求二次函数的最值时应该分析对称轴和区间的关系．【例3】 求二次函数f (x )＝x 2－2ax ＋2在[2,4]上的最小值． 思路点拨：f (x )的对称轴是x ＝a ，a 是运动变化的，故求最值时，应该讨论a 与区间[2,4]的关系，进而确定单调性和最值．[解] ∵函数图象的对称轴是x ＝a ，∴当a <2时，f (x )在[2,4]上是增函数，∴f (x )min ＝f (2)＝6－4a .当a >4时，f (x )在[2,4]上是减函数，∴f (x )min ＝f (4)＝18－8a .当2≤a ≤4时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2.∴f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧6－4a ，a <2，2－a 2，2≤a ≤4，18－8a ，a >4. 1．(变设问)在本例条件下，求f (x )的最大值． [解] ∵函数图象的对称轴是x ＝a ， ∴当a ≤3时，f (x )max ＝f (4)＝18－8a ， 当a >3时，f (x )max ＝f (2)＝6－4a . ∴f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧18－8a ，a ≤3，6－4a ，a >3.2．(变设问)在本例条件下，若f (x )的最小值为2，求a 的值．[解] 由本例解析知f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 6－4a ，a <2，2－a 2，2≤a ≤4，18－8a ，a >4.当a <2时，6－4a ＝2，a ＝1；当2≤a ≤4时，2－a 2＝2，a ＝0(舍去)；当a >4时，若18－8a ＝2，a ＝2(舍去)．∴a 的值为1.3．(变条件，变设问)本例条件变为，若f (x )＝x 2－2ax ＋2，当x ∈[2,4]时，f (x )≤a 恒成立，求实数a 的取值范围．[解] 在[2,4]内，f (x )≤a 恒成立，即a ≥x 2－2ax ＋2在[2,4]内恒成立，即a ≥f (x )max ，x ∈[2,4]．又f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 18－8a ，a ≤3，6－4a ，a >3.(1)当a ≤3时，a ≥18－8a ，解得a ≥2，此时有2≤a ≤3.(2)当a >3时，a ≥6－4a ，解得a ≥65，此时有a >3. 综上有实数a 的取值范围是[2，＋∞)． 求二次函数的最大小值有两种类型：一是函数定义域为实数集R ，这时只要根据抛物线的开口方向，应用配方法即可求出最大小值；二是函数定义域为某一区间，这时二次函数的最大小值由它的单调性确定，而它的单调性又由抛物线的开口方向和对称轴的位置在区间内，在区间左侧，在区间右侧来决定，当开口方向或对称轴位置不确定时，需要进行分类讨论.1．函数的最值与值域、单调性之间的联系(1)对一个函数来说，其值域是确定的，但它不一定有最值，如函数y ＝1x.如果有最值，则最值一定是值域中的一个元素． (2)若函数y ＝f (x )在闭区间[a ，b ]上单调，则y ＝f (x )的最值必在区间端点处取得．即最大值是f (a )或f (b )，最小值是f (b )或f (a )．2．对二次函数f (x )＝a (x －h )2＋k (a >0)在区间[p ，q ]上的最值问题可作如下讨论：①对称轴x ＝h 在区间[p ，q ]的左侧，即当h <p 时，f (x )max ＝f (q )，f (x )min ＝f (p )．②对称轴x ＝h 在区间[p ，q ]之间，即当p ≤h ≤q 时，f (x )min ＝f (h )＝k ；当p ≤h <p ＋q 2时，f (x )max ＝f (q )，当h ＝p ＋q 2时，f (x )max ＝f (p )＝f (q )，当p ＋q 2<h ≤q 时，f (x )max ＝f (p )；③对称轴x ＝h 在区间[p ，q ]的右侧，即当h >q 时，f (x )max ＝f (p )，f (x )min ＝f (q ).1．函数y ＝－x ＋1在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的最大值是( ) A ．0B ．－12C ．12D ．－1C [∵函数y ＝－x ＋1在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上是减函数， ∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12＋1＝12.] 2．函数f (x )＝2x －1的定义域是(－∞，1)∪[2,5)，则其值域是________．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2 [函数f (x )在(－∞，1)上是减函数，在(1，＋∞)上也是减函数，而x ∈(－∞，1)∪[2,5)，所以y ∈(－∞，0)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2.] 3．函数y ＝x 2－2x －1在闭区间[0,3]上的最大值与最小值的和是________．0 [∵y ＝x 2－2x －1＝(x －1)2－2，∴函数的对称轴为x ＝1，∴函数在区间[0,1]上为减函数，在区间[1,3]上为增函数．∴当x ＝1时，函数取最小值－2，当x ＝3时，函数取最大值2，∴最大值与最小值的和为0.]4．已知函数f (x )＝4x 2－mx ＋1在(－∞，－2)上递减，在[－2，＋∞)上递增，求f (x )在[1,2]上的值域．[解] ∵f (x )在(－∞，－2)上递减，在[－2，＋∞)上递增，∴函数f (x )＝4x 2－mx ＋1的对称轴方程x ＝m 8＝－2，即m ＝－16. 又[1,2]⊆[－2，＋∞)，且f (x )在[－2，＋∞)上递增． ∴f (x )在[1,2]上递增，∴当x＝1时，f(x)取得最小值f(1)＝4－m＋1＝21；当x＝2时，f(x)取得最大值f(2)＝16－2m＋1＝49.∴f(x)在[1,2]上的值域为[21,49]．。

第三节 函数的基本性质1.3.1 第二课时 函数的最大（小）值（李波）一、教学目标（一）核心素养教材以二次函数2()f x x =图象为例,观察出函数图象的最低点(0,0),这给我们提供了一种求函数最值的方法“图象观察法”,这也是一种最直接,最直观的方法.结合上一课时函数的单调性,学生通过函数图象,研究函数性质,寻求最值.在实际生活中,常遇到最值问题,我们是通过建立函数模型来进行研究,体现了数学与社会生活紧密联系.本节课,在探究函数的最值问题中,不断培育学生的数学运算、数学抽象、数学建模等数学核心素养.（二）学习目标1.通过函数图象,理解函数最大（小）值及几何意义．2.结合函数单调性求最大（小）值．3.函数最大（小）值的实际问题中的应用．（三）学习重点1.理解函数最大（小）值的概念及几何意义．2.求函数的最大（小）值．（四）学习难点结合函数单调性求最大（小）值．二、教学设计（一）课前设计1.预习任务一般地,设函数()f x 的定义域为I ,如果存在实数M 满足:（1）对任意的x I ∈,都有______;（2）存在0x I ∈,使得_______,那么我们称M 是函数()y f x =的最____值. 详解:()f x M ≤;0()f x M =;大或 ()f x M ≥;0()f x M =;小．2．预习自测（1）作函数22y x x =-+的图象,指出函数是否有的最值？若有,请求出最值． 详解:有最大值,无最小值;最大值为1．(二)课堂设计1.知识回顾（1）常见初等函数的图象．（2）函数的单调性．2.问题探究探究一 通过函数图象,函数最高（低）点的位置特征及几何意义●活动① 学生作函数y x =,1y x =,2y x =图象,观察图象的最高（低）点生:y x =图象上下无限延伸,没有最高点,也没有最低点;1y x=图象上下无限延伸,没有最高点,也没有最低点,且中间断开; 2y x =图象往上无限延伸,没有最高点,最低点在(0,0)处;师:结合图像观察结论,能否阐述函数图象最高（低）点的位置特质及几何意义？ 生:2y x =图象最低点在(0,0)处.仔细观察发现,位置特征:最低点位于函数图象上,不是图像外的其他点;几何意义:函数图象上所有点在坐标系中的位置都高于它或和它一样高（最低点本身）.【设计意图】观察图象易找到最高（低）点,教学时对最高（低）点的位置特征、几何意义进行探究,展现数学概念生成的过程,培养学生严谨的逻辑推理能力. ●活动② 图象的最高（低）点所体现的函数对应关系本质师:点之间位置高度的如何量化,更显数学的严谨性.由第一课时函数单调性推导,我们在描述()f x 随着x 的增大而增大,任取点11(,)A x y 到22(,)B x y ,其中12x x <刻画x 的增大,因此,我们是借助于点的坐标来探究.同学们可以想一想:在坐标系中,图象的点的高度,是由构成图象点的纵坐标决定的.师:下面以2y x =图象最低点在(0,0)O 为例,探究函数对应关系本质图象上其他点的位置不低于点O⇔图象上任意点(,)Q x y 位置不低于点(0,0)O⇔任意点(,)Q Q Q x y 的纵坐标Q y 的值与(0,0)O 纵坐标O y 的值关系:Q O y y ≥;而任意点(,)Q Q Q x y 的横坐标Q x 的值与(0,0)O 横坐标O x 的关系:,Q O x x R ∈（定义域） ⇔定义域R 内,寻求纵坐标的最小值因此,我们可以下结论:函数图象的最高（低）点(,)Q Q Q x y 的实质是:函数在定义域内任取x 所对应的y 值小于或等于（大于或等于）该点的函数值Q y ;也可以这样描述,函数整个定义域I 内的函数值y 在Q x x =处有最大（小）值Q y ,称Q y 为函数的最大（小）值.关系流程如图:【设计意图】从图象的最高（低）点的“形”,如何过渡到最大（小）值这个“数”,是教学设计的重点.我们从最高（低）点的位置特征,几何意义分析,让学生充分认识到点的坐标,是图象的构成元素点的数量体现,对“形”的认识自然过渡到“数”的分析.点的坐标由横、纵坐标组成,在坐标系中图象上的点投影在x 轴所覆盖的范围、y 轴所覆盖的范围,分别对应了函数的定义域和值域.最高（低）点的横、纵坐标,在坐标系中该点投影在x 轴是其横坐标取值、y 轴上是其纵坐标取值,与其他点投影到y 轴上的值相比较,是最大（小）值,同时该点横、纵坐标分别对应了定义域内某个值,值域内的最大（小）值.●活动③函数最大（小）值的概念师:由以上的推导,我们能否生成函数最大（小）值的概念?生:存在某个值使得所有函数值都比它大（小）也可相等．师:由几何特征,这个值在值域中吗？请继续完善．生:这个值在值域中.值域中存在某个值,使得所有函数值都比它大（小）． 师:函数定义域优先,值域中某个值是否有一个x 与之对应？生:至少有一个x 与之对应,即存在性．师:一般地,设函数()f x 的定义域为I ,如果存在实数M 满足:（1）对任意的x I ∈,都有()f x M ≤（()f x M ≥）;（2）存在0x I ∈,使得0()f x M =,那么我们称M 是函数()y f x =的最大（小）值.【设计意图】学生要充分认识图象的最高（低）点的位置、该点坐标形式、坐标的对应实质这三者之间的联系,才能从“形”的位置特征及几何意义,到“数”对应方式,呈现了函数最大（小）值概念的生成过程.探究二 结合函数单调性求最大（小）值●活动①由图象观察函数最值．例1已知函数()11f x x x =++-．（1）画出()f x 的图象;（2）根据图象写出()f x 的最小值．【知识点】函数单调性 最值．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】（1）解:()11f x x x =++-2,12,112,1x x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩其图象如图所示:（2）由图象,得函数()f x 的最小值为2.【思路点拨】画出函数()y f x =的图象,依据函数最值的几何意义,借助图象写出最值．【答案】（1）略;（2）2.同类训练 如图为函数()y f x =,[4,7]x ∈-的图象,指出它的最大值、最小值．【知识点】函数单调性．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】观察函数图象可以知道,图象上位置最高的点是(3,3),最低的点是( 1.5,2)--,所以当3x =时取得最大值,最大值是3;当 1.5x =-时取得最小值,最小值是－2.【思路点拨】从左至右观察图象,在最高（低）点对应的纵坐标值,为函数的最大（小）值.【答案】3,-2．【设计意图】考查学生如何观察函数最值●活动②利用函数单调性求最值例2:求函数21y x =-在区间[2,6]上的最大值和最小值． 【知识点】函数单调性 最值．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】解:12,[2,6]x x ∀∈,且12x x <211212122()22()()11(1)(1)x x f x f x x x x x --=-=----， 12,[2,6]x x ∈,12(1)(1)0x x ∴-->．12x x <,120x x ∴->,12()()0f x f x ∴->,即12()()f x f x >．21y x ∴=-是区间[2,6]上的减函数． 因此,函数21y x =-在区间[2,6]的两个端点分别取得最大值与最小值,即在2x =时取得最大值,最大值为2,在6x =时取得最小值,最小值为0.4．【思路点拨】由图象可观察函数单减,在2x =处有最大值,在6x =处有最小值.在实际解答题中,能说明函数的单调性应先证明,再求最值．【答案】2，0.4．同类训练 求函数4()f x x x=+在[1,2]x ∈上的最大值与最小值． 【知识点】函数单调性．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】解:12,[1,2]x x ∀∈,且12x x <，则121212121212444()()()()()x x f x f x x x x x x x x x --=+-+=-． 12x x <,120x x ∴-<，1212,[1,2](1,4)x x x x ∈∴∈，，1212401x x x x ∴-＜，＞，1212()()0()().f x f x f x f x ∴-＞，即＞4()f x x x∴=+在[1,2]x ∈上是减函数． 从而函数的最大值是(1)145f =+=,最小值是(2)224f =+=．【思路点拨】由函数单调性求最值．【答案】5,4．【设计意图】求函数最值时,首先判定函数在给定区间的单调性,结合函数图象,在区间的端点值处取得最值.●活动③二次函数的最值问题例3求函数2()22f x x ax =-+在[2,4]上的最小值．【知识点】二次函数图象性质．【数学思想】数形结合思想、分类讨论思想．【解题过程】解:函数2()22f x x ax =-+的对称轴是x a =，当2a <时,()f x 在[2,4]上单增,min ()(2)64f x f a ==-，当4a >时,()f x 在[2,4]上单减,min ()(4)188f x f a ==-，当24a ≤≤时,2min ()()2f x f a a ==-．综上所述2min64,2()2,24188,4a a f x a a a a -<⎧⎪=-≤≤⎨⎪->⎩【思路点拨】二次函数在闭区间上求最值,关键是根据图象的对称轴相对于所给区间的位置来确定,对于含字母系数的二次函数的最值,要注意分类讨论.【答案】2min 64,2()2,24188,4a a f x a a a a -<⎧⎪=-≤≤⎨⎪->⎩同类训练 求函数2()22f x x x =-+在[,1]t t +上的最小值．【知识点】二次函数图象性质．【数学思想】数形结合思想、分类讨论思想．【解题过程】解:函数2()22f x x x =-+的对称轴是1x =．当110t t +<⇒<时,()f x 在[,1]t t +上单减,2min ()(1)1f x f t t =+=+； 当1t >时,()f x 在[,1]t t +上单增,2min ()()22f x f t t t ==-+；当1101t t t ≤≤+⇒≤≤时,min ()(1)1f x f ==．综上所述2min21,0()1,0122,1t t f x t t t t ⎧+<⎪=≤≤⎨⎪-+>⎩【思路点拨】二次函数在闭区间上求最值,关键是根据图象的对称轴相对于所给区间的位置来确定,对于含字母系数的二次函数的最值,要注意分类讨论.【答案】2min 21,0()1,0122,1t t f x t t t t ⎧+<⎪=≤≤⎨⎪-+>⎩例4 函数2()34f x x x =--的定义域为[0,]m （0m >）,值域为25[,4]4--,求m 的取值范围.【知识点】二次函数图象性质．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】解:2()34(4)(1)f x x x x x =--=-+如图min 325()()24f x f ==-,=-43[,3]2m ∴∈． 【思路点拨】由值域求定义域,本质是求值域方法的逆向思维,根据图象找到最值所对应的图象段,投影到x 轴,找到相应的变化范围.同类训练:函数2()23f x x x =-+在[0,]a （0a >）上最大值是3,最小值是2,求a 的取值范围.【知识点】二次函数图象性质．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】解:22()23(1)2f x x x x =-+=-+如图:要取到最小值2,a 必须对称轴1x =右侧取值．最大值为3,则a 的必须在对称轴1x =左侧取值．[1,2]a ∴∈．【答案】[1,2]a ∈．【思路点拨】由值域求定义域,本质是求值域方法的逆向思维,根据图象找到最值所对应的图象段,投影到x 轴,找到相应的变化范围.【设计意图】通过值域寻求定义域的问题,结合二次函数图象,找出对应的坐标轴的取值范围．●活动④函数关系中恒成立问题例5已知函数223()x x f x x++=([2,)x ∈+∞)． (1)求()f x 的最小值;(2)若()f x a >恒成立,求a 的取值范围．【知识点】函数单调性求最值，恒成立问题转化．【数学思想】变量分离思想、等价转化思想．【解题过程】解:(1) 12,[2,)x x ∀∈+∞,且12x x <，223()x x f x x++=则12121212(3)()()()x x f x f x x x x x --=-．12x x <,120x x ∴-<，12,[2,)x x ∈+∞,124x x ∴>,1230x x ∴->，12()()0f x f x ∴-<,即12()()f x f x <． 故函数223()x x f x x++=在[2,)+∞上为增函数． ∴当2x =时,()f x 有最小值,即11(2)2f =． (2) ()f x 有最小值为11(2)2f =． ()f x a >恒成立,只需min ()f x a >,即112a <． 【思路点拨】恒成立问题,常分离变量,转化为求函数最值问题．【答案】（1）112;（2）112a <． 同类训练 函数2()3f x x x a =++-,[1,1]x ∈-时,()0f x ≥恒成立,求实数a 的取值范围．【知识点】函数单调性、不等式恒成立问题．【数学思想】变量分离思想、等价转化思想．【解题过程】解:[1,1],()0x f x ∈-≥恒成立，23a x x ∴≤++,[1,1]x ∈-时恒成立．记:2()3g x x x =++， 只需min 11()4a g x ≤=,即114a ≤． 【思路点拨】恒成立问题,常分离变量,转化为求函数最值问题． 【答案】114a ≤． 例6 函数2()3,f x x ax a =++-若[2,3]a ∈-时,()0f x ≥恒成立,求实数x 的取值范围.【知识点】一次函数图象性质、不等式恒成立问题．【数学思想】变量分离思想、等价转化思想、分类讨论思想．【解题过程】解:22()3(1)(3)f x x ax a a x x =++-=-++,[2,3]a ∈-,()0f x ≥恒成立，记:2()(1)(3)g a a x x =-++，转化为()0g a ≥恒成立,[2,3]a ∈-．当1x =时,()40g a =>恒成立1x ∴=…………….①当1x >时,2()(1)(3)g a a x x =-++在[2,3]-上单增,22min ()(2)25(1)40g a g x x x =-=-+=-+>恒成立,1x ∴>…………….②当1x <时,2()(1)(3)g a a x x =-++在[2,3]-上单减，2min ()(3)30g a g x x ==+> 31x x ∴≤-≤<或0…………….③由①②③:(,3][,)x ∈-∞-⋃+∞0．【思路点拨】也可用二次函数图象问题求解,若向一次函数图象问题转化,问题变得相对容易．【答案】(,3][,)-∞-⋃+∞0．同类训练 函数2()3,f x x ax a =++-[2,2]x ∈-时,()0f x ≥恒成立,求实数a 的取值范围．【知识点】一次函数图象性质、不等式恒成立问题．【数学思想】分类讨论思想．【解题过程】函数2()3f x x ax a =++-图象的对称轴是2a x =-． 当22a -≤-,即4a ≥时,()f x 在[2,2]-上单增,min ()(2)730f x f a =-=-≥73a ∴≤． a ∴∈Φ………….① 当22a -≥,即4a ≤-时,()f x 在[2,2]-上单减,min ()(2)70f x f a ==+≥7a ∴≥-， [7,4]a ∴∈--．…………….②当222a -<-<,即44a -<<时,2min 412()()024a a a f x f ---+==≥62a ∴-≤≤， (4,2]a ∴∈-．………….③由①②③:[7,2]a ∈-．【思路点拨】对称轴与给定区间位置不同关系,由函数图象观察单调性,结合最值求解．【答案】[7,2]a ∈-．【设计意图】函数的最值与单调性的关系:若函数在闭区间[,]a b 上是减函数,则()f x 在[,]a b 上的最大值为()f a ,最小值为()f b ;若函数在闭区间[,]a b 上是增函数,则()f x 在[,]a b 上的最大值为()f b ,最小值为()f a ．探究三 函数最大（小）值的实际问题中的应用●活动① 生活问题构建函数模型例7 某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元,每生产一台仪器需增加投入100元,已知总收益满足函数:2400,0400()280000,400x x x R x x ⎧-≤≤⎪=⎨⎪>⎩,其中x 是仪器的月产量． （1）将利润表示为月产量的函数()f x ;（2）当月产量为何值时,公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)【知识点】数学建模．【数学思想】函数与方程思想．【解题过程】解:（1）月产量为x 台,则总成本为20000100x +元,从而⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤-+-=)400(,10060000)4000(,2000030021)(2x x x x x x f（2）当0400x ≤≤时,21()(300)25000,2f x x =--+ 当300x =时,max ()25000f x =；当400x >时,()60000100f x x =-是减函数,()60001004002000025000.f x <-⨯=<综上所述：300x ∴=时,max ()25000f x =．即每月生产300台仪器时利润最大,最大利润为25000元．【思路点拨】分段函数模型要注意x 的不同取值范围,所对应的利润求值问题．【答案】（1）2130020000,(0400)()260000100,(400)x x x f x x x ⎧-+-≤≤⎪=⎨⎪->⎩;（2）每月生产300台仪器时利润最大,最大利润为25000元．同类训练 将进货单价为40元的商品按50元一个出售时,能卖出500个,已知这种商品每涨价1元,其销售量就减少10个,为得到最大利润,售价应为多少元？最大利润是多少？【知识点】数学建模．【数学思想】函数与方程思想．【解题过程】解:设售价为x 元,利润为y 元,单个涨价50x -元,销量减少10(50)x -个． 2(40)[50010(50)](40)(100010)10(70)9000.y x x x x x =---=--=--+故当70x =时,max 9000y =所以售价为70元时,利润最大为9000元．【思路点拨】构建一元二次方程求最值．【答案】售价为70元时,利润最大为9000元．【设计意图】 （1）解决实际问题,首先要理解题意,然后建立数学模型转化成数学问题解决．（2）分清各种数据之间的关系是正确构造函数关系式的关键．3. 课堂总结知识梳理（1）通过函数图象,探究函数最大（小）值及几何意义．（2）结合函数单调性求函数最大（小）值．（3）函数最大（小）值在实际问题中的应用．重难点归纳（1）函数最大（小）值概念的生成．（2）求函数最大（小）值．（三）课后作业基础型 自主突破1.若函数()f x x =则（ ） A ()f x 的最大值为0,无最小值 B ()f x 无最大值,最小值为0C ()f x 的最大值为+∞,最小值为0D ()f x 的最大值为0,最小值为-∞【知识点】图象应用【数学思想】数形结合思想【解题过程】如图: ()f x x =在(,0),[0,)-∞+∞在0x =处有最小值(0)0f =,无最大值【思路点拨】由图象观察求最值【答案】B 2.若函数26,12()7,11x x f x x x +<≤⎧=⎨+-≤≤⎩,则()f x 的最大值、最小值分别为（ ） A 10,6 B 10,8 C 8,6 D 8,8【知识点】一次函数图象性质【数学思想】【解题过程】解:由一次函数单调性26,(1,2]y x x =+∈,7,[1,1]y x x =+∈-,因此26,12()7,11x x f x x x +<≤⎧=⎨+-≤≤⎩在区间[1,2]x ∈-,min max ()(1)6,()(2)10f x f f x f =-===【思路点拨】也可用图象观察的方法.【答案】A3.函数2()2f x x x =+（1）在(2,5]-的最大值,最小值分别是________（2）在(1,2]-的最大值,最小值分别是________【知识点】二次函数图象【数学思想】数形结合思想【解题过程】函数2()2f x x x =+对称轴1x =-（1）(2,5]x ∈-,函数在1x =-处有最小值,min ()(1)1f x f =-=-在5x =处有最大值,max ()(5)35f x f ==（2）函数在(1,2]-上单增,在2x =处有最大值,max ()(2)8f x f ==【思路点拨】给定区间求最值,作图观察.【答案】（1）35,-1;（2）8,无4.函数1()12f x x=--在(2,5]x ∈上的值域是______ 【知识点】函数单调性【数学思想】数形结合思想【解题过程】解:函数11()122x f x x x-=-=--,定义域为(,2)(2,)-∞⋃+∞ 由一次分函数图象知: ()f x 在(2,5]上单减min 4()(5)3f x f ==,函数无最大值【思路点拨】可用定义法证明函数单调性,也可分析法2y x =-在(2,5]为减,12y x =-在(2,5]为增, 112y x=--在(2,5]为减. 【答案】4[,)3+∞ 5. 已知二次函数()f x 满足且()f x 的最大值为8,求此二次函数的解析式【知识点】待定系数法求函数解析式 【数学思想】函数与方程的思想【解题过程】解:设2()(0)f x ax bx c a =++≠ (2)(1)1f f =-=-,()f x 的最大值为824211484a b c a b c ac b a ⎧⎪++=-⎪⎪-+=-⎨⎪-⎪=⎪⎩解得447a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩2()447f x x x ∴=-++【思路点拨】也可以用顶点式、两点式求解【答案】2()447f x x x =-++6. ()1f x ax =+在[1,2]上的最大值与最小值之差为2,求a 的值【知识点】一次函数单调性【数学思想】分类讨论思想【解题过程】解:()1f x ax =+当0a =时,()1f x =常值函数,在[1,2]上无单调性当0a >时,()1f x ax =+在[1,2]上单增,min max ()(1)1,()(2)21f x f a f x f a ==+==+ max min ()()(21)(1)2f x f x a a a ∴-=+-+==当0a <时,()1f x ax =+在[1,2]上单减,max min ()(1)1,()(2)21f x f a f x f a ==+==+max min ()()(1)(21)22f x f x a a a a ∴-=+-+=-=⇒=-【思路点拨】一次函数y kx b =+的单调性,0,();0,()k f x k f x ><【答案】2或-2能力型 师生共研7.已知2()2(1)2f x x a x =+-+在区间[1,5]上的最小值为(5)f ,求a 的范围【知识点】二次函数单调性【数学思想】数形结合思想【解题过程】解:2()2(1)2f x x a x =+-+对称轴为1x a =- min ()(5)f x f =2()2(1)2f x x a x ∴=+-+在区间[1,5]单减,称轴为154x a a =-≥⇒≤-【思路点拨】【答案】4a ≤-8.设1()1f x kx x =--,其中1k >,若()f x 在[2,)+∞上有最小值,求k 的值 【知识点】单调性应用【数学思想】【解题过程】解:11()11f x kx kx x x =-=+--,其中y kx =,11y x =-在[2,)+∞均单调递增1()1f x kx x ∴=--在[2,)+∞单增min 3()(2)2f x f k ⇒=⇒= 【思路点拨】性质法判断函数单调性【答案】32k = 探究型 多维突破9.若函数2(),[1,1]f x ax x a x =+-∈-的最大值为178,求a 的值.【知识点】二次函数根的分布【数学思想】数形结合思想、分类讨论思想【解题过程】解:函数2(),[1,1]f x ax x a x =+-∈-当0a =时,()f x x =在[1,1]-上单增,max ()(1)1f x f ==矛盾当0a >时,函数2()f x ax x a =+-图象对称轴102x a =-< max ()(1)1f x f ∴==矛盾当0a <时,函数2()f x ax x a =+-图象对称轴102x a=-> 当112a -≤,即12a ≤-时, 2max14117()()248a f x f a a --=-==,2a ∴=- 当112a ->,即102a -<<时max ()(1)1f x f ∴== 矛盾 综上所述:2a =-【思路点拨】二次函数根的分布问题,结合函数图象及函数在区间上的单调性讨论【答案】2a =-10.建造一个容积为6400立方米,深为4米的长方体无盖蓄水池,池壁的造价为每平方米200元,池底的造价为每平方米100元．（1）把总造价y 元表示为池底的一边长x 米的函数;（2）由于场地原因,蓄水池的一边长不能超过40米,问蓄水池的这个底边长为多少时总造价最低？总造价最低是多少？【知识点】数学建模【数学思想】函数与方程思想【解题过程】解:（1）由已知池底的面积为640016004=平方米,底面的另一边长为1600x 米, 则池壁的面积为:160024()x x⨯⨯+平方米． 所以总造价: 16001600()160000,(0,)y x x x=++∈+∞ （2）由题意知16001600()160000,(0,40]y x x x=++∈ 设12040x x <<≤,则121212121212(1600)160016001600()1600()1600()x x y y x x x x x x x x --=+-+=- 12040x x <<≤,120x x ∴-<,1201600x x ∴<<1216000x x ∴-<,120y y ∴->即12y y >从而这个函数在(0,40]上是减函数,故当40x =时,min 288000y =所以当池底是边长为40米的正方形时,总造价最低为288000元.【思路点拨】函数单调性求最值【答案】边长为40米的正方形时,总造价最低为288000元.自助餐1.函数2()43,[1,4]f x x x x =-+∈,则()f x 的最大值为（ ）A. -1B.0C.3D.-2【知识点】二次函数求最值【数学思想】数形结合思想【解题过程】解:2()43(1)(3)f x x x x x =-+=--, 如图:max ()(4)3f x f ==【思路点拨】给定区间求最值【答案】C2.函数()21f x x x =-+的值域为（ ）A.1[,)2+∞B.1(,]2-∞ C.[1,)+∞ D.(0,)+∞ 【知识点】函数值域【数学思想】等价转化思想【解题过程】()21f x x x =-+定义域1[,)2+∞ 21,y x y x =-=在1[,)2+∞上单增 ()21f x x x ∴=-+在1[,)2+∞上单增,∴值域1[,)2+∞ 【思路点拨】性质法判断函数单调性,再求最值【答案】A3. 函数2202,()02,x x x f x x x -≤≤⎧--=⎨<≤⎩,则()f x 的最大值、最小值分别为______ 【知识点】分段函数求最值【数学思想】数形结合思想【解题过程】解:如图所示max ()(2)2f x f ==min ()(2)(0)0f x f f =-==【思路点拨】分段函数在对应区间求一次函数、二次函数的最值【答案】2,04.函数2()45f x x x =-+在[0,]m 上的最大值5,最小值1,则m 的取值范围______【知识点】二次函数图象性质【数学思想】数形结合思想【解题过程】解:22()45(2)1f x x x x =-+=-+如图所示:max ()(0)(4)5f x f f ===min ()(2)1f x f == [2,4]m ∴∈【思路点拨】由值域反推定义域【答案】[2,4]5.已知函数2()22,[5,5]f x x ax x =++∈-（1）当1a =-时,求函数()f x 的最大值和最小值（2）函数()y f x =在区间[5,5]-上是单调函数,则a 的取值范围【知识点】二次函数图象性质【数学思想】数形结合思想【解题过程】解:（1）当1a =-时,22()22(1)1f x x x x =++=++ [5,5]x ∈-,min ()(1)1f x f ∴=-=,max ()(5)37f x f =-=（2）22()()2f x x a a =++-,函数对称轴x a =-函数在区间[5,5]-上是单调函数,5a ∴≤-或5a ≥【思路点拨】二次函数的对称轴与开口方向,决定了函数单调区间6.求函数223,[1,2]y x ax x =--∈的最大值()M a 和最小值()m a .【知识点】二次函数单调性【数学思想】分类讨论思想【解题过程】解:函数2()23f x x ax =--的对称轴是x a = 当1a <时,()f x 在[1,2]上单增,min ()(1)22()f x f a m a ==--=max ()(2)14()f x f a M a ==-=当2a >时,()f x 在[1,2]上单减,max ()(1)22()f x f a M a ==--=min ()(2)14()f x f a m a ==-=当12a ≤≤时,2min ()()3()f x f a a m a ==--= 最大值由区间端点与对称轴决定1 1.5a ≤≤max ()(2)14()f x f a M a ==-=1.52a <≤max ()(1)22()f x f a M a ==--=综上所述:222,1()3,1214,2a a m a a a a a --<⎧⎪=--≤≤⎨⎪->⎩,14, 1.5()22, 1.5a a M a a a -<⎧=⎨--≥⎩ 【思路点拨】对称轴与区间的位置关系,分类讨论【答案】222,1()3,1214,2a a m a a a a a --<⎧⎪=--≤≤⎨⎪->⎩,14, 1.5()22, 1.5a a M a a a -<⎧=⎨--≥⎩。

高中数学教案——函数的单调性与极值教学目标：1. 理解函数单调性的概念，掌握判断函数单调性的方法。

2. 理解函数极值的概念，掌握求函数极值的方法。

3. 能够运用函数的单调性和极值解决实际问题。

教学内容：一、函数单调性的概念与判断方法1. 引入单调性的概念，给出单调增和单调减的定义。

2. 讲解如何判断函数的单调性，通过实例进行分析。

二、函数的极值概念与求法1. 引入极值的概念，讲解极大值和极小值的定义。

2. 讲解如何求函数的极值，通过实例进行分析。

三、应用举例1. 通过实际问题引入函数的单调性和极值的重要性。

2. 举例说明如何运用函数的单调性和极值解决实际问题。

四、练习与巩固1. 给出练习题目，让学生独立完成，巩固所学知识。

2. 针对学生的练习情况进行讲解和解答疑问。

五、总结与拓展1. 对本节课的内容进行总结，强调函数单调性和极值的重要性。

2. 给出拓展问题，激发学生进一步学习的兴趣。

教学方法：1. 采用讲授法，讲解函数单调性和极值的概念及求法。

2. 利用实例进行分析，让学生更好地理解函数单调性和极值的应用。

3. 布置练习题目，巩固所学知识。

教学评价：1. 通过课堂讲解和练习，评价学生对函数单调性和极值的理解程度。

2. 结合学生的练习情况和提问，评价学生对函数单调性和极值的掌握情况。

教学资源：1. PPT课件，用于讲解函数单调性和极值的概念及应用。

2. 练习题，用于巩固所学知识。

教学时间：1课时（45分钟）教学步骤：一、导入（5分钟）1. 引入单调性的概念，让学生回顾初中阶段学习的单调增和单调减的概念。

2. 提问：如何判断一个函数的单调性？引发学生思考。

二、讲解（15分钟）1. 讲解如何判断函数的单调性，通过实例进行分析。

2. 讲解函数的极值概念，讲解如何求函数的极值。

三、应用举例（10分钟）1. 举例说明如何运用函数的单调性和极值解决实际问题。

2. 让学生思考并回答：如何利用函数的单调性和极值优化问题？四、练习与巩固（10分钟）1. 给出练习题目，让学生独立完成。

高中数学教案——函数的单调性与极值教案概述：本教案旨在帮助学生理解并掌握函数单调性的概念，以及如何利用导数研究函数的单调性和极值。

通过具体的例题和练习，使学生能够熟练运用单调性和极值的性质解决实际问题。

教学目标：1. 了解函数单调性的概念，理解单调增和单调减的定义。

2. 学习利用导数判断函数的单调性。

3. 学习函数的极值概念，理解极大值和极小值的区别。

4. 学会利用导数研究函数的极值问题。

5. 能够运用单调性和极值的性质解决实际问题。

教学重点：1. 函数单调性的定义及其判断方法。

2. 导数与函数单调性的关系。

3. 函数极值的定义及其求法。

4. 利用单调性和极值解决实际问题。

教学难点：1. 导数在判断函数单调性中的应用。

2. 函数极值的求解和应用。

教学准备：1. 教学PPT。

2. 相关例题和练习题。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入函数单调性的概念，让学生回顾初中阶段学习的单调增和单调减的概念。

2. 提问：同学们认为函数的单调性有哪些实际应用呢？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解函数单调性的定义，通过具体例子让学生理解单调增和单调减的概念。

2. 引入导数的概念，讲解导数与函数单调性的关系。

3. 举例说明如何利用导数判断函数的单调性。

三、课堂练习（10分钟）1. 让学生独立完成教材中的相关练习题，巩固对函数单调性的理解。

2. 引导学生思考练习题背后的原理和方法。

四、讲解函数极值（15分钟）1. 引入函数极值的概念，让学生理解极大值和极小值的区别。

2. 讲解如何利用导数研究函数的极值问题。

3. 通过具体例子演示如何求解函数的极值。

五、课堂练习（10分钟）1. 让学生独立完成教材中的相关练习题，巩固对函数极值的理解。

2. 引导学生思考练习题背后的原理和方法。

教学反思：通过本节课的教学，学生应掌握函数单调性的概念和判断方法，以及如何利用导数研究函数的单调性和极值。

在教学过程中，要注意引导学生思考，激发学生的学习兴趣，提高学生的动手能力。