高一数学《函数的单调性与最值》第二课时教案

1.3 函数的基本性质1.3.1 单调性与最大(小)值(第二课时)一、教材分析：二、学习目标：①通过实例,使学生体会、理解函数的最大(小)值及其几何意义,能够借助函数图象的直观性得出函数的最值,培养以形识数的解题意识;②能够用函数的性质解决日常生活中简单的实际问题,使学生感受到学习函数单调性的必要性与重要性,增强学生学习函数的紧迫感,激发学生学习的积极性.三、教学重点：理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义．四、教学难点：了解函数的最大(小)值与定义区间有关，会求一次函数、二次函数及反比例函数在指定区间上的最大(小)值．五、课时安排：1课时六、教学过程（一）、自主导学（课堂导入）1、设计问题,创设情境某工厂为了扩大生产规模,计划重新建造一个面积为10 000 m2的矩形新厂址,新厂址的长为x m,则宽为m,所建围墙y m,假如你是这个工厂的厂长,你会选择一个长和宽各为多少米的矩形土地,使得新厂址的围墙y最短?2、自主探索,尝试解决老师给出学生们一些问题让学生思考，并对学生的回答进行点评，然后一起总结得出结论.层层引入，完成本节课学习的主题.问题1:作出函数y=-x2-2x,y=-2x+1(x∈[-1,+∞)),y=f(x)的图象如图所示.观察这三个图象的共同特征.函数y=-x2-2x图象有最高点A,函数y=-2x+1,x∈[-1,+∞)图象有最高点B,函数y=f(x)图象有最高点C.也就是说,这三个函数的图象的共同特征是都有最高点.问题2:你是怎样理解函数y=f(x)的图象的?函数图象是点的集合,是函数y=f(x)的一种表示形式,其上每一点的坐标(x,y)的意义是:自变量x的取值为横坐标,相应的函数值y为纵坐标.图象从“形”的角度描述了函数的变化规律.问题3:你是怎样理解函数图象最高点的?图象最高点的纵坐标是所有函数值中的最大值,即函数的最大值.问题4:问题1中,在所作函数y=f(x)的图象上任取一点A,设图像最高点C的坐标为(x0,y0),谁能用数学符号解释:函数y=f(x)的图象的最高点C?由于点C是函数y=f(x)图象的最高点,则点A在点C的下方,即对定义域内任意x,都有y≤y0,即f(x)≤f(x0),也就是对函数y=f(x)的定义域内任意x,均有f(x)≤f(x0)成立.3、信息交流,揭示规律问题5:在数学中,形如问题1中函数y=f(x)的图象上最高点C的纵坐标就称为函数y=f(x)的最大值.谁能给出函数最大值的定义?函数最大值的定义：一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:(1)对于任意的x∈I,都有f(x)≤M;(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M.那么,称M是函数y=f(x)的最大值.问题6:函数最大值的定义中f(x)≤M即f(x)≤f(x0),这个不等式反映了函数y=f(x)的函数值具有什么特点?其图象又具有什么特征?f(x)≤M反映了函数y=f(x)的所有函数值不大于实数M;这个函数的特征是图象有最高点,并且最高点的纵坐标是M.问题7:函数最大值的几何意义是什么?函数图象上最高点的纵坐标,体现了数形结合思想的应用.问题8:函数y=-2x+1,x∈(-1,+∞)有最大值吗?为什么?函数y=-2x+1,x∈(-1,+∞)没有最大值,因为函数y=-2x+1,x∈(-1,+∞)的图象没有最高点.问题9:点(-1,3)是不是函数y=-2x+1,x∈(-1,+∞)的最高点?不是,因为该函数的定义域中没有-1.问题10:由这个问题你发现了什么值得注意的地方?讨论函数的最大值,要坚持定义域优先的原则;函数图象有最高点时,这个函数才存在最大值,最高点必须是函数图象上的点.问题11:类比函数的最大值,请大家思考一下给出函数最小值的定义及其几何意义.函数最小值的定义：一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:(1)对于任意的x∈I,都有f(x)≥M;(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M.那么,称M是函数y=f(x)的最小值.函数最小值的几何意义:函数图象上最低点的纵坐标.问题12:类比问题10,你认为讨论函数最小值应注意什么?讨论函数的最小值,也要坚持定义域优先的原则;函数图象有最低点时,这个函数才存在最小值,最低点必须是函数图象上的点.（二）、合作学习 让学生合作做练习，教师巡视指导然后讲解例题. 【例1】“菊花”烟花是最壮观的烟花之一. 制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂. 如果烟花距地面的高度h m 与时间t s 之间的关系为h (t ) = – 4.9t 2 + 14.7t + 18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1m ）？解：作出函数h (t ) = – 4.9t 2 + 14.7t + 18的图象(如图). 显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度.由二次函数的知识，对于函数h (t ) = – 4.9t 2 + 14.7t +18，我们有：当t =14.72( 4.9)-⨯-=1.5时，函数有最大值h =24( 4.9)1814.74( 4.9)⨯-⨯-⨯-≈29.于是，烟花冲出后1.5 s 是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约为29m.【例2】已知函数y =21x -(x [2，6])，求函数的最大值和最小值.分析：由函数y =21x -(x [2，6])的图象可知，函数y =21x -在区间[2，6])的图象可知，函数y =21x -在区间[2，6]上递减. 所以，函数y =21x -在区间[2，6]的两个端点上分别取得最大值和最小值.解：设x 1，x 2是区间[2，6]上的任意两个实数，且x 1＜x 2，则f (x 1) – f (x 2) =122211x x --- =21122[(1)(1)](1)(1)x x x x -----=21122()(1)(1)x x x x ---. 由2≤x 1＜x 2≤6，得x 2 –x 1＞0，(x 1–1) (x 2–1)＞0，于是 f (x 1) – f (x 2)＞0，即 f (x 1)＞f (x 2).所以，函数y =21x -是区间[2，6]上是减函数. 因此，函数y =21x -在区间[2，6]的两个端点上分别取得最大值与最小值，即在x =2时取得的最大值，最大值是2，在x = 6时的最小值，最小值是0.4（三）、当堂检测1、课本题组题，1,5,3932B p p2、已知函数f (x ) = x 2 – 2x – 3，若x ∈[t ，t +2]时，求函数f (x )的最值.解：∵对称轴x = 1，（1）当1≥t +2即t ≤–1时，f (x )max = f (t ) = t 2 –2t –3，f (x )min = f (t +2) = t 2 +2t –3.（2）当22t t ++≤1＜t +2，即–1＜t ≤0时，f (x )max = f (t ) = t 2 –2t –3，f (x )min = f (1) = – 4.（3）当t ≤1＜22t t ++，即0＜t ≤1，f (x )max = f (t +2) = t 2 + 2t – 3，3、.某超市为了获取最大利润做了一番试验,若将进货单价为8元的商品按10元一件的价格出售时,每天可销售60件,现在采用提高销售价格减少进货量的办法增加利润,已知这种商品每涨1元,其销售量就要减少10件,问该商品售价定为多少时才能赚取利润最大,并求出最大利润.解:设商品售价定为x 元时,利润为y 元,则y=(x-8)[60-(x-10)·10]=-10[(x-12)2-16]=-10(x-12)2+160(10<x<16).当且仅当x=12时,y 有最大值160元,即售价定为12元时可获最大利润160元.（四）、课堂小结（教师根据学生具体的的学习接受情况提问并和学生一起做总结概括)请同学们从下列几方面分组讨论:1．最值的概念2．应用图象和单调性求最值的一般步骤.3..函数的最值及几何意义如何?4..你学了哪几种求函数最值的方法?5..求函数最值时,要注意什么原则?七．课外作业课本P39习题1.3 A组第5题,B组第1,2题.八、教学反思：。

讲义九： 函数的基本性质----单调性和最值(2)（一）、基本概念及知识体系：教学要求：更进一步理解函数单调性的概念及证明方法、判别方法，理解函数的最大（小）值及其几何意义.教学重点：熟练求函数的最大（小）值。

教学难点：理解函数的最大（小）值，能利用单调性求函数的最大（小）值。

教学过程：一、复习准备：1.指出函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c (a>0)的单调区间及单调性，并进行证明。

2. f(x)＝ax 2＋bx ＋c 的最小值的情况是怎样的？3.知识回顾：增函数、减函数的定义。

二、讲授新课：1.教学函数最大（小）值的概念：① 指出下列函数图象的最高点或最低点，→ 能体现函数值有什么特征？()23f x x =-+，()23f x x =-+ [1,2]x ∈-；2()21f x x x =++，2()21f x x x =++ [2,2]x ∈- ② 定义最大值：设函数y=f(x)的定义域为I ，如果存在实数M 满足：对于任意的x ∈I ，都有f(x)≤M ；存在x 0∈I ，使得f(x 0) = M . 那么，称M 是函数y=f(x)的最大值（Maximum Value ） ③ 探讨：仿照最大值定义，给出最小值（Minimum Value ）的定义．→ 一些什么方法可以求最大（小）值？（配方法、图象法、单调法） → 试举例说明方法.2.教学例题：① 出示★例题1：一枚炮弹发射，炮弹距地面高度h （米）与时间t （秒）的变化规律是21305h t t =-，那么什么时刻距离达到最高？射高是多少？（学生讨论方法 → 师生共练：配方、分析结果 → 探究：经过多少秒落地？）② 练习：一段竹篱笆长20米，围成一面靠墙的矩形菜地，如何设计使菜地面积最大？ （引导：审题→设变量→建立函数模型→研究函数最大值； →小结：数学建模） ③ 出示 ★例2：求函数32y x =-在区间[3，6]上的最大值和最小值． 分析：函数3,[3,6]2y x x =∈-的图象 → 方法：单调性求最大值和最小值. → 板演 → 小结步骤：先按定义证明单调性，再应用单调性得到最大（小）值.→ 变式练习：3,[3,6]2x y x x +=∈- ④ 探究：32y x =-的图象与3y x=的关系？ ⑤ 练习：求函数2y x =+. （解法一：单调法； 解法二：换元法）3. 看书P34 例题 → 口答P36练习 →小结：最大（小）值定义 ；三种求法.三、巩固练习：1. 求下列函数的最大值和最小值：（1）25332,[,]22y x x x =--∈-； （2）|1||2|y x x =+-- 2.一个星级旅馆有150个标准房，经过一段时间的经营，经理得到一些定价和住房率的数据如右：欲使每天的的营业额最高，应如何定价？ （分析变化规律→建立函数模型→求解最大值） 3. 课堂作业：书P43 A 组5题；B 组1、2题. 四、备选用思考题：【题1】、二次函数（x ）=ax 2+bx (a,b 为常数且a ≠0)满足（-x+5）=（x-3）且方程（x ）=x 有等根；①求（x ）的解析式；②是否存在实数m 、n(m <n)使（x ）定义域为[m ，n]，值域为[3m ，3n]，若存在，求出m 、n 之值，若不存在，说明理由解、①（x ）=-12x 2+x ②由于（x ）的值域是（x ）≤12,则3n ≤12,即n ≤16,所以有（m ）=3m 且（n ）=3n∴存在实数m=-4,n=0使（x ）定义域为[-4，0]，值域为[-12，0]★例2：某产品单价是120元，可销售80万件。

第二章函数2.3函数的单调性和最值第2课时1．知识目标(1)利用图象判断函数的单调性、寻找函数的单调区间．(2)掌握函数的单调性的定义，用定义证明函数的单调性，作差结果符号的判断方法．(3)熟悉常见函数（绝对值函数、二次函数、分段函数等）的单调性及简单应用．2．核心素养目标(1)通过函数单调性的概念的学习和简单的应用，体会数形结合、分类讨论等基本的数学思想方法．(2)提高学生的数学运算和直观想象能力．教学重点：利用函数的图象判断单调性、寻找函数单调区间．教学难点：对函数单调性概念中关键词的理解．PPT课件．一、导入新课问题1：初中学习了一次函数y=kx+b的图象和性质，当自变量x变化时，函数值f(x)随之怎样变化？师生活动：教师引导学生观察图象的升降，学生观察图像并说出自己对图象的直观认识．预设的答案：当k>0时，直线是由左向右上升，即函数值y随自变量x的增大而增大；当k<0时，直线由左向右下降，即函数值y随自变量x的增大而减小．设计意图：在函数图象的观察中获取函数单调性的直观认识．问题2：二次函数、反比例函数的函数值是如何变化的？师生活动：引导学生从“形变”过渡到“数变”；从定性分析到定量分析，学生思考并回答．预设的答案：不同函数，其图象上升、下降规律不同；且同一函数在不同区间上的变化规律也不同；比如二次函数2y x =，当0x >时，函数值随着自变量的变大而变大；当0x <时，函数值随着自变量的变大而变小．设计意图：体会同一函数在不同区间上的变化差异．教师引语：用增大或减小来刻画一个函数在一个区间的变化是非常重要的，这一节课我们一起来学习函数的单调性，并板书课题．二、新知探究问题3：如图所示，是某个函数的图象，说出在各个区间，函数值f (x )随自变量x 的值的变化情况．师生活动：学生观察图像并做出回答．预设的答案：在区间[−6，−5]，[−2，1]，[3，4.5]，[7，8]上，函数值f (x )都是随x 的值的增大而增大；在区间(−5，−2)，(1，3)，(4.5，7)，(8，9]上，函数值f (x )都是随x 的值的增大而减小．设计意图：让学生观察具体的函数图象“上升、下降”的特征，加强学生对函数的单调性的直观认识．追问：怎样用数学符号语言表达函数值f (x )在区间[]65--，上随x 的值增大而增大呢？师生活动：先让学生从具体到抽象尝试概括，教师进行启发，最后得到符号表示只要12<x x ，就有12()()f x f x <．预设的答案：对任意的[]12,6,5x x ∈--，若12x x <，则12()()f x f x <；或则对任意的[]12,6,5x x ∈--，若12x x >，则12()()f x f x >．教师总结：我们借助数学符号语言，给出了一个与“无限”相关的变化规律的定量描述，即任取1x ，2x ，把“无穷”问题转化为了可操作的有限过程，这就是数学抽象的力量．设计意图：通过师生的合作、交流，突破增函数符号化这一难点；高一的学生符号化能力较弱，但是单调性的定义这一抽象过程尤为重要；这为以后学习其它知识的符号化学习提供了经验，同时也提升了学生的数学抽象素养．教师总结：函数值f (x )在区间[]65--，上随x 值的增大而增大，我们称y =f (x )在区间[]65--，上是增函数或递增的． 问题4：对于函数(),f x x I ∈，若在区间I 上存在两个实数12,x x ，当12x x <时，有()()12f x f x <，那么能否说函数()f x 在区间I 上是增函数？若不正确，请给出一个反例．师生活动：先由学生独立完成并交流，再由教师给出严格的单调性定义表述．预设的答案：不正确；对于函数2()f x x =满足12,(1)(2)f f -<-<，显然2()f x x=在区间]12⎡-⎣，上不是增函数． 追问1：类比函数f (x )在区间[]65--，是增函数的符号化语言，你能给出“定义域为D 的函数()f x 在定义域的某个区间I 上单调递增”的符号化语言表述吗？师生活动：先由学生独立完成并交流，再由教师给出严格的单调性定义表述．预设的答案：如果对于任意的12,x x I ∈，当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2)，那么就称函数y =f (x )在区间I 上是增函数或递增的；当函数()f x 在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数(increasing function)；增函数的图象是上升的．设计意图：通过师生的合作、交流，突破增函数符号化这一难点．高一的学生符号化能力较弱，但是单调性的定义这一抽象过程尤为重要，这为以后学习其它知识的符号化提供了经验，同时也提升了学生的数学抽象素养．追问2：类似地，你能不能给出“定义域为D 的函数()f x 在定义域的某个区间I 上单调递减”的符号化语言表述？预设的答案：如果对于任意的12,x x I ∈，当x 1<x 2时，都有f(x 1)>f(x 2)，那么就称函数y =f (x )在区间I 上是减函数或递减的；当函数()f x 在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数(Decreasing function)；减函数的图象是下降的．教师总结：函数y =f (x )在区间I 上是增函数（减函数），那么就称函数在区间I 上是单调函数，或称在区间I 上具有单调性，区间I 称为函数y =f (x )的单调区间；如二次函数f (x )=x 2在区间[0,)+∞上是单调增函数（单调递增），区间[0,)+∞是函数f (x )=x 2的单调增区间．设计意图：这个环节是本节课的重点，也是难点，其核心是通过从具体到抽象的过程，让学生学会用严格的符号语言刻画“在区间I 上，当x 增大时，相应的()f x 随之减小”．从图象到定性再到定量的不断精确化的过程中，通过问题串，设法引出“任意”，引导学生体会用“任意”和刻画“无限”的力量．在这里渗透由特殊到一般的数学思想方法，后面给出一般增函数的定义就更加自然了．问题5：你能写出函数()1f x x=和函数()2f x x =-的单调区间吗？ 师生活动：先由学生思考并交流，教师帮助完善．预设的答案：函数()1f x x=在()0-∞，，[0)+∞，上单调递减；函数()2f x x =-在()0-∞，上调递增，在[0)+∞，上单调递增． 设计意图：通过学生自己举反例是深化理解概念的重要方式，注意培养学生数学表达的严谨性和规范性．追问：能否说()1f x x=在定义域内单调递减？为什么？ 师生活动：先由学生思考并交流，教师帮助完善．预设的答案：函数1y x=的定义域为(-,0)(0,)∞+∞，由图象可知，在两个区间上函数都是单调递减的，但不能说成“函数在定义域内递减”或“函数的单调递减区间是+∞∞和区间(0,)∞+∞”，这不符合减函数的定义；只能说“函数在区间(-,0)(-,0)(0,)上都是递减的”．设计意图：这个辨析是为了区分“单调递增”与“增函数”、“单调递减”与“减函数”等概念，也是为了引导学生体会函数的单调性是对定义域内的某个区间而言的，是函数的局部性质．函数在某个区间上单调，并不意味着函数在整个定义域内都是单调的．问题6：“函数在区间I上单增”与“函数的单增区间是I”两种叙述含义相同吗？举例说明．+∞，则对预设的答案：含义不同，如函数f(x)=x2−2ax−1的单调递增区间为[2,)+∞上单调递增，则对称轴a≤2．称轴a=2；函数f(x)=x2−2ax−1在区间[2,)问题7：(1)如图所示是函数y＝－x2－2x；y＝－2x＋1，x∈[－1，＋∞)；y＝f(x)的图象，观察这三个图象，你能归纳出它们的共同特征吗？(2)在函数y＝f(x)的图象上任取一点A(x，y)，设点C的坐标为(x0，y0)，谁能用数学符号解释函数y＝f(x)的图象有最高点C？(3)形如上述问题中函数y＝f(x)的图象上最高点C的纵坐标就称为函数y＝f(x)的最大值．谁能给出函数最大值的定义？(4)函数最大值的定义中f(x)≤M即f(x)≤f(x0)，这个不等式反映了函数y＝f(x)的函数值具有什么特点？其图象又具有什么特征？(5)函数最大值的几何意义是什么？(6)函数y=－2x＋1，x∈(－1，+∞)有最大值吗？为什么？(7)点(－1，3)是不是函数y＝－2x＋1，x∈(－1，＋∞)的最高点？(8)求函数最值你发现了什么值得注意的地方？师生活动：小组讨论，教师来回巡视指导．预设的答案：(1)函数y＝－x2－2x的图象有最高点A，函数y＝－2x＋1，x∈[－1,＋∞)的图象有最高点B，函数y＝f(x)的图象有最高点C；也就是说，这三个函数的图象的共同特征是都有最高点．(2)由于点C是函数y＝f(x)图象上的最高点，则点A在点C的下方，即对定义域内任意x，都有y≤y0，即f(x)≤f(x0)；也就是对函数y＝f(x)的定义域内任意x，均有f(x)≤f(x0)成立．(3)一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足；①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M；那么称M是函数y＝f(x)的最大值．(4)f(x)≤M反映了函数y＝f(x)的所有函数值不大于实数M；这个函数的特征是图象有最高点，并且最高点的纵坐标是M．(5)函数最大值的几何意义：函数图象上最高点的纵坐标．(6)函数y＝－2x＋1，x∈(－1，＋∞)没有最大值，因为函数y＝－2x＋1，x∈(－1，＋∞)的图象没有最高点．(7)不是，因为该函数的定义域中没有－1．(8)讨论函数的最大值，要坚持定义域优先的原则；函数图象上有最高点时，这个函数才存在最大值；最高点必须是函数图象上的点．设计意图：小组合作讨论解决问题，提升学生合作意识；同时数形结合增强学生对函数最大值概念的理解．问题8：(1)类比函数的最大值，请你给出函数的最小值定义及其几何意义吗？(2)你认为讨论函数最小值应注意什么？师生活动：让学生思考函数最大值的定义，利用定义来类比定义．最高点类比最低点，不等号“≤”类比不等号“≥”．函数的最大值和最小值统称为函数的最值．预设的答案：(1)函数最小值的定义是：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足；①对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M．那么称M是函数y＝f(x)的最小值．函数最小值的几何意义：函数图象上最低点的纵坐标．(2)讨论函数的最小值，也要坚持定义域优先的原则；函数图象上有最低点时，这个函数才存在最小值；最低点必须是函数图象上的点．设计意图：让学生类比函数最大值的概念、特征得出函数最小值的概念、特征，提升学生自我解决问题的能力．三、巩固练习例1设f (x )=1x (x <0)，画出函数f (x +3)(x <−3)的图象，并通过图象直观判断它的单调性．师生活动：先让学生独立思考，共同讨论研究思路，教师展示图像的平移变换． 预设的答案：解：函数f (x +3)=1x+3(x <−3)，其图象是函数f (x )=1x 的图象向左平移3个单位得到，如图所示；该函数在区间(,3)-∞-上单调递减． 设计意图：掌握利用图象划分函数单调区间的方法．例2根据函数图象直观判断y =|x −1|的单调性，并求出函数的最值．师生活动：教师引导思考如何作图，学生观察图像得到函数的增减区间．预设的答案：解：函数1,111,1x x y x x x -≤⎧=-=⎨->⎩， 画出该函数的图象，如图所示，函数在区间(],1-∞上是减函数，在区间[)1,+∞上是增函数，函数的最小值min 0y =，无最大值．设计意图：掌握利用图象划分函数单调区间的方法．【课堂练习】1．函数2()3||2f x x x =-++单调减区间是__________，函数的最大值为__________． 师生活动：学生独立完成作图并展示交流，教师点评指导．预设的答案：去绝对值，可得函数2232()32x x f x x x ⎧-++=⎨--+⎩，，00x x ≥<， 当0x ≥时，函数2()32f x x x =-++的单调递减区间为32⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，， 当0x <时，函数2()32f x x x =--+的单调递减区间为3,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 故函数的最大值为417． 综上，函数2232,()32,x x f x x x ⎧-++=⎨--+⎩00x x ≥<的单调递减区间为30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦，函数的最大值为417． 设计意图：强化作图意识，增强学生对函数单调性和最值的理解．2．对于,a b R ∈，记{},,,,a a b max a b b a b ≥⎧=⎨<⎩函数(){1,3}()f x max x x x R =+-∈的最小值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 师生活动：学生独立完成，小组合作讨论，并安排小组代表回答，教师鼓励学生使用多种方法解决问题．预设答案：B ．{}1,1()max 1,33,1x x f x x x x x +≥⎧=+-=⎨-<⎩， 当1≥x 时，()1f x x =+，显然当1≥x 时，有()(1)2f x f =≥，当1x <时，()3f x x =-，显然当1x <时，有()(1)2f x f >=，因此函数()max{1,3}()f x x x x R =+-∈的最小值是2．设计意图：利用一次函数解析式求函数最值．四、归纳小结问题9：本节课我们学习了哪些内容？判断函数单调性时，应把握好哪些关键问题？ 结合本节课的学习过程，你对函数性质的研究方法有什么体会？师生活动：学生思考并回答，教师进行归纳．预设答案：(1)增函数、减函数的定义．(2)要特别注意定义中“定义域内某个区间”“属于”“任意”“都有”这几个关键词语．设计意图：①让学生准确叙述单调递增、单调递减、增函数、减函数的定义，通过举例使学生进一步把握函数单调性的要点．②引导学生进一步理解单调性是函数的局部性质、初步掌握如何对12()()f x f x -进行代数变形．③使学生体会“从定性到定量”的研究思路，即通过图象及自然语言刻画得到函数性质的定性刻画，再用符号语言进行定量刻画，从而使函数性质得到严谨的数学表达．作业布置：教材P62页习题2-3，A 组第1、2题，B 组第2、3题．五、目标检测设计1．函数2()11f x x =-+的单调增区间是__________． 设计意图：巩固由函数图像观察函数的单调区间．2．函数2()34f x x mx =-+在[5,)-+∞上是增函数，在(,5]-∞-上是减函数，则(1)f -=_________．设计意图：巩固函数增减区间概念．4．若函数2()4f x x ax =-+在[]13，内不单调，则实数a 的取值范围是__________． 设计意图：由函数单调性求参数范围．5．已知函数2(),(0,)1x f x x x =∈+∞+． (1)判断函数的单调性，并用定义法证明；(2)若(21)(1)f m f m ->-，求实数m 的取值范围．设计意图：强化函数单调性的规范证明．参考答案：1．答案：30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦． 解析：去绝对值，可得函数2232()32x x f x x x ⎧-+=⎨++⎩，，00x x ≥<，当0x ≥时，函数2()32f x x x =-+的单调递减区间为30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 当0x <时，函数2()32f x x x =++的单调递减区间为3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦， 综上，函数2232()32x x f x x x ⎧-+=⎨++⎩，，00x x ≥<的单调递减区间为30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦． 2．答案：(−∞,−1)，(−1,＋∞)． 解析：因为2()11f x x =-+， 所以f (x )的图象是由2y x =-的图象沿x 轴向左平移1个单位，然后沿y 轴向上平移一个单位得到，2y x=-的单调增区间为(−∞，0)，(0，＋∞)， 故f (x )的单调增区间是(−∞，−1)，(−1，＋∞)．3．答案：－23．解析：由于函数2()34f x x mx =-+在[5,)-+∞上是增函数，在(,5)-∞-上是减函数， 所以5,306m m =-=-， 所以2()3304f x x x =++，故(1)330423f -=-+=-．4．答案：13(,)22．解析：由题意得函数2()4f x x ax =-+的对称轴为2x a =，因为函数()f x 在[]1,3上不单调， 所以123a <<，即1322a <<． 故实数a 的取值范围是：13(,)22． 5．解：(1)()21222()2+,(0,)111x x f x x x x x +--===∈+∞+++， 该函数由函数()2f x x =-向左平移一个单位，再向上平移2个单位即可得到，如图所示；11由图可知，函数在(0,)x ∈+∞单增，现证明如下；设120x x <<，则121222()2+,()2+11f x f x x x --==++， 故()()()()()212112122221111x x f x f x x x x x --=-=++++， 由于120x x <<，210x x ->，所以()()210f x f x ->，即()()21f x f x >， 故2()1x f x x =+在(0,)x ∈+∞上单调递增； (2)若(21)(1)f m f m ->-，2()1x f x x =+在(0,)x ∈+∞上单调递增， 所以21010211m m m m ->⎧⎪->⎨⎪->-⎩，解得213m <<． 故实数m 的取值范围为213m <<．。

函数的单调性与最大最小值的教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解函数单调性的概念，能够判断函数的单调性；（2）掌握利用导数研究函数的单调性，能够求解函数的单调区间；（3）了解函数的最大最小值的概念，能够利用导数求解函数的最大最小值。

2. 过程与方法：（1）通过实例引导学生理解函数单调性的概念，培养学生的抽象思维能力；（2）利用导数研究函数的单调性，培养学生的逻辑推理能力；（3）通过实例引导学生掌握利用导数求解函数的最大最小值，提高学生的解决问题的能力。

3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学的兴趣，激发学生学习函数的积极性；（2）培养学生克服困难的意志，提高学生解决问题的能力；（3）培养学生团队合作的精神，提高学生的沟通能力。

二、教学内容1. 函数单调性的概念；2. 利用导数研究函数的单调性；3. 函数的最大最小值的概念；4. 利用导数求解函数的最大最小值。

三、教学重点与难点1. 教学重点：（1）函数单调性的判断；（2）利用导数研究函数的单调性；（3）利用导数求解函数的最大最小值。

2. 教学难点：（1）函数单调性的证明；（2）利用导数求解函数的最大最小值的过程。

四、教学过程1. 导入：通过生活中的实例，引导学生理解函数单调性的概念，激发学生的学习兴趣。

2. 新课导入：讲解函数单调性的定义，引导学生掌握判断函数单调性的方法。

3. 实例分析：利用导数研究函数的单调性，让学生通过实例体会导数在研究函数单调性中的作用。

4. 方法讲解：讲解如何利用导数求解函数的最大最小值，让学生掌握求解方法。

5. 练习与讨论：布置练习题，让学生巩固所学知识，并通过讨论培养学生的团队合作精神。

五、课后作业1. 复习本节课所学内容，整理笔记；2. 完成课后练习题，加深对函数单调性和最大最小值的理解；3. 准备下一节课的内容，提前预习。

六、教学评价1. 知识与技能：（1）学生能准确判断函数的单调性；（2）学生能利用导数研究函数的单调性；（3）学生能利用导数求解函数的最大最小值。

第2讲 函数的单调性与最值【2019年高考会这样考】1．利用函数的单调性求单调区间．2．利用函数的单调性求最值和参数的取值范围．【复习目标】本节复习时，首先回扣课本，应从“数”与“形”两个角度来把握函数的单调性和最值的概念，重点解决： (1)函数单调性的判断及其应用；(2)求函数的最值；再者复习时也必须精心准备，对常见题型的解法要熟练掌握。

基础梳理1．函数的单调性 (1)单调函数的定义设函数f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1＜x 2时，①若()()21x f x f <，则f (x )在区间D 上是增函数；②若 ()()21x f x f >，则f (x )在区间D 上是减函数．(2)单调性、单调区间的定义若函数f (x )在区间D 上是 增函数 或 减函数 ，则称函数f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做f (x )的单调区间． 2．函数的最值前提 设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足 条件 ① 对于任意x ∈I ，都有f (x )≤M ； ②存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M ① 对于任意x ∈I ，都有f (x )≥M ； ②存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M 结论 M 为最大值M 为最小值函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制．例如函数y ＝1x 分别在(－∞，0)，(0，＋∞)内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域即(－∞，0)∪(0，＋∞)内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)，不能用“∪”连接． 两种形式设任意x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1＜x 2，那么①f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数；f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＜0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．②(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数；(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＜0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．四种方法函数单调性的判断(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论．(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数．授课时间 检测平均分(3)导数法：利用导数研究函数的单调性． (4)图象法：利用图象研究函数的单调性． 五 问一问自己(1)“函数在区间()b a ,上单调增”与“函数的递增区间是(b a ,”就一回事吗？NO(2)求值域有哪些方法？你能够说出6种以上吗？直接法、反函数法、配方法、换元法、均值不等式法，判别式法、单调函数法、三角代换法、复合函数法、导数法。

1.3.1 单调性与最大（小）值（第二课时）教学目标：1.使学生理解函数最大（小）值及其几何意义；2.使学生掌握函数最值与函数单调性的关系；3.使学生掌握一些单调函数在给定区间上的最值的求法；4.培养学生数形结合、辩证思维的能力；5.养成细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯。

教学重点：函数最值的含义教学难点：单调函数最值的求法教学方法：讲授法教学过程：（I ）复习回顾1．函数单调性的概念；2．函数单调性的判定。

（II ）讲授新课通过观察二次函数2y x =和2y x =-的最高点和最低点引出函数最值的概念（板书课题）1．函数最大值与最小值的含义一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =。

那么，我们称M 是函数()y f x =的最大值（maximum value ）.思考：你能仿照函数最大值的定义，给出函数()y f x =的最小值（minimum value ）吗？2．二次函数在给定区间上的最值对二次函数2(0)y ax bx c a =++≠来说，若给定区间是(,)-∞+∞，则当0a >时，函数有最小值是244ac b a -，当0a <时，函数有最大值是244ac b a-；若给定区间是[,]a b ，则必须先判断函数在这个区间上的单调性，然后再求最值（见下列例题）。

3．例题分析例1．教材第36页例题3。

例2．求函数21y x =-在区间[2，6]上的最大值和最小值（教材第37页例4）。

分析：先判定函数在区间[2，6]上的单调性，然后再求最大值和最小值。

变式：若区间为[6,2]--呢？例3．求函数21y x =+在下列各区间上的最值：（1）(,)-∞+∞ （2）[1，4] （3）[6,2]-- （4）[2,2]- （5）[2,4]- 练习：教材第38页练习4及第二教材相关题目。

1.3.1 第二课时 函数的最大（小）值一、教学目标（一）核心素养教材以二次函数2()f x x =图象为例,观察出函数图象的最低点(0,0),这给我们提供了一种求函数最值的方法“图象观察法”,这也是一种最直接,最直观的方法.结合上一课时函数的单调性,学生通过函数图象,研究函数性质,寻求最值.在实际生活中,常遇到最值问题,我们是通过建立函数模型来进行研究,体现了数学与社会生活紧密联系.本节课,在探究函数的最值问题中,不断培育学生的数学运算、数学抽象、数学建模等数学核心素养.（二）学习目标1.通过函数图象,理解函数最大（小）值及几何意义．2.结合函数单调性求最大（小）值．3.函数最大（小）值的实际问题中的应用．（三）学习重点1.理解函数最大（小）值的概念及几何意义．2.求函数的最大（小）值．（四）学习难点结合函数单调性求最大（小）值．二、教学设计（一）课前设计1.预习任务一般地,设函数()f x 的定义域为I ,如果存在实数M 满足:（1）对任意的x I ∈,都有______;（2）存在0x I ∈,使得_______,那么我们称M 是函数()y f x =的最____值. 详解:()f x M ≤;0()f x M =;大或 ()f x M ≥;0()f x M =;小．2．预习自测（1）作函数22y x x =-+的图象,指出函数是否有的最值？若有,请求出最值．详解:有最大值,无最小值;最大值为1．(二)课堂设计1.知识回顾（1）常见初等函数的图象．（2）函数的单调性．2.问题探究探究一 通过函数图象,函数最高（低）点的位置特征及几何意义●活动① 学生作函数y x =,1y x=,2y x =图象,观察图象的最高（低）点生:y x =图象上下无限延伸,没有最高点,也没有最低点;1y x=图象上下无限延伸,没有最高点,也没有最低点,且中间断开; 2y x =图象往上无限延伸,没有最高点,最低点在(0,0)处;师:结合图像观察结论,能否阐述函数图象最高（低）点的位置特质及几何意义？ 生:2y x =图象最低点在(0,0)处.仔细观察发现,位置特征:最低点位于函数图象上,不是图像外的其他点;几何意义:函数图象上所有点在坐标系中的位置都高于它或和它一样高（最低点本身）.【设计意图】观察图象易找到最高（低）点,教学时对最高（低）点的位置特征、几何意义进行探究,展现数学概念生成的过程,培养学生严谨的逻辑推理能力. ●活动② 图象的最高（低）点所体现的函数对应关系本质师:点之间位置高度的如何量化,更显数学的严谨性.由第一课时函数单调性推导,我们在描述()f x 随着x 的增大而增大,任取点11(,)A x y 到22(,)B x y ,其中12x x <刻画x 的增大,因此,我们是借助于点的坐标来探究.同学们可以想一想:在坐标系中,图象的点的高度,是由构成图象点的纵坐标决定的.师:下面以2y x =图象最低点在(0,0)O 为例,探究函数对应关系本质图象上其他点的位置不低于点O⇔图象上任意点(,)Q x y 位置不低于点(0,0)O⇔任意点(,)Q Q Q x y 的纵坐标Q y 的值与(0,0)O 纵坐标O y 的值关系:Q O y y ≥;而任意点(,)Q Q Q x y 的横坐标Q x 的值与(0,0)O 横坐标O x 的关系:,Q O x x R ∈（定义域） ⇔定义域R 内,寻求纵坐标的最小值因此,我们可以下结论:函数图象的最高（低）点(,)Q Q Q x y 的实质是:函数在定义域内任取x 所对应的y 值小于或等于（大于或等于）该点的函数值Q y ;也可以这样描述,函数整个定义域I 内的函数值y 在Q x x =处有最大（小）值Q y ,称Q y 为函数的最大（小）值.关系流程如图:【设计意图】从图象的最高（低）点的“形”,如何过渡到最大（小）值这个“数”,是教学设计的重点.我们从最高（低）点的位置特征,几何意义分析,让学生充分认识到点的坐标,是图象的构成元素点的数量体现,对“形”的认识自然过渡到“数”的分析.点的坐标由横、纵坐标组成,在坐标系中图象上的点投影在x 轴所覆盖的范围、y 轴所覆盖的范围,分别对应了函数的定义域和值域.最高（低）点的横、纵坐标,在坐标系中该点投影在x 轴是其横坐标取值、y 轴上是其纵坐标取值,与其他点投影到y 轴上的值相比较,是最大（小）值,同时该点横、纵坐标分别对应了定义域内某个值,值域内的最大（小）值.●活动③函数最大（小）值的概念师:由以上的推导,我们能否生成函数最大（小）值的概念?生:存在某个值使得所有函数值都比它大（小）也可相等．师:由几何特征,这个值在值域中吗？请继续完善．生:这个值在值域中.值域中存在某个值,使得所有函数值都比它大（小）． 师:函数定义域优先,值域中某个值是否有一个x 与之对应？生:至少有一个x 与之对应,即存在性．师:一般地,设函数()f x 的定义域为I ,如果存在实数M 满足:（1）对任意的x I ∈,都有()f x M ≤（()f x M ≥）;（2）存在0x I ∈,使得0()f x M =,那么我们称M 是函数()y f x =的最大（小）值.【设计意图】学生要充分认识图象的最高（低）点的位置、该点坐标形式、坐标的对应实质这三者之间的联系,才能从“形”的位置特征及几何意义,到“数”对应方式,呈现了函数最大（小）值概念的生成过程.探究二 结合函数单调性求最大（小）值●活动①由图象观察函数最值．例1已知函数()11f x x x =++-．（1）画出()f x 的图象;（2）根据图象写出()f x 的最小值．【知识点】函数单调性 最值．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】（1）解:()11f x x x =++-2,12,112,1x x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩其图象如图所示:（2）由图象,得函数()f x 的最小值为2.【思路点拨】画出函数()y f x =的图象,依据函数最值的几何意义,借助图象写出最值．【答案】（1）略;（2）2.同类训练 如图为函数()y f x =,[4,7]x ∈-的图象,指出它的最大值、最小值．【知识点】函数单调性．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】观察函数图象可以知道,图象上位置最高的点是(3,3),最低的点是( 1.5,2)--,所以当3x =时取得最大值,最大值是3;当 1.5x =-时取得最小值,最小值是－2.【思路点拨】从左至右观察图象,在最高（低）点对应的纵坐标值,为函数的最大（小）值.【答案】3,-2．【设计意图】考查学生如何观察函数最值●活动②利用函数单调性求最值例2:求函数21y x =-在区间[2,6]上的最大值和最小值． 【知识点】函数单调性 最值．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】解:12,[2,6]x x ∀∈,且12x x <211212122()22()()11(1)(1)x x f x f x x x x x --=-=----， 12,[2,6]x x ∈,12(1)(1)0x x ∴-->．12x x <,120x x ∴->,12()()0f x f x ∴->,即12()()f x f x >．21y x ∴=-是区间[2,6]上的减函数． 因此,函数21y x =-在区间[2,6]的两个端点分别取得最大值与最小值,即在2x =时取得最大值,最大值为2,在6x =时取得最小值,最小值为0.4．【思路点拨】由图象可观察函数单减,在2x =处有最大值,在6x =处有最小值.在实际解答题中,能说明函数的单调性应先证明,再求最值．【答案】2，0.4．同类训练 求函数4()f x x x=+在[1,2]x ∈上的最大值与最小值． 【知识点】函数单调性．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】解:12,[1,2]x x ∀∈,且12x x <，则121212121212444()()()()()x x f x f x x x x x x x x x --=+-+=-． 12x x <,120x x ∴-<，1212,[1,2](1,4)x x x x ∈∴∈，，1212401x x x x ∴-＜，＞，1212()()0()().f x f x f x f x ∴-＞，即＞4()f x x x∴=+在[1,2]x ∈上是减函数． 从而函数的最大值是(1)145f =+=,最小值是(2)224f =+=．【思路点拨】由函数单调性求最值．【答案】5,4．【设计意图】求函数最值时,首先判定函数在给定区间的单调性,结合函数图象,在区间的端点值处取得最值.●活动③二次函数的最值问题例3求函数2()22f x x ax =-+在[2,4]上的最小值．【知识点】二次函数图象性质．【数学思想】数形结合思想、分类讨论思想．【解题过程】解:函数2()22f x x ax =-+的对称轴是x a =，当2a <时,()f x 在[2,4]上单增,min ()(2)64f x f a ==-，当4a >时,()f x 在[2,4]上单减,min ()(4)188f x f a ==-，当24a ≤≤时,2min ()()2f x f a a ==-．综上所述2min64,2()2,24188,4a a f x a a a a -<⎧⎪=-≤≤⎨⎪->⎩【思路点拨】二次函数在闭区间上求最值,关键是根据图象的对称轴相对于所给区间的位置来确定,对于含字母系数的二次函数的最值,要注意分类讨论.【答案】2min 64,2()2,24188,4a a f x a a a a -<⎧⎪=-≤≤⎨⎪->⎩同类训练 求函数2()22f x x x =-+在[,1]t t +上的最小值．【知识点】二次函数图象性质．【数学思想】数形结合思想、分类讨论思想．【解题过程】解:函数2()22f x x x =-+的对称轴是1x =．当110t t +<⇒<时,()f x 在[,1]t t +上单减,2min ()(1)1f x f t t =+=+； 当1t >时,()f x 在[,1]t t +上单增,2min ()()22f x f t t t ==-+；当1101t t t ≤≤+⇒≤≤时,min ()(1)1f x f ==．综上所述2min21,0()1,0122,1t t f x t t t t ⎧+<⎪=≤≤⎨⎪-+>⎩【思路点拨】二次函数在闭区间上求最值,关键是根据图象的对称轴相对于所给区间的位置来确定,对于含字母系数的二次函数的最值,要注意分类讨论.【答案】2min 21,0()1,0122,1t t f x t t t t ⎧+<⎪=≤≤⎨⎪-+>⎩例4 函数2()34f x x x =--的定义域为[0,]m （0m >）,值域为25[,4]4--,求m 的取值范围.【知识点】二次函数图象性质．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】解:2()34(4)(1)f x x x x x =--=-+如图min 325()()24f x f ==-,错误！未找到引用源。

《3.2.1单调性与最大（小）值》教学设计第2课时函数的最值教材内容：函数的最大、最小值与函数的单调性有着密切的关系。

通常要想求出函数的最大、最小值，首先要求出函数的单调性。

本节课是对函数的单调性内容的进一步深化，也是对值域这一函数性质的进一步学习。

同时，本节课所展现出的极限的数学思想对于接下来学习幂函数、函数的实际应用也有着不可替代的作用。

教学目标：1.理解函数的最大(最小)值及几何意义，培养学生数学抽象的核心素养；2.利用图象、单调性求最值，提升直观想象和数学运算的核心素养；3.会利用单调性解决比较大小、解不等式等问题，提升逻辑推理的核心素养。

教学重点与难点：1.重点：函数最值的定义；函数最值的求法。

2.难点：单调性求最值；讨论二次函数的最值问题．教学过程设计：（一）新知导入1. 创设情境，生成问题科考队对沙漠气候进行科学考察，下图是某天气温随时间的变化曲线．请你根据曲线图说说气温的变化情况？【提示】气温从0时逐渐降底，6时气温达到最低，从6时到17时，气温逐渐升高，17时气温达到最高，从17时到24时，气温逐渐降低。

2.探索交流，解决问题【探究1】观察下列两个函数的图象,回答有关问题:【问题1】比较两个函数的图象,它们是否都有最高点?【提示】图①中函数y=−x2的图象上有一个最高点;图②中函数y=-x的图象上没有最高点.【问题2】通过观察图①你能发现什么?【提示】对任意x∈R,都有f(x)≤f(0)，f(0)是最大值。

【探究2】观察下列两个函数的图象,回答有关问题.【问题3】比较两个函数的图象,它们是否都有最低点?【提示】图①中函数y=x2的图象有一个最低点.图②中函数y=x的图象没有最低点.【问题4】通过观察图①你能发现什么?【提示】对任意x∈R都有f(x)≥f(0)，f(0)是最小值。

【设计意图】通过探究，引导学生直观感受函数的最大值是函数图象的最高点纵坐标，最小值是函数图象最低点的纵坐标，并尝试用数学语言表示函数的最值，提高学生用数形结合的思维方式思考并解决问题的能力。

第2课时函数的最大值、最小值一般地，设y＝f(x)的定义域为A.如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f(x)≤f(x0)，那么称f(x0)为y＝f(x)的最大值，记为y max＝f(x0)．2．函数的最小值一般地，设y＝f(x)的定义域为A.如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f(x)≥f(x0)，那么称f(x0)为y＝f(x)的最小值，记为y min＝f(x0)．思考：函数的最值与值域是一回事吗？[提示]不是．最值与值域是不同的，值域是一个集合，而最值只是这个集合中的一个元素．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f(x)＝－x2≤1总成立，故f(x)的最大值为 1.( )(2)若函数f(x)在定义域内存在无数个x使得f(x)≤M成立，则f(x)的最大值为M. ( )(3)函数f(x)＝x的最大值为＋∞.( )[答案](1)×(2)×(3)×[提示](1)×.因为在定义域内找不到x使得x2＝－1成立．(2)×.因为“无数”并非“所有”，故不正确．(3)×.“＋∞”不是一个具体数．2.函数f (x )在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值是_________．[答案] －13．已知函数f (x )＝|x |，x ∈[－1,3]，则f (x )的最大值是____________．3 [根据函数图象可知，f (x )的最大值为3.]4．函数y ＝2x 2＋2，x ∈N *的最小值是__________．[答案] 45．函数y ＝1x 在[2,6]上的最大值与最小值之和等于__________．23 [函数y ＝1x在区间[2,6]上是减函数，当x ＝2时取得最大值12，当x ＝6时取得最小值16，12＋16＝23.] 利用图象求函数的最值思路点拨：先整理化简函数关系式，写成分段函数的形式，作出图象，再找最高点和最低点即可．[解] 原函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋1，－2≤x ≤－1，3，－1<x ≤2，2x －1，2<x ≤4，图象如图．故函数的最小值为3，最大值为7.用图象法求最值的一般步骤(1)已知函数f (x )＝2x 在区间[1,2]上的最大值为A ，最小值为B ，则A －B ＝________.(2)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ，0≤x ≤1，2，1<x <2，3，x ≥2的最大值是________． (1)1 (2)3 [(1)f (x )＝2x在[1,2]上的图象是单调递减的，∴A ＝f (1)＝2，B ＝f (2)＝1，∴A －B ＝1.(2)作出f (x )的图象如图所示，∴f (x )max ＝3.]利用单调性求函数的最值【例2】 已知函数f (x )＝xx －1.(1)用函数单调性定义证明f (x )＝x x －1在(1，＋∞)上是单调减函数；(2)求函数f (x )＝xx －1在区间[3,4]上的最大值与最小值．思路点拨：(1)利用单调性的定义证明．(2)利用(1)的结论求最值．[解] (1)证明：设x 1，x 2为区间(1，＋∞)上的任意两个实数，且1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－1－x 2x 2－1＝x 2－x 1x 1－1x 2－1， 因为1<x 1<x 2.所以x 2－x 1>0，x 1－1>0，x 2－1>0，所以f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)．故函数f (x )＝xx －1在(1，＋∞)上为单调递减函数．(2)由上述(1)可知，函数f (x )＝x x －1在[3,4]上为单调递减函数， 所以在x ＝3时，函数f (x )＝x x －1取得最大值32； 在x ＝4时，函数f (x )＝x x －1取得最小值43. (变条件)求函数f (x )＝xx －1在[－4，－3]上的最值．[解] 任取x 1，x 2∈[－4，－3]且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－1－x 2x 2－1＝x 2－x 1x 1－1x 2－1. ∵x 1，x 2∈[－4，－3]，∴x 1－1<0，x 2－1<0.又x 1<x 2，∴x 2－x 1>0，∴f (x 1)－f (x 2)>0，∴f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在[－4，－3]上单调递减，∴f (x )max ＝f (－4)＝45， f (x )min ＝f (－3)＝34，∴f (x )在[－4，－3]上最大值为45，最小值为34. 1．当函数图象不好作或无法作出时，往往运用函数单调性求最值．2．函数的最值与单调性的关系(1)若函数在闭区间[a ，b ]上是减函数，则f (x )在[a ，b ]上的最大值为f (a )，最小值为f (b )；(2)若函数在闭区间[a ，b ]上是增函数，则f (x )在[a ，b ]上的最大值为f (b )，最小值为f (a )；(3)求最值时一定要注意所给区间的开闭，若是开区间，则不一定有最大(小)值． 二次函数求值域1.如图是函数f (x )＝(x －1)2－1的图象，说明当定义域分别为[－1,0]，⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3和[0,3]时，f (x )的单调性． [提示] f (x )在[－1,0]上单调递减；在⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3上单调递增； 在[0,1]上单调递减，在(1,3]上单调递增． 2．结合图象说明当定义域分别为上述三个区间时，f (x )的最值．[提示] 结合图象的单调性，可得x ∈[－1,0]时，f (x )max ＝f (－1)＝3，f (x )min ＝f (0)＝0. x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3时，f (x )max ＝f (3)＝3，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－34.x ∈[0,3]时，f (x )max ＝f (3)＝3，f (x )min ＝f (1)＝－1.3．通过探究2，分析函数f (x )取最值时的x 与对称轴的距离有什么关系？[提示] 通过观察图象，可以发现，①当对称轴不在区间内部时，两个最值均在端点处取得且离对称轴近的端点对应的函数值较小，较远的端点对应的函数值较大．②当对称轴在区间内部时，对称轴对应函数的最小值，最大值在离对称轴较远的端点处取得．因此，我们求二次函数的最值时应该分析对称轴和区间的关系．【例3】 求二次函数f (x )＝x 2－2ax ＋2在[2,4]上的最小值． 思路点拨：f (x )的对称轴是x ＝a ，a 是运动变化的，故求最值时，应该讨论a 与区间[2,4]的关系，进而确定单调性和最值．[解] ∵函数图象的对称轴是x ＝a ，∴当a <2时，f (x )在[2,4]上是增函数，∴f (x )min ＝f (2)＝6－4a .当a >4时，f (x )在[2,4]上是减函数，∴f (x )min ＝f (4)＝18－8a .当2≤a ≤4时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2.∴f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧6－4a ，a <2，2－a 2，2≤a ≤4，18－8a ，a >4. 1．(变设问)在本例条件下，求f (x )的最大值． [解] ∵函数图象的对称轴是x ＝a ， ∴当a ≤3时，f (x )max ＝f (4)＝18－8a ， 当a >3时，f (x )max ＝f (2)＝6－4a . ∴f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧18－8a ，a ≤3，6－4a ，a >3.2．(变设问)在本例条件下，若f (x )的最小值为2，求a 的值．[解] 由本例解析知f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 6－4a ，a <2，2－a 2，2≤a ≤4，18－8a ，a >4.当a <2时，6－4a ＝2，a ＝1；当2≤a ≤4时，2－a 2＝2，a ＝0(舍去)；当a >4时，若18－8a ＝2，a ＝2(舍去)．∴a 的值为1.3．(变条件，变设问)本例条件变为，若f (x )＝x 2－2ax ＋2，当x ∈[2,4]时，f (x )≤a 恒成立，求实数a 的取值范围．[解] 在[2,4]内，f (x )≤a 恒成立，即a ≥x 2－2ax ＋2在[2,4]内恒成立，即a ≥f (x )max ，x ∈[2,4]．又f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 18－8a ，a ≤3，6－4a ，a >3.(1)当a ≤3时，a ≥18－8a ，解得a ≥2，此时有2≤a ≤3.(2)当a >3时，a ≥6－4a ，解得a ≥65，此时有a >3. 综上有实数a 的取值范围是[2，＋∞)． 求二次函数的最大小值有两种类型：一是函数定义域为实数集R ，这时只要根据抛物线的开口方向，应用配方法即可求出最大小值；二是函数定义域为某一区间，这时二次函数的最大小值由它的单调性确定，而它的单调性又由抛物线的开口方向和对称轴的位置在区间内，在区间左侧，在区间右侧来决定，当开口方向或对称轴位置不确定时，需要进行分类讨论.1．函数的最值与值域、单调性之间的联系(1)对一个函数来说，其值域是确定的，但它不一定有最值，如函数y ＝1x.如果有最值，则最值一定是值域中的一个元素． (2)若函数y ＝f (x )在闭区间[a ，b ]上单调，则y ＝f (x )的最值必在区间端点处取得．即最大值是f (a )或f (b )，最小值是f (b )或f (a )．2．对二次函数f (x )＝a (x －h )2＋k (a >0)在区间[p ，q ]上的最值问题可作如下讨论：①对称轴x ＝h 在区间[p ，q ]的左侧，即当h <p 时，f (x )max ＝f (q )，f (x )min ＝f (p )．②对称轴x ＝h 在区间[p ，q ]之间，即当p ≤h ≤q 时，f (x )min ＝f (h )＝k ；当p ≤h <p ＋q 2时，f (x )max ＝f (q )，当h ＝p ＋q 2时，f (x )max ＝f (p )＝f (q )，当p ＋q 2<h ≤q 时，f (x )max ＝f (p )；③对称轴x ＝h 在区间[p ，q ]的右侧，即当h >q 时，f (x )max ＝f (p )，f (x )min ＝f (q ).1．函数y ＝－x ＋1在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的最大值是( ) A ．0B ．－12C ．12D ．－1C [∵函数y ＝－x ＋1在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上是减函数， ∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12＋1＝12.] 2．函数f (x )＝2x －1的定义域是(－∞，1)∪[2,5)，则其值域是________．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2 [函数f (x )在(－∞，1)上是减函数，在(1，＋∞)上也是减函数，而x ∈(－∞，1)∪[2,5)，所以y ∈(－∞，0)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2.] 3．函数y ＝x 2－2x －1在闭区间[0,3]上的最大值与最小值的和是________．0 [∵y ＝x 2－2x －1＝(x －1)2－2，∴函数的对称轴为x ＝1，∴函数在区间[0,1]上为减函数，在区间[1,3]上为增函数．∴当x ＝1时，函数取最小值－2，当x ＝3时，函数取最大值2，∴最大值与最小值的和为0.]4．已知函数f (x )＝4x 2－mx ＋1在(－∞，－2)上递减，在[－2，＋∞)上递增，求f (x )在[1,2]上的值域．[解] ∵f (x )在(－∞，－2)上递减，在[－2，＋∞)上递增，∴函数f (x )＝4x 2－mx ＋1的对称轴方程x ＝m 8＝－2，即m ＝－16. 又[1,2]⊆[－2，＋∞)，且f (x )在[－2，＋∞)上递增． ∴f (x )在[1,2]上递增，∴当x＝1时，f(x)取得最小值f(1)＝4－m＋1＝21；当x＝2时，f(x)取得最大值f(2)＝16－2m＋1＝49.∴f(x)在[1,2]上的值域为[21,49]．。