函数的单调性与最值练习题(适合高三)

函数的单调性与最值练习题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（每小题4分）1．函数2()log f x x =在区间[1,2]上的最小值是( )A ．1-B ．0C ．1D ．2 2．已知212()log (2)f x x x =-的单调递增区间是（ ）A.(1,)+∞B.(2,)+∞C.(,0)-∞D.(,1)-∞ 3．定义在R 上的函数()f x 对任意两个不相等实数,a b ，总有()()0f a f b a b->-成立，则必有（ ）A.()f x 在R 上是增函数B.()f x 在R 上是减函数C.函数()f x 是先增加后减少D.函数()f x 是先减少后增加4．若在区间(-∞，1]上递减，则a 的取值范围为( )A. [1，2)B. [1，2]C. [1,+∞)D. [2，+∞)5．函数y=x 2﹣2x ﹣1在闭区间[0，3]上的最大值与最小值的和是（ ） A ．﹣1 B ．0 C ．1 D ．26．定义在),0(+∞上的函数()f x 满足对任意的))(,0(,2121x x x x ≠+∞∈，有2121()(()())0x x f x f x -->.则满足(21)f x -＜x 取值范围是( )A. B. C.7．已知(x)=⎩⎨⎧≥<+-)1(log )1(4)13(x xx ax a a 是（-∞,+∞）上的减函数，那么a 的取值范围是（ ）A.（0，1）B.（0，31） C.［71，31） D.［71，1）8．函数22log (23)y x x =+-的单调递减区间为（ ）A ．（－∞，－3）B ．（－∞，－1）C ．(1，+∞)D ．(－3，－1) 9．已知函数()f x 是定义在[0,)+∞的增函数，则满足(21)f x -＜的x 取值范围是（ ）（A ）（∞- （B ） （C ）∞+） （D ） 10．下列函数中，在定义域内是单调递增函数的是（ ） A ．2xy = B ．1y x= C ．2y x = D ．tan y x = 11．已知函数(a 为常数)．若在区间[-1,+∞)上是增函数,则a 的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．12．如果函数()f x 对任意的实数x ，都有()()1f x f x =-，且当12x ≥时， ()()2log 31f x x =-，那么函数()f x 在[]2,0-的最大值与最小值之差为（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1 二、填空题（每小题4分）13．已知y=f(x)是定义在（-2，2）上的增函数，若f(m-1)＜f(1-2m)，则m 的取值范围是14．设函数()f x =⎩⎨⎧≤，＞，，，1x x log -11x 22x -1则满足()2f x ≤的x 的取值范围是 ．15．2()24f x x x =-+的单调减区间是 . 16．已知函数)(x f 满足),()(x f x f =-当,(,0]a b ∈-∞时总有，若)2()1(m f m f >+，则实数m 的取值范围是_______________．17．函数2()(1)2f x x =--的递增区间是___________________ . 18．已知函数()[]5,1,4∈+=x xx x f ，则函数()x f 的值域为 ． 19．函数2(),,.f x x ax b a b R =-+∈若()f x 在区间(,1)-∞上单调递减，则a 的取值范围 ．20．已知函数2()48f x x kx =--在区间[]5,10上具有单调性，则实数k 的取值范围是 . 21．已知函数()()23log 5f x x ax a =+++，()f x 在区间(),1-∞上是递减函数，则实数a 的取值范围为_________．22．已知y=f(x)是定义在（－2，2）上的增函数，若f(m-1)<f(1-2m)，则实数m 的取值范围为 .23．若函R 上的增函数，则实数a 的取值范围是 ．24．已知函数f(x)＝e x －1，g(x)＝－x 2＋4x －3，若有f(a)＝g(b)，则b 的取值范围为________． 25．已知函数f(x)(a≠1)．若f(x)在区间(0，1]上是减函数，则实数a 的取值范围是________．参考答案1．B 【解析】试题分析：画出2()log f x x =在定义域}{0>x x 内的图像，如下图所示，由图像可知2()log f x x =在区间[1,2]上为增函数，所以当1=x 时2()log f x x =取得最小值，即最小值为2(1)log 10f ==。

16年高考数学复习函数的单调性与最值专题训练（含答案）函数的单调性也可以叫做函数的增减性，下面是函数的单调性与最值专题训练，请考生及时练习。

一、选择题1.下列函数中，既是偶函数又在(0，+)内单调递减的函数是().A.y=x2B.y=|x|+1C.y=-lg|x|D.y=2|x|解析对于C中函数，当x0时，y=-lg x，故为(0，+)上的减函数，且y=-lg |x|为偶函数.答案C.已知函数f(x)为R上的减函数，则满足f(|x|)A.(-1,1)B.(0,1)C.(-1,0)(0,1)D.(-，-1)(1，+)解析f(x)在R上为减函数且f(|x|)|x|1，解得x1或x-1.答案D.若函数y=ax与y=-在(0，+)上都是减函数，则y=ax2+bx在(0，+)上是()A.增函数B.减函数C.先增后减D.先减后增解析y=ax与y=-在(0，+)上都是减函数，a0，b0，y=ax2+bx的对称轴方程x=-0，y=ax2+bx在(0，+)上为减函数.答案B4.设函数f(x)=g(x)=x2f(x-1)，则函数g(x)的递减区间是().A.(-，0]B.[0,1)C.[1，+)D.[-1,0]解析g(x)=如图所示，其递减区间是[0,1).故选B.答案B.函数y=-x2+2x-3(x0)的单调增区间是()A.(0，+)B.(-，1]C.(-，0)D.(-，-1]解析二次函数的对称轴为x=1，又因为二次项系数为负数，，对称轴在定义域的右侧，所以其单调增区间为(-，0).答案C.设函数y=f(x)在(-，+)内有定义，对于给定的正数K，定义函数fK(x)=取函数f(x)=2-|x|，当K=时，函数fK(x)的单调递增区间为().A.(-，0)B.(0，+)C.(-，-1)D.(1，+)解析f(x)=f(x)=f(x)的图象如右图所示，因此f(x)的单调递增区间为(-，-1).答案C二、填空题.设函数y=x2-2x，x[-2，a]，若函数的最小值为g(a)，则g(a)=________.解析函数y=x2-2x=(x-1)2-1，对称轴为直线x=1.当-21时，函数在[-2，a]上单调递减，则当x=a时，ymin=a2-2a;当a1时，函数在[-2,1]上单调递减，在[1，a]上单调递增，则当x=1时，ymin=-1.综上，g(a)=答案.函数y=-(x-3)|x|的递增区间是_______.解析y=-(x-3)|x|作出该函数的图像，观察图像知递增区间为.答案.已知函数f(x)=2ax2+4(a-3)x+5在区间(-，3)上是减函数，则a的取值范围是________.解析当a=0时，f(x)=-12x+5在(-，3)上为减函数;当a0时，要使f(x)=2ax2+4(a-3)x+5在区间(-，3)上是减函数，则对称轴x=必在x=3的右边，即3，故0答案10.已知函数f(x)=(a是常数且a0).对于下列命题：函数f(x)的最小值是-1;函数f(x)在R上是单调函数;若f(x)0在上恒成立，则a的取值范围是a对任意的x10，x20且x1x2，恒有f.其中正确命题的序号是____________.解析根据题意可画出草图，由图象可知，显然正确;函数f(x)在R上不是单调函数，故错误;若f(x)0在上恒成立，则2a-10，a1，故正确;由图象可知在(-，0)上对任意的x10，x20且x1x2，恒有f成立，故正确.答案三、解答题.求函数y=a1-x2(a0且a1)的单调区间.当a1时，函数y=a1-x2在区间[0，+)上是减函数，在区间(-，0]上是增函数;当0x12，则f(x1)-f(x2)=x+-x-=[x1x2(x1+x2)-a]，由x22，得x1x2(x1+x2)16，x1-x20，x1x20.要使f(x)在区间[2，+)上是增函数，只需f(x1)-f(x2)0，即x1x2(x1+x2)-a0恒成立，则a16..已知函数f(x)=a2x+b3x，其中常数a，b满足ab0.(1)若ab0，判断函数f(x)的单调性;(2)若ab0，求f(x+1)f(x)时的x的取值范围.解(1)当a0，b0时，因为a2x，b3x都单调递增，所以函数f(x)单调递增;当a0，b0时，因为a2x，b3x都单调递减，所以函数f(x)单调递减.(2)f(x+1)-f(x)=a2x+2b3x0.(i)当a0，b0时，x-，解得x(ii)当a0，b0时，x-，解得x0时，f(x)1.(1)求证：f(x)是R上的增函数;(2)若f(4)=5，解不等式f(3m2-m-2)3.(1)证明设x1，x2R，且x10，f(x2-x1)1.f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-10.f(x2)f(x1).即f(x)是R上的增函数.(2) f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)-1=5，f(2)=3，要练说，得练看。

高三数学函数的单调性与最值试题答案及解析1.若函数，则下列结论正确的是（）A．，在上是增函数B．，在上是减函数C．，是偶函数D．，是奇函数【答案】C【解析】因为，且函数定义域为令，则显然，当时，；当时，所以当时，在上是减函数，在上是增函数，所以选项A,B均不正确；因为当时，是偶函数，所以选项C正确．要使函数为奇函数，必有恒成立，即恒成立，这与函数的定义域相矛盾，所以选项D不正确．【考点】1、导数在研究函数性质中的应用；2、函数的奇偶性．2.对任意实数，记，若，其中奇函数在时有极小值，是正比例函数，与图象如图，则下列关于的说法中正确的是（）A．是奇函数B．有极大值和极小值C．的最小值为，最大值为2D．在上是增函数【答案】B【解析】因为，是奇函数，其图象关于原点对称，所以与图象如图1所示；图1根据，可知，的图象如图2所示，显然，的图象不关于原点对称，不是奇函数；无最小值、无最大值；其在区间“先增后减”，故选B.图2【考点】新定义函数，函数的奇偶性，函数的图象，函数的单调性与极（最）值.3. [2014·日照模拟]已知函数f(x)在定义域(0，＋∞)上是单调函数，若对于任意x∈(0，＋∞)，都有＝2，则的值是()A．5B．6C．7D．8【答案】B【解析】因为f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调函数，且＝2对任意x∈(0，＋∞)都成立，所以f(x)－＝c＞0(c为常数)，即f(x)＝c＋，且f(c)＝2，故2＝c＋，解得c＝1，故f(x)＝1＋，所以＝1＋5＝6.4.设是定义在R上的偶函数，且当时，。

若对任意的x，不等式恒成立，则实数a的最大值是（）。

A．B．C．D．2【答案】C【解析】是定义在上的偶函数，不等式恒成立等价为恒成立，当时，．不等式等价为恒成立，即在上恒成立，平方得即在上恒成立，设,则满足即故实数的最大值是.故选C.【考点】1.函数的奇偶性；2.恒成立问题.5.（2013•重庆）（﹣6≤a≤3）的最大值为（）A．9B．C．3D．【答案】B【解析】令f（a）=（3﹣a）（a+6）=﹣+，而且﹣6≤a≤3，由此可得函数f（a）的最大值为，故（﹣6≤a≤3）的最大值为=，故选B．6.已知函数y＝f(x)是定义在R上且以3为周期的奇函数，当x∈时，f(x)＝ln(x2－x＋1)，则函数f(x)在区间[0,6]上的零点个数为()A．3B．5C．7D．9【答案】C【解析】当x∈时，－x∈，f(x)＝－f(－x)＝－ln(x2＋x＋1)；则f(x)在区间上有3个零点(在区间上有2个零点)．根据函数周期性，可得f(x)在上也有3个零点，在上有2个零点．故函数f(x)在区间[0,6]上一共有7个零点．7.下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的函数为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】是奇函数但在区间上不是单调函数．在区间上单调递增但不是奇函数，既是奇函数又在区间上单调递增的函数，在区间上单调递增但不是奇函数.【考点】函数奇偶性及单调性8.已知，，规定：当时, ；当时,，则（）A．有最小值,最大值1B．有最大值1,无最小值C．有最小值,无最大值D．有最大值,无最小值【答案】C【解析】由题得,利用平移变化的知识画出函数的图像如下,而,故有最小值1,无最大值.【考点】函数图像平移变化9.已知函数若对任意的，且恒成立，则实数a的取值范围为．【答案】【解析】，由知，函数在单调递增，当，满足题意；当时，只需，即，综上所述，实数a的取值范围为.【考点】1、分段函数；2、函数的单调性.10.判断函数f(x)＝e x＋在区间(0，＋∞)上的单调性．【答案】f(x)在(0，＋∞)上为增函数【解析】(解法1)设0＜x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝＝＝.∵0＜x1＜x2，∴x1－x2＜0，x1＋x2＞0，∴ex1－x2＜1，ex1＋x2＞1，ex1＞0，∴f(x1)＜f(x2)．∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．(解法2)对f(x)＝e x＋求导，得f′(x)＝e x－＝(e2x－1)，当x＞0时，e x＞0，e2x＞1，∴f′(x)＞0,∴f(x)在(0，＋∞)上为增函数．11.函数y=1-的最大值与最小值的和为.【答案】2【解析】令f(x)=,则f(x)为奇函数,故f(x)max +f(x)min=0,∴ymax +ymin=2.12.已知定义在R上的函数y＝f(x)满足下列三个条件：①对任意的x∈R都有f(x＋2)＝－f(x)；②对于任意的0≤x1<x2≤2，都有f(x1)<f(x2)；③y＝f(x＋2)的图像关于y轴对称．下列结论中，正确的是()A．f(4.5)<f(6.5)<f(7) B．f(4.5)<f(7)<f(6.5) C．f(7)<f(4.5)<f(6.5) D．f(7)<f(6.5)<f(4.5)【答案】B【解析】由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，则函数y＝f(x)的最小正周期为4；根据②知函数y＝f(x)在[0，2]上单调递增；根据③知函数y＝f(x)的图像关于直线x＝2对称，所以f(4.5)＝f(0.5)，f(6.5)＝f(2.5)＝f(1.5)，f(7)＝f(3)＝f(1)．故f(4.5)<f(7)<f(6.5)．13.已知函数f(x)=若f(2-a2)>f(a),则实数a的取值范围是()A．(-∞,-1)∪(2,+∞)B．(-1,2)C．(-2,1)D．(-∞,-2)∪(1,+∞)【答案】C【解析】f(x)=由f(x)的图象可知f(x)在(-∞,+∞)上是单调增函数,由f(2-a2)>f(a)得2-a2>a,即a2+a-2<0,解得-2<a<1.14.已知函数y=f(x)满足:对任意的x1<x2≤-1,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)>0恒成立,则f(-2),f(-),f(-1)的大小关系为()A．f(-2)<f(-)<f(-1)B．f(-2)>f(-)>f(-1)C．f(-2)>f(-1)>f(-)D．f(-)>f(-2)>f(-1)【答案】A【解析】由题意及函数单调性的定义得,f(x)在(-∞,-1]上单调递增,又-2<-<-1, ∴f(-2)<f(-)<f(-1).15.函数y=-(x-3)|x|的递增区间是__________.【答案】[0,]【解析】y=-(x-3)|x|=作出该函数的图象,观察图象知递增区间为[0,].16.设函数f(x)＝a为常数且a∈(0，1)．(1)当a＝时，求f；(2)若x0满足f[f(x)]＝x，但f(x)≠x，则称x为f(x)的二阶周期点．证明函数f(x)有且仅有两个二阶周期点，并求二阶周期点x1，x2；(3)对于(2)中的x1，x2，设A(x1，f[f(x1)])，B(x2，f[f(x2)])，C(a2，0)，记△ABC的面积为S(a)，求S(a)在区间[，]上的最大值和最小值．【答案】（1）（2）见解析，x1＝，x2＝（3）最小值为，最大值为【解析】(1)当a＝时，f＝，f＝f＝2＝.(2)证明：f[f(x)]＝当0≤x≤a2时，由x＝x解得x＝0，由于f(0)＝0，故x＝0不是f(x)的二阶周期点；当a2<x≤a时，由 (a－x)＝x解得x＝∈(a2，a)，因为f＝·＝≠，故x＝是f(x)的二阶周期点；当a<x<a2－a＋1时，由 (x－a)＝x解得x＝∈(a，a2－a＋1)，因为f＝·＝，故x＝不是f(x)的二阶周期点；当a2－a＋1≤x≤1时，由 (1－x)＝x解得x＝∈(a2－a＋1，1)，因为f ＝·＝≠，故x＝是f(x)的二阶周期点．因此，函数f(x)有且仅有两个二阶周期点，x1＝，x2＝.(3)由(2)得A(，)，B(，)，则S(a)＝，S′(a)＝·.因为a∈[，]，有a2＋a<1，所以S′(a)＝·＝·>0.(或令g(a)＝a3－2a2－2a＋2，g′(a)＝3a2－4a－2＝3(a－)(a－)，因为a∈(0，1)，所以g′(a)<0，则g(a)在区间[，]上最小值为g()＝>0，故对于任意a∈[，]，g(a)＝a3－2a2－2a＋2>0，S′(a)＝·>0)则S(a)在区间[，]上单调递增，故S(a)在区间[，]上的最小值为S()＝，最大值为S()＝.17. {an }为首项为正数的递增等差数列，其前n项和为Sn，则点(n，Sn)所在的抛物线可能为()【答案】D【解析】当n≥1时{an }单调递增且各项之和大于零，当n＝0时Sn等于零，结合选项只能是D.18.设g(x)是定义在R上以1为周期的函数，若函数f(x)＝x＋g(x)在区间[3,4]时的值域为[－2,5]，则f(x)在区间[2,5]上的值域为________．【答案】[－3,6]【解析】当x∈[2,3]时，x＋1∈[3,4]，所以f(x＋1)＝x＋1＋g(x＋1)＝x＋1＋g(x)∈[－2,5]，所以f(x)＝x＋g(x)∈[－3,4]；当x∈[4,5]时，x－1∈[3,4]，所以f(x－1)＝x－1＋g(x－1)＝x－1＋g(x)∈[－2,5]，所以f(x)＝x＋g(x)∈[－1,6]，所以f(x)在区间[2,5]上的值域为[－3，6]．19.下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是 ()．A．y＝lg(x＋2)B．y＝－C．y＝x D．y＝x＋【答案】A【解析】A中，y＝lg(x＋2)在(0，＋∞)上是增函数，B、C中函数为减函数，D中在(0，＋∞)上不单调．20.设奇函数f(x)在[－1,1]上是增函数，且f(－1)＝－1，若函数f(x)≤t2－2at＋1对所有的x∈[－1,1]都成立，则当a∈[－1,1]时t的取值范围是()．A．－2≤t≤2B．－≤t≤C．t≤－2或t＝0或t≥2D．t≤－或t＝0或t≥【答案】C【解析】依题意f(x)的最大值为f(1)＝1，要使f(x)≤t2－2at＋1对所有的x∈[－1,1]都成立，则1≤t2－2at＋1，即t2－2at≥0，亦即t(t－2a)≥0，当t＝0时，不等式成立，当0≤a≤1时，不等式的解为t≥2a≥2；当－1≤a≤0时，不等式的解为t≤2a≤－2.21.已知函数（其中且），是的反函数.（1）已知关于的方程在区间上有实数解，求实数的取值范围；（2）当时，讨论函数的奇偶性和增减性；（3）设，其中.记，数列的前项的和为（），求证：.【答案】(1)；(2)奇函数，减函数；(3)证明见解析．【解析】(1)这是一个对数方程，首先要转化为代数方程，根据对数的性质有，从而有，方程在上有解，就变为求函数在上的值域，转化时注意对数的真数为正；(2)奇偶性和单调性我们都根据定义加以解决；(3)，，要证明不等式成立，最好是能把和求出来，但看其通项公式，这个和是不可能求出的，由于我们只要证明不等式，那么我们能不能把放缩后可求和呢？，显然，即，左边易证，又由二项式定理，在时，，所以，注意到，至此不等式的右边可以求和了，，得证．试题解析：（1）转化为求函数在上的值域，该函数在上递增、在上递减，所以的最小值5，最大值9。

高中数学高考总复习函数的单调性与最值习题及详解一、选择题1 •已知f(x)=—X—X3, x€ ［a, b］，且f(a)f(b)<0，则f(x) = 0 在［a, b］内()A•至少有一实数根B.至多有一实数根C •没有实数根D.有唯一实数根［答案］D［解析］•••函数f(x)在［a, b］上是单调减函数，又f(a), f(b)异号•••• f(x)在［a, b］内有且仅有一个零点，故选 D.2 • (2010北京文)给定函数①y= x1，②y= log2(x+ 1)，③y=x —11,④y= 2x+1,其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是()A .①②B.②③C .③④D.①④［答案］B1 1 1［解析］易知y = X2在(0,1)递增，故排除A、D选项；又y= logq(x+ 1)的图象是由y= logqx的图象向左平移一个1单位得到的，其单调性与y= log^x相同为递减的，所以②符合题意，故选 B.1 1 13 • (2010 济南市模拟)设y1 = 0.43, y2= 0.53，y3= 0.54,则( )A • y3<y2<y1 B. y1<y2<y3C. y2<y3<y1D. y1<y3<y2［答案］B1 1［解析］•/ y= 0.5x为减函数，• 0.53<0.54,1•/ y= x3在第一象限内是增函数，1 1二0.43<0.53，二y1<y2<y3，故选 B.a _ 2 x ___ 1 x W14. (2010 •州市)已知函数，若f(x)在(—a, + a上单调递增，贝U实数a的取值范围为()log a x x>1A • (1,2) B. (2,3)C. (2,3］D. (2,+a)［答案］C［解析］••• f(x)在R上单调增，a>1a —2>0 , a —2 X1 —1 w log1••• 2<a W3,故选 C. 5.（文）（2010山东济宁）若函数f （x ）= x 2+ 2x + alnx 在（0,1）上单调递减，则实数 a 的取值范围是（）A . a > 0B . a <0 D . a <— 4［答案］Da 2x 2 + 2x + a［解析］•••函数 f(x)= x 2 + 2x + alnx 在(0,1)上单调递减，•••当 x € (0,1)时，f'x) = 2x + 2+- = ------- g(x)x — =2x 2 + 2x + a <0在 x € (0,1)时恒成立，• g(0) <p g(1) <p 即 a <— 4.n n(理)已知函数y = tan^x 在—2， 2内是减函数，贝卩3的取值范围是()A . 0< 1B . — 1 <o <0C . 3 》1D . 3<— 1［答案］Bn n［解析］•/ tansx 在—2，2上是减函数， • 3<0.当—n <x<2时，有n _冗3< c < 3X —7t3<0 6. (2010 天津文)设 a = log 54, b = (log 53)2, c = log 45,则( )A . a v c v bD . b v a v c［答案］D［解析］ T 1>log 54>log 53>0,「. Iog 53>(log 53)2>0，而 Iog 45>1,「. c>a>b. 7 .若f(x)= x 3— 6ax 的单调递减区间是(一2,2)，则a 的取值范围是( )A . (—s, 0］B . ［ — 2,2］C . {2}D . ［2,+ s)［答案］C［解析］f 'x) = 3x 2— 6a ,,…一1 <3<0.B . b v c v a 2 兀 n若a<0则f'x) >0 • f(x)单调增，排除A ;若a>0,则由f'x)= 0 得x= ± 2a,当x< —.2a 和x> ,2a 时，f'x)>0, f(x)单调增，当一.2a<x<,2a 时，f(x)单调减,••• f(x)的单调减区间为(—.2a, 2a),从而J2a = 2,a= 2.［点评］f(x)的单调递减区间是(一2,2)和f(x)在(—2, 2)上单调递减是不同的，应加以区分.1 18. (文)定义在R上的偶函数f(x)在［0，+ ^上是增函数，若f(?)= 0，则适合不等式f(log^7x)>0的x的取值范围是()1A . (3, + s) B. (0,刁1C . (0, + ) D. (0, 3) U (3 ,+s)［答案］D1 1［解析］•••定义在R上的偶函数f(x)在［0,+s上是增函数，且f( ) = 0,则由f(log丄x)>0,得|log丄x|>，即log!3 27 27 3 271 1 x>孑或log—x< —百.选D.327 3(理)(2010南充市)已知函数f(x)图象的两条对称轴x= 0和x= 1，且在x€ ［—1,0］上f(x)单调递增，设a= f(3), b =f( 2), c= f(2)，贝U a、b、c的大小关系是()A. a>b>cB. a>c>bC. b>c>aD. c>b>a［答案］D［解析］••• f(x)在［—1,0］上单调增，f(x)的图象关于直线x= 0对称，• f(x)在［0,1］上单调减；又f(x)的图象关于直线x= 1对称，• f(x)在［1,2］上单调增，在［2,3］上单调减.由对称性f(3) = f( —1)= f(1)<f( _2)<f(2),即a<b<c.x2+ 4x, x>09. (2009天津高考)已知函数f(x) = 2n若f(2 —a2)> f(a)，则实数a的取值范围是()4x—x , x v 0.A . (— s,—1) U (2,+ s)B . ( —1,2)C . ( —2,1)D . (— s,—2) U (1 ,+ s)［答案］C［解析］■/ 时，f(x) = x2+ 4x= (x+ 2)2—4 单调递增，且f(x)当x<0 时，f(x)= 4x—x2=—(x —2)2+ 4 单调递增，且f(x)<0 ,• f(x)在R 上单调递增，由f(2 —a2)>f(a)得2—a2>a，•—2<a<1.10 . (2010泉州模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(x + y) = f(x) + f(y),当x<0时，f(x)>0，则函数f(x)在［a, b］上有( )A .最小值f(a)B .最大值f(b)C .最小值f(b)D .最大值a +b f 2［答案］C［解析］令x = y= 0 得，f(0)= 0,令y=—x得，f(0) = f(x)+ f(—x),二f(—x)=—f(x)-对任意x i , X2 € R 且x i <X2,,f(x i) —f(X2)= f(x i) + f( —x2)=f(x i —X2)>0 ,.•• f(X l)>f(X2),••• f(x)在R上是减函数，••• f(x)在［a，b］上最小值为f(b).二、填空题b i11. (2010 重庆中学)已知函数f(x)= ax+ x—4(a, b 为常数)，f(lg2) = 0,则f(lg^)= _____________［答案］—8［解析］令(Kx)= ax+ b，贝V H x)为奇函数，f(x) = $(x) —4,入•- f(lg2) = H lg2) —4 = 0 ,• H lg2)= 4,“ 1•-饥刁=f(—lg2) = H( —lg2) —4=—y ig2) —4=—8.12 .偶函数f(x)在(—s,0］上单调递减，且f(x)在［—2,k］上的最大值点与最小值点横坐标之差为3,则k= __________［答案］3［解析］•••偶函数f(x)在(—R, 0］上单调递减，• f(x)在［0，+ ^上单调递增.因此，若k WQ贝U k—(—2) = k + 2<3，若k>0,v f(x)在［—2,0］上单调减在［0，—k］上单调增，.••最小值为f(0), 又在［—2, k］上最大值点与最小值点横坐标之差为3,• k—0= 3,即k= 3.13 .函数f(x)= aX 1在(—m, —3)上是减函数，则a的取值范围是________________x+ 3［答案］1 ——OO ——_，314 . (2010 •苏无锡市调研)设a(0<a<1)是给定的常数，f(x)是R上的奇函数，且在(0,+^上是增函数，若f：=0 , f(log a t)>0，贝y t的取值范围是 _______ .［答(1,扫u (0，诵)案］1［解析］f(log a t)>0，即 f(log a t)>f 2， 1••• f(x)在(0，+ ^上 为增函数，二 log a t>2， 0<a<1 ,.°. 0<t<“Ja.1 i又 f(x)为奇函数，••• f — - =- f- = 0,r 1…f(log a t)>0 又可化为 f(log a t)>f — 2 , •••奇函数f(x)在(0 ,+8上是增函数，1• f(x)在(—8, 0)上为增函数，• 0>log a t> — 2,综上知，0<t< a 或1<t< a ， 三、解答题15. (2010 北京市东城区)已知函数 f(x) = log a (x + 1) — log a (1 — x), a>0 且 a * 1. (1) 求f(x)的定义域；⑵判断f(x)的奇偶性并予以证明；⑶当a>1时，求使f(x)>0的x 的取值集合.［解析］(1)要使 f(x) = log a (x + 1) — log a (1 — x)有意义，则 x + 1>0，解得—1<x<1.1 — x>0故所求定义域为｛x — 1<x<1｝.⑵由(1)知f(x)的定义域为｛X — 1<x<1｝，且 f( — x) = log a ( — x +1)— log a (1 + x) = — ［log a (x + 1) — log a (1 — x)］ = — f(x)，故 f(x)为奇函数. ⑶因为当a>1时，f(x)在定义域｛x|— 1<x<1｝内是增函数， x + 1所以 f(x)>0?产->1.1 — x 解得0<x<1.所以使f(x)>0的x 的取值集合是｛x|0<x<1｝.1 — mx 口 亠 p16. (2010北京东城区)已知函数f(x)= log a 是奇函数(a>0，a * 1) x — 1(1) 求m 的值；(2) 求函数f(x)的单调区间；(3) 若当x € (1，a — 2)时，f(x)的值域为(1，+8),求实数a 的值. “八卄亠1 — mx . 1+ mx 小•/ 0<a<1 ,1<t<1a ，［解析］(1)依题意，f(—x)=—f(x)，l卩f(x) + f(—x)= 0，即log a x—1 + log a—x—1 = 0，1 —mx 1 + mx•••—1，二(1 —m2)x2= 0 恒成立，x—1 —X—1 '•1 — m2= 0,「. m=—1或m= 1(不合题意，舍去)1 + x当m=—1时，由一>0得，x € (—汽一1) U (1,+s),此即函数f(x)的定义域，x —1又有f( —x) = —f(x),• m=—1是符合题意的解.1 + x⑵•/ f(x) = log a x z7，x—1 1 +X ,•- f x) = logx+ 1 x—1 &_ x—1 x—1 —x+1 2log a ex+1 x —1 2log a e—1—x2①若a>1，则log a e>0当x€ (1 ,+s 时，1 —x2<0 f'x)<0, f(x)在(1, +s上单调递减，即(1,+ s是f(x)的单调递减区间；由奇函数的性质知，(一s,—1)是f(x)的单调递减区间.②若0<a<1，则log a e<0当x€ (1 ,+s 时，1 —x2<0, • f'x(0,• (1 ,+s是f(X)的单调递增区间；由奇函数的性质知，(一s,—1)是f(x)的单调递增区间.1 + x 2(3)令t —------ —1 + -- ，贝U t为x的减函数x—1 x—1•- x€ (1, a —2),2 2• t€ 1+ ■，+ s且a>3，要使f(x)的值域为(1,+ s)需log a 1+ —1，解得a—2+ 3.a—3 a —31 —a _17 . (2010 山东文)已知函数f(x)—lnx—ax+ ——1(a€ R).入(1)当a ——1时，求曲线y—f(x)在点(2, f(2))处的切线方程；⑵当a g时，讨论f(x)的单调性.2［解析］(1)a ——1 时，f(x) —lnx+ x+- —1, x€ (0,+s).xx2+ x—2f—2—, x € (0,+ s)y x因此f' (—1,即曲线y—f(x)在点(2 , f(2))处的切线斜率为1.又f(2) —ln2 + 2,所以y—f(x)在(2, f(2))处的切线方程为y—(In2 + 2) —x—2,即x—y+ ln2 —0.WORD 格式.可编辑__ 1 — a ⑵因为 f(x)= lnx — ax + — - 1, 入1 a — 1 ax2 — x +1 — a所以 f ，x) = — a + -- =— — 2x € (0,+g). x x x令 g(x) = ax 2— x + 1 — a ,① 当 a = 0 时，g(x) = 1— x , x € (0, + g), 当 x € (0,1)时,g(x)>0 , f'x (O , f(x)单调递减； 当 x € (1 ,+g 时，g(x)<0，此时 f 'x)>0, f(x)单调递增； 1② 当 a 工0时 f'x)= a(x — 1)[x — ( — 1)],a(i )当a = 2■时，g(x)亘成立，f'x) WQ f(x)在(0,+ g 上单调递减;1 1(ii )当 0<a<2时，彳—1>1>0， x € (0,1)时，g(x)>0,此时 f'x)<0, f(x)单调递减；1x € (1 , -— 1)时，g(x)<0，此时 f 'x)>0, f(x)单调递增; a g(x)>0，此时 f 'x)<0, f(x)单调递减;③当 a<0 时，1— 1<0,ax € (0,1)时，g(x)>0，有 f'x (O , f(x)单调递减 x € (1,+g)时，g(x)<0，有 f 'x)>0, f(x)单调递增. 综上所述：当a W0时函数f(x)在(0,1)上单调递减，(1,+g 上单调递增； 1当a = $时，f(x)在(0 ,+g 上单调递减；11 1当Ovav ：时，f(x)在(0,1)上单调递减，在(1, — 1)上单调递增，在(-—1 ,+g 上单调递减.2 a a 注：分类讨论时要做到不重不漏，层次清楚.1x € Q — 1 ,+ g)寸,。

高三数学函数的单调性与最值试题答案及解析1.若f(x)＝是R上的单调函数，则实数a的取值范围为．【答案】[，＋∞)【解析】因为当时，为单调递减函数，所以当时，也为单调递减函数，因此且【考点】分段函数单调性2.已知函数对一切、都有：，并且当时，.（1）判定并证明函数在上的单调性；（2）若，求不等式的解集.【答案】（1）f（x）在上是增函数；（2）【解析】（1）将m、n赋值，并注意x＞0时f（x）＞2条件的使用；（2）根据（1）的结论，首先找出f（1）＝3，然后利用单调性去掉抽象函数，解二次不等式即可.试题解析：（1）设、且，则∵当时，∴即而函数对一切、都有：∴即∴函数在上是增函数（2）由题：∵∴∵∴即∴不等式的解集是【考点】抽象函数，函数的单调性，一元二次不等式的解法3.如果在区间上为减函数，则的取值范围（）A． B． C． D （0，）【答案】C【解析】首先当时满足在区间上为减函数，所以；其次当时，由二次函数的图象和性质可知：要使在区间上为减函数，必须且只需：，综上知的取值范围为；故选Ｃ．【考点】一次函数与二次函数的单调性．4.如果函数y＝f(x)图象上任意一点的坐标(x，y)都满足方程lg(x＋y)＝lgx＋lgy，那么y＝f(x)在[2,4]上的最小值是________．【答案】【解析】由lg(x＋y)＝lgx＋lgy，得，由x＋y＝xy得y＝f(x)＝＝＝1＋(x≠1)．则函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减，所以y＝f(x)在[2,4]上的最小值是f(4)＝1＋＝.5.定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝f(x＋2)，当x∈[3,5]时，f(x)＝2－|x－4|.下列不等关系：①<；②f(sin l)>f(cos l)；③<；④f(cos 2)>f(sin 2)．其中正确的是________(填序号)．【答案】④【解析】当x∈[－1,1]时，x＋4∈[3,5]，从而f(x)＝f(x＋4)＝2－|x|，因为sin<cos，所以>；因为sin l>cos l，所以f(sin l)<f(cos l)；因为<，所以>；因为|cos 2|<|sin 2|，所以f(cos 2)>f(sin 2)．综上所述，正确的是④.6.函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间是()A．(－∞，2)B．(0,3)C．(1,4)D．(2，＋∞)【答案】D【解析】函数f(x)＝(x－3)e x的导数为f′(x)＝[(x－3)e x]′＝1·e x＋(x－3)·e x＝(x－2)e x.由函数导数与函数单调性的关系，得当f′(x)>0时，函数f(x)单调递增，此时由不等式f′(x)＝(x－2)·e x>0，解得x>2.7.已知函数在[0，+∞]上是增函数，，若则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵，∴，∵函数在[0，+∞]上是增函数，∴，∴或，∴或，又∵，∴或.【考点】函数的单调性、不等式的解法.8.下列函数中，既是偶函数又在区间（1，2）上单调递增的是（）A.【答案】A【解析】与满足,与满足,为奇函数，所以舍去，画出与的图象显然递增的是,故选A.【考点】1.函数的奇偶性；2.函数的单调性；3.函数的图象.9.下列函数是偶函数，且在上单调递增的是A．B．C．D．【答案】D【解析】因为是奇函数，所以选项A不正确；因为是偶函数，其单调递增区间是，所以选项B不正确；是偶函数，在上单调递减，所以选项C不正大确；因为是偶函数，且在区间上为增函数，所以选项D正确.【考点】1、三角函数的图象和性质；2、三角函数的诱导公式.10.设函数若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由函数的图像可知，在和上是递增的，在上是递减的，故函数在区间上单调递增，则或，即或，故选Ｄ．【考点】函数的单调性．11.下列函数中，对于任意的，满足条件的函数是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由可得函数在上单调递增。

函数的单调性与最值[基础训练]1．函数y ＝(2m －1)x ＋b 在R 上是减函数，则( ) A ．m >12 B ．m <12 C ．m >－12D ．m <－12答案：B 解析：由2m －1<0⇒m <12. 2．已知函数y ＝1x －1，那么( )A ．函数的单调递减区间为(－∞，1)，(1，＋∞)B ．函数的单调递减区间为(－∞，1)∪(1，＋∞)C ．函数的单调递增区间为(－∞，1)，(1，＋∞)D ．函数的单调递增区间为(－∞，1)∪(1，＋∞)答案：A 解析：在每个区间内都单调递减，但不可用“并集”形式．3．已知函数f (x )是定义在[0，＋∞)上的增函数，则满足f (2x－1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23 答案：D 解析：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，2x －1<13， 解得12≤x <23.4．函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间为( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2)答案：D 解析：由x 2－4>0，得x <－2或x >2.又y ＝log 12u为减函数，故f (x )的单调递增区间为(－∞，－2)．5．“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)内单调递增”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案：C 解析：充分性：x >0，当a <0时，则f (x )＝|(ax －1)x |＝－ax 2＋x 为开口向上的二次函数，且对称轴为x ＝12a <0，故f (x )为增函数；当a ＝0时，f (x )＝x 为增函数．必要性：当a ≠0时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝0，f (0)＝0，f (x )在(0，＋∞)上为增函数，则1a <0，即a <0；f (x )＝x 时，为增函数，此时a ＝0，故a ≤0.综上，a ≤0为f (x )在(0，＋∞)上为增函数的充分必要条件． 6．[2019湖北华大新联盟考试]若函数f (x )＝2|x －a |＋3在区间[1，＋∞)上不单调，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－∞，1]答案：B 解析：易知函数f (x )＝2|x －a |＋3的增区间在为[a ，＋∞)，减区间为(－∞，a ]．因为函数f (x )＝2|x －a |＋3在区间[1，＋∞)上不单调，则a >1. 故选B.7．[2019山东潍坊四县联考]已知y ＝f (x )在定义域(－1,1)上是减函数，且f (1－a )<f (2a －1)，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，23 B ．(0，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23 D ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞答案：C 解析：∵f (x )在定义域(－1,1)上是减函数，且f (1－a )<f (2a －1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1<1－a <1，－1<2a －1<1，1－a >2a －1， 解得0<a <23.故选C.8．[2016天津卷]已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a －1|)>f (－2)，则a 的取值范围是________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32解析：由题意知，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减．因为f (2|a －1|)>f (－2)，f (－2)＝f (2)，所以f (2|a －1|)>f (2)，所以2|a －1|<212，解得12<a <32.9．函数y ＝x －x (x ≥0)的最大值为________．答案：14 解析：令t ＝x ，则t ≥0，y ＝t －t 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋14，当t ＝12，即x ＝14时，y max ＝14.10．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是________．答案：[0,1) 解析：易知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >1，0，x ＝1，－x 2，x <1.画出g (x )的图象如图所示，其递减区间是[0,1)．11．已知函数f (x )＝1a －1x (a >0，x >0)． (1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数； (2)若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，求a 的值．(1)证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 2>x 1， 则x 2－x 1>0，x 1x 2>0.f (x 2)－f (x 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 1＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2>0，∴f (x 2)>f (x 1)，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(2)解：∵f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，又f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递增，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，f (2)＝2. 易得a ＝25.[强化训练]1．[2019河南安阳一模]已知函数f (x )满足：①对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0；②对定义域内的任意x ，都有f (x )＝f (－x )．则符合上述条件的函数是( )A ．f (x )＝x 2＋|x |＋1 B ．f (x )＝1x －x C ．f (x )＝ln|x ＋1| D ．f (x )＝cos x答案：A 解析：由题意，得f (x )是偶函数，在(0，＋∞)上递增．对于A ，f (－x )＝f (x )，是偶函数，且x >0时，f (x )＝x 2＋x ＋1，f ′(x )＝2x ＋1>0，故f (x )在(0，＋∞)上递增，符合题意；对于B ，函数f (x )是奇函数，不符合题意；对于C ，由x ＋1≠0，解得x ≠－1，定义域不关于原点对称，故函数f (x )不是偶函数，不符合题意；对于D ，函数f (x )在(0，＋∞)上不单调递增，不符合题意．故选A.2.[2019河北石家庄一模]已知奇函数f (x )在x >0时单调递增，且f (1)＝0，若f (x －1)>0，则x 的取值范围为 ( )A ．{x |0<x <1或x >2}B ．{x |x <0或x >2}C ．{x |x <0或x >3}D ．{x |x <－1或x >1}答案：A 解析：∵奇函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，且f (1)＝0，∴函数f (x )在(－∞，0)上单调递增，且f (－1)＝0，则－1<x <0或x >1时，f (x )>0；x <－1或0<x <1时，f (x )<0.∴不等式f (x －1)>0，即－1<x －1<0或x －1>1， 解得0<x <1或x >2.故选A.3．[2019山东济宁二模]已知y ＝f (x )是R 上的偶函数，对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，都有(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0.设a ＝ln 1π，b ＝(ln π)2，c ＝ln π，则( )A ．f (a )>f (b )>f (c )B ．f (b )>f (a )>f (c )C ．f (c )>f (a )>f (b )D ．f (c )>f (b )>f (a )答案：C 解析：由题意易知f (x )在(0，＋∞)上是减函数， 又∵|a |＝ln π>1，b ＝(ln π)2>|a |,0<c ＝ln π2<|a |， ∴f (c )>f (|a |)>f (b )． 又由题意知f (a )＝f (|a |)， ∴f (c )>f (a )>f (b )． 故选C.4．[2019甘肃天水月考]定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，则( )A ．f (3)<f (－2)<f (1)B ．f (1)<f (－2)<f (3)C ．f (－2)<f (1)<f (3)D ．f (3)<f (1)<f (－2)答案：A 解析：∵f (x )是偶函数，∴f (－2)＝f (2)． 又∵任意的x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f(x2)－f(x1)x2－x1<0，∴f(x)在[0，＋∞)上是减函数．又∵1<2<3，∴f(1)>f(2)＝f(－2)>f(3)，故选A.5．[2019河南郑州一模]已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x ＋2e)＝－f(x)(其中e＝2,718 2…)，且在区间[e,2e]上是减函数，令a＝ln 22，b＝ln 33，c＝ln 55，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系(用不等号连接)为()A．f(b)>f(a)>f(c) B．f(b)>f(c)>f(a)C．f(a)>f(b)>f(c) D．f(a)>f(c)>f(b)答案：A解析：∵f(x)是R上的奇函数，满足f(x＋2e)＝－f(x)，∴f(x＋2e)＝f(－x)，∴函数f(x)的图象关于直线x＝e对称，∵f(x)在区间[e,2e]上为减函数∴f(x)在区间[0，e]上为增函数，又易知0<c<a<b<e，∴f(c)<f(a)<f(b)，故选A.6．[2019安徽蚌埠二模]已知单调函数f(x)，对任意的x∈R 都有f[f(x)－2x]＝6，则f(2)＝( )A．2 B．4 C．6 D．8答案：C解析：设t＝f(x)－2x，则f(t)＝6，且f(x)＝2x＋t，令x＝t，则f(t)＝2t＋t＝6，∵f(x)是单调函数，f(2)＝22＋2＝6，∴t＝2，即f(x)＝2x＋2，则f(2)＝4＋2＝6，故选C.7．[2019河北邯郸月考]已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，若f (a )≤f (2)，则实数a 的取值范围是________．答案：(－∞，－2]∪[2，＋∞) 解析：∵函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，∴y ＝f (x )的图象关于y 轴对称． 又∵y ＝f (x )在(－∞，0]上是增函数，则y ＝f (x )在(0，＋∞)上是减函数，f (a )≤f (2)， ∴|a |≥2，∴a ≤－2或a ≥2. 8．[2019广东深圳模拟]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x <0，(a －3)x ＋4a ，x ≥0满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，则a 的取值范围是________．答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14解析：由任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0，知f (x )在R 上为减函数，则需⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a －3<0，a 0≥(a －3)·0＋4a ，解得0<a ≤14.9．[2019甘肃兰州一模]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e －x－2，x ≤0，2ax －1，x >0(a是常数且a >0)．对于下列命题：①函数f (x )的最小值是－1； ②函数f (x )在R 上是单调函数； ③若f (x )>0在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上恒成立，则a 的取值范围是a >1；④对任意x 1<0，x 2<0且x 1≠x 2，恒有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22<f (x 1)＋f (x 2)2. 其中正确命题的序号是________．答案：①③④ 解析：根据题意可得函数图象如图所示．①由图象易得在点x ＝0处函数f (x )有最小值－1，故正确； ②由图象易得函数f (x )在R 上不是单调函数，故错误； ③因为f (x )>0在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上恒成立，且f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以当x ＝12时，函数取得最小值，求得a 的取值范围是a >1，故正确；④因为函数在(－∞，0)上的图象是下凹的，所以任取两点连线应在图象的上方，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22<f (x 1)＋f (x 2)2，故正确． 故正确的命题为①③④.10．[2019河北石家庄模拟]已知f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数，且f (1)＝1.若a ，b ∈[－1,1]，a ＋b ≠0时，有f (a )＋f (b )a ＋b >0成立．(1)判断f (x )在[－1,1]上的单调性，并证明； (2)解不等式f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1；(3)若f (x )≤m 2－2am ＋1对所有的a ∈[－1,1]恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)任取x 1，x 2∈[－1,1]，且x 1<x 2， 则－x 2∈[－1,1]， 因为f (x )为奇函数，所以f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2) ＝f (x 1)＋f (－x 2)x 1＋(－x 2)·(x 1－x 2)，由已知得f (x 1)＋f (－x 2)x 1＋(－x 2)>0，x 1－x 2<0，所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 所以f (x )在[－1,1]上单调递增． (2)因为f (x )在[－1,1]上单调递增，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12<1x －1，－1≤x ＋12≤1，－1≤1x －1≤1，解得－32≤x <－1.(3)因为f (1)＝1，f (x )在[－1,1]上单调递增， 所以在区间[－1,1]上，f (x )≤1.问题转化为m 2－2am ＋1≥1，即m 2－2am ≥0对a ∈[－1,1]恒成立．下面来求m 的取值范围． 设g (a )＝－2m ·a ＋m 2≥0. ①若m ＝0，则g (a )＝0≥0， 对a ∈[－1,1]恒成立．②若m≠0，则g(a)为a的一次函数，若g(a)≥0，对a∈[－1,1]恒成立，必须g(－1)≥0，且g(1)≥0，所以m≤－2或m≥2.所以m的取值范围是{m|m＝0或m≥2或m≤－2}．。

高三数学函数的单调性与最值试题答案及解析1.已知函数对一切、都有：，并且当时，.（1）判定并证明函数在上的单调性；（2）若，求不等式的解集.【答案】（1）f（x）在上是增函数；（2）【解析】（1）将m、n赋值，并注意x＞0时f（x）＞2条件的使用；（2）根据（1）的结论，首先找出f（1）＝3，然后利用单调性去掉抽象函数，解二次不等式即可.试题解析：（1）设、且，则∵当时，∴即而函数对一切、都有：∴即∴函数在上是增函数（2）由题：∵∴∵∴即∴不等式的解集是【考点】抽象函数，函数的单调性，一元二次不等式的解法2.已知函数f(x)＝x3＋3x对任意的m∈[－2,2]，f(mx－2)＋f(x)<0恒成立，则x的取值范围为________．【答案】(－2，)【解析】∵函数f(x)＝x3＋3x是奇函数，且在定义域f(x)＝x3＋3x上单调递增，∴由f(mx－2)＋f(x)<0得f(mx－2)<－f(x)＝f(－x)，即mx－2<－x，令g(m)＝xm＋(x－2)，由题意知g(2)<0，g(－2)<0，令g(m)＝xm＋(x－2)，g(2)<0，g(－2)<0，∴，解得－2<x<.3. [2014·大庆质检]下列函数中，满足“对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)”的是()A．f(x)＝B．f(x)＝(x－1)2C．f(x)＝e x D．f(x)＝ln(x＋1)【答案】A【解析】由题意知，f(x)在(0，＋∞)上是减函数，故选A.4. [2013·吉林调研]已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f(－x)＝0，且在(－∞，0)上单调递增，如果x1＋x2＜0且x1x2＜0，则f(x1)＋f(x2)的值()A．可能为0B．恒大于0 C．恒小于0D．可正可负【答案】C【解析】由x1x2＜0不妨设x1＜0，x2＞0.∵x1＋x2＜0，∴x1＜－x2＜0.由f(x)＋f(－x)＝0知f(x)为奇函数．又由f(x)在(－∞，0)上单调递增得，f(x1)＜f(－x2)＝－f(x2)，所以f(x 1)＋f(x 2)＜0.故选C.5. （3分）（2011•重庆）下列区间中，函数f （x ）=|lg （2﹣x ）|在其上为增函数的是（ ） A ．（﹣∞，1]B ．C ．D ．（1，2）【答案】D【解析】根据零点分段法，我们易将函数f （x ）=|lg （2﹣x ）|的解析式化为分段函数的形式，再根据复合函数“同增异减”的原则我们易求出函数的单调区间进而得到结论． 解：∵f （x ）=|lg （2﹣x ）|， ∴f （x ）=根据复合函数的单调性我们易得 在区间（﹣∞，1]上单调递减 在区间（1，2）上单调递增 故选D点评：本题考查的知识点是对数函数的单调性与特殊点，其中根据“同增异减”的原则确定每一段函数的单调性是解答本题的关键．6. 定义在R 上的偶函数f(x)的部分图象如图所示，则在(－2,0)上，下列函数中与f(x)的单调性不同的是( )A ．y ＝x 2＋1 B ．y ＝|x|＋1C ．y ＝D ．y ＝【答案】C【解析】利用偶函数的对称性知f(x)在(－2,0)上为减函数，又y ＝，在(－2,0)上为增函数，故选C. 7. 设，则（ ）A ．﹣2＜x ＜﹣1B ．﹣3＜x ＜﹣2C ．﹣1＜x ＜0D ．0＜x ＜1【答案】A【解析】因为y=3x 在R 上单调递增，又，故﹣2＜x ＜﹣1故选A8. 若对任意x ∈R ，不等式|x|≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ＜﹣1 B ．|a|≤1 C ．|a|＜1 D ．a≥1【答案】B【解析】当x＞0时，x≥ax恒成立，即a≤1当x=0时，0≥a×0恒成立，即a∈R当x＜0时，﹣x≥ax恒成立，即a≥﹣1，若对任意x∈R，不等式|x|≥ax恒成立，所以﹣1≤a≤1，故选B．9.函数y=x2+b x+c（x∈[0，+∞））是单调函数的充要条件是（）A．b≥0B．b≤0C．b＞0D．b＜0【答案】A【解析】∵函数y=x2+bx+c在[0，+∞）上为单调函数∴x=﹣≤0，即b≥0．故选A10.已知函数对任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由即.所以函数在上递增.所以即成立.故选A.【考点】1.函数的导数.2.函数的单调性.3.函数的构造的思想.11.已知函数在点处的切线方程为.（1）求、的值；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；（3）证明：当，且时，.【答案】（1），；（2）；（3）详见解析.【解析】（1）利用已知条件得到两个条件：一是切线的斜率等于函数在处的导数值，二是切点在切线上也在函数的图象上，通过切点在切线上求出的值，然后再通过和的值列有关、的二元一次方程组，求出、的值；（2）解法1是利用参数分离法将不等式在区间上恒成立问题转化为不等式在区间上恒成立，并构造函数，从而转化为，并利用导数求出函数的最小值，从而求出的取值范围；解法2是构造新函数，将不等式在区间上恒成立问题转化为不等式在区间上恒成立问题，等价于利用导数研究函数的单调性，对的取值进行分类讨论，通过在不同取值条件下确定函数的单调性求出，围绕列不等式求解，从而求出的取值范围；（3）在（2）的条件下得到，在不等式两边为正数的条件下两边取倒数得到，然后分别令、、、、，利用累加法以及同向不等式的相加性来证明问题中涉及的不等式.试题解析：（1），.直线的斜率为，且过点，，即解得，；（2）解法1：由（1）得.当时，恒成立，即，等价于.令，则.令，则.当时，，函数在上单调递增，故.从而，当时，，即函数在上单调递增，故.因此，当时，恒成立，则.所求的取值范围是；解法2：由（1）得.当时，恒成立，即恒成立.令，则.方程（*）的判别式.（ⅰ）当，即时，则时，，得，故函数在上单调递减.由于，则当时，，即，与题设矛盾；（ⅱ）当，即时，则时，.故函数在上单调递减，则，符合题意；（ⅲ）当，即时，方程（*）的两根为，，则时，，时，.故函数在上单调递增，在上单调递减，从而，函数在上的最大值为.而，由（ⅱ）知，当时，，得，从而.故当时，，符合题意.综上所述，的取值范围是.（3）由（2）得，当时，，可化为，又，从而，.把、、、、分别代入上面不等式，并相加得，.【考点】1.导数的几何意义；2.不等式恒成立；3.参数分离法；4.分类讨论；5.数列不等式的证明12.函数的单调递增区间是．【答案】【解析】当时，，增区间为，当时，，增区间为．填．【考点】分段函数的单调区间．13.已知函数f(x)＝ax2－|x|＋2a－1(a为实常数)．(1)若a＝1，作函数f(x)的图象；(2)设f(x)在区间[1，2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式；(3)设h(x)＝，若函数h(x)在区间[1，2]上是增函数，求实数a的取值范围．【答案】（1）（2）g(a)＝（3）【解析】(1)当a＝1时，f(x)＝x2－|x|＋1＝作图如下．(2)当x∈[1，2]时，f(x)＝ax2－x＋2a－1.若a＝0，则f(x)＝－x－1在区间[1，2]上是减函数，g(a)＝f(2)＝－3.若a≠0，则f(x)＝a＋2a－－1，f(x)图象的对称轴是直线x＝.当a<0时，f(x)在区间[1，2]上是减函数，g(a)＝f(2)＝6a－3.当0<<1，即a>时，f(x)在区间[1，2]上是增函数，g(a)＝f(1)＝3a－2. 当1≤≤2，即≤a≤时，g(a)＝f＝2a－－1.当>2，即0<a<时，f(x)在区间[1，2]上是减函数，g(a)＝f(2)＝6a－3. 综上可得g(a)＝(3)当x∈[1，2]时，h(x)＝ax＋－1，在区间[1，2]上任取x1、x2，且x1<x2，则h(x2)－h(x1)＝＝(x2－x1)＝(x2－x1).因为h(x)在区间[1，2]上是增函数，所以h(x2)－h(x1)>0.因为x2－x1>0，x1x2>0，所以ax1x2－(2a－1)>0，即ax1x2>2a－1.当a＝0时，上面的不等式变为0>－1，即a＝0时结论成立．当a>0时，x1x2>，由1<x1x2<4，得≤1，解得0＜a≤1.当a<0时，x1x2<，由1<x1x2<4，得≥4，解得－≤a＜0.所以实数a的取值范围为14.已知a∈R且a≠1，求函数f(x)＝在[1，4]上的最值．【答案】，【解析】由f(x)＝＝a＋.若1－a>0，即a<1时，f(x)在[1，4]上为减函数，∴fmax (x)＝f(1)＝，fmin(x)＝f(4)＝；若1－a<0，即a>1时，f(x)在[1，4]上为增函数，∴fmax (x)＝f(4)＝，fmin(x)＝f(1)＝.15.已知函数f(x)是定义在正实数集上的单调函数，且满足对任意x＞0，都有f(f(x)－lnx)＝1＋e，则f(1)＝________．【答案】e【解析】f(x)－lnx必为常数函数，否则存在两个不同数，其对应值均为1＋e，与单调函数矛盾．所以可设f(x)－lnx＝c，则f(x)＝lnx＋c.将c代入，得f(c)＝1＋e，即lnc＋c＝1＋e.∵y＝lnx＋x是单调增函数，当c＝e时，lnc＋c＝1＋e成立，∴f(x)＝lnx＋e.则f(1)＝e16.已知函数f(x)＝x3＋x，对任意的m∈[－2,2]，f(mx－2)＋f(x)<0恒成立，则x的取值范围是________．【答案】【解析】f′(x)＝3x2＋1>0，∴f(x)在R上为增函数．又f(x)为奇函数，由f(mx－2)＋f(x)<0知，f(mx－2)<f(－x)．∴mx－2<－x，即mx＋x－2<0，令g(m)＝mx＋x－2，由m∈[－2,2]知g(m)<0恒成立，可得，∴－2<x< .17.已知定义在R上的函数y＝f(x)满足条件f＝－f(x)，且函数y＝f为奇函数，给出以下四个命题：(1)函数f(x)是周期函数；(2)函数f(x)的图象关于点对称；(3)函数f(x)为R上的偶函数；(4)函数f(x)为R上的单调函数．其中真命题的序号为________．(写出所有真命题的序号)【答案】(1)(2)(3)【解析】由f(x)＝f(x＋3)⇒f(x)为周期函数，且T＝3，(1)为真命题；又y＝f关于(0,0)对称，y＝f向左平移个单位得y＝f(x)的图象，则y＝f(x)的图象关于点对称，(2)为真命题；又y＝f为奇函数，所以f＝－f，f＝－f＝－f(－x)，∴f＝－f(－x)，f(x)＝f(x－3)＝－f＝f(－x)，∴f(x)为偶函数，不可能为R上的单调函数，(3)为真命题；(4)为假命题，故真命题为(1)(2)(3)．18.能够把圆的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆的“和谐函数”,下列函数不是圆的“和谐函数”的是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】由“和谐函数”的定义知，若函数为“和谐函数”，则该函数为过原点的奇函数．Ａ中，，所以的图象不过原点，故不为“和谐函数”； B中，，且，所以为奇函数，所以为“和谐函数”； C中，，且，为奇函数，故为“和谐函数”；Ｄ中，，且为奇函数，故为“和谐函数”；故选Ａ．【考点】奇偶性与单调性的综合．19.已知实数，函数.（1）当时，求的最小值;（2）当时,判断的单调性,并说明理由；（3）求实数的范围，使得对于区间上的任意三个实数，都存在以为边长的三角形.【答案】（1）2；（2）递增；（3）．【解析】(1)研究函数问题，一般先研究函数的性质，如奇偶性，单调性，周期性等等，如本题中函数是偶函数，因此其最小值我们只要在时求得即可；（2）时，可化简为，下面我们只要按照单调性的定义就可证明在上函数是单调递增的，当然在上是递减的；（3）处理此问题，首先通过换元法把问题简化，设，则函数变为，问题变为求实数的范围，使得在区间上，恒有．对于函数，我们知道，它在上递减，在上递增，故我们要讨论它在区间上的最大（小）值，就必须分类讨论，分类标准显然是，，，在时还要讨论最大值在区间的哪个端点取得，也即共分成四类．试题解析：易知的定义域为，且为偶函数.（1）时, 2分时最小值为2. 4分（2）时,时，递增；时，递减； 6分为偶函数.所以只对时，说明递增.设，所以，得所以时，递增； 10分（3），，从而原问题等价于求实数的范围，使得在区间上，恒有. 11分①当时，在上单调递增，由得，从而； 12分②当时，在上单调递减，在上单调递增，，由得，从而； 13分③当时，在上单调递减，在上单调递增，，由得，从而； 14分④当时，在上单调递减，由得，从而； 15分综上，. 16分【考点】（1）函数的最值；（2）函数的单调性的证明；（3）分类讨论与函数的最值．20.已知实数，函数.（1）当时，求的最小值;（2）当时,判断的单调性,并说明理由；（3）求实数的范围，使得对于区间上的任意三个实数，都存在以为边长的三角形.【答案】（1）2；（2）递增；（3）．【解析】(1)研究函数问题，一般先研究函数的性质，如奇偶性，单调性，周期性等等，如本题中函数是偶函数，因此其最小值我们只要在时求得即可；（2）时，可化简为，下面我们只要按照单调性的定义就可证明在上函数是单调递增的，当然在上是递减的；（3）处理此问题，首先通过换元法把问题简化，设，则函数变为，问题变为求实数的范围，使得在区间上，恒有．对于函数，我们知道，它在上递减，在上递增，故我们要讨论它在区间上的最大（小）值，就必须分类讨论，分类标准显然是，，，在时还要讨论最大值在区间的哪个端点取得，也即共分成四类．试题解析：易知的定义域为，且为偶函数.（1）时, 2分时最小值为2. 4分（2）时,时，递增；时，递减； 6分为偶函数.所以只对时，说明递增.设，所以，得所以时，递增； 10分（3），，从而原问题等价于求实数的范围，使得在区间上，恒有. 11分①当时，在上单调递增，由得，从而； 12分②当时，在上单调递减，在上单调递增，，由得，从而； 13分③当时，在上单调递减，在上单调递增，，由得，从而； 14分④当时，在上单调递减，由得，从而； 15分综上，. 16分【考点】（1）函数的最值；（2）函数的单调性的证明；（3）分类讨论与函数的最值．21.已知函数，设，若，则的取值范围是 ___ .【答案】[，2)【解析】函数的图像如图所示.因为，若要使成立，有图像可得.且.由于b的变化是递增的，的变化也是递增的所以.即填[，2).本小题主要考查分段函数的问题.【考点】1.分段函数的知识.2.函数的单调性.22.已知是上的奇函数,对都有成立,若,则等于A．B．C．D．【答案】C.【解析】令x=-2，则f(-2+4)=f(-2)+f(2),又因为f(x)在R上是奇函数.，所以f(-2)+f(2)=0，即f(2)=0.所以得到f(x+4)=f(x).所以函数是以4为周期的周期函数.所以f(2014)=f(2)=0.本题的关键是把奇函数与所给的式子结合起来得到周期为四的结果.注这个条件多余.【考点】1.奇函数.2.周期函数.3.递推的思想.23.已知函数⑴判断函数的单调性，并证明；⑵求函数的最大值和最小值．【答案】（1）增函数,证明见解析；（2），【解析】（1）利用函数单调的定义证明，可得函数在[3，5]上为单调增函数；（2）根据函数的单调递增，可得函数的最值为，.试题解析：⑴设且,所以 4分即，在[3，5]上为增函数. 6分⑵在[3，5]上为增函数，则， 10分【考点】1.函数单调的判断；2.利用函数单调性求最值24.函数有最小值，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B．【解析】若在定义域内有最小值，则满足，且恒成立，所以，故选B．【考点】1．复合函数的单调性与最值．25.关于函数，给出下列四个命题：①，时，只有一个实数根；②时，是奇函数；③的图象关于点，对称；④函数至多有两个零点.其中正确的命题序号为______________.【答案】①②③【解析】①，时，，显然只有一个实数根；②时，显然，，所以是奇函数；③设是函数的图象上的一点，点关于点，对称点，因为，所以点也在函数的图象上，故的图象关于点，对称；④，取，可得有三个零点.【考点】函数的基本性质.26.如果函数上单调递减，则实数满足的条件是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】函数在区间上单调递减，所以上，，即，故选A.【考点】导数、函数的单调性与最值27.给出下列四个命题：①函数有最小值是；②函数的图象关于点对称；③若“且”为假命题，则、为假命题；④已知定义在上的可导函数满足：对，都有成立，若当时，，则当时，.其中正确命题的序号是 .【答案】①②④.【解析】对于命题①，，，当且仅当，即当时，上式取等号，即函数有最小值，故命题①正确；对于命题②，由于，故函数的图象关于点对称，故命题②正确；对于命题③，若“且”为假命题，则、中至少有一个是假命题，故命题③错误；对于命题④，由于函数是奇函数，当时，，即函数在区间上单调递增，由奇函数的性质知，函数在上也是单调递增的，即当时，仍有，故命题④正确，综上所述，正确命题的序号是①②④.【考点】1.基本不等式；2.三角函数的对称性；3.复合命题；4.函数的奇偶性与单调性28.已知函数是上的单调递增函数，若是其图像上的两点，则不等式的解集是．【答案】．【解析】由已知得．【考点】函数的单调性质．29.已知定义在R上的函数满足，，且在区间上是减函数．若方程在区间上有两个不同的根，则这两根之和为（）A．±8B．±4C．±6D．±2【答案】B【解析】由知，为奇函数，所以.由得，所以的周期为8.又由及得：，所以的图象关于直线对称.又在区间上是减函数，由此可得在一个周期上的大致图象：向左右扩展得：由于方程在区间上有两个不同的根，所以这两个根必为－6、2或－2、6，所以这两个根之和为－4或4.选B.【考点】1、抽象函数的奇偶性和周期性单调性及图象；2、方程的根.30.已知函数,下列结论中错误的是（）A．R,B．函数的图像是中心对称图形C．若是的极小值点,则在区间上单调递减D．若是的极值点,则【答案】C【解析】由于，，由于是函数的极小值点，且函数的图象开口向上，故函数存在极大值点，即存在使得，从而函数在上单调递增，在上单调递减，即函数在不是单调递减的.【考点】函数的单调性与极值、函数的对称性31.已知函数,，其中R.（1）讨论的单调性；（2）若在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围；（3）设函数,当时，若，，总有成立，求实数的取值范围．【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增;（2）;（3）.【解析】（1）先对求导，由于的正负与参数有关，故要对分类讨论来研究单调性; （2）先由在其定义域内为增函数转化为在不等式中求参数范围的问题，利用分离参数法和基本不等式的知识求出参数的取值范围;（3）先通过导数研究在的最值，然后根据命题“若，，总有成立”分析得到在上的最大值不小于在上的最大值，从而列出不等式组求出参数的取值范围.试题解析：解：（1）的定义域为，且， 1分①当时，，在上单调递增； 2分②当时，由，得；由，得；故在上单调递减，在上单调递增. 4分（2），的定义域为5分因为在其定义域内为增函数，所以，而，当且仅当时取等号，所以 8分（3）当时，，由得或当时，；当时，.所以在上， 10分而“，，总有成立”等价于“在上的最大值不小于在上的最大值”而在上的最大值为所以有 12分所以实数的取值范围是 14分【考点】1、利用导数研究单调性和最值，2、参数的取值范围问题，3、基本不等式.32.对于函数f（x）（x∈D），若x∈D时，恒有＞成立，则称函数是D上的J函数．（Ⅰ）当函数f（x）＝m lnx是J函数时，求m的取值范围；（Ⅱ）若函数g（x）为（0，＋∞）上的J函数，试比较g（a）与g（1）的大小；求证：对于任意大于1的实数x1，x2，x3，，xn，均有g（ln（x1＋x2＋＋xn））＞g（lnx1）＋g（lnx2）＋＋g（lnxn）．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）①,②先征得，取不同的值得到的式子累加即可得证.【解析】（Ⅰ）先求得，再由＞得，解得；（Ⅱ）①构造函数，证明为上的增函数，再讨论就可得到，②先证得，即得，整理得，同理可得类似的的等式，累加即可得证.试题解析：（Ⅰ）由，可得，因为函数是函数，所以，即，因为，所以，即的取值范围为. （3分）（Ⅱ）①构造函数，则，可得为上的增函数，当时，，即，得；当时，，即，得；当时，，即，得. （6分）②因为，所以，由①可知，所以，整理得，同理可得，，.把上面个不等式同向累加可得[. （12分）【考点】1.恒成立问题；2.导数在求函数单调性、最值的应用；3.不等式.33.已知函数的定义域是，是的导函数，且在内恒成立．求函数的单调区间；若，求的取值范围；(3) 设是的零点，，求证：.【答案】(1);(2) ;(3)详见解析.【解析】（1）利用求导的思路求解函数的单调区间，从分借助；（2）首先对求导，然后借助已知的不等式恒成立进行转化为在内恒成立，进而采用构造函数的技巧，，通过求导研究其最大值，从而得到的取值范围；（3）借助第一问结论，得到，然后通过变形和构造的思路去证明不等式成立.试题解析：（1），∵在内恒成立∴在内恒成立，∴的单调区间为 4分（2），∵在内恒成立∴在内恒成立，即在内恒成立，设，，，，，故函数在内单调递增，在内单调递减，∴，∴ 8分（3）∵是的零点，∴由（1），在内单调递增，∴当时，，即，∴时，∵，∴，且即∴，∴ 14分【考点】1.函数的单调性；（2）导数的应用；（3）不等式的证明.34.已知函数的定义域是，若对于任意的正数，函数都是其定义域上的减函数，则函数的图象可能是A． B． C． D．【答案】B【解析】直接利用g（x）是减函数⇒导数小于0⇒f（x）的导数是减函数⇒f（x）是凸函数即可得到答案。

高中数学单调性与最大最小值检测试题（附答案）1．函数f(x)＝9－ax2(a＞0)在[0,3]上的最大值为() A．9B．9(1－a)C．9－a D．9－a2解析：选A.x[0,3]时f(x)为减函数，f(x)max＝f(0)＝9. 2．函数y＝x＋1－x－1的值域为()A．(－，2 ] B．(0，2 ]C．[2，＋) D．[0，＋)解析：选B.y＝x＋1－x－1，x＋10x－10，x1.∵y＝2x＋1＋x－1为[1，＋)上的减函数，f(x)max＝f(1)＝2且y＞0.3．函数f(x)＝x2－2ax＋a＋2在[0，a]上取得最大值3，最小值2，则实数a为()A．0或1 B．1C．2 D．以上都不对解析：选B.因为函数f(x)＝x2－2ax＋a＋2＝(x－a)2－a2＋a ＋2, 对称轴为x＝a，开口方向向上，所以f(x)在[0，a]上单调递减，其最大值、最小值分别在两个端点处取得，即f(x)max ＝f(0)＝a＋2＝3，f(x)min＝f(a)＝－a2＋a＋2＝2.故a＝1.4．(2019年高考山东卷)已知x，yR＋，且满足x3＋y4＝1.则xy的最大值为________．解析：y4＝1－x3，0＜1－x3＜1,0＜x＜3.而xy＝x4(1－x3)＝－43(x－32)2＋3.当x＝32，y＝2时，xy最大值为3.答案：31．函数f(x)＝x2在[0,1]上的最小值是()A．1 B．0C.14 D．不存在解析：选B.由函数f(x)＝x2在[0,1]上的图象(图略)知，f(x)＝x2在[0,1]上单调递增，故最小值为f(0)＝0.2．函数f(x)＝2x＋6，x[1，2]x＋7，x[－1，1]，则f(x)的最大值、最小值分别为()A．10,6 B．10,8C．8,6 D．以上都不对解析：选A.f(x)在x[－1,2]上为增函数，f(x)max＝f(2)＝10，f(x)min＝f(－1)＝6.3．函数y＝－x2＋2x在[1,2]上的最大值为()A．1 B．2C．－1 D．不存在解析：选A.因为函数y＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1.对称轴为x＝1，开口向下，故在[1,2]上为单调递减函数，所以ymax＝－1＋2＝1.4．函数y＝1x－1在[2,3]上的最小值为()A．2 B.12C.13 D．－12解析：选B.函数y＝1x－1在[2,3]上为减函数，ymin＝13－1＝12.5．某公司在甲乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x，其中销售量(单位：辆)．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为()A．90万元B．60万元C．120万元D．120.25万元解析：选C.设公司在甲地销售x辆(015，x为正整数)，则在乙地销售(15－x)辆，公司获得利润L＝－x2＋21x＋2(15－x)＝－x2＋19x＋30.当x＝9或10时，L最大为120万元，故选C.6．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x[0,1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为()A．－1 B．0C．1 D．2解析：选C.f(x)＝－(x2－4x＋4)＋a＋4＝－(x－2)2＋4＋a. 函数f(x)图象的对称轴为x＝2，f(x)在[0,1]上单调递增．又∵f(x)min＝－2，f(0)＝－2，即a＝－2.f(x)max＝f(1)＝－1＋4－2＝1.7．函数y＝2x2＋2，xN*的最小值是________．解析：∵xN*，x21，y＝2x2＋24，即y＝2x2＋2在xN*上的最小值为4，此时x＝1.答案：48．已知函数f(x)＝x2－6x＋8，x[1，a]，并且f(x)的最小值为f(a)，则实数a的取值范围是________．解析：由题意知f(x)在[1，a]上是单调递减的，又∵f(x)的单调减区间为(－，3]，13.答案：(1,3]9．函数f(x)＝xx＋2在区间[2,4]上的最大值为________；最小值为________．解析：∵f(x)＝xx＋2＝x＋2－2x＋2＝1－2x＋2，函数f(x)在[2,4]上是增函数，f(x)min＝f(2)＝22＋2＝12，f(x)max＝f(4)＝44＋2＝23.答案：231210．已知函数f(x)＝x2－1211x1＜x2，求f(x)的最大、最小值．解：当－121时，由f(x)＝x2，得f(x)最大值为f(1)＝1，最小值为f(0)＝0；当1＜x2时，由f(x)＝1x，得f(2)f(x)＜f(1)，即12f(x)＜1.综上f(x)max＝1，f(x)min＝0.11．某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．(1)当每辆车的月租金为3600元时，能租出多少辆车？(2)当每辆车的月租金为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？解：(1)当每辆车的月租金为3600元时，未租出的车辆数为3600－300050＝12.所以这时租出了88辆车．(2)设每辆车的月租金为x元．则租赁公司的月收益为f(x)＝(100－x－300050)(x－150)－x－30005050，整理得f(x)＝－x250＋162x－21000＝－150(x－4050)2＋307050.所以，当x＝4050时，f(x)最大，最大值为f(4050)＝307050.即当每辆车的月租金为4050元时，租赁公司的月收益最大．最大月收益为307050元．12．求f(x)＝x2－2ax－1在区间[0,2]上的最大值和最小值．解：f(x)＝(x－a)2－1－a2，对称轴为x＝a.①当a＜0时，由图①可知，f(x)min＝f(0)＝－1，f(x)max＝f(2)＝3－4a.②当0a＜1时，由图②可知，f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(2)＝3－4a.③当12时，由图③可知，f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(0)＝－1.④当a＞2时，由图④可知，f(x)min＝f(2)＝3－4a，f(x)max＝f(0)＝－1.综上所述，当a＜0时，f(x)min＝－1，f(x)max＝3－4a；课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也很难做到恰如其分。

高中数学高考总复习函数的单调性与最值一、选择题1．已知f (x )＝－x －x 3，x ∈[a ，b ]，且f (a )·f (b )<0，则f (x )＝0在[a ，b ]内( ) A ．至少有一实数根 B ．至多有一实数根 C ．没有实数根D ．有唯一实数根[答案] D[解析] ∵函数f (x )在[a ，b ]上是单调减函数，又f (a )，f (b )异号．∴f (x )在[a ，b ]内有且仅有一个零点，故选D.2．(2010·北京文)给定函数①y ＝x 12，②y ＝log 12(x ＋1)，③y ＝|x －1|，④y ＝2x ＋1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④[答案] B[解析] 易知y ＝x 12在(0,1)递增，故排除A 、D 选项；又y ＝log 12(x ＋1)的图象是由y ＝log12x 的图象向左平移一个单位得到的，其单调性与y ＝log 12x 相同为递减的，所以②符合题意，故选B.3．(2010·济南市模拟)设y 1＝0.413，y 2＝0.513，y 3＝0.514，则( )A ．y 3<y 2<y 1B ．y 1<y 2<y 3C ．y 2<y 3<y 1D ．y 1<y 3<y 2[答案] B[解析] ∵y ＝0.5x为减函数，∴0.513<0.514，∵y ＝x 13在第一象限内是增函数，∴0.413<0.513，∴y 1<y 2<y 3，故选B.4．(2010·广州市)已知函数⎩⎪⎨⎪⎧(a －2)x －1 x ≤1log a x x >1，若f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为( )A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(2,3]D ．(2，＋∞)[答案] C[解析] ∵f (x )在R 上单调增，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >1a －2>0(a －2)×1－1≤log a 1， ∴2<a ≤3，故选C.5．(文)(2010·山东济宁)若函数f (x )＝x 2＋2x ＋a ln x 在(0,1)上单调递减，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≥0B ．a ≤0C ．a ≥－4D ．a ≤－4[答案] D[解析] ∵函数f (x )＝x 2＋2x ＋a ln x 在(0,1)上单调递减，∴当x ∈(0,1)时，f ′(x )＝2x ＋2＋a x ＝2x 2＋2x ＋a x≤0，∴g (x )＝2x 2＋2x ＋a ≤0在x ∈(0,1)时恒成立， ∴g (0)≤0，g (1)≤0，即a ≤－4.(理)已知函数y ＝tan ωx 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内是减函数，则ω的取值范围是( ) A ．0<ω≤1 B ．－1≤ω<0 C ．ω≥1D ．ω≤－1[答案] B[解析] ∵tan ωx 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上是减函数， ∴ω<0.当－π2<x <π2时，有－π2≤πω2<ωx <－πω2≤π2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧π2ω≥－π2－π2ω≤π2ω<0，∴－1≤ω<0.6．(2010·天津文)设a ＝log 54，b ＝(log 53)2，c ＝log 45，则( ) A ．a ＜c ＜b B ．b ＜c ＜a C ．a ＜b ＜cD ．b ＜a ＜c[答案] D[解析] ∵1>log 54>log 53>0，∴log 53>(log 53)2>0，而log 45>1，∴c >a >b . 7．若f (x )＝x 3－6ax 的单调递减区间是(－2,2)，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0] B ．[－2,2] C ．{2}D ．[2，＋∞)[解析] f ′(x )＝3x 2－6a ，若a ≤0，则f ′(x )≥0，∴f (x )单调增，排除A ；若a >0，则由f ′(x )＝0得x ＝±2a ，当x <－2a 和x >2a 时，f ′(x )>0，f (x )单调增，当－2a <x <2a 时，f (x )单调减，∴f (x )的单调减区间为(－2a ，2a )，从而2a ＝2， ∴a ＝2.[点评] f (x )的单调递减区间是(－2,2)和f (x )在(－2，2)上单调递减是不同的，应加以区分．8．(文)定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数，若f (13)＝0，则适合不等式f (log127x )>0的x 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)B ．(0，13)C ．(0，＋∞)D ．(0，13)∪(3，＋∞)[答案] D[解析] ∵定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数，且f (13)＝0，则由f (log 127x )>0，得|log 127x |>13，即log 127x >13或log 127x <－13.选D.(理)(2010·南充市)已知函数f (x )图象的两条对称轴x ＝0和x ＝1，且在x ∈[－1,0]上f (x )单调递增，设a ＝f (3)，b ＝f (2)，c ＝f (2)，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．b >c >aD ．c >b >a[答案] D[解析] ∵f (x )在[－1,0]上单调增，f (x )的图象关于直线x ＝0对称， ∴f (x )在[0,1]上单调减；又f (x )的图象关于直线x ＝1对称， ∴f (x )在[1,2]上单调增，在[2,3]上单调减． 由对称性f (3)＝f (－1)＝f (1)<f (2)<f (2)， 即a <b <c .9．(2009·天津高考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x ＜0.若f (2－a 2)＞f (a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) [答案] C[解析] ∵x ≥0时，f (x )＝x 2＋4x ＝(x ＋2)2－4单调递增，且f (x )≥0；当x <0时，f (x )＝4x －x 2＝－(x －2)2＋4单调递增，且f (x )<0，∴f (x )在R 上单调递增，由f (2－a 2)>f (a )得2－a 2>a ，∴－2<a <1.10．(2010·泉州模拟)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，当x <0时，f (x )>0，则函数f (x )在[a ，b ]上有( )A ．最小值f (a )B ．最大值f (b )C ．最小值f (b )D ．最大值f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2[答案] C[解析] 令x ＝y ＝0得，f (0)＝0， 令y ＝－x 得，f (0)＝f (x )＋f (－x )， ∴f (－x )＝－f (x )．对任意x 1，x 2∈R 且x 1<x 2，， f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2) ＝f (x 1－x 2)>0，∴f (x 1)>f (x 2)， ∴f (x )在R 上是减函数， ∴f (x )在[a ，b ]上最小值为f (b )． 二、填空题11．(2010·重庆中学)已知函数f (x )＝ax ＋b x －4(a ，b 为常数)，f (lg2)＝0，则f (lg 12)＝________.[答案] －8[解析] 令φ(x )＝ax ＋bx ，则φ(x )为奇函数，f (x )＝φ(x )－4，∵f (lg2)＝φ(lg2)－4＝0，∴φ(lg2)＝4， ∴f (lg 12)＝f (－lg2)＝φ(－lg2)－4＝－φ(lg2)－4＝－8.12．偶函数f (x )在(－∞，0]上单调递减，且f (x )在[－2，k ]上的最大值点与最小值点横坐标之差为3，则k ＝________.[答案] 3[解析] ∵偶函数f (x )在(－∞，0]上单调递减，∴f (x )在[0，＋∞)上单调递增．因此，若k ≤0，则k －(－2)＝k ＋2<3，若k >0，∵f (x )在[－2,0]上单调减在[0，－k ]上单调增，∴最小值为f (0)，又在[－2，k ]上最大值点与最小值点横坐标之差为3，∴k －0＝3，即k ＝3.13．函数f (x )＝ax －1x ＋3在(－∞，－3)上是减函数，则a 的取值范围是________．[答案] ⎝⎛⎭⎫－∞，－13 [解析] ∵f (x )＝a －3a ＋1x ＋3在(－∞，－3)上是减函数，∴3a ＋1<0，∴a <－13.14．(2010·江苏无锡市调研)设a (0<a <1)是给定的常数，f (x )是R 上的奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，若f ⎝⎛⎭⎫12＝0，f (log a t )>0，则t 的取值范围是______．[答案] (1，1a)∪(0，a ) [解析] f (log a t )>0，即f (log a t )>f ⎝⎛⎭⎫12， ∵f (x )在(0，＋∞)上为增函数，∴log a t >12，∵0<a <1，∴0<t <a .又f (x )为奇函数，∴f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝0， ∴f (log a t )>0又可化为f (log a t )>f ⎝⎛⎭⎫－12， ∵奇函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数， ∴f (x )在(－∞，0)上为增函数，∴0>log a t >－12，∵0<a <1，∴1<t <1a， 综上知，0<t <a 或1<t <1a. 三、解答题15．(2010·北京市东城区)已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a >0且a ≠1. (1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明；(3)当a >1时，求使f (x )>0的x 的取值集合．[解析] (1)要使f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>01－x >0，解得－1<x <1. 故所求定义域为{x |－1<x <1}．(2)由(1)知f (x )的定义域为{x |－1<x <1}，且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x )＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )，故f (x )为奇函数．(3)因为当a >1时，f (x )在定义域{x |－1<x <1}内是增函数， 所以f (x )>0⇔x ＋11－x >1.解得0<x <1.所以使f (x )>0的x 的取值集合是{x |0<x <1}．16．(2010·北京东城区)已知函数f (x )＝log a 1－mxx －1是奇函数(a >0，a ≠1)．(1)求m 的值；(2)求函数f (x )的单调区间；(3)若当x ∈(1，a －2)时，f (x )的值域为(1，＋∞)，求实数a 的值．[解析] (1)依题意，f (－x )＝－f (x )，即f (x )＋f (－x )＝0，即log a 1－mx x －1＋log a 1＋mx－x －1＝0，∴1－mx x －1·1＋mx－x －1＝1，∴(1－m 2)x 2＝0恒成立， ∴1－m 2＝0，∴m ＝－1或m ＝1(不合题意，舍去)当m ＝－1时，由1＋xx －1>0得，x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，此即函数f (x )的定义域，又有f (－x )＝－f (x )， ∴m ＝－1是符合题意的解． (2)∵f (x )＝log a 1＋xx －1，∴f ′(x )＝x －1x ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x －1′log a e＝x －1x ＋1·(x －1)－(x ＋1)(x －1)2log a e ＝2log a e1－x 2①若a >1，则log a e >0当x ∈(1，＋∞)时，1－x 2<0，∴f ′(x )<0，f (x )在(1，＋∞)上单调递减， 即(1，＋∞)是f (x )的单调递减区间；由奇函数的性质知，(－∞，－1)是f (x )的单调递减区间． ②若0<a <1，则log a e <0当x ∈(1，＋∞)时，1－x 2<0，∴f ′(x )>0，∴(1，＋∞)是f (x )的单调递增区间；由奇函数的性质知，(－∞，－1)是f (x )的单调递增区间．(3)令t ＝1＋x x －1＝1＋2x －1，则t 为x 的减函数∵x ∈(1，a －2)，∴t ∈⎝⎛⎭⎫1＋2a －3，＋∞且a >3，要使f (x )的值域为(1，＋∞)，需log a ⎝⎛⎭⎫1＋2a －3＝1，解得a ＝2＋ 3.17．(2010·山东文)已知函数f (x )＝ln x －ax ＋1－ax －1(a ∈R)．(1)当a ＝－1时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)当a ≤12时，讨论f (x )的单调性．[解析] (1)a ＝－1时，f (x )＝ln x ＋x ＋2x －1，x ∈(0，＋∞)．f ′(x )＝x 2＋x －2x 2，x ∈(0，＋∞)，因此f ′(2)＝1，即曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线斜率为1. 又f (2)＝ln2＋2，所以y ＝f (x )在(2，f (2))处的切线方程为y －(ln2＋2)＝x －2， 即x －y ＋ln2＝0.(2)因为f (x )＝ln x －ax ＋1－ax－1，所以f ′(x )＝1x －a ＋a －1x 2＝－ax 2－x ＋1－a x 2 x ∈(0，＋∞)．令g (x )＝ax 2－x ＋1－a ，①当a ＝0时，g (x )＝1－x ，x ∈(0，＋∞)， 当x ∈(0,1)时，g (x )>0，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，g (x )<0，此时f ′(x )>0，f (x )单调递增； ②当a ≠0时，f ′(x )＝a (x －1)[x －(1a－1)]，(ⅰ)当a ＝12时，g (x )≥0恒成立，f ′(x )≤0，f (x )在(0，＋∞)上单调递减；(ⅱ)当0<a <12时，1a－1>1>0，x ∈(0,1)时，g (x )>0，此时f ′(x )<0，f (x )单调递减； x ∈(1，1a －1)时，g (x )<0，此时f ′(x )>0，f (x )单调递增；x ∈(1a－1，＋∞)时，g (x )>0，此时f ′(x )<0，f (x )单调递减；③当a <0时，1a－1<0，x ∈(0,1)时，g (x )>0，有f ′(x )<0，f (x )单调递减 x ∈(1，＋∞)时，g (x )<0，有f ′(x )>0，f (x )单调递增． 综上所述：当a ≤0时，函数f (x )在(0,1)上单调递减，(1，＋∞)上单调递增； 当a ＝12时，f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当0<a <12时，f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，1a －1)上单调递增，在(1a －1，＋∞)上单调递减．注：分类讨论时要做到不重不漏，层次清楚．。

函数的单调性一、选择题：1．在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是（ ）A ．y =2x ＋1B ．y =3x 2＋1C ．y =x2D ．y =2x 2＋x ＋12．函数f (x )=4x 2－mx ＋5在区间［－2，＋∞］上是增函数，在区间(－∞，－2)上是减函数，则f (1)等于（ ） A ．－7 B ．1 C ．17 D ．253．函数f (x )在区间(－2，3)上是增函数，则y =f (x ＋5)的递增区间是 （ ） A ．(3，8) B ．(－7，－2) C ．(－2，3) D ．(0，5) 4．函数f (x )=21++x ax 在区间(－2，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．(0，21)B ．( 21，＋∞)C ．(－2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)5．已知函数f (x )在区间[a ，b ]上单调，且f (a )f (b )＜0，则方程f (x )=0在区间[a ，b ]内（ ） A ．至少有一实根 B ．至多有一实根 C ．没有实根 D ．必有唯一的实根 6．已知函数f (x )=8＋2x －x 2，如果g (x )=f ( 2－x 2 )，那么函数g (x ) （ ） A ．在区间(－1，0)上是减函数 B ．在区间(0，1)上是减函数 C ．在区间(－2，0)上是增函数 D ．在区间(0，2)上是增函数7．已知函数f (x )是R 上的增函数，A(0，－1)、B(3，1)是其图象上的两点，那么不等式 |f (x ＋1)|＜1的解集的补集是 （ ） A ．(－1，2) B ．(1，4)C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞）D ．(－∞，－1)∪[2，＋∞）8．已知定义域为R 的函数f (x )在区间(－∞，5)上单调递减，对任意实数t ，都有f (5＋t )＝f (5－t )，那么下列式子一定成立的是 （ ） A ．f (－1)＜f (9)＜f (13) B ．f (13)＜f (9)＜f (－1) C ．f (9)＜f (－1)＜f (13) D ．f (13)＜f (－1)＜f (9) 9．函数)2()(||)(x x x g x x f -==和的递增区间依次是（ ）A ．]1,(],0,(-∞-∞B ．),1[],0,(+∞-∞C ．]1,(),,0[-∞+∞D ),1[),,0[+∞+∞10．已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ≤3 B ．a ≥－3 C ．a ≤5 D ．a ≥311．已知f (x )在区间(－∞，＋∞)上是增函数，a 、b ∈R 且a ＋b ≤0，则下列不等式中正确的是（ ） A ．f (a )＋f (b )≤－f (a )＋f (b )］ B ．f (a )＋f (b )≤f (－a )＋f (－b ) C ．f (a )＋f (b )≥－f (a )＋f (b )］ D ．f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )12．定义在R 上的函数y =f (x )在(－∞，2)上是增函数，且y =f (x ＋2)图象的对称轴是x =0，则 （ ）A ．f (－1)＜f (3)B ．f (0)＞f (3)C ．f (－1)=f (－3)D ．f (2)＜f (3)二、填空题：13．函数y =(x －1)-2的减区间是___ _． 14．函数y =x －2x -1＋2的值域为__ ___． 15、设()y f x =是R 上的减函数，则()3y fx =-的单调递减区间为 .16、函数f (x ) = ax 2＋4(a ＋1)x －3在[2，＋∞]上递减，则a 的取值范围是__ ． 三、解答题：17．f (x )是定义在( 0，＋∞)上的增函数，且f (yx) = f (x )－f (y ) （1）求f (1)的值．（2）若f (6)= 1，解不等式 f ( x ＋3 )－f (x1) ＜2 ．18．函数f (x )=－x 3＋1在R 上是否具有单调性？如果具有单调性，它在R 上是增函数还是减函数？试证明你的结论．19．试讨论函数f (x )=21x -在区间［－1，1］上的单调性．20．设函数f (x )=12+x －ax ，(a ＞0)，试确定：当a 取什么值时，函数f (x )在0，＋∞)上为单调函数．21．已知f (x )是定义在(－2，2)上的减函数，并且f (m －1)－f (1－2m )＞0，求实数m 的取值范围．22．已知函数f (x )=xax x ++22，x ∈［1，＋∞］（1）当a =21时，求函数f (x )的最小值；（2）若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )＞0恒成立，试求实数a 的取值范围．参考答案一、选择题： CDBBD ADCCA BA二、填空题：13. (1，＋∞)， 14. (－∞，3)，15.[)3,+∞， ⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-21,三、解答题：17.解析：①在等式中0≠=y x 令，则f (1)=0．②在等式中令x=36，y=6则.2)6(2)36(),6()36()636(==∴-=f f f f f 故原不等式为：),36()1()3(f xf x f <-+即f [x (x ＋3)]＜f (36)， 又f (x )在(0，＋∞)上为增函数，故不等式等价于：.23153036)3(00103-<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+<>>+x x x xx18.解析： f (x )在R 上具有单调性，且是单调减函数，证明如下：设x 1、x 2∈(－∞，＋∞)， x 1＜x 2 ，则f (x 1)=－x 13＋1， f (x 2)=－x 23＋1．f (x 1)－f (x 2)=x 23－x 13=(x 2－x 1)(x 12＋x 1x 2＋x 22)=(x 2－x 1)［(x 1＋22x )2＋43x 22］．∵x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0而(x 1＋22x )2＋43x 22＞0，∴f (x 1)＞f (x 2)．∴函数f (x )=－x 3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数．19.解析： 设x 1、x 2∈－1，1］且x 1＜x 2，即－1≤x 1＜x 2≤1．f (x 1)－f (x 2)=211x -－221x -=2221222111)1()1(x x x x -+----=2221121211))((x x x x x x -+-+-∵x 2－x 1＞0，222111x x -+-＞0，∴当x 1＞0，x 2＞0时，x 1＋x 2＞0，那么f (x 1)＞f (x 2)． 当x 1＜0，x 2＜0时，x 1＋x 2＜0，那么f (x 1)＜f (x 2)．故f (x )=21x -在区间［－1，0］上是增函数，f (x )=21x -在区间［0，1］上是减函数． 20.解析：任取x 1、x 2∈0，＋)∞且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)=121+x －122+x －a (x 1－x 2)=1122212221+++-x x x x －a (x 1－x 2)=(x 1－x 2)(11222121++++x x x x －a )(1)当a ≥1时，∵11222121++++x x x x ＜1，又∵x 1－x 2＜0，∴f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)∴a ≥1时，函数f (x )在区间［0，＋∞)上为减函数．(2)当0＜a ＜1时，在区间［0，＋∞］上存在x 1=0，x 2=212aa-，满足f (x 1)=f (x 2)=1 ∴0＜a ＜1时，f (x )在［０，＋)∞上不是单调函数 注： ①判断单调性常规思路为定义法； ②变形过程中11222121++++x x x x ＜1利用了121+x ＞|x 1|≥x 1;122+x ＞x 2；③从a 的范围看还须讨论0＜a ＜1时f (x )的单调性，这也是数学严谨性的体现．21.解析： ∵f (x )在(－2，2)上是减函数∴由f (m －1)－f (1－2m )＞0，得f (m －1)＞f (1－2m )∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<<-<<-⎪⎩⎪⎨⎧-<-<-<-<-<-32232131211,2212212m m m m m m m 即 解得3221<<-m ，∴m 的取值范围是(－32,21)22.解析： (1)当a =21时，f (x )=x ＋x21＋2，x ∈1，＋∞) 设x 2＞x 1≥1，则f (x 2)－f (x 1)=x 2＋1122121x x x --=(x 2－x 1)＋21212x x x x -=(x 2－x 1)(1－2121x x ) ∵x 2＞x 1≥1， ∴x 2－x 1＞0，1－2121x x ＞0，则f (x 2)＞f (x 1) 可知f (x )在［1，＋∞)上是增函数．∴f (x )在区间［1，＋∞)上的最小值为f (1)=27． (2)在区间［1，＋∞)上，f (x )=xax x ++22＞0恒成立⇔x 2＋2x ＋a ＞0恒成立设y =x 2＋2x ＋a ，x ∈1，＋∞)，由y =(x ＋1)2＋a －1可知其在[1，＋∞)上是增函数， 当x =1时，y min =3＋a ，于是当且仅当y min =3＋a ＞0时函数f (x )＞0恒成立．故a ＞－3．。

高三数学函数的单调性与最值试题答案及解析1.下列函数中，既是奇函数又存在极值的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题可知，B、C选项不是奇函数，A选项单调递增（无极值），而D选项既为奇函数又存在极值.故选D.【考点】函数奇偶性的概念，函数单调性与函数极值.2.函数f(x)＝是( )A．偶函数，在(0，＋∞)是增函数B．奇函数，在(0，＋∞)是增函数C．偶函数，在(0，＋∞)是减函数D．奇函数，在(0，＋∞)是减函数【答案】B【解析】因为f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数又因为y＝2x是增函数，y＝2－x为减函数，故为增函数，选B考点:函数的奇偶性和单调性.3.下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是（）A．y＝B．y＝C．y＝－x2＋2D．y＝lg|x|【答案】C【解析】答案中的四个图象如下，通过图形可知符合题意的选C.【考点】函数图象.4.下列函数中，在区间上为增函数的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】对A，函数在上为增函数，符合要求；对B，在上为减函数，不符合题意；对C，为上的减函数，不符合题意；对D，在上为减函数，不符合题意.故选A.【考点】函数的单调性，容易题.(x－2)在(3，＋∞)上具有相同的单调性，则实数k的取值范围是5.使函数y＝与y＝log3________．【答案】(－∞，－4)(x－2)的定义域为(2，＋∞)，且为增函数，故在(3，＋∞)上是增函数．【解析】由y＝log3又函数y＝＝＝2＋，使其在(3，＋∞)上是增函数，故4＋k<0，得k<－4.6.函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间是()A．(－∞，2)B．(0,3)C．(1,4)D．(2，＋∞)【答案】D【解析】函数f(x)＝(x－3)e x的导数为f′(x)＝[(x－3)e x]′＝1·e x＋(x－3)·e x＝(x－2)e x.由函数导数与函数单调性的关系，得当f′(x)>0时，函数f(x)单调递增，此时由不等式f′(x)＝(x－2)·e x>0，解得x>2.7. [2014·济宁模拟]若函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则a＝________.【答案】－6【解析】由图象的对称性，知函数f(x)＝|2x＋a|关于直线x＝－对称，因为函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，所以－＝3，即a＝－6.8.已知函数在[0，+∞]上是增函数，，若则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵，∴，∵函数在[0，+∞]上是增函数，∴，∴或，∴或，又∵，∴或.【考点】函数的单调性、不等式的解法.=5.06x-9.(2014·长沙模拟)某公司在甲、乙两地销售一种品牌车,利润(单位：万元)分别为L10.15x2和L=2x,其中x为销售量(单位：辆).若该公司在这两地共销售15辆车,则能获得的最大利2润为()A．45.606万元B．45.6万元C．45.56万元D．45.51万元【答案】B【解析】设该公司在甲地销售x辆,则在乙地销售(15-x)辆,利润为L(x)=5.06x-0.15x2+2(15-x)=-0.15x2+3.06x+30=-0.15+0.15×+30,由于x为整数,所以当x=10时,L(x)取最大值L(10)=45.6,即能获得的最大利润为45.6万元.10.如果对定义在上的函数，对任意，都有则称函数为“函数”.给出下列函数:①；②；③；④.其中函数是“函数”的个数为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由已知得，，即，故在定义域内单调递增.,其值不恒为正，故①不满足；，故②满足；，③满足；由分段函数的图象，④不满足.【考点】1、函数单调性的定义；2、利用导数判断函数的单调性；3、分段函数.11.函数的图象与的图象关于直线对称，则函数的递增区间是_________．【答案】(0，2)【解析】∵函数的图象与的图象关于直线对称∴与互为反函数∵的反函数为，∴，．令，则，即，∴，又∵的对称轴为，且对数的底数大于1，∴的递增区间为(0，2)．12.已知，不等式的解集为.（1）求的值；（2）若对一切实数恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）2；（2）.【解析】（1）我们首先求出不等式的解集，这个解集与相等，由此可求得；（2），一种方法，这个函数是分段函数，我们把它化为一般的分段函数表达式，以便求出它的最大(小)值，从而求得的最大值，得到的取值范围，也可应用绝对值不等式的性质，求得最大值.试题解析：解法一：（1）由不等式｜2x－a｜－a≤2，得｜2x－a｜≤2＋a，∵解集不空，∴2＋a≥0.解不等式可得{x∣－1≤x≤1＋a}. 3分∵－1≤x≤3，∴1＋a﹦3，即a=2. 5分（2）记g(x)=f(x)－f(x＋2)=｜2x－2｜－｜2x＋2｜， 6分4,（x≤－1）则g(x)=－4x,（-1﹤x﹤1）. 8分-4,（x≥1）所以-4≤g(x)≤4，∴｜g(x)｜≤4,因此m≥4. 10分解法二：∵f(x)－f(x＋2)=｜2x－2｜－｜2x＋2｜，∵｜2x－2｜－｜2x＋2｜≤｜(2x－2)－(2x＋2)｜=4. 7分｜2x－2｜－｜2x＋2｜≥｜2x｜－2－（｜2x｜＋2）=－4. 9分∴－4≤｜2x－2｜－｜2x＋2｜≤4.∴｜f(x)－f(x＋2)｜≤4.∴m≥4. 10分【考点】(1)解绝对值不等式；(2)分段函数的最值，不等式恒成立问题.13.在直角坐标系中，曲线C1的参数方程为：（为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并取与直角坐标系相同的长度单位，建立极坐标系，曲线C2是极坐标方程为：，（1）求曲线C2的直角坐标方程；（2）若P，Q分别是曲线C1和C2上的任意一点，求的最小值.【答案】(1);(2)【解析】(1)把代入曲线C2是极坐标方程中，即可得到曲线C2的直角坐标方程；(2)由已知可知P（）,，由两点间的距离公式求出的表达式，再根据二次函数的性质，求出的最小值，然后可得min－.试题解析：(1)，. 4分(2)设P（）,6分时，， 8分. 10分【考点】1.极坐标方程和直角坐标方程的互化；2.曲线与曲线间的位置关系以及二次函数的性质.14.下列函数是偶函数，且在上单调递增的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】对于函数，此函数为偶函数，且在区间上单调递减，A选项错误；对于函数，此函数为偶函数，且当时，，故函数在区间上不单调，B选项错误；对于函数，该函数为偶函数，且函数在区间上单调递减，C选项错误；对于函数，定义域为，且，故该函数为偶函数，且当时，，结合图象可知，函数在区间上单调递增，合乎题意，故选D.【考点】函数的奇偶性与单调性15.已知函数(),则（）A．必是偶函数B．当时，的图象必须关于直线对称;C．有最大值D．若，则在区间上是增函数;【答案】D【解析】在二次函数上加绝对值符号，相当于把原二次函数在轴下方的图像翻折到上方，原来处于轴上方的图像保持不变.当时画图可知不是偶函数，比如就不是偶函数，排除A；仅有无法说明的图像关于直线对称，比如满足但画图可知图像并不关于直线对称，排除B；的图像两边向上无限延伸，没有最大值，排除C；若，则函数于轴最多有一个交点，故恒有，因此，其对称轴为，开口向上，因此在区间上是增函数，D正确.【考点】1、二次函数图象及变换；2、函数的对称性、单调性与最值.16.已知x∈[－3，2]，求f(x)＝－＋1的最小值与最大值．【答案】最小值，最大值57.【解析】f(x)＝－＋1＝4－x－2－x＋1＝2－2x－2－x＋1＝2＋.∵x∈[－3，2],∴≤2－x≤8.则当2－x＝，即x＝1时，f(x)有最小值；当2－x＝8，即x＝－3时，f(x)有最大值57.17.已知a∈R且a≠1，求函数f(x)＝在[1，4]上的最值．【答案】，【解析】由f(x)＝＝a＋.若1－a>0，即a<1时，f(x)在[1，4]上为减函数，∴fmax (x)＝f(1)＝，fmin(x)＝f(4)＝；若1－a<0，即a>1时，f(x)在[1，4]上为增函数，∴fmax (x)＝f(4)＝，fmin(x)＝f(1)＝.18.已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)＞f(1)，则 ()．A．a＞0,4a＋b＝0B．a＜0,4a＋b＝0C．a＞0,2a＋b＝0D．a＜0,2a＋b＝0【答案】A【解析】由f(0)＝f(4)知，f(x)＝ax2＋bx＋c的对称轴为－＝2.∴4a＋b＝0.又0和1在同一个单调区间内，且f(0)＞f(1)，∴y＝f(x)在(－∞，2)内为减函数．∴a＞0.故选A.19.定义域为的函数图象上两点是图象上任意一点，其中.已知向量，若不等式对任意恒成立，则称函数在上“k阶线性近似”．若函数在上“k阶线性近似”，则实数的k取值范围为( )A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意可得点N与在直线AB上，并且由点M的横坐标为.又向量，可得点N的横坐标也为所以点M,N在横坐标相同.所以符合不等式对任意恒成立，则称函数在上的既要大于或等于的最大值，这是解题的关键.由函数在则，.所以==.又因为.所以即求.…的最大值由打钩函数可得时式的最大值是.所以.所以.故选C.【考点】1.向量的知识.2.新定义问题.3.函数的最值.4.恒成立问题.5.大钩函数求最值.20.函数是定义在上的增函数，函数的图象关于点对称．若实数满足不等式，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】函数是定义在上，易知函数的图像是函数的图像向右平移了2014个单位,因为函数的图象关于点对称，所以函数的图像关于点（0,0）对称，即函数是奇函数.由不等式得.又函数是定义在上的增函数，所以，即，设点，由知点在以（3,4）为圆心，1为半径的圆内. （为原点），因为易知圆心到原点的距离为5，所以，所以，即的取值范围是（16,36）.【考点】函数的奇偶性与单调性、点与圆的位置关系21.已知函数。

13．用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值，则函数f (x )＝min{4x ＋1，x ＋4，－x ＋8}的最大值是________．解析：在同一坐标系中分别作出函数y ＝4x ＋1，y ＝x ＋4，y ＝－x ＋8的图象后，取位于下方的部分得函数f (x )＝min{4x ＋1，x ＋4，－x ＋8}的图象，如图所示，由图象可知，函数f (x )在x ＝2时取得最大值6.答案：614．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(a －2)x －1，x ≤1，log ax ，x >1，若f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为________． 解析：要使函数f (x )在R 上单调递增，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a >1，a －2>0，f (1)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a >1，a >2，a －2－1≤0，解得2<a ≤3，即实数a 的取值范围是(2,3]．答案：(2,3][能力挑战]15．(2018·长沙模拟)已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x ，若x 1∈(1，2)，x2∈(2，＋∞)，则()A．f(x1)＜0，f(x2)＜0 B．f(x1)＜0，f(x2)＞0 C．f(x1)＞0，f(x2)＜0 D．f(x1)＞0，f(x2)＞0解析：选B.因为函数y＝log2x与函数y＝11－x ＝－1x－1的单调性在(1，＋∞)上均为增函数，所以函数f(x)＝log2x＋11－x在(1，＋∞)上为增函数，且f(2)＝0，所以当x1∈(1，2)时，f(x1)＜f(2)＝0；当x2∈(2，＋∞)时，f(x2)＞f(2)＝0，即f(x1)＜0，f(x2)＞0.16．(2018·株洲二模)定义新运算⊕：当a≥b时，a⊕b＝a；当a ＜b时，a⊕b＝b2，则函数f(x)＝(1⊕x)x－(2⊕x)，x∈[－2，2]的最大值等于()A．－1 B．1C．6 D．12解析：选C.由已知得当－2≤x≤1时，f(x)＝x－2；当1＜x≤2时，f(x)＝x3－2.∵f(x)＝x－2，f(x)＝x3－2在定义域内都为增函数．∴f(x)的最大值为f(2)＝23－2＝6.17．已知函数f(x)＝ln x＋ln(2－x)，则()A．f(x)在(0，2)单调递增B．f(x)在(0，2)单调递减C．y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称D．y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称解析：解法一：选C.f (x )的定义域为(0，2)．由于f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＝ln(2x －x 2)，从而对f (x )的研究可转化为对二次函数g (x )＝2x －x 2(x ∈(0，2))的研究．因为g (x )＝2x －x 2＝－(x －1)2＋1，所以g (x )在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，直线x ＝1是y ＝g (x )的图象的对称轴．从而排除A ，B ，D ，故选C.解法二：由于f (2－x )＝ln(2－x )＋ln x ，即f (x )＝f (2－x )，故可得y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，故选C.18．(2018·潍坊二模)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤0－x 2－2x ＋3，x ＞0，不等式f (x ＋a )＞f (2a －x )在[a ，a ＋1]上恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，0)C ．(0，2)D ．(－2，0)解析：选A.作出函数f (x )的图象如图所示，易知函数f (x )在R 上为单调递减函数，所以不等式f (x ＋a )＞f (2a－x )在[a ，a ＋1]上恒成立等价于x ＋a ＜2a －x ，即x ＜a 2在[a ，a ＋1]上恒成立，所以只需a ＋1＜a 2，即a ＜－2.故选A. 19．(2018·唐山模拟)如果对定义在R 上的函数f (x )，对任意两个不相等的实数x 1，x 2，都有x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)＞x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)，则称函数f (x )为“H 函数”．给出下列函数：①y ＝e x ＋x ；②y ＝x 2；③y ＝3x －sin x ；④f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln |x |，x ≠0，0，x ＝0.以上函数是“H 函数”的所有序号为________．解析：因为对任意两个不相等的实数x 1，x 2，都有x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)＞x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)恒成立，所以不等式等价为(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0恒成立，即函数f (x )是定义在R 上的增函数．①函数y ＝e x ＋x 在定义域上为增函数，满足条件．②函数y ＝x 2在定义域上不单调，不满足条件．③y ＝3x －sin x ，y ′＝3－cos x ＞0，函数单调递增，满足条件．④f (x )＝⎩⎨⎧ln |x |，x ≠0，0，x ＝0，当x ＞0时，函数单调递增，当x ＜0时，函数单调递减，不满足条件．综上，满足“H 函数”的函数为①③.答案：①③。

高考总复习函数的单调性与最值习题及详解一、选择题1．已知f〔x〕＝－x－x3，x∈[a，b]，且f〔a〕·f〔b〕<0，则f〔x〕＝0在[a，b]内〔〕A．至少有一实数根B．至多有一实数根C．没有实数根D．有唯一实数根[答案] D[解析] ∵函数f〔x〕在[a，b]上是单调减函数，又f〔a〕，f〔b〕异号．∴f〔x〕在[a，b]内有且仅有一个零点，故选D.2．〔2010·北京文〕给定函数①y＝x，②y＝log〔x＋1〕，③y＝|x－1|，④y＝2x＋1，其中在区间〔0 ,1〕上单调递减的函数的序号是〔〕A．①②B．②③C．③④D．①④[答案] B[解析]易知y＝x在〔0,1〕递增，故排除A、D选项；又y＝log〔x＋1〕的图象是由y＝logx的图象向左平移一个单位得到的，其单调性与y＝logx相同为递减的，所以②符合题意，故选B.3．〔2010·济南市模拟〕设y1＝0.4，y2＝0.5，y3＝0.5，则〔〕A．y3<y2<y1 B．y1<y2<y3C．y2<y3<y1 D．y1<y3<y2[答案] B[解析]∵y＝0.5x为减函数，∴0.5<0.5，∵y＝x在第一象限内是增函数，∴0.4<0.5，∴y1<y2<y3，故选B.4．〔2010·广州市〕已知函数，若f〔x〕在〔－∞，＋∞〕上单调递增，则实数a的取值范围为〔〕A．〔1,2〕B．〔2,3〕C．〔2,3] D．〔2，＋∞〕[答案] C[解析] ∵f〔x〕在R上单调增，∴，∴2<a≤3，故选C.5．〔文〕〔2010·山东济宁〕若函数f〔x〕＝x2＋2x＋alnx在〔0,1〕上单调递减，则实数a的取值范围是〔〕A．a≥0 B．a≤0C．a≥－4 D．a≤－4[答案] D[解析]∵函数f〔x〕＝x2＋2x＋alnx在〔0,1〕上单调递减，∴当x∈〔0,1〕时，f ′〔x〕＝2x＋2＋＝≤0，∴g〔x 〕＝2x2＋2x＋a≤0在x∈〔0,1〕时恒成立，∴g〔0〕≤0，g〔1〕≤0，即a≤－4.〔理〕已知函数y＝tanωx在内是减函数，则ω的取值范围是〔〕A．0<ω≤1 B．－1≤ω<0C．ω≥1 D．ω≤－1[答案] B[解析]∵tanωx在上是减函数，∴ω<0.当－<x<时，有－≤<ωx<－≤，∴，∴－1≤ω<0.6．〔2010·天津文〕设a＝log54，b＝〔log53〕2，c＝log45，则〔〕A．a＜c＜b B．b＜c＜aC．a＜b＜c D．b＜a＜c[答案] D[解析] ∵1>log54>log53>0，∴log53>〔log53〕2>0，而log45>1，∴c>a>b.7．若f〔x〕＝x3－6ax的单调递减区间是〔－2,2〕，则a的取值范围是〔〕A．〔－∞，0] B．[－2,2]C．{2} D．[2，＋∞〕[答案] C[解析] f ′〔x〕＝3x2－6a，若a≤0，则f ′〔x〕≥0，∴f〔x〕单调增，排除A；若a>0，则由f ′〔x〕＝0得x＝±，当x<－和x>时，f ′〔x〕>0，f〔x〕单调增，当－<x<时，f〔x〕单调减，∴f〔x〕的单调减区间为〔－，〕，从而＝2，∴a＝2.[点评]f〔x〕的单调递减区间是〔－2,2〕和f〔x〕在〔－2，2〕上单调递减是不同的，应加以区分．8．〔文〕定义在R上的偶函数f〔x〕在[0，＋∞〕上是增函数，若f〔〕＝0，则适合不等式f〔logx〕> 0的x的取值范围是〔〕A．〔3，＋∞〕B．〔0，〕C．〔0，＋∞〕D．〔0，〕∪〔3，＋∞〕[答案] D[解析]∵定义在R上的偶函数f〔x〕在[0，＋∞〕上是增函数，且f〔〕＝0，则由f〔logx〕>0，得|logx|>，即logx>或logx<－.选D.〔理〕〔2010·南充市〕已知函数f 〔x 〕图象的两条对称轴x ＝0和x ＝1，且在x ∈[－1,0]上f 〔x 〕单调递增，设a ＝f 〔3〕，b ＝f 〔〕，c ＝f 〔2〕，则a 、b 、c 的大小关系是〔 〕A ．a>b>cB ．a>c>bC ．b>c>aD ．c>b>a [答案] D[解析] ∵f 〔x 〕在[－1,0]上单调增，f 〔x 〕的图象关于直线x ＝0对称，∴f〔x 〕在[0,1]上单调减；又f 〔x 〕的图象关于直线x ＝1对称，∴f〔x 〕在[1,2]上单调增，在[2,3]上单调减．由对称性f 〔3〕＝f 〔－1〕＝f 〔1〕<f 〔〕<f 〔2〕，即a<b<c.9．〔2009·天津高考〕已知函数f 〔x 〕＝若f 〔2－a2〕＞f 〔a 〕，则实数a 的取值范围是〔 〕A ．〔－∞，－1〕∪〔2，＋∞〕B ．〔－1,2〕C ．〔－2,1〕D ．〔－∞，－2〕∪〔1，＋∞〕[答案] C[解析]∵x≥0时，f 〔x 〕＝x2＋4x ＝〔x ＋2〕2－4单调递增，且f 〔x 〕≥0；当x<0时，f 〔x 〕＝4x －x2＝－〔x －2〕2＋4单调递增，且f 〔x 〕<0，∴f 〔x 〕在R 上单调递增，由f 〔2－a2〕>f 〔a 〕得2－a2>a ，∴－2<a<1.10．〔2010·泉州模拟〕定义在R 上的函数f 〔x 〕满足f 〔x ＋y 〕＝f 〔x 〕＋f 〔y 〕，当x<0时，f 〔x 〕>0，则函数f 〔x 〕在[a ，b]上有〔 〕A ．最小值f 〔a 〕B ．最大值f 〔b 〕C ．最小值f 〔b 〕D ．最大值f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 [答案] C[解析] 令x ＝y ＝0得，f 〔0〕＝0，令y ＝－x 得，f 〔0〕＝f 〔x 〕＋f 〔－x 〕，∴f〔－x 〕＝－f 〔x 〕．对任意x1，x2∈R 且x1<x2，，f 〔x1〕－f 〔x2〕＝f 〔x1〕＋f 〔－x2〕＝f 〔x1－x2〕>0，∴f 〔x1〕>f 〔x2〕，∴f〔x 〕在R 上是减函数，∴f〔x 〕在[a ，b]上最小值为f 〔b 〕．二、填空题11．〔2010·重庆中学〕已知函数f 〔x 〕＝ax ＋－4〔a ，b 为常数〕，f 〔lg2〕＝0，则f 〔lg 〕＝________.[答案] －8[解析] 令φ〔x 〕＝ax ＋，则φ〔x 〕为奇函数，f 〔x 〕＝φ〔x 〕－4，∵f〔lg2〕＝φ〔lg2〕－4＝0，∴φ〔lg2〕＝4，∴f〔lg 〕＝f 〔－lg2〕＝φ〔－lg2〕－4＝－φ〔lg2〕－4＝－8.12．偶函数f 〔x 〕在〔－∞，0]上单调递减，且f 〔x 〕在[－2，k]上的最大值点与最小值点横坐标之差为3，则k ＝________.[答案] 3[解析] ∵偶函数f 〔x 〕在〔－∞，0]上单调递减，∴f 〔x 〕在[0，＋∞〕上单调递增．因此，若k≤0，则k －〔－2〕＝k ＋2<3，若k>0，∵f 〔x 〕在[－2,0]上单调减在[0，－k]上单调增，∴最小值为f 〔0〕，又在[－2，k]上最大值点与最小值点横坐标之差为3，∴k －0＝3，即k ＝3.13．函数f 〔x 〕＝在〔－∞，－3〕上是减函数，则a 的取值范围是________．[答案] ⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13 [解析] ∵f 〔x 〕＝a －在〔－∞，－3〕上是减函数，∴3a ＋1<0，∴a<－.14．〔2010·江苏无锡市调研〕设a 〔0<a<1〕是给定的常数，f 〔x 〕是R 上的奇函数，且在〔0，＋∞〕上是增函数，若f ＝0，f 〔logat 〕>0，则t 的取值范围是______．[答案] 〔1，〕∪〔0，〕[解析] f 〔logat 〕>0，即f 〔logat 〕>f ，∵f〔x 〕在〔0，＋∞〕上为增函数，∴logat>，∵0<a<1，∴0<t<.又f 〔x 〕为奇函数，∴f ＝－f ＝0，∴f〔logat 〕>0又可化为f 〔logat 〕>f ，∵奇函数f 〔x 〕在〔0，＋∞〕上是增函数，∴f〔x 〕在〔－∞，0〕上为增函数，∴0>logat>－，∵0<a<1，∴1<t<，综上知，0<t<或1<t<.三、解答题15．〔2010·北京市东城区〕已知函数f 〔x 〕＝loga 〔x ＋1〕－loga 〔1－x 〕，a>0且a≠1.〔1〕求f 〔x 〕的定义域；〔2〕判断f 〔x 〕的奇偶性并予以证明；〔3〕当a>1时，求使f 〔x 〕>0的x 的取值集合．[解析] 〔1〕要使f 〔x 〕＝loga 〔x ＋1〕－loga 〔1－x 〕有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1>01－x>0，解得－1<x<1.故所求定义域为{x|－1<x<1}．〔2〕由〔1〕知f 〔x 〕的定义域为{x|－1<x<1}，且f 〔－x 〕＝loga 〔－x ＋1〕－loga 〔1＋x 〕＝－[loga 〔x ＋1〕－loga 〔1－x 〕]＝－f 〔x 〕，故f 〔x 〕为奇函数．〔3〕因为当a>1时，f 〔x 〕在定义域{x|－1<x<1}内是增函数，所以f 〔x 〕>0⇔>1.解得0<x<1.所以使f 〔x 〕>0的x 的取值集合是{x|0<x<1}．16．〔2010·北京东城区〕已知函数f 〔x 〕＝loga 是奇函数〔a>0，a≠1〕．〔1〕求m 的值；〔2〕求函数f 〔x 〕的单调区间；〔3〕若当x ∈〔1，a －2〕时，f 〔x 〕的值域为〔1，＋∞〕，求实数a 的值．[解析] 〔1〕依题意，f 〔－x 〕＝－f 〔x 〕，即f 〔x 〕＋f 〔－x 〕＝0，即loga ＋loga ＝0， ∴·＝1，∴〔1－m2〕x2＝0恒成立，∴1－m2＝0，∴m＝－1或m ＝1〔不合题意，舍去〕当m ＝－1时，由>0得，x ∈〔－∞，－1〕∪〔1，＋∞〕，此即函数f 〔x 〕的定义域，又有f 〔－x 〕＝－f 〔x 〕，∴m ＝－1是符合题意的解．〔2〕∵f 〔x 〕＝loga ，∴f ′〔x 〕＝′logae＝·logae ＝2logae 1－x2①若a>1，则logae>0当x ∈〔1，＋∞〕时，1－x2<0，∴f ′〔x 〕<0，f 〔x 〕在〔1，＋∞〕上单调递减，即〔1，＋∞〕是f 〔x 〕的单调递减区间；由奇函数的性质知，〔－∞，－1〕是f 〔x 〕的单调递减区间．②若0<a<1，则logae<0当x ∈〔1，＋∞〕时，1－x2<0，∴f ′〔x 〕>0，∴〔1，＋∞〕是f 〔x 〕的单调递增区间；由奇函数的性质知，〔－∞，－1〕是f 〔x 〕的单调递增区间．〔3〕令t ＝＝1＋，则t 为x 的减函数∵x∈〔1，a －2〕，∴t∈且a>3，要使f 〔x 〕的值域为〔1，＋∞〕，需loga ＝1，解得a ＝2＋.17．〔2010·山东文〕已知函数f 〔x 〕＝lnx －ax ＋－1〔a ∈R 〕．〔1〕当a＝－1时，求曲线y＝f〔x〕在点〔2，f〔2〕〕处的切线方程；〔2〕当a≤时，讨论f〔x〕的单调性．[解析] 〔1〕a＝－1时，f〔x〕＝lnx＋x＋－1，x∈〔0，＋∞〕．f ′〔x〕＝，x∈〔0，＋∞〕，因此f ′〔2〕＝1，即曲线y＝f〔x〕在点〔2，f〔2〕〕处的切线斜率为1.又f〔2〕＝ln2＋2，所以y＝f〔x〕在〔2，f〔2〕〕处的切线方程为y－〔ln2＋2〕＝x－2，即x－y＋ln2＝0.〔2〕因为f〔x〕＝lnx－ax＋－1，所以f ′〔x〕＝－a＋＝－x∈〔0，＋∞〕．令g〔x〕＝ax2－x＋1－a，①当a＝0时，g〔x〕＝1－x，x∈〔0，＋∞〕，当x∈〔0,1〕时，g〔x〕>0，f ′〔x〕<0，f〔x〕单调递减；当x∈〔1，＋∞〕时，g〔x〕<0，此时f ′〔x〕>0，f〔x〕单调递增；②当a≠0时，f ′〔x〕＝a〔x－1〕[x－〔－1〕]，〔ⅰ〕当a＝时，g〔x〕≥0恒成立，f ′〔x〕≤0，f〔x〕在〔0，＋∞〕上单调递减；〔ⅱ〕当0<a<时，－1>1>0，x∈〔0,1〕时，g〔x〕>0，此时f ′〔x〕<0，f〔x〕单调递减；x∈〔1，－1〕时，g〔x〕<0，此时f ′〔x〕>0，f〔x〕单调递增；x∈〔－1，＋∞〕时，g〔x〕>0，此时f ′〔x〕<0，f〔x〕单调递减；③当a<0时，－1<0，x∈〔0,1〕时，g〔x〕>0，有f ′〔x〕<0，f〔x〕单调递减x∈〔1，＋∞〕时，g〔x〕<0，有f ′〔x〕>0，f〔x〕单调递增．综上所述：当a≤0时，函数f〔x〕在〔0,1〕上单调递减，〔1，＋∞〕上单调递增；当a＝时，f〔x〕在〔0，＋∞〕上单调递减；当0<a<时，f〔x〕在〔0,1〕上单调递减，在〔1，－1〕上单调递增，在〔－1，＋∞〕上单调递减．注：分类讨论时要做到不重不漏，层次清楚．。

专题3.2 函数的单调性与最值题型一 判断函数单调性例1．（2022秋·云南红河·高一校考阶段练习）函数()f x ） A ．[]0,1 B ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦例2．（2023·浙江·高二专题练习）下列函数在区间()0,2上单调递增的是（ ） A ．2(2)y x =- B ．12y x =- C ．()sin 2y x =- D ．()cos 2y x =-练习1．（2023春·福建福州·高三校考期中）（多选）函数()f x 是定义在[]22-,上的偶函数，()f x 在[]2,0-上的图象如图所示，则函数()f x 的增区间是（ ）A ．[]22-,B ．[]2,1--C ．[]0,1D ．[]1,2练习2．（2022·高三单元测试）（多选）下列函数中，在(,0)-∞上为增函数的是（ ） A ．||1y x =+ B ．||x y x=C ．2||x y x =-D ．||x y x x =+练习3．（2023·四川·高三统考对口高考）在定义域内单调递减的函数是（ ） A ．2x y -= B ．ln y x = C ．sin2y x = D ．3y x =练习4．（2020秋·福建泉州·高一晋江市第一中学校考阶段练习）下列四个函数中，在区间()0,∞+上为增函数的是（ ） A ．()3f x x =- B ．()()21f x x =-C ．()1f x x= D ．()22f x x x =+练习5．（2022秋·浙江温州·高三校考期中）函数()3f x x =-单调减区间是___________.题型二 求函数的单调区间例3．已知函数()()2f x x x =- (1)作出函数()f x 的图象； (2)写出函数()f x 的单调区间； (3)当[]0,1x ∈时，求()f x 的值域.例4．（2023·高一课时练习）函数21y x =+的单调减区间是______．练习6．（2022秋·广西桂林·高三校考期中）函数21y x =-的单调增区间是______.练习7．（2022秋·江苏常州·高三校联考阶段练习）函数()2(1)f x x x =-+的单调增区间是___________.练习8．（2023秋·上海浦东新·高三校考期末）函数()10y x x x=+>的增区间为______.练习9．（2023秋·吉林·高一吉林省实验校考期末）函数()20.5log 4=-+y x x 的单调递增区间是（ ）A ．[)2,4B ．[)2,+∞C ．(]0,2D ．(],2-∞练习10．（2022·全国·高三专题练习）函数y =的单调递增区间是______.题型三 函数的最值问题例5．（2023·高三课时练习）已知函数()()22f x x ax x =-+∈R 有最小值，则实数a 的取值范围是______.例6．（2023春·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）函数y =的最大值为______.练习11．（2023·全国·高三专题练习）函数243y x x =-+在区间[]1,m -上有最小值1，则实数m 的取值范围是______．练习12．（2022春·浙江嘉兴·高二校考期中）函数243y x x a -=-+-的最大值为负值，则a 的取值范围为（ ） A ．10a -<< B ．1a <-C ．1a <-或10a -<<D ．a ＞4练习13．（2022秋·高一课时练习）（多选）已知函数()f x 的定义域为A ，若对任意x A ∈，存在正数M ，使得()f x M ≤成立，则称函数()f x 是定义在A 上的“有界函数”.则下列函数是“有界函数”的是（ ）A ．()34xf x x+=- B ．()f xC ．()25243f x x x =-+D ．()f x x =练习14．（2022春·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考期末）设函数()()2224x f x x -=+的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．4练习15．（2022秋·青海·高三青海师大附中校考阶段练习）若()1f x x x =+在1,3m ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上的最大值为103，则实数m 的最大值为__________.题型四 恒成立问题与存在性问题例7．（2023春·湖南·高三桃江县第一中学校联考期中）已知函数()223f x t x x t =⋅-+，若()0,1x ∀∈，()0f x >恒成立，则实数t 的取值范围是___________．例8．（2023秋·上海徐汇·高三上海市西南位育中学校考期末）已知函数()()()21lg 1,2xf x xg x m ⎛⎫= ⎪⎝⎭=+-，若对于任意[]10,3x ∈，存在[]21,2x ∈，使得()()12f x g x ≤，则实数m 的取值范围为（ ） A ．1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．1,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭练习16．（2021秋·天津宁河·高三天津市宁河区芦台第一中学校考阶段练习）x ∃∈R ，使得不等式221x x m -+≤成立，则m 的范围是______.练习17．（2022秋·辽宁·高三辽阳市第一高级中学校联考期末）已知函数()4f x x x=+，()2xg x a =+，若11,12x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，[]22,3x ∃∈，使得()()12f x g x ≤，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．9,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[)3,∞-+D ．[)1,+∞练习18．（2022秋·山西朔州·高二校考期末）已知()()2ln 1f x x =+，()12xg x m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若[]10,3x ∀∈，[]21,2x ∃∈，使得()()12f x g x ≥，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦练习19．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）若关于x 的不等式()log 382xa +≥在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()(]0,11,2 B ．(]1,3 C ．()(]0,11,3 D ．(]1,4练习20．（2023秋·云南西双版纳·高三统考期末）已知()22420x a x a +-+->，对[)2,x ∀∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围_______．题型五 利用函数的单调性求参数的取值范围例9．（2023秋·四川达州·高三校考阶段练习）若函数2()21f x x mx =+-在区间(1,)-+∞上是增函数，则实数m 的取值范围是 ______例10．（2023春·云南玉溪·高三云南省玉溪第一中学校考阶段练习）已知()224f x x ax b =+-，其中a ，b 为实数.(1)若不等式()0f x ≤的解集是[]2,6-，求b a 的值；(2)若函数()22x xf y =在区间(],1-∞上单调递减，求实数b 的取值范围.练习21．（2023秋·广东广州·高三统考期末）函数()248f x x kx =--在[]5,20上不单调，则实数k 的取值范围为___________．练习22．（2022秋·四川宜宾·高三统考阶段练习）函数()3f x x x=+在()0,t 上为减函数，则t 的取值范围是（ ）A ．(B ．(C ．)+∞D ．)+∞练习23．（2019秋·云南楚雄·高三统考期末）若函数()()23621f x x a x =--+在[)1,-+∞上单调递增，则a 的最大值为__________．练习24．（2023·全国·高三专题练习）已知()2f x x a =-，若函数()f x 在区间(],2-∞上为减函数，则a 的取值范围是（ ） A ．1a ≥ B ．1a > C ．2a ≥ D ．2a >练习25．（2023·全国·高三专题练习）使得“函数()233x txf x -=在区间()2,3上单调递减”成立的一个充分不必要条件可以是（ ） A ．2t ≥ B ．2t ≤C ．3t ≥D ．433t ≤≤题型六 利用单调性解不等式例11．（2023·河南·校联考三模）已知函数()5f x x x =+.若()()2120f x f x -+->.则x 的取值范围是__________.例12．（2022·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）已知函数()3(3)26f x x x =-+-，且()()()260,R f a b f b a b -+->∈ ，则（ ）A ．sin sin a b >B ．e e a b >C ．11a b> D ．20222022>a b练习26．（2020秋·河北·高三统考学业考试）已知函数()e e x xf x -=-，则不等式()()110f x f -+>的解集是（ ） A ．(),2-∞B ．()2,+∞C ．()2,0-D ．()0,2练习27．（2023·陕西西安·校联考模拟预测）已知函数()f x 是实数集R 上的减函数，则不等式()()22f x f x ->-的解集为（ ）A ．(),2-∞B ．(),2-∞-C ．()2,+∞D ．()2,-+∞练习28．（2022秋·高三课时练习）已知()y f x =是定义在[]1,1-上的减函数，则不等式()(1)21f x f x -<-的解集为________.练习29．（2022秋·江西吉安·高三永新中学校考期中）已知函数()f x 满足对任意[)12,0,x x ∈+∞，当12x x <时，()()12f x f x >()44f =，则不等式()22f x <的解集为（ ）A ．[)0,2B ．[)0,4C ．()2,+∞D ．()4,+∞练习30．（2023春·广东东莞·高三东莞市东华高级中学校联考阶段练习）（多选）若3333log log x y x y ---<-，则（ ） A ．x y <B ．e 1x y ->C ．()ln 10x y -+>D ．。

函数的单调性与最值练习题【高中】————再战高中题——能力提升————B组1．下列函数中，在区间(0，＋∞)内单调递减的是()A ．y ＝1x－x B ．y ＝x 2－x C ．y ＝ln x －xD ．y ＝e x －x【答案】A 2．定义在R 上的奇函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上递增，且0，则不等式f (log 19x )>0的解集为______．【答案】103x x ⎧<<⎨⎩或}13x <<【解析】∵y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且y ＝f (x )在(0，＋∞)上递增．∴y ＝f (x )在(－∞，0)上也是增函数，又0，知0．故原不等式19(log )0f x >可化为191(log )()2f x f >或191(log )()2f x f >-，∴191log 2x >或191log 02x -<<，解得103x <<或}13x <<．所以原不等式的解集为103x x ⎧<<⎨⎩或}13x <<．3．函数223y x x =--的单调递增区间为．【答案】()1,1-和()3,+∞．【解析】作出函数223y x x =--的图象如下图所示，由图象可知，函数223y x x =--的单调递增区间为()1,1-和()3,+∞．4．已知函数1()2ax f x x +=+在区间()2,-+∞上为增函数，则实数a 的取值范围．【答案】1(,)2+∞【解析】函数：112()22ax a f x a x x +-==+++，由复合函数的增减性可知，若12()2a g x x -=+在(-2，+∞)为增函数，∴1-2a ＜0，1120,2a a -<>5．若函数x ax x x f 1)(2-+=在),21(∞+是增函数，则a 的取值范围()A 、]3,(-∞B 、]3,(--∞C 、),3[∞+-D 、),3(∞+-【答案】C 6．函数21x y x -=+，(],x m n ∈的最小值为0，则m 的取值范围是()A ．()1,2B ．()1,2-C ．[)1,2D ．[)1,2-【答案】D 【解析】因为()23111x f x y x x -===-+++在()1,-+∞上单调递减，且()20f =，所以2,12n m =-≤<；故选D ．。